空间角专题复习
福建高考数学二轮专题复习教案――空间角度
专题(三)空间角主干知识整合：立体几何的空间角度中，对三种角度的求解与性质的探究，属于高考永恒的话 题 经典真题感悟：1. (07全国U ?理? 7题)已知正三棱柱ABC- A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等， 则AB 与侧面ACCA i 所成角的正弦等于(A )O 在二面角- AB 一 ■-的棱上，点P 在〉内，且 ■ POB =45。
若对于1内异于0的任意一点Q,都有.POQ _45，则二面角 a _ AB - B 的大小是 _____ 90 ____ 。
3. (07广东?理? 19题)如图6所示，等腰△ ABC 的底边AB=6,6，高CD=3,点B 是线段BD 上异于点B D 的动点.点F 在BC 边上，且EF 丄AB 现沿EF 将厶BEF 折起到△ PEF 的位置，使PE 丄人&记BE= x ，V(x)表示四棱锥P- ACFE 勺体积(I)求V(x)的表达式；(U)当x 为何值时，V(x)取得最大值？(E)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC 与 PF 所成 角的余弦值；解：1)由折起的过程可知，PE!平面ABC S 启BC =9虏，V(x)=6x(9 —丄 x 2) ( 0 ：：:X ：：3.6 ) 3 12(2) V'(x)」(9-丄x 2)，所以 x (0,6)时，v'(x) 0 ，V(x)单调递增；6 ：：X ：：3.634时v'(x) <0 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值12、6 ；(3)过 F 作 MF//AC 交 AD 与 M,则驰=匪二业 B ^,MB "BE =12，PM=6 2， AB BC BD 1 ADAB在厶PFM 中, cos PFM 二址坐，二异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为-；4277热点考点探究：2x 2 54S BDC■^6 2x122 (07浙江?理? 16题)已知点 逅J 54 +9 =辰3MF 二BF 二PF考点一：异面直线所成的角——空间角的最小元素•••/ ACE=90，即AC 和BD 所成的角为90° .直线与直线所成角是立体几何的所成角（线线角、线面角、面面角）中最简 单的一种，只需要把两条直线（或其中一条直线）平移，使它们相交于一点，就 可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了 .要注意的是角的取值范围，分清那个角是这两条直线的所成角（或者它的补角）. 其范围是0,=〔 \、2」【例1】如图（1）所示，在空间四边形已知AD=1, BD呼，AC撐，求 AC 和结EF 、FH HG GE GF.由三角形中位线定理知,AB BD 的中点E 、F 、G H,连 .QEF// AC,且 EF4 , GE/ BD4且GE 』.4GE 和 EF 所成的锐角（或直角）就是 同理，GH 」,HF 3 , GH/ AD,2 2又 AD L BC,二 GHF =90 .2 2 2二 GF 2二 GH 2HF 2=1.在^ EFG 中, EG 2EF 2=1 =GF 2, ••• • GEF =90，即AC 和BD 所成的角为90 .【解析2】如图（3）,在平面BCD 内，过C 作CE// BD ,且 CE=BD 连 DE 贝U DE// BC 且 DE=BC. •••/ ACE 就是AC 和BD 所成的角（若/ ACE 为钝角， 则/ACE 的补角就是AC 和 BD 所成的角）. " 又 AD L BC,A AD L DE.2 2 2• •• AE 二 AD DE =4.D 图（3）在^ACE 中, AC 2 CE 2【点评】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”.平移的方法一般有下面三【点评】 求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角 考点三：二面角 用平面角来量度面面成角是立体几何中的所成角问题的重点，二面角的两个面是两个半平面，因 此二面角中有钝角存在，二面角的取值范围与线线角、线面角不同，它的取值范围是 【0,二】.二面角的大小往往转化为其平面角的大小， 从而又化归为三角形的内角大小求解, 以利用平面几何、三角函数等重要知识.【例3】在棱长为a 的正方体ABC —A B' C D 中，E 、F 分别是BC A D 的中点.种类型：利用图有已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平 移；补形平移，计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行 •考点二：线面角——直线与射影的夹角为主体 直线与平面所成的角分两种，一是平面的斜线与平面所成的锐角，即斜线与 平面内的射影所夹的角；二是平面的垂线与平面所成的直角 .直线与平面所成角 不存在补角的问题•直线与平面成角的范围是 0,】.1 2」 【例2】 如图（4）,在三棱锥P — ABC 中，AB 丄BC, AB= BC= kPA 点O D 分别是AC PC 的中点， OPL 底面ABC （I ）求证：OD/平面PAB1（II ）当k =丄时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小.2【解析】（I ）：O D 分别为AC PC 的中点： ••• OD/ PA,又 AC 平面 PAB,(4)••• OD/ 平面 PAB. (I ) T AB 丄 BC,OA=OC, ••• OA=OC=OB,又••• OPL 平面 ABC, PA =PB=PC.取BC 中点E,连结PE,则BC L 平面POE 作OF L PE 于F,连结DF,则OF L 平面PBC•••/ ODF 是 OC 与平面PBC 所成的角.又OD/ PA,. PA 与平面PBC 所成角的大小等于/ ODF.在 Rt △ ODF 中 ,sin/ ODF 匹隹,OD 30 .PA 与平面PBC 所成角为arcsin30图（6）⑴求证：四边形B' EDF是菱形；⑵求直线A，C与DE所成的角；⑶求直线AD与平面B，EDF所成的角；⑷求面B' EDF与面ABCD所成的角.【解析】⑴ 证明：如上图所示，由勾股定理，得B' E=ED=DF=FB'=兰a,2 下证B'、E、D、F四点共面，取AD中点G,连结A G EG 由E翼A諾A B'知，B' EGA是平行四边形.••• B1 E// A G又A F ^DG：A GDF为平行四边形.••• A G// FD,.・.B'、E、D F 四点共面故四边形B' EDF是菱形.⑵解：如图（7）所示，在平面ABCD内，过C作CP// DE交直线AD于P，图（7）则/A CP或补角）为异面直线A C与DE所成的角.在厶A CP中，易得A C= 3 a，CP=DE=Va,A' P=』a 2 2由余弦定理得cosA' CP=』15故A C与DE所成角为arccos上15 .15（3）解：〈ADE/ADF二AD在平面B，EDF内的射影在/ EDF的平分线上.•一如下图所图（8）又••• B' EDF为菱形，二DB为/ EDF的平分线, 故直线AD与平面B，EDF所成的角为/ ADB在Rt △ B' AD 中，AD=_2a, AB =, 2 a, B' D=_2 a：3贝U cosADB 亠3故AD与平面B ' EDF所成的角是arccos 3.3⑷解：如图，连结EF、B' D,交于0点，显然O为B' D的中点，从而O 为正方形ABC—A B' C D的中心.图（9）作OH L平面ABCD贝U H为正方形ABCD勺中心，再作HM L DE,垂足为M,连结OM贝U OM L DE, 故/OM为二面角B'—DE —A的平面角.在Rt△ DOE中, OE=空a, OD=-^a,斜边DE^-^ a,2 2 2则由面积关系得O博0D空30 aDE 10在Rt△ OHM中, sinOM日如=旦OM 6故面B' EDF与面ABCD所成的角为arcsin二0 .6【点评】对于第⑴ 问，若仅由B' E=ED=DF=FB'就断定B' EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B'、E、D F四点共面.求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法•求二面角的大小也可应用面积射影法.考点四：探索性问题例4.如图，在三棱锥A— BCD中，侧面ABD, ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD =、、3, BD二CD =1,另一个侧面是正三角形，在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角，若存在，确定请说明理由。
【高考】数学空间角线线角与线面角复习ppt课件
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1) 两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( ) (2) 已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量是
n0＝±13，－23，23.( )
(3)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a∥c，a⊥b.( )
法二 如图 2，建立空间直角坐标系，
z
则 B(2,0,0)，C(2,2 2，0)，E(1， 2，1)，
A→E＝(1, 2，1)，B→C＝(0,2 2，0)．
设A→E与B→C的夹角为 θ，则
y
→→
cosθ＝|AA→EE|·|BB→CC|＝2×42
＝ 2
22，
x
所以 θ＝π4.
