高考数学平面向量的数量积讲义

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【课时讲义】6.2.4 向量的数量积第1课时导学案及课时讲义必修第二册第六章平面向量及其应用

6．2.4 向量的数量积导学案及课时讲义第1课时向量数量积的定义及性质知识点一向量夹角的概念1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．2．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB →|＝3，|CB →|＝1，则AC →与CB →的夹角θ＝________.知识点二平面向量数量积的定义3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 4．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且AB ＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．2 D.532知识点三投影向量5.已知等边三角形ABC 的边长为2，则向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为( )A ．－12CA →B.12CA → C ．2AC →D ．2CA →6．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，记向量a 在向量b 方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )A ．4B ．3C ．2D ．17．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 与e 的夹角为2π3，则e 在a 方向上的投影向量的模为________．知识点四平面向量数量积的性质 8.给出以下结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．若|a |＝1，|b |＝2，则|a ·b |的值不可能是( ) A ．0 B.12C ．2D ．310．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，求PA →·(PB →＋PC →)的值．知识点五平面向量数量积的应用11.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 312．已知|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝( ) A.π6 B.2π3 C.3π4 D.5π613．已知a ，b 是两个非零向量，若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角．14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量b 与c 的夹角为________．易错分析本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B 即为向量b 与c 的夹角．一、选择题1．已知|a |＝4，|b |＝2，当a ，b 的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．82．向量a 的模为10，它与向量b 的夹角为150°，则它在b 方向上的投影向量的模为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 33．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 5．(多选)已知等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且S △ABC ＝1，则下列结论正确的是( )A.AC →·BC →＝0B.AB →·AC →＝2 C.AB →·BC →＝2 D ．|AB →|cos B ＝|BC →| 二、填空题6．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________.7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影向量的模长为2，则|a |＝________.8. 如图所示，已知圆O 为△ABC 的外接圆，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝________.三、解答题9．(1)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b ；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →. 10. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．6．2.4 向量的数量积第1课时向量数量积的定义及性质解析版知识点一向量夹角的概念1.已知|a |＝|b |＝3，且a 与b 的夹角为80°，则a ＋b 与a －b 的夹角是________．答案 90°解析如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则四边形OACB 为菱形．∵OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，OC →⊥BA →，∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.2．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB →|＝3，|CB →|＝1，则AC →与CB →的夹角θ＝________.答案 120°解析在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，CB ＝1，所以tan ∠ACB ＝ABCB ＝3，所以∠ACB ＝60°，即CB →与CA →的夹角为60°，所以AC →与CB →的夹角为120°.知识点二平面向量数量积的定义3.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32 D ．2 答案 A解析 a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1×1×12＝12.4．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且AB ＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．2 D.532答案 A解析因为AB ＝5，所以三角形ABC 为等边三角形，所以AC →·CB →＝|AC →||CB →|cos120°＝5×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52.知识点三投影向量5.已知等边三角形ABC 的边长为2，则向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为( )A ．－12CA →B.12CA →C ．2AC →D ．2CA →答案 A解析在等边三角形ABC 中，∵∠A ＝60°，∴向量AB →在向量AC →方向上的投影向量为12AC →，∴向量AB →在向量CA →方向上的投影向量为－12CA →.故选A.6．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，记向量a 在向量b 方向上的投影向量为γ，则|γ|＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析设向量a 与向量b 的夹角为θ，与b 方向相同的单位向量为e ，则a 在b 方向上的投影向量γ＝|a |cos θ·e ，则|γ|＝||a |cos θ|＝|2×cos120°|＝1，故选D.7．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 与e 的夹角为2π3，则e 在a 方向上的投影向量的模为________．答案12解析 ∵a 与e 的夹角θ＝2π3，∴e 在a 方向上的投影向量的模为||e |cos θ|＝12. 知识点四平面向量数量积的性质 8.给出以下结论：①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑤|a ·b |≤a ·b .其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③显然正确；(a ·b )c 与c 共线，而a (b ·c )与a 共线，故④错误；|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，a·b ＝|a ||b |cos θ，有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．9．若|a |＝1，|b |＝2，则|a ·b |的值不可能是( ) A ．0 B.12 C ．2 D ．3答案 D解析由向量内积性质知|a ·b |≤|a ||b |＝2.故选D.10．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，求PA →·(PB →＋PC →)的值．解如图，由AM ＝3，且AP →＝2PM →，可知|AP →|＝2. ∵M 为BC 的中点， ∴PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·AP → ＝－PA →2＝－|PA →|2＝－4.知识点五平面向量数量积的应用11.已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 与b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3 答案 C解析 a ·b ＝|a ||b |cos135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 12．已知|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，则〈a ，b 〉＝( ) A.π6 B.2π3 C.3π4 D.5π6 答案 D解析因为|a |＝2，|b |＝3，且a·b ＝－3，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝－32.又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝5π6. 13．已知a ，b 是两个非零向量，若|a |＝3，|b |＝4，|a ·b |＝6，求a 与b 的夹角．解 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝6. 又|a |＝3，|b |＝4，∴|cos 〈a ，b 〉|＝6|a ||b |＝63×4＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.课时易错点易错点求夹角时忽略向量的方向致误14．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量b 与c 的夹角为________．易错分析本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B 即为向量b 与c 的夹角．答案 150°正解由题意画出图形，如图，因为a ，b 的夹角为120°，所以∠CAB ＝60°，又|b |＝2|a |，所以∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝30°，则b 与c 的夹角为150°.一、选择题1．已知|a |＝4，|b |＝2，当a ，b 的夹角为π3时，a ·b ＝( )A ．4 3B ．4C ．8 3D ．8 答案 B解析根据向量数量积的定义得a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×2×cos π3＝4.2．向量a 的模为10，它与向量b 的夹角为150°，则它在b 方向上的投影向量的模为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 3 答案 D解析 a 在b 方向上的投影向量的模为||a |cos150°|＝5 3.3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形答案 B解析由AB →＝DC →得四边形ABCD 中一组对边平行且相等，由AC →·BD →＝0得两条对角线互相垂直，所以四边形ABCD 为菱形．4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 答案 B解析设a 与b 的夹角为θ，由题意可得，Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∵|a |＝2|b |，∴cos θ≤12，又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B.5．(多选)已知等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且S △ABC ＝1，则下列结论正确的是( )A.AC →·BC →＝0 B.AB →·AC →＝2 C.AB →·BC →＝2 D ．|AB →|cos B ＝|BC →| 答案 ABD解析在等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，面积为1，则12AC 2＝1，得AC ＝2，得AB ＝2，所以AC →·BC →＝0，A 正确；AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos45°＝2，B 正确；AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos135°＝－2，C 不正确；向量BA →在BC →上投影的数量为|BC →|，即|AB →|·cos B ＝|BC →|，D 正确．故选ABD.二、填空题6．若|a |＝2，b ＝－2a ，则a ·b ＝________. 答案－8解析 |b |＝2|a |＝4，且b 与a 反向，∴〈a ，b 〉＝180°. ∴a ·b ＝|a |·|b |cos180°＝2×4×(－1)＝－8.7．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影向量的模长为2，则|a |＝________.答案 4解析因为||a |cos 120°|＝2，所以12|a |＝2，所以|a |＝4.8. 如图所示，已知圆O 为△ABC 的外接圆，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8，则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝________.答案－1492解析 OA →·AB →＝|OA →||AB →|cos(180°－∠BAO )，∵|OA →|cos(180°－∠BAO )＝－|OA →|cos ∠BAO ＝－12|AB →|，∴OA →·AB →＝－12·|AB →|2，同理，OB →·BC →＝－12|BC →|2，OC →·CA →＝－12|CA →|2，∴OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝－12×(62＋72＋82)＝－1492. 三、解答题9．(1)已知|a |＝3，|b |＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b ；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →.解 (1)①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝|a ||b |cos0°＝3×6×1＝18.若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos180°＝3×6×(－1)＝－18.②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°，∴a ·b ＝0.③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos60°＝3×6×12＝9. (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，故BC ＝3，且cos ∠ABC ＝35， AB →与BC →的夹角θ＝180°－∠ABC ，∴AB →·BC →＝－|AB →||BC →|cos ∠ABC ＝－5×3×35＝－9. 10. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP →＝xOA →＋yOB →.(1)若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．解 (1)若AP →＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →，故x ＝y ＝12. (2)因为|OA →|＝4，|OB →|＝2，∠BOA ＝60°，所以∠OBA ＝90°，所以|AB →|＝2 3.又因为AP →＝3PB →，所以|PB →|＝32. 所以|OP →|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝192，cos ∠OPB ＝5719，所以OP →与AB →的夹角θ的余弦值为－5719. 所以OP →·AB →＝|OP →||AB →|cos θ＝－3.。

高中数学课件平面向量的数量积(2)

解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1：已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.

