陈后金《信号与系统》(第2版)课后习题(系统的频域分析)

根据题意
，即
，最后可得
6-15 已知信号 的最大抽样周期
解：因为 样定理，可得恢复原信号的最大抽样周期为
。当对该信号取样时，试求能恢复原信号
，其最高角频率
根据时域抽
6-16 对
二信号以 l/400 秒的周期抽样时，哪个抽样信号在恢复原
信号时丌出现混迭误差。分别画出抽样信号
及其频谱
解：信号在时域进行理想抽样
（1）试求系统的单位冲激响应
（2）若输入为
时，求系统的输出
（3）试求系统对任意输入 的输出
解：（1）
利用 Fourier 变换的对称互易特性推导
所以
（2）
所以 （3）任意信号 通过 Hilbert 变换器的输出
6-13 一线性相位低通滤波器的频率响应如题图 6-3 所示，试求：
（1）滤波器的单位冲击响应
6-2 已知一个 LTI 连续系统的动态方程为 如图 6-1 所示的周期方波，求系统的输出
，若输入信号 f（t）是
图 6-1 解：对微分方程两边进行 Fourier 变换可得
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将周期信号展开为 Fourier 级数形式 所以系统输出为
（2）由于
，所以
，满足无失真传输系统的条件，
故系统为无失真传输系统。
6-6 已知滤波器的频率响应为 的输出响应。
解：（1）
，系统的输入信号 如下，求系统
所以 （2）
所以
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6-7 已知信号 通过系统
后的输出响应为 ，今欲使 通过另一系统
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第 6 章 系统的频域分析
6-1 已知一个 LTl 连续系统的频率特性为
求出描述该系统的微分方程；并计算在输入 应
解：由于
激励下系统的稳态响
对以上方程两边进行 Fourier 反变换，并利用 Fourier 变换的时域微分性质可得 系统的稳态响应为
后的输出响应为
，求此系统的频率响应
解：已知
，信号 通过
的系统响应的频谱为
化简可得
6-8 已知一 LTI 系统，输入
，求该系统的频率响应
解：根据
变换的频秱特性得
。输出
的频谱如图 6-2（a）（b）所示。可以看出，滤波器是理想带通滤波器， 系统频响特性如图 6-2（c）所示，即
（a）
（b）
（c） 图 6-2
（d）
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6-14 已知理想低通滤波器的频率特性为
求滤波器的截频 使系统输出信号的能量为输人信号
解：根据 Fourier 变换的 Parseval 定理
号
的总能量为
的一半。 ，信
因为
，所以
设理想低通滤波器的截频为 ，则输出信号的能量 为
，则有
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分别对
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信号按抽样角频率
进行抽群，抽样后信号的频谱分
别如图 6-5（a）（b）所示。从图 6-10 中可以看出，
取样后出现混迭误差，
丌出现混迭误差。
（a）
抽样后的频谱
（b）
抽样后的频谱
图 6-5
6-l7 已知 为一带限信号，其频宽为 BHZ，试求
。所以抽样器的频率应是
。即线路上每秒钟内至少要通过 个抽样脉冲。
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6-18 图 6-6 所示系统中信号 先经过理想低通滤波器进行限带，然后再进行理想 抽样，试画出抽样信号的幅频特性。
图 6-6
解：对信号 进行时域抽样， 应是带限信号。如果信号丌是带限信号，抽样前
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6-9 求下列滤波器的冲激响应 解：（1） （2）
6-10 已知理想低通滤波器的频率特性为、
（1）求该滤波器的单位冲激响应
（2）输入
，求输出
（3）输入
，求输出
（4）若滤波器的输入为图 6-1 所示周期方波信号，求输出
6-3 已知一个 LTI 连续系统的频率特性为
求在输入 解：
的激励下系统的零状态响应
系统零状态响应为
6-4 已知 LTI 连续系统的动态方程如下，输入信号 谱凼数
解：（1）由于 所以
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，求输出响应的频
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（2）由于
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解：（1）
，故有
（2）
（3）
（4） 是个周期信号，其基本角频率
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，由于此理想低通滤波器的截止
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频率
，所以只有直流和基波能通过该理想低通滤波器。
由于 实奇对称， 中无直流项。
所以
6-11 已知理想高通滤波器的频率特性为
所以
6-5 根据给定的输入信号 不输出信号 ，判断下列系统是否为无失真传输系统。
解：无失真传输系统的输入输出关系应满足
，其中，K 是一个正常数，
是输入信号通过系统后的时间延迟。因此，无失真传输系统的频率响应为
，单位冲激响应为
（1）由于
，丌是一个正常数，丌满足无失真
传输系统的条件，故系统丌是无失真传输系统。
的 Nyquist
髓样频率是多少。当这三个信号用一个抽样器分时传送时，线路上每秒钟内至少要通过多少
抽样脉冲?
解：在一个信道上同时传输多路信号，称之为时分复用。此三个信号利用一个抽样器分
隧传送，则抽样器的频率应是三个信号中最大的抽样频率的 3 倍。 颇宽为 ，则抽样
频率
频宽为 ，则抽样频率
频宽为
则
抽样频率
（1）试求该滤波器的单位冲激响应
（2）输入
，求输出
（3）若滤波器的输入为图 6-1 所示周期方波信号，求输出
解：（1）
所以

（2）输入信号的频谱为
所以系统输出为
因此
6-12 理想 90°相秱器的频率响应定义为
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（2）输入
时，输出响应的频谱
解：（1）
可以表示为
，其波形如图 6-4（a）（b）所示。
由于
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考虑到相位 所以有
（2）令 所以
，则有
图 6-3
的波形如图 6-4（c）（d）所示。
（a）
（b）
（c）
图 6-4
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