由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，
二面角的范围是[0，π]．( ) (5)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
(思1)想本与题方求程解思时想关．键是结合题设条件设进行A空B间＝联想t，，抓则住垂相直关条件各有目点的的 推理坐论证标，为 在第(A2)问(0中,0，,运0用)，空间B向(t量,0，,将0线)，面角B转1(化t,为0直,3线)的，方C向(向t,量1与,0平)， 面的法向量的夹角，考查化归
利利用用空 空间间向向量量求求直直线线与与平平面面所所成成的的C角角1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
最新空间角专题复习
空间角专题复习•知识梳理一、异面直线所成的角及求法(1) 定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的________ 所成的_____________ 为两异面直线所成的角.(2) 取值范围：若B是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是__________ 当9n=时，称异面直线a和 b __________ 记为 _________ .(3) 求法：_______ :将两异面直线中的一条或两条________ 至某特殊点后，构造________ 通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1) ___________ 定义：设I和a分别表示直线与平面.①若I // a或I? a，则称直线I和平面a所成的角为 __________________________________ ；②若I丄a,则称I与a所成的角为 ___ ；③若I与a相交，则I与I在a内的_______ 成的 _________ 直线I与平面a所成的角.⑵取值范围：设9是直线I与平面a所成的角，贝U 9的取值范围是___________ .(3)求法：最常见又重要的方法是定义法：即探寻直线I在平面a内的________ ，(通常由垂直法找射影)构造直线I与平面a所成角对应的 __________ 通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角.三、二面角及求法(1) 定义：在二面角的棱上______ ，分别在二面角的两个面内作棱的_______ ，则这_________ 成的角称为该二面角的________ 且用二面角的平面角的大小作为该______ ■勺大小.(2) 取值范围：规定二面角的取值范围为_________ .(3) 求法：最常见又重要的方法是定义法：即分别在二面角的两个面内作棱的则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角•练习提升1 .设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面直线所成角的大小范围为集合R，贝U P、Q、R的关系为()A. R=P? QB. R? P? QC. P? R? Q D . R? P= Q2 .如图，E 、F 分别是三棱锥 P — ABC 的棱AP 、BC 的中点, 异面直线AB 与PC 所成的角为 （） A . 30°B . 45°C . 60 °D . 90°3.已知长方体 ABCD — A I B I C I D I 中, AB = BC = 4, CC i = 2，则直线 BC i 和平面 DBB I D I 所 3 A <2~ B ， 2C 血 C. 5D 血 D. 10 成的角的正弦值为（） 4•如图，在边长为 1的菱形ABCD 中，/ ABC = 60°,将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD = 1,则二面角B — AC — D 的余弦值为（ ） 1 A3 1 B.1 C 麵 C. 3 5.如图，已知四棱锥 P — ABCD 的底面是正方形, PAB 与平面PCD 所成的二面角的度数为（ ） A . 90 ° B . 60 ° C . 45 ° D . 30 ° PA 丄平面 6 .把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论： ①AC 丄BD :②厶ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60°角；④AB 与平面BCD 成60°角.则 其中正确结论的个数是（） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 7.如图所示的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中， 过顶点B 、D 、C 1作截面， 则二面角B — DC 1— C 的平面角的余弦值是 ________Ai APC = 10, AB = 6, EF = 7,则。
高三数学知识点：空间角问题知识点总结
高三数学知识点：空间角问题知识点总结下面整理了高三数学知识点：空间角问题，希望大家能把觉得有用的知识点摘抄下来，在空余时间进行复习。
一、直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
二、直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为。
②平面的垂线与平面所成的角：规定为。
③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：一作，二证，三计算。
在作角时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，三、解题技巧在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角以上就是高三数学知识点：空间角问题，希望能帮助到大家。
利用空间向量研究角度问题-高考数学复习课件
在△ C 1 BP 中， cos
2 ＋
2 ＋12 −12
3
∠ C 1 BP ＝
＝ ，
2·1
2
π
π
∴∠ PBC 1＝ ，即直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
6
6
2
2
2
＝
6
a.
2
法二：以 D 为原点， DA ， DC ， DD 1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴
2
A. 30°
由于 cos<
B. 60°
C. 120°
A )
D. 150°
1
m ， n >＝－ ，所以< m ， n >＝120°，所以直线 l 与平面α
2
所成的角为30°.
3. 平面α的一个法向量为 m ＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为 n ＝
(2，2，1)，则平 C 为原点， CA ， CB 所在直线分别为 x ， y 轴，建立如图所示的空间
3
π
，∴直线 PB 与 AD 1所成的角为 .
2
6
方法总结
向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点
1. 两种方法：
(1)基向量法：利用线性运算；
(2)坐标法：利用坐标运算.
2. 一个注意点：
注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.
跟踪训练
1. 在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中，∠ BCA ＝90°， M ， N 分别是 A 1 B 1，
.
6
方法总结
利用平面的法向量求线面角的两个注意点
空间角的复习
专题复习六《空间角的计算》【知识点概要】一、异面直线的问题：1.异面直线所成的角的范围：]2,0(π2．异面直线的判定方法：⎧⎪⎨⎪⎩定义法定理法性质法3．异面直线所成的角的求法：①平移法→构造三角形→解三角形→余弦定理⑵平移→⎧⎪⎨⎪⎩转化直接平移例1．如图1，在三棱锥S —ABC 中，∠SAB SB =29，求异面直线SC 与AB练习:1.空间四边形ABCD 中，AB=CD 的 中点，则异面直线EF 和AB A ．150 B ．750 C ．300 D ．1502.已知异面直线a 与b 成800的角，p 为空间一定点，则过点p 与a,b 所成的角都是500的直线有且仅有（ ）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3. 如图，五面体ABCDE 中，面BCD ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC ＝DB ＝7，H 、F 分别是BC 、AE 的中点．(1)求证：FH ∥面BED ；(2)求异面直线FH 与AC 所成角的余弦值．二、线面角的问题：1.直线与平面成角的范围：[0o ，90o]. 2求直线与平面所成的角常用方法: (1)几何法：作垂线找射影 （2）用最小角定理：cos θ =cos θ１ cos θ２例2、四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒,2AB =,BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．例3．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且2AB =，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点．（1）求证：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD． ①求PA 的长度；②当H 为PD 的中点时，求异面直线PB 与EH 所成角的余弦值．练习:1.设斜线和平面所成的角为θ，那么斜线和此平面内过谢足的所有直线的夹角中，最大的角 是 ，最小的夹角是αθα1θ2θθDCASOEABCDEPHl 2.PA,PB,PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60o,那么直线PC 与PAB 所成角的余弦值是（ ） A,123. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为AB 的中点，现将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，使平面A ′DE ⊥平面BCDE ，F 为线段A ′D 的中点．(1)证明：EF ∥平面A ′BC ；(2)求直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正切值．三、二面角的平面角的问题： 1. 二面角的平面角的范围：[0,]π 2求二面角的平面角的常用方法①定义法(图1)②三垂线(逆)定理法:（图2） ③垂面法(图3) ④投影法cos s s θ=射影多边形原多边形（图4）例4[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 AB C 的大小．例5.如图,在三棱锥A －BCD 中,侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且ADBD ＝CD ＝1,另一个侧面是正三角形(1)求证：AD ⊥BC (2)求二面角B －AC －D 的大小(3)在直线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD 成30︒角？若存在,确定E 的位置；若不存在,说明理由. 练习:1.如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°， AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ＝2，侧面PBC ⊥底面ABCD ，O 是BC 中点，AO 交BD 于E . (1)求证：P A ⊥BD ；(2)求二面角P －DC －B 的大小；(3)求证：平面P AD ⊥平面P AB .2.[湖北卷] 如图，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ . (2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．3.四棱锥P －ABCD 底面是菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC = 60°，E 、F 分别是BC 、PC 的中点.(1)求证：平面AEF ⊥平面PAD ；(2)H 是PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成的最大角为45°，求二面C A B OPD EDD角E－AF－C的正切值．。
专题复习：用空间向量解立体几何问题
专题复习：用空间向量解立体几何问题空间角1．异面直线所成的角点A ，B ∈直线a,C ，D ∈直线b 。
构成向量CD AB ,。
><⋅>=<CD AB CDAB CD AB CD AB ,,,cos 所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。
2．线面所成的角AP 与平面α的法向量n 所成的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP 与平面α所成的角θ，所以AP 与n 的角的余弦值的绝对值为直线AP 与平面α所成的角的正弦值。
><=∴n AP ,cos arcsin θ3．二面角的求法二面角βα--l ，平面α的法向量m ，平面β的法向量n 。
θ>=<n m ,，则二面角βα--l 的平面角为θ或πθ-。
OAαPnl lαβnm所以，nm n m n m ⋅>=<,cos ，若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则><n m ,为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则><n m ,为二面角的平面角。
空间距离1．点到面的距离点P 到面α的距离d 可以看成AP 在平面α的法向量n 的方向上的射影的长度。
2． 异面直线间的距离异面直线a,b 之间的距离可以看成),(b F a E EF ∈∈在a,b 的公垂向量n 的方向上的射影的长度。
3．线面距离 直线a 与平面α平行时，直线上任意一点A 到平面α的距离就是直线a 与平面α之间的距离。
其求法与点到面的距离求法相同。
4． 平面与平面间的距离平面α与平面β平行时，其中一个平面α上任意一点到平面β的距离就是平面α与平面β间的距离。
其求法与点到面的距离求法相同。
例题：例1．（07，重庆理19）如题（19）图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB =，90ABC = ∠；点D E ，分别在1BB ，1A D 上，且11B E A D ⊥，四棱锥1C ABDA -与直三棱柱的体积之比为3:5（Ⅰ）求异面直线DE 与11B C 的距离；（Ⅱ）若2BC =，求二面角111A DC B --的平面角的正切值答案：（Ⅰ）22929 （Ⅱ）3322．(07，天津理19)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点EPABC DE 1B1C1Allαβmnn nEF d ⋅=EbaF nnn AP d ⋅=OAαPn（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小答案：（Ⅲ）14arcsin43．（07，四川理19）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60° （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小; （Ⅲ）求三棱锥MAC P -的体积答案：（Ⅱ） 21arccos7（Ⅲ）3124．(07，陕西理19)如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD,32,2,4===AB AD PA ,BC =6(Ⅰ)求证:BD ;PAC BD 平面⊥(Ⅱ)求二面角D BD P --的大小 答案：(Ⅱ) 393arccos315．（07，山东理19）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，AB DC ∥（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值答案：(Ⅱ)二面角11A BD C --的余弦为336．（07，全国Ⅱ理19）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点 （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小答案：(2)3arccos 37．（07,全国Ⅰ理19）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 已知45ABC =∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==BCSABCDEFSBCDA1A1D 1C1BEA B CD EP（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小答案：(Ⅱ)22arcsin118．（07，辽宁理18）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30（I ）证明：111A B C D ⊥；（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离答案：(Ⅱ)4a 作业：1．（07，江西理20）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC 已知11111A B BC ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小；（3）求此几何体的体积 答案：（2）30（3）322． (07，湖南理18)如图1，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD < 连结2BG ，如图2A BCD EF GFE G 2G 1D CBA图1图2（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；（II ）当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角ABCA 1B 1C 1OABC DA 1B 1C 1E M答案：(Ⅱ) 122arcsin253．(07,湖北理18)如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围答案：(Ⅱ) π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，(07,福建理18)如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离 答案：(Ⅱ) 10arcsin4 （Ⅲ）22ABCDA 1B 1C 1ABCDV。
2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间向量之 空间角和空间距离
形，则在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1中，异面直线 AK 和 LM 所成的角的大小为
(
D )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
[解析] 根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取 AA 1的中点 G ，连接 KG ，
则有 KG ∥ LM ，所以∠ AKG 或其补角为异面直线 AK 和 LM 所成的角.由题知 AG ＝
A 1 C 1＝5， BC 1＝4 2 ，所以 cos
52 ＋52 −(4 2）2
9
1
∠ BA 1 C 1＝
＝ ＜ ，所以60°＜
2×5×5
25
2
∠ BA 1 C 1＜90°，则过点 D 1作直线 l ，与直线 A 1 B ， AC 所成的角均为60°，即过一
点作直线，使之与同一平面上夹角大于60°的锐角的两边所在直线所成的角均成
2 z －1＝0的交线，试写出直线 l 的一个方向向量 (2，2，1)
的余弦值为
65
9
.