第五章 §5.3 平面向量的数量积-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§5.3平面向量的数量积课标要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe .4．向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件a ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b|≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0.(2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π.3．向量a 在向量b 上的投影向量为a ·b |b |·b|b |.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.(×)(2)若a ，b 共线，则a ·b ＝|a |·|b |.(×)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(√)(4)若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c .(×)2．(必修第二册P60T8改编)已知向量m ＝(2x ,1)与向量n x 等于()A.14B ．－14C.12D ．－12答案C解析∵m ＝(2x ,1)与n∴m ·n ＝(2x x －12＝0，即x ＝12.3．(2023·郑州模拟)已知向量a ，b 满足|b |＝2|a |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，则(2a ＋b )·a 等于()A ．12B ．4C ．3D ．1答案D解析因为|b |＝2|a |＝2，所以(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝2|a |2＋|a ||b |·cos 2π3＝2＋2×1 1.4．(必修第二册P18例10改编)已知a ＝(1，2)，|b |＝23，a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为________．答案120°解析设a 与b 的夹角为θ，因为a ＝(1，2)，|b |＝23，a ·b ＝－3，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×23＝－12，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a 与b 的夹角为120°.题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2023·安康模拟)已知四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝3，|AD →|＝2，DN →＝2NC →，BM →＝3MC →，则AM →·NM →等于()A ．7B ．1 C.34D.14答案D 解析如图，AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＋34BC －14BC ＝13AB →2－316BC →2＝13×3－316×4＝14.(2)在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝AB ＝2DC ＝2，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则CF →·DF →等于()A.3116B.3316C.3516D.3716答案B解析以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，所以CF →－14，－DF →所以CF →·DF →＝－14×34＋＝3316.思维升华计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1(1)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝1，点E 在边AB 上，且CD →·CE →＝3，则BE 等于()A ．1B ．2C.12D.32答案C解析以B 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则C (2,0)，D (1,2)，设E (0，x )，则CE →＝(－2，x )，CD →＝(－1,2)，则CD →·CE →＝2＋2x ＝3，解得x ＝12即BE ＝12.(2)(2023·唐山模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝π3，E 是边BC 的中点，F 是CD 上靠近D 的三等分点，若AE →·BF →＝8，则|AD →|等于()A ．4B ．42C ．43D ．8答案A解析记|AD →|＝m ，因为AB ＝2，且四边形ABCD 为平行四边形，所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＋12AD －23AB ＝AB →·AD →－23|AB →|2＋12|AD →|2－13AB →·AD→＝23|AB →||AD →|cos ∠BAD －23|AB →|2＋12|AD →|2＝2m 3－83＋m 22＝8，解得m ＝－163(舍)或m ＝4.即|AD →|＝4.题型二平面向量数量积的应用命题点1向量的模例2(2023·新高考全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________.答案3解析方法一因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝3，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝ 3.方法二设c＝a－b，则|c|＝3，a＋b＝c＋2b,2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝ 3.命题点2向量的夹角例3(2023·深圳模拟)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为()A.π3B.2π3C.π6D.5π6答案C解析因为a，b为单位向量，由|3a－5b|＝7，所以(3a－5b)2＝49⇔9a2－30a·b＋25b2＝49，即9－30a·b＋25＝49⇒a·b＝－1 2，设a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝a·(a－b)|a||a－b|＝a2－a·b|a|×(a－b)2＝＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6 .命题点3向量的垂直例4(2023·新高考全国Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则() A．λ＋μ＝1B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1D．λμ＝－1答案D解析因为a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，所以a ＋λb ＝(1＋λ，1－λ)，a ＋μb ＝(1＋μ，1－μ)，由(a ＋λb )⊥(a ＋μb )，可得(a ＋λb )·(a ＋μb )＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.命题点4向量的投影例5(1)已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，|b |＝1，则向量a 在b 上的投影向量为()A ．b B.12b C ．aD.12a 答案A解析由题意知，|a |＝2，且向量a 与b 的夹角为π3，所以向量a 在b 上的投影向量为|a |cos 〈a ，b 〉b|b |＝b .(2)已知非零向量a ，b 满足b ＝(3，1)，〈a ，b 〉＝π3，若(a －b )⊥a ，则向量a 在b 方向上的投影向量的坐标为______．答案解析由已知可得，|b |＝(3)2＋12＝2.因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝|a |2－|a ||b |cos π3＝|a |2－|a |＝0，解得|a |＝1或|a |＝0(舍去)，所以向量a 在b 方向上的投影向量为|a |cos π3·b |b |＝14b 思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2；②几何法：利用向量的几何意义．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a ·b|a ||b |；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2(1)已知非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为()A ．45°B ．135°C ．60°D ．120°答案B解析根据题意，设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥(3a ＋2b )，|b |＝2|a |，所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a ·b －2b 2＝－a ·b －a 2＝0，变形可得a ·b ＝－a 2.则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－a 2|a |·2|a |＝－22.又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.(2)(多选)已知向量a ＝(m ，－1)，b ＝(－2,1)，则下列说法正确的是()A ．若m ＝1，则|a －b |＝13B ．若a ⊥b ，则m ＝2C ．“m <－12”是“a 与b 的夹角为锐角”的充要条件D ．若m ＝－1，则b 在a －12，－答案ACD解析对于选项A ，因为m ＝1，所以a ＝(1，－1)，又b ＝(－2,1)，所以a －b ＝(3，－2)，故|a －b |＝32＋(－2)2＝13，所以选项A 正确；对于选项B ，因为a ⊥b ，所以－2m －1＝0，解得m ＝－12，所以选项B 错误；对于选项C ，当a 与b 的夹角为锐角时，由cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |>0，得a ·b >0，即－2m －1>0，得m <－12；当m <－12时，可得cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |>0，而〈a ，b 〉∈[0，π]，又当a ∥b 时，m －2＝0得m ＝2，此时a ＝(2，－1)，b ＝(－2,1)，a ，b 反向共线，所以〈a ，b 〉“m <－12”可以得出“a 与b 的夹角为锐角”，所以选项C 正确；对于选项D ，当m ＝－1时，a ＝(－1，－1)，b ＝(－2,1)，b 在a 上的投影向量为a ·b |a |·a |a |＝2－12×(－1，－1)－12，－D 正确．题型三平面向量的实际应用例6(多选)(2023·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是()A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案ACD解析由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0，可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得|G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ，所以|F 1|2＝|G |22(1＋cos θ).当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误．思维升华用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v 1的大小|v 1|＝10km/h ，水流的速度v 2的大小|v 2|＝6km/h ，如图，设v 1和v 2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于()A．－25B．－35C．－45D.45答案B解析由题意知(v1＋v2)·v2＝0，则v1·v2＋v22＝|v1||v2|·cosθ＋v22＝60cosθ＋36＝0，所以cosθ＝－35.课时精练一、单项选择题1．(2023·黔西模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于() A．－2B．－1C．1D．2答案D解析由题意，得|a－2b|2＝9，即a2＋4b2－4a·b＝9，即13－4a·b＝9，∴a·b＝1，故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1＝2.2．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋t b，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t 等于()A．－6B．－5C．5D．6答案C解析由题意，得c＝a＋t b＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即a·c|a||c|＝b·c|b||c|，即25＋3t 5＝3＋t ，解得t ＝5.3．(2023·大同模拟)平面向量a 与b 相互垂直，已知a ＝(6，－8)，|b |＝5，且b 与向量(1,0)的夹角是钝角，则b 等于()A ．(－3，－4)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(－4，－3)答案D 解析设b ＝(x ，y )，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝6x －8y ＝0，①∵b 与向量(1,0)夹角为钝角，∴x <0，②又|b |＝x 2＋y 2＝5，③由①②③＝－4＝－3，∴b ＝(－4，－3)．4．已知向量a ＝(λ＋1,2)，b ＝(1，－λ)，若a ⊥b ，则向量c ＝(1,2)在向量a ＋b 上的投影向量的坐标为()A ．(3,1)B ．(1,3)答案D 解析依题意得a ＝(λ＋1,2)，b ＝(1，－λ)，a ·b ＝0，所以λ＋1－2λ＝0，解得λ＝1，所以a ＝(2,2)，b ＝(1，－1)，所以a ＋b ＝(3,1)，则向量c ＝(1,2)在向量a ＋b 上的投影向量的坐标为c ·(a ＋b )|a ＋b |·a ＋b |a ＋b |＝3×1＋1×232＋12·(3，1)32＋12＝5．(2023·泰州模拟)已知平面单位向量a ，b ，c 满足〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝2π3，则|3a ＋2b ＋c |等于()A ．0B ．1 C.3 D.6答案C 解析∵|3a ＋2b ＋c |2＝(3a ＋2b ＋c )2＝9a 2＋4b 2＋c 2＋12a ·b ＋6a ·c ＋4b ·c ＝3，∴|3a ＋2b ＋c |＝ 3.6．(2023·佛山模拟)在△ABC 中，设|AC →|2－|AB →|2＝2AM →·(AC →－AB →)，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的()A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心答案D解析设线段BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，因为|AC →|2－|AB →|2＝2AM →·(AC →－AB →)，所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2AM →·BC →，即2AD →·BC →＝2AM →·BC →，即BC →·(AM →－AD →)＝BC →·DM →＝0，即DM ⊥BC ，所以DM 垂直且平分线段BC ，因此动点M 的轨迹是BC 的垂直平分线，必通过△ABC 的外心．二、多项选择题7．(2024·亳州模拟)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的可能取值是()A ．－2B ．2C ．4D ．8答案BC 解析如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，易知正六边形的每个内角为120°，所以∠CBx ＝60°，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3.所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．8．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是()A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在b 上的投影向量为22bC ．2m ＋n ＝4D ．mn 的最大值为2答案CD 解析对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，则a ·b ＝2－1＝1>0，又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误；对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a ·b |b |·b |b |＝12b ，故B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，故C 正确；对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，故D 正确．三、填空题9．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－3，－2)，写出一个与a －b 垂直的非零向量c ＝________.答案(1，－1)(答案不唯一)解析由题意可知a －b ＝(5,5)．设c ＝(x ，y )，则(a －b )·c ＝5x ＋5y ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，所以与a －b 垂直的非零向量可以为c ＝(1，－1)．(答案不唯一)10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为60N 的物品，在另一个秤盘中放入重量60N 的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F 1，F 2，F 3)，若3根细绳两两之间的夹角均为π3，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F 1的大小为________N.答案106解析依题意，|F 1|＝|F 2|＝|F 3|且|F 1＋F 2＋F 3|＝60，所以|F 1＋F 2＋F 3|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋|F 3|2＋2F 1·F 2＋2F 2·F 3＋2F 3·F 1＝3600，即3|F 1|2＋3×2|F 1|2×12＝3600，解得|F 1|＝106.11．(2024·抚州模拟)定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－8，则|a ×b |等于________．答案6解析设向量a 与b 的夹角为θ∈[0，π]，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－82×5＝－45，因为θ∈[0，π]，可得sin θ＝1－cos 2θ＝35，故|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝2×5×35＝6.12．(2023·西安模拟)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.答案10解析如图，设BC 的中点为D ，连接OD ，AD ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·(AC →－AB →)＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＋DO →·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝10.四、解答题13．(2023·白银模拟)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB →|＝2|DC →|＝2，∠BAD ＝π3，E 是BC 边的中点．(1)试用AB →，AD →表示AE →，BC →；(2)求DB →·AE →的值．解(1)AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →，AE →＝12(AB →＋AC →)＋AD →＋12AB ＝34AB →＋12AD →，BC →＝AC →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →.(2)由题意可知，|AD →|＝12(|AB →|－|DC →|)cos π3＝1212＝1，DB →＝AB →－AD →，所以DB →·AE →＝(AB →－AD →＋12AD ＝34|AB →|2－12|AD →|2－14AB →·AD →＝34|AB →|2－12|AD →|2－14|AB →||AD →|·cos π3＝34×4－12×1－14×2×1×12＝94.14．(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于点M .(1)求∠EMF 的余弦值；(2)设AM →＝λAF →，求λ的值及点M 的坐标．解(1)如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系，则D (0,6)，E (3,0)，A (0,0)，F (6,2)，∴DE →＝(3，－6)，AF →＝(6,2)，由于∠EMF 就是DE →，AF →的夹角，∴cos ∠EMF ＝cos 〈DE →，AF →〉＝18－129＋36·36＋4＝210，∴∠EMF 的余弦值为210.(2)∵AM →＝λAF →，则AM →＝(6λ，2λ)，则M (6λ，2λ)，又D ，M ，E 三点共线，则设DM →＝tDE →，0<t <1，即(6λ，2λ－6)＝t (3，－6)，λ＝3t ，λ－6＝－6t ，解得λ＝37，故15．(2024·永州模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的中心O ，圆O 的半径为1，点P 在圆O 上运动，则PE →·OE →的最小值为()A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案D 解析如图，以O 为坐标原点，BE 所在直线为x 轴，AF 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设点P (cos θ，sin θ)(0≤θ≤2π)，由题意知，E (2,0)，O (0,0)，则PE →＝(2－cos θ，－sin θ)，OE →＝(2,0)，所以PE →·OE →＝4－2cos θ，当cos θ＝1，即θ＝0时，PE →·OE →取最小值2.16．(2023·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，AC ＝9，AM 和AN 分别是BC 边上的高和中线，则MN →·BC →等于()A ．14B ．15C ．16D ．17答案C 解析如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，BM →＝λBC →，则有AM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →＝(1－λ)a ＋λb ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝72＋92－822×7×9＝1121，∵AM →⊥BC →，∴AM →·BC →＝0，即[(1－λ)a ＋λb ]·(b －a )＝(1－2λ)a ·b －(1－λ)a 2＋λb 2＝0，其中a ·b ＝|a ||b |cos ∠BAC ＝63×1121＝33，a 2＝49，b 2＝81，解得λ＝14，BN →＝12BC →，∴MN →＝BN →－BM →＝14BC →，MN →·BC →＝14BC →2＝16.。

