有限元习题与答案

习题2.1 解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理。

解 ○1应力是某截面上的应力在该处的集度。

○2 应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU 的伸长量，其相对变化量就是应变。

X U Xx ∆∆=ε表示在x 轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变。

○3几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下：Txz yz xy z y x x w z u zv y w y u x v z w y vx u x w z u z v y w y u x v z w y v x u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=γγγεεεε○4物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=666564636261565554535251464545434241363534333231262524232221161514131211αααααααααααααααααααααααααααααααααααατττσσσσxz yz xy z y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡xz yz xy zz yy xx γγγεεε○5虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功总和为零，即为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。

2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。

○1 连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。

○2 完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。

○3 各向同性假设：就是假定整个物体是由同意材料组成的。

○4 小变形和小位移假设：就是指物体各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。

2.3简述线应变与剪应变的几何含义。

线应变：应变和刚体转动与位移导数的关系，剪应变表示单元体棱边之间夹角的变化。

2.4 推到平面应变平衡微分方程。

解：对于单元体而言其平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂000Z xY x X x z z y zy xz z zyy y xy zzxy xy x στττστσσσ在平面中有zyzxz ττσ== 代入上式的 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y X z xy y y x xyx x τστσ2.5 如题图2.1所示，被三个表面隔离出来平面应力状态中的一点，求σ和τ的值。

解：x 方向上：⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=---045sin 45sin 3020045cos 45cos 3040200000τστ联立二式得：⎪⎩⎪⎨⎧--==30220230τσ2.6相对于xyz 坐标系，一点的应力如下64430003 0σ ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦某表面的外法线方向余弦值为6/11x y n n ==，7/11z n =，求该表面的法相和切向应力。

解：该平面的正应力2222222222667766(3)3241111111111x xy xz x n x y z yx y yz y zx zy z z x x y y z z x y xy y z yz z x zx n n n n n n n n n n n n n n n σ τ τσ τσ τ τ τ σ σσστττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭全应力5.80n T ====该平面的切应力3.68n τ===2.7一点的应力如下20 10 10σ10 20 1010 10 20⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦MP求主应力和每一个主应力方向的方向余弦；球该店的最大剪应力。

解：设主平面方向余弦为x y zn n n ，由题知20x y z σσ=σ==10xy yx yz zy xz zx τ=τ=τ=τ=ττ==12222222232202020602020310390022020202101010201034000x y z x y y z z x xy yz zx x y z xy yz zx x yz x zx z xy I MPaI MPa I Paσσσσσσσσστττ=σσστττστστστμ∴=++=++==++---=⨯⨯-⨯=+---=⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯=将123I I I 代入321230I I I σσσ--+=得326090040000σσσ--+=即()()240100σσ--=140MPaσ=，2310MPa σσ==。

最大剪应力13max 40101522MPa σστ--===（1）当1σσ=时代入式（2.21）201010010201001010200x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n ⎧-++=⎪-+=⇒==⎨⎪++=⎩22213x y z x y z n n n n n n ++=∴===Q（2）当23σσσ==时代入式（2.21）0x y zn n n ++=且2221x y z x y z n n n n n n ⎧++=⎪⎨==⎪⎩x n ∴=y z n n ==2.8已知一点P 的位移场为23(4)10u yi yz j bx k ⎡⎤=+++⨯⎣⎦r r r r，求该点p(1,0,2)的应变分量。

解：p 点沿坐标方向的位移分量为u,v,w()2222210,310,4610u y v yz w x ∴=⨯=⨯=+⨯点p(1,0,2)处线应变为0xx u x ε∂==∂，22310610yy v z y ε∂==⨯=⨯∂，0zz w z ε∂==∂剪应变为0xy v u x y γ∂∂=+=∂∂，203100yz w vy y z γ∂∂=+=+⨯=∂∂，212101200xz w u x z γ∂∂=+=⨯=∂∂2.9一具有平面应力场的物体，材料参数为E 、v 。

