方阵的行列式.ppt

a a a a x b a b a
11 22
12 21
2
2 11 1 21
当a11a22 a12a21 0时：
b1
x1
b2 a11
a21
a12 a22 a12 a22
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 a12 a22
设：det A a11 a12 0 a21 a22
det
B1
b1 b2
in
i1
i2
in
... ... ... ...
... ... ... ...
a a a ...
n1
n2
nn
a a a ...
n1
n2
nn
即：行列式某行(列)的所 有元素有公因子，则公因 子可 以提到行列式外面。
推论1. 若行列式某行（列）的所有元素全为零，则此行列式 值为零。
推论2.若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此 行列式的值等于零。
a22 a32
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22a31 )
2 12
例2.将 4 3 1 按第2行展开求值。
2 35
解：
2 12
1 4
2
3 3
1 5
按第2行
4
1 21
1 3
2 5
3
22 2 2 25
1 123 2 1 10
性质4. 若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个 数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式 分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的 元素与原行列式相同。即
a11
a12 ... a1n
...
... ... ...
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
例：a21 a22 a23 a24 a12 a22 a32 a42
a31 a32 a33 a34
a13 a23 a33 a43
a41 a42 a43 a44
a14 a24 a34 a44
性质2. 交换行列式的某两行列，行列式的值变号。
1 0 1 例. 1 2 0 1,
1 3 2
1 0 1 1 3 2 1. 120
(2) a1 j A1l a2 j A2l
n
anj Anl aij Ail 0 i 1
( j l)
定理1.2 设n阶方阵A aij ,则
n
det A
(1)
aij Akj
j 1
0
若k i, 若k i;
(i, k 1, 2, , n)
n
det A
(2)
aij Ail
i 1
23
例3.计算下列行列式之值.
上三角形行列式： 下三角形行列式： 对角形行列式：
a11 a12 ... a1n 0 a22 ... a2n ... ... ... ...
a11 0 ... 0 a21 a22 ... 0 ... ... ... ...
0 0 ... ann
an1 an2 ... ann
ab0 0ab 00a a
00
b00
00
ab0
0 0 b(1)n1 0 a b
000 000
an (1)n1bn
ab
0
a n1阶
000 000
00 00 00
b0
a
b n1阶
例.解方程
a1
a2
a3
an1
a1 a1 a2 x
a3
an1
a1
a2
a2 a3 x
an1
an
an
an
0
a1
a2
x (n 1)a
a
aa
x
x (n 1)a a a a a
0
xa 0 0 0
0
0 x a 0 0 [x (n 1)a]( x a)n1
0
0 0 xa 0
0
0 0 0 xa
例 : 计算n阶行列式
ab0
00
0ab
00
00a
0 0 按第一列展开
000 b00
ab 0a
aA11 bAn1
... ... ... ... ... ...
10a13 5a23 5a33
6a11 解； 3a21
3a31
2a12 a22 a32
a11
2 (3) 5 a21
a31
10a13
3a11 a12
5a23 2 3a21 a22
5a33
3a31 a32
5a13 5a23 5a33
a12 a13
a22 a23 2 (3) 5 1 30
)
例.计算n阶行列式
x a a a a x (n 1)a a a a a 1
a x a a a x (n 1)a x a a a
a a x a a x (n 1)a a x a a
a a a x a x (n 1)a a a x a
aa 1
a 1
a 1
x 1
a11 a22 ...ann
a11 0 ... 0 0 a22 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... ann
三、 行列式的性质
性质1.将行列式转置，行列式的值不变，即det AT =det A
或 AT A . *(行具有的性质列也一定具有。）
a11 a12 a13 a14 T a11 a21 a31 a41
§1.3方阵的行列式
一、二阶行列式
记号：a11 a12 a11a22 a12 a21
a21 a22
-
+
称为二阶行列式.