平面向量数量积讲义

平面向量数量积讲义一、知识总结：1.定义：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉其物理背景是力在位移方向所做的功．其中：｜b ｜cos 〈a ，b 〉表示b 在a 上的投影.所以其几何背景是：两个向量的数量积等于一个向量的模长与另一个向量在第1个向量方向上投影之积.2.运算律：(1)．(交换律)a ·b ＝b ·a ;(2)．(实数的结合律)λ (a ·b )＝(λ a )·b ＝a ·(λ b ) (3)．(分配律)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c3.性质：设a ，b 是非零向量，则：a ·b ＝0⇔a ⊥b ;a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜,特殊地：a ·a ＝｜a ｜2或a a a ⋅=||夹角：||||,cos b a ba b a ⋅>=<,|a ·b |≤|a | |b |4．数量积的坐标运算（1）数量积：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2(2)求夹角：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a(3)a 在b 方向上的正射影的数量为22222121||,cos ||y x y y x x ++=>=<⋅b b a b a a (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0二、重点例题：例1 向量a 、b 、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直， (2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ， (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )， (4)a ·b ≤｜a ｜｜b ｜ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以c (b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直；(2)假命题．a ·c ＝b ·c ≠a ＝b ；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a 与向量b 都是与向量c 垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a 、b 这两个向量不相等；(3)假命题．(a ·b )c ≠a (b ·c )，实际上(a ·b )c 是与向量c 方向相同或相反的一个向量，a (b ·c )是与a 方向相同或相反的一个向量，向量a 、c 的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉，且cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ≤｜a ｜｜b ｜．解答：选C ．【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．例2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A ．)37,97(B ．)97,37(--C ．)97,37(D ．)37,97(--【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．解：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，则有37,97-=-=n m 故选择D 【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．例3 (1)已知向量)10,(),5,4(),12,(k k -===，且A 、B 、C 三点共线，求实数k 的值． (2)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，求实数k 的值．【分析】(1)向量a 与b (b ≠0)共线⇔存在实数m 使a ＝m b ．当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题． a ·b ＝0⇔a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0解：(1)∵)10,(),5,4(),12,(k k -===, ∴)5,4(),7,4(-+=--=k k , ∵A 、B 、C 三点共线，∴CB AB //，即(4－k )(－5)－(4＋k )(－7)＝0，解得：⋅-=32k (2)由(k a －2b )⊥a ，得(k a －2b )·a ＝k a 2－2b ·a ＝2k －2·(2－3)＝0，所以k ＝－1．【评析】①向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数m 使a ＝m b ；当已知向量的坐标时，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．例4 已知：｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，求：①a ·b ；②(2 a ＋b )·b ；③｜2a ＋b ｜；④2 a ＋b 与b 的夹角θ 的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2a a a a a a ⋅⋅=⇒=||||2，若a ＝(x ，y )，则22||y x +=a222221212121||||,cos yx yx y y x x +++=>=<⋅⋅b a ba b a解：①∵｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 〈a ，b 〉＝5； ②(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝10＋25＝35； ③;6125201644)2(|2|222=++=++=+=+⋅⋅b b a a b a b a④⋅==++=++>=+<⋅⋅⋅⋅6161756135||)2()2(|||2|)2(,2cos 2b b a b b a b b a b b a b b a【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．例5.已知平面内三点A 、B 、C 三点在一条直线上，＝(－2，m )，＝(n ，1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m ，n 的值．解：由于A 、B 、C 三点在一条直线上，则∥，而＝－＝(7，－1－m )，＝－＝(n ＋2，1－m ) ∴7(1－m )－(－1－m )(n ＋2)＝0，又，∴－2n ＋m ＝0联立方程组解得或．例6. 已知＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，点O 为坐标原点，点C 是直线OP 上一点，求·的最小值及取得最小值时cos ∠ACB 的值．解：由于点C 是直线OP 上一点，设点C (2m ，m )，＝(1－2m ，7－m )，＝(5－2m ，1－m )，，时，·的最小值为－8；而m ＝2时，＝(－3，5)，＝(1，－1),．例7. 已知向量,a b ，||1,||2==a b ，若对任意单位向量e ，均有||||6+≤a eb e ，则a b 的最大值是 . 12AC AB AC OC AB OB OB OA ⊥⎩⎨⎧==36n m ⎪⎩⎪⎨⎧==233n m CA ∴CB 8)2(52--=⋅m 2=∴m 17174||||cos -==∠CB CA ACB例8.如图在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AD 的三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 .【分析】：因为+BA BD DA =，+CA CD DA =，所以2()()+4BA CA BD DA CD DA BD CD BD DA CD DA DA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅= 又因为D 是BC 的中点，所以 BD CD =-，所以0BD DA CD DA ⋅+⋅=，2BD CD BD ⋅=-，因此224BD DA -+=. 因为F 是AD 的三等分点，所以22111()()1339BF CF BD DA CD DA BD DA ⋅=+⋅+=-+=-.可得22224119BD DA BD DA ⎧-+=⎪⎨-+=-⎪⎩，求得2138BD =，2458DA =. 因为E 是AD 的三等分点，所以224798BE CE BD DA ⋅=-+=.例9．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A ．2- B. 32- C. 43- D. 1-方法一：以BC 中点O 为原点、BC 所在直线为x 轴、BC 中垂线为y 轴建立如图所示坐标系，可得点(0,3)A ，设ABC ∆内一点(,)P x y ，可得(3)PA x y =--，，()PO x y =--， .由平行四边形法则可得2PB PC PO+=，所以()2PA PB PC PA PO ⋅+=⋅，将坐标代入可得原式2222332(3)2[()]4x y y x y =+-=+--，显然当30,x y ==时， (+)PA PB PC ⋅取到最小值32-.方法二：取边BC 中点O 连接AO ，在ABC ∆内任取一点P ，过P 作AO 的垂线交AO 于D ，由三角形法则可知+PA PD DA =、+PO PD DO =，由平行四边形法则可得2PB PC PO +=，因此()22()(+)PA PB PC PA PO PD DA PD DO ⋅+=⋅=+⋅，又因为PD DO ⊥、PD DA ⊥，所以原式22(+)PD DA DO =⋅ . 该式中，20,0PD DA DO ⋅<≥，若2PD 和DA DO ⋅同时取到最小值时22()PD DA DO +⋅也取到最小值，我们发现当点P 落在线段AO 上时20PD =，因此只要求点P 在线段AO 上时DA DO ⋅的最小值即求出原式的最小值.因为DA 和DO 方向相反且||+||3DA DO =，由均值不等式可得233()4DA DO ⋅-=-≥，因此3()2PA PB PC ⋅+≥-. 例10.已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径，(1)判断·－·的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； (2)求·的最大值．解：(1)由于，而＝－，则···＝(－)·(－－)－·(－)＝－＋·，，即的值不会随点P 的变化而变化；(2)由于，，，＝2(等号当且仅当与同向时成立)，的最大值为3．CQ CQ )()()(----=-⋅⋅⋅⋅BP CQ AP CB AP AB AP AC AP AB AC 2AP AB AC 2cos ||||=∠=⋅ABC AC AB AC AB 1||22==AP AP 12=+-=-∴⋅⋅⋅AC AB AP CB AP CQ BP ⋅⋅-1=-⋅⋅⋅⋅+=∴1<=⋅cos |||| >||||≤⋅AP CB CQ BP ⋅∴课后作业：一、选择题1．已知a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，且a ＋2b 与2a －b 平行，则x 等于 ( ) A ．1B ．2C ．31 D ．21 2．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角是60°，若(k a －b )⊥(a ＋2b )，则k ＝ ( ) A ．1312 B ．1413 C ．1514 D ．1615 3．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有 ( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b C ．|a |＝|b | D ．|a |≠|b |4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1B ．2C ．2D ．22 5．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α＋β ，其中α 、β ∈R ，且α ＋β ＝1，则点C 的轨迹方程为 ( ) A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 二、填空题6．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 夹角大小为________．7．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则·＝________． 8．在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若＝AM m ，＝n ，则m ＋n 的值为________．9．已知：＝(3-，0)，＝(3，0)，点A 满足＋＝(－4，－2)．则MA ＝________．10．A (3，5)、B (1，2)，向量按向量a ＝(1，1)平移得到的向量是________．三、解答题11．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，求a ·b ．(其中i 、j 是互相垂直的单位向量)12．已知a ＝(3，0)，b ＝(k ，5)，且a 与b 的夹角是135°，求k 的值．13．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos2α )和b ＝⎪⎭⎫⎝⎛+αsin 2,m m ，其中λ，m ，α 为实数．若a ＝2b ，求m λ的取值范围．14.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =，给出以下三个结论：①当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]；②(0,)a ∀∈+∞，都有(1)1f =成立；③(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4.其中所有正确结论的序号是_________.15.在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3 B. 22 C.5 D. 216.如图，11AB C ∆，122B B C ∆，233B B C ∆是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边33B C上有5个不同的点12345,,,,P P P P P ，设2i i m AC AP =⋅（1,2,,5i =），则125m m m +++= ________.13C 2321P 5P 2P 4P 1P 3课后作业答案：一、选择题1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 提示：3．F (x )的二次项系数为0．5．设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA α＝(3α，α)，OB β＝(－β，3β)又α＋β＝(3α－β，α＋3β)∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧+==-βαβα33y x又α＋β＝1因此可得x ＋2y ＝5评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法．二、填空题 6．4π3 7．388．2 9．(2，1) 10．(－2，－3) 提示：7．38)()3231(-=-+=⋅⋅ 10．平面向量是自由向量，即都是．三、解答题11．－63．由已知解得a ＝－3i ＋4j ，b ＝5i －12j ，所以a ·b ＝－15i 2＋56i ·j －48j 2＝－15－48＝－63．(i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0)．12．由a b a b a <=⋅cos ||||，2121y y x x +>=b ，得到k k 3)22(2532=-+，)0(<k ，解方程得k ＝－5． 13．答案：［－6，1］提示：设λ＝mt ，则)sin 1()sin 2)(2(222αα+-=++t m m mmt 整理得：1604486311sin 2sin 222≤≤-⇒≥+--+-=+-t t t t t αα14.方法一（坐标法）：以A 为原点、AB 直线为x 轴建立如图所示坐标系，由已知条件可得(2,0)B ，(2,)C a ，(1,)D a ，(1,)AD a =，(2,0)AB =，(1,0)DC =. 因为AP xAD =，所以(,)AP x ax =，(1,)PD x a ax =--，由三角形法则可得(2,)PC PD DC x a ax =+=--，(2,)PB PA AB x ax =+=--，因此2222()(2)()(1)(4)4,[0,1]f x PB PC x ax a ax a x a x x =⋅=---=+-++∈当2a =时，2()584f x x x =-+，当45x =时()f x 取到最小值为45，当0x =时()f x 取到最大值为4，结论①错误；显然(0,)a ∀∈+∞，(1)1f =恒成立，结论②正确；(0,)a ∀∈+∞，因为对称轴22412(1)2a x a +=>+，所以()f x 在0x =处取到最大值为4，结论③正确.方法二（几何法）：过P 作BC 的垂线垂足为E ，过D 作AB 的垂线垂足为F ，连接PE 交DF 于H ，可得PB PE EB =+，PC PE EC =+，所以2()f x PE EB EC =+⋅.因为AP xAD =，所以||||1||||PD PH x AD AF ==-，又因为||1AF =，||1PH x =-，所以||||||2PE PH HE x =+=-，又因为||1||EC xx EB -=，所以||(1)EC x a =-，||EB xa =，因此222222()(2)(1)(1)(4)4f x PE EB EC x x x a a x a x =+⋅=-+-=+--+ 后面证法与方法一一致.方法一和方法二最终都需要回归到求函数最值上来，有没有更直观的方法呢？方法三：当1x =，点P 与点D 重合，2()1(1)PB PC DC f ⋅===，结论②正确；因为2()f x PE EB EC =+⋅，EC 和EB 方向相反即0EB EC ⋅≤，||||2PE AB =≤，也就是说()404f x +=≤，当点P 与点A 重合时，即0x =时，||2PE =，0EB EC ⋅=，()4f x =，结论③正确. 结论①若能找到反例即可说明该其错误，但是构造反例较困难，需要构建函数.15.方法一：以点C 为坐标原点、BC 所在直线为x 轴、CD 所在直线为y 轴建立如图所示坐标系，求得坐标(2,1)A -，(2,0)B -，(0,1)D ，计算可得(2,0)AD =，(0,1)AB =-，设)P αα，(1)55AP αα=+-，由(2,)(1)55AP AB AD λμμλαα=+=-=+-可得22515μαλα⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以2244(1)(1)5μλ-+-=，设15μθ=+，15λθ=+，因此2sin()255λμθθθϕ+=+=++，其中sin 55ϕϕ== 所以当sin()1θϕ+=时，λμ+的最大值为3.方法二：因为AB 与AD 不共线，所以AB 与AD 可以作为一组基底，以点A 为坐标原点、AD 所在直线为x 轴、AB 所在直线为y 轴建立如图所示坐标系. 在BD 上任取一点Q ，若AQ AB AD λμ''=+，则1λμ''+=. 我们可以将这一结论推广到一般情形，即在圆上任取一点P ，在过点P 与BD 平行的直线上的任一点Q ，若AQ AB AD λμ''=+，则λμ''+恒定不变，我们称与BD 平行的这一组直线为等和线. 当且仅当与直线BD 平行且与圆C 相切时λμ+取到最大值3.16.90。

