2019-2020学年辽宁省沈阳市五校协作体高一(上)期中数学试题

2019-2020学年辽宁省沈阳市五校协作体高一（上）期中数学试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.下列四个选项表示的关系正确的是（ ）A .0∉ΝB .3Q 2-∈ C .Q π∈ D .0⊆∅2.已知集合{1,2,3,4,5}A =，{1,4,6}B =，则A B =（ ）A .{1}B .{1,4}C .{1,2,3,4,5}D .{1,4,6} 3.若集合{|20}A x x =-<<，{|13}B x x =-<<，则A B =（ ）A .{|23}x x -<<B .{|21}x x -<<-C .{|10}x x -<<D .{|03}x x <<4.已知一次函数的图象过点(0,1),(1,2)，则这个函数的解析式为（ ）A .1y x =-B .1y x =--C .1y x =+D .1y x =-+ 5.下列函数中，在(0,)+∞内单调递增的是（ ）A .1y x =-B .1y x -=C .2y x -=D .21y x =+6.下列函数是偶函数的是（ ）A .3()f x x =B .()||f x x =C .1()f x x x=+D .2()2f x x x =+ 7.已知函数2()2(1)2f x x a x =-+-+的递增区间是(,4)-∞，则实数a 的值是（ ）A .5a =B .3a =C .3a =-D .5a =-8.已知3212,log 3a b ==，则（ ）A .1a b >>B .0a b >>C .1a b >>D .1b a >> 9.函数2()f x x x =-的零点为（ ）A .0B .1C .0和2D .0和110.函数()f x = ）A .[1,)+∞B .(0,1]C .(0,1)D .(1,)+∞11.设函数2()3f x x ax a =-++，()2g x ax a =-，若0x R ∃∈，使得0()0f x <和0()0g x <同时成立，则a 的取值范围为( )A.(7,)+∞B.(6,)(,2)+∞-∞-C.(,2)-∞-D.(7,)(,2)+∞-∞- 12．将边长为2的正△ABC 沿着高AD 折起，使∠BDC=120°，若折起后A 、B 、C 、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( )A ．72πB ．7πC ．132πD ．133π二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知圆锥的母线长为4cm ，圆锥的底面半径为1cm ，一只蚂蚁从圆锥的底面A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ，则蚂蚁爬行的最短路程长为 cm14. 已知0,0,21x y x y >>+=，则41x y+的最小值是15.若函数2()log (2)a f x x ax =-+在区间(,1]-∞上为单调递减函数，则实数a 的取值范围为___________16．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. (本题满分10分)已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x k =-. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，设命题A x p ∈:,命题B x q ∈:，若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围. 18. (本题满分12分)解关于x 的不等式12ax x ->-19．(本题满分12分)如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，A 1D ⊥平面ABC ，AB=BC ，平面BB 1D 与棱A 1C 1交于点E ． （Ⅰ）求证：AC ⊥A 1B ；（Ⅱ）求证：平面BB 1D ⊥平面AA 1C 1C ；20. (本题满分12分)某厂家拟在2019年举行促销活动，经过调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x （单位：万件）与年促销费用t （0t ≥）（单位：万元）满足421kx t =-+（k 为常数）. 如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件. 已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.（Ⅰ）将该厂家2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； （Ⅱ）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？21. (本题满分12分)如图C,D 是以AB 为直径的圆上的两点，2AB AD AC BC ===,F 是AB 上的一点，且13AF AB =,将圆沿AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知CE =(1)求证：AD ⊥平面BCE（2）求证AD//平面CEF ； （3）求三棱锥A-CFD 的体积22．(本题满分12分)已知函数()()f x x D ∈，若同时满足以下条件： ①()f x 在D 上单调递减或单调递增；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]a b ，那么称()()f x x D ∈为闭函数．（1）求闭函数3()f x x =-符合条件②的区间[,]a b ；（2）判断函数()2lg f x x x =+是不是闭函数？若是请找出区间[,]a b ；若不是请说明理由；（3）若()f x k =是闭函数，求实数k 的取值范围．2019-2020学年辽宁省沈阳市五校协作体高一（上）期中数学试题答案和解析1.B2.B3.A4.C5.D6.B7.A8.C9.D 10.B 11 A 12 B13.【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=，解得n=90°，所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：．【点评】本题考查蚂蚁爬行的最短路程长的求法，考查圆锥的展开图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14.615.