高中数学例题：秦九韶算法
1.3.2算法案例(秦九韶算法)
学生交流、补充回答自学指导中的问题，教师进行补充及纠正总结，引导学生加强对知识的理解深度。
1．强调利用常规自然的运算方法，运算量大，若用前面的计算结果，直接计算后面的式子，可以减少运算量，提高运算效率。
2．强调作为常识性的知识，让学生了解到计算机进行乘法运算比加法运算花的时间要长的多，故而在程序编写中，需要进行运算，尽量使用加法。
3．让学生明确秦九韶算法的作用和意义。
4．通过交流关于秦九韶的简介，突破本节课的情感态度与价值观目标，教师鼓励学生要增强学习数学的信心。附：
秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早800多年。秦九韶字道古．普州安岳(今四川安岳)人．南宋嘉泰二年(1202年)生；约景定二年(1261年)卒于梅州(今广东梅县)．
示标
1．学会用秦九韶算法求多项式的值。
高中数学 同步练习 秦九韶算法与进位制
第2课时秦九韶算法与进位制学习目标 1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制,了解计算机内部运算为什么选择二进制.3.会用除k取余法把十进制转换为各种进位制,并理解其中的数学规律．知识点一秦九韶算法1．求n次多项式的值的算法,有一种比较好的算法叫秦九韶算法．2．秦九韶算法的一般步骤：把一个n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0,求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1＝a n x＋a n－1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2＝v1x＋a n－2,v3＝v2x＋a n－3,…,v n＝v n－1x＋a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值．知识点二进位制若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n－1…a1a0(k)(a n,a n－1,…,a1,a0∈N,0<a n<k,0≤a n－1,…,a1,a0<k)．为了区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数,如二进制数10(2),六进制数341(6),十进制数一般不标注基数．思考59分59秒再过1秒是多少时间？答案1小时．上述计时法遵循的是满60进一,称为六十进制．类比给出k进制的概念．“满k进一”就是k进制,k进制的基数是k.知识点三进制间的转化1．一般地,将k进制数a n a n－1…a1a0(k)转化为十进制：a n a n－1…a1a0(k)＝a n×k n＋a n－1×k n－1＋…＋a1×k1＋a0×k0.2．把十进制的数化为k进制的数的方法是：把十进制数除以k,余数为k进制的右数第一位数．把商再除以k,余数为k进制右数第二位数；依次除以k,直至商为0.这个方法称为除k取余法．1．二进制数中可以出现数字3.( ×)2．把十进制数转化成其它进制数的方法是除k取余法．( √)3．不同进制数之间可以相互转化．( √)题型一秦九韶算法的应用例1 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值．解f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.当x＝－2时,有v0＝1；v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3；v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4；v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2；v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1；v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.故f(－2)＝－1.反思感悟(1)先将多项式写成一次多项式的形式,然后运算时从里到外,一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算,则可提高运算效率．(2)注意：当多项式中n次项不存在时,可将第n次项看作0·x n.跟踪训练1 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值．解根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式：f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：v0＝1；v1＝1×2－12＝－10；v2＝－10×2＋60＝40；v3＝40×2－160＝－80；v4＝－80×2＋240＝80；v5＝80×2－192＝－32；v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时,多项式的值为0.题型二k进制化为十进制例2 二进制数110 011(2)化为十进制数是什么数？解110 011(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝32＋16＋2＋1＝51.反思感悟将k进制数a n a n－1…a1a0(k)化为十进制数的方法：把k进制数a n a n－1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式,然后计算出结果即为对应的十进制数．跟踪训练2 (1)把二进制数1 110 011(2)化为十进制数．(2)将8进制数314 706(8)化为十进制数．解(1)1 110 011(2)＝1×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝115.(2)314 706(8)＝3×85＋1×84＋4×83＋7×82＋0×81＋6×80＝104 902.所以,化为十进制数是104 902.题型三十进制化k进制例3 将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数．解算式如图,则458＝13 022(4)＝2 042(6)．反思感悟十进制数化为k进制数的思路为除k取余→倒序写出→标明基数.跟踪训练3 把89化为二进制数．解算式如图,则89＝1 011 001(2)．秦九韶算法求多项式的值典例用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值．解将f(x)写为f(x)＝((((x＋0)·x＋0.11)x＋0)x－0.15)x－0.04.按从内到外的顺序,依次计算多项式的值：v0＝1,v1＝1×0.3＋0＝0.3,v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2,v3＝0.2×0.3＋0＝0.06,v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132,v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.079 6.