高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版

通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来
解答.
-9知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
6
7
8
8.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量
的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理
学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W= |F||s|cos θ (θ
即|a+b|+|a-b|的最小值是 4,最大值是 2 5.
-28考点1
考点2
考点3
解题心得1.求向量的模的方法:
(1)公式法,利用|a|= ·及(a±b)2=|a|2±2a·
b+|b|2,把向量的模
的运算转化为数量积运算;
(2)几何法,先利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作
出向量,再利用余弦定理等方法求解.
为( B )
5
A.-8
1
B.8
1
C.4
11
D. 8
-16考点1
考点2
考点3
(2)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分
7
点, ·=4, · =-1,则 ·的值是
.
8
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
cos∠ABC=
= 1×1
||||
=
3
,
2
关闭
所以∠ABC=30°,故选 A.
A
解析
答案
-13知识梳理
1
双基自测
2

平面向量的数量积-高考数学复习

＝＋ · －＝－ .
若两个向量的夹角为锐角，则3 k ＞0，即 k ＞0.
又 a ＋ kb ， b ＋2 ka 不共线，∴ k ≠
2
2
，∴ k ＞0且 k ≠ .
2
2
方法总结
1. 向量夹角问题的两个注意点
(1)切记向量夹角的范围是[0， π].
(2)非零向量 a 与 b 夹角为锐角⇔ a ·b ＞0且 a 与 b 不共线；非零向量 a 与 b
＝4，则 − ＝( D
A. 5
B. 3
)
C. 2
D. 1
＋ 2 ＝ a 2＋ b 2＋2 a ·b ＝49⇒2 a ·b ＝49－9－16＝24，∴ − 2 ＝
a 2＋ b 2－2 a ·b ＝9＋16－24＝1，∴ − ＝1.
3. (2022·新高考Ⅱ卷)已知向量 a ＝(3，4)， b ＝(1，0)， c ＝ a ＋ tb .
1，｜ c ｜＝ 2 ，且 a ＋ b ＋ c ＝0，则 cos < a － c ， b － c >＝(
D )
(1)法一：∵ a ＋ b ＋ c ＝0，∴ a ＋ b ＝－ c ，∴ a 2＋ b 2＋2 a ·b ＝ c 2.
∵｜ a ｜＝｜ b ｜＝1，｜ c ｜＝ 2 ，∴1＋1＋2 a ·b ＝2，解得 a ·b ＝0.
夹角为钝角⇔ a ·b ＜0且 a 与 b 不共线.
方法总结
2. 求向量夹角的两种方法
(1)定义法：当 a ， b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角θ，需求出 a ·b 及
| a |,| b |或得出它们之间的关系，由 cos
·
θ＝
求得.
||||
(2)坐标法：若已知 a ＝( x 1， y 1)与 b ＝( x 2， y 2),则 cos 〈 a ， b 〉=

高考数学总复习专题28平面向量的数量积及应用理市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件

(C )
A.1
B.2
C. 2
2 D. 2
19/42
【解析】(1)设 a 与 b 的夹角为 θ，由(a＋2b)·(a－
b)＝－2 得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得 cos θ＝12，∴θ＝π3 .故填π3 .
(2)由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1， ∴sin θ＝21|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈π6 ，5π6 .
＝ 22，所以 θ＝π4 ，故选 B.
4/42
2.若等边△ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M 满
足：C→M＝16C→B＋23C→A，M→A·M→B＝( B ) A.－1 B.－2 C.2 D.3
【解析】因为 M→A ·M→B ＝ C→A－C→M ·C→B－C→M ＝
13C→A－16C→B
(2) 因为
a·b
＝
(e1
－
2e2)·(ke1
＋
e2)
＝
ke
2 1
＋
(1
－
2k)(e1·e2)－2e22，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－12，所以 k
＋(1－2k)·－12－2＝0，解得 k＝54.故填54.
14/42
(3)∵向量A→B与A→C的夹角为 120°，且|A→B|＝3，|A→C|＝2， ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|cos 120°＝2×3×－12＝－3， ∵ A→P ＝ λ A→B ＋ A→C ，且 A→P ⊥ B→C ， ∴ A→P ·B→C ＝ λA→B＋A→C·B→C＝λA→B＋A→C·A→C－A→B＝0，即 λA→B·A→C－A→B·A→C＋|A→C|2－λ|A→B|2＝0， ∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得 λ＝172，故答案为172.

高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数量积课件及答案

【对点练清】 1．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量 a ，b 的夹角为 45°，ka －b 与 a 垂直，则 k＝_____.
解析：由题意，得 a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝ 22.因为向量a ＝ka
2－a ·b ＝k－
22＝0，解得
【学透用活】 [典例 3] (1)已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量，若向量 e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角，则 k 的取值范围为_________． (2)已知非零向量 a ，b 满足 a ＋3b 与 7a －5b 互相垂直，a －4b 与 7a －2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角． [解析] (1)∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当 k ＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0，不符合题意，舍去．综上， k 的取值范围为 k＞0 且 k≠1. 答案：(0,1)∪(1，＋∞)
(3)设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ>0⇔a ·b >0.
(√)
(4)|a ·b |≤a ·b .
( ×)
2．若向量 a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与 b 的夹角为 60°，则 a ·b 等于 ( )
1 A.2
3 B.2
C．1＋
3 2
D．2
答案：A
3．已知|a |＝1，|b |＝2，设 e 是与 a 同方向上的单位向量，a 与 b 的夹角为π3，则 b 在 a 方向上的投影向量为______．
(4)|a ·b |≤__|_a_|_|_b_|.
2．平面向量数量积的运算律：

平面向量的数量积讲义

平面向量的数量积讲义一、知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积3.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0. (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →| (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |.注意：1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( ) (5)两个向量的夹角的范围是]2,0[.( )(6)若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) 题组二：教材改编2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________.3．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．题组三：易错自纠4．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于________． 5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________． 6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________.三、典型例题题型一：平面向量数量积的运算1．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B. 15 C ．9 D ．62.如图，已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A.－58B.18C.14D.118思维升华：平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)利用数量积的几何意义求解．题型二：平面向量数量积的应用命题点1：求向量的模典例 (1)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋6 2 B ．25 C.30D.34(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．命题点2：求向量的夹角典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______．(2)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 思维升华：(1)求解平面向量模的方法①写出有关向量的坐标，利用公式|a |＝x 2＋y 2即可．②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a |＝a 2. (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b |，注意θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．跟踪训练 (1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(2)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．题型三：平面向量与三角函数典例在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．思维升华：平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．四、反馈练习1．设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |2．已知向量a ，b 满足a·(a －b )＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π2 C.5π6D.2π33．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a·(a ＋b )等于( )A ．－53B ．1C ．2D.544．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A.－32B ．－23C.23D.325．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259D.2696．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 8．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________.9．已知非零向量a ，b 满足：2a·(2a －b )＝b·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________． 10．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________． 11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．13．已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为________．14．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为________．15．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值与最小值的和为( ) A ．0 B.3 C. 2D.716．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______．。