，直线 l 与平面α所成角
[解析] 由平面α的方程为 x ＋2 y －2 z ＋1＝0，可得平面α的一个法向量为 n ＝(1，
⑫ [0， ] ，二面角的
2
n1，n2＞｜.
范围是⑬
[0，π] .
易错警示
1. 线面角θ与向量夹角＜ a ， n ＞的关系
π
2
π
2
如图1(1)，θ＝＜ a ， n ＞－ ；如图1(2)，θ＝ －＜ a ， n ＞.
图1
2. 二面角θ与两平面法向量夹角＜ n 1， n 2＞的关系
图2(2)(4)中θ＝π－＜ n 1， n 2＞；图2(1)(3)中θ＝＜ n 1， n 2＞.
高考复习专题--数学空间角
S
M
Q
N E C ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ D
A
B
专题小结：
夯实基础，熟练掌握通性通法
（ 1 ）首先应注重提高空间想象能力， 为解决立体几何问题打下基础。 （ 2 ）注意揭示解决立几问题的一般思 维程序。 （3）熟练掌握通性通法
典型例题:
过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面 ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成 45度角，求二面角B-SC-D的大小.
异面直线所成的角
直线与平面所成角 平面与平面所成角
一、高考考纲要求
1.掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成 的角的概念. 2.会求直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角. ３.能力要求：通过有关空间角的问题的解决，进 一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及 运算能力．
二、高考考点分析
D1 O
B1 D N
C1
A1
C B
BOB1即为所求
A
题型三：二面角
(2)三垂线定理 D1
C1 B1
A1 D
C B
A
E
F
A1FA即为所求
A P
F
E
D C
B
1 ：如图所示，四边形ABCD是 边长为2的正方形，SA 平面ABCD，SA 2，
（ 1 ）求二面角M BC D大小的正切值；
M 是SA的中点，过M 和BC的平面交SD于N。
（2）求CN与平面ABCD所成角的正切值； （ 3 ）求CN与BD所成角的余弦值；
（4）求平面 SBC与SDC所成角大小的正弦值。
A
45
三垂线定理法
30
F
E
B
D
高考复习空间角专题
空间角的求解(1)找出或作出有关的图形（将空间角转化为平面上的角研究）；(2)证明此角为所求角；(3)计算。
二、例题讲解：一、异面直线夹角问题例1、（1）如图,正棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为___(2) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA=90，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成的角的余弦值_________。
（3）如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，F E ,分别为BC 与11D A 的中点， 直线C A 1与DE 所成的角等于小结：线线角抓平行线。
要求异面直线夹角，关键是将两条直线平移到同一平面上，将空间 角转化为平面角。
异面直线所成的角求法：①平移法 ②割补法二、线面夹角问题例2、（1）直线a 是平面α的斜线，直线b 在平面α内，当a 与b 成60O的角，且b 与a 在α内的射影成45O 的角时，a 与α所成的角为( )(A)60O (B)45O (C) 90O (D)30O（2）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且 2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．1A小结：线面角抓面垂线（定射影）。
要求直线与平面所成的角，关键是找到直线在此平面上 的射影，为此，必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线。
斜线与平面所成的角求法：定义法三、二面角问题例3、（1）四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且⊥PA 平面ABCD ，PA=AB=a ，则二面角D PC B --的大小为。
（2）在二面角βα--l 的一个平面α内有一条直线AB ，它与棱的夹角为︒45，AB 与平面β所成的角为︒30，则二面角的大小为；（3）二面角βα--l 是锐角，空间一点P 到βα,和棱的距离分别是22，4和24，则 这个二面角的度数为（ ）A 、︒30或︒45B 、︒15或︒75C 、︒30或︒60D 、︒15或︒60（4）如图，△ABC 中，∠ABC= 30，PA ⊥平面ABC ，PC ⊥BC ，PB 与平面ABC 成︒45角， ①求证：平面PBC ⊥平面PAC ；②求二面角A —PB —C 的正弦值。
《空间角的复习》课件
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解51 向量法求空间角
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§7.7 向量法求空间角考试要求 能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识梳理1．异面直线所成的角若异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u·v ||u ||v |. 2．直线与平面所成的角如图，直线AB 与平面α相交于点B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪u ·n |u ||n |＝|u·n ||u ||n |.3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × ) (3)两异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( √ )(4)直线的方向向量为u ，平面的法向量为n ，则线面角θ满足sin θ＝cos 〈u ，n 〉．( × ) 教材改编题1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则直线l 与平面α所成的角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 A解析 由于cos 〈m ，n 〉＝－12，所以〈m ，n 〉＝120°，所以直线l 与平面α所成的角为30°.2．已知直线l 1的方向向量s 1＝(1,0,1)与直线l 2的方向向量s 2＝(－1,2，－2)，则直线l 1和l 2所成角的余弦值为( ) A.24B.12 C.22D.32解析 因为s 1＝(1,0,1)，s 2＝(－1,2，－2)， 所以cos 〈s 1，s 2〉＝s 1·s 2|s 1||s 2|＝－1－22×3＝－22.所以直线l 1和l 2所成角的余弦值为22.3．平面α的一个法向量为m ＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n ＝(2,2,1)，则平面α与平面β夹角的正切值为( ) A.49 B.94 C.46565 D.654 答案 D解析 设平面α与平面β的夹角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝49， 则sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝659， 所以tan θ＝65949＝654.题型一 异面直线所成的角例1(1)若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为3，AB ＝1，则直线AB 1与CD 1所成的角A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 C解析 ∵正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为3，AB ＝1， ∴AA 1＝3，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B 1(1,1，3)，C (0,1,0)，D 1(0,0，3)， AB 1—→＝(0,1，3)，CD 1—→＝(0，－1，3)， 设直线AB 1与CD 1所成的角为θ， 则cos θ＝|AB 1—→·CD 1—→||AB1—→||CD 1—→|＝24×4＝12.又0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB 1与CD 1所成的角为60°.(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO 的截面△ABC 是正三角形，AB 是底面圆O 的直径，点D 在AB 上，且∠AOD ＝2∠BOD ，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为( )A.34B.12C.14D.34 答案 A解析 因为∠AOD ＝2∠BOD ， 且∠AOD ＋∠BOD ＝π， 所以∠BOD ＝π3，连接CO ，则CO ⊥平面ABD ，以点O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线分别为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设圆O 的半径为2，则A (0，－2,0)，B (0,2,0)，C (0,0,23)，D (3，1,0)， AD→＝(3，3,0)，BC →＝(0，－2,23)， 设异面直线AD 与BC 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AD →，BC →〉|＝|AD →·BC →||AD →||BC →|＝|－6|23×4＝34，所以异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为34. 思维升华 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系．(2)用坐标表示两异面直线的方向向量． (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)注意两异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．跟踪训练1 (1)有公共边的△ABC 和△BCD 均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为________． 答案 14解析 设等边三角形的边长为2.取BC 的中点O ，连接OA ，OD .因为△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，所以OA ，OC ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OD ，OC ，OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,0，3)，B (0，－1,0)，C (0,1,0)，D (3，0,0)， 所以AB→＝(0，－1，－3)，CD →＝(3，－1,0)， 设异面直线AB 和CD 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AB →，CD →〉|＝|AB →·CD →||AB →||CD →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×2＝14，所以异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为14.(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，AF →＝λAD →(0<λ<1)，若异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值为3210，则λ的值为______．答案 13解析 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，正方体的棱长为2， 则A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)，E (0,2,1)，A (2,0,0)， ∴D 1E —→＝(0,2，－1)，A 1F —→＝A 1A —→＋AF →＝A 1A —→＋λAD →＝(－2λ，0，－2)．∴|cos 〈A 1F —→，D 1E —→〉|＝|A 1F —→·D 1E —→||A 1F —→||D 1E —→|＝22λ2＋1×5＝3210，解得λ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＝－13舍去. 题型二 直线与平面所成的角例2 (12分)(2022·全国甲卷)在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝1，AB ＝2，DP ＝ 3.(1)证明：BD ⊥P A ；[切入点：由等腰梯形ABCD 的性质求BD 长](2)求PD 与平面P AB 所成的角的正弦值．[关键点：建立空间直角坐标系求法向量]思维升华利用空间向量求线面角的解题步骤跟踪训练2如图，在六面体P ACBD中，△P AB是等边三角形，平面P AB与平面ABD 所成角为30°，PC＝AB＝2AD＝2BD＝2AC＝2BC＝4.(1)证明：AB⊥PD；(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面P AB所成角的正切值的最大值．(1)证明取AB的中点M，连接PM，DM，如图，因为P A＝PB，DA＝DB，所以PM⊥AB，DM⊥AB，且PM∩DM＝M，PM，DM⊂平面PDM，所以AB ⊥平面PMD ，又PD ⊂平面PMD ，所以AB ⊥PD .