2012级硕士研究生数值分析期末考试试卷及答案

设区间分成 n 等分，则 h=1/n., 故对复合梯形公式，要求
RT ( f ) =| −
即n2 ≥
b − a 2 '' 1 1 1 h f (η ) |≤ ( ) 2 e ≤ × 10 −5 ，η ∈ (0,1) 12 12 n 2
e × 10 5 ， n ≥ 212 .85 ，因此 n=213，即将区间[0,1]分成 213 等分时，用复合梯形计 6 1 算，截断误差不超过 × 10 − 5 。 2
为 2 ．设 。 位有效数字，
x * 的相对误差限
f ( x ) = 3 x 7 + x 4 + 3x + 1 ，则 f [2 0 ,2 1 ,L ,2 7 ] =
，
f [2 0 ,21 , L,2 8 ] =
。 ， 并计
3. 过点 ( −1,0), ( 2,0) 和 (1,3) 的二次拉格朗日插值函数为 算 L2 ( 0) 4 ．设
S1 ( x) = 3.7143 + 1.2429 x
2-范数的误差
4
2.45
|| δ || 2 =
∑ (S (x ) − y )
1
2
i
i
= 0.675 = 0.8216
i= 0
5. 用改进的欧拉公式（预估-校正方法） 解初值问题
dy = x 2 + 100 y 2 , y( 0) = 0 ， h 为步长， （1） 取步长 h = 0.1, 计算到 x = 0 .2（保 dx
p ( 2) = 1, 并写出其余项表达式（要求有推导过程） 。
2. 若用复合梯形公式dx ，问区间 [0, 1] 应分成多少等分才能使截断误差不超过
1 × 10 − 5 ? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1] 应该分成多少等份? 由下表数 2
据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。
i =0
4
(ϕ1 ,ϕ1 ) = ∑ x 2 i = 55
i =0
4
(ϕ0 , f ) = ∑ f i = 31
i= 0
4
(ϕ1 , f ) = ∑ x i f i = 105.5
i= 0
由法方程得线性方程组
⎧ 5a0 + 15a1 = 31 ⎨ ⎩15a0 + 55a1 = 105.5 解得 a 0 = 2.45, a1 = 1.25 于是所求拟合曲线为
9 + 29 + 16 3 2
9.
xk +1 = xk −
xk − f ( xk ) 1 − f '( xk )
3 ⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 10. L = ⎜ 2 1 0 ⎟ ， U = ⎜ 0 1 − 4 ⎟ ⎜ 3 − 5 1⎟ ⎜ 0 0 − 24 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
二、计算题（每空 10 分，共 50 分）
昆明理工大学 2012 级硕士研究生试卷
科目： 数值分析 考试时间： 考生姓名：
题号
分数
出题教师： 学号：
集体
专业：
一 二 三 四
五
六
总分
考试要求：考试时间 150 分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的 不予计分；可带计算器。
一、填空题（每空 2 分，共 40 分）
1．设 x* = 0.231 是真值 x = 0.228 的近似值，则 x* 有
8． 设
1 2 0 1 2
1 ⎤ 2 ⎥ ⎥ 1 0 ⎥ ，其条件数 Cond ( A)2 = 1 ⎥ ⎥ 0 − 2⎥ ⎦ 0
，
。
⎡ 3 1⎤ A= ⎢ ⎥ ，计算矩阵 A 的范数， || A || 1 = ⎣ 1 2⎦
|| A || 2 =
。
9 ．求方程 x =
f ( x) 根的牛顿迭代格式是
过
1 × 10− 5 ？若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间 [0, 1]应该分成多少等分？由 2
下表数据用复合辛普森公式计算该积分。
x
e
x
0 1
0.25 1.28
( 4)
0.5 1.64
0.75 2.11
1 2.71
解：由于 f ( x ) = e x ，则 f '' ( x) = f
( x) = e x 在区间[0,1]上为单调增函数，b-a=1，
4. 已知如下实验数据 ( xi , y i ), i 计算最小二乘法的误差。
= 0,1, L,4 , 用最小二乘法求形如 y = a0 + a1 x 的经验公式，并
xi yi
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
5. 用 改进的 欧拉 公式 ( 预 估 - 校 正方法 ) ，解 初值问 题