【分析】因为函数f（x）=log a（x2﹣ax+2）为函数y=log a x与y=x2﹣ax+2的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，讨论a＞1，0＜a＜1，结合二次函数的单调性，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得a的范围．【解答】解：∵函数在区间（﹣∞，1]上为单调递减函数，∴a＞1时，y=x2﹣ax+2在（﹣∞，1]上为单调递减函数，且x2﹣ax+2＞0在（﹣∞，1）上恒成立，∴需y=x2﹣ax+2在（﹣∞，1]上的最小值1﹣a+2=3﹣a＞0，且对称轴x=a ≥1，∴2≤a ＜3；0＜a ＜1时，y=x 2﹣ax+2在（﹣∞，1]上为单调递增函数，不成立． 综上可得a 的范围是[2，3）．16. 17解：（Ⅰ）依题意得：2(1)1,0m m -=⇒=或2m =当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去∴0m =． ……………4分（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，()f x ，()g x 单调递增，∴[1,4],[2,4]A B k k ==--， 由命题p 是q 成立的必要条件，得B A ⊆，∴210144k k k -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩． ……………10分 18.解：原不等式等价于(1)(2)0ax x --> (1)当0a =时，解集为(,2)-∞(2)当0a <时，原不等式可化为(1)(2)0ax x -+-<，因为12a <，所以解集为1(,2)a(3)当102a <<时，12a>，解集为1(,2)(,)a -∞+∞(4)当12a =时，原不等式等价于1(1)(2)02x x -->，即2(2)0x ->，解集为(,2)(2,)-∞+∞ (5)当12a >时，12a <，解集为1(,)(2,)a-∞+∞ 综上所述，当0a =时，解集为(,2)-∞；当0a <时，解集为1(,2)a；当102a <≤时，解集为1(,2)(,)a -∞+∞；当12a >时，解集为1(,)(2,)a-∞+∞说明：每种情况2分，最后综上2分19.【分析】（Ⅰ）推导出A 1D ⊥AC ，BD ⊥AC ，从而AC ⊥平面A 1BD ，由此能证明AC ⊥A 1B ．（Ⅱ）推导出A 1D ⊥BD ，BD ⊥AC ，从而BD ⊥平面A 1ACC 1，由此能证明平面BB 1D ⊥平面AA 1C 1C ．（Ⅲ）推导出B 1B ∥A 1A ，从而B 1B ∥平面A 1ACC 1，由此能证明B 1B ∥DE ． 【解答】证明：（Ⅰ）因为 A 1D ⊥平面ABC ，所以 A 1D ⊥AC ．因为△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 的中点，所以 BD ⊥AC ． 因为 A 1D ∩BD=D ，…………………（3分）所以 AC ⊥平面A 1BD ． 所以 AC ⊥A 1B ． （Ⅱ） 因为 A 1D ⊥平面ABC ，因为 BD ⊂平面ABC ，所以 A 1D ⊥BD ． 由（Ⅰ）知 BD ⊥AC ． 因为 AC ∩A 1D=D ，所以 BD ⊥平面A 1ACC 1． 因为 BD ⊂平面BB 1D ，所以 平面BB 1D ⊥平面AA 1C 1C ．20.解：（Ⅰ）由题意有，得 ……………………1分故 ∴141k =-3k =34.21x t =-+612315(612)3636(4)21x y x x t x t t x t +∴=⋅⋅⋅-+-=+-=+--+……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：当且仅当即时，有最大值. ………11分答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大. ………12分21．（本小题满分12分） （1）证明：依题意：⊥AD BD⊥CE 平面ABD ∴⊥CE ADBD E CE = ∴⊥AD 平面BCE ． ………………4分（2）证明：BCE Rt ∆中，2=CE ，6=BC ∴2=BE ABD Rt ∆中，32=AB ，3=AD ∴3=BD ． ∴32==BD BE BA BF ． ∴EF AD // AD 在平面CEF 外，EF 在平面CEF 内，∴//AD 平面CEF ． ………………8分（3）解：由（2）知EF AD //，⊥AD ED ，且1=-=BE BD ED ∴F 到AD 的距离等于E 到AD 的距离为1． 231321=⋅⋅=∆FAD S ． ⊥CE 平面ABD∴662233131=⋅⋅=⋅⋅==∆--CE S V V FAD AFDC CFD A ． ………………12分1827(0)21t t t =--≥+189127275[()]27521512122y t t t t =--=⋅-++≤⋅-=⋅++91,122t t =++25t =⋅y22.【分析】（1）由y=﹣x3在R上单减，可得，可求a，b（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知即，结合对数函数的单调性可判断（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，可求（2）取特值说明即可，不是闭函数．（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，结合函数的图象可求【解答】解：（1）∵y=﹣x3在R上单减，所以区间[a，b]满足解得a=﹣1，b=1（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则即∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+至少有两个不同的解即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．∴得，即所求．另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，解得，（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则即∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个根，所以，函数y=2x+lgx是不是闭函（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，令k+则有k=x﹣=，（令t=），如图则直线若有两个交点，则有k．【点评】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思。