中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(提高)汇总

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圆中考知识点总结

圆中考知识点总结圆是中学数学中的一个重要知识点，在中考数学中起着重要的作用。

因此，掌握圆的相关知识对于中考数学是非常重要的。

本文将对中考数学中关于圆的知识点进行总结，帮助学生更好地复习和掌握圆的相关知识。

知识点总结一、基本概念1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个确定点一定距离的点的全体组成的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弧、圆周。

3. 圆的性质：圆的直径是圆周的两倍，圆周上任意两点与圆心的距离相等。

二、圆的相关公式1. 圆的周长公式：C=2πr。

2. 圆的面积公式：S=πr²。

三、圆的相关定理1. 直径定理：直径所对应的两个锐角为直角。

2. 圆的切线定理：过圆外一点引圆的切线与过该点作圆的半径垂直。

3. 圆的切线与弦的性质：相交弦定理、弦切定理。

4. 圆的内切与外切定理：内切定理、外切定理。

四、圆的相关应用1. 圆的面积和周长的应用：计算圆的面积、周长和扇形面积等。

2. 圆的几何关系：切线与圆的位置关系、相交弦的性质等。

3. 圆的倒影与旋转：圆的旋转变换、圆的倒影变换。

五、解题技巧1. 熟练掌握圆的相关公式和定理，能够正确应用公式和定理解题。

2. 多做练习，培养解决问题的能力，提高解题技巧。

3. 注意细节，正确理解题目的意思和要求，避免因理解错误而导致错误答案。

六、经典例题1. 已知AB是∠O的平分线，且AC⊥BC，求证：AC=BC。

2. 已知AB与CD是两条相交的直径，P是与AB、CD相交的一点，求证：PA²+PB²=PC²+PD²。

3. 如图，ΔABC是等边三角形，M、N分别是BC、AB的中点，P为AM的垂足，若PA=2，则求BP的长。

4. 四通五达服装公司要在正方形草坪内竖立一些旗杆，使得每个旗杆都最多不见这块草坪中心的五分之一。

那么最多可以竖立几个旗杆？结语通过对圆的相关知识点进行总结，我们可以更好地掌握圆的相关概念、公式、定理和应用。

初三圆知识点

初三圆知识点圆是初中数学中非常重要的一个图形，也是中考的重点和热点内容。

下面我们来详细了解一下初三圆的相关知识点。

一、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

这个定点称为圆心，定长称为半径。

圆的标准方程为：＄（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a,b)＄为圆心坐标，＄r$为半径。

二、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设点到圆心的距离为$d$，圆的半径为$r$，则有：点在圆外：＄d ＞ r$点在圆上：＄d ＝ r$点在圆内：＄d ＜ r$2、直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为$d$，圆的半径为$r$，则有：直线与圆相离：＄d ＞ r$，没有公共点。

直线与圆相切：＄d ＝ r$，有一个公共点。

直线与圆相交：＄d ＜ r$，有两个公共点。

3、圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为$d$，两圆的半径分别为$R$和$r$（＄R ＞r$），则有：两圆外离：＄d ＞ R ＋ r$，没有公共点。

两圆外切：＄d ＝ R ＋ r$，有一个公共点。

两圆相交：＄R r ＜ d ＜ R ＋ r$，有两个公共点。

两圆内切：＄d ＝ R r$，有一个公共点。

两圆内含：＄d ＜ R r$，没有公共点。

四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长公式为$C ＝ 2\pi r$，其中$＼pi$是圆周率，约等于 314，＄r$是圆的半径。

初三《圆》章节知识点总结

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

九年级数学专题复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系

总复习圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质 1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点进阶：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性． 3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点进阶：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点进阶：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点进阶：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点进阶：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点进阶：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点进阶：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点进阶：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P在⊙O外，连接PO交⊙O于A，延长PO交⊙O于B，则在点P与⊙O上各点连接的线段中，PB最长，PA最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P为⊙O内一点，直径过点P，交⊙O于A、B两点，则PB最长、PA最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I是△ABC的内心，则∠BIC1902A =+∠°．(2)如图所示，E是△ABC的两外角平分线的交点，1902BEC A ∠=-∠°．(3)如图所示，E是△ABC内角与外角的平分线的交点，12E A ∠=∠．(4)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，1902DFE A ∠=-∠°．(6)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P为DE上一点，则1902 DPE A ∠=+∠°．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用例1．已知：如图所示，⊙O中，半径OA＝4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC＝60°，求弦BC的长．例2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，AD BC =，连接AC ． (1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AB 与2CD 的大小关系无法确定例3．已知：如图所示，△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥半径AO 于D ．(1)求证：∠C ＝∠ABD ；(2)若BD ＝4.8，sinC ＝45，求⊙O 的半径．类型二、圆的切线判定与性质的应用例4．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB 的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求线段BE的长．举一反三：【变式】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用例5．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F．(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且312OF-=，求证△DCE≌△OCB．举一反三：【变式】如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝________．例6．如图所示，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．PM平分∠APC交AC于M．(1)若∠CPA＝30°，求CP的长及∠CMP的度数；(2)若点P在AB的延长线上运动，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP的度数；(3)若点P在直径BA的延长线上，PC切⊙O于点C，那么∠CMP的大小是否变化？请直接写出你的结论．举一反三：A的中点，CD⊥AB于D，CD与AE相交于F．【变式】如图所示，AB是⊙O的直径，C是E(1)求证：AC2＝AF·AE；(2)求证：AF＝CF．【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中，，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A．5 B．6 C．7 D．152．如图，AB为⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（）A. 70°B.35°C. 30°D. 20°3．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于（）A.30°B.60°C.45°D.50°第2题第3题第4题第5题4．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为（）A. 5B. 4C. 3D. 25．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（）A. 14B. 15C. 32D. 236. 如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为0AB 上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为（）A ．34B ．35 C ．43D ．45二、填空题7．已知⊙O 的半径为1，圆心O 到直线l 的距离为2，过l 上任一点A 作⊙O 的切线，切点为B ，则线段AB 长度的最小值为 .8．如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．O B⊥AD，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 .9．如图所示，已知⊙O 中，直径MN ＝10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM ＝45°，则AB 的长为________．第8题第9题第10 题10．如图所示，在边长为3 cm 的正方形ABCD 中，1O 与2O 相外切，且1O 分别与,DA DC 边相切，2O 分别与,BA BC 边相切，则圆心距12O O = cm ．11．如图所示，,EB EC 是O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°那么∠A 的度数是 .12．如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是的中点，CE⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE 、CB 于点P 、Q ，连接AC ，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P 是∠ACQ 的外心，其中正确结论是（只需填写序号）．三、解答题13．如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA⊥AC，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DC 2DP DO 3==．（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos∠BCA 的值．14．如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r ＝1+t(t≥0)．(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式；(2)问点A出发后多少秒两圆相切?15.已知⊙O的直径AB=10，弦BC=6，点D在⊙O上（与点C在AB两侧），过D作⊙O的切线PD．（1）如图①，PD与AB的延长线交于点P，连接PC，若PC与⊙O相切，求弦AD的长；（2）如图②，若PD∥AB，①求证：CD平分∠ACB；②求弦AD的长．16. 如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α．当α=度时，点P到CD的距离最小，最小值为．探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=度，此时点N到CD的距离是．探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=34，cos41°=34，tan37°=34．）。