∴当x＝0.3时,f(x)的值为－0.079 6.[素养评析] (1)当多项式中出现空项时,利用秦九韶算法求多项式的值,必须补上系数为0的相应项．这是本题的易错点．(2)理解运算对象即求多项式的值,掌握运算法则即秦九韶算法,这些均是数学核心素养之数学运算的具体体现.1．已知175(r)＝125(10),则r 的值为( ) A ．1 B ．5 C ．3 D ．8 答案 D解析 ∵1×r 2＋7×r 1＋5×r 0＝125, ∴r 2＋7r －120＝0, ∴r ＝8或r ＝－15(舍去), ∴r ＝8,故选D.2．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋7在x ＝0.4时的值时,需做加法和乘法的次数的和为( ) A ．10 B ．9 C ．12 D ．8 答案 C解析 f(x)＝(((((6x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ＋7, ∴做加法6次,乘法6次,∴6＋6＝12(次),故选C.3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x 4＋2x 3＋3x 2＋x ＋1当x ＝2时的值时,第一次运算的是( ) A ．1×2 B ．24C ．2＋1D ．1×2＋2答案 D解析 因为f(x)＝(((x ＋2)x ＋3)x ＋1)x ＋1,据由内到外的运算规律可知先运算的是1×2＋2. 4．下列各数中,最小的数是( ) A ．85(9) B ．210(6) C ．1 000(4) D ．111 111(2)答案 D解析 85(9)＝8×9＋5＝77, 210(6)＝2×62＋1×6＋0＝78, 1 000(4)＝1×43＝64,111 111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝63. 故最小的是63.5．(1)将二进制数1611111 个转化成十进制数；(2)将53(8)转化为二进制数．解 (1)1611111⋅⋅⋅个 (2)＝1×215＋1×214＋…＋1×21＋1×20＝216－1.(2)先将八进制数53(8)转化为十进制数： 53(8)＝5×81＋3×80＝43；再将十进制数43转化为二进制数的算法如图．所以53(8)＝101 011(2)．1．要把k 进制数化为十进制数,首先把k 进制数表示成不同位上数字与k 的幂的乘积之和,其次按照十进制的运算规则计算和．2．十进制数化为k 进制数(除k 取余法)的步骤：3．用秦九韶算法求多项式f(x)当x ＝x 0时的值的思路为(1)改写；(2)计算⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x 0＋a n －k (k ＝1，2，…，n )；(3)结论f(x 0)＝v n .一、选择题1．下列各数可能是五进制数的是( ) A ．55 B ．106 C ．732 D ．2 134答案 D解析 五进制数的基数是5,在所构成的数中,只可能用0,1,2,3,4这5个数字． 2．把五进制数123(5)改写成十进制数为( ) A ．83 B ．64 C ．38 D ．44答案 C解析 五进制数123(5)改写成十进制数应为1×52＋2×51＋3×50＝38.3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝2x 6＋5x 5＋6x 4＋23x 3－8x 2＋10x －3当x ＝－4时的值时,v 3的值为( ) A ．－742 B ．－49 C ．18 D ．188答案 B解析 f(x)＝2x 6＋5x 5＋6x 4＋23x 3－8x 2＋10x －3＝(((((2x ＋5)x ＋6)x ＋23)x －8)x ＋10)x －3, v 0＝2,v 1＝v 0x ＋5＝2×(－4)＋5＝－3,v 2＝v 1x ＋6＝－3×(－4)＋6＝18, v 3＝v 2x ＋23＝18×(－4)＋23＝－49,故选B.4．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为( ) A ．12 B ．11 C ．10 D ．9 答案 B解析 101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5,110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.即和为5＋6＝11. 5．四位二进制数能表示的最大十进制数是( ) A ．4 B ．64 C ．255 D ．15 答案 D解析 由二进制数化为十进制数的过程可知,当四位二进制数为1 111时表示的十进制数最大, 此时,1 111(2)＝15.6．已知44(k)＝36,把67(k)转化为十进制数为( ) A ．8 B ．55 C ．56 D ．62 答案 B解析 由题意得,36＝4×k 1＋4×k 0,所以k ＝8. 则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x ＋x 2－3x 3＋2x 4当x ＝－1时的值时,v 2的结果是( ) A ．－4 B ．－1 C ．5 D ．6答案 D解析 此题的n ＝4,a 4＝2,a 3＝－3,a 2＝1,a 1＝2,a 0＝1,由秦九韶算法的递推关系式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1，2，…，n )，得v 1＝v 0x ＋a 3＝2×(－1)－3＝－5,v 2＝v 1x ＋a 2＝－5×(－1)＋1＝6,故选D. 8．已知一个k 进制的数132与十进制的数30相等,那么k 等于( ) A ．7或4 B ．－7 C ．4D ．－4答案 C解析132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2,∴k2＋3k＋2＝30,即k2＋3k－28＝0,解得k＝4或k＝－7(舍去)．9．下列四个数最大的是( )A．322(7)B．402(6)C．342(7)D．355(6)答案 C解析342(7)＝3×72＋4×7＋2＝177,402(6)＝4×62＋0×6＋2＝146.所以342(7)＞402(6)．而342(7)＞322(7),402(6)＞355(6),所以最大的数是342(7)．二、填空题10．若146(x)＝66,则x的值为________．答案 6解析146(x)＝1×x2＋4×x＋6×x0＝66.可得x＝6(负值舍去)．11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6当x＝－1时的值时,令v0＝a6,v1＝v0x＋a5,…,v6＝v5x＋a0,则v3的值是________．答案－15解析f(x)＝x6－5x5＋6x4－3x3＋1.8x2＋0.35x＋2＝(((((x－5)x＋6)x－3)x＋1.8)x＋0.35)x＋2,所以v0＝1,v1＝1×(－1)－5＝－6,v2＝(－6)×(－1)＋6＝12,v3＝12×(－1)－3＝－15.三、解答题12．