(2)解 连接CM ，则CM ⊥AB ，由AC ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝AB ＝4，可得CM ＝2，PM ＝23，于是CM 2＋PM 2＝16＝PC 2，所以PM ⊥CM ，又PM ⊥AB ，AB ∩CM ＝M ，MC ，AB ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ， 以M 为原点，MC ，MB ，MP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则M (0,0,0)，C (2,0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,23)， 由题意知∠CMD ＝120°，可得D (－1,0，3)， 平面P AB 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， 设BE→＝λBD →＝λ(－1，－2，3)，λ∈[0,1]， 则CE→＝CB →＋BE →＝(－2－λ，2－2λ，3λ)， 设CE 与平面P AB 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，CE→〉|＝2＋λ1·(－2－λ)2＋(2－2λ)2＋(3λ)2，令2＋λ＝t ，t ∈[2,3]，则λ＝t －2， 所以sin θ＝tt 2＋(6－2t )2＋3(t －2)2＝148t 2－36t ＋8，令f (t )＝48t 2－36t ＋8，t ∈[2,3]，由对称轴1t ＝38知，当1t ＝38，即λ＝23时，f (t )min ＝54，则(sin θ)max ＝45＝255，于是(tan θ)max ＝2.所以直线CE 与平面P AB 所成角的正切值的最大值为2. 题型三 平面与平面的夹角例3 (2023·泰安模拟)如图，在五面体ABCDE 中，已知AC ⊥平面BCD ，ED ∥AC ，且AC ＝BC ＝2ED ＝2，DC ＝DB ＝ 3.(1)求证：平面ABE ⊥平面ABC ；(2)求平面ABE 与平面BEC 夹角的余弦值．(1)证明 取BC 的中点M ，AB 的中点N ，连接DM ，MN ，EN .∴MN ∥AC ，MN ＝12AC ，又DE ∥AC ，DE ＝12AC ，∴DE ∥MN ，DE ＝MN ，∴四边形MNED 是平行四边形， ∴EN ∥DM ，EN ＝DM ，又AC ⊥平面BCD ，AC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面BCD ，∵DC ＝DB ，∴DM ⊥BC ，又平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DM ⊂平面BCD ， ∴DM ⊥平面ABC ，∴EN ⊥平面ABC ， 又EN ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面ABC .(2)解 由(1)知，AC ⊥BC ，EN ∥DM 且EN ＝DM ，EN ⊥平面ABC ，平面ABE ⊥平面ABC ， 以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接CN ，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，N (1,1,0)，E (1,1，2)， 则CB→＝(0,2,0)，CN →＝(1,1,0)，CE →＝(1,1，2)， 设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CE →＝x ＋y ＋2z ＝0，n ·CB →＝2y ＝0，取z ＝2，则⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝0，∴n ＝(－2,0，2)， 又AC ＝BC ，则CN ⊥AB ，又平面ABC ∩平面ABE ＝AB ，CN ⊂平面ABC ，∴CN ⊥平面ABE ，即CN→＝(1,1,0)为平面ABE 的一个法向量， 设平面ABE 与平面BEC 的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n ，CN →〉|＝|n ·CN →||n ||CN →|＝|－2|2×6＝33， ∴平面ABE 与平面BEC 夹角的余弦值为33.思维升华 利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．跟踪训练3 (2022·贵阳模拟)如图，AC ，BD 为圆柱OO ′底面⊙O 的两条直径，P A 为圆柱OO ′的一条母线，且AP ＝AC .(1)证明：AB ⊥PD ；(2)若∠AOD ＝π3，求平面DPC 与平面PCB 夹角的正弦值． (1)证明 ∵AC ，BD 为圆柱OO ′底面⊙O 的两条直径， ∴∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD ，∵P A 为圆柱OO ′的一条母线，∴P A ⊥AB ， ∵P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD .(2)解 以C 为坐标原点，分别以CD ，CB ，过C 的母线所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AP ＝AC ＝4，则BC ＝2，AB ＝23，CD ＝23， 则D (23，0,0)，B (0,2,0)，P (23，2,4)，C (0,0,0)， ∴CD→＝(23，0,0)，CB →＝(0,2,0)，CP →＝(23，2,4)， 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CP →＝23x ＋2y ＋4z ＝0，n ·CB →＝2y ＝0，令x ＝2，则y ＝0，z ＝－3， ∴n ＝(2,0，－3)，设平面PDC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CP →＝23a ＋2b ＋4c ＝0，m ·CD →＝23a ＝0，令b ＝2，则a ＝0，c ＝－1，∴m ＝(0,2，－1)， 设平面DPC 与平面PCB 的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝|3|7×5＝10535，∴平面DPC 与平面PCB 夹角的正弦值为1－105352＝47035.课时精练1.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．(1)证明因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以P A⊥BD.又因为AC∩P A＝A，AC，P A⊂平面P AC，所以BD⊥平面P AC.(2)解设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，P A＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝ 3.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，－3，2)，A(0，－3，0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)．所以PB→＝(1，3，－2)，AC →＝(0,23，0)． 设PB 与AC 所成的角为θ，则 cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·AC →|PB →||AC →|＝622×23＝64， 即PB 与AC 所成角的余弦值为64.2.如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值． (1)证明 由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ， PF ∩EF ＝F ，PF ，EF ⊂平面PEF ， 所以BF ⊥平面PEF . 又BF ⊂平面ABFD ， 所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)解 如图，作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设BF ＝1，由(1)可得DE ⊥PE . 又DP ＝2，DE ＝1，所以PE ＝ 3. 又PF ＝1，EF ＝2， 所以PE ⊥PF ， 所以PH ＝32，EH ＝32.则H (0,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，0，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，32，HP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32.又HP→为平面ABFD 的一个法向量，设DP 与平面ABFD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈HP →，DP →〉|＝|HP →·DP →||HP →||DP →|＝343＝34.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.3．如图①，在高为6的等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD ＝6，AB ＝12，将它沿对称轴OO 1折起，使平面ADO 1O ⊥平面BCO 1O ，如图②，点P 为BC 的中点，点E 在线段AB 上(不同于A ，B 两点)，连接OE 并延长至点Q ，使AQ ∥OB .(1)证明：OD ⊥平面P AQ ；(2)若BE ＝2AE ，求平面CBQ 与平面ABQ 夹角的余弦值． (1)证明 由题设知OA ，OB ，OO 1两两垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ 的长为m ，则O (0,0,0)，A (6,0,0)，B (0,6,0)，C (0,3,6)，D (3,0,6)，Q (6，m ,0)． ∵点P 为BC 的中点， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，3， ∴OD→＝(3,0,6)，AQ →＝(0，m ,0)，PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6，m －92，－3. ∵OD →·AQ →＝0，OD →·PQ →＝0，∴OD→⊥AQ →，OD →⊥PQ →， 即OD ⊥AQ ，OD ⊥PQ ，又AQ ∩PQ ＝Q ，AQ ，PQ ⊂平面P AQ ， ∴OD ⊥平面P AQ .(2)解 ∵BE ＝2AE ，AQ ∥OB ，∴AQ ＝12OB ＝3， 则Q (6,3,0)，∴QB→＝(－6,3,0)，BC →＝(0，－3,6)．设平面CBQ 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·QB →＝0，n 1·BC →＝0，得⎩⎨⎧－6x ＋3y ＝0，－3y ＋6z ＝0，令z ＝1，则y ＝2，x ＝1，n 1＝(1,2,1)． 易得平面ABQ 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)． 设平面CBQ 与平面ABQ 的夹角为θ， 则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝66，即平面CBQ 与平面ABQ 夹角的余弦值为66.4．(2022·新高考全国Ⅱ改编)如图，PO 是三棱锥P －ABC 的高，P A ＝PB ，AB ⊥AC ，E 为PB 的中点．(1)证明：OE ∥平面P AC ；(2)若∠ABO ＝∠CBO ＝30°，PO ＝3，P A ＝5，求平面AEC 与平面AEB 夹角的正弦值． (1)证明 如图，取AB 的中点D ，连接DP ，DO ，DE .因为P A＝PB，所以PD⊥AB.因为PO为三棱锥P－ABC的高，所以PO⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.又PO，PD⊂平面POD，且PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD.因为OD⊂平面POD，所以AB⊥OD，又AB⊥AC，AB，OD，AC⊂平面ABC，所以OD∥AC.因为OD⊄平面P AC，AC⊂平面P AC，所以OD∥平面P AC.因为D，E分别为BA，BP的中点，所以DE∥P A.因为DE⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，所以DE∥平面P AC.又OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面P AC.又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面P AC.(2)解连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB⊂平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以OA＝OB＝P A2－PO2＝52－32＝4.易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，所以OD ＝OA sin 30°＝4×12＝2， AB ＝2AD ＝2OA cos 30°＝2×4×32＝4 3. 又∠ABC ＝∠ABO ＋∠CBO ＝60°，所以在Rt △ABC 中，AC ＝AB tan 60°＝43×3＝12.以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0,0,0)，B (43，0,0)，C (0,12,0)， P (23，2,3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，32，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1，32，AB →＝(43，0,0)，AC →＝(0,12,0)． 设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AE→＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧33x ＋y ＋32z ＝0，12y ＝0，令z ＝23，则n ＝(－1,0,23)．