中考圆的知识点总结总结

中考圆的知识点总结总结一、圆的定义和性质1. 圆的定义圆是一个平面上和一个确定点的距离都相等的点的集合。

这个确定点就是圆心，而圆心到圆上的任意点的距离就是半径。

2. 圆的性质（1）圆心角圆心角是以圆心为顶点的角，它的两条边分别是圆周上的两条弦。

圆心角的度数等于对应的弧所对的圆周的度数。

如果圆心角的度数为360度，那么这个角就是周角。

（2）弧圆上的一段弧是圆周的一部分。

圆的周长就是圆周的长度，可以用角度和弧度来表示。

（3）切线和切点切线是一个直线，它与圆相切于一个点。

在圆上，切线与半径的夹角为90度。

（4）同位角同位角是两条平行线被一条截线所切割而形成的一对内角和一对外角。

同位角的性质也可以应用到圆上。

（5）相似两个或者更多的圆是相似的，如果它们有着相同的形状但是不同的尺寸。

相似的圆的半径之比等于它们的直径之比。

二、圆的相关定理1. 圆周角定理圆周角等于圆心角的一半。

2. 圆的面积和周长圆的面积等于πr^2，圆的周长等于2πr，其中r是圆的半径，π是一个无理数，约等于3.14159。

3. 弦长定理在同一个圆上，相交弦的两个切点到圆心的距离相等。

4. 弧长定理同样的圆上，相对的圆周弧长相等。

5. 切线定理切线和半径的夹角为90度。

6. 弧上的角定理同样的圆上，一个圆周弧所对的圆心角等于这个弧上的其他角的和。

7. 线段对定理在一个圆上，两条相交的弧所对的线段互为比例。

三、圆的应用1. 圆的周长和面积的应用圆的周长和面积是经常在实际生活中用到的数学概念。

比如在工程测量中，需要计算环形的周长和面积。

2. 圆的图形补充圆的图形补充，包括扇形、环形等概念，也是圆的知识点之一。

3. 圆的运动学应用在运动学中，圆的运动规律和路径也是一个重要的应用。

四、典型例题下面列举一些典型的中考圆的例题，帮助大家更好地复习和巩固知识。

1. 如果一条切线和一条半径分割了一个角为30度的圆心角，那么这条切线和半径的夹角是多少度？A. 60度B. 45度C. 30度D. 15度答案：A. 60度2. 已知圆的半径为8cm，求圆的面积和周长。

中考圆知识点总结复习

中考圆知识点总结复习圆是数学中重要的基本概念之一，也是我们日常生活中经常遇到的形状。

在中考数学中，圆的知识点是不可避免的，掌握好圆的相关知识对于中考数学的考试至关重要。

本文将对中考数学中关于圆的知识点进行总结复习，希望对同学们的复习有所帮助。

一、圆的基本概念1. 圆的定义：在平面上的所有到一个固定点距离相等的点的集合，这个固定的点叫作圆心，这个相等的距离叫作圆的半径。

2. 直径、半径和周长的关系：圆的直径是通过圆心的两个相对的点之间的线段，它等于半径的两倍，周长等于直径的π倍或者半径的两倍π。

二、圆的性质1. 圆心角的性质：圆内切于同一弧上的两条弦所对圆心的两个角是相等的，当圆心角的度数是180°时，这两条弦构成的角是直角。

2. 圆周角的性质：位于圆的同一弧上的两条弦所对的圆周角相等。

3. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和等于180°。

4. 弦长定理：圆内一条弦和它所对的两个圆周角的性质。

5. 弦切定理和切割定理：切割定理：切线与过切点作直径的两个弧所对的圆周角等于90°。

三、圆的相关计算1. 圆的周长和面积的计算公式：周长C=2πr面积S=πr²2. 圆的内、外接正多边形的周长和面积的计算四、圆的位置关系1. 圆的位置关系的判定：“点和圆的位置关系”、“直线和圆的位置关系”、“圆和圆的位置关系”。

五、圆的几何变换1. 圆的平移、旋转、对称的基本概念。

2. 圆的平移、旋转、对称的性质。

六、圆的应用.1. 圆的应用在实际生活和工作中运用。

2. 圆在建筑、设计、制图中的应用。

3. 圆的运动的应用。

七、典型例题解析1. 利用圆的数学知识解决问题的方法。

2. 典型例题的解题思路和方法。

3. 典型例题的解题技巧和技巧。

八、练习题1. 适当安排时间，每天复习一定的题目，加深对知识点的理解和掌握。

2. 定期进行模拟考试，检测自己对圆的知识点的掌握情况。

3. 及时总结巩固，弥补知识点的不足。

中考数学圆知识点归纳

中考数学圆知识点归纳一、圆的定义和性质：1.圆的定义：平面上的所有到圆心距离相等的点的集合。

2.圆的部分：弧、弦、弧长、弦长、圆心角、半径、直径、切线、弧度、坐标公式等。

二、圆的特殊位置和位置关系：1.圆上的点与圆心之间的关系：圆周角是直径的角为直角。

2.圆内外的点与圆心之间的关系：内接圆和外接圆。

三、圆的性质：1.半径相等的圆相等，直径相等的圆相等。

2.圆的直径是两个切点。

3.两圆相交，切点在弦上，切点与所对弧不在一条直径上。

4.圆上的切线与半径垂直，且只有一条。

（切线切圆问题）5.过圆外一点可以作无数条切线，其中只有一条切线与圆通过该点处的切线垂直。

（外切线和切线问题）四、圆的计算：1.圆的周长：C=2πr（其中r为半径）。

2.圆的面积：S=πr²（其中r为半径）。

3.弧长：L=2πr（对应圆心角为360°的弧）。

4.弧度制和角度制的转换：弧度=角度×(π/180°)角度=弧度×(180°/π)五、利用圆的知识解决问题：1.根据已知条件作出相关几何图形，运用定理和性质求解问题。