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值,写出详细步骤．解∵f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13,v0＝3,v1＝v0×6＋12＝30,v2＝v1×6＋8＝188,v3＝v2×6－3.5＝1 124.5,v4＝v3×6＋7.2＝6 754.2,v5＝v4×6＋5＝40 530.2,v6＝v5×6－13＝243 168.2,∴f(6)＝243 168.2.13．十六进制数与十进制数的对应如表：十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E数十进制数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如：A＋B＝11＋12＝16＋7＝1×16＋7＝17(16),所以A＋B的值用十六进制表示就等于17(16)．试计算：A×B＋D＝________.(用十六进制表示)答案92(16)解析∵A×B＋D＝11×12＋14＝146,146＝9×16＋2,∴用十六进制表示146为92(16)．14．秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案 B解析初始值n＝3,x＝2,程序运行过程如下：v＝1i＝2 v＝1×2＋2＝4i＝1 v＝4×2＋1＝9i＝0 v＝9×2＋0＝18i＝－1 跳出循环,输出v＝18,故选B.。
高中数学 1.3 算法与案例 秦九韶算法文字素材 新人教A版必修3
算法案例中国数学名家－秦九韶秦九韶(1202～1261年)，字道古，南宋普州安岳(今四川省安岳县)人。
,有记载则说秦九韶自称鲁郡(现山东滋阳、曲阜一带)人，幼年时随父亲在四川巴州居住。
青少年时饱受战乱，成年后离开四川，在湖北、安徽、江苏、浙江、广东等地做官，任过县尉、通判、州守等职，死于梅州(今广东梅县)。
秦九韶的突出数学成就表现为四个方面：（1）“大衍求一术”。
即为一次同余式组解法。
西方解决同类问题的理论是高斯于1801年建立的，比秦九韶晚了554年。
他还把这种理论用于解决商功、利息、粟米、建筑等问题。
(2)线性方程组解法。
他在《数书九章》中解决了许多相当于线性方程组的问题，其中数字相当大，计算也很复杂。
他在“均货推本”题草中，井然有序地写出厂解题过程，这种解法与高斯消元法本质相当，但比高斯早约600年。
(3)高次方程数值解法。
他集秦汉以来“开方术”之大成，运用贾宪的“增乘开方法”，解决于数字高次方程有理数根和无理数根的近似值计算问题。
他所设计的演算程序被称为“秦九韶方法”。
西方同类问题的探究始于19世纪，他比意大利的鲁菲尼、英国的霍纳要早五、六百年。
(4)“三斜求积”。
他在《数书九章》中，依据分别为12、14、15的三边求出了相应的三角形面积，其方法具有一般性。
这与西方的海伦公式是等价的。
中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
(完整版)高中数学例题：秦九韶算法
高中数学例题：秦九韶算法例4．利用秦九韶算法求2345()10.50.166630.041680.00835f x x x x x x =+++++在x=0.2时的值．写出详细计算过程．【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++L L ．（2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 0．当x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ．【答案】1.2214024【解析】v 0=0.00835，v 1=v 0x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35，v 2=v 1x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753，v 3=v 2x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506，v 4=v 3x+1=0.53506×0.2+1=1.107012，v 5=v 4x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024．【总结升华】秦九韶算法的原理是01(1,2,3,,)n k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩L ．在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．举一反三：【变式1】用秦九韶算法求多项式764=++++当x=2时f x x x x x()85321的值．【答案】1397【解析】765432=++⋅++⋅+⋅++=+++++++ ()85030021((((((85)0)3)0)0)2)1 f x x x x x x x x x x x x x x x ．v0=8，v1=8×2+5=21，v2=21×2 4-0=42，v3=42×2 4-3=87，v4=87×2+0=174，v5=174×2+0=348，v6=348×2+2=698，v7=698×2+1=1397，所以，当x=2时，多项式的值为1397．【变式2】用秦九韶算法计算多项式65432f x x x x x x x=++++++()654327在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（）A．10 B．9 C．12 D．8【答案】C【解析】()(((((65)4)3)2)1)7=++++++．f x x x x x x x∴加法6次，乘法6次，∴6+6=12（次），故选C．。
1.3 案例2 秦九韶算法
((an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
当知道了x的值后该如何求多项式的值?
f ( x ) ((an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多 项式的值，即
所以，当x = 2时，多项式的值等于-41.
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练习: 已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当 x= -2 时的值.
f(-2)= -1.
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秦九韶算法的程序框图：
开始 输入n, an, x的值 v=an
v 0 a n v k v k 1 x an k ( k 1,2, , n)
f (5)=55＋54＋53＋52＋5＋１ =5×(54＋53＋52＋5＋１)＋１
=5×(5×(53＋52＋5 ＋１)＋１ )＋１
=5×(5×( 5× (52＋5 ＋１)＋１ )＋１ )＋１
=5×(5×(5× (5 × (5 ＋１ ) ＋１ )＋１ )＋１ )＋１
两种算法中各用了几次乘法运算? 几次加法运算?
