信号与系统陈后金第二版课后答案
信号与系统考题参考解答(完整版)
《信号与系统》作业参考解答第一章（P16-17）1-3 设)(1t f 和)(2t f 是基本周期分别为1T 和2T 的周期信号。
证明)()()(21t f t f t f +=是周期为T 的周期信号的条件为T nT mT ==21 （m ,n 为正整数） 解：由题知)()(111t f mT t f =+ )()(222t f mT t f =+要使)()()()()(2121t f t f T t f T t f T t f +=+++=+则必须有21nT mT T == （m ,n 为正整数） 1-5 试判断下列信号是否是周期信号。
若是，确定其周期。
（1）t t t f πsin 62sin 3)(+= （2）2)sin ()(t a t f =（8）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 28sin 4cos )(k k k k f πππ解：（1）因为t 2sin 的周期为π，而t πsin 的周期为2。
显然，使方程n m 2=π （m ,n 为正整数）成立的正整数m ,n 是不存在的，所以信号t t t f πsin 62sin 3)(+=是非周期信号。
（2）因为)2cos 1()sin ()(22t a t a t f -==所以信号2)sin ()(t a t f =是周期π=T 的周期信号。
（8）由于)4/cos(k π的周期为8)4//(21==ππN ，)8/sin(k π的周期为16)8//(22==ππN ，)2/cos(k π的周期为4)2//(23==ππN ，且有16412321=⨯=⨯=⨯N N N所以，该信号是周期16=N 的周期信号。
1-10 判断下列系统是否为线性时不变系统，为什么？其中)(t f 、][k f 为输入信号，)(t y 、][k y 为零状态响应。
（1）)()()(t f t g t y = （2）)()()(2t f t Kf t y += 解：（1）显然，该系统为线性系统。
陈后金《信号与系统》(第2版)课后习题(连续时间信号与系统的复频域分析)
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7-5 试求图 7-2 示信号的单边 Laplace 变换。
（a）
（b）
图 7-2
解：（1） 可用阶跃信号和斜波信号的线性组合表示，即
利用阶跃信号和斜波信号的 Laplace 变换及时秱特性，可得
（2）
7-6 试利用 Laplace 变换的性质求下列函数的 Laplace 变换。
解：周期为 T 的单边周期信号 可以表示为第一个周期信号
及其时秱
的线性组合，即
（a）
（b）
（c）
（d）
图 7-1
若计算出 的 Laplace 变换 ，利用 Laplace 变换的时秱特性和线性特性，即
可求得单边周期信号的 Laplace 变换为
（1）
（2）设 因为
所以
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至
经过什么运算才得到的，则将 迚行相应的运算即可求出
，故由 Laplace
（4）由 Laplace 变换的指数加权特性，可得
（5）由 Laplace 变换的微分特性，可得
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（6）由 Laplace 变换的线性加权特性，可得
（7） 可得
的微分，由第（3）小题的结果及 Laplace 变换的微分特性，
7-9 试求下列 的初值
和终值
解：根据初值定理和终值定理即可求出信号 的初值
和终值
。但应用初
值定理时， 应为真分式，若 丌是真分式，则应将其表示为多项式不真分式乊和，
对真分式部分应用初值定理。在应用终值定理时也要注意，只有 的极点在 左半平面或
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（5）
由微分性质
得：
。
（6）
（7） （8）
12．已知 F（s）和收敛域，求 f（t）。
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解：（1） 由于 ＜－3，f（t）是反因果信号，所以 （2） 由于 ＜－1，f（t）是反因果信号，所以 （3）
（1）f（－t）u（－t）↔F（－s）；（2）f（t）u（－t）↔—F（s）；
（3）f（－t）u（t）↔F（－s）。
证明：用定义式来证明
，则
（1）
令－t＝λ，则
（2）
（3）
7．已知
求下列信号的拉氏变换：
（1）
解：从收敛域知 f（t）是因果信号，利用拉氏变换的性质求解。
（1） （2）
（3）
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的单边拉普拉斯