第03讲平面向量的数量积 (精讲)(含答案解析)

第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。

高三高考数学复习课件5-3平面向量的数量积

－2 5×2
＝－ 2
10 10 .
【答案】
－
10 10
题型二平面向量数量积的应用角度一求向量的模
π 【例 2】(1)(2018·西安模拟)已知平面向量 a，b 的夹角为 6 ，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|＝________．
＝2(x2＋y2－ 3y)
＝2x2＋y－
232－34≥2×－34＝－32.
当且仅当 x＝0，y＝ 23时，P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，最小
值为－23.
故选 B.
方法二 (几何法) 如图②所示，P→B＋P→C＝2 P→D(D 为 BC 的中点)，则P→A·(P→B＋ P→C)＝2 P→A·P→D.
以 a·b＝1，设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ，由 cos
θ＝|aa|··|bb|＝
1 2
＝
22，可得
π θ＝ 4 ，即向量
a
与
b
π 的夹角为 4 .
(2)由已知得，a·(a－2b)＝0，∴cos〈a，b〉＝2||aa|||2b|＝12， π
∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝ 3 . ππ
π 【解析】因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝ 2cos 3
＝
22.故填
2 2.
【答案】
2 2
题型一平面向量数量积的运算
【例 1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角
形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B＋P→C)的最小值是( )
A．－2
即 2a－3b 与 c 反向．

高考数学一轮总复习教学课件第五章平面向量、复数第3节平面向量的数量积及平面向量的应用

1.平面向量数量积的有关概念
向量的
夹角
数量积
的定义
已知两个非零向量 a , b , O 是平面上的任意一点 , 作
→
→
=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b
的夹角
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把|a||b|
cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
A.20
C.20
)
B.-20
√
D.-20
→
→
→
→
→
→
→
解析:由题意知<,>=120°,故·=||·||·cos<,
→

>=-5×8× =-20.故选 B.

3.已知向量a=(2,2),b=(0,-3),则a与b的夹角的余弦值为(

A.-
√

C.

B.

解析:(2)因为a=(3,1),b=(2,2),
所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),
则|a+b|= + = ,|a-b|= + = ,(a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,
(+)·(-)
所以 cos<a+b,a-b>=
|+||-|
=

→
→
→
||cos∠PAB 表示在上的投影向量的数量,所以结合图形可知,
当 P 与 C 重合时投影向量的数量最大,当 P 与 F 重合时投影向量的数量
→
→
→
→
最小.又·=2 ×2×cos 30°=6,·=2×2×cos 120°=

专题83平面向量的数量积(精讲精析篇)-新高考高中数学核心知识点全透视

专题8.3 平面向量的数量积（精讲精析篇）一、核心素养1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养．6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．二、考试要求1.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.三、主干知识梳理（一）两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.（二）平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0.2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．（三）数量积的运算律1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．（四）平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12 1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a .2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，|a 4．cos θ＝||||⋅a b a b .(θ为a 与b 的夹角) 5．|a ·b |≤|a ||b |.（七）数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则：1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.3．|a |＝a 21＋a 22.4．cos θ＝||||⋅a b a b ＝112222221212a b a b a a b b +++.(θ为a 与b 的夹角) （八）平面向量的应用1.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．2．向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到． 3．向量与三角的综合应用解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．4.平面向量在物理中的应用一、命题规律（1）数量积、夹角及模的计算问题；（2）以平面图形为载体，借助于平面向量研究平面几何平行、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．二、真题展示1．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（） A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅【答案】AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP =，2||(cos 1OP=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin |2AP α===，同理2||(cos 2|sin |2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+ ()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．【答案】11120 【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====-，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x -的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-=，|2|1BE DF +∴=， 2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311(3)(12)(1)53151020x x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120. 故答案为：1；1120.考点01 平面向量数量积的运算【典例1】（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.【典例2】（2019·全国高考真题（理））已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（）A ．3B ．2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【典例3】（2021·北京·高考真题）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= ________；=a b ⋅________.【答案】0 3【分析】根据坐标求出a b +，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以,a b 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=，()4,0a b ∴+=，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为：0；3.【典例4】（2020·全国高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.【答案】5【解析】由a b ⊥可得0a b ⋅=，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故答案为：5.【典例5】（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132 【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭, ∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，333,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．2.总结提升：（1）.公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解．（2）已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．考点02 平面向量的模、夹角【典例6】（2021·天津·南开大学附属中学高三月考）已知平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，则a ，b 的夹角是（）A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π 【答案】A【分析】直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．【详解】解：平面向量a ，b ，满足2a =，5b =，53a b ⋅=，设a ，b 的夹角是θ，可得53cos 25a b a b θ⋅===⨯[]0,θπ∈，所以a ，b 的夹角是：6π．故选：A ．【典例7】（2020·全国高考真题（理））已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=. ()2222257a b a b a a b b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D. 【典例8】（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅．【典例9】（2020·全国高考真题（理））设,ab 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 3．平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．考点03 平面向量的综合应用【典例10】（2020·山东海南省高考真题）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（） A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.【典例11】（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（） A ．B ．C ．2D ．【答案】A 【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【典例12】（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________. 【答案】25【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，由平面向量的知识可得252x y z +-=，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，，则()20a b c m n -⋅=-=，即2m n =，又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =，所以d a -在c 方向上的投影()221()22||5m x ny d a c x yz c m n-+-⋅-+===±+，即252x y z +=,所以()()()22222222221122152510105x y z x y z x yz⎡⎤++=++±++≥+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当215252x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即251555x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.【典例13】（2020·重庆高一期末）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（）个．A ．2B ．4C ．6D ．0【答案】B 【解析】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤，∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+，06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B.【典例14】（2020·吉林长春·一模（理））长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度1v 的大小1||10km/h v =，水流的速度2v 的大小2||4km/h v =，设1v 和2v 所成角为 (0)θθπ<<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于（）A ．215-B ．25-C ．35D ．45-【答案】B 【解析】由题意知()2120,v v v +⋅=有2212||c ||os 0,v v v θ+=即2104cos 40,θ⨯+=所以2cos 5θ=-，故选：B ．【典例15】（2020·上海高三专题练习）用向量的方法证明：三角形ABC 中（1）正弦定理：sin sin sin a b cA B C==；（2）余弦定理：2222cos a b c bc A =+-．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）如图（a ）所示，过顶点A 作对边BC 的高AH ，则0()AH BC AH AC AB =⋅=⋅-，即0AH AC AH AB ⋅-⋅=． ∴()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-．如图（b ）所示，如果B 为钝角，有()()||||cos 90||||cos 90AH AC C AH AB B ︒︒-=-∴sin sin b C c B =．上述关系对直角三角形显然成立[图（c ）] ∴sin sin sin a b cA B C==．（2）在ABC 中，BC AC AB =-．∴2222()()2BC AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅．即2222cos a b c bc A =+-．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（） A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D 【解析】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意； D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.故选：D.2．（2020·福建省福州格致中学期末）已知两个不相等的非零向量a b ，，满足2b =，且b 与b a -的夹角为45°，则a 的取值范围是（） A ．(02⎤⎦，B ．)22⎡⎣，C ．（0，2]D ．)2∞⎡+⎣，【答案】D 【解析】如图所示，设AB b =，AC a =，∠CAB ＝45°，由图可知，当BC ⊥AC 时，a 的取值最小，此时，则2a =，而a 没有最大值，故a 的取值范围为)2,⎡+∞⎣. 故选：D.3．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．4.（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________.【答案】【分析】根据题目条件，利用a b -模的平方可以得出答案【详解】 ∵5a b -=∴222229225a b a b a b b -=+-⋅=+-= ∴32b =.故答案为：5．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：20k a a b k →→→⨯-⋅==，解得：k =.故答案为：2． 6．（2020·浙江省高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 7.（2019·江苏高考真题）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3. 【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=8．（2019·全国高考真题（理））已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________.【答案】23. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 9. （2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____．【答案】3 【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．10.（2019·天津高考真题（理））在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B，5)2D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE(3y x =-，直线AE的斜率为-y x =.由3y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x 1y =-，所以1)E -. 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.。

高中数学高考总复习----平面向量的数量积及应用知识讲解及考点梳理

（C）1200
（D）1500
例 3.若、、均为单位向量，且
，
的最大值为________
【答案】
【解析】因为、、均为单位向量，且
，
5
设 =（1，0）， =（0，1），
,
,
故
的最大值为
.
【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意本题是转换为代数运算求最值问题.
例 1．已知向量
的夹角为（
）
A．30° 【解析】∵
B．60°
C．120°
，∴ 是共线向量，
D．150°
∴
，
∴
，
∴向量和所成角为，又与共线且方向相反， ∴向量和所成角为，从而选项C正确.
【总结升华】仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到，，
是共线向量，从而将
和的夹角问题进行有效的转化. 举一反三：【变式 1】已知向量与的夹角为 120°，【答案】7 【解析】
高中数学高考总复习----平面向量的数量积及应用知识讲解及考点梳理
【考纲要求】 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量
积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【知识网络】
【解析】（1）由题意得， = （ + ）；
故 •（ + ）=2 • ；
故 2=3 • ；
故 cosA=
=；
（2） • =| |•| |cosA

2023届高三新高考数学试题一轮复习专题7.3平面向量数量积及应用教案讲义(Word)

