方阵的行列式.ppt
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计算行列式的方法总结PPT
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性质
行列式具有以下基本性质
行列式转置不变
行列式的值与其转置行列式的值相 等。
行列式按行（列）展开
行列式的值等于其任意一行（列）元 素与其对应代数余子式的乘积之和。
行列式的倍数性质
行列式中某一行（列）的所有元素 都乘以一个常数k，则行列式的值也 乘以k。
行列式的消元性质
若行列式中两行（列）成比例，则 行列式的值为0。
例题3
利用数学归纳法计算分块矩阵的行列式。对于具有某种递推关系的分块矩阵，可以利用数 学归纳法进行证明和计算。通过假设当n=k时结论成立，进而证明当n=k+1时结论也成 立，从而得出对于任意正整数n结论都成立的结论。
06
特殊类型行列式的计算方法
箭型行列式的计算
箭型行列式的定义
箭型行列式是一种具有特殊形状的行列式，其主对角线上方的元素构成了一个箭头形状。
计算方法
对于 n 阶箭型行列式，可以先将其化为上三角或下三角行列式，然后直接计算对角线元素的乘积。具体步骤包括 ：利用行列式的性质，将第 1 列的 -1 倍加到其他列上，从而将箭型行列式化为上三角或下三角行列式；计算对 角线元素的乘积。
两三角型行列式的计算
两三角型行列式的定义
两三角型行列式是指行列式的上半部分和下半部分分别呈现三角形形状的行列式。
80%
典型方法
拉普拉斯展开定理，将高阶行列 式按某一行（列）展开为低阶行 列式的和。
典型例题解析
例题1
利用数学归纳法计算范德蒙德 行列式。
例题2
计算含有特定元素的行列式， 如含有三角函数、指数函数等 。
例题3
利用归纳法证明某些特殊类型 的行列式具有特定的性质，如 对称性、反对称性等。
第九章9.3方阵的行列式和矩阵的秩
记
Aij (1) i j M ij
称之为元素 aij 的代数余子式。
a11 例如 A a21 a 31
a12 a22 a32
2 2
a13 a23 a33
a11 A a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
(2) 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
(第 i 行乘 k , 记作 ri k )
(3) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对 应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上记 作ri krj） .
类似定义矩阵的初等列变换 (记号改“r”为“c”)． 初等行变换和初等列变换统一称为初等变换. 关于矩阵的初等行变换我们有
kai 2 kain
k ai 1 ai 2 ain
kD
类似地,
a11 a21 . . a n1 ... ka1 j ... ka2 j . . ... kanj ... a1n ... a2 n . . ... ann a11 a21 k . . a n1 ... a1 j ... a2 j . . ... anj ... a1n ... a2 n . . ... ann
是其中的一个不等于0 的子式.
2.矩阵的秩
定义 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式
D，且所有 r 1 阶子式(如果存在的话)全等于 0， 那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为 矩阵 A 的秩，记作秩( A)或 r ( A) .
零矩阵的秩规定为0。 注意 非零矩阵的秩等于最高阶非零子式的阶数.
D1 D
例如
2 3 4 5
-2
线性代数方阵的行列式
a21 b2 j a2n a21 c2 j a2n
an1 bnj ann an1 cnj ann
§2 n阶行列式的性质
➢例
1025 1025 1025
2 D
1
0 0
1 3
0 2 41
0 0
1 3
02
41
0 0
1 3
0 2D
4
2042 2042 2042
D 0.
➢ 推论 行列式的某一行(列)的元素全为零，则行列 式的值为零. ➢ 证 设行列式的第i行(列)的元素全为零，因行列 式的均布项都含第i行(列)的元素，故其值为零.