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 (an x n1 an1 x n 2 a1 ) x a0
(( an x n 2 an1 x n 3 a2 ) x a1 ) x a0
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v1 an x an1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
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v 3 v 2 x an 3
v n v n 1 x a 0
132秦九韶算法
132秦九韶算法秦九韶算法，又称陈子算经，是中国古代的一种快速计算多项式值的算法。
秦九韶是南宋时期的数学家，他发明此算法是为了计算高次多项式的值，提高了计算速度，对于古代数学的发展起到了重要的推动作用。
秦九韶算法的核心思想是利用代数恒等式的性质，将一个多项式表达式转化为多个相同形式的和式，从而减少重复计算的次数。
具体实现上，秦九韶算法采用了一种类似于“二分”的分治策略，将多项式按照相同的幂次进行组合，然后再进行逐步的计算。
对于一个次数为n的多项式：f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + ... + an * x^n利用秦九韶算法，可以将其转化为如下形式：f(x) = (a0 + (a1 + (a2 + ... + (an * x) * x) * x) * x...)其中，an通过不断的迭代乘法与加法运算得到最终的结果。
秦九韶算法的优点在于大大减少了重复计算的次数，通过上述的递归过程，每一次迭代都将多项式的次数减小1，节省了大量的时间和计算资源。
这使得秦九韶算法在计算高次多项式值时具有很高的效率。
除了计算多项式的值，秦九韶算法还可以用于多项式的乘法和除法运算。
在乘法运算中，可以利用类似的思路，将多项式拆分为多个相同形式的和式，分别计算后再进行累加得到最终结果。
在除法运算中，可以通过逆向运算，从高次项逐渐减小到低次项。
在实际应用中，秦九韶算法被广泛应用于科学计算、数据处理和图像处理等领域。
由于其高效的计算速度，能够大大提高计算的效率，尤其对于大规模数据的处理非常有效。
此外，秦九韶算法也被一些编程语言内置为库函数，方便开发者直接调用。
虽然秦九韶算法在计算多项式值时十分高效，但是需要注意的是，该算法对于多个不同的多项式，每次计算的系数都需要重新初始化。
此外，秦九韶算法对于一些特殊情况的处理可能会出现误差，例如除法运算中的除零错误，开发者需要在实际应用中进行适当的处理。
总之，秦九韶算法是中国古代的一种重要数学算法，通过利用代数恒等式的性质，将多项式转化为和式进行计算，大大减少了重复计算的次数，提高了计算效率。
算法案例二--秦九韶算法
作业：
1、课本 P48 A 组第 2 题。 2、用秦九韶算法计算 5 次多项式 f ( x) 2 x5 x4 10 x3 10x2 3x 1 ， 当 x 2 时的值。 3、用秦九韶算法计算多项式 f ( x) x6 12x5 60x4 160x3 240x2 192x 64 ， 当 x 2 时的值．
第二步： 计算 (an x an1 ) x an2 的值， 可以改写为 v1 x an 2 ， 将 v1 x an 2 的值赋给一个变量 v 2 ；
依次类推，即每一步的计算之后都赋予一个新值 vk ，即从最内层的括号到 最外层的括号的值依次赋予变量 v1 , v2 ,, vn .第 n 步所求值 vn vn1 x a0 即为所求多项式的值。
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 (an x n1 an1 x n2 a1 ) x a0 (( an x n2 an1 x n3 a2 ) x a1 ) x a0
n(n 1) 次乘法运算和 n 次加法运算,减少为 n 次 2
乘法运算和 n 次加法运算,大大提高了运算效率.
三、秦九韶算法应用：
例一、 已知一个 5 次多项式 f ( x) 5x 5 2x 4 3.5x 3 2.6x 2 1.7 x 0.8 ， 用秦九韶算法求这个多项式当 x 5 时的值。
10
变形后 x 的“系数” 2 5
25
21
105
108
540
534
2670
2677
思考：如何描述上述计算过程？
结论： 将变形前 x 的第 1 个系数乘以 x 的值， 加上变形前第 2 个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以 x 的值，再 加上变形前第 3 个系数，又得到一个新的系数；继续对新系 数做上面的变换，直到与变形前最后一个系数相加，得到一 个新系数为止，这个系数即为所求的多项式的值。
算法案例(秦九韶算法)
算法的步骤和流程
01
02
03
04
2. 将 $a_{i+1}$ 加到 $v$ 中。 3. 将 $v$ 存储在变量 $P$ 中。
步骤3：返回 $P$ 作为多项 式的值。
通过以上步骤，秦九韶算法可以 在 $O(n)$ 的时间内计算出一元 多项式的值，其中 $n$ 是多项式 的次数。与直接使用常规的求值 方法相比，秦九韶算法可以显著 减少乘法的次数，从而提高计算
缺点
对大系数多项式不适用
秦九韶算法适用于系数和次数都很大的多项式，但如果多项式的 系数非常大，可能会导致数值溢出或下溢，影响计算精度。
需要额外的存储空间
秦九韶算法需要存储中间结果，如果多项式的次数很大，需要额外 的存储空间。
对某些特殊多项式不适用
秦九韶算法不适用于某些特殊的多项式，如常数、一次多项式等。
秦九韶算法的应用场景
数值分析
秦九韶算法在数值分析中广泛应用于求解多项式方程的根，以及进行 数值积分和微分等计算。
科学计算
在科学计算领域，秦九韶算法被用于计算物理、化学、工程等领域中 的多项式函数值，以及进行数据拟合和插值等操作。
计算机图形学
在计算机图形学中，秦九韶算法被用于计算光线追踪和纹理映射等算 法中的多项式函数值，以提高渲染效率和精度。
05
秦九韶算法的优缺点
优点
高效性
秦九韶算法是一种快速算法，可以在多项式 时间内完成计算，比直接计算更高效。
易于编程实现
秦九韶算法的步骤明确，易于编程实现，可 以方便地应用于计算机程序中。
数值稳定性
秦九韶算法在计算过程中可以减少舍入误差， 提高数值稳定性。
适用范围广
秦九韶算法适用于多项式的系数和次数都很 大的情况，具有较广的适用范围。
1.3.2秦九韶算法
(( an x
n2
an1 x
n 3
a2 ) x a1 ) x a0
((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
再将第二种方法与第三种方法比较，两种方法都是利用 上一步的结果进行运算。两种方法哪种更有效？我们将上题 加上系数再比较。
f ( x) 5x 2x 3.5x 2.6x 1.7 x 0.8
5 4 3 2
算法二：
f ( x) 5x( x( x x2 )) 2x( x x2 ) 3.5x x2 2.6x2 1.7x 0.8
共做了4次乘法，5次加法。 共做了10次乘法，5次加法。
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =(5４＋5３＋5２＋5＋１)×5＋１ =((5３＋5２＋5＋１)×5＋１)×5＋１ =(((5２+5 +１)×5+１)×5+１)×5+１ =((((5+１)×5+１)×5+１)×5+１)×5+１
共做了4次乘法，5次加法。
你从中看到了 怎样的规律？ 怎么用程序框 图来描述呢？
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
特点：通过一次式的反复计算，逐步得出 高次多项式的值，对于一个n次多项式， 只需做n次乘法和n次加法即可。
利用秦九韶算法求多项式Байду номын сангаас
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值： 先化为f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0，
1.3.2算法案例(2)秦九韶算法