例.计算 5
1 5 2 3 (1) 13
32
例：解二元一次方程组
a11x1
a21x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
消元x2
消元x1
a11a22 a12 a21 x1 b1 a22 b2 a12
an1 an2 ... ann
an1 an2 ... ann
推论：若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成m 个数的和（m>2），则此行列式可以写成m个行列式的和。
性质5.将行列式中的某一行（列）的所有元素同乘以k后加于 另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。
举例：
3 1 1 1.计算行列式 597 201 299
记为 Mij 。即
a11 a1 j 1
a1 j 1 a1 n
M ij
ai 1 1 ai 1 1
ai 1 j 1 ai 1 j 1
ai 1 j 1 ai 1 j 1
ai 1 n ai 1 n
aAiijj
an 1 an j 1
an j 1 an n
aij 的余子式 Mij 前添加符号(1)i j 称为的aij代数余子式，
623
3
1
1
解：原式 600 3 200 1 300 1
6
2
3
00 0
3 1 1 3 1 1 600 200 300 3 1 1
6 2 3 623
2.设 a11
a21
a12 a22
a13 a23 1, 求
a31 a32 a33
6a11 3a21 3a31
2a12 a22 a32
它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和
def
det A ai1Ai1 ai2 Ai2
对称地:
def
det A a1 j A1 j a2 j A2 j
n
ain Ain aij Aij j 1
n
anj Anj aij Aij i 1
(i 1, 2, , n) ( j 1, 2, , n)
3
0 1 1 2
0
0
2 4 1
0 0 2 2
0 1 1 2
0
0
2
4 1 (1) (2) (2) 4
0 0 0 2
a2 a12百度文库a22 a32
b2 b12 b22 b32
4.证明：D
0
c2 c12 c22 c32
d 2 d 12 d 22 d 32
a2 a2 2a 1 证：D b2 b2 2b 1
an1 an x
an1
an
0
0
0
0 a1(a1 x)(a2 x)(an2 x)(an1 x)
00
0 an2 x
0
00
0
0
an1 x
a1 (a1 x) (a2 x) (an2 x) (an1 x) 0
x1 a1, x2 a2 ,..., xn1 an1
a1 a1 0 ... 0 0 0 a 2 a 2 ... 0 0 例1.计算 0 0 a3 ... 0 0
a1
a2
a3
an2 an1 x
an
a3
an1
an1 an x
解：左边=
a1
a2
a3
an1
a1 a1 a2 x
a3
an1
a1
a2
a2 a3 x
an1
an
1
an
an
a1
a2
a3
a1
a2
a3
a1 a2
a3
0 a1 x 0
0
0
a2 x
an2 an1 x
an
an1
c2 c2 2c 1 d 2 d 2 2d 1
1
a2 4a 4 b2 4b 4 c2 4c 4 d 2 4d 4
a2 6a 9 b2 6b 9 c2 6c 9 d 2 6d 9
a2 2a 1 4a 4 6a 9 a2 2a 1 2 6
b2 2b 1 4b 4 6b 9 b2 2b 1 2 6 =0
det A 记为 A 或 aij
a a a 11 12 13
a a a 例: 21
22
23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a11M11 a12 M12 a13M13
a a a 31
32
33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a32 a33
0 1 1 2 3. 计算D 1 1 0 2
1 2 1 0 2110
0 1 1 2
1 1 0 2 1 2
解；D 1 1 0 2 1 2 1 0
2110
1 1 0 2
0 1 1
2
1
0 1 1 2
0 3 1 4
1 1 0 2
0 1 1 2
1 2 1 0
2 1 10
1 1 0 2
a12 a22
则有：x j
det Bj det A
( j 1, 2)
det
B2
a11 a21
b1 b2
二、 n阶行列式的递推定义
定义：由一个数组成的一阶方阵和它的行列式就 是这个数本身。
定义 在n阶方阵 A aij 中去掉元素 aij 所在的第i行和
第j列后，余下的n-1 阶行列式，称为A中元素aij 的余子式，
A 记为 ij 。即 Aij (1)i j Mij
a11 a12 a13 a14
a11 a13 a14
例
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
A32 (1)32 M32 a21 a23 a24
a41 a42 a43 a44
a41 a43 a44
定义1.8：n阶方阵A aij 的行列式detA,定义为
推论：若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式值零。
性质3. 用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k乘此行列式。
a a a ...
11
12
1n
... ... ... ...
a a a ...
11
12
1n
... ... ... ...
ka ka ka a a a 即: i1
...
i2
k
...
0
若l j, 若l j. (l, j 1, 2, , n)
定理1.3 设A, B均为n阶方阵,则有det AB det Adet B 即 : AB A B
四、行列式的计算
1 a1 1 1 ... 1 1 a2 1 ...
例 : 1 1 1 a3 ... ... ... ... ...
1 1
1 1 ...
1 1 1 ... 1 an
目标:化为三角形行列式
1 a1 1 1 ... 1 a1 a2 0 ... 0
= a1 0 a3 ... 0 各列提 ... ... ... ... ... 公因子
a1 0 0 ... an
=a1a2
1 1 a1
1 an 1
...
1 a2 1 0 ...
a11 a12 ... a1n ... ... ... ...
bi1 ci1 bi2 ci2 ... bin cin = bi1 bi2 ... bin + c i1 c i2 ... c in
...
... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
an1
an2 ... ann
1 ... 1
a3
an
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
=a1a2
n
1
1
a i1 i
0
an
0
1 a2 1 0
1 ... 1
a3
an
0 ... 0
1 ... 0
1 0 0 ... 1
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
1
a1a2
an (1
n i 1
1 ai
c2 2c 1 4c 4 6c 9 c2 2c 1 2 6
d 2 2d 1 4d 4 6d 9 2
d 2 2d 1 2 6
3
定理1.1 设n阶方阵A aij ,则
(1) ai1 Ak1 ai 2 Ak 2
n
ain Akn aij Akj 0 j 1
(i k)