2．因果信号 f（t）的拉普拉斯变换为 度为________。
【答案】2
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则 f（t）在 t＝0 的冲激强
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【解析】用长除法得
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则
由于 F（s）含常数项 2，其逆变换正好对应 F（t），故 f（t）在 t＝0 的冲激强度为 2。
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（4）
8．已知 f（t）的波形如图 7-3 所示，求下列信号的拉氏变换。
解：（1）
图 7-3
（2） （3） （4） （5） （6）
9．用拉氏变换性质求以下各题（f（t）是因果信号）。
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解：（1） （2） （3） （4）
信号与系统陈后金版答案
第二步:求差分方程的齐次 解： 2 求差分方程的齐次 第二步 h [ 0 ] = C 1 + C 2 r −5r /6 +1/ 6 = 0 1 k1 1 k 1 特征方程为: [ ( + 特征方程为=hCk1 ] = )[3 (C 2) ( −) 2 ( 求 ] u [ C ] = 3, C 2 = − 2 h [1] ⇒ ) 出 k1 ∴r =1/ 2, r2 =1/3 2 3 3 1 2
(3) 计算固有响应与强迫响应 计算固有响应与强迫响应:
1 7 1 k 4 1 k y[k ] = [ − ( ) + ( ) ]u[k ] 完全响应: 完全响应 2 2 2 3 3 7 1 k 4 1 k 固有响应: yh [k ] = [− ( ) + ( ) ]u[ k ] 固有响应 2 2 3 3 1 强迫响应: 强迫响应 y p [k ] = u[k ] 2 (4) 计算瞬态响应与稳态响应 计算瞬态响应与稳态响应:
特征根为 s1 = -2, s2 = -5, 又因为 n > m , 所以： 则 h ( t ) = K 1e − 2 t u ( t ) + K 2 e − 5 t u ( t )
h '(t ) = − 2 K 1e −2 t u (t ) + K 1δ (t ) − 5 K 2 e −5 t u (t ) + K 2δ (t ) = − 2 K 1e −2 t u (t ) − 5 K 2 e −5 t u (t ) + ( K 1 + K 2 )δ (t ) h ''(t ) = 4 K 1e −2 t u (t ) − 2 K 1δ (t ) + 25 K 2 e −5 t u (t ) − 5 K 2δ (t ) + ( K 1 + K 2 )δ '(t ) 代入方程有： = K 1 + K 2 = '( t ) = 2 K 2δ ( t ) + 5 K∴K2 + (7/3; K1 )δ −1/3; 2δ '( t ) + 3δ ( t ) 1δ ( t )
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图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列 学]
使之满足
解：（1）
又 比较上述两式可得： 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知 如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将 反转得 如图2-4（b）所示，将它们相加、减得 ，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段： 可化简为 故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为 ，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式（1）、式（2），并设
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第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1．方程 天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对 【答案】B
描述的系统是（ ）。[北京航空航
陈后金《信号与系统》第2版笔记和课后习题含考研真题详解(信号的时域分析)【圣才出品】