设平面AEB 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧33x 1＋y 1＋32z 1＝0，43x 1＝0，令z 1＝2，则m ＝(0，－3,2)，设平面AEC 与平面AEB 的夹角为θ， 所以cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·m |n ||m |＝4313.则sin θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫43132＝1113， 所以平面AEC 与平面AEB 夹角的正弦值为1113.5.(2023·莆田模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，F 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AFC ；(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①∠ABC ＝π3； ②BD ＝3AC ；③PC 与平面ABCD 所成角的大小为π4.若P A ⊥平面ABCD ，AB ＝AP ＝2，且________，求平面ACF 与平面ACD 夹角的余弦值． (1)证明 连接BD 交AC 于点O ，因为ABCD 是菱形，所以O 为BD 的中点．连接OF .因为F 为PD 的中点，所以OF 为△PBD 的中位线，所以OF ∥PB .因为OF ⊂平面AFC ，PB ⊄平面AFC ， 所以PB ∥平面AFC .(2)解 过O 作Oz →∥AP →，以O 为原点，OB →，OC →，Oz →为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．选条件①：∠ABC ＝π3. 在菱形 ABCD 中，AC ⊥BD . 因为AB ＝AP ＝2，所以OB ＝OD ＝2sin π3＝3， OA ＝OC ＝2cos π3＝1，所以O (0,0,0)，A (0，－1,0)，C (0,1,0)， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，1.所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1，AC →＝(0,2,0)． 设平面ACF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AF→＝－32x ＋12y ＋z ＝0，n ·AC →＝2y ＝0，不妨令x ＝2，则n ＝(2,0，3)，显然m ＝(0,0,1)为平面ACD 的一个法向量．设平面ACF 与平面ACD 的夹角为θ， 所以cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝37×1＝217. 选条件②：BD ＝3AC .在菱形ABCD 中，BD ＝3AC ， 所以OB ＝3OC ，所以BC ＝OB 2＋OC 2＝2OC . 因为AB ＝AP ＝2，所以OA ＝OC ＝1，OB ＝OD ＝ 3.所以O (0,0,0)，A (0，－1,0)，C (0,1,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，1.所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1，AC →＝(0,2,0)．设平面ACF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AC →＝0＋2y ＋0＝0，n ·AF →＝－32x ＋12y ＋z ＝0，不妨令x ＝2，则n ＝(2,0，3)．显然m ＝(0,0,1)为平面ACD 的一个法向量． 设平面ACF 与平面ACD 的夹角为θ， 所以cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝37×1＝217. 选条件③：PC 与平面ABCD 所成的角为π4.因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成的角，即∠PCA ＝π4.在Rt △P AC 中，由∠PCA ＝π4，可得P A ＝CA ＝2. 所以OA ＝OC ＝1，OB ＝OD ＝ 3.所以O (0,0,0)，A (0，－1,0)，C (0,1,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，1.所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1，AC →＝(0,2,0)．设平面ACF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AC →＝0＋2y ＋0＝0，n ·AF →＝－32x ＋12y ＋z ＝0，不妨令x ＝2，则n ＝(2,0，3)．显然m ＝(0,0,1)为平面ACD 的一个法向量． 设平面ACF 与平面ACD 的夹角为θ， 所以cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝37×1＝217.6.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面P AD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD ＝AD ＝1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． (1)证明 在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC ，又因为AD ⊂平面P AD ，平面P AD ∩平面PBC ＝l ， 所以AD ∥l ，因为在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥DC ，所以l ⊥DC ，且PD ⊥平面ABCD ，所以AD ⊥PD ，所以l ⊥PD ， 因为DC ∩PD ＝D ， 所以l ⊥平面PDC .(2)解 以D 为坐标原点，DA→的方向为x 轴正方向，如图建立空间直角坐标系D －xyz ，因为PD ＝AD ＝1，则有D (0,0,0)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，P (0,0,1)，B (1，1,0)， 设Q (m ,0,1)，则有DC→＝(0,1,0)，DQ →＝(m ,0,1)，PB →＝(1,1，－1)， 设平面QCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DC →·n ＝0，DQ →·n ＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，mx ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝－m ，所以平面QCD 的一个法向量为n ＝(1,0，－m )，则cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝1＋0＋m 3·m 2＋1. 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值等于|cos 〈n ，PB→〉|＝|1＋m |3·m 2＋1＝33·1＋2m ＋m 2m 2＋1＝33·1＋2mm 2＋1≤33·1＋2|m |m 2＋1≤33·1＋1＝63， 当且仅当m ＝1时取等号，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63.。
7.6.1向量法求空间角课件高三数学一轮复习
考点二 直线与平面所成的角 【例 2】 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠ABC＝120°， AB＝1，BC＝4，PA＝ 15，M，N 分别为 BC，PC 的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1)证明：AB⊥PM； (2)求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：因为 AB＝AD，O 为 BD 的中点，所以 OA⊥BD. 因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，OA⊂平面 ABD，所以 OA ⊥平面 BCD. 因为 CD⊂平面 BCD，所以 OA⊥CD. (2)以 O 为坐标原点，OD，OA 所在的直线分别为 y 轴，z 轴，过点 O 且垂直于 BD 的 直线为 x 轴，建立如图所示空间直角坐标系．
(2)由(1)知，A( 2，0,0)，B( 2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，M 22，1，0， 则A→M＝－ 22，1，0，P→M＝ 22，1，－1， B→C＝(－ 2，0,0)，P→B＝( 2，1，－1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)为平面 PAM 的法向量，
则nn11··PA→ →MM＝ ＝00， ，
以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系．
设 BC＝2x，则 D(0,0,0)，A(2x,0,0)，P(0,0,1)，B(2x,1,0)，M(x,1,0)．所以A→M＝(－x,1,0)， P→B＝(2x,1，－1)，
所以(－x,1,0)·(2x,1，－1)＝0，解得 x＝ 22(负值舍去)．所以 BC＝ 2.
(2)以 A 为原点，AD 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，AA1 所在直线为 z 轴建立 空间直角坐标系．设正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，则 A(0,0,0)，A1(0,0,2)，D1(2,0,2)， E(0,2,1)，∴A→A1＝(0,0,2)，A→D1＝(2,0,2)，A→E＝(0,2,1)．
总复习《第38讲 空间角》
【解析】(1)证明：设点O为AC，BD的交点． 由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线， 所以O为AC的中点，BD⊥AC. 又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD. PA与AC是平面APC内的相交直线.
所以BD⊥平面APC.
(2)连接 OG.由(1)可知，OD⊥平面 APC，则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG，所以∠OGD 是 DG 与平面 APC 所成的角． 1 3 由题意得 OG＝ PA＝ . 2 2 在△ABC 中，AC＝ AB2＋BC2－2AB· BC· cos∠ABC 1 ＝ 4＋4－2×2×2×－ ＝2 3， 2 1 所以 OC＝ AC＝ 3. 2
例题2.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩 形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a， P 求二面角B-PC-D的大小。
E
A
B
D C
F
5.课堂小结.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.作出所求的空间角
2.证明所作的角符合定义
<定位>
<定性>
3.构造三角形并求出所要求角<定量> 简言之，空间角的求解步骤为： “一 作” “二 证” “三 算”
总复习 第38讲
空间角
1.直线与平面所成的角
锐角 ， (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_____ PAO 就是斜线 叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠ ______
AP 与平面 α 所成的角． π (2)线面角 θ 的范围：θ∈0，2 .
2．二面角的有关概念 两个半平面 所组成的图形 (1)二面角：从一条直线出发的_____________ 叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的 半平面内分别作__________ 角叫做二面角的平面角． (3)直二面角与面面垂直.
高三数学复习课件：7.6空间角(共20张PPT)
VS
题组一 判断正误⇔概念辨析
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( ) (4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角 的范围是[0，π]．( )
考点三 利用向量求二面角
师生 共研
(2017·山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD(及其内 部)以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的，G 是D︵F 的中点．
(1)设 P 是C︵E 上的一点，且 AP⊥BE，求∠CBP 的大小； (2)当 AB＝3，AD＝2 时，求二面角 E-AG-C 的大小．
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量 的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
[训练] (2017·全国卷Ⅰ，节选)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP ＝∠CDP＝90°.
若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值．
核心素养系列 (四十)逻辑推理——利用向量求解空间角中的核心素养 利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间角问题，特别是解决存在型 问题，更凸显了向量法的独特魅力. 这类问题的解决一般是先假设存在，通过 建立空间直角坐标系，将问题转化为向量问题来解决.
