第3章动力计算习题

(a) (b) ki k1 m k2 k3 m
1 2 3
111
k1 k2 k3
解：图b体系为串联弹簧，其柔度δ （刚度系数k的倒数）等于各弹 柔度δi（簧刚度系数ki的倒数） 之和。
T 2π 2π m 2π m
k
(2 π ) 2 m ( 1 1 1 ) k1 k2 k3
T12 T2 2 T32
k1 1 1lE 32 1 I1lE 32 2 I244 11 6N 0/m k2 2 1lE 32 2 I1lE 32 3 I229 14 6N 0/m
k33 1lE 3 23 I29 8160 N/m
k13k310
k 1 2k 2 1 1 l3 E 2 2 I2 1 9 16 6 N 0 /m
f32
896 3EI
f12
f21
160 3EI
f13
f31
256 3EI
m1
f1112
m2 f12
mn f1n
m1f21
m2f2212
mn f2n 0
m1fn1
m2 f2n
mn fnn12
（2）求振型： 由柔度法公式：
FM12I 0
展开得：
m3m 6E134IE6I012
m13E6I0
m53E1I212
EI m
可解得：
3(2)0.716 3(3)0.45
则振型向量为：
1
1 3 .33
6.17
振型图如下：
2
Biblioteka Baidu
1 1.001
1.405
1
3.33
6.17
1
1.001
1.405
0.716
1
0.45
振型的动态显示
3
1 0.176
0.45
第一主振型 第二主振型 第三主振型
例5. 单跨三层平面刚架如图所示，假定刚架的质量全部集中在各层
m3m6E413IE6I012
m13E6I0
m53E1I212
m256 2 3EI
m896 2 3EI
0
m32E5I6
m83E9I6 m213E72I812
解上述方程可得：
10.0465EmI, 20.264EmI
30.653EmI
f1136E4I, f2253E1I2
f33
1728 3EI
f23
k2 3k3 2 1lE 32 3 I2 9 8 16N 0/m
（3）求振型 将计算的结果代入方程：
(K2M) 0
(K 2 M )9 8 16 0 4 0 5 2 153 1 1 251 0 1 ( ( (1 2 3 ) ) ) 0
将 1 0.333代5入上式，令1（3）=1，展开任意两个
习题训练
结构动力计算习题
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− 结构本身固有的动力特性；
返回
− 结构的动力响应；
退出
例1 设直杆的轴向变形不计，图示体系的动力自由度为 多少？
(a )
(b )
m1 m2
m3
2 1
自由度为2
例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体 系的动力自由度数为多少？
m1
EI1=∞
m2
EI
EI
m1
EI1=∞
m2
EI
EI
自由度数5
例2：图a所示结构频率为ωi，求图b所示结构频率ω。
ki (a)
k1
k2
k3
(b)
解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧刚度 系数ki之和.
k=k1+k2+k3
m kk1k m 2k3122232
例3：图a 所示结构周期为Ti，求 图b所示体系周期。
k22 k32
k k3 23 3
2m 01 0
0
m2 0
0 0 0 m3
4 515 2 0
令 981810032 则：
K2M9 8160 2
0
3151 1 1
0
方程的实根为
1 0 .33 , 2 3 1 .6 56 , 3 6 4 .0 5
：刚架的三个自振频率为：
113.47s1 130.12s1 146.67s1
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思考题
体系的质点位移编号如图所示，杆长均为l，写
出体系的质量矩阵M和频率方程。
m 0
解：
M
0
3m
1方向
EI
2方向
m EI 2m EI
例 4. 悬臂梁上作用3个质量分别为 m1=m2=m, m3=0.5m 的质点,梁的EI为常数，试求此体系的
自振频率和振型。
[解] (1) 求频率
用柔度法。可分别在1、2 、3点作用单位力，画出
m256
23EI 1
m896 23EI
(2)0
m32E5I6
m83E9I6 m 213E72I812(3)
代入 1 0.0465EmI 由上述方程的任意两式可解得：
1(2)3.33 1(3)6.17
同样代入
2
0.264
EI m
可解得：
2(2)1.001 2(3)1.405
同样代入
3
0.654
k33 1lE 3 23 I29 8160 N/m
k13k310
k 1 2k 2 1 1 l3 E 2 2 I2 1 9 16 6 N 0 /m
k2 3k3 2 1lE 32 3 I2 9 8 16N 0/m
（2）求各阶频率 把计算得到的系数代入频率方程。
k11 k12 k13
k k3 21 1
弯矩图，利用图乘法就可
以求出各柔度系数值fij。
f1136E4I, f2253E1I2
f33
1728 3EI
f23
f32
896 3EI
f12
f21
160 3EI
f13
f31
256 3EI
4m
m 1
4m
m 2
4m
0.5m 3
(a)
4
1
4
2
3
M1
8 4
1
2
3
M2
12
8
1
4
2
3
M3
把求得的系数代入柔度法频率方程：
4m
2 I2 m1
I4 I1
4m
2 I1
1
k31
k32
k33
1
k 21
k22
k23
k11
k12
k13
1
(c)
(d)
(e)
解: (1) 体系由3个自由度；采用刚度法计算。现计算刚度系数
k1 1 1lE 32 1 I1lE 32 2 I244 11 6N 0/m k2 2 1lE 32 2 I1lE 32 3 I229 14 6N 0/m
横梁上，m1=m2=270t, m3=180t。各柱截面的惯性矩。 I1=3.267 10-3m4, I2=2.6110-3m4, I3=1.30710-3m4,横梁I4=∞，材料弹性模 量E=200Gpa。忽略杆的轴向变形,求刚架的自振频率和振型。
m3
m3
I4
2 I3
4m
I3
m2
m2
I4
I2 m1
方程可解得： φ1(1)=0.3332 ， φ1(2)=0.6665 ， 第一主振型为： φ1={ 0.3332 0.6665 1 }T
将 2 1.6665代入上式，令2（3）=1，同样可解得： φ2(1)=-0.6665 ， φ2(2)=-0.6665 ， 第二主振型为： φ2={ -0.6665 -0.6665 1 }T