秦九韶算法
秦九韶算法介绍和实例分析
秦九韶算法介绍和实例分析具体而言，秦九韶算法通过构建一个累加器，用来存储每一次迭代计算的结果。
首先，将多项式的最高次项系数存入累加器中。
然后，通过迭代计算，将每一个次高次项的系数与上一次迭代的结果相乘，并加上该项的常数部分。
依次迭代计算，直到将所有的项都计算完毕。
最终，累加器中的值即为多项式的求值结果。
下面以一个实例来说明秦九韶算法的应用。
假设我们要求解如下多项式的值：P(x)=2x^4+3x^3-5x^2+6x-4首先，我们可以将多项式表示为累加的形式：P(x)=(((2x+3)x-5)x+6)x-4然后，我们可以使用秦九韶算法进行计算。
首先，将最高次项系数2存入累加器中。
累加器=2接下来，进行迭代计算。
首先，将累加器乘以x，并加上次高次项的常数部分3，得到结果5x+3累加器=(5x+3)然后，将累加器再次乘以x，并加上次高次项的常数部分-5，得到结果-5x^2+(5x+3)。
累加器=(-5x^2+5x+3)依次类推，进行下一次迭代计算。
最终，得到累加器的值为-4累加器=(-4)因此，多项式P(x)在x=1处的值为-4通过以上实例分析，我们可以看到，秦九韶算法通过使用累加的方式进行计算，大大减少了乘法和加法运算的次数，提高了算法的效率。
在实际应用中，秦九韶算法常用于求解多项式的值，例如在计算机图形学中，可用于求解曲线上的点的坐标。
同时，该算法还可以用于多项式的除法和求导等运算中。
总结起来，秦九韶算法是一种用于求解多项式的高效算法，通过使用累加的方式进行计算，减少了乘法和加法运算的次数。
该算法在实际应用中具有广泛的应用价值，可以提高计算效率，同时也为其他相关运算提供了基础。
秦九韶算法公式及结论
秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。
在西方被称作霍纳算法。
秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东曲阜一带人）。
计算方法
一般地，一元n次多项式的求值需要经过(n+1)*n/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。
在人工计算时，一次大大简化了运算过程。
把一个n次多项式
改写成如下形式：
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
V1=an*x+a n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
结论：对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法。
秦九韶算法进制转换
秦九韶算法进制转换
秦九韶算法是一种高精度算法，用于进行高精度的大数运算。
对于进制转换，秦九韶算法也可以实现，但通常不使用它进行进制转换，而是使用更简单的方法。
进制转换通常是将一个数字从一个进制转换为另一个进制。
例如，将十进制数字转换为二进制或十六进制。
可以使用以下方法进行进制转换：
1. 除法取余法：将给定的数字除以目标进制的基数，取余数作为最低位，然后将商再次除以目标进制的基数，取余数作为次低位，以此类推，直到商为0为止。
将所有余数按顺序排列即可得到目标进制的表示。
2. 乘法取整法：将给定的数字乘以目标进制的基数，取整数部分作为最低位，然后将小数部分再次乘以目标进制的基数，取整数部分作为次低位，以此类推，直到小数部分为0为止。
将所有整数按顺序排列即可得到目标进制的表示。
使用秦九韶算法进行进制转换的基本思路是将给定的数字表示为多项式的系数，然后将其转换为另一个进制的系数多项式。
具体实现方法可以参考相关的算法书籍或资料。
需要注意的是，秦九韶算法是一种高精度算法，需要进行大量的运算和存储，因此对于小数字的进制转换来说，使用简单的除法取余法或乘法取整法更为高效。
对于大数字的进制转换，可以考虑使用秦九韶算法或其他高精度算法。
§75秦九韶算法
§75秦九韶算法§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法三大语言三结构五种语句三案例高考主流是框图循环结构是重点辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法注4：注1：自然语言框图程序设计语言注2：顺序结构条件结构循环结构输入语句注3：赋值语句输出语句条件语句循环语句───求最大公约数───求多项式的值框图的画法是次要的重点是要能看懂框图2.辗转相除法1.短除法求最大公约数的方法3.更相减损术数字较小短除法公质因数连续除除到所有商互质除数连乘是答案大除小余换大辗转除何时停0或11互质0除数即答案大减小差换大连续减何时停两相等即答案若可半可省功注：辗转相除法与更相减损术的异同点1.辗转相除法以除法运算为主3.两法本质上都是递推，都可用循环结构编程更相减损术以减法运算为主2.