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解33---空间向量与空间角
高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第33讲 空间向量与空间角[考情分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等．考点一 异面直线所成的角核心提炼设异面直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，异面直线l 与m 的夹角为θ. 则(1)θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2； (2)cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝⎪⎪⎪⎪a ·b |a ||b | ＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22. 例1 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 答案 D解析 方法一 如图，连接C 1P ，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，且P 为B 1D 1的中点，所以C 1P ⊥B 1D 1，又C 1P ⊥BB 1， B 1D 1∩BB 1＝B 1， 所以C 1P ⊥平面B 1BP .又BP ⊂平面B 1BP ，所以C 1P ⊥BP . 连接BC 1，则AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1为直线PB 与AD 1所成的角． 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2， 则在Rt △C 1PB 中，C 1P ＝12B 1D 1＝2，BC 1＝22，sin ∠PBC 1＝PC 1BC 1＝12，所以∠PBC 1＝π6.方法二 以B 1为坐标原点，B 1C 1，B 1A 1，B 1B 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则B (0,0,2)，P (1,1,0)，D 1(2,2,0)，A (0,2,2)，PB →＝(－1，－1,2)，AD 1--→＝(2,0，－2)．设直线PB 与AD 1所成的角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·AD 1--→|PB →||AD 1--→|＝|－6|6×8＝32.因为θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以θ＝π6.方法三 如图所示，连接BC 1，A 1B ，A 1P ，PC 1，则易知AD 1∥BC 1，所以直线PB 与AD 1所成的角等于直线PB 与BC 1所成的角．根据P 为正方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1的中点，易知A 1，P ，C 1三点共线，且P 为A 1C 1的中点．易知A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以△A 1BC 1为等边三角形，所以∠A 1BC 1＝π3，又P 为A 1C 1的中点，所以可得∠PBC 1＝12∠A 1BC 1＝π6.(2)(2022·河南名校联盟联考)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA 1，BB 1，CC 1，DD 1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB 1与CD 1所成角的余弦值为( )A.45B.35C.34D.23 答案 A解析 设上底面圆心为O 1，下底面圆心为O ，连接OO 1，OC ，OB ，O 1C 1，O 1B 1， 以O 为原点，分别以OC ，OB ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则C (1,0,0)，A (0,2,0)， B 1(0,1,2)，D 1(2,0,2)， 则CD 1--→＝(1,0,2)， AB 1--→＝(0，－1,2)，cos 〈CD 1--→，AB 1--→〉＝CD 1--→·AB 1--→||CD 1--→||AB 1--→＝45×5＝45，又异面直线所成角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以异面直线AB 1与CD 1所成角的余弦值为45.规律方法 平移线段法求异面直线所成角的步骤(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角． (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角． (3)计算：求该角的值(常利用解三角形)．(4)取舍：由异面直线所成的角的范围确定两条异面直线所成的角．跟踪演练1 (1)(2022·南宁模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为平面AA 1B 1B 的中心，O 1为平面A 1B 1C 1D 1的中心．若E 为CD 中点，则异面直线AE 与OO 1所成角的余弦值为( ) A.255 B.105C.510D.55答案 B解析 设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A (2,0,0)，E (0,1,0)， O (2,1,1)，O 1(1,1,2)， AE --→＝(－2,1,0)， OO 1--→＝(－1,0,1)，设异面直线AE 与OO 1所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE --→·OO 1--→||AE --→||OO 1--→＝25×2＝105.则异面直线AE 与OO 1所成角的余弦值为105. (2)(2022·广东联考)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝CA ＝CB ＝5，AB ＝PC ＝2，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点，则异面直线PD ，BE 所成角的余弦值为( )A.1112B.2324C.34D.56 答案 B解析 如图，连接CD ，取CD 的中点F ，连接EF ，BF ，则EF ∥PD ，∠BEF 为异面直线PD ，BE 所成的角．由题意可知PD ＝CD ＝BE ＝26，EF ＝6，BF ＝()62＋12＝7，所以cos ∠BEF ＝24＋6－72×26×6＝2324.考点二 直线与平面所成的角核心提炼设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ， 则(1)θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；(2)sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.例2(2022·全国甲卷)在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝1，AB ＝2，DP ＝ 3.(1)证明：BD ⊥P A ；(2)求PD 与平面P AB 所成角的正弦值．(1)证明 在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图．因为CD ∥AB ，AD ＝CD ＝CB ＝1， AB ＝2，所以四边形ABCD 为等腰梯形， 所以AE ＝BF ＝12，故DE ＝32， BD ＝DE 2＋BE 2＝3， 所以AD 2＋BD 2＝AB 2， 所以AD ⊥BD .因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BD ，又PD ∩AD ＝D ，PD ，AD ⊂平面P AD ， 所以BD ⊥平面P AD . 又因为P A ⊂平面P AD ， 所以BD ⊥P A .(2)解 由(1)知，DA ，DB ，DP 两两垂直，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系， 则D (0,0,0)，A (1,0,0)， B (0，3，0)，P (0,0，3)， 则AP →＝(－1,0，3)， BP →＝(0，－3，3)， DP →＝(0,0，3)．设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－3y ＋3z ＝0，可取n ＝(3，1,1)， 则cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝55，所以PD 与平面P AB 所成角的正弦值为55. 易错提醒 (1)线面角θ与直线的方向向量a 和平面的法向量n 所成的角〈a ，n 〉的关系是〈a ，n 〉＋θ＝π2或〈a ，n 〉－θ＝π2，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．跟踪演练2 (2022·龙岩质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，P A ＝PD ＝PB ，BC ＝DC ＝12AD ＝2，E 为AD 的中点，且PE ＝4.(1)求证：PE ⊥平面ABCD ；(2)记PE 的中点为N ，若M 在线段BC 上，且直线MN 与平面P AB 所成角的正弦值为39，求线段BM 的长度． (1)证明 连接BE ，∵BC ＝12AD ＝DE ＝2，AD ∥BC ，∴四边形BCDE 为平行四边形， ∴BE ＝CD ＝2，∵P A ＝PD 且E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD ， ∴PD ＝PE 2＋DE 2＝16＋4＝25， ∴PB ＝PD ＝25，∴PE 2＋BE 2＝PB 2，即PE ⊥BE ，又∵AD ∩BE ＝E ，AD ，BE ⊂平面ABCD ， ∴PE ⊥平面ABCD .(2)解 以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，C (－2,2,0)，P (0,0,4)， ∴AB →＝(－2,2,0)，PB →＝(0,2，－4)， 设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，2y －4z ＝0，故可取n ＝(2,2,1)， 设BM ＝t (t ∈[0,2])，则M (－t ，2,0)，而N (0,0,2)， ∴MN →＝(t ，－2,2)，设直线MN 与平面P AB 所成的角为θ， 则sin θ＝||cos 〈MN →，n 〉＝||MN →·n ||MN →|n | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t －4＋2t 2＋4＋4·9＝39， 化简得11t 2－24t ＋4＝0，解得t ＝2或t ＝211，满足t ∈[0,2]，故线段BM 的长度为2或211.考点三 平面与平面的夹角核心提炼设平面α，β的法向量分别为u ，v ，平面α与平面β的夹角为θ，则(1)θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u ·v ||u ||v |.例3(2022·新高考全国Ⅱ改编)如图，PO 是三棱锥P －ABC 的高，P A ＝PB ，AB ⊥AC ，E 为PB 的中点．(1)证明：OE ∥平面P AC ；(2)若∠ABO ＝∠CBO ＝30°，PO ＝3，P A ＝5，求平面CAE 与平面AEB 夹角的正弦值． (1)证明 如图，取AB 的中点D ，连接DP ，DO ，DE .因为AP ＝PB ，所以PD ⊥AB . 因为PO 为三棱锥P －ABC 的高， 所以PO ⊥平面ABC .因为AB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥AB . 又PO ，PD ⊂平面POD ，且PO ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面POD .因为OD ⊂平面POD ，所以AB ⊥OD ， 又AB ⊥AC ，AB ，OD ，AC ⊂平面ABC ， 所以OD ∥AC .因为OD ⊄平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以OD ∥平面P AC .因为D ，E 分别为BA ，BP 的中点， 所以DE ∥P A .因为DE ⊄平面P AC ，P A ⊂平面P AC ， 所以DE ∥平面P AC .又OD ，DE ⊂平面ODE ，OD ∩DE ＝D ， 所以平面ODE ∥平面P AC .又OE ⊂平面ODE ，所以OE ∥平面P AC . (2)解 连接OA ，因为PO ⊥平面ABC ，OA ， OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥OA ，PO ⊥OB ，所以OA ＝OB ＝P A 2－PO 2＝52－32＝4. 易得在△AOB 中，∠OAB ＝∠ABO ＝30°， 所以OD ＝OA sin 30°＝4×12＝2，AB ＝2AD ＝2OA cos 30°＝2×4×32＝4 3. 又∠ABC ＝∠ABO ＋∠CBO ＝60°， 所以在Rt △ABC 中，AC ＝AB tan 60°＝43×3＝12.以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0,0,0)，B (43，0,0)，C (0,12,0)， P (23，2,3)，E ⎝⎛⎭⎫33，1，32，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫33，1，32，AB →＝(43，0,0)， AC →＝(0,12,0)．设平面CAE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧33x ＋y ＋32z ＝0，12y ＝0，令z ＝23，则n ＝(－1,0,23)．设平面AEB 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧33x 1＋y 1＋32z 1＝0，43x 1＝0，令z 1＝2，则m ＝(0，－3,2)， 设平面CAE 与平面AEB 夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪n ·m |n ||m |＝4313. 所以sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫43132＝1113. 所以平面CAE 与平面AEB 夹角的正弦值为1113.易错提醒 平面与平面的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，两向量夹角的范围是[0，π]，两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补．跟踪演练3 (2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ＝AB ＝AD ＝2，四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC ＝π3，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(1)证明：平面AEF ⊥平面P AD .(2)求平面AEF 与平面AED 夹角的余弦值． (1)证明 连接AC (图略)．