1201
120 1
r1 r2
1 3 5 0 0 r1 r4 1 5 1
D
0156
015 6
1234
003 3
120 1
120 1
0 r2 r3 1 5 1 r3 r4 0 1 5 1
000 7
003 3
003 3
000 7
11 3 7 21
§2 n阶行列式的性质
➢ 例2
3 1 1 1 6 r2 r1 6 6 6
a11 a12
即
ai1
ai 2
aj1 aj2
an1 an2
a1n
a11
ain kri rj
ai1
aj2
a j1 kai1
ann
an1
a12
ai 2
a j2 kai2
an2
a1n ain a jn kain ann
§2 n阶行列式的性质
➢或
a11 a1i a1 j a1n
a11 a12
即 ai1 ai2
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数课件第三节 行列式
0 0 1 0
3 0 0 1 0 0 1 2
1 (1)11 1
11
0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 2
0 3 (1)13 3 1 0 0 2
当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！
用首行展开法Байду номын сангаас以证明
a11 a21 M an1 0 L 0 0 M ann a22 L M O an 2 L
性质1.10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项 的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列 式之和。 a a L a
11 12 1n
a21 M bi1 ci1 M
a22 M bi 2 ci 2 M an 2 a11
L M
a2 n M
L bin cin M M L
a11 a21 M bi1 M an1
下三角形 行列式
a11a22 L
下三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
后面还可以证明
a11 a12 0 a22 M M 0 0 L L O L a1n a2 n M ann
上三角形 行列式
a11a22 L
上三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
计算
观察哪一行或 列的零最多
即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
a11 a12 a13 对于3阶方阵 A a21 a22 a23 , 定义其行列式|A|为 a a32 a33 31 a11 a12 a13 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 A a21 a22 a23 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
线性代数PPT行列式
行列式的计算公式是n阶行列式的展开式， 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
《线性代数》课件-第2章方阵的行列式
教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型 的行列式的各种方法.
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.
行列式内容归纳要点.ppt
《行列式》内容归纳要点
排列及性质
矩阵的定义
行列式概念
方阵行列式 矩阵初等变换
行列式性质
行式计算
行列式 按行、 列展开
Laplace 定理
行列式 乘法规
则
线性方 程组求
解
习题类型要点提示
A 排列于逆序问题 B 行列式的计算（主要计算方法分类）
一 行列式定义计算行列式； 二 化成上(下)三角形行列式计算； 三 递推法计算行列式； 四 数学归纳法计算行列式； 五 加边法计算行列式； 六 分行(列)成比例法计算行列式； 七 Laplace定理计算行列式； 八 Vandermonde行列式计算行列式. C Cramer的应用
n ( n 1)
n (n 1)
(1) (n(n1) 21) (1) 2 → 原行列式的值为 (1) 2 n ! .
2) 此行列式只有一个非零项 a12a23 an1nan1 n !，其符号为 (1)n1 ，故
行列式的值为 (- 1) (23 n1)n! (1)n 1 n!.
3) 行列式只含一个非零项 a1n1a2n2 an11ann n ! , 其符号为
2 1, 2, …, xi , xi , , n 比xi 大的数为 n xi个, 它们在两个排列中的分布为：
n xi
x1x2 xi1 xi xi1 xn1xn xn xn1 xi1 xi xi1 x2 x1 , 即 xi 所 能 构成的逆 序在
k个
(n xi )k个
(n xi )k个
k个
前一排列中占 k 个，后一排列中占 (n xi ) k 个
习题 3 解： 12435 (1,2) 21435 (1,5) 25431 (3,4) 25341.
排列及性质
矩阵的定义
行列式概念
方阵行列式 矩阵初等变换
行列式性质
行式计算
行列式 按行、 列展开
Laplace 定理
行列式 乘法规
则
线性方 程组求
解
习题类型要点提示
A 排列于逆序问题 B 行列式的计算（主要计算方法分类）
一 行列式定义计算行列式； 二 化成上(下)三角形行列式计算； 三 递推法计算行列式； 四 数学归纳法计算行列式； 五 加边法计算行列式； 六 分行(列)成比例法计算行列式； 七 Laplace定理计算行列式； 八 Vandermonde行列式计算行列式. C Cramer的应用
n ( n 1)
n (n 1)
(1) (n(n1) 21) (1) 2 → 原行列式的值为 (1) 2 n ! .
2) 此行列式只有一个非零项 a12a23 an1nan1 n !，其符号为 (1)n1 ，故
行列式的值为 (- 1) (23 n1)n! (1)n 1 n!.
