文科概率与统计(学生版)

概率与统计

轻工校区张毅

知识清单

一．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 二．随机事件

1．必然事件：我们把在条件S 下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S 的必然事件， 2．不可能事件：我们把在条件S 下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S 的不可能 事件，

3．随机事件：我们把在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S 的 随机事件 三．古典概型

1．一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中 的某一事件A 由几个基本事件组成．如果一次试验中可能出现的结果有

n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等， 那么每一基本事件的概率都是

n

1. 如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率=)(A P n

m . 2．古典概型的两大特点：

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ②每个基本事件出现的可能性相等 3．古典概型的概率计算公式：总的基本事件个数

包含的基本事件

A A p =)(

四．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度和面积成比例，则称这样的概率模型 为几何概型．

几何概型中，事件A 的概率计算公式为

P(A)＝构成事件A 的区域的几何度量(长度、面积或体积)

试验的所有结果所构成的区域的几何度量(长度、面积或体积)

五．互斥事件

对于事件A 和事件B ：若A ∩B 为不可能事件，则称A 、B 为互斥事件；若A 、B 为互斥事件且

A ∪

B 为必然事件，则称A 、B 为对立事件，通常A 的对立事件记作.

互斥事件有一个发生的概率：

若事件A 与B 互斥，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)． 六.随机抽样

1．总体、个体、样本、样本容量的概念：统计中所考察对象的全体构成的集合看做总体，构 成总体的每个元素作为个体，从总体中抽取的一部分个体所组成的集合叫作样本，样本中 个体的数目叫作样本容量．

2．简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样 本(n ≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫 作简单随机抽样．最常用的简单随机抽样的方法有两种：抽签发、随机数表法

3．系统抽样：当总体中的个体比较多时，首先把总体分成均衡的若干部分，然后按照预先定 出的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫作系统抽样． 4．分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层 独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层 抽样．

七．用样本的数字特征估计总体的数字特征

1．众数：一组数据中出现次数最多的数．

2．中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数． 3．平均数：n

x x x x x n

+⋅⋅⋅+++=

321，反映了一组数据的平均水平．

4．标准差：(

)()

[]

22221)(1

x x x x x x n

S n -+⋅⋅⋅+-+-=

，反映了样本数据的离散程度． 5．方差：(

)()

[]

22221)(1

x x x x x x n

S n -+⋅⋅⋅+-+-=，反映了样本数据的离散程度．

课程内容

一．随机事件

例1．下列说法正确的是( )．

A ．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为710

B ．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次“正面朝上”

C ．某地发行福利彩票，其回报率为470/0.有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报

D ．大量试验后，可以用频率近似估计概率 二．古典概型和几何概型

例2.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A.12B ．13 C.14 D ．16

例3.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

例4.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

例5.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率． 三．互斥事件和对立事件

例6.先后掷骰子(骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点)两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x 、y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x 、y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率P(B|A)＝( )．

A.12B ．13 C.14 D ．2

5

例7.已知甲射手射中目标的概率为0.9，乙射手射中目标的概率为0.8，如果甲乙两射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为( )．

A ．0.9

B ．0.9

C ．0.96

D ．0.98

例8.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()．A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312

练习9.从5张10元，3张20元，2张100元的人民币中任取3张，则所取3张中至少有2张面值相同的概率为________．

练习10.盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则条件概率P(B|A)＝________.

练习11.某位选手参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．

(1)求这位选手得300分的概率；

(2)求这位选手至少得300分的概率．

四．随机抽样

例12.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )．A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法

练习13.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( ).

A．90 B．100 C．180 D．300

练习.14在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)

的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用

系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员

人数是( )．

A．3B．4C．5D．6