2.提取关键信息，运用圆的性质和公式进行计算。

3.运用切线的特性求解问题。

4.运用弧的性质，求解弧长、弦长、圆心角等问题。

5.运用角平分线和垂直平分线的性质，求解相关问题。

六、与圆相关的解题技巧：1.制图时，可以借助直角三角形和等腰三角形的性质。

2.运用圆的部分的特性，构造性质，使用类似全等三角形的方法求解问题。

3.运用余弦定理、正弦定理等三角函数的性质，结合圆的特性求解问题。

4.利用圆内切四边形的特性解决问题。

以上为中考数学圆知识点的归纳，希望对你复习和备考有所帮助。

中考压轴圆知识点总结

中考压轴圆知识点总结中考数学是学生们的一大难题，而数学中颇具难度的数学圆知识点更是让许多学生头疼。

在中考中，圆的知识点占据了重要的地位，学生们需要认真复习和掌握这些知识点才能顺利通过考试。

下面我们就来总结一下中考数学圆的知识点，希望对大家有所帮助。

一、圆的基本概念1. 圆的定义：在平面上所有到圆心的距离都相等的点的集合称为圆。

圆用字母 O 表示。

2. 圆的元素：圆的圆心、半径和弧。

3. 直径、半径、弧长与圆的关系：直径是通过圆心的线段，它的长度等于两倍的半径；半径是从圆心到圆上任意一点的距离；弧长是指圆的一部分弧所对的圆周的长度。

4. 弧度制：一周角的度数为 360°，而一周角对应的弧长为圆周的长度，如果圆的周长为 L，那么一周角所对应的弧长的度数衡量单位是圆周的长度的一个弧长。

这就是弧的弧度制，以弧长等于半径的角叫做1弧度的那个角。

5. 圆内接与外接：内接四边形是指四边形的四个顶点都在圆上，外接四边形是指四边形的四个顶点都在圆的外切，在圆上。

6. 一个绕圆一周转的圆心角是360°（或2 π 弧度）。

这被称为一周角。

二、圆的相关定理1. 圆内切四边形定理：一个四边形是积形，当且仅当它的内部与外部不相交，并且内部的一个角是直角。

2. 圆的面积和周长计算公式：圆的面积公式A=πr^2 ；圆的周长公式C=2πr3. 圆周角的性质：一个绕圆一周转的圆心角是360°，我们也称这个角叫一周角。

4. 圆的切线定理：在过圆外一点做圆的切线，这条圆的切线和这个点到圆心的连线垂直。

5. 弧长与扇形面积关系：圆心角相等的两个弧所对的圆周相等，圆心角相等的两个扇形的面积与依次对应的弧长成正比。

6. 圆内角、弦长与弧长的关系：在一个圆上的两个弦所确定的两个弧，弦分数相等，它们所对应的圆心角相等。

7. 圆的内切关系和切线定理：8. 圆的位置关系定理：每一对不同圆，在共有的外部和内部至少有一个定位的情态。

中考圆专题知识点总结

中考圆专题知识点总结一、圆的概念圆是平面上一个集合，该集合中任意两点的距离都相等，并且距离都等于圆的半径。

圆的周长叫做圆的周长，圆的面积叫做圆的面积。

圆的半径为r，圆的直径为d。

二、圆的性质1. 圆的周长和面积：圆的周长C = 2πr圆的面积S = πr²2. 弧和圆心角：- 弧：两点间的曲线部分，圆的一部分。

- 弧长：弧的长度，记作L。

- 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的弧度数。

3. 弧长公式：L = rθ（θ用弧度表示）4. 圆周角：圆周角是一条弧所对的圆心角。

圆周角的度数等于它所对的圆心角的两倍。

5. 切线和切点：切线是与圆只有一个交点的直线。

切线与圆相切的点叫做切点。

6. 相交弧、对应弧和交角：- 相交弧：两个圆相交的弧。

- 对应弧：两个圆相交的弧的对应部分。

- 交角：两个相交弧的交角。

7. 圆内接四边形：如果一个四边形的四个顶点都在圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。

8. 圆的切线和割线：切线是与圆只有一个交点的直线，割线是与圆相交而不相切的直线。

切线和割线的切点到圆心的连线和圆的半径相垂直。

三、圆周角、圆心角和弧对应的关系1. 圆周角的度数等于所对的圆心角的两倍。

2. 圆周角的度数等于所对的弧的度数。

3. 圆心角的度数等于所对的弧的度数。

四、圆的性质定理证明1. 同弧或同角：弧对应的圆心角和圆周角以及弧的长度都相等。

2. 切线定理：若直线与圆相交，且交点在圆外，则直线与圆的切点连线垂直于直线。

3. 切线与弦定理：如果一条切线和一条弦相交于圆上的同一点，则切线上这个点的两个切线段相等。

五、常见的圆相关问题1. 圆与圆之间的位置关系：相离、外切、相交、内切、相切。

2. 圆的面积和周长问题：求圆的面积和周长。

3. 圆心角、圆周角和弧的问题：根据给定的信息计算圆心角、圆周角和弧的长度。

4. 切线和切点的问题：计算切线和切点的位置以及相关长度。

5. 圆的切线和割线问题：计算切线和割线的位置以及相关长度。

初三关于圆的知识点归纳

初三关于圆的知识点归纳在初中数学中，圆是一个非常重要的知识点，不仅作为基础知识贯穿于整个学习过程中，而且其涉及到了很多高中数学中深入探讨的概念和定理。

本文将对初三生涯中需要学习的圆的知识点进行归纳总结，希望对广大初三学生有所帮助。

一、基本概念1. 圆：平面上与一个确定点距离相等的所有点的集合称为圆，这个确定点称为圆心，所有在圆上的点与圆心之间的距离称为半径。

圆的表示方法是圆心坐标与半径。

2. 圆周：圆的周长称为圆周。

常用符号：C = 2πr 或C=πd3. 弧：由圆上的两个点所确定的一段圆弧，可以表示为 AB 或AOB（A、B为圆上两点，O为圆心）。

弧的度数可用弧所对圆心角的度数表示。

4. 弦：两个在圆上且不在圆直径上的点，可以用线段AB表示，这个线段称为圆的弦。

5. 直径：圆上经过圆心的一条线段，称为圆的直径。

直径的关系式：d = 2r。

二、圆的性质1. 圆心角：以圆心为顶点，圆弧所对的角，称为圆心角。

圆心角的度数等于其所对圆弧的度数。

圆心角的大小与圆弧的大小相等。

2. 弧长公式：圆弧长度L=α/360°×πd 或L=α/360°×2πr。

（α为圆心角的度数）3. 弦长公式：弦长L=2r*sin(θ/2)。

（θ为弦对应圆心角的度数）4. 切线定理：圆上的任意一点，与这个点的切线垂直。

同时，切线所在的直线与半径所在直线的夹角等于被切割弦所对应的圆心角的度数的一半。

三、圆的位置关系1. 判定两圆相交：两圆相交，当且仅当两圆的半径之和大于等于两圆心之间的距离。

2. 切线定理：过外部一点切圆的切线只有唯一的一个。

3. 相交弦定理：两个相交于圆上的弦交于圆的内部的点，两条弦对应的弧的和等于圆周角的度数。

四、圆与三角形的关系1. 正多边形外接圆半径公式：正n边形的外接圆半径R=a/2sin(180°/n) （其中a为正n边形的边长）2. 等腰三角形的特殊点：（1）等腰三角形的高线、垂直平分线和中位线三线交于同一点，称为等腰三角形的垂心，垂心到三角形三顶点的距离相等。

中考圆形知识点总结归纳

中考圆形知识点总结归纳一、圆的定义及性质1. 定义：圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的全体构成的集合。