有如下位移场32(,)u x y ax bxy =- 23(,)v x y cx y dy =-其中，a 、b 、c 、d 是常量。

求x y xyσστ讨论位移场的相容性解：23x u ax by x ε∂==-∂ 223y v cx dy y ε∂==+∂ 22xy v u cxy bxy y x γ∂∂=+=-∂∂因为222x b y ε∂=-∂ 222yc x ε∂=∂ 222xy c b x y γ∂=-∂∂所以满足相容性条件22222y xyx y x x y εγε∂∂∂+=∂∂∂∂有广义胡克定律()()11x x y y y x E E εσμσεσμσ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()()()()222222331331x y a c x b d y E a c x b d y E μμσμμμσμ⎧+-+=⎪-⎪⎨+-+⎪=⎪-⎩又xyxy G τγ=Q 则()()221xy xy EG xy c b τγμ==•-+()1E c b xyμ=--2.10一具有平面应力场的物体，材料性质是E=210GPa,v=0.3.并且有如下位移场233(,)301020u x y x x y y =-+ 232(,)10205v x y x xy y =++当x=0.050m,y=0.020m 时，求物体的应力和应变。

位移场是否相容？解：226030600.05300.050.02 2.9985x ux x y x ε∂==-=⨯-⨯⨯=∂226010600.050.02100.020.2012y vxy y y ε∂==+=⨯⨯+⨯=∂32332220206010200.05200.02600.02100.05 1.02291xy v u x y y x x y γ∂∂=+=++-=⨯+⨯+⨯-⨯=∂∂由广义胡克定律()()()952221010 2.99850.30.2012 2.5410110.3x x y E Mpa σεμεμ⨯=+=⨯+⨯=⨯-- ()()()9522210100.3 2.99850.2012 2.5410110.3y x y E Mpa σμεεμ⨯=+=⨯⨯+=⨯--()()()9521010 1.022918.261021210.3xy xyxy E G Mpa τγγμ⨯===⨯=⨯+⨯+220xy εε∂=∂，22yxεε∂=∂，20xyx yγ∂=∂∂满足相容性条件22222y xyx y x x yεγεεε∂∂∂+=∂∂∂∂2.11对于一个没有任何体积力的圆盘，处于平面应力状态。

其中32x ay bx y cxσ=+-3x dy eσ=-22z fxy gx y hσ=+-a, b, c, d, e, f, g, h 是常量。

为了使应力满足平衡方程和相容方程，这些常量的约束条件是什么？解：由题意得：2x bxy cx σ∂=-∂，23y dy y σ∂=∂，22xy fy gxy x τ∂=+∂，22xy fxy gx y τ∂=+∂代入平衡方程()()2222222030230yxx xy x bxy c fxy gx d f y xy b f gx c g fy gxy dy xx τστσ∂⎧∂+=-++=⎪+∂∂⎪⇒+-+=⎨∂∂⎪+=++=⎪∂∂⎩根据广义胡克定律：()()()()()()3233322222111121666x xy y y x xy xyx y ay bx y cx d y e E Edy e a y b x y c x E E fxy gx y h G E ay d yεσμσμμεσμσμμμτμγεμε⎧=-=+---⎪⎪⎪=-=--++⎨⎪⎪+==+-⎪⎩∂-=∂222y x b y E εμε∂=-∂ ()()22122xy fy gx x y E γμ∂+=+∂∂代入相容方程()()66241ay d y b y fy gx μμμ--=++()()332121a d b fx ygμμμμ--++=+ （2）代入（1）得()()()()223321321cgy a d b f b f d f μμμμ=⎡⎤--++-++⎢⎥+⎣⎦()()()()()()2223321213321321a d b f cgx a d b f b f d f μμμμμμμμ⎡⎤--++=⎢⎥+⎡⎤--++⎣⎦-++⎢⎥+⎣⎦ 其中()()()()23321321a d b f b f d f μμμμ⎡⎤--++≠++⎢⎥+⎣⎦2.13 根据弹性力学平面问题的几何方程，证明应变分量满足下列方程，22222y xyx x yy x εγε∂∂∂∂∂∂∂+=并解释该方程的意义。