空间角专题复习

空间角专题复习

●知识梳理

一、异面直线所成的角及求法

(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的________所成的_____________称为两异面直线所成的角．

(2)取值范围：若θ是异面直线a 和b 所成的角，则其取值范围是________，当θ＝π

2时，称异面直线a 和b ________，记为________.

(3)求法：________:将两异面直线中的一条或两条_____至某特殊点后，构造________，通过解该三角形而求其大小；

二、直线与平面所成的角及求法

(1)定义：设l 和α分别表示直线与平面．①若l ∥α或l ⊂α，则称直线l 和平面α所成的角为____；②若l ⊥α，则称l 与α所成的角为____；③若l 与α相交，则l 与l 在α内的______所成的________为直线l 与平面α所成的角．

(2)取值范围：设θ是直线l 与平面α所成的角，则θ的取值范围是__________． (3)求法：最常见又重要的方法是定义法：即探寻直线l 在平面α内的_____，(通常由垂直法找射影)构造直线l 与平面α所成角对应的_________，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．

三、二面角及求法

(1)定义：在二面角的棱上_______，分别在二面角的两个面内作棱的_____，则这_________所成的角称为该二面角的_______，且用二面角的平面角的大小作为该______的大小．

(2)取值范围：规定二面角的取值范围为_________．

(3)求法：最常见又重要的方法是定义法：即分别在二面角的两个面内作棱的_________，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角

●练习提升

1．设直线与平面所成角的大小范围为集合P ，二面角的平面角大小范围为集合Q ，异面直线所成角的大小范围为集合R ，则P 、Q 、R 的关系为( )

A ．R ＝P ⊆Q

B ．R ⊆P ⊆Q

C ．P ⊆R ⊆Q

D ．R ⊆P ＝Q

2．如图，E 、F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为 ( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

3. 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成的角的正弦值为( )

A.32

B.52

C.105

D.1010

4.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B －AC －D 的余弦值为 ( )

A.13

B.1

2 C.22

3 D.32

5．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AD ，则平面P AB 与平面PCD 所成的二面角的度数为( )

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

6．把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论：

①AC ⊥BD ；②△ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60°角；④AB 与平面BCD 成60°角．则其中正确结论的个数是( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

7．如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 过顶点B 、D 、C 1作截面，

则二面角B －DC 1－C 的平面角的余弦值是________．

8.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=2。

AD=2，BC=4,AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。

（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；

（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。

9. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD

的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3. (1) 证明：平面PBE⊥平面P AB；(2) 求二面角A—BE—P的大小．

10.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝1，AB＝2，E、F分别是AB、PD的中点．

(1)求证：AF∥平面PEC；

(2)求PC与平面ABCD所成的角的正切值；

(3)求二面角P－EC－D的正切值．