2. 圆心和半径：圆心是到圆上任一点的距离相等的点；半径是圆心到圆上任一点的距离。

3. 直径：通过圆心并且有圆上两点的线段叫做直径，直径的长度等于两倍的半径。

4. 切线和切点：在圆上的一点处与圆相切的直线叫做切线，切线与圆相切的点叫做切点。

二、圆的周长和面积1. 周长：圆的周长等于直径乘以π（π≈3.14）。

2. 面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。

三、角与弧1. 圆心角与弧长的关系：圆心角的度数等于对应圆周的弧长所对应的圆心角的两倍。

2. 弧长的计算：弧长等于圆周长乘以所含圆心角的度数除以360度。

3. 弧度制：1弧度等于半径长所对应的圆心角的弧长。

4. 弧长与扇形面积的计算：扇形面积等于扇形对应的圆心角的弧度除以2π乘以圆的面积。

四、相交圆的位置关系1. 相交圆的位置关系：两个圆相交于两个不同的点，一个点，或者不相交。

2. 内切和外切圆：两个圆内切的位置关系就是一个圆在另一个圆内部，一个圆与另一个圆外切的位置关系就是一个圆的周长与另一个圆的圆心的距离相等。

五、圆的应用1. 圆的模型：圆在自然界中有丰富的应用，例如铁路辙、车轮、橱柜的拉手等都是圆形的。

2. 饼图：根据数据用圆形图示数据的比例和百分比，通过饼图可以直观的看出不同部分所占的比例。

综上所述，圆形是数学中重要的基本图形之一，在日常生活和工作中都有着广泛的应用，掌握圆形的基本概念和性质对于学习和生活都是非常有帮助的。

希望大家能够认真学习圆形知识，掌握相关的计算方法，提高自己的数学能力。

北师大初中数学中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(提高)-精品

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．A B，(5)AD BD．若上述5个条要点诠释：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)C C件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．7.圆内接四边形（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．（4）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.（5）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．考点三、与圆有关的规律探究1．和圆有关的最长线段和最短线段了解和圆有关的最长线段与最短线段，对有关圆的性质的了解极为重要，下面对有关问题进行简单论述．(1)圆中最长的弦是直径．如图①，AB是⊙O的直径，CD为非直径的弦，则AB＞CD，即直径AB是最长的弦．过圆内一点最短的弦，是与过该点的直径垂直的弦，如图②，P是⊙O内任意一点，过点P作⊙O 的直径AB，过P作弦CD⊥AB于P，则CD是过点P的最短的弦．(2)圆外一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段都在过圆心的直线上．如图所示，P在⊙O外，连接PO交⊙O于A，延长PO交⊙O于B，则在点P与⊙O上各点连接的线段中，PB最长，PA最短．(3)圆内一点与圆上一点的连线中，最长的线段与最短的线段也都在过圆心的直线上．如图所示，P为⊙O内一点，直径过点P，交⊙O于A、B两点，则PB最长、PA最短．2．与三角形内心有关的角(1)如图所示，I是△ABC的内心，则∠BIC1902A°．(2)如图所示，E是△ABC的两外角平分线的交点，1902BEC A°．(3)如图所示，E是△ABC内角与外角的平分线的交点，12E A．(4)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，则∠DOE＝180°－∠A．(5)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，1902DFE A°．(6)如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P为DE上一点，则1902DPE A°．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，⊙O中，半径OA＝4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC＝60°，求弦BC 的长．【思路点拨】要用好60°角，构造直角三角形．在圆中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦长及半径构成直角三角形．【答案与解析】解：过O 作OM ⊥BC 于M ，连接OC ．在Rt △OPM 中，∠OPC ＝60°，OP122OA ，∴PM ＝1，OM ＝3．在Rt △OMC 中，BC ＝2MC ＝222213OCOM．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．2．如图所示，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点M ，ADBC ，连接AC ．(1)求证：△MAC 是等腰三角形；(2)若AC 为⊙O 直径，求证：AC 2＝2AM ·AB ．【思路点拨】(1)证明∠MCA ＝∠MAC ；(2)证明△AOM ∽△ABC ．【答案与解析】证明：(1) ∵ADCB ，∴∠MCA ＝∠MAC ．∴△MAC 是等腰三角形．(2)连接OM ．∵AC 为⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°．∵△MAC 是等腰三角形，OA ＝OC ，∴MO ⊥AC ．∴∠AOM ＝∠ABC ＝90°．∵∠MAO ＝∠CAB ，∴△AOM ∽△ABC ，∴AO AB AMAC，∴AO ·AC ＝AM ·AB ，∴AC 2＝2AM ·AB ．【总结升华】本题考查的是圆周角定理，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 中，AB ＝2CD ，则( )A ．2AB CD B ．2AB CDC ．2AB CD D．AB 与2CD 的大小关系无法确定【答案】解：要比较AB 与2CD 的大小有两种思路． (1)把AB 的一半作出来，比较12AB 与CD 的大小；(2)把2CD 作出来，比较AB 与2CD 的大小．如图所示，作OE ⊥AB ，垂足为E ，交AB 于F ．则AFBF ，且12AEAB ．∵AB ＝2CD ．∴AE ＝CD ．在Rt △AFE 中，AF ＞AE ＝CD ．∴AF ＞CD ．∴22AF CD ，即2AB CD ．答案A.3．已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，BD⊥半径AO于D．(1)求证：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝45，求⊙O的半径．【思路点拨】过O作OE⊥AB于E，连接BO，再由垂径定理及三角函数进行证明与求解. 【答案与解析】解法一：(1)过O作OE⊥AB于E，连接BO(如图所示)，则12C BOA AOE．又∵ BD⊥AO，∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠AOE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠AOE＝∠C．（2）在Rt△ABD中，sin ADABDAB，∴4sin5 ADCAB．设AD＝4k，则AB＝5k，BD＝3k＝4.8，k＝1.6．∴AB＝8，AE＝4．∵sinAEAOEOA，∴445OA．∴OA＝5．解法二：（1）延长AO交⊙O于C′．（如图所示）∴∠C′＝∠C．