7.3 平面向量数量积及应用课标要求考情分析核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.新高考3年考题题号考点数学建模数学运算直观想象逻辑推理2022(Ⅱ)卷4利用向量数量积的坐标运算求夹角2021(Ⅰ)卷 10 向量数量积的坐标运算，向量的模2021(Ⅱ)卷 15 向量数量积的运算2020(Ⅰ)卷7向量数量积的运算和投影1.向量的夹角定义范围共线与垂直图示已知两个非零向量a ⃗和b ⃗⃗,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,则∠AOB =θ(0≤θ≤π)叫做向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角．[0,π]a ⃗//b⃗⃗?θ=0或π; a ⃗⊥b⃗⃗?θ=π2向量夹角：共起点定义已知两个非零向量a ⃗与b ⃗⃗,它们的夹角为θ，我们把数量|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ叫做a ⃗与b ⃗⃗的数量积,记作a ⃗?b ⃗⃗. 即a ⃗?b ⃗⃗=|a ⃗||b⃗⃗|cosθ. 特殊情况 0⃗⃗a ⃗=0; a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗?b⃗⃗=0 运算律a ⃗?b ⃗⃗=b ⃗⃗?a ⃗（交换律）;λa ⃗?b ⃗⃗=λ(a ⃗?b ⃗⃗)=a ⃗?(λb ⃗⃗)（结合律）;(a ⃗+b ⃗⃗)?c ⃗=a ⃗?c ⃗+b ⃗⃗?c ⃗（分配律）运算性质(a ⃗+b ⃗⃗)2=a ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2; (a ⃗+b ⃗⃗)(a ⃗−b ⃗⃗)=a ⃗2−b⃗⃗2 (a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗)2=a ⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+2b ⃗⃗?c ⃗+2c ⃗?a ⃗如图，设a ⃗,b ⃗⃗是两个非零向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗, CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,考虑如下变换:过AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的起点A 和终点B ,分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所在直线的垂线,垂足分别为A 1、B 1,得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,称上述变换为向量a ⃗向向量b ⃗⃗投影, A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗叫做向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量.若向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角为θ,则向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量为|a ⃗⃗|cosθ|b⃗⃗|b ⃗⃗4.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a ⃗=(x 1,y 1),b ⃗⃗=(x 2,y 2)，a ⃗,b⃗⃗的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a ⃗?b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ a ⃗?b ⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2 夹角cosθ=a ⃗?b⃗⃗|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ=x 1x 2+y 1y 2√x 12+y 12?√x 22+y 22模 |a ⃗|=√a ⃗2 |a ⃗|=√x 12+y 12 垂直 a ⃗⊥b ⃗⃗a ⃗?b ⃗⃗=0 a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗?b⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2=0 共线a ⃗//b ⃗⃗a ⃗=λb ⃗⃗(λ∈R ) a ⃗//b⃗⃗?x 1y 2=x 2y 1 不等关系a ⃗⃗,b⃗⃗共线时等号成立 |a ⃗?b ⃗⃗|≤|a ⃗||b⃗⃗| x 1x 2+y 1y 2≤√x 12+y 12?√x 22+y 221.向量模长不等式：||a ⃗|−|b ⃗⃗||≤|a ⃗±b ⃗⃗|≤|a ⃗|+|b ⃗⃗|; |a ⃗?b ⃗⃗|≤|a ⃗||b⃗⃗| 2.两个向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为锐角?a ⃗?b ⃗⃗>0且a ⃗，b ⃗⃗不共线;两个向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为钝角?a ⃗?b ⃗⃗<0且a ⃗，b ⃗⃗不共线1.【P24 T21】在三角形ABC 中，已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2，点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则向量BG⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为() A. 13BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 3BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2.【P41 T3】设作用于同一点的三个力F 1⃗⃗⃗⃗，F 2⃗⃗⃗⃗⃗，F 3⃗⃗⃗⃗⃗处于平衡状态，若|F 1⃗⃗⃗⃗|=1，|F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=2,且F 1→与F 2⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为23π，如图所示．(1)求F 3→的大小； (2)求F 2→与F 3→的夹角．考点一平面向量数量积的运算【方法储备】1.平面向量数量积的运算方法2.已知数量积求参数已知向量的数量积，用上述方法展开，得出关于参数的方程，进而求出参数.角度1投影向量【典例精讲】例1.(2022·安徽省期中)已知|a ⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，a ⃗·b ⃗⃗=−12，且e ⃗是与b ⃗⃗方向相同的单位向量，则a ⃗在b ⃗⃗上的投影向量为．【名师点睛】本题考查向量的夹角、向量的投影，属于中档题．设a⃗与b ⃗⃗的夹角为θ，求出cos θ，根据投影向量的概念，即可求出结果．【靶向训练】练1-1(2021·江苏省无锡市期末)设平面向量a ⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗|=12，b ⃗⃗=(2,√5)，a ⃗?b ⃗⃗=18，则b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影向量为() A. 12b⃗⃗ B. 18b⃗⃗ C. 12a ⃗ D. 18a⃗ 练1-2(2022·陕西省模拟)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为() A. 14CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. √32CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 角度2平面向量数量积的概念及运算【典例精讲】例2.(2022·山东省潍坊市模拟)在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD =BC =2，AB =4，∠ABC =π3，P 是BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题,把所求向量转化，再结合数量积的运算即可求解结论．【靶向训练】练1-3(2022·江西省模拟)已知两个单位向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为60°，c ⃗=ta ⃗+(1−t)b ⃗⃗.若c ⃗?b ⃗⃗=0，则t =．练1-4(2022·北京市期末)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值为() A. −58B. 14C. 18D. 118角度3平面向量数量积的坐标运算【典例精讲】例3.(2021·新课标Ⅰ卷.多选)已知O 为坐标原点,点P 1(cosα,sinα),P 2(cosβ,−sinβ), P 3(cos(α+β),?sin(α+β))，A(1,?0)，则() A. |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?=?|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| B. |AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?=?|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查三角函数的恒等变形公式，属于中档题．根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可．【靶向训练】练1-5(2022·辽宁省大连市模拟)设向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(2,1)，且b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=7，则m =．练1-6(2022·江西省萍乡市期末)已知向量m ⃗⃗⃗⃗=(2cosωx,−1)，n ⃗⃗=(√3sinωx −cosωx,1)，其中ω>0，函数f(x)=m⃗⃗⃗⃗?n ⃗⃗+2，且f(x)的最小正周期为π2，则f(x)的解析式为．考点二平面向量的夹角、模长、垂直、共线问题【方法储备】1.求平面向量模的方法2.求平面向量夹角的方法3.向量的垂直、共线问题(1)两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即:a ⃗=(x 1,y 1), b ⃗⃗=(x 2,y 2),则a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗·b⃗⃗＝0?x 1x 2+y 1y 2=0. 应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直. (2)利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参或最值问题最常用的解题技巧.【特别提醒】在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.角度1平面向量的模【典例精讲】例4.(2022·山东省模拟)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗夹角为45°，且|a ⃗⃗|=1，|2a ⃗⃗−b⃗⃗|=√10，则|b ⃗⃗|=．【名师点睛】利用数量积的性质即可得出．本题考查了数量积的性质，向量模的计算，属于基础题．【靶向训练】练2-1(2022·湖北省咸宁市期末)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|=5，且|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=6，则|a ⃗⃗−b⃗⃗|=() A. 6B. 8C. 36D. 64练2-2(2022·.山东省济南市期末.多选) 若平面向量a ⃗⃗、b ⃗⃗、c ⃗⃗两两的夹角相等，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，|c ⃗⃗|=3，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗|=()A. √3B. 3C. 5D. 6角度2平面向量的夹角【典例精讲】例 5.(2022·江西省模拟)若非零向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=2√23|b ⃗⃗|，且(a ⃗⃗−b ⃗⃗)⊥(3a ⃗⃗+2b⃗⃗)，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为()A. π4 B. π2C. 3π4D. π【名师点睛】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．【靶向训练】练2-3(2021·湖北省武汉市期末)在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，若CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12，则∠ADC =()A. 5π6B. 3π4C. 2π3D. π2练2-4(2022·江苏省南通市期末)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗⃗−b ⃗⃗|=2√33|a ⃗⃗|，则向量<a ⃗⃗+b ⃗⃗，a⃗⃗>=()A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6角度3平面向量的垂直【典例精讲】例6.(2021·浙江省温州市模拟)若|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，若(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)⊥(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)，则m 的值为【名师点睛】本题考查向量数量积的计算公式，两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0．由条件可求得a ⃗⃗?b ⃗⃗=1，根据两向量垂直，则两向量的数量积为0，从而会得到关于m 的方程，解方程即可求出m ．【靶向训练】练2-5(2021·山东省模拟)已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角是π3，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=4，若(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)⊥a ⃗⃗，则实数λ=()A. −32B. 32C. −2D. 2练2-6(2022·上海市期末)已知a 、b 都是非零向量，且a ⃗⃗+3b ⃗⃗与7a ⃗⃗−5b ⃗⃗垂直，a ⃗⃗−4b ⃗⃗与7a ⃗⃗−2b ⃗⃗垂直，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为．考点三平面向量中的最值、范围问题【方法储备】1.求最值、范围问题的思路（1）将向量的最值、范围问题转化为平面几何的最值、范围问题，利用平面几何的知识求解；（2）将向量坐标化，转化为函数、方程、不等式的问题解决.【典例精讲】例7.(2022·湖北省黄冈市模拟)已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为() A. 16+16√55B. 16+8√55C. 165D. 565【名师点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及直线与圆的位置关系．根据题意，设AD 为斜边BC 上的高，求出AD 的值，连接PA ，可得PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=165+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，分析可得当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)同向时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)取得最大值，据此计算可得答案．【靶向训练】练3-1(2022·湖北省模拟)已知梯形ABCD 中，∠B =π3，AB =2，BC =4，AD =1，点P ，Q 在线段BC 上移动，且PQ =1，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为()A. 1B. 112C. 132D. 114练3-2(2022·江苏省宿迁市期末)在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若b(tanA +tanB)=2ctanB ，且G 是ΔABC 的重心，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2,则|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为．核心素养系列直观想象、数学运算——平面向量与极化恒等式【方法储备】1.极化恒等式：a ⃗⃗?b ⃗⃗=14[(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)2] 三角形模型：在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中：则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14(|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2) 2.利用极化恒等式求数量积问题的步骤：【典例精讲】例8.(2022·山东省模拟) 如图，在△ABC 中，AC =6，AB =8，∠BAC =π2，D 为边BC 的中点． (1)求AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值； (2)若点P 满足CP →=λCA →(λ∈R)，求PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值； (3)若点P 在∠BAC 的角平分线上，且满足PA →=mPB →+nPC →(m,n ∈R).若1≤n ≤2，求|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围．【名师点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化，考查运算求解能力，是中档题．(1)由极化恒等式及向量的加减运算求解；(2)设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3m >0，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2n >0，由已知结合极化恒等式求解m 与n 值，进一步可得EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值．【靶向训练】练4-1(2021·湖北省模拟)如图，已知P 是半径为3，圆心角为π2的一段圆弧AB ⏜上一点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是()A. −6B. 6−9√2C. −8D. 6−6√5练4-2(2022·福建省龙岩市期中)阅读下一段文字：(a ⃗+b ⃗⃗)2=a ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2，(a ⃗−b ⃗⃗)2=a ⃗2−2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2，两式相减得(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2=4a ⃗?b ⃗⃗?a ⃗?b ⃗⃗=14[(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2]，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．(1)若AD =BC =3，求AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值； (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=27，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5，求EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值．易错点1．投影向量理解错误例9.(2022·湖北省武汉市期末.多选)若A i (i =1,2,…,n)是△AOB 所在的平面内的点，且OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.下面给出的四个命题中，其中正确的是() A. |OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+⋯+|OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|B. AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0C. 点A 、A 1、A 2…A n 一定在一条直线上D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影数量一定相等易错点2．向量夹角定义理解错误例10.(2021·辽宁省期中)已知|a ⃗⃗|=√2，|b ⃗⃗|=4，当b ⃗⃗⊥(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)时，向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为()A. π6 B. π4 C. 2π3 D. 3π4易错点3．平面向量的运算律运用错误例11.(2022·江苏省南通市模拟.多选)关于平面向量a ⃗⃗，b ⃗⃗，c⃗⃗，下列说法不正确的是() A. 若a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗?c ⃗⃗，则a ⃗⃗=b ⃗⃗B. (a ⃗⃗+b ⃗⃗)?c ⃗⃗=a ⃗⃗?c ⃗⃗+b ⃗⃗?c ⃗⃗C. 若a ⃗⃗2=b ⃗⃗2，则a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗?c ⃗⃗D. (a ⃗⃗?b ⃗⃗)?c ⃗⃗=(b ⃗⃗?c ⃗⃗)?a ⃗⃗易错点4．混淆平面向量共线、垂直的坐标关系例12.(2022·福建省名校联考.多选)已知向量a ⃗⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(1,m)，则()A. 若a ⃗⃗与b ⃗⃗垂直，则m =12B. 若a ⃗⃗//b ⃗⃗，则m 的值为−2C. 若|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，则m =2D. 若m =3，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为45°答案解析【教材改编】1.【解析】在△ABC 中，∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即AB ⊥AC ，点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则G 为△ABC 的重心，设AC 的中点为D ,∴向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为：23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|， ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，∴向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为：23×AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=23BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗，故答案选：B ．2.【解析】 (1)由F 1⃗⃗⃗⃗，F 2⃗⃗⃗⃗⃗，F 3⃗⃗⃗⃗⃗处于平衡状态，知F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗+F 3⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，∵|F 1⃗⃗⃗⃗|=1,|F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=2,且F 1⃗⃗⃗⃗与F 2⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为23π， ∴|F 3⃗⃗⃗⃗⃗|=|−F 1⃗⃗⃗⃗−F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=√(F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗)2=√1+4+2×1×2×(−12)=√3；(2)∵F 3⃗⃗⃗⃗⃗=−(F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗)，∴F 3⃗⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗=−F 1⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗−F 2⃗⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗，设F 2⃗⃗⃗⃗⃗与F 3⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，∴√3×2×cosθ=−1×2×(−12)−4，解得cosθ=−√32，又θ∈[0,π]，∴θ=5π6．即F 2⃗⃗⃗⃗⃗与F 3⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为5π6．? 【考点探究】例1.【解析】设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ，因为|a ⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，a ⃗·b ⃗⃗=−12，所以cosθ=a ⃗⃗·b ⃗⃗|a⃗⃗||b ⃗⃗|=−123×5=−45，因为e ⃗是与b ⃗⃗方向相同的单位向量，所以a ⃗在b ⃗⃗上的投影向量为：|a ⃗|cosθ·e ⃗=3×(−45)e ⃗=−125e ⃗．故答案为−125e ⃗．练1-1.