辗转相除法当除法运算余数为O或1时终止运算更相减损术当减法运算差为O时终止运算§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法常见的多项式（整式）函数我省的大压轴题，每年都是以三次函数来说事2013年的全国Ⅰ卷的小压轴题，是四次函数泰勒中值定理一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理②n越大越精确①阶乘的概念：参课本P：32练习2麦克劳林公式一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法最多n(n+1)/2次乘法，n次加法最多n次乘法，n次加法xn=(xn-1)xxn-1=(xn-2)xxn-2=(xn-3)x…二、求多项式值的求法4.其他法例如当n=10时……引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值直接法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１＋5＋１□=＋□＋□＋□251253125625=3906引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值秦九韶算法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１)＋１=5×(5×(5３＋5２＋5＋１)＋１)＋１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×(5+１)+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×6+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×31+１)+１)+１=5×(5×156+１)+１=5×781+１=3906先改后算迭代法降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表后算先改可以看出，该算法是：将求一个5次多项式f(x)的值转化成了求5个一次多项式的值的方法引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值1.直接法2.累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１3.秦九韶算法4.其他法5５，5４，5３，5２，5，１应用等比数列的求和公式最简洁吧秦九韶算法：设是一个n次的多项式先对该多项式按下面的方式进行改写：先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算如何求该多项式的值呢？最后一项Vn是所求值秦九韶算法是将求一个n次多项式f(x)的值转化成了，求n个一次多项式的值的方法。
秦九韶算法
秦九韶算法
秦九韶算法为我国古代数学著作，又称《数书九章》、《数书九章》或《数书九章海镜》。
是世界上最早使用十进位值制记数和进行数字
运算的书籍之一。
原本有两卷，现存于北京图书馆。
该书主要讲述分数的乘除及开方等问题，所谓开方就是指一个数的立方根，它的意义在现代看来已经非常接近于“幂”了，而这种运算对于古人来说却不啻是神奇般地跳跃性发展！故在今天被认为是极富创造性的成果。
在文献的检索上，此算法一直受到世界各大图书馆和数学史家们的重视。
其原因很简单，因为他打破了“三位数乘以三位数等同四位数乘以四位数”的定论。
如何证明？
- 1 -。
秦九韶算法课件
(2)已知一个五次多项式f(x)＝2x5－4x3＋3x2 －5x＋1，用秦九韶算法求这个多项式当x＝3 是的值．
秦九韶算法课件
[探究] 1.用秦九韶算法求多项式的值时，几 次多项式就做几次乘法运算，对吗？
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn －1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…＋a1x＋a0在x＝x0时的值时，v0是什么？ v1呢？
秦九韶算法课件
[规律总结] 用秦九韶算法时要正确将多项 式的形式进行改写，然后由内向外依次计 算．当多项式函数中间出现空项时，要以系 数为零的齐次项补充．
秦九韶算法课件
用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋ 4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
[探究] 解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋ 1)x的形式，其次再弄清v0，v1，v2，…，v7 分别是多少，再针对这些式子进行计算．
秦九韶算法课件
用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公约数是4.
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[规律总结] 更相减损术与辗转相除法都能
求两个数的最大公约数，二者的区别与联系
求出其中两个数的最大公约数，再求这个最 大公约数与第三个数的最大公约数，所得的 结果就是这三个数的最大公约数．
秦九韶算法课件
[解析] 先求175与100的最大公约数： 175＝100×1＋75,100＝75×1＋25，
75＝25×3， ∴175与100的最大公约数是25. 再求25与75的最大公约数：
39， 42＝39×1＋3,39＝3×13， ∴288和123的最大公约数是3.