思考5:上述求多项式 思考5:上述求多项式 5: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法 利用该算法求f(x 秦九韶算法， 称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的 一共需要多少次乘法运算， 值，一共需要多少次乘法运算，多少次 加法运算？ 加法运算？ n次乘法运算， n次加法运算 次乘法运算， 次加法运算 次乘法运算 思考6:在秦九韶算法中， 6:在秦九韶算法中 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么 步的算式是什么？ 第k步的算式是什么？ (k=1， vk=vk-1x+an-k (k=1，2，…，n)
思考4:对于f(x)=(…((a 思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ 4:对于 an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算 一次多项式的值，其算法步骤如何？ 一次多项式的值，其算法步骤如何？ 第一步，计算v 第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v 第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0. 计算v
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数 第二种做法与第一种做法相比 乘法的运算次数 减少了,因而能提高运算效率 而且对于计算机来说,做 因而能提高运算效率.而且对于计算机来说 减少了 因而能提高运算效率 而且对于计算机来说 做 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多 因此 第二种做法能更快地得到结果. 第二种做法能更快地得到结果
知识探究( 知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
秦九韶算法与K进制练习题(含详细解答)
秦九韶算法与K进制练习题(含详细解答)秦九韶与k进制练习题一．选择题（共16小题）1．把77化成四进制数的末位数字为（）A．4 B．3 C．2 D．12．用秦九韶算法求多项式f（x）=x+2x+x3x1，当x=2时的值，则v3=（）A．4 B．9 C．15 D．293．把67化为二进制数为（）A．__ B．__-__ C．__-__ D．__-__4．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x+4x+5x+6x+7x+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，55．使用秦九韶算法计算x=2时f（x）=6x+4x2x+5x7x2x+5的值，所要进行的乘法和加法的次数分别为（）A．6，3 B．6，6 C．21，3 D．21，66．把27化为二进制数为（）A．1011（2）B．__（2）__-__C．__（2）432D．__（2）7．用秦九韶算法计算多项式f （x）=5x+4x+3x2__1在x=4时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是（）A．14，5 B．5，5 C．6，5 D．7，58．二进制数__-__（2）对应的十进制数是（）A．401 B．385 C．201 D．2589．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用（）分钟．A．13 B．14 C．15 D．2310．用秦九韶算法在计算f（x）=2x+3x2x+4x6时，要用到的乘法和加法的次数分别为（）A．4，3 B．6，4 C．4，4 D．3，411．用秦九韶算法求多项式f（x）=1+2x+x3x+2x在x=1时的值，v2的结果是（）A．4 B．1 C．5 D．612．下列各数85（9）、210（6）、1000（4）、__（2）中最大的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．__（2）__13．十进制数89化为二进制的数为（）A．__-__（2）B．__-__（2）C．__-__（2）D．__-__（2）14．烧水泡茶需要洗刷茶具（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡茶（2min）等个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．第一步：洗刷茶具；第二步：刷水壶；第三步：烧水；第四步：泡茶B．第一步：刷水壶；第二步：洗刷茶具；第三步：烧水；第四步：泡茶C．第一步：烧水；第二步：刷水壶；第三步：洗刷茶具；第四步：泡茶D．第一步：烧水；第二步：烧水的同时洗刷茶具和刷水壶；第三步：泡茶15．在下列各数中，最大的数是（）A．85（9）B．210（6）16．把23化成二进制数是（）A．00110 B．__二．填空题（共11小题）C．1000（4）D．__（2）C．__ D．__ 17．用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x8x+79x+6x+5x+3x在x=4的值时，其中V1的值= _________ ．18．把5进制的数412（5）化为7进制是_________ ．19．用秦九韶算法计算多项式f（x）=8x+5x+3x+2x+1在x=2时的值时，v2=．20．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x+4x+5x+6x+7x+8x+1当x=0.4时的值时，至多需要做乘法和加法的次数分别是_________ 和_________ ．21．军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为abc，七进位制表示为cba，那么苹果的总数用十进位制表示为_________ ．22．若六进制数Im05（6）（m为正整数）化为十进数为293，则m= _________ ．23．用秦九韶算法求多项式f（x）=5x+2x+3.5x2.6x+1.7x0.8当x=5时的值的过程中v3=．24．完成下列进位制之间的转化：1234=（4）．25．把十进制数51化为二进制数的结果是26．进制转化：403（6）= _________（8）__-__-__2．27．完成右边进制的转化：1011（2）= _________ （10）= _________ （8）．三．解答题（共3小题）3228．将多项式x+2x+x1用秦九韶算法求值时，其表达式应写成29．写出将8进制数__转化为7进制数的过程．30．已知一个5次多项式为f（x）=4x3x+2x+5x+1，用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值．532答案与评分标准一．选择题（共16小题）1．把77化成四进制数的末位数字为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：排序问题与算法的多样性。
案例2秦九韶算法
并行化优化效果
通过实验验证，并行化实现的秦 九韶算法在处理大规模数值计算 问题时，能够显著提高计算速度， 减少计算时间。
算法的误差分析
误差来源
秦九韶算法中的误差主要来源于舍入误差和截断误差。舍 入误差是由于计算机浮点数的表示精度限制而引起的，截 断误差是由于近似计算而引起的。
误差传播
误差在秦九韶算法的计算过程中会累积和传播，对计算结 果的精度产生影响。误差传播的分析有助于了解算法的精 度损失情况。
扩展应用前景
随着科学计算和工程领域中大规模数值计算问题的不断涌现，秦九韶 算法的扩展应用前景广阔，具有重要的实际意义和价值。
05 秦九韶算法的未来发展与 展望
算法的进一步研究与完善
深入研究秦九韶算法 的数学原理，探索其 更广泛的应用场景。
结合现代计算机技术， 开发更高效的秦九韶 算法实现方式。
针对算法的缺陷和不 足，进行改进和优化， 提高算法的效率和准 确性。
算法在其他领域的应用探索
01
在数值分析、计算物理、工程优化等领域探索秦九 韶算法的应用可能性。
02
结合人工智能、机器学习等技术，将秦九韶算法应 用于数据分析和模式识别等领域。
03
探索秦九韶算法在金融、经济、社会科学等领域的 应用，为决策提供支持。
秦九韶算法对数学发展的影响
1
秦九韶算法的提出和发展，丰富了数学理论体系， 为后续数学研究提供了新的思路和方法。
秦九韶算法案例分析
contents
目录
• 秦九韶算法简介 • 秦九韶算法的原理 • 秦九韶算法案例展示 • 秦九韶算法的改进与优化 • 秦九韶算法的未来发展与展望
