函数图象平移问题的解法

二次函数图像平移的一般解法

二次函数图象平移常见的方法是，将抛物线解析式通过配方写成顶点形式的表达式，根据在平移过程中顶点位置的变化，写出新抛物线的顶点坐标，从而确定出它的解析表达式．解题的困难在于需要较强的直观想象能力和快速画框架图能力和逆向逆向思维能力。而利用相对运动的知识，则可以得到一个解此类问题的十分简单明了的方法。.

1．平移规律

设在直角坐标系xoy中有一抛物线y＝f（x）,现将此抛物线向右平移（x轴的正方向）m（m＞0）个单位，再向上平移（y轴的正方向）n（n＞0）个单位。按照相对运动的观点，可以视抛抛物线未动,而将坐标系向相反方向平移，即y 轴向左平移m个单位，x轴向下平移n个单位，这样得到的新坐标系我们记为x′o′y′，（如图）为了叙述的方便我们将坐标系xoy下的点记为（x , y）, 新坐标系x′o′y′下的点记为（x′,y′），于是有

将这一关系式变形,可得

用新坐标（x′,y′）表示旧坐标（x , y）的表达式：

将此式代入抛物线的解析式y＝f（x）,得

y′－n＝f（x′－m）

这个式子就是抛物线在新坐系下x′o′y′中的的解析式。

考虑到题目中是要求将抛物线平移的，因而仍需将点（x′,y′）换成（x , y），于是我们就得到了平移之后的抛物线的解析式为y－n＝f（x－m）这样就可以得到一个规律：要获得把抛物线y＝f（x）向右平移m个单位，再向上平移n个单位所得的新抛物线解析式，只需将原抛物线的解析式y＝f（x）中的x, y分别用x－m, y－n替换即可．

类似地,可得：

把抛物线y＝f（x）向右平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新抛物线解析式为y＋n＝f（x－m）

把抛物线y＝f（x）向左平移m个单位，再向上平移n个单位所得的新抛物线解析式为y－n＝f（x＋m）

把抛物线y＝f（x）向左平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新抛物线解析式为y＋n＝f（x＋m）

这些规律又可总结为左右平移“x右减左加”，上下平移“y上减下加”

说明：利用这一规律写平移后的函数图象的解析式只需要考查是用x＋m 还是x－m 替换y＝f（x）中x，是用y＋n还是y－n替换y＝f（x）中y,使用起来很方便，此法也适用于直线等函数图象的平移。

２．解题举例

例1抛物线y＝－2x2－4x－3向左平移3个单位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式．

解：由于抛物线向左移平移3个单位，再向下移4个单位，根据“x右减左加，y上减下加”的规律，分别用x＋3,y＋4去替换y＝－2x2－4x－3中的x,y 就可以得平移后的抛物线的解析式，所以平移后的抛物线的解析式为y＋4＝－2（x＋3）2－4（x＋3）－3

即y＝－2x2－16x－34

例2 将一抛抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得的抛物线的解析式为y＝x2－2x＋3,求此抛物线的解析式．

解：所求抛物线可看作是将抛物线y＝x2－2x＋3向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得。根据“x右减左加，y上减下加”的规律，分别用x－2，y＋3去替换y＝x2－2x＋3中的x,y就可以得平移后的抛物线的解析式，所以，此抛物线的解析式为y＋3＝（x－2）2－4（x－2）＋3 即y＝x2－8x＋9

例3、求将直线y＝5x－1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后所得的直线的解析式．

解：由于直线y＝5x－1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，根据“x右减左加，y上减下加”可知用x＋3，y＋2分别替换y＝5x－1中的x，y 可得所求抛物线的解析式．因此，所求抛物线的解析式为y＋2＝5（x＋3）即y ＝5x＋13

例4、已知两条抛物线：

C1：y＝x2－2x＋5 C2：y＝x2－4x＋7

问抛物线C1经过怎样的平移后与抛物线C2重合？

解：设用x＋m，y＋n分别替换C1中的x，y得抛物线C2，于是C2的解析式又可表示为

y＋n＝（x＋m）2－2（x＋m）＋5

即y＝x2＋（2m－2）x＋m2－2m－n＋5

比较系数，得

2m－2＝－4

m2－2m－n＋5＝7

解之，得m＝－1 n＝1

由此可知，用x－1，y＋1分别替换C1中的x，y就可得抛物线C2的解析式，根据“x右减左加，y上减下加”可知抛物线C1先向右平移1个单位，再向下平移1个单位后能与抛物线C2重合．

例5 已知把直线y＝－3x＋2平移后经过点A（－4，2），求平移后得到的直线的解析式，并说明是向左还是向右平移几个单位得到的．

解：设用x＋m替换直线y＝－3x＋2中的x后得到的直线为y＝－3（x＋m）＋2即y＝－3x－3m＋2。又平移后的直线经过A（－4，2），于是有

－3×（－4）－3m＋2＝2,

解之，得m＝4。

因此平移后得到的直线的解析式为y＝－3x－10，它是将直线y＝－3x＋2向左平移4个单位得到的。.