编程用秦九韶算法计算多项式的值
编程用秦九韶算法计算多项式的值秦九韶算法（又称秦九韶快速幂算法）是一种用于计算多项式的值的高效算法。
该算法的思想是将多项式的计算过程进行优化，减少重复的计算。
多项式可以表示为：P(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n 普通的计算方法是按照上述公式逐项计算每一项相乘再相加的结果。
然而，这种方法在项数较多时，计算量会急剧增加，效率低下。
秦九韶算法通过一系列的优化，可以极大地提高计算效率。
秦九韶算法的核心思想是通过重复平方的方式，快速地计算多项式的值。
具体过程如下：Step 1: 将多项式的系数存储在一个数组中。
例如，多项式P(x) = 2 + 3x + 4x^2可以表示为：coefficients = [2, 3, 4]Step 2: 设定一个初始值result为0Step 3: 从n=0开始，遍历coefficients数组，对每个系数进行以下操作：- 将result乘以x的n次幂。
初始情况下，x的幂为1，乘以coefficients[0]得到r0 = coefficients[0]。
之后，将x平方，得到x^2，依次类推。
- 将上述结果与result相加，得到新的result。
例如，r0 + coefficients[1]*x + coefficients[2]*x^2 + ... +coefficients[n]*x^n = resultStep 4: 返回result作为多项式P(x)的值。
以以上示例的多项式P(x)=2+3x+4x^2为例，假设x=2，那么应用秦九韶算法的计算过程如下：Step 1: coefficients = [2, 3, 4]Step 2: result = 0Step 3: 遍历coefficients数组-第一次迭代：- result = result * x + coefficients[0] = 0 * 2 + 2 = 2-第二次迭代：- result = result * x + coefficients[1] = 2 * 2 + 3 = 7-第三次迭代：- result = result * x + coefficients[2] = 7 * 2 + 4 = 18Step 4: 返回result = 18，即多项式P(x) = 2 + 3x + 4x^2在x=2时的值为18通过秦九韶算法，我们可以在O(n)的时间复杂度内计算多项式的值，极大地提高计算效率。
多项式计算之秦九韶算法
多项式计算之秦九韶算法多项式求值与秦九韶算法⼀、引⾔ 多项式函数常常⽤于描述现实世界的各种规律，⽽在⽤计算机计算多项式的值的时候，不同算法的计算时空复杂度通常不⼀样。
如⼀个n次多项式 f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0],我们的常规计算办法是，直接计算，这样我们的时间复杂度为:O(n^2)下⾯我们介绍秦九韶算法：其核⼼思想：后⾯每⼀次计算都依赖于前⾯计算的结果，这样以减少重复的计算。
简单引例:计算 x^8 直接算将算8次乘法，⽽这8次都是必要的吗？显然不是，当我们知道x^2的值后，计算x^4只需要⽤x^2*x^2即可。
秦九韶算法正是这样来减少计算量的。
⼀、推导 a0--->an依次是最⾼项，到常数项系数 从⽽bn就是所求的解三、算法描述由以上推导知，bn就是我们所求的值，要求bn就得逆推到b0,由于b0=a0我们就可以求出b1依次下去就可以求出bn。
数据结构:1.数组1.a[]⽤于保存系数ps:⼀般做法还需要保存b[],我们这⾥只是⽤到前⼀项，所以⼀个常数即可c++实现：#include <iostream>using namespace std;inline double calculate(double x, double* a, int n)/*x:f(x)中的x。
a是系数数组*/{double b = a[0];for (int i = 1 ; i <= n; i++){b = b * x + a[i];}return b;}int main(int argc, char const *argv[]){double x = 0;int n = 0;cout << "最⾼项幂:";cin >> n;double* a = new double[n+1];cout << "\n请输⼊个项系数（系数为0输⼊0）："; for (int i = 0; i <= n; i++){cin >> *(a + i);}cout<<"\n要计算的x:";cin>>x;double res = calculate(x, a, n);cout << res << endl;return0;}。
秦九韶算法与进位制 课件
(1)k 进制数化为十进制数的步骤 ①把 k 进制数写成不同数位上的数字与 k 的幂的乘积之和的形 式； ②按十进制数的运算规则运算出结果．
(2)十进制数化为 k 进制数(除 k 取余法)的步骤
探究点 3 中国古代数学文化中的算法问题