01 秦九韶算法简介
秦九韶算法的定义
秦九韶算法是一种用于计算多项式的 算法，它将多项式计算转化为一系列 的乘法和加法操作，从而提高了计算 的效率。
1.3算法案例2(秦九韶算法)
第二课时案例2 秦九韶算法（一）导入新课大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：（1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.（2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式：f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0=…=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=a n x+a n-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+a n-2，v3=v2x+a n-3，…v n=v n-1x+a0，这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.（3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.（三）应用示例例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7) x-0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：v 0=5；v 1=5×5+2=27;v 2=27×5+3.5=138.5;v 3=138.5×5-2.6=689.9;v 4=689.9×5+1.7=3 451.2;v 5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.算法分析：观察上述秦九韶算法中的n 个一次式，可见v k 的计算要用到v k-1的值，若令v 0=a n ，我们可以得到下面的公式：⎩⎨⎧=+==--).,,2,1(,10n k a x v v a v k n k kn 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.算法步骤如下：第一步，输入多项式次数n 、最高次的系数a n 和x 的值.第二步，将v 的值初始化为a n ，将i 的值初始化为n-1.第三步，输入i 次项的系数a i .第四步，v=vx+a i ,i=i-1.第五步，判断i 是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v. 程序框图如下图：程序：INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i ＞=0PRINT “i=”；iINPUT “ai=”；av=v*x+ai=i-1WENDPRINT vEND点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.变式训练请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.解：设f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0=（（（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（（（（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可.程序框图如下图：例2 已知n次多项式P n(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n，如果在一种算法中，计算k x0（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0,P k+1(x)=xP k(x)+a k+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要___________次运算.答案：65 20点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次.例3 已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值.解析：把多项式变形为：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7.计算的过程可以列表表示为：最后的系数2 677即为所求的值.算法过程：v0=2；v1=2×5－5=5；v2=5×5－4=21；v3=21×5+3=108；v4=108×5－6=534；v5=534×5+7=2 677.点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.（四）知能训练当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值．解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.v0=3;v1=v0×2+8=3×2+8=14;v2=v1×2-3=14×2-3=25;v3=v2×2+5=25×2+5=55;v4=v3×2+12=55×2+12=122;v5=v4×2-6=122×2-6=238.∴当x=2时，多项式的值为238.解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238．（五）拓展提升用秦九韶算法求多项式f (x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7；v1=7×3+6=27；v2=27×3+5=86；v3=86×3+4=262；v4=262×3+3=789；v5=789×3+2=2 369；v6=2 369×3+1=7 108；v7=7 108×3+0=21 324.∴f(3)=21 324.（六）课堂小结1.秦九韶算法的方法和步骤.2.秦九韶算法的计算机程序框图.（七）作业已知函数f(x)=x3－2x2－5x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x3－2x2－5x+8=(x2－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8 ∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.。
高一数学(-秦九邵算法)
INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x
v=a i=n-1
i=i-1
v=vx+ai
i≥0？
否 输出v
输入ai 是
结束
WHILE i>=0 INPUT “ai=”；b v=v*x+b i=i-1 WEND PRINT v END
例2 阅读 INPUT “x=”；a 下列程序，说 n=0 明它解决的实 y=0 际问题是什么？WHLE n<5
2.对于求n次多项式的值，在我国古 代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算 法，我们将对这个算法作些了解和探究.
思考3:利用后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这 个多项式应写成哪种形式？
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
《数书九章》——秦九韶算法
设 f (x) 是一个n次的多项式
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0 (an xn1 an1xn2 a1)x a0
这是怎样的一 种改写方式？ 最后的结果是
f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8. v1=5×5+2=27； v2=27×5+3.5=138.5；你从中看到了怎 v3=138.5×5-2.6=689样 用.的程9规序；律框？图怎来么描 v4=689.9×5+1.7=3451.述2呢；？ v5=3451.2×5-0.8=17255.2.
