思维特训(一) 正方形的旋转变换

思维特训(一) 正方形的旋转变换

解决与正方形旋转有关的题目，需要将旋转的性质与正方形的性质相结合，通过借助特殊的三角形、全等三角形、相似三角形等知识寻找解题思路．

1．如图1－S －1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且∠EAF ＝45°，将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°，使点E 落在点E ′处，连接EE ′，则下列判断不正确的是( )

图1－S －1

A ．△AEE ′是等腰直角三角形

B ．AF 垂直平分EE ′

C ．△E ′EC ∽△AFD

D ．△A

E ′

F 是等腰三角形

2．如图1－S －2，正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE ＝DG ；②BE ⊥DG ；③DE 2＋BG 2＝2a 2＋2b 2，其中正确的结论是________(填序号)．

图1－S －2

3．如图1－S －3，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，两个正方

形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的14

.想一想，这是为什么． 图1－S －3

4．已知正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共顶点A ，点G ，E 分别在线段AD ，AB 上，若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，连接DG ，如图1－S －4，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG 的长度始终相等？并说明理由．

图1－S －4

5．如图1－S －5，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C ，D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE .我们探究图中线段BG 和线段DE 的长度关系及其所在直线的位置关系．

(1)猜想图①中线段BG 和线段DE 的长度关系及其所在直线的位置关系；

(2)将图①中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②、如图③的情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并

选取图②证明你的判断．

图1－S －5

6．如图1－S －6①，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点(不与点A ，C 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F .

(1)求证：BP ＝DP .

(2)如图②，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP ＝DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明．

(3)试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并给出证明．

图1－S －6

7．如图1－S －7，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转角度n 后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 相交于点O .

(1)以图中已标有字母的点为端点连接两条线段(正方形的对角线除外)，要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；

(2)若正方形的边长为2 cm ，重叠部分(四边形AEOD )的面积为4 33

cm 2，求旋转的角度n .

图1－S －7

详解详析

1．D [解析] ∵将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°，使点E 落在点E ′处，∴AE ′＝AE ，∠E ′AE ＝90°，

∴△AEE ′是等腰直角三角形，故A 正确；

∵将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°，使点E 落在点E ′处，∴∠E ′AD ＝∠BAE . ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝90°.

∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE ＋∠DAF ＝45°，

∴∠E ′AD ＋∠DAF ＝45°，∴∠E ′AF ＝∠EAF .

又∵AE ′＝AE ，∴AF 垂直平分EE ′，故B 正确；∵AF ⊥E ′E ，∠ADF ＝90°，∴∠FE ′E ＋∠AFD ＝∠AFD ＋∠DAF ，∴∠FE ′E ＝∠DAF ，∴△E ′EC ∽△AFD ，故C 正确；

∵AD ⊥E ′F ，但∠E ′AD 不一定等于∠DAF ，

∴△AE ′F 不一定是等腰三角形，故D 错误．

故选D.

2．①②③ [解析] 如图，设BE ，DG 相交于点O ，

∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都为正方形，∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，

∴∠BCD ＋∠DCE ＝∠ECG ＋∠DCE ＝90°＋∠DCE ，即∠BCE ＝∠DCG .

在△BCE 和△DCG 中，

BC ＝CD ，∠BCE ＝∠DCG ，CE ＝CG ，

∴△BCE ≌△DCG (SAS)，

∴BE ＝DG ，∠1＝∠2.

∵∠1＋∠4＝∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠BOD ＝90°，∴BE ⊥DG ，故①②正确；

连接BD ，EG ，如图所示，

∵DO 2＋BO 2＝BD 2＝BC 2＋CD 2＝2a 2，EO 2＋OG 2＝EG 2＝CG 2＋CE 2＝2b 2， ∴DE 2＋BG 2＝DO 2＋EO 2＋BO 2＋OG 2＝2a 2＋2b 2，故③正确．

3．解：在正方形ABCD 中，OB ＝OA ，∠AOB ＝90°，∠OAE ＝∠OBF ＝45°. 在正方形A 1B 1C 1O 中，∠A 1OC 1＝90°，

∴∠AOE ＝∠BOF .

在△AOE 和△BOF 中，∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，

∴△AOE ≌△BOF (ASA)，

∴重叠部分的面积等于△AOB 的面积，

∴重叠部分的面积总等于一个正方形面积的14

. 4．[解析] 观察DG 的位置，找包含DG 的三角形，要找两条线段相等，只要找到与之全等的三角形，即可找到与之相等的线段．

解：如图，连接BE ，则BE ＝DG .

理由如下：