最新1.3.2算法案例(秦九韶算法)
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用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解：将多项式变形：
f ( x ) (5 x ( 2 ) ( x 3 ( . 5 ) x 2 . 6 ) x 1 . 7 ) x 0 . 8
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v0 5 v155227 v22 753.513 .58 v313 .5 8 52.668 .99 v468 .9 9 51.734.251 v534.25 51 0.817.2 255
第三步：输入i次项的系数ai
v1anxan1
第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0,若是,
则返回第三步;否则,输出多项式的值v.
v2v1xan2
v 3 v2xan3
vnvn1xa0
程序框图
第一步：输入多项式次数n、最 高次项的系数an和x的值
第二步：将v的值初始化为an, 将i的值初始化为n-1
2、已知多项式f(x)=2x4-x3-2x2+3x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值。
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
秦九韶算法的特点：
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的 值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次 加法即可。
例： 已知一个五次多项式为
f( x ) 5 x 5 2 x 4 3 .5 x 3 2 .6 x 2 1 .7 x 0 .8
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
算法2：
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
算法1：
因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
第三步：输入i次项的系数ai
第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于 0,若是,则返回第三步;否则,输出 多项式的值v.
开始 输入n,an,x的值
v=an
i=n-1
i≥0？
N
输出v
结束
i=i-1 v=vx+ai 输入ai
Y
开始 输入n,an,x的值
v=an
i=n-1
i≥0？wk.baidu.com
(a n x n 1 a n 1 x n 2 a 1 )x a 0
(a n ( x n 2 a n 1 x n 3 a 2 ) x a 1 ) x a 0
( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
1.3.2算法案例(秦九韶算法)
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
当x = 5的值的算法：
算法1：因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
算法2：
= 3906
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
f ( x ) ( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
v1anxan1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v2v1xan2 v3v2xan3
最后的一 项是什么？
vnvn1xa0
吗f？(x )a nxna n 1xn 1a 1xa 0
( (a nxa n 1)xa n 2)xa 1)xa 0
v v
0 k
an vk1 x
ank
算法步骤
(k 1, 2, , n)
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值
第二步：将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的多项式 f(x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f(x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
这是怎样的 一种改写方 式？最后的 结果是什么？
N
输出v
结束
i=i-1 v=vx+ai 输入ai
Y
程序
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i>=0
PRINT “i=”；i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
练习： 1、已知多项式f(x)=x5+2x4+x3-3x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值。
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
另解：（秦九韶算法的另一种直观算法） 多项式的系数
+
X5
5 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8 0 25 135 692.5 3449.5 17256 5 27 138.5 689.9 3451.2 17255.2
多项式的值
思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来
f ( x ) (5 x ( 2 ) ( x 3 ( . 5 ) x 2 . 6 ) x 1 . 7 ) x 0 . 8
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v0 5 v155227 v22 753.513 .58 v313 .5 8 52.668 .99 v468 .9 9 51.734.251 v534.25 51 0.817.2 255
第三步：输入i次项的系数ai
v1anxan1
第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0,若是,
则返回第三步;否则,输出多项式的值v.
v2v1xan2
v 3 v2xan3
vnvn1xa0
程序框图
第一步：输入多项式次数n、最 高次项的系数an和x的值
第二步：将v的值初始化为an, 将i的值初始化为n-1
2、已知多项式f(x)=2x4-x3-2x2+3x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值。
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这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
秦九韶算法的特点：
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的 值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次 加法即可。
例： 已知一个五次多项式为
f( x ) 5 x 5 2 x 4 3 .5 x 3 2 .6 x 2 1 .7 x 0 .8
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
算法2：
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１
=5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
算法1：
因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
第三步：输入i次项的系数ai
第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于 0,若是,则返回第三步;否则,输出 多项式的值v.
开始 输入n,an,x的值
v=an
i=n-1
i≥0？
N
输出v
结束
i=i-1 v=vx+ai 输入ai
Y
开始 输入n,an,x的值
v=an
i=n-1
i≥0？wk.baidu.com
(a n x n 1 a n 1 x n 2 a 1 )x a 0
(a n ( x n 2 a n 1 x n 3 a 2 ) x a 1 ) x a 0
( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
1.3.2算法案例(秦九韶算法)
计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
当x = 5的值的算法：
算法1：因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
算法2：
= 3906
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
f ( x ) ( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
v1anxan1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v2v1xan2 v3v2xan3
最后的一 项是什么？
vnvn1xa0
吗f？(x )a nxna n 1xn 1a 1xa 0
( (a nxa n 1)xa n 2)xa 1)xa 0
v v
0 k
an vk1 x
ank
算法步骤
(k 1, 2, , n)
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值
第二步：将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
《数书九章》——秦九韶算法
设f (x) 是一个n 次的多项式 f(x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f(x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
这是怎样的 一种改写方 式？最后的 结果是什么？
N
输出v
结束
i=i-1 v=vx+ai 输入ai
Y
程序
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i>=0
PRINT “i=”；i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
练习： 1、已知多项式f(x)=x5+2x4+x3-3x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值。
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
另解：（秦九韶算法的另一种直观算法） 多项式的系数
+
X5
5 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8 0 25 135 692.5 3449.5 17256 5 27 138.5 689.9 3451.2 17255.2
多项式的值
思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来