dy = x 2 + 100 y 2 , y (0) = 0 ， 取步长 dx
1．求一个次数不高于 4 次的多项式 P(x ),使它满足:P(0) =0，P’(0) =0，P(1) =1，P’(1) =1，P(2) =1，并写出其余项表达式。
解：由题意 P(x) = x2(ax2 + b x + c ) ，由插值条件得方程组
a + b + c =1 4 a + 3b + +2c = 1 4( 4a + 2b + c) = 1
3 ( x + 1)( x − 2) ，3 2 7 11 9 4. 2x2 x 2 − x + 5 2x2 − x + 4 5 5 −
5. 6. 7. 8. 0.28 0.39 0.29 0.82
5
H J = D −1 ( L + U ), H G − S = ( D − L) −1U
1
| A ||1 = 3_， || A || 2 =
留到小数点后四位） 。 解： （1）由改进的欧拉公式
⎧ y n +1 = y n + hf ( x n , y n ) ⎪ h ⎨ y n +1 = y n + [ f ( x n , y n ) + f ( x n +1 , y n +1 ) ⎪ ⎩ 2
因为 h = 0.1, y 0 = 0 ， f ( x, y ) = x 2 + 100 y 2 所以 x 0 = 0, x1 = 0.1, x 2 = 0.2
h = 0.1,
计算到 x
。 = 0.2 （保留到小数点后四位）
三、证明题（共 10 分）
1 ． 如果 A 是对称正定矩阵，则 A 可唯一地写成 阵。
A = LLT
，其中 L 是具有正对角元的下三角
昆明理工大学 2012 级硕士研究生试卷答案
一填空题（每空 2 分，共 40 分）
1. 2. 3. 2 3 0.025 或 0.0216 0
x ex
0 1
0.25 1.28
0.5 1.64
0.75 2.11
1 2.71
⎡ 1 0.4 0.4⎤ ⎢ T 3. 线性方程组 Ax = b ，其中 A = 0.4 （1 ）建立雅可比迭代法和 1 0.8⎥ ⎢ ⎥ ， b = [1,2,3] ， ⎢ ⎣ 0.4 0.8 1 ⎥ ⎦
高斯 -赛德尔迭代法的分量形式。 （ 2）问雅可比迭代法和高斯 - 赛德尔迭代法都收敛吗 ?
(2) Jacobi 迭代法的迭代矩阵
− 0.4 − 0.4 ⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ B J = D ( L + U ) = ⎜ − 0.4 0 − 0.8 ⎟ ⎜ − 0.4 − 0.8 0 ⎟ ⎝ ⎠
−1
| λI − B J |= (λ − 0.8)( λ2 + 0.8λ − 0.32 )
ρ ( B J ) = 1.0928203 > 1 ，故 Jacobi 迭代法不收敛。
y 1 = y0 + hf ( x 0 , y 0 ) = 0， h y1 = y 0 + [ f ( x 0 , y 0 ) + f ( x1 , y1 ) =0.0005 2 y 2 = y1 + hf ( x1 , y1 ) = 0.0015
Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵
B G− S
⎛ 0 − 0.4 − 0.4 ⎞ ⎜ ⎟ = ( D − L ) U = ⎜ 0 0.16 − 0.64 ⎟ ⎜ 0 0.032 0.672 ⎟ ⎝ ⎠
−1
ρ ( B G − S ) = 0.8 < 1 ，故 G-S 迭代法收敛。
4. 已知实验数据 ( xk , y k ), k = 1,2,L ,5 ，如下表，用最小二乘法求形如 y = a 0 + a1 x 的
L2 ( x) =
=
。 ，
f ( x ) = 3x3 + 2 x2 − 4 x + 5 在 [ −1,1] 上的最佳二次逼近多项式为
。 的系数
1 0
最佳二次平方逼近多项式为 5． 高 斯求 积 公式
∫
x f ( x ) dx ≈ A0 f ( x 0 ) + A1 f ( x1 )
=
，
A0 =
，
A1 =
若用复合辛普森公式，则要求
b − a ⎛ h ⎞ 4 () 1 1 1 R S ( f ) =| − ( ) 4 e ≤ × 10 − 5 ，η ∈ (0,1) ⎜ ⎟ f (η ) |≤ 4 180 ⎝ 2 ⎠ 180 × 2 n 2 e × 10 4 ， n ≥ 3.7066 ，因此 n=4，即将区间[0,1]分成 8 等分时，用复合梯形计算， 144 1 截断误差不超过 × 10 − 5 。 2 n4 ≥ h 4 −1 ∑ [ f ( x k ) + 4 f ( xk + 1 ) + f ( xk +1 )] = 6 k=0 2