因为P A ⊥平面ABCD ， 所以P A ⊥AE ，又因为AB ＝AD ，且四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．又因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ， 又因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ， 因为P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以AE ⊥平面P AD ， 又AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面P AD .(2)解 以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则P (0,0,2)，E (3，0,0)，F ⎝⎛⎭⎫32，12，1，AE →＝(3，0,0)，AF →＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，因为P A ⊥平面AED ，所以n ＝(0,0,1)是平面AED 的一个法向量． 设平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝0，32x ＋12y ＋z ＝0， 令z ＝1，得x ＝0，y ＝－2， 即m ＝(0，－2,1)．设平面AEF 与平面AED 夹角为θ， 则cos θ＝||cos 〈n ，m 〉＝||n ·m ||n ||m ＝15＝55， 所以平面AEF 与平面AED 夹角的余弦值为55. 专题强化练一、单项选择题1．A ，B ，C 三点不共线，对空间内任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面 答案 B解析 方法一因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则OP →－OA →＝－14OA →＋18OB →＋18OC →，即OP →－OA →＝18 OB →－OA →)＋18(OC →－OA →)，即AP →＝18AB →＋18AC →，由空间向量共面定理可知，AP →，AB →，AC →共面， 则P ，A ，B ，C 四点一定共面．方法二 因为34＋18＋18＝1，由空间向量共面定理的推论知，P ，A ，B ，C 四点共面．2．(2022·温州模拟)在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1与底面垂直，上、下底面均为矩形，AB ＝1，AD ＝AA 1＝A 1B 1＝2，则下列各棱中最长的是( ) A ．BB 1B ．B 1C 1 C ．CC 1D ．DD 1 答案 B解析 由四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1可得 AD A 1D 1＝AB A 1B 1＝12， 故A 1D 1＝4.因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 而A 1D 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，故AA 1⊥A 1D 1，AA 1⊥A 1B 1，而A 1D 1⊥A 1B 1，故可建立如图所示的空间直角坐标系．故A 1(0,0,0)，B (0,1,2)，B 1(0,2,0)，C 1(－4,2,0)，C (－2,1,2)，D (－2,0,2)，D 1(－4,0,0)， 故BB 1＝|BB 1--→|＝1＋4＝5，B 1C 1＝|B 1C 1--→|＝4，CC 1＝|CC 1--→|＝4＋1＋4＝3，DD 1＝|DD 1--→|＝8＝22，结合选项知棱B 1C 1最长．3.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AD ，E 为侧棱DD 1上一点，若直线BD 1∥平面AEC ，则二面角E －AC －B 的正切值为( )A.2B ．－ 2 C.22D ．－22答案 B解析 如图，连接BD 交AC 于点F ，连接EF ，B 1D 1，由题意可知，BD 1∥EF ， 因为F 为BD 的中点， 所以E 为DD 1的中点， 又AC ⊥平面BDD 1B 1， BD ，EF ⊂平面BDD 1B 1， 所以EF ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠EFD 为二面角E －AC －D 的平面角， 设AD ＝a ，则ED ＝a ，DF ＝22a ，在Rt △EFD 中，tan ∠EFD ＝EDDF＝2， 又二面角E －AC －B 与二面角E －AC －D 互补， 所以二面角E －AC －B 的正切值为－ 2.4．(2022·菏泽检测)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，A 1在底面ABC 上的射影点D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成角的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 C解析 如图，连接A 1D ，AD ，A 1B ，由CC 1∥AA 1，知∠A 1AB 为异面直线AB 与CC 1所成的角，因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的等边三角形，且侧棱长为3，A 1在底面ABC 上的射影点D 为BC 的中点，可得AD ＝4－1＝3，A 1D ＝9－3＝6， A 1B ＝(6)2＋1＝7， 由余弦定理得cos ∠A 1AB ＝9＋4－72×3×2＝12，因为∠A 1AB ∈⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以∠A 1AB ＝π3，所以异面直线AB 与CC 1所成角的大小为π3.5．(2022·全国甲卷)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知B 1D 与平面ABCD 和平面AA 1B 1B 所成的角均为30°，则( )A ．AB ＝2ADB ．AB 与平面AB 1C 1D 所成的角为30° C ．AC ＝CB 1D ．B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角为45° 答案 D解析 如图，连接BD ，易知∠BDB 1是直线B 1D 与平面ABCD 所成的角，所以在Rt △BDB 1中，∠BDB 1＝30°， 设BB 1＝1， 则B 1D ＝2BB 1＝2， BD ＝B 1D 2－BB 21＝ 3.易知∠AB 1D 是直线B 1D 与平面AA 1B 1B 所成的角， 所以在Rt △ADB 1中，∠AB 1D ＝30°. 因为B 1D ＝2，所以AD ＝12B 1D ＝1，AB 1＝B 1D 2－AD 2＝3，所以在Rt △ABB 1中，AB ＝AB 21－BB 21＝2，所以A 项错误；易知∠BAB 1是直线AB 与平面AB 1C 1D 所成的角， 因为在Rt △ABB 1中，sin ∠BAB 1＝BB 1AB 1＝33≠12，所以∠BAB 1≠30°，所以B 项错误；在Rt △CBB 1中，CB 1＝BC 2＋BB 21＝2，而AC ＝AB 2＋BC 2＝3，所以C 项错误；易知∠DB 1C 是直线B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角，因为在Rt △DB 1C 中，CB 1＝CD ＝2， 所以∠DB 1C ＝45°，所以D 项正确．6．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量a 与b ，规定：①a ×b 为同时与a ，b 垂直的向量；②a ，b ，a ×b 三个向量构成右手直角坐标系(如图1)；③||a ×b ＝||a ||b sin 〈a ，b 〉；④若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ×b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1，z 1y 2，z 2，－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1，z 1x 2，z 2，＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1，y 1x 2，y 2，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc .如图2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，则下列结论正确的是( )A ．|AB →×AD →|＝|AA 1--→| B.AB →×AD →＝AD →×AB →C ．(AB →－AD →)×AA 1--→＝AB →×AA 1--→－AD →×AA 1--→D ．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝(AB →×AD →)·C 1C --→答案 C解析 如图，建立空间直角坐标系， 则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)， A 1(2,0,3)，C 1(0,2,3)，AB →＝(0,2,0)，AD →＝(－2,0,0)，AA 1--→＝(0,0,3)， 则AB →×AD →＝(0,0,4)，所以选项A 错误； AD →×AB →＝(0,0，－4)，故选项B 错误； AB →－AD →＝DB →＝(2,2,0)， 则(AB →－AD →)×AA 1--→＝(6，－6,0)， AB →×AA 1--→＝(6,0,0)，AD →×AA 1--→＝(0,6,0)， 则AB →×AA 1--→－AD →×AA 1--→＝(6，－6,0)．所以(AB →－AD →)×AA 1--→＝AB →×AA 1--→－AD →×AA 1--→，故选项C 正确； C 1C --→＝(0,0，－3)，则(AB →×AD →)·C 1C --→＝－12，故选项D 错误．二、多项选择题7．(2022·山东联考)若{}a ，b ，c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( ) A ．a ＋b ＋c ，a －b ，2b ＋c B ．a －b ，a －c ，b －c C ．a ＋2b ，a －2b ，a ＋c D ．a －2b ，6b －3a ，－c 答案 ABD 解析 选项A ，因为a ＋b ＋c ＝(a －b )＋(2b ＋c )， 所以a ＋b ＋c ，a －b ，2b ＋c 共面； 选项B ，因为a －b ＝(a －c )－(b －c )， 所以a －b ，a －c ，b －c 共面；选项C ，a ＋2b ，a －2b 在a ，b 构成的平面内且不共线，a ＋c 不在这个平面内，不符合题意；选项D ，因为a －2b ，6b －3a 共线， 所以a －2b ，6b －3a ，－c 共面．8．(2022·广州模拟)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝4，则下列命题为真命题的是( )A ．若直线AC 1与直线CD 所成的角为φ，则tan φ＝52B ．若经过点A 的直线l 与长方体所有棱所成的角相等，且l 与平面BCC 1B 1交于点M ，则AM ＝29 C ．若经过点A 的直线m 与长方体所有面所成的角都为θ，则sin θ＝33D ．若经过点A 的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则sin μ＝63答案 ACD解析 对于A ，如图，直线AC 1与直线CD 所成的角，即为直线AC 1与直线AB 所成的角即∠BAC 1， 则tan φ＝tan ∠BAC 1＝BC 1AB ＝52，正确；对于B ，构建如图所示的空间直角坐标系，过A 的直线l 与长方体所有棱所成的角相等，与平面BCC 1B 1交于M (x ，2，z )且x ，z >0， 则AM →＝(x ，2，z )， 又AA 1--→＝(0,0,3)， AB →＝(0,2,0)， AD →＝(4,0,0)， 则cos 〈AA 1--→，AM →〉＝zx 2＋4＋z 2＝cos 〈AB →，AM →〉＝2x 2＋4＋z 2＝cos 〈AD →，AM →〉＝xx 2＋4＋z 2，故x ＝z ＝2，则AM ＝23，错误；对于C ，如图，过A 的直线m 与长方体所有面所成的角都为θ，则直线m 为以4为棱长的正方体的体对角线AP ，故sin θ＝33，正确；对于D ，如图，过A 的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，只需平面β与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如平面EDF ，故cos μ＝33，则sin μ＝63，正确．三、填空题9．在空间直角坐标系中，设点M 是点N (2，－3,5)关于坐标平面Oxy 的对称点，点P (1,2,3)关于x 轴的对称点为Q ，则线段MQ 的长度等于________． 答案 6解析 因为点M 是点N (2，－3,5)关于坐标平面Oxy 的对称点，所以M (2，－3，－5)， 又因为点P (1,2,3)关于x 轴的对称点为Q ，所以Q (1，－2，－3)．因此|MQ |＝|MQ →|＝(1－2)2＋[(－2)－(－3)]2＋[(－3)－(－5)]2＝ 6.10.如图，矩形ABCD 是圆柱O 1O 2的轴截面，AB ＝2，AD ＝3，点E 在上底面圆周上，且EC ︵＝2DE ︵，则异面直线AE 与O 2C 所成角的余弦值为________．答案1920解析 以O 2为坐标原点，O 2B ，O 2O 1所在直线分别为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O 2(0,0,0)，A (0，－1,0)，C (0,1,3)，E ⎝⎛⎭⎫32，－12，3，故AE →＝⎝⎛⎭⎫32，12，3，O 2C --→＝(0,1,3)，故cos 〈AE →，O 2C --→〉＝AE →·O 2C --→|AE →||O 2C --→|＝12＋934＋14＋9×1＋9＝1920， 故异面直线AE 与O 2C 所成角的余弦值为1920.11.如图，在二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB ＝1，AC ＝2，BD ＝3，CD ＝22，则这个二面角的大小为________．答案 60°解析 设这个二面角的大小为α， 由题意得CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2|CA →|·|BD →|cos(π－α)， ∴(22)2＝4＋1＋9－2×2×3×cos α， 解得cos α＝12，∴α＝60°，∴这个二面角的大小为60°.12．(2022·南通模拟)已知正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，P 是正六棱柱内(不含表面)的一点，则AP →·AB →的取值范围是________． 答案⎝⎛⎭⎫－12，32 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝AF ＝1， 由正六边形的性质可得， A (0,0,0)，B (1,0,0)， F ⎝⎛⎭⎫－12，32，0， C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，设P (x ，y ，z )，其中－12<x <32，所以AB →＝(1,0,0)，AP →＝(x ，y ，z )， 所以AB →·AP →＝x ，所以AB →·AP →的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，32. 