陈后金《信号与系统》第2版笔记和课后习题含考研真题详解第2章信号的时域分析2.1复习笔记一、连续时间信号的时域描述基本信号：普通信号，奇异信号。
1．典型普通信号（1）指数信号①指数信号的数学表示式为图2-1指数信号②指数信号特点指数信号为单调增或单调减信号，为了表示指数信号随时间单调变化的快慢程度，将|α|的倒数称为指数信号的时间常数，以τ表示，即指数信号对时间的微分和积分仍是指数形式。
（2）虚指数信号和正弦信号①虚指数信号的数学表示式为虚指数信号0j te 是周期为2π／|ω0|的周期信号。
②正弦信号和余弦信号仅在相位上相差π／2，通常统称为正弦信号，表示式为正弦信号也是周期为2π／|ω0|的周期信号。
③虚指数信号与正弦信号关系利用欧拉公式，虚指数信号可以用与其相同周期的正弦信号表示，即正弦信号和余弦信号用相同周期的虚指数信号来表示，即图2-2正弦信号（3）复指数信号的数学表示式为利用欧拉公式展开，可得注意：若σ＜0，复指数信号的实部、虚部为减幅的正弦信号，波形如图2-3（a）、（b）所示。
若σ＞0，其实部、虚部为增幅的正弦信号，波形如图2-3（c）、（d）所示。
若σ＝0，可写成纯虚指数信号图2-3复指数信号的实部和虚部（4）抽样函数①抽样函数的数学表示式为图2-4抽样函数②抽样函数性质：2．奇异信号（1）单位阶跃信号①单位阶跃信号定义单位阶跃信号以符号u（t）表示，其定义为有延时的单位阶跃信号，对应的表示式为图2-5阶跃信号应用阶跃信号与延迟阶跃信号，可以表示任意的矩形信号。
图2-6（a）所示矩形信号可以表示为图2-6矩形信号②阶跃信号特点阶跃信号具有单边性，任意信号与阶跃信号相乘即可截断该信号。
（2）单位冲激信号①定义单位冲激信号狄拉克定义延时的单位冲激信号δ（t－t0）定义为图2-7冲激信号冲激信号的广义函数理论定义式中，φ（t）是测试函数。
②冲激信号的性质a．筛选特性：图2-8冲激信号的筛选特性b．取样特性：c．展缩特性：注意：由展缩特性可得出如下推论。
陈后金《信号与系统》(第2版)课后习题(离散时间信号与系统的z域分析)
第8章离散时间信号与系统的z域分析8-1 根据定义求以下序列的单边z变换及其收敛域。
解：根据序列单边z变换的定义即可求出上述信号的z变换及收敛域。
8-2 根据单边z变换的位移性质，求以下序列的z变换及其收敛域。
解：单边z变换的位移特性有以下3种形式（8-1）（8-2）（8-3）对于因果序列的位移，利用式（8-1）；非因果序列的位移，利用式（8-2）和（8-3）。
（1）利用因果序列的位移特性，有（2）利用因果序列的位移特性，有（3）利用因果序列的位移特性，有（4）利用因果序列的位移特性，有（5）由于，直接应用指数信号的z变换，可得（6）将改写成，利用因果序列的位移特性，可得8-3 根据z变换的性质，求以下序列的单边z变换及其收敛域。
解：利用z变换的性质求信号z变换的关键是根据待分析信号的构成，确定合适的信号作为基本信号，采用相应的z变换性质。
（1）由，以及z域微分特性，有（2）将改写为利用（1）题结果及因果序列的位移特性，可得（3）将改写为利用的z变换及z域微分特性，有故（4）将改写为利用（3）题结论及因果序列的位移特性，可得（5）将改写为利用卷积特性（6）利用（5）题结果及指数加权特性，有8-4 求以下周期序列的单边z变换。
解：周期为N的单边周期序列可以表示为第一个周期序列及其位移的线性组合，即这样，若计算出的z变换，利用因果序列的位移特性和线性特性，则可求得其单边周期序列的变换为（1）可表示为利用的变换及因果序列的位移特性，可得（2）将改写为利用（1）题的结果及卷积特性，可得8-5 已知，利用z变换的性质，求下列各式的单边z变换及其收敛域。
解：本题的关键是判断各信号是经过什么运算得到的，然后根据其运算，利用相应的z变换性质即可求出它们的z变换。
（1）利用因果序列的位移特性，可得（2）利用指数加权特性，可得（3）利用（1）题结果及指数加权特性，可得（4）利用z域微分特性，可得（5）利用（4）题结果及线性加权特性，可得（6）可以表示为，利用卷积特性可得（7）可以表示为，利用卷积特性可得（8）可以表示为，利用因果序列的位移特性及卷积特性，可得8-6 已知因果序列的z变换式，试求的初值和终值解：利用初值定理和终值定理即可求出的初值和终值。
信号与系统第二版课后答案
则有
相加得
即
可见
即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。
1-8若有线性时不变系统的方程为
若在非零f(t)作用下其响应 ，试求方程
的响应。
解因为f(t) ，由线性关系，则
由线性系统的微分特性，有
故响应
第2章习题解析
2-1如图2-1所示系统，试以uC(t)为输出列出其微分方程。
2-10对图示信号，求f1(t) *f2(t)。
题2-10图
解(a)先借用阶跃信号表示f1(t)和f2(t)，即
f1(t)= 2(t)2(t1)
f2(t)=(t)(t2)
故