(1)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普
州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如 110001(2) 表示二进制数，37(8)表示八进制数，十进制数一般不标注基数．
探究点 1 秦九韶算法及其应用 利用秦九韶算法分别计算 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1
在 x＝2 与 x＝－1 时的值，并判断 f(x)在区间[－1，2]上有没 有零点． 【解】 因为 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1 ＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1， 且 x＝2， 所以 v0＝8， v1＝8×2＋5＝21，
利用秦九韶算法求多项式的值的步骤
探究点 2 进位制 (1)把二进制数 101101(2)化为十进制数为________．
(2)将十进制数 458 转化为四进制数为________． 【解析】 (1)101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21 ＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，
(3)程序框图和相应程序 程序框图如图所示，程序如下：
2．进位制 (1)进位制的概念 进位制是人们为了_计__数__和_运__算__方便而约定的记数系统，“满 几进一”就是_几__进__制，_几__进__制的基数就是_几__． 常见的进位制有二进制，八进制、十进制，十六进制及六十进 制．
(2)k 进制数的表示方法 一般地，若 k 是一个大于 1 的整数，那么以 k 为基数的 k 进制 数 可 以 表 示 为一 串 数 字连 写 在一 起 的 形 式 ： anan － 1an － 2 … a1a0(k)(an，an－1，…，a1，a0∈N，0＜an＜k，0≤an－1，…，a1， a0＜k)． (3)k 进制数与 10 进制数的转化 ①由 k 进制 anan－1an－2…a1a0(k)转化为 10 进制数 anan－1an－2…a1a0＝an×kn＋an－1×kn－1＋an－2×kn－2＋…＋a1×k ＋a0×k0； ②由 10 进制数转化为 k 进制数——除 k 取舍法．
数值分析——实验1 秦九韶算法
实验1 秦九韶算法（贺俊杰 2020022060）一、实验目的人类的计算能力等于计算工具的效率与计算方法的效率的乘积，高效率计算方法大大减少了计算次数，从而也能较少舍入误差的传播和积累，构造高效率计算方法一直是科学计算的一个主要目的。
本次实验以完成秦九韶算法为契机，深入了解高效计算多项式结果的数值计算方法，同时加深对Matlab 环境的熟悉。
二、算法分析对于n 次多项式：1110()n n n n n P x a x a x a x a −−=+++ (1)可改写为嵌套形式：1210()((()))n n n n p x a x a x a x a x a −−=++++ (2)在(1)式中，n i n i a x −−需要计算n i −次乘法运算(其中0,1,1i n =−)和n 次加法运算，共需要进行(1)2n n+次乘法运算和n 次加法运算。
而在(2)式中，仅需要经过n 次乘法运算和n 次加法运算，能够极大地减少运算次数，提高运算效率。
根据程序设计地习惯，把公式(2)写成下来等价的地推形式：(1,2,)n n k y a y y x a k n −⇐⎧⎨⇐⋅+=⎩ (3)三、算法代码实现秦九韶算法Matlab 实现如下：Qinjiu.m 文件其中a 为多项式系数从高次向低次排列数组(缺项系数为0)，n 为多项式多高次数，x 为变量。
四、实验结果1、 设543()851f x x x x =++−，计算()f x 在1,1.5,2.1,3x =上的值。
编写run_qinjiu.m 代码文件如下所示：run_qinjiu.m 文件取多项式系数a = [8, 5, 1, 0, 0, -1]，运行结果如下图所示：图1 run_qinjiu.m 运行结果由图可知算法能正确运行。
2、 利用Matlab 库中的horner 命令，可直接把多项式变为如(2)式的嵌套形式。
编写run_horner.m 代码文件如下所示：程序运行结果如下图所示：从图中可看出，horner库函数可正确地将多项式转为嵌套形式。
算法案例(秦九韶算法)
算法的步骤和流程
01
02
03
04
2. 将 $a_{i+1}$ 加到 $v$ 中。 3. 将 $v$ 存储在变量 $P$ 中。
步骤3：返回 $P$ 作为多项 式的值。
通过以上步骤，秦九韶算法可以 在 $O(n)$ 的时间内计算出一元 多项式的值，其中 $n$ 是多项式 的次数。与直接使用常规的求值 方法相比，秦九韶算法可以显著 减少乘法的次数，从而提高计算
缺点
对大系数多项式不适用