四、解答题13.(2022·莆田质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，F 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AFC ；(2)请从下面三个条件中任选一个，补充在横线上，并作答． ①∠ABC ＝π3；②BD ＝3AC ；③PC 与平面ABCD 所成的角为π4.若P A ⊥平面ABCD ，AB ＝AP ＝2，且________，求平面ACF 与平面ACD 夹角的余弦值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)证明 连接BD 交AC 于点O ，因为ABCD 是菱形，所以O 为BD 的中点．连接OF .因为F 为PD 的中点，所以OF 为△PBD 的中位线，所以OF ∥PB .因为OF ⊂平面AFC ，PB ⊄平面AFC ， 所以PB ∥平面AFC . (2)解 过O 作Oz ∥AP .以O 为原点，OB →，OC →，Oz →为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 选条件①：∠ABC ＝π3.在菱形ABCD 中， AC ⊥BD .因为AB ＝AP ＝2，所以OB ＝OD ＝2×sin π3＝3，OA ＝OC ＝2×cos π3＝1.所以O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)， C (0,1,0)，D (－3，0,0)，P (0，－1,2)， F ⎝⎛⎭⎫－32，－12，1. 所以AF →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，AC →＝(0,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACF 的一个法向量， 则⎩⎨⎧n ·AC →＝0＋2y ＋0＝0，n ·AF →＝－32x ＋12y ＋z ＝0，不妨令x ＝2，则n ＝(2,0，3)．显然m ＝(0,0,1)为平面ACD 的一个法向量． 设平面ACF 与平面ACD 的夹角为θ， 所以cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝|0＋0＋3|4＋0＋3×0＋0＋1＝217.所以平面ACF 与平面ACD 夹角的余弦值为217. 选条件②：BD ＝3AC .在菱形ABCD 中，BD ＝3AC ，所以OB ＝3OC ， 所以BC ＝OB 2＋OC 2＝2OC . 因为AB ＝AP ＝2，所以OB ＝OD ＝3，OA ＝OC ＝1. 所以O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)， C (0,1,0)，D (－3，0,0)，P (0，－1,2)， F ⎝⎛⎭⎫－32，－12，1. 所以AF →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，AC →＝(0,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACF 的一个法向量， 则⎩⎨⎧n ·AC →＝0＋2y ＋0＝0，n ·AF →＝－32x ＋12y ＋z ＝0，不妨令x ＝2，则n ＝(2,0，3)．显然m ＝(0,0,1)为平面ACD 的一个法向量． 设平面ACF 与平面ACD 的夹角为θ， 所以cos θ＝||cos 〈n ，m 〉＝||n ·m ||n ||m ＝|0＋0＋3|4＋0＋3×0＋0＋1＝217.所以平面ACF 与平面ACD 夹角的余弦值为217. 选条件③：PC 与平面ABCD 所成的角为π4.因为P A ⊥平面ABCD ，所以∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成的角，即∠PCA ＝π4.在Rt △P AC 中，由∠PCA ＝π4，可得P A ＝CA ＝2.所以OB ＝OD ＝3，OA ＝OC ＝1. 所以O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)， C (0,1,0)，D (－3，0,0)，P (0，－1,2)， F ⎝⎛⎭⎫－32，－12，1. 所以AF →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，AC →＝(0,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACF 的一个法向量， 则⎩⎨⎧n ·AC →＝0＋2y ＋0＝0，n ·AF →＝－32x ＋12y ＋z ＝0，不妨令x ＝2，则n ＝(2,0，3)．显然m ＝(0,0,1)为平面ACD 的一个法向量． 设平面ACF 与平面ACD 的夹角为θ， 所以cos θ＝||cos 〈n ，m 〉＝|n ·m ||n ||m |＝|0＋0＋3|4＋0＋3×0＋0＋1＝217.所以平面ACF 与平面ACD 夹角的余弦值为217. 14.(2022·湖北联考)如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝1，BC ＝1，CD ＝2，点A 在平面PCD 内的射影恰好是△PCD 的重心G .(1)求证：平面P AB ⊥平面PBC ；(2)求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值．(1)证明 因为P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BC ， 因为∠ABC ＝90°，所以BC ⊥AB ， 又P A ∩AB ＝A ，P A ⊂平面P AB ， AB ⊂平面P AB ， 所以BC ⊥平面P AB ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面P AB ⊥平面PBC . (2)解 取CD 的中点E ，连接AE ，因为∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝BC ＝1，CD ＝2， 所以四边形ABCE 是矩形， 所以AB ⊥AE ，因为P A ⊥平面ABCD ，AB ，AE ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE ，所以AB ，AE ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，E (0,1,0)， D (－1,1,0)，设P (0,0，t )(t >0)， 则G ⎝⎛⎭⎫0，23，t 3，AG →＝⎝⎛⎭⎫0，23，t 3，DG →＝⎝⎛⎭⎫1，－13，t 3， 因为点A 在平面PCD 内的射影恰好是△PCD 的重心G ，所以AG ⊥平面PCD ， 又DG ⊂平面PCD ，所以DG ⊥AG ， 所以DG →·AG →＝0，所以0－29＋t 29＝0，t ＝2，则P (0,0，2)，BC →＝(0,1,0)，PB →＝(1,0，－2)， 设m ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧BC →·m ＝0，PB →·m ＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，x －2z ＝0，不妨令x ＝2，即m ＝(2，0,1)， DG 的方向向量是DG →＝⎝⎛⎭⎫1，－13，23，设直线DG 与平面PBC 所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈m ，DG →〉|＝|m ·DG →||m ||DG →|＝4233×129＝223.故直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值为223.。
空间角专题复习教案
空间角专题复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解空间角的定义及性质；（2）掌握空间角的计算方法；（3）能够运用空间角解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察模型，培养学生的空间想象能力；（2）运用练习题，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对空间角的兴趣，培养学生的探索精神。
二、教学内容1. 空间角的定义及性质（1）空间角的定义；（2）空间角的性质。
2. 空间角的计算方法（1）利用空间向量计算空间角；（2）利用三角函数计算空间角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间角的定义及性质；（2）空间角的计算方法。
2. 教学难点：（1）空间角的性质的应用；（2）空间角的计算方法的灵活运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的性质和计算方法；2. 利用模型演示，培养学生的空间想象能力；3. 运用练习题，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过展示空间模型，引导学生回顾空间几何的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：（1）讲解空间角的定义及性质；（2）讲解空间角的计算方法。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固知识。
4. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的探索精神。
5. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固空间角的知识。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题评价：通过学生完成的练习题，评估学生对空间角知识的理解和运用能力。
3. 课后作业评价：通过学生提交的课后作业，检查学生对课堂所学知识的巩固情况。
七、教学资源1. 空间模型：用于展示空间角，帮助学生直观理解；2. 练习题：提供多种难度的练习题，满足不同学生的学习需求；3. 教学课件：展示教学内容，方便学生复习。
八、教学进度安排1. 第一课时：介绍空间角的定义及性质；2. 第二课时：讲解空间角的计算方法；3. 第三课时：进行课堂练习，巩固知识；4. 第四课时：总结与拓展，布置课后作业。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间角专题复习
●知识梳理
一、异面直线所成的角及求法
(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的________所成的_____________称为两异面直线所成的角．
(2)取值范围：若θ是异面直线a 和b 所成的角，则其取值范围是________，当θ＝π
2时，称异面直线a 和b ________，记为________.
(3)求法：________:将两异面直线中的一条或两条_____至某特殊点后，构造________，通过解该三角形而求其大小；
二、直线与平面所成的角及求法
(1)定义：设l 和α分别表示直线与平面．①若l ∥α或l ⊂α，则称直线l 和平面α所成的角为____；②若l ⊥α，则称l 与α所成的角为____；③若l 与α相交，则l 与l 在α内的______所成的________为直线l 与平面α所成的角．
(2)取值范围：设θ是直线l 与平面α所成的角，则θ的取值范围是__________． (3)求法：最常见又重要的方法是定义法：即探寻直线l 在平面α内的_____，(通常由垂直法找射影)构造直线l 与平面α所成角对应的_________，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．
三、二面角及求法
(1)定义：在二面角的棱上_______，分别在二面角的两个面内作棱的_____，则这_________所成的角称为该二面角的_______，且用二面角的平面角的大小作为该______的大小．
(2)取值范围：规定二面角的取值范围为_________．
(3)求法：最常见又重要的方法是定义法：即分别在二面角的两个面内作棱的_________，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角
●练习提升
1．设直线与平面所成角的大小范围为集合P ，二面角的平面角大小范围为集合Q ，异面直线所成角的大小范围为集合R ，则P 、Q 、R 的关系为( )
A ．R ＝P ⊆Q
B ．R ⊆P ⊆Q
C ．P ⊆R ⊆Q
D ．R ⊆P ＝Q
2．如图，E 、F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为 ( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3. 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成的角的正弦值为( )
A.32
B.52
C.105
D.1010
4.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B －AC －D 的余弦值为 ( )
A.13
B.1
2 C.22
3 D.32
5．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AD ，则平面P AB 与平面PCD 所成的二面角的度数为( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
6．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：
①AC ⊥BD ；②△ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60°角；④AB 与平面BCD 成60°角．则其中正确结论的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 过顶点B 、D 、C 1作截面，
则二面角B －DC 1－C 的平面角的余弦值是________．
8.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=2。
AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。
（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；
（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。
9. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD
的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3. (1) 证明：平面PBE⊥平面P AB；(2) 求二面角A—BE—P的大小．
10.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝1，AB＝2，E、F分别是AB、PD的中点．
(1)求证：AF∥平面PEC；
(2)求PC与平面ABCD所成的角的正切值；
(3)求二面角P－EC－D的正切值．。