2021高中数学-秦九韶算法(精选试题)
高中数学-秦九韶算法1、用秦九韶算法求多项式fx=2x7+x6-3x5+2x4+4x3-8x2-5x+6的值时，V4=V3x+__________.2、已知n次多项式Pnx=a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an.如果在一种算法中，计算x0k(k=2，3，4，⋅⋅⋅，n)的值需要k-1次乘法，计算P3x0的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pnx0的值共需要______次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0x0=a0，Pk+1x=xPkx+ak+1(k=0，1，2，⋅⋅⋅，n-1).利用该算法，计算P3x0的值共需要6次运算，计算Pnx0的值共需要_______次运算.3、用``秦九韶算法’’计算多项式fx=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1，当x=2时的值的过程中，要经过_____________次乘法运算和________次加法运算.4、(1)用辗转相除法求282与470的最大公约数.(2)用秦九韶算法求多项式fx=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时的值.5、用秦九韶算法求多项式fx=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x,当x=3时，v3的值为（）A.27B.86C.262D.786、用秦九韶算法求多项式fx=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时的值_______.7、用秦九韶算法计算fx=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为（）A.6，6B.5，6C.6，5D.6，128、用秦九韶算法计算函数fx=2x4+3x3+5x-4在x=2时的函数值.9、用秦九韶算法求多项式fx=3x5+x2-x+2，当x=-2时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为（）A.4，2B.5，3C.5，2D.6，210、用秦九韶算法求多项式fx=x6-5x5+6x4+x2-3x+2，当x=3时的值.11、用秦九韶算法计算fx=6x5-4x4+x3-2x2-9x，需要加法（或减法）与乘法运算的次数分别为()A.5，4B.5，5C.4，4D.4，512、用秦九韶算法求多项式fx=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1当x=-2时的值为_________.13、用秦九韶算法求多项式fx=x7-2x6+3x3-4x2+1当x=2时的函数值.14、用秦九韶算法求多项式fx=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4的值时，v4的值为()A.-57B.220C.-845D.339215、用秦九韶算法计算多项式fx=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64，当x=2时的值.16、用秦九韶算法计算多项式fx=6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+7在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为（）A.10B.9C.12D.817、已知fx=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（）A.27B.11C.109D.3618、用秦九韶算法计算多项式fx=x6-12x5+60x4-160x3+240x2-192x+64当x=2时的值.19、已知n次多项式Pnx=a0xn+a1xn-1+⋯+an-2x2+an-1x+an,如果在一种算法中,计算x0kk=234⋯n的值需要k-1次乘法,计算P3x0的值共需要9次运算（6次乘法,3次加法）,那么计算Pnx0的值共需要____________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:P0x=a0,Pk+1x=xPkx+ak+1k=012⋯n-1.利用该算法,计算P3x0的值共需要6次运算,计算Pnx0的值共需要____________次运算.20、中国古代有计算多项式的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入a为2，2，5，则输出的s=（）A.7B.12C.17D.3421、用秦九韶算法求多项式fx=x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x当x=2时的值.22、用秦九韶算法计算fx=2x4+3x3+5x-4在x=2时的值.23、秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为()A.35B.20C.18D.924、秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的计算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A.9B.18C.20D.3525、用秦九韶算法计算多项式fx=1+8x+7x2+5x4+4x5+3x6在x=5时所对应的v4的值为()A.1 829B.1 805C.2 507D.2 54326、用秦九韶算法求多项式fx=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.27、用秦九韶算法计算多项式fx=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6，在x=-4时的值时，v3的值为（）A.-845B.220C.-57D.3428、已知多项式fx=4x5+3x4+2x3-x2-x-12，用秦九韶算法求f-2等于（）A.-1972B.1972C.1832D.-183229、用秦九韶算法计算多项式fx=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值，需要做乘法和加法的次数分别是（）A.6，6B.5，6C.5，5D.6，530、用秦九韶算法求n次多项式fx=anxn+an-1xn-1+⋯+a1x+a0，当x=x0时，求fx0需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（）A.nn+12，n，nB.n，2n，nC.0，2n，nD.0，n，nfx=1+2x+x2-3x3+2x4，当x=-1的值时，v2的结果是____________.32、阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式fx=anxn+an-1xn-1+⋯+a1x+a0，当x=x0时，框图中A处应填入____________.33、用秦九韶算法求多项式fx=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，当x=-2时的值.34、用秦九韶算法，求y=7.5x6+8.65x5-3.7x4+4.2x3+2.1x2+x-5.5在x=0.5时的值，写出详细计算过程.35、已知函数fx=x3-2x2-5x+6，用秦九韶算法求f10的值.36、用秦九韶算法求多项式fx=12-8x2+6x4+5x5+3x6在x=-4时，v4的值为()A.-57B.220C.-845D.53637、下面关于算法的说法正确的是()A.秦九韶算法是求两个数的最大公约数B.更相减损术是求多项式的值的方法C.辗转相除法是求多项式的值的方法D.以上皆错38、在利用秦九韶算法求当x=2时，fx=1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5的值时，下列说法正确的是（）A.先求1+2×2B.先求6×2+5，第二步求2×6×2+5+4C.f2=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25直接运算求解D.以上皆错39、用秦九韶算法求多项式fx=anxn+an-1xn-1+⋯+a1x+a0时，求fx0需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（）A.12nn+1，n，nB.n，2n，nC.0，2n，nD.0，n，n40、秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是（）A.秦九韶算法与直接计算相比，大大节省了乘法的次数，使计算量减小，并且逻辑结构简单B.秦九韶算法减少计算乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度C.秦九韶算法减少计算乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度D.秦九韶算法避免对自变量x单独作幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精确度41、已知n次多项式Pnx=a0xn+a1xn-1+⋯+an-1x+an，如果在一种算法中，计算x0k(k=2，3，4，⋯，n)的值需要k-1次乘法，计算P3x0的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10x0的值共需要_________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0x=a0，Pk+1x=xPkx+ak+1(k=0，1，2，⋯，n-1).利用该算法，计算P3x0的值共需要6次运算，计算P10x0的值共需要___________次运算.42、用秦九韶算法求多项式fx=8x7+5x6+3x4+2x+1，当x=2时的值.43、秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A.18B.35C.65D.13044、已知8次多项式fx=a8x8+a7x7+⋯+a1x+a0,用秦九韶算法求fx0的值,需要进行的乘法运算,加法运算的次数分别是()A.8,8B.16,8C.36,8D.9,945、用秦九韶算法求多项式fx=5x5+4x4-3x2+x-1,当x=13时的值时,先算的是()A.13×13B.5×135C.5×13+4D.5×13+4×346、用秦九韶算法求多项式fx=x5+0.11x3-0.15x-0.04当x=0.3时的值.47、用秦九韶算法求多项式fx=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4时的值时,v4的值为()A.-57B.220C.-845D.339248、用秦九韶算法计算多项式fx=5x7+x6-x3+x+3当x=-1时的值,并判断多项式fx在区间-10内是否有零点.49、用秦九韶算法计算多项式fx=2x7+2x6+3x5+6x4+5x3-x2-5x+8当x=2的值时,其中v3的值为()A.15B.36C.41D.77。
人教版高中数学必修三1.3算法案例—秦九韶算法ppt课件
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7
学名著。
秦九韶
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
方法一
x=5 f=2﹡x^5-5﹡x^4-4﹡x^3+3﹡x^2-6﹡x+7 PRINT f END 15次乘法运算,5次加法运算 此算的优点是简单,易懂；缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计 算效率不高.