秦九韶算法适用于系数和次数都很大的多项式，但如果多项式的 系数非常大，可能会导致数值溢出或下溢，影响计算精度。
需要额外的存储空间
秦九韶算法需要存储中间结果，如果多项式的次数很大，需要额外 的存储空间。
对某些特殊多项式不适用
秦九韶算法不适用于某些特殊的多项式，如常数、一次多项式等。
秦九韶算法的应用场景
数值分析
秦九韶算法在数值分析中广泛应用于求解多项式方程的根，以及进行 数值积分和微分等计算。
科学计算
在科学计算领域，秦九韶算法被用于计算物理、化学、工程等领域中 的多项式函数值，以及进行数据拟合和插值等操作。
计算机图形学
在计算机图形学中，秦九韶算法被用于计算光线追踪和纹理映射等算 法中的多项式函数值，以提高渲染效率和精度。
05
秦九韶算法的优缺点
优点
高效性
秦九韶算法是一种快速算法，可以在多项式 时间内完成计算，比直接计算更高效。
易于编程实现
秦九韶算法的步骤明确，易于编程实现，可 以方便地应用于计算机程序中。
数值稳定性
秦九韶算法在计算过程中可以减少舍入误差， 提高数值稳定性。
适用范围广
秦九韶算法适用于多项式的系数和次数都很 大的情况，具有较广的适用范围。
必修3-1-9 秦九韶算法
被除数和除数的最大公约数也是除数和余数的最大公约数. gcd(m,n)=gcd(n,r) 2.更相减损术: a-b=c ,(a＞b) 被减数与减数的最大公约数也是减数与差的最大公约数. gcd(a,b)=gcd(b,c) 3.辗转相除法和更相减损术,是求两个正整数的最大公约 数的优秀算法,我们将算法转化为程序后,就可以由计算机 来执行运算,实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.
=((anxn-2+an-1xn-3+„+a2)x+a1)x+a0 =„„„ =(„((anx+an-1)x+an-2)x+„+a1)x+a0. 2.对应f(x)=(„((anx+an-1)x+an-2)x+„+a1)x+a0,由内向外 逐层计算一次多项式的值,其算法步骤为: 第一步,计算v1=anx+an-1. 第二步,计算v2=v1x+an-2. 第三步,计算v3=v2x+an-3. „ 第n步,计算vn=vn-1x+a0. 3.秦九韶算法:P37-38 上述求多项式函数值的算法 称为秦九韶算法.该算法大大 提高了运算效率.
理解学习: P37-39秦九韶算法
6.用秦九韶算法求多项式的 值,可以用循环结构来构造算 法,其算程序框图为: 程序: INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
秦九韶算法与进位制-课件
• v2＝21×2＋0＝42; v6＝348×2＋2＝698；
• v3＝42×2＋3＝87; v7＝698×2＋1＝1397.
• ∴f(2)＝1397.
• [例5] 将五进制数434化为二进制数． • [解析] 先将五进制数化为十进制数． • 434(5)＝4×52＋3×51＋4×50＝119， • 再将十进制数119化为二进制数．
• 2．利用把k进制数化为十进数的一般方法就可以 将8进制数314706(8)化为十进制数，然后根据该 算法，应用循环结构可以设计程序．
• 314706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81 ＋6×80＝104902.所以，化为十进制数是104902.
• 8 进 制 数 314706(8) 中 共 有 6 位 ， 因 此 可 令 a ＝ 314706，k＝8，n＝6，设计程序如下：
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月5日星期 五2021/3/52021/3/52021/3/5
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021 8:16:44 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/52021/3/52021/3/5M ar-215- Mar-21
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1.3.2秦九韶算法
(( an x
n2
an1 x
n 3
a2 ) x a1 ) x a0
((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
再将第二种方法与第三种方法比较，两种方法都是利用 上一步的结果进行运算。两种方法哪种更有效？我们将上题 加上系数再比较。
f ( x) 5x 2x 3.5x 2.6x 1.7 x 0.8
5 4 3 2
算法二：
f ( x) 5x( x( x x2 )) 2x( x x2 ) 3.5x x2 2.6x2 1.7x 0.8
共做了4次乘法，5次加法。 共做了10次乘法，5次加法。