3) 行列式只含一个非零项 a1n1a2n2 an11ann n ! , 其符号为
2 1, 2, …, xi , xi , , n 比xi 大的数为 n xi个, 它们在两个排列中的分布为：
n xi
x1x2 xi1 xi xi1 xn1xn xn xn1 xi1 xi xi1 x2 x1 , 即 xi 所 能 构成的逆 序在
k个
(n xi )k个
(n xi )k个
k个
前一排列中占 k 个，后一排列中占 (n xi ) k 个
习题 3 解： 12435 (1,2) 21435 (1,5) 25431 (3,4) 25341.
第2讲 方阵的行列式
的主对角元全为奇数、其他元素全为偶数. 因而
| 2A E |
j1 j2 jn为n 阶排列
(1) ( j1 j2 jn ) b1 j1 b2 j2 bnjn
j1 j2 jn为12n 外的其他 n 阶排列
b11b22 bnn
必然是一个奇数，不会等于零. □
-9-
性质 2
r1 r1 r1 ri ri ri ri . rn rn rn
□
性质 2′ | c1 , , c j cj , , cn | | c1 , , c j , , cn | | c1 , , cj , , cn | .
T
普遍成立的性质对于列(行)也普遍成立. 2、按多行(列)展开公式 定义 2 称 n 阶方阵 A [ aij ] 的位于第 i1 , i2 , , ik 行、第 j1 , j2 , , jk 列交叉点处的元
素排成的 k 阶行列式 N i1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk 为 A 的一个 k 阶子式 ；称 A 的位于其余 n k 行、
为 N i1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk 的代数余子式.
-8-
注1
n 阶方阵
a11 ai 1,1 A ai1 ai 1,1 an1
注2
a1, j 1
a1 j ai 1, j
a1, j 1
n 阶方阵的行列式也称为 n 阶行列式. [aij ]nn 的行列式也记作 | aij |n .
注 1(低阶行列式)
| aij |n a11 ；
当 n 2 时，
| aij |n
| 2A E |
j1 j2 jn为n 阶排列
(1) ( j1 j2 jn ) b1 j1 b2 j2 bnjn
j1 j2 jn为12n 外的其他 n 阶排列
b11b22 bnn
必然是一个奇数，不会等于零. □
-9-
性质 2
r1 r1 r1 ri ri ri ri . rn rn rn
□
性质 2′ | c1 , , c j cj , , cn | | c1 , , c j , , cn | | c1 , , cj , , cn | .
T
普遍成立的性质对于列(行)也普遍成立. 2、按多行(列)展开公式 定义 2 称 n 阶方阵 A [ aij ] 的位于第 i1 , i2 , , ik 行、第 j1 , j2 , , jk 列交叉点处的元
素排成的 k 阶行列式 N i1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk 为 A 的一个 k 阶子式 ；称 A 的位于其余 n k 行、
为 N i1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk 的代数余子式.
-8-
注1
n 阶方阵
a11 ai 1,1 A ai1 ai 1,1 an1
注2
a1, j 1
a1 j ai 1, j
a1, j 1
n 阶方阵的行列式也称为 n 阶行列式. [aij ]nn 的行列式也记作 | aij |n .
注 1(低阶行列式)
| aij |n a11 ；
当 n 2 时，
| aij |n
方阵的行列式
性质4. 若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个 数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式 分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的 元素与原行列式相同。即
a11
a12 ... a1n
...
... ... ...
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
an1 an2 ... ann
an1 an2 ... ann
推论：若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成m 个数的和（m>2），则此行列式可以写成m个行列式的和。
23
例3.计算下列行列式之值.
上三角形行列式： 下三角形行列式： 对角形行列式：
a11 a12 ... a1n 0 a22 ... a2n ... ... ... ...
a11 0 ... 0 a21 a22 ... 0 ... ... ... ...
0 0 ... ann
an1 an2 ... ann
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
bi1 ci1 bi2 ci2 ... bin cin = bi1 bi2 ... bin + c i1 c i2 ... c in
...
... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
an1
an2 ... ann
例：a21 a22 a23 a24 a12 a22 a32 a42
a31 a32 a33 a34
a13 a23 a33 a43
a41 a42 a43 a44
a14 a24 a34 a44
性质2. 交换行列式的某两行列，行列式的值变号。
1-3方阵的行列式
L L L ai 2 L ain L L L = a j 2 L a jn L L L
kai 2 + a j 2 L kain + a jn L L L an 2 L ann
an1 an 2 L ann
3 1 例4计算行列式 2 1
2 1 1 1
1 0 0 −1 的值 . −1 1 1 1
补例：
a11 1、设 a21 a31 a12 a22 a32 a13 6a11 a23 = 1, 求 −3a31 a33 −3a21 −2a12 a32 a22 −10a13 5a33 5a23 .
n
定理1.3 | An×n Bn×n |=| A | ⋅ | B | 定理
| A1 A2 L An |=| A1 | ⋅ | A2 | ⋅L⋅ | An |
四. 行列式的计算
a b 例5 ( 对称行列式 )计算 n阶行列式 M b
1 + a1 1 1 1 + a2 1 1
b L b a L b M O M b L a
L n n x2 −1 + x2 − 2
L n n x n −1 + xn − 2
1-3 over
(2) a1 j A1l + a 2 j A2 l + L + a nj Anl =
n
n
∑a
i =1
j =1 n
ij
Ail = 0( i ≠ j )
| A |, k = i (i, k = 1,2,L n) 定理1.2 (1) ∑ aij Akj = 定理 k ≠i j =1 0, | A |, l = j (2) ∑ aij Ail = ( j , l = 1,2, L, n) l≠ j i =1 0,
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10a13 5a23 5a33
6a11 解； 3a21
3a31
2a12 a22 a32
a11
2 (3) 5 a21
a31
10a13
3a11 a12
5a23 2 3a21 a22
5a33
3a31 a32
5a13 5a23 5a33
a12 a13
a22 a23 2 (3) 5 1 30
a a a a x b a b a
11 22
12 21
2
2 11 1 21
当a11a22 a12a21 0时：
b1
x1
b2 a11
a21
a12 a22 a12 a22
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 a12 a22
设：det A a11 a12 0 a21 a22
det
B1
b1 b2
例：a21 a22 a23 a24 a12 a22 a32 a42
a31 a32 a33 a34
a13 a23 a33 a43
a41 a42 a43 a44
a14 a24 a34 a44
性质2. 交换行列式的某两行列，行列式的值变号。
1 0 1 例. 1 2 0 1,
1 3 2
1 0 1 1 3 2 1. 120
A 记为 ij 。即 Aij (1)i j Mij
a11 a12 a13 a14
a11 a13 a14
例
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
A32 (1)32 M32 a21 a23 a24
a41 a42 a43 a44
a41 a43 a44
定义1.8：n阶方阵A aij 的行列式detA,定义为
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
bi1 ci1 bi2 ci2 ... bin cin = bi1 bi2 ... bin + c i1 c i2 ... c in
...
... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
an1
an2 ... ann
1 ... 1
a3
an
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
=a1a2
n
1
1
a i1 i
0
an
0
1 a2 1 0
1 ... 1
a3
an
0 ... 0
1 ... 0
1 0 0 ... 1
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
1
a1a2
an (1
n i 1
1 ai
... ... ... ... ... ...
23
例3.计算下列行列式之值.
上三角形行列式： 下三角形行列式： 对角形行列式：
a11 a12 ... a1n 0 a22 ... a2n ... ... ... ...
a11 0 ... 0 a21 a22 ... 0 ... ... ... ...
0 0 ... ann
an1 an2 ... ann
c2 2c 1 4c 4 6c 9 c2 2c 1 2 6
d 2 2d 1 4d 4 6d 9 2
d 2 2d 1 2 6
3
定理1.1 设n阶方阵A aij ,则
(1) ai1 Ak1 ai 2 Ak 2
n
ain Akn aij Akj 0 j 1
(i k)
in
i1
i2
in
... ... ... ...