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？
方法二:先计算x2的值，然后依次计算x2·x，(x2·x)·x，((x2·x)·x)·x的值，
这样每次都可以利用上一次计算的结果. 9次乘法运算,5次加法运算 与第一种做法相比,这种做法中，乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率. 而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二 种做法能更快地得到结果.
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5 v2=v1x-4=5×5-4=21
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
① ② ③
④
算法案例---秦九韶算法
+
变形后 x 的系数
4
22 113.5 564.9 2826.2 14130.2 *5
思考：让学生回顾整个计算过程，用此种方法一共进行了多少次乘法、加法运算？ 点评：一共进行了 5 次乘法，5 次加法运算，相比较前两种做法，此做法更快、更方便，而 且在计算过程中，只与多项式的系数有关。 这种算法就是“秦九韶算法”，在此可以介绍下秦九韶生平。【见附页】 （二）研探新知
数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。
秦九韶聪敏勤学。
宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞
等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261 年左右被贬至梅州（今广东梅县），
不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、
秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学 的最高成就，比西方 1801 年著名数学家高斯（Gauss，1777―1855 年）建立的同余理论早 554 年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无尚荣誉，也为世界数学作 出了杰出贡献。 3、秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳 572 年
问题 1：怎样用秦九韶算法求一般的多项式 f (x) an x n an1x n1 a1x a0 当
x=x0 时的值？ 类似上述方法，将多项式变形为：
f (x) an x n an1x n1 an2 x n2 a1x a0 (an x n1 an1 x n2 an2 x n3 a1 )x a0 ((an x n2 an1x n3 a2 )x a1 )x a0 (((an x an1 )x an2 )x a1 ) a0
秦九韶算法
志不强者智不达。
—— 墨翟 志不立，天下无可成之事。
——王阳明
只要路是对的，就不怕路远。
你可以这样理解 impossible （不可能）——I'm possible （我是可能的）。
秦九韶算法
一、【学习目标】
1、秦九韶算法的方法和步骤.
2、秦九韶算法的程序框图和程序.
二、【学习过程】 例1、求多项式
763452)(2345+-+--=x x x x x x f 当5=x 时的值.
并想一想，在求值的过程中，共做了几次乘法？几次加法？
谈谈你对秦九韶算法的认识？
练习：用秦九韶算法求下列多项式的值
1、32532)(234+-+-=x x x x x f 当3=x 时的值.
2、x x x x x f 6352)(245-+-=当5=x 时的值.
志不强者智不达。
—— 墨翟 志不立，天下无可成之事。
——王阳明
只要路是对的，就不怕路远。
你可以这样理解 impossible （不可能）——I'm possible （我是可能的）。
1、怎样用秦九韶算法求一般的多项式
012211...)(a x a x a x a x a x f n n n n n n +++++=----当0x x =时的值？在求值的过 程中，共做了几次乘法？几次加法？
2、根据我们对秦九韶算法的学习，请试着用程序框图表示秦九韶算法.。
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高中数学例题：秦九韶算法
例4．利用秦九韶算法求2345()10.50.166630.041680.00835f x x x x x x =+++++在x=0.2时的值．写出详细计算过程．
【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．
（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++．
（2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++0．当x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ．
【答案】1.2214024
【解析】
v 0=0.00835，
v 1=v 0x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35，
v 2=v 1x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753，
v 3=v 2x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506，
v 4=v 3x+1=0.53506×0.2+1=1.107012，
v 5=v 4x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024．
【总结升华】秦九韶算法的原理是
01(1,2,3,,)n
k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩．
在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这
种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会
全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．
举一反三：
【变式1】用秦九韶算法求多项式764
=++++当x=2时
f x x x x x
()85321
的值．
【答案】1397
【解析】
765432
=++⋅++⋅+⋅++=+++++++ ()85030021((((((85)0)3)0)0)2)1 f x x x x x x x x x x x x x x x ．
v0=8，
v1=8×2+5=21，
v2=21×2 4-0=42，
v3=42×2 4-3=87，
v4=87×2+0=174，
v5=174×2+0=348，
v6=348×2+2=698，
v7=698×2+1=1397，
所以，当x=2时，多项式的值为1397．
【变式2】用秦九韶算法计算多项式65432
f x x x x x x x
=++++++
()654327
在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（）
A．10 B．9 C．12 D．8
【答案】C
【解析】()(((((65)4)3)2)1)7
=++++++．
f x x x x x x x
∴加法6次，乘法6次，
∴6+6=12（次），故选C．。