∵AC′为⊙O的直径，∴∠ABC′＝90°．∴∠C′+∠BAD＝90°．∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C′＝∠C．（2）在Rt△BDC′中，sin sin BDC CBC，∴4.860.8 BC．在Rt△ABC′中，∵4 sin5ABCAC，∴设AB＝4k，则AC′＝5k，BC′＝3k＝6．∴k＝2．∴1110522OA AC．【总结升华】解决圆周角的问题中常用的方法有两种：一是把圆周角转化为同弧所对圆心角的一半的角；二是将圆周角的顶点移动到使其一边经过圆心．类型二、圆的切线判定与性质的应用4．（2014秋?兴化市月考）如图，AB是⊙Ｏ的直径，点C是⊙Ｏ上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AC=8，BC=6，求线段BE的长．【思路点拨】（1）根据切线的性质可得结论；（2）连接OE，根据圆周角定理得∠ACB=90°，进而可推导得出△PCF是等腰三角形；（3）先在Rt△ACB中，根据勾股定理计算出AB=10，最终算得BE的值．【答案与解析】（1）证明：∵PD为⊙Ｏ的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙Ｏ的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，∴AB==10，∴OB=5，∵∠BOE=90°，∴△BOE为等腰直角三角形，∴BE=OB=5．【总结升华】本题考查了切线的性质，圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．举一反三：【变式】（2015?毕节市）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙Ｏ的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长．【答案】（1）证明：连结OA、OD，如图，∵Ｄ为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙Ｏ的切线；（2）解：∵圆的半径R=5，EF=3，∴OF=2，在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，∴DF==．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．如图所示，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC ＝30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状；(2)设⊙O 的半径为1，且312OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【思路点拨】（1）由于AB 是直径，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，结合OA=OC ，易证△AOC 是正三角形，于是∠OCD=60°，结合CD 是切线，易求∠DCE=30°，在Rt △AEF 中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E ，可证△CDE 为等腰三角形；（2）在Rt △ABC 中，由于∠A=60°，AB=2，易求AC=AO=1，利用勾股定理可求BC=3，CE=AE-AC=3，那么BC=CE ，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，从而可证△OBC ≌△DCE ．【答案与解析】解：(1)∵∠ABC ＝30°，∴∠BAC ＝60°．又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是正三角形．∵CD 是切线，∴∠OCD ＝90°．∴∠DCE ＝180°-60°＝90°－30°．∴∠DCE ＝∠DEC 而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED ＝90°－∠BAC ＝30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB ＝2，AC ＝AO ＝1，∴BC ＝3．312OF ，∴312AF AOOF ．又∵∠AEF ＝30°，∴AE ＝2AF ＝31．∴CE ＝AE －AC ＝3＝BC ．而∠OCB ＝∠ACB －∠ACO ＝30°＝∠ABC ，故△CDE ≌△COB ．【总结升华】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△AOC 是正三角形．举一反三：【变式】如图所示，PQ ＝3，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ，则AB ＝________．【答案】解：连接PQ 并延长交AB 于E ，设大圆的圆心为O ，连接OA ．设AB ＝2x ，则AE ＝x ，OB ＝2x-2．在Rt △OAE 中，OA ＝5，∵OA 2＝OE 2+AE 2，即52＝(2x-2)2+x 2，∴x ＝3．∴AB ＝6．答案：6 6．如图所示，⊙O 的直径AB ＝4，点P 是AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ．PM 平分∠APC 交AC 于M ． (1)若∠CPA ＝30°，求CP 的长及∠CMP 的度数；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，请求出∠CMP 的度数；(3)若点P 在直径BA 的延长线上，PC 切⊙O 于点C ，那么∠CMP 的大小是否变化？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）作辅助线，连接OC ，根据切线的性质知：OC ⊥PC ，由∠CPO 的值和OC 的长，可将PC 的长求出；（2）通过角之间的转化，可知：∠CMP=12（∠COP+∠CPO ），故∠CMP 的值不发生变化．【答案与解析】解:(1)连接OC ，则∠OCP ＝90°．∵ OA ＝OC ，∴∠COP ＝2∠CAP ＝60°．∴ CP ＝OC ·tan60°＝12AB ·tan60°＝23，∴ CP ＝23．∵ PM 平分∠CPA ，∴111(90)(9060)15222MPA CPA COP °°°°．∴∠CMP ＝30°+15°=45°.(2)设∠CPA ＝α，∵ PM 平分∠CPA ，∴∠MPA ＝12∠CPA 12．∵∠OCP ＝90°，∴∠COP ＝90°-α．又∵ OA ＝OC ，∴∠CAP ＝1(90)2°．∴∠CMP ＝∠CAP+∠MPA 11(90)4522°°．（3）∠CMP 的大小没有变化∵∠CMP=∠A+∠MPA=12∠COP+12∠CPO=12（∠COP+∠CPO ）=12×90°=45°．【总结升华】解第(2)小题时，引用“设∠CPA ＝α”这一方法，用代数方法计算得出结论，降低了解题的难度．本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用．举一反三：【变式】如图所示，AB 是⊙O 的直径，C 是E A 的中点，CD ⊥AB 于D ，CD 与AE 相交于F ． (1)求证：AC 2＝AF ·AE ；(2)求证：AF ＝CF ．【答案】证明：(1)如图所示，连接CE ，延长CD 交⊙O 于G ，连接AG ．∵AB 是⊙O 直径，CD ⊥AB ，∴AC AG ．∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠1，∴△AFC∽△ACE．∴AC AE AF AC．∴ AC2＝AF·AE．(2)由(1)得AC AG．又∵C是AE的中点，∴AC AG CE．∴∠2＝∠1．∴AF＝CF．。