【解析】因为平面向量a ⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗|=12,?b ⃗⃗=(2,√5),?a ⃗?b ⃗⃗=18，所以b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影向量是a ⃗⃗?b ⃗⃗|a⃗⃗|×a ⃗⃗|a⃗⃗|=1812×a ⃗⃗12=18a ⃗．故答案选；D ．练1-2.【解析】因为2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以O 为BC 中点，又△ABC 外接圆的圆心为O ，所以三角形为以A 为直角顶点的直角三角形，又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以△ABO 为等边三角形，则∠ABC =60°，∠ACB =30°，所以向量CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为： CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2·CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗．故答案选：C ．例2.【解析】∵在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD =BC =2，AB =4，∠ABC =π3，P 是BC 的中点，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=42−12×4×2×12=14，故答案为：14．练1-3.【解析】∵c ⃗=ta ⃗+(1−t)b ⃗⃗，c ⃗?b ⃗⃗=0，∴c ⃗?b ⃗⃗=ta ⃗?b ⃗⃗+(1−t)b ⃗⃗2=0， ∵a ⃗，b ⃗⃗是单位向量，∴|a ⃗|=|b⃗⃗|=1，又∵a⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，∴a ⃗⃗?b ⃗⃗=1×1×cos60°=12， ∴c ⃗?b ⃗⃗=ta ⃗?b⃗⃗+(1−t)b ⃗⃗2=12t +(1−t)=0，∴t =2．故答案为：2．练1-4.【解析】如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ， ∴AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18．故答案选：C ．例3.【解析】OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0)，OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?α,sin?α)，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?β,−sin?β)，OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?(α+β),sin?(α+β))， AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosα−1,sinα)，AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosβ−1,−sinβ)，对于A ，|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2α+sin 2α=1，|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2β+(−sinβ)2=1，A 正确；对于B ，|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(cosα−1)2+sin 2α=√2−2cosα，|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(cosβ−1)2+(−sinβ)2=√2−2cosβ，因为α,β不一定相等，所以|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|不一定相等，B 错误；对于C ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cos(α+β)；OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=cosαcosβ+sinα(−sinβ)=cos(α+β)，C 正确；对于D ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosα，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosβcos(α+β)+(−sinβ)sin(α+β)=cos(α+2β)，不一定相等，D 错误．故选：AC ．练1-5.【解析】∵向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(2,1)，∴2a ⃗⃗+b ⃗⃗=(4,2m +1)，∵b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=7，∴b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=8+2m +1=7，解得m =−1．故答案为：−1．练1-6.【解析】f (x )=m ⃗⃗⃗⃗·n ⃗⃗+2=2cosωx ·(√3sinωx −cosωx)−1+2 =√3sin2ωx −(1+cos2ωx )+1=2sin (2ωx −π6)，∵最小正周期为π2，故ω=2，则f (x )的解析式为f (x )=2sin (4x −π6)．故答案为：f (x )=2sin (4x −π6)．例4.【解析】∵向量a ⃗⃗，b ⃗⃗夹角为45°，且|a ⃗⃗|=1，|2a ⃗⃗−b ⃗⃗|=√10．∴√4a ⃗⃗2+b ⃗⃗2−4a ⃗⃗?b ⃗⃗=√10，化为4+|b ⃗⃗|2−4|b ⃗⃗|cos45°=10，化为|b ⃗⃗|2−2√2|b ⃗⃗|−6=0，∵|b ⃗⃗|≥0，解得|b ⃗⃗|=3√2．故答案为：3√2．练2-1.【解析】因为|a ⃗⃗+b ⃗⃗|2=a ⃗⃗2+2a ⃗⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2=50+2a ⃗⃗?b ⃗⃗=36，所以a ⃗⃗?b ⃗⃗=−7．因为|a ⃗⃗−b ⃗⃗|2=a ⃗⃗2−2a ⃗⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2=50+2×7=64，所以|a⃗⃗−b ⃗⃗|=8．故选：B ．练2-2.【解析】因为平面向量a ⃗⃗、b ⃗⃗、c ⃗⃗两两的夹角相等，所以夹角为0°或120°，由题意知：|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，|c ⃗⃗|=3，当夹角为0°时，2a ⃗⃗·b ⃗⃗=2|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=4，2b ⃗⃗·c ⃗⃗=2|b ⃗⃗||c ⃗⃗|=12，2a ⃗⃗·c ⃗⃗=2|a ⃗⃗||c ⃗⃗|=6，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗=√(a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗)2=√a ⃗⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗⃗2+2a ⃗⃗·b ⃗⃗+2b ⃗⃗·c ⃗⃗+2a ⃗⃗·c ⃗⃗=√1+4+9+4+12+6=6，故选项D 正确；当夹角为120°时，2a ⃗⃗·b ⃗⃗=2|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cos120°=−2，2b ⃗⃗·c ⃗⃗=2|b ⃗⃗||c ⃗⃗|cos120°=−6，2a ⃗⃗·c ⃗⃗=2|a ⃗⃗||c ⃗⃗|=−3，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗|=√(a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗)2=√a ⃗⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗⃗2+2a ⃗⃗·b ⃗⃗+2b ⃗⃗·c ⃗⃗+2a ⃗⃗·c ⃗⃗=√1+4+9−2−6−3=√3，故选项A 正确．故选：AD ．例5.【解析】∵(a ⃗⃗−b ⃗⃗)⊥(3a ⃗⃗+2b ⃗⃗)，∴(a ⃗⃗−b ⃗⃗)?(3a ⃗⃗+2b ⃗⃗)=0，即3a ⃗⃗2−2b ⃗⃗2−a ⃗⃗?b ⃗⃗=0，即a ⃗⃗?b ⃗⃗=3a ⃗⃗2−2b ⃗⃗2=23b ⃗⃗2，∴cos <a ⃗⃗，b ⃗⃗>=a⃗⃗?b ⃗⃗|a ⃗⃗||b⃗⃗|=23b ⃗⃗22√23b ⃗2=√22，即<a ⃗⃗，b ⃗⃗>=π4，故选：A ．练2-3.【解析】根据题意，因为AB =3，AD =2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−43DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12，所以DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3，即|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠ADC =−3，即cos∠ADC =−12，又∠ADC ∈(0,π)，所以∠ADC =2π3．故答案选：C ．练2-4. 【解析】∵|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗⃗−b ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2=(a ⃗⃗−b ⃗⃗)2?a ⃗⃗?b ⃗⃗=0，又∵|a ⃗⃗+b|=2√33|a ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2=43a ⃗⃗2?|b ⃗⃗|=√33|a ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)?a ⃗⃗=a ⃗⃗2+a ⃗⃗·b ⃗⃗=a ⃗⃗2，∴cos <a ⃗⃗+b ⃗⃗,a ⃗⃗>=(a ⃗⃗+b ⃗⃗)·a ⃗⃗|a ⃗⃗+b ⃗⃗|·|a ⃗⃗|=22√33|=√32，故向量a ⃗⃗+b ⃗⃗与a ⃗⃗的夹角为π6．故答案选：D ．例6.【解析】∵|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，∴a ⃗⃗·b ⃗⃗=|a ⃗⃗|·|b⃗⃗|·cos60°=1 ∵(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)⊥(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)，∴(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)?(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)=3m |a ⃗⃗|2+(5m −3)·a ⃗⃗·b ⃗⃗−5|b⃗⃗|2=3m +(5m −3)−20=0；∴m =238．故答案为：238．练2-5.【解析】已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角是π3，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=4，则：a ⃗⃗?b ⃗⃗=|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cos π3=2，已知：(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)⊥a ⃗⃗，则：(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)?a ⃗⃗=0，即：3a ⃗⃗2+λa ⃗⃗?b ⃗⃗=0，解得：λ=−32，故选：A ．练2-6.【解析】∵a ⃗⃗+3b ⃗⃗与7a ⃗⃗−5b ⃗⃗垂直，∴(a ⃗⃗+3b ⃗⃗)?(7a ⃗⃗−5b ⃗⃗)=7a ⃗⃗2−15b ⃗⃗2+16a ⃗⃗?b ⃗⃗=0①，又∵a ⃗⃗−4b ⃗⃗与7a ⃗⃗−2b ⃗⃗垂直，∴(a ⃗⃗−4b ⃗⃗)?(7a ⃗⃗−2b ⃗⃗)=7a ⃗⃗2+8b ⃗⃗2−30a ⃗⃗?b ⃗⃗=0②，由①②得a ⃗⃗2=b ⃗⃗2=2a ⃗⃗?b ⃗⃗,又由cosθ=a⃗⃗?b ⃗⃗|a ⃗⃗|?|b⃗⃗|，易得：cosθ=12，则θ=60°，故答案为：60°例7.【解析】根据题意，直角三角形ABC 中，∠A =90°，设AD 为斜边BC 上的高，又由AB =2，AC =4，则AD =√4+16=4√55，连接PA ，则圆A 的半径r =|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√55，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=165+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)同向时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)取得最大值，此时|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√55，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√4+16=2√5，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)的最大值为4√55×2√5=8，故PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为165+8=565，故选：D ．练3-1.【解析】如图，以B 为坐标原点，?BC 所在的直线为?x 轴，过点B 且垂直与BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，因为AD//BC ，∠B =π3，AB =2，AD =1，所以D(2,√3)，不妨设P (x,0)，Q (x +1,0)(0≤x ≤3)，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x −2,−√3)?(x −1,−√3) =(x −2)(x −1)+3=x 2−3x +5=(x −32)2+114，由二次函数性质得当x =32时，DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值114．故选D.练3-2.【解析】由b(tanA +tanB)=2ctanB ，得sinB (sinAcosA +sinBcosB )=2sinC ·sinBcosB ，整理得sinAcosB +cosAsinB =2sinCcosA ，即sin(A +B)=2sinCcosA ，又sin(A +B)=sinC ，所以cosA =12，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=bccosA =2,所以bc =4，又AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，所以|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=13√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=13√b 2+c 2+2×2≥13√2bc +4=√123=2√33, 当且仅当b =c 时，等号成立，所以|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为2√33．【素养提升】例8.【解析】 (1)由勾股定理知，AB =√AB 2+AC 2=10；解法一(坐标法)：建立平面直角坐标系，如图所示：则A(0,0)，B(0,8)，C(6,0)，BC 的中点D(3,4)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−6,8)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3×(−6)+4×8=14；解法二(基向量法)：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)=12×(82−62)=14；解法三(定义法)：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2×|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|×|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|×cos2B =2×5×5×(2cos 2B −1)=50×[2×(45)2−1]=14；(2)由题意，点P 在AC 上，解法一(极化恒等式)：PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2−(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)24=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−25，所以当PD ⊥CA 时，此时|PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4， PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗取到最小值，即(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)min =−9；解法二(坐标法)：设P(x,0)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−x,8)?(6−x,0)=(x −3)2−9，所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是−9； (3)解法一(坐标法)：以AC ，AB 为x ，y 轴建立坐标系，则∠BAC 的角平分线方程为y =x ，可以设P(a,a)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗可以表示为(−a,−a)=m(−a,8−a)+n(6−a,−a)=(−am +6n −an,8m −am −an)，所以(m +n −1)a =8m =6n ，m =34n ，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2|a|=√2|24n7n−4|=√2|247−4n|，当1≤n ≤2时，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围是[245√2,8√2]．解法二(几何法)：由已知得(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则有{(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+n AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，即{(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=64m ①(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=36n ②；由①÷②得86=64m 36n，所以m =34n ，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1−m−n=3nAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗4−7n，所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|24√2n (4−7n)|∈[24√25,8√2]．? 练4-1.【解析】由题意可得AB =√32+32=3√2，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则BC =√2，所以AC =4√2，取AC 的中点M ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，两式平方后作差得PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−14AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−8，要使PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗最小，就要使PM 最小，易知当圆弧AB 的圆心与点P ，M 三点共线时，PM 最小，设AB 的中点为D ，圆心为O ，连接OD 和OM ，此时DM =AM −AD =2√2−3√22=√22，在△ODM 中，OM =√OD 2+DM 2=(3√22)(√22)=√5，所以PM 的最小值为3−√5，代入求得PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗最小值为6−6√5．故答案选：D ．练4-2.【解析】 (1)由极化恒等式知，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14[(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2]=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=9−94=274；(2)设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3m >0，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2n >0，由极化恒等式知，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24，FB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗29−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24，EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗29−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24，又AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=27，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5， ∴有{9m 2−n 2=27m 2−n 2=−5，解得m =2，n =3，∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4m 2−n 2=7．? 【易错点归纳】例9.【解析】因为OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗i ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，故选项B 正确；即|OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠A i OB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠AOB ，所以|OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠A i OB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠AOB ，则向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i 在向量OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影数量相等，又AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以点A 、A i 在同一条垂直于直线OB 的直线上，故A 选项错误，选项C 正确，选项D 正确．故选：BCD ．例10.【解析】根据题意，设向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为θ，若b ⃗⃗⊥(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)，则b ⃗⃗(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)=4a ⃗⃗?b ⃗⃗−b ⃗⃗2=4|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cosθ−|b ⃗⃗|2=16√2cosθ−16=0，变形可得：cosθ=√22，又由0≤θ≤π，则θ=π4，故选：B ．例11.【解析】对于A ，a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗c ⃗⃗?(a ⃗⃗−b ⃗⃗)?c ⃗⃗=0，不一定有a ⃗⃗=b ⃗⃗?，故A 不正确；对于B ，利用向量数量积的运算性质可得：(a ⃗⃗+b ⃗⃗)?c ⃗⃗=a ⃗⃗?c ⃗⃗+b ⃗⃗?c ⃗⃗?，故B 正确；对于C ，若a ⃗⃗2=b ⃗⃗2，则|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，但当a ⃗⃗，b ⃗⃗与c ⃗⃗的夹角不相等时，a ⃗⃗?c ⃗⃗≠b ⃗⃗?c ⃗⃗，故C 不正确；对于D ，a ⃗⃗?b ⃗⃗与b ⃗⃗c ⃗⃗都为实数，而a ⃗⃗与c ⃗⃗不一定共线，因此(a ⃗⃗?b ⃗⃗)?c ⃗⃗≠(b ⃗⃗?c ⃗⃗)?a ⃗⃗.故D 不正确．故选：ACD ．例12.【解析】向量a ⃗⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(1,m)，A .若a ⃗⃗与b ⃗⃗垂直，则(−1)×1+2×m =0，解得m =12，故A 正确；B .若a ⃗⃗?//b ⃗⃗，则(−1)×m −2×1=0，解得m =−2，故B 正确；C .若|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，则√5=√1+m 2，所以m =±2，故C 错误；D .若m =3，则b ⃗⃗=(1,3)，则a ⃗⃗·b ⃗⃗=1×(−1)+2×3=5，|a ⃗⃗|=√5，|b⃗⃗|=√10，所以cos <a ⃗⃗,b ⃗⃗>=a⃗⃗·b ⃗⃗⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=√5×√10=√22，又<a ⃗⃗,b⃗⃗>∈[0,180°]，所以a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为45°?，故D 正确．故选：ABD ．。