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =(5４＋5３＋5２＋5＋１)×5＋１ =((5３＋5２＋5＋１)×5＋１)×5＋１ =(((5２+5 +１)×5+１)×5+１)×5+１ =((((5+１)×5+１)×5+１)×5+１)×5+１
共做了4次乘法，5次加法。
你从中看到了 怎样的规律？ 怎么用程序框 图来描述呢？
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
特点：通过一次式的反复计算，逐步得出 高次多项式的值，对于一个n次多项式， 只需做n次乘法和n次加法即可。
利用秦九韶算法求多项式Байду номын сангаас
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值： 先化为f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0，
案例2秦九韶算法
并行化优化效果
通过实验验证，并行化实现的秦 九韶算法在处理大规模数值计算 问题时，能够显著提高计算速度， 减少计算时间。
算法的误差分析
误差来源
秦九韶算法中的误差主要来源于舍入误差和截断误差。舍 入误差是由于计算机浮点数的表示精度限制而引起的，截 断误差是由于近似计算而引起的。
误差传播
误差在秦九韶算法的计算过程中会累积和传播，对计算结 果的精度产生影响。误差传播的分析有助于了解算法的精 度损失情况。
扩展应用前景
随着科学计算和工程领域中大规模数值计算问题的不断涌现，秦九韶 算法的扩展应用前景广阔，具有重要的实际意义和价值。
05 秦九韶算法的未来发展与 展望
算法的进一步研究与完善
深入研究秦九韶算法 的数学原理，探索其 更广泛的应用场景。
结合现代计算机技术， 开发更高效的秦九韶 算法实现方式。
针对算法的缺陷和不 足，进行改进和优化， 提高算法的效率和准 确性。
算法在其他领域的应用探索
01
在数值分析、计算物理、工程优化等领域探索秦九 韶算法的应用可能性。
02
结合人工智能、机器学习等技术，将秦九韶算法应 用于数据分析和模式识别等领域。
03
探索秦九韶算法在金融、经济、社会科学等领域的 应用，为决策提供支持。
秦九韶算法对数学发展的影响
1
秦九韶算法的提出和发展，丰富了数学理论体系， 为后续数学研究提供了新的思路和方法。
秦九韶算法案例分析
contents
目录
• 秦九韶算法简介 • 秦九韶算法的原理 • 秦九韶算法案例展示 • 秦九韶算法的改进与优化 • 秦九韶算法的未来发展与展望
01 秦九韶算法简介
秦九韶算法的定义
秦九韶算法是一种用于计算多项式的 算法，它将多项式计算转化为一系列 的乘法和加法操作，从而提高了计算 的效率。
秦九韶算法计算多项式
秦九韶算法计算多项式秦九韶算法，又称快速傅里叶变换算法（FFT），是一种高效的多项式乘法算法。
它通过将多项式表示转化为点值表示，利用快速傅里叶变换的思想，在O(nlogn)的时间复杂度内完成多项式乘法运算，极大地提高了计算效率。
我们来看一下多项式的表示方式。
一个次数为n-1的多项式可以表示为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + an-1x^n-1其中，a0、a1、a2...an-1为多项式的系数。
在秦九韶算法中，我们将多项式表示为点值形式，即将多项式在n个特定点上的取值表示出来。
这n个特定点通常是2的幂次方，这样可以方便地进行快速傅里叶变换。
接下来，我们来介绍秦九韶算法的具体步骤。
假设我们要计算两个多项式P(x)和Q(x)的乘积R(x)，首先需要将这两个多项式转化为点值形式。
我们选择2n个点来表示多项式，这些点的取值可以是多项式在单位根上的取值。
然后，利用快速傅里叶变换的思想，将两个多项式的点值表示进行快速傅里叶变换（FFT）得到P(x)和Q(x)的系数表示，即P(x)和Q(x)的系数矩阵。
接下来，将P(x)和Q(x)的系数矩阵逐位相乘，得到R(x)的系数矩阵。
然后，将R(x)的系数矩阵进行逆快速傅里叶变换（IFFT），得到R(x)的点值表示。
最后，将R(x)的点值表示转化为系数表示，即得到多项式R(x)的系数。
通过秦九韶算法，我们可以在O(nlogn)的时间复杂度内完成多项式的乘法运算。
相比传统的多项式乘法算法，秦九韶算法的计算效率更高，尤其对于大规模的多项式乘法运算，优势更为明显。
除了多项式乘法，秦九韶算法还可以应用于其他领域，如信号处理、图像处理等。
在信号处理中，快速傅里叶变换可以将时域信号转化为频域信号，从而方便地进行频谱分析；在图像处理中，快速傅里叶变换可以将图像转化为频域表示，从而实现图像的滤波、增强等操作。
秦九韶算法是一种高效的多项式乘法算法，通过将多项式表示转化为点值表示，利用快速傅里叶变换的思想，在O(nlogn)的时间复杂度内完成多项式乘法运算。
秦九韶算法胡
这种方法 叫秦九韶 算法
秦九韶简介
秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出 生于鲁郡（今山东曲阜一带人）。早年曾从隐君子学数术，后因其 父往四川做官，即随父迁徙，后也认为是普州安岳（今四川安岳县） 人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。 秦九韶聪敏勤学，宋绍定四年（公元 1231），秦九韶考中进 士，先后担任县尉、通判、参议官、州守等职。先后在湖北、安 徽、江苏、浙江等地做官。南宋理宗景定元年（公元 1260年）出 任梅州（今广东梅县）守，翌年卒于梅州。据史书记载，他“性 及机巧，星象、音律、算术以至营造无不精究”，还尝从李梅亭 学诗词。他在政务之余，以数学为主线进行潜心钻研，且应用范 围至 为广泛：天文历法、水利水文、建筑、测绘、农 耕、军事、商业金融等方面。 从历史上来看，秦九韶的《数书九章》可与 《九章算术》相媲美；从世界范围来看，秦九韶的 《数书九章》也不愧为世界数学名著。
胡 美 蓉 制 作
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
秦九韶算法就是将一个求n次多项式f(x)的 值转化为求n个一次多项式的值.
直到今天，这种算法仍是世界上多项式 求值的最先进的算法。 这种方法的计算量仅为：
胡 美 蓉 制 作
v0 an v k v k 1 x an k ( k 1, 2, , n)
胡 美 蓉 制 作
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求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次 多项式的值，即
v1 = anx + an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2 = v1x + an-2 v3 = v2x + an-3 ∙∙∙ vn = vn-1x + a0
已知n次多项式 Pn ( x) a0 xn a1 xn1 ... an1 x an
如果在一种算法中, 计算x0k (k 2, 3, 4, ..., n) 的值需要k 1次乘法, 计算P3( x0 )的值共需要9次 运算(6次乘法, 3次加法), 那么计算Pn ( x0 )的值共 需要 ______ 次运算.
已知n次多项式 Pn ( x) a0 xn a1 xn1 ... an1 x an
如果在一种算法中, 计算x0k (k 2, 3, 4, ..., n) 的值需要k 1次乘法, 计算P3( x0 )的值共需要9次 运算(6次乘法, 3次加法), 那么计算Pn ( x0 )的值共 需要 ______ 次运算.
开始
输入n, an , x的值
v=an i=n-1
i=i-1 v=vx+ai
输入ai i≥0？
否
输出v
结束
开始
输入n, an , x的值
v=an i=n-1
i=i-1 v=vx+ai
输入ai i≥0？
否
输出v
结束
INPUT “n=”; n INPUT “an=”; a INPUT “x=”; x v=a i=n-1 WHILE i>=0
下面给出一种减少运算次数的算法: P0( x) a0 , Pk1( x) xPk ( x) ak1(k 0, 1, 2, ..., n 1), 利 用该算法, 计算计算P3( x0 )的值共需要6次运算, 计算Pn( x0 )的值共需要______ 次运算.
我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261) 在 他的著作《数书九章》中提出了下面的算法.
把一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+∙∙∙+a1x+a0 改写成如下形式：
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ∙∙∙ + a1x + a0 = ( anxn-1 + an-1xn-2 + ∙∙∙ + a1 ) x + a0 = ( ( anxn-2 + an-1xn-3 + ∙∙∙ + a2 ) x + a1 ) x + a0 = ∙∙∙
这样, 求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.
【例1】 已知一个5次多项式为
f ( x) 4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7 x 0.8 , 用秦九韶算法求这个多项式当x 5时的值.
用秦九韶算法求n次多项式 f(x) = anxn + an-1xn-1 + ∙∙∙ + a1x + a0 当x = x0(x0是 任意实数)时的值, 需要多少次乘法运算，多少 次加法运算？
PRINT “i=”; i INPUT “ai=”; a v=v*x+a i=i-1
WEND
PRINT v
END
【例2】
阅读下列程序，说明它解决的实际问题 是什么？
INPUT “x=”; x n=0 y=0 WHILE n<5
y=y+(n+1)*x^n n=n+1 WEND PRINT y END