... ... ... ...
a a a ...
n1
n2
nn
a a a ...
n1
n2
nn
即：行列式某行(列)的所 有元素有公因子，则公因 子可 以提到行列式外面。
推论1. 若行列式某行（列）的所有元素全为零，则此行列式 值为零。
推论2.若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此 行列式的值等于零。
c2 c2 2c 1 d 2 d 2 2d 1
1
a2 4a 4 b2 4b 4 c2 4c 4 d 2 4d 4
a2 6a 9 b2 6b 9 c2 6c 9 d 2 6d 9
a2 2a 1 4a 4 6a 9 a2 2a 1 2 6
b2 2b 1 4b 4 6b 9 b2 2b 1 2 6 =0
det A 记为 A 或 aij
a a a 11 12 13
a a a 例: 21
22
23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a11M11 a12 M12 a13M13
a a a 31
32
33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
1 1
1 1 ...
1 1 1 ... 1 an
目标:化为三角形行列式
1 a1 1 1 ... 1 a1 a2 0 ... 0
= a1 0 a3 ... 0 各列提 ... ... ... ... ... 公因子
a1 0 0 ... an
=a1a2
1 1 a1
1 an 1
...
1 a2 1 0 ...
它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和
def
det A ai1Ai1 ai2 Ai2
对称地:
def
det A a1 j A1 j a2 j A2 j
n
ain Ain aij Aij j 1
n
anj Anj aij Aij i 1
(i 1, 2, , n) ( j 1, 2, , n)
an1 an x
an1
an
0
0
0
0 a1(a1 x)(a2 x)(an2 x)(an1 x)
00
0 an2 x
0
00
0
0
an1 x
a1 (a1 x) (a2 x) (an2 x) (an1 x) 0
x1 a1, x2 a2 ,..., xn1 an1
a1 a1 0 ... 0 0 0 a 2 a 2 ... 0 0 例1.计算 0 0 a3 ... 0 0
(2) a1 j A1l a2 j A2l
n
anj Anl aij Ail 0 i 1
( j l)
定理1.2 设n阶方阵A aij ,则
n
det A
(1)
aij Akj
j 1
0
若k i, 若k i;
(i, k 1, 2, , n)
n
det A
(2)
aij Ail
i 1
a11 a22 ...ann
a11 0 ... 0 0 a22 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... ann
三、 行列式的性质
性质1.将行列式转置，行列式的值不变，即det AT =det A
或 AT A . *(行具有的性质列也一定具有。）
a11 a12 a13 a14 T a11 a21 a31 a41
0
若l j, 若l j. (l, j 1, 2, , n)
定理1.3 设A, B均为n阶方阵,则有det AB det Adet B 即 : AB A B
四、行列式的计算
1 a1 1 1 ... 1 1 a2 1 ...
例 : 1 1 1 a3 ... ... ... ... ...
ab0 0ab 00a a
00
b00
00
ab0
0 0 b(1)n1 0 a b
000 000
an (1)n1bn
ab
0
a n1阶
000 000
00 00 00
b0
a
b n1阶
例.解方程
a1
a2
a3
an1
a1 a1 a2 x
a3
an1
a1
a2
a2 a3 x
an1
an
an
an
0
a1
a2
a22 a32
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22a31 )
2 12
例2.将 4 3 1 按第2行展开求值。
2 35
解：
2 12
1 4
2
3 3
1 5
按第2行
4
1 21
1 3
2 5
3
22 2 2 25
1 123 2 1 10
3
0 1 1 2
0
0
2 4 1
0 0 2 2
0 1 1 2
0
0
2
4 1 (1) (2) (2) 4
0 0 0 2
a2 a12 a22 a32
b2 b12 b22 b32
4.证明：D
0
c2 c12 c22 c32
d 2 d 12 d 22 d 32
a2 a2 2a 1 证：D b2 b2 2b 1
x (n 1)a
a
aa
x
x (n 1)a a a a a
0
xa 0 0 0
0
0 x a 0 0 [x (n 1)a]( x a)n1
0
0 0 xa 0
0
0 0 0 xa
例 : 计算n阶行列式
ab0
00