算法案例(秦九韶算法)

的值，这样计算上述多项式的值,一共需要9次 乘法运算,5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运
算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于
计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一
次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到
结果.
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[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534 所以,当x=5时,多
v5=v4x+7=534×5+7=2677 项式的值是2677.
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x x x x x f 挑战1：计算 x 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6x 7 当x=2时的值时多项式的值。
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
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秦九韶（1208年－1261年）南 宋官员、数学家，与李冶、杨 辉、 朱世杰并称宋元数学四大 家。主要成就:1247年完成了数 学名著《数学九章》，其中的 大衍求一术、三斜求积术和秦 九韶算法是具有世界意义的重 要贡献。秦九韶算法就是中国 古代数学的一枝奇葩。直到今 天，这种算法仍是多项式求值 比较先进的算法 。 美国著名科学史家萨顿说过， 秦九韶是“他那个民族，他那 个时代，并且确实也是所有时
求值问题?请欣赏下面的解法：
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v0=2 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108
第一步，计算v1=anx+an-1.
第二步，计算v2=v1x+an-2.
第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0.
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v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见 vk的计算要用到vk-1的值. 若令v0=an,得
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案例2 秦九韶算法
一、三维目标
（a）知识与技能
了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶
算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
（b）过程与方法
模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.
（c）情感态度与价值观 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家
对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。
解： f x x 2x 3x 4x 5x 6x 7
v0 1,v1 v0 x 2 0, v2 v1 x 3 3,v3 v2 x 4 2, v4 v3 x 5 9,v5 v4 x 6 12, v6 v5 x 7 31
所以，当x=2时，多项式的值为31.求多项式的值转化为了求六个一次 多项式的值。
• ∴当注x意＝:2n时次,多项式的有值n+为1项13,9因7.此缺少哪一项
应将其系数补0.
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挑战 3：利用秦九韶算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的值，这个多 项式应写成哪种形式？
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思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算 一次多项式的值，其算法步骤如何？
二、教学重难点
重点：1.秦九韶算法的特点;
难点: 2.秦九韶算法的先进性理解 .
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〖教学设计〗
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值的算法,并写出程序.
程序 x=5
f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7
PRINT f
END
点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次 加法运算.优点是简单,易懂;缺点是在计算x的幂 值时重复计算，运算效率不高.
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[问题2]有没有更高效的算法?
分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结 果,以减少计算量,
即先计算x2,然后依次计算
x2 • x, (x2 • x) • x, ((x2 • x) • x) • x
代实最用精伟品课大件P的PT 数学家之一”。 6
例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
解：首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5
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• 挑战2：用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6 ＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值.
• 【解析】f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1
• ＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
• 当x＝2时,有
• v0＝8,v1＝8×2＋5＝21,v2＝21×2＋0＝42,v3＝ 42×2＋3＝87,v4＝87×2＋0＝174,v5＝174×2 ＋0＝348,v6＝348×2＋2＝698,v7＝698×2＋1 ＝1397,
v0=an,
vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步 骤,因此可用循环结构来实现.
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思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的 值，一共需要多少次乘法运算，多少次 加法运算？
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点评:秦九韶算法是求一元多项式的 值的一种方法.
它的特点是:把求一个n次多项式的值 转化为求n个一次多项式的值,通过这种转 化,把运算的次数由1+2+3+4+5+...+n次乘 法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运 算和n次加法运算,大大提高了运算效率.