新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析

人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A3cm B．3cm C．3D．3【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE=2233OA OE-=，∴AB=2AE=63，故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD3，根据垂径定理得AB3．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22AB AC-，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=233r-（），∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =；（2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是A ．44°B ．22°C ．46°D ．36°3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A ．41B ．34C ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．36．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．1．如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为__________．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=，∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4，由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =，由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2，则（x –2．3）2+851×12）2=x 2，解得x =3．变式训练答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米），故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =；（2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥，又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确；正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC=228CF BF-=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为5，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ；同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠D=30°，∴tan∠ABD=33，故答案为：33．12．【解析】（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，∵tan D=34OCCD=，OC=3，∴CD=4，∴OD=22OC CD+=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ，∴△ECB ≌△EFA ，∴EF =EC ， ∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形， ∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =--=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，直通中考在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．6．【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，且∠C =40°，∴∠ABC =50°，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵∠AOC =126°，∴∠BOC =180°-∠AOC =54°，∵∠CDB =12∠BOC =27°．故选C ． 8．【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠．又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确，∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ． 9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=．故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =22BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=45，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2，∴22FDBF=BF2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°2，即BF+FD22+1）FD2，∴FD=2221=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．31。

九年级常考的圆知识点总结

九年级常考的圆知识点总结圆是我们九年级数学中的一个重要知识点，也是经常出现在考试中的内容。

本文将对九年级常考的圆知识点进行总结和归纳，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

一、圆的定义和性质圆是平面内所有与一个确定点距离相等的点构成的集合。

其中，确定的点称为圆心，相等的距离称为半径。

圆的性质有很多，包括以下几个重要的方面：1. 圆上任意两点与圆心的距离相等；2. 圆的直径是圆上任意两点的最大距离；3. 圆的半径垂直于切线；4. 圆的切线与半径的交角是直角；5. 圆的内接四边形的两对对边和相等。

二、圆的基本要素和计算1. 弧度制和度度量制弧度制是一种角度的计量单位，它是以圆的半径长的弧所对的圆心角来定义的。

与之相对的是度度量制，在度度量制中，一个圆被划分成360个度。

在解决圆的相关问题时，我们需要根据具体情况选择使用弧度制还是度度量制。

2. 圆的弧长和扇形面积当我们需要计算圆上两点之间的弧长时，可以使用下列公式进行计算：L = rθ，其中L表示弧长，r表示圆的半径，θ表示弧所对的圆心角的度数或弧度数。

