平面向量的数量积练习题(含答案)

平面向量的数量积

A 组 专项基础训练

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于

( )

A ．－1

B ．－1

2

C.1

2

D ．1

2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a

＋b |等于( )

A. 5

B.10 C ．2 5 D ．10

3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

79，73

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－7

9，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC

→等于

( )

A ．－3

2

B ．－2

3

C.2

3

D.32

二、填空题(每小题5分，共15分)

5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC

→＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分)

8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.

(1)求b ；

(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .

9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与

向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

B 组 专项能力提升

一、选择题(每小题5分，共15分)

1．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC

→＝1，则BC 等于

( )

A. 3

B.7

C ．2 2

D.23

2． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )

A ．－4

B ．4

C ．－2

D ．2

3．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等

于( ) A ．2

B ．4

C ．5

D ．10

二、填空题(每小题5分，共15分)

4．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.

5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点

F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．

6．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且

满足|BM →||BC →|＝|CN →|

|CD →|，则AM →·AN

→的取值范围是________．

三、解答题

7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12，32.(1)求证：向量

a ＋

b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．

平面向量的数量积参考答案

A 组 专项基础训练

1.答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1. 2． 答案 B

解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)， 由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.

由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)． ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10. 3．答案 D

解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73. 4．答案 D

解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 二、填空题(每小题5分，共15分)

5．答案 32解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，

∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. 6． 答案 －16

解析 如图所示， AB

→＝AM →＋MB →， AC

→＝AM →＋MC → ＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →) ＝AM

→2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 7． 答案 (－∞，－6)∪⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－6，32解析 由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得：

6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<3

2，且λ≠－6. 三、解答题(共22分)