f1(t) *f2(t) = [2(t)2(t1)] * [(t)(t2)]
因为
(t) *(t)= =t(t)
故有
f1(t) *f2(t) = 2t(t)2(t1)(t1)2(t2)(t2)+ 2(t3)(t3)
解因方程的特征根=3，故有
当h(t) =(t)时，则冲激响应
阶跃响应
2-9试求下列卷积。
(a)(t+ 3 ) *(t5 )
(b)(t) * 2
(c)tet(t)*(t)
解(a)按定义
(t+ 3 ) *(t5 )=
考虑到<3时，(+ 3 )= 0；>t5时，(t5 )= 0，故
(t+ 3 ) *(t5 )=
试证明：
(1)
(2)利用(1)的结果，证明阶跃响应
证（1）因为
y(t)=f(t)h(t)
由微分性质，有
y(t)=f(t)h(t)
再由积分性质，有
（2）因为
陈后金《信号与系统》(第2版)课后习题(系统的频域分析)
根据题意
，即
，最后可得
6-15 已知信号 的最大抽样周期
解：因为 样定理，可得恢复原信号的最大抽样周期为
。当对该信号取样时，试求能恢复原信号
，其最高角频率
根据时域抽
6-16 对
二信号以 l/400 秒的周期抽样时，哪个抽样信号在恢复原
信号时丌出现混迭误差。分别画出抽样信号
及其频谱
解：信号在时域进行理想抽样
（1）试求系统的单位冲激响应
（2）若输入为
时，求系统的输出
（3）试求系统对任意输入 的输出
解：（1）
利用 Fourier 变换的对称互易特性推导
所以
（2）
所以 （3）任意信号 通过 Hilbert 变换器的输出
6-13 一线性相位低通滤波器的频率响应如题图 6-3 所示，试求：
（1）滤波器的单位冲击响应
6-2 已知一个 LTI 连续系统的动态方程为 如图 6-1 所示的周期方波，求系统的输出
，若输入信号 f（t）是
图 6-1 解：对微分方程两边进行 Fourier 变换可得
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将周期信号展开为 Fourier 级数形式 所以系统输出为
（2）由于
，所以
，满足无失真传输系统的条件，
故系统为无失真传输系统。
6-6 已知滤波器的频率响应为 的输出响应。
解：（1）
，系统的输入信号 如下，求系统
所以 （2）
所以
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6-7 已知信号 通过系统
后的输出响应为 ，今欲使 通过另一系统
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陈后金《信号与系统》(第2版)(下册)-章节题库-第6~7章【圣才出品】
6．已知 LTL 因果系统，输入 解：
输出为
，求系统的频率特性
。
由于 所以 得
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（2） 得 频谱图如图 6-3 所示。
图 6-3
7．两个互为逆系统的 LTL 因果系统，单位冲激响应为
。
（1）频率特性
有何关系？
1．若 f（t）最高角频率为 ，则对
叏样，其频谱丌混叠的最大间隔是
______。
【答案】
【解析】信号 f（t）的最高角频率为 ，根据傅里叶发换的展缩特性可得信号 f（t/4）
的最高角频率为 ，信号 f（t/2）的最高角频率为
根据傅里叶发换的乘积特性，
两信号时域相乘，其频谱为该两信号频谱的卷积，故 f（t/4）、f（t/2）的最高角频率为
因此该系统频率响应特性的实部不虚部有关联。
2．信号 e（f）＝cos（10t）cos（1000t）通过下述哪个系统时丌失真（ ）。
【答案】C 【解析】e（t）＝cos（10t）cos（1000t）的频域响应在 990～1100Hz 乊间，{ε（ω ＋1100）－ε（ω－1100）}的矩形框正好让原信号完整通过， 只是一个线性发换，相
解：先求
和
（1）
则
再求
的傅里叶反发换得 。
（2）
（3）
（4）
5．因果 LTL 系统的输入 和输出 关系为
，
其中
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。求（1）系统频域凼数
；（2）系统的冲激响应 。
解：系统输入输出斱程为
两边傅里叶发换，有
（1）频域凼数 （2）冲激响应
陈后金《信号与系统》(第2版)配套题库(章节题库 非周期信号的频域分析)【圣才出品】
第5章 非周期信号的频域分析
一、分析计算题
1．已知f（t）的双边频谱如图5-1所示，写出函数表示式。
解：由傅里叶级数公式得
图5-1
2．分别用傅里叶变换的定义和性质求图5-2中信号的频谱。
图5-2
解：（1）用定义求傅里叶变换，定义式为
的。
，由时移特性有
由于
由时域积分性质得
图5-3
，波形如图5-4所示。
由于
所以
又由于
所以
图5-4
波形如图5-5所示。
图5-5
3．求图5-6所示信号的频谱。
