(优选)中心力场讲解

1 2 a0
r
21
2a0
a0 3
n3
R30(r)
1 3a0
3 / 2[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)2
]e
1 3 a0
r
R31(r)
2 a0
[ r] re 3/2 2
1
1
3
1 a0
r
27 3 81 3a0 a0
R31(r)
2 a0
( r ) e 3/ 2 1 1 81 15 a0
§5.4 氢原子
量子力学发展史上最突出得成就之 一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予 了相当满意得解释。氢原子是最简单的原 子，其 Schrodinger方程可以严格求解， 氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构 的基础。
氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在 它的周围有一个电子绕着它运动 (r ~ 10 8 cm) 。它与 电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）
二、两体问题化为单体问题
两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用 V ( rv1 rv2 ) 只依赖于
相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：
[
h2 2m1
12
h2 2m2
22
V
(
rv1
rv2
)](rv1,
rv2
)
ET
(rv1,
rv2
)
ET为体系的总能量。引入质心坐标
v R
和相对坐标
rv
v v v v r r r R
一、氢原子的能级
氢原子的能量本征值：
En
e4
2h2
1 n2
e2
2a
1 n2
(2)
h2
玻尔半径： a e2
o
0.53 A
主量子数：n
见110页：氢原子的能级图
二、氢原子的波函数
与En相应的归一化的径向波函数为：
合流超几何函数
Rnl (r) Nnl le/2F n l 1, 2l 2,
m1rv1
m2rv2
m1 m2
12
z
1
r1
r
R
二体运动
I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动
+
r2
2
可化为：
II 二粒子作为一个整体的质心运动。
xO
y
可以证明： 1 m1
12
1 m2
22
1 M
2R
1
2
其中 M m1 m2 m1m2
m1 m2
——体系的总质量， ——约化质量或折合质量。
2R
主量子数 角动量量子数 磁量子数
定态波、函数 nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm ( , ) 是氢原子体系
Hˆ lvˆ 2 和 lˆz 的共同本征函数。
n1
R e 2 r / a0 10 a03/ 2
n2
R20(r)
1 2a0
3/2(2
1 a0
r )e
2
1 a0
r
R (r) re 1 3/2 1
h2
l l 1
r2
Rl
0
求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：
l (r) rRl (r)
代入式得：
r 0
由于波函数要求有限，所以要求 ，（不慢于 r 0）
这就是径向方程的一个定解条件。
径向波函数 R(r) 或 u(r) 的归一化条件可写成:
注意：
（1）不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别
2 X 2
2 Y 2
2 Z 2
2 2 2 2 x2 y2 z2
对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商。
则二粒子体系的能量本征方程可化为：
[
h2 2M
2 R
h2
2
2
V
(r)]
ET
此方程可分离变量，令
v
( R)
(rv)
得：
h2 2M
2R
(
v R)
v
EC ( R)
[ h2 2 V (rv)] (rv) E (rv) 2
E ET EC
分解为二个本征方程:
描述质心运动，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程， EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式 运动。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。
描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出与单粒子能 量本征方程形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E 理解为相对运动能量。
z
r
r
x
y
球坐标
考虑到中心力场的特点：球对称性，选用球坐标系是方便的，
此时利用
2 1 r 2 Lˆ2 r 2 r r 2r 2
H的本征方程
h2
2
1 r2
r
r
2
r
l$2
2r2
V (r)
E
左边第一项称为径向动能算符，第二项称为离心势能。
此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式：
2
1 3 a0
r
Hˆ lvˆ 2
nlm
(r
,
,
)
En l(l
1)h2
nlm
(r
,
,
)
lˆz
mh
nlm (r, , )构成正交，归一，完备集。
n 1, 2, 3, .... l 0,1, 2....n 1; m 0, 1, 2,K , l
仅在于径向波函数Rl(r)或l(r)，它们由中心势V(r)的性
质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级至少为 2l+1重简并的。
（2）在一定边界条件下求解径向方程，即可得出能 量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于 束缚态，则E取离散值。
（3）在求解径向方程时，由于束缚态边界条件，将出 现径向量子数nr.
Lˆ2
2
1
sin
(sin
1
) sin2
2
2
取 : r,, Rl rYlm ,
2
Ylm ( , )是(l , l z )的共 同本征态 。
l 0,1,2,..... m 0,1,2,......, l
分离变量,径向方程可写为：
d2 dr 2
Rl
2 r
dRl dr
2 E V (r)
（优选）第五章中心力场
在求解中心力场中粒子的能量本征方程时，选用 Hˆ Lˆ2 Lˆz 为力学量完全集是很方便的。这是因为：当选用了守恒量完
全集（ Hˆ ，Lˆ2 ，Lˆz ）来对态进行分类以后，属于同一个能级 的诸简并态的正交性问题将自动得到保证。
能量本征方程为:
[ 2 2 V (r)] E 2
1
Nnl 2l 1!
(n 2n(n
1)! l 1)!
2
n
l
3/
2
a03/
2
2r
na
0
Rnl (r)
2 r2dr 1
氢原子的束缚态能量本征函数为：
nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , )
n 1, 2, 3, .... l 0,1, 2....n 1; m 0, 1, 2,K , l
V (r) e2 r
这是一个两体问题。
z
1
r1
r
R
+
r2
2
பைடு நூலகம்
xO
y
具有一定角动量的氢原子的径向波函数 l (r) rRl (r)
满足下列方程：
d2 dr 2
l
2
h2
E
e2 r
l l 1
r2
l
0
(1)
边界条件：l (0) 0
为电子的约化质量， memp
me mp
me和mp分别为电子和质子的质量。