而当我们需要计算一个扇形的面积时，可以使用下列公式：S = 0.5r²θ，其中S表示扇形的面积，r表示圆的半径，θ表示扇形所对的圆心角的度数或弧度数。

三、圆的位置关系和相交性质1. 相离和相切当两个圆没有任何交点时，我们称它们为相离的；当两个圆只有一个公共切点时，我们称它们为相切的。

2. 相交和内切当两个圆有两个交点时，我们称它们为相交的；当一个圆完全包含在另一个圆内部，并且两个圆的圆心重合时，我们称它们为内切的。

四、圆的切线和切点1. 切线的性质圆的切线与半径的交角是直角，这是一个重要的性质。

同时，切线与半径的长度相等。

2. 切点的坐标计算当我们知道切线的方程和圆的方程时，可以通过联立两个方程来求解切点的坐标。

五、圆的证明问题圆的证明问题是考察同学们对圆性质的理解和运用能力的重要环节。

初三圆的知识点归纳总结

初三圆的知识点归纳总结圆是初中数学中一个重要的几何概念，它涉及到的知识点较多。

下面将对初三圆的知识点进行归纳总结，以便于读者更好地理解和掌握。

1. 圆的定义与性质圆是平面上的一条曲线，其上的任意两点到圆心的距离相等。

圆由无数点组成，其中最重要的是圆心和半径。

- 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，通常用字母O表示。

- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。

2. 相关公式与计算圆的周长和面积是初三学习中需要重点掌握的计算公式。

- 圆的周长公式：C = 2πr，其中π取近似值3.14，r为半径。

- 圆的面积公式：S = πr²，其中π取近似值3.14，r为半径。

3. 弧与弦圆上的弧是圆上两点之间的曲线段，弧由圆心角所确定。

圆上任意两点之间的线段称为弦。

- 弧长：弧长可以通过圆心角与圆的周长的比例来计算，通常用字母l表示。

l = (θ/360) × 2πr，其中θ为圆心角的度数。

- 弦长：弦长可以通过半径和圆心角来计算，通常用字母s表示。

s = 2r × sin(θ/2)，其中θ为圆心角的度数。

4. 切线与切点在圆上，过圆上一点的直线称为切线，该点称为切点。

圆的切线与半径的关系如下：- 切线与半径的垂直关系：切线与通过切点的半径垂直相交。

- 切线的长度：切线的长度可以通过直角三角形的定理计算。

假设切点坐标为(x₀, y₀)，半径为r，则切线长为L = √(x₀² +y₀²)。

5. 弧度制与角度制圆的度量可以用角度制和弧度制来表示。

- 角度制：一个圆的360°被等分为若干个小部分，每个小部分被称为1度（1°）。

- 弧度制：一个圆的一周对应的弧长为2π，定义为2π弧度（2π rad），因此1弧度约等于57.3°。

6. 圆的其他性质- 在同一个圆上，相等弧所对圆心角相等，圆心角相等则所对弧相等。

- 在同一个圆上，位于圆上的两条弦相等，则其所对的圆心角相等。

初三数学总复习圆

初三数学总复习圆的有关概念和性质【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．【课前练习】1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）A．60○B．45○ C．30○D．15○2.如图，C是⊙O上一点，O是圆心．若∠AOB=50°，则∠C的度数为（）A．35○B．50○ C．105○D．150○3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A．180° B．15 0° C．135° D．120°4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）A．40○ B．50○ C．65○D．130○5.如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○，AC＝3，则△ABC的周长是_______6.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸7.如图，在⊙O中，弦AB=1．8m，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于_________cm．8.在半径为1的圆中，弦AB、AC则∠BAC的度数为9.如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AMB上，则∠C的度数是_______.10.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°11.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在CD的延长线上，如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（）A．30° B．60° C．90° D．120°12.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4,求这个圆形截面的半径.B点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则①两圆外离⇔d＞R+r；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R＋r；有3条公切线；③两圆相交⇔R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R－r（R＞r）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d＜R—r（R＞r）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点的直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．1.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（）．．3 D．4A2.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径 cm．3.两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8 B．0＜d≤2C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞84.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有___个．5.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含 B．外离 C．内切 D．相交6.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）3344A B C D....45537.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（）A．70° B．40° C．50° D．20°8.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.9.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_________个．10.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切11.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65○，则∠BAC等于（）A．35○B．25○C．50○D．65○12.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切13.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB的长．14.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，求⊙O的半径．15.如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．（1）求证：AB是⊙O切线；（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且AB=4 3 ，求ECF的长16.如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED．（1）探索OC与ED的位置关系，并加以证明；（2）若OD＝4，CD=6，求tan∠ADE的值．CB17.如图,⊙O 的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O 于点B,交y 轴于点C (1)求线段AB 的长(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式18.如图，经过原点O 的⊙P 与、轴分别交于A 、B 两点，点C 是劣弧上一点，则∠ACB=（）A. 80°B. 90°C. 100°D. 无法确定 19.如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙Or 切线，A 为切点，BC 经过圆心. 若∠B=20°，则∠C 的大小等于（） A ．20° B ．25° C ． 40° D ．50°20.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB =（）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°21.如图A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，若，则等于（）(A) 50°(B) 80°(C) 100° (D) 130°22.如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（） A 、AD ＝BD B 、OD ＝CD C 、∠CAD ＝∠CBD D 、∠OCA ＝∠OCB23.如图，AB 为⊙O 直径，已知为∠DCB=20o,则∠DBA 为（） A 、 B 、C 、D 、第10题24.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不成立．．．的是( ) A ．∠A ﹦∠D B ．CE ﹦DE C ．∠ACB ﹦90°D ．CE ﹦BD 25. 如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则☉C 的半径为（）（A ）2.3 （B ）2.4 （C ）2.5 （D ）2.626. 已知，是⊙O 的一条直径，延长至点，使,与⊙O 相切于点，若,则劣弧的长为 .27. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ， CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连接BD ，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA 的大小是( )A ．15°B ．30°C ．60°D ．75°①已知Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AB=3，BC=4，⊿ABC 内切圆半径为 ②已知⊿ABC 中，°，AB=2，BC=3，AC=2，⊿ABC 内切圆半径为 28.已知圆锥的侧面积等于cm 2，母线长10cm ，则圆锥的高是 cm ．29.一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是（结果保留π）。

中考数学圆知识点总结5篇

中考数学圆知识点总结5篇第1篇示例：数学是中考考试的必考科目，而关于圆的知识点在数学中占有非常重要的地位。

掌握了圆的相关知识，不仅能够在中考中取得更好的成绩，也有助于我们理解和运用数学知识。

下面我们来总结一下关于中考数学圆知识点的内容。

一、圆的基本概念圆是由平面上距离给定点（圆心）的所有点构成的集合，圆心到圆上任意一点的距离称为半径，圆内不经过圆心的线段称为弦，圆内的一段是弦分成的弧，半径的两端和圆上的一点共线，相交于该点的两条切线长度相等等。