图5-6
解：（1）的频谱计算。
将求一次导数，求二次导数如图5-7所示。
图5-7
先求的频谱
由于
由时移特性得
由于
由时域积分性质得由
得
（2
）
的频谱计算。
由于
所以
（3
）的频谱计算。
由所以
（4
）求的对求二次导数，如图5-8所示，求得
所以
图5-8
（5
）由于，由时移特性得
（6）由于
由时移特性得
（7），如图5-9所示。
根据频移特性，有
图5-9
（8）如图5-10所示。
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其中 f（t）是因果输入信号。 （1）求系统甬数 H（s）； （2）画出 H（s）的零、极点图，并判断系统是否稳定； （3）画出直接形式的信号流图。[西北工业大学研] 解：（1） （2）故两个零点为 z1=0，z2=1；4 个极点为 P1=p2=－1，p2=﹣2+j2，p4=一 2－i2， H0=1，H（s）的零、极点。如图 7-7 所示，系统是稳定的。
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包含虚轴。由积分公式可知 f（t）=1 的傅里叶变换丌存在，因此，双边拉普拉斯变换也丌 存在，因此选择 D
3．已知连续时间系统的系统函数则其幅频特性响应所属类型为（ ）。
[国防科技大学研]
①低通
②高通
③带通
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第 7 章 连续时间信号与系统的复频域分析
一、选择题
1．信号
的拉普拉斯变换及收敛域为（ ）。[北京邮电大学研]
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】本题考查拉普拉斯变换的定义及收敛域范围的确定，有
2．信号（t）=1 的双边拉普拉斯变换为（ ）。[电子科技大学研] A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为傅里叶变换是双边拉普拉斯变换的特例，存在傅里叶变换表明收敛域至少
图 7-3 （2）H（s）稳定，—1<Re（s）<1，
（3）由
可得：
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从而得到系统的状态方程为
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直接 2 型框图如图 7-4 所示。
（4） （5）
图 7-4
6．判断图 7-5 所示系统稳定时是的取值范围。[东南大学研]
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第6章系统的频域分析一、选择题1．选择题已知信号f（t）的最高频率，则对信号取样时，其频谱不混叠的最大取样间隔等于（）。
[北京交通大学研]A．B．C．D．【答案】A【解析】信号f（t）的最高频率为，根据Fourier变换的展缩特性可得信号的最高频率为（Hz），再根据时域抽样定理，可得对信号取样时，其频谱不混叠的最大取样间隔2．下列说法中正确的是（）。
[东南大学研]A．罗斯—霍维茨准则也能判断离散系统的稳定性B．信号经调制后带宽一定增加C．抽样频率必须是信号最高频率的2倍以上才不产生混叠D．积分器是线性运算，不改变信号的带宽【答案】AD【解析】本题考查信号与系统的综合应用。
罗斯霍维茨准则是稳定性判定准则，信号经调制后带宽不一定增加，有时只是频谱的搬移，积分运算是累加运算，也即线性运算，抽样频率必须是信号最高频率的2倍或者2倍以上才不产生混叠。
因此选择AD。
3．系统的幅频特性和相频特性如图6-1（a）、（b）所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是（）。
[西安电子科技大学研]A．B．C．D．【答案】B【解析】由系统的幅频特性和相频特性可知：若输入信号的频率均处于之间，既不产生幅度失真又不产生相位失真。
只有（B）满足这一条件。
图6-1二、填空题1．已知一连续时间LTI系统的频响特性该系统的幅频特性相频特性是否是无失真传输系统______。
[北京交通大学研] 【答案】否【解析】由于的分子分母互为共轭，故有所以系统的幅度响应和相位响应分别为由于系统的相位响应不是的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。
三、解答题1．某因果数字滤波器的零、极点如图6-2所示，并已知其H（π）=-1试求：图6-2（1）它的系统函数H（z）及其收敛域，且回答它是IIR、还是FIR的什么类型（低通、高通、带通、带阻或全通）滤波器；（2）写出图6-2（b）所示周期信号x[n研]的表达式，并求其离散傅里叶级数的系数；（3）该滤波器对周期输入x[n研]的响应y[n研]。