解三角形教学设计

数学分析】

解三角形一章既是初中解直角三角形内容的直接延伸，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值。在实际工作中经常遇到很多测量问题，如：在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；测量底部不可到达的建筑物的高度；在水平飞行中的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度；测量海上航行的轮船航速和航向等。本章知识的介绍将很好的解决这些问题，提高学生解决实际问题的能力。

【教育分析】

解三角形一章的教育价值主要体现在：

1.正弦、余弦定理的证明，体现了知识间的相互联系，使学生体会联系发展等辩证观点，培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

2.通过两个定理的实际应用，引导学生通过自己的数学实践活动，从时间问题提取数学模型，经历发展和创造过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识，激发学生的学习兴趣。

【教材分析】

在本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

一、内容与课程学习目标

本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有

关的实际问题。

二、内容安排

1、课时安排

本章教学约需6课时，具体分配如下（仅供参考）：

2.1正弦定理与余弦定理约2课时

2.2三角形中的几何计算约1课时

2.3 解三角形的实际应用举例约2课时

本章复习约1课时

2、知识结构

3、主要内容

1)、正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理。对于正弦定理，教科书首先研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于斜三角形，并通过向量法几何法加以证明。用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用,通过具体例题，使学生体会正弦定理可以用于两类解三角形的问题：

(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角.

2)．教科书具体例题说明应用正弦定理解三角形的方法。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现两解的情形，通过例题分析和讨论使学生明白根据“三角形中大边对大角”来判断多解的情形。

3)．对于余弦定理，教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。根据判定三角形全等的方法，已知三角形的两条边及其所夹的角，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.解这个三角形，就是从量化的角度来研究这个问题。教科书先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题，考虑用向量的数量积来加以证明。教科书利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。

4)．应用余弦定理，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：

（1）已知两边和它们的夹角解三角形；

（2）已知三角形的三边解三角形。

5)．正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，教科书在第2.3节“应用举例”介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。

对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等。但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性。这里介绍的许多问题是用以前的方法所不能解决的。通过具体例题分析是学生明白解决实际问题的一般步骤为“实际问题——解三角形问题——三角形问题的解——实际问题的解”

6)．关于三角形的有关几何计算，是巩固提高用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。

7)．本章内容有很强的实践性，教科书安排了一个利用本章知识的有关测量的实习作业。

8)．本章的教学重点是通过对于三角形的边角的探究，证明正弦定理和余弦定理，并运用两个定理解决一些有关的实际问题。

本章的教学难点是通过对于三角形的边角关系的探究，证明正弦定理和余弦定理。

3、教材特色

1）突出了基础性、选择性与时代性

三角形边角之间的数量关系有很多，除正弦定理、余弦定理外，还有正切定理、射影定理等，正弦定理、余弦定理是这些定理、公式的基础，更深刻地反映了三角形的度量本质，成为解三角形的主要工具。

解三角形是测量的基础，对学生来说，学习三角形的应用对完善知识结构，特别是培养抽象数学模型能力还是很有帮助的。

教科书中的例题、习题等内容，基本是正弦定理、余弦定理的运用，努力为学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活的联系，发展数学应用意识、提高实践能力创造条件。

2）重视数学思想方法的教学

数学思想方法是数学的精髓。数学思想是对于数学知识（数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序。数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握。

本章中，将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何背景，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础。这里恰当运用向量的数量积证明了正弦定理与余弦定理。以此将向量引入三角形，并作为推证正、余弦定理的主要工具。

具体解三角形时教科书突出了函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系。

另外，教科书在处理正弦定理时，从分析特殊三角形的边角关系入手，猜想这种关系也适用于一般三角形，从而发现了正弦定理。这种从特殊到一般的归纳思想，是发现数学规律的重要思路。

3）注意加强前后知识的联系

加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在必修五的第二章，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

4)重视发展问题意识、应用意识和探究意识

用数学是学数学的出发点和归宿。我国的中学数学教学与国际上其他一些国家的中学数学教学比较，具有重视基础知识教学和基本技能训练，重视

数学计算、推理和空间想像能力的培养等显著特点，因而我国中学生的数学基本功比较扎实。然而，改革开放也使我国数学教育界看到了我国中学数学教学的一