高考数学复习知识点讲解教案第31讲平面向量的数量积

1
,
2
D.9
1

3
= +
1
，
3
1
，
3
2
4①，
2
=
2

+
2

3
⋅ +
2
= −8，即 − = 9，
所以 ⋅ = + ⋅ ( − ) =
2

−
2

= −9.故选A.
1
2

9
= 12②，
（3）
[2022·北京卷] 在△ 中， = 3， = 4，∠ =
∈ )；
⋅
⋅
③
⋅+⋅
分配律： + ⋅ =______________.
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量 = 1 , 1 ， = 2 , 2 ，⟨,⟩为与的夹角.
向量的长度
，的数量积
与垂直
向量表示
坐标表示
= 2
2
高考数学复习知识点讲解教案
第31讲平面向量的数量积
课前基础巩固课堂考点探究教师备用习题作业手册
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向
量的数量积.
2.通过几何直观的了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.
规定：零向量与任一向量的数量积为___,即
⋅ = 0.
（3）
投影向量
如图，在平面内任取一点，作 = ， = ，过点作
1
直线的垂线，垂足为1 ，则______就是向量在向量上

5.2 平面向量的数量积讲义(含解析)

5.2 平面向量的数量积讲义1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义b 在a 的方向上的投影=|b |cos θ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，(3)a 2＝|a |2(4)向量的夹角公式cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.题型一平面向量数量积的运算例1 （1）（2016年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC 的值为（）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B（2）(2015·四川，理7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN→＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20 B. 15 C ．9 D ．6解析 AM →＝AB →＋34AD →， NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →， ∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →) ＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C. 答案 C（1）(2015·山东，理4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2解析如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2. 答案 D（2）(2015·广东，文9)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A.5B.4C.3D.2解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5. 答案 A题型二求向量的模与夹角例2 （1）(2014·新课标全国Ⅱ，理3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5解析由向量的数量积运算可知，∵|a ＋b |＝10，∴(a ＋b )2＝10，∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝10，①同理a 2＋b 2－2a ·b ＝6，②①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.答案 A（2）（2016年北京高考）已知向量，则a 与b 夹角的大小为_________.【答案】思维升华 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a·a 要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的．（1）(2012·新课标全国，理13)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.解析 |2a －b |＝10⇔(2a －b )2＝10⇔4＋|b |2－4|b |cos 45°＝10⇔|b |＝32或|b |＝－2(舍去)．答案 32（2）(2014·江西，理14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.解析因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223. a b 30.22答案3。

2024届新高考一轮复习北师大版第5章第3节平面向量的数量积及平面向量应用举例课件(64张)

B．－1
C．－6
D．－18
D
由题意知 cos
〈a，b〉＝sin
17π 3
＝sin
6π－π3
＝－sin
π 3
＝
－
3 2
，所以 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×2
3
×－
3
2
＝－3，b·(2a－b)
＝2a·b－b2＝－18.故选 D.
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3．在 Rt△ABC 中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量B→A 在向量
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[常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角为 0 时不成立).
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规定零向量与任一向量的数量积为 0
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(2)当 0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0；当 90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|.
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(3)投影向量
大一轮复习讲义数学（BSD）
第五章平面向量、复数第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例
内夯实·主干知识容探究·核心考点索引课时精练
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【考试要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某其他一些实际问题．

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高考数学平面向量的数量积讲义
1.向量的夹角
已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角
的范围是[0，π].
2.平面向量的数量积
3.平面向量数量积的性质
设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角.则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.
(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.
(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；
当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.
特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .
(4)cos θ＝a ·b |a ||b |
. (5)|a ·b |≤|a ||b |.
4.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b ＝b·a ；
(2)(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a·b )＝λa·b (λ为实数)；
(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到
(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
(4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22
. 【知识拓展】
1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线；
两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式。