二、圆的性质1. 同圆的弦长相等，异圆的弦长不等。

2. 相等圆的半径相等，而且圆周相等。

3. 圆内角、弦的角平分线和半径三者相交于一点。

4. 圆的外接角是对半的，即半径与切线相交于90度，弦与弦的夹角、切线与切线的夹角相等。

5. 内角落在圆弧内的叫做圆心角。

三、圆的相关定理1. 存在唯一的过三点的圆定理（就是圆的唯一性）。

2. 切、割定理（切线与切线、弦、割线各自乘积相等）。

3. 平行/相似判定定理（有什么情况判断两个圆是否平行或相似）。

4. 余弦定理（三角形当中，直角三角形含有的一种特殊情况）。

5. 弦切角定理（描述弦在圆内部与对应的两平行切线的关系）。

6. 余切定理（指两个切线、或一条切线和半径之间的倍率关系）。

7. 切线定理（圆外一点到圆的切线与切点连线的长度之积）。

四、圆的应用1. 圆的相关计算问题：包括求圆周长、面积等。

2. 圆与三角形、正方形/矩形的结合题：针对圆与其他几何形状的相互作用问题。

3. 圆与证明题：利用圆的性质，进行证明题目。

圆的知识点在中考数学中具有非常重要的地位，掌握了圆的相关知识，可以更好地完成相关题目。

在复习中，我们需要通过大量的练习，加深对圆的概念和性质的理解，提高解题的能力和速度。

希望同学们能够认真学习和练习，取得优异的成绩，顺利通过中考。

第2篇示例：中考数学圆知识点总结圆是我们日常生活中常见的几何图形之一，具有许多特殊性质和规律。

中考圆的知识点总结

中考圆的知识点总结中考数学中，圆是一个重要的几何图形，涉及的知识点较多。

在考试中，对圆的相关知识的理解和掌握是非常关键的。

本文将对中考数学中与圆有关的知识点进行总结和归纳，帮助考生理清思路，更好地备战中考数学。

1. 圆的定义圆是平面上到一个定点的距离等于定值的所有点构成的图形。

其中，定点叫做圆心，距离叫做半径。

2. 圆的性质（1）圆上任意两点之间的线段，叫做弧。

（2）圆的直径是圆上任意两点连线沿圆内部的最大距离，它的长度是半径的2倍。

（3）圆的周长是圆周上的所有点连成的折线的长度。

（4）圆内任意两点与圆心连线的夹角是等腰三角形的夹角。

3. 圆的相关公式（1）圆的周长公式：C = 2πr（其中，C表示周长，r表示半径，π取3.14）。

（2）圆的面积公式：A = πr²（其中，A表示面积）。

4. 圆的位置关系（1）相离：两个圆没有交点，且圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。

（2）相切外切：两个圆有且仅有一个公共切点，且圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。

（3）相交：两个圆有两个交点，且圆心之间的距离小于两个圆的半径之和。

（4）包含内切：一个圆完全包含另一个圆，且两个圆心之间的距离小于等于两个圆的半径之差。

5. 判定正方形和矩形的方法如果一个四边形的四个角都是直角，并且四条边的长度相等，就可以判定为正方形。

若四边形的对边相等且相邻边两两相等，则可以判定为矩形。

6. 圆锥的相关知识（1）圆锥的配准：当给出圆锥的高及底面的半径时，可以通过连接圆锥的顶点、底面圆心以及连接顶点和底面圆周上的一点构成一个直角三角形，从而确定圆锥的顶部的位置。

（2）圆锥的表面积公式：S = πr² + πrl（其中，S表示表面积，r 表示底面半径，l表示斜高）。

（3）圆锥的体积公式：V = 1/3πr²h（其中，V表示体积，r表示底面半径，h表示高）。

7. 圆柱的相关知识（1）圆柱的表面积公式：S = 2πrh + 2πr²（其中，S表示表面积，r表示底面半径，h表示高）。

初三圆知识点归纳总结

初三圆知识点归纳总结初三阶段，学生将开始学习数学中的几何知识，其中包括了圆的相关内容。

在本文中，我将对初三圆的知识点进行归纳总结，以便帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。

一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是平面上距离一个确定点（圆心）相等的所有点的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径。

- 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等。

- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，长度相等。

- 直径：通过圆心的两个相对点的线段，长度是半径的两倍。

二、圆的相关线段与角度1. 弧长和弧度制：- 弧长：圆弧的长度。

- 弧度制：一个弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小被定义为一个弧度。

2. 弧度与角度之间的换算：- 1周角= 360° = 2π 弧度。

- 1° = π/180 弧度。

3. 弧与圆心角：- 弧：指的是圆上的一段弧。

- 圆心角：以圆心为顶点的角，弧所对的圆心角大小等于该弧的长度所对应的圆周角度。

4. 弧与弦的关系：- 弦：圆上两点之间的线段。

- 弧所对的圆心角等于弦所对的外角的两倍。

- 弧所对的圆心角等于弦所对的中心角。

三、圆的定理与性质1. 弧度的性质：- 同一圆上的两个弧所对的圆心角相等。

- 同弧所对的圆心角相等。

2. 切线与半径的关系：- 切线与半径垂直。

- 切线与半径的交点在圆上。

3. 切线定理：- 从圆外一点引一条切线，则切点与圆心以及该点连线所夹的角是直角。

4. 弦切角定理：- 弦切角：以圆心为顶点的一个角，其中一条边是弦，另一条边是切线。

- 弦切角等于其所对的弦所对的中心角的一半。

综上所述，初三圆的知识点主要包括圆的定义与性质、相关线段与角度以及定理与性质。

通过对这些知识点的归纳总结，相信学生们可以更好地理解和掌握圆的相关概念、性质以及应用，从而在数学学习中取得更好的成绩。

在学习过程中，灵活运用这些知识和定理，能够更好地解决与圆相关的问题，并提高解题效率。

希望本文对学生们的学习有所帮助。

2023年中考专题复习：圆形知识点

2023年中考专题复习：圆形知识点1. 圆的基本属性- 定义：圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。

定义：圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。

- 半径：从圆心到圆上任意点的距离都相等，称为圆的半径。

半径：从圆心到圆上任意点的距离都相等，称为圆的半径。

- 直径：穿过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的两倍等于圆的周长。

直径：穿过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的两倍等于圆的周长。

- 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的部分圆弧，圆心角等于弧对应的夹角。

弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的部分圆弧，圆心角等于弧对应的夹角。

- 扇形：由圆心、弧和两个弧上的端点组成的图形称为扇形。

扇形：由圆心、弧和两个弧上的端点组成的图形称为扇形。

- 弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。

弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。

2. 圆的计算公式- 周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（π≈3.14），即C = πd。

周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（π≈3.14），即C = πd。

- 面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。

面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。

3. 圆的相关定理- 圆的内接四边形：四边形内接于一个圆时，对角线互相垂直。

圆的内接四边形：四边形内接于一个圆时，对角线互相垂直。

- 圆的垂直定理：如果一个直径与一条弦相交，那么它一定垂直于该弦。

圆的垂直定理：如果一个直径与一条弦相交，那么它一定垂直于该弦。

- 圆的切线与半径定理：切线与半径的垂直线性交于圆上一点。

圆的切线与半径定理：切线与半径的垂直线性交于圆上一点。

- 同弦定理：圆上的两个弧所对的圆心角相等，则这两个弧相等。

同弦定理：圆上的两个弧所对的圆心角相等，则这两个弧相等。

- 相交弧定理：相交的两个弧所对的圆心角互补。

相交弧定理：相交的两个弧所对的圆心角互补。

4. 圆的应用- 圆的投影：当光线垂直照射在立体表面上时，投影形成的图形通常是圆。