秦九韶算法公式及结论

秦九韶数学公式

秦九韶数学公式
秦九韶数学公式是指秦九韶方法，这是求实系数多项式实根近似值的一种方法。

这个方法的核心思想是将多项式转化为容易计算的形式，从而快速地得到其近似值。

具体来说，秦九韶方法将一个n次多项式转化为n个一次多
项式的乘积，从而只需要进行n次乘法和n次加法运算即可得到多项式的值。

秦九韶方法的基本步骤如下：
1. 设多项式为f(x)=a₀x+…+ax+aₙ。

2. 令f(x)=p(x)(x-x₀)+f(x₀)，其中p(x)=b₀x+…+bx+b。

3. 比较上式两边x的同次幂系数，得到b₀=a₀，b=a+x₀b(i=1，2，…，n)，f(x₀)=bₙ。

4. 计算p(x)的值，得到f(x)=p(x)(x-x₀)+f(x₀)。

5. 如果需要对f(x)求导数，则对p(x)再用同样算法令c₀=b₀，c=b+x₀c(i=1，2，…，n-1)，得到f′(x₀)=c。

秦九韶方法可以用于求多项式的根的近似值，并且具有计算量少、程序简单等优点。

这种方法在数值分析、计算数学等领域有着广泛的应用。

秦九韶算法与进位制

秦九韶算法与进位制秦九韶算法是中国古代一种进行大数乘法和除法的计算方法，其具有高效性和简便性的特点，被广泛应用于商业、工程和科学计算等领域。

在秦九韶算法中，进位制是一种用于计数和表示数字的体系，具有十进制、二进制、八进制和十六进制等形式。

A = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^nB = b0 + b1*x + b2*x^2 + b3*x^3 + ... + bm*x^m其中，a0到an和b0到bm为系数，x为变量。

利用秦九韶算法，我们可以求得乘积C的展开形式：C = c0 + c1*x + c2*x^2 + c3*x^3 + ... + cn*x^n+m其中，ci可以通过如下计算得出：ci = a0*b0 + (a1*b0+a0*b1)*x + (a2*b0+a1*b1+a0*b2)*x^2 + ...这样，我们可以分别计算各个ci的值，并将其相加得到最终结果。

利用进位制，我们可以轻松地完成每一步乘法和加法操作，从而实现高效的大数乘除计算。

进位制是一种用于计数和表示数字的体系，其最常见的形式是十进制，即使用0到9的十个数字进行计数。

在十进制数中，每个数字的位置代表的是10的幂次，例如100表示1乘以10的2次方，1000表示1乘以10的3次方，以此类推。

进位制还可以是其他进制，例如二进制、八进制和十六进制。

在十进制数中，当其中一位数达到9时，需要进位到高一位，并将该位数置0；而在二进制数中，当其中一位数达到1时，也需要进位到高一位，并将该位数置0。

进位制的运算规则相对简单明了，不仅适用于小数计算，也适用于大数计算。

通过进位制，我们可以方便地进行加法、减法、乘法和除法等运算，并获得相应的结果。

总而言之，秦九韶算法与进位制都是中国古代的数学成就，秦九韶算法通过多项式展开和进位制的运算规则，实现了高效的大数乘除计算。

进位制作为一种计数和表示数字的体系，不仅简洁易懂，还能适用于不同进制下的计算。

必修3-1-9 秦九韶算法

秦九韶算法编号:必修3-1-9 内容:P37～39学习目标：理解秦九韶算法,能够利用秦九韶算法求多项式函数的值,通过秦九韶算法案例的学习,进一步体会算法思想.学习重点：秦九韶算法求多项式函数的值.导学过程:一.复习回忆:1.辗转相除法:m=n×q＋r ,(0≤r＜n)被除数和除数的最大公约数也是除数和余数的最大公约数. gcd(m,n)=gcd(n,r)2.更相减损术: a-b=c,(a＞b)被减数与减数的最大公约数也是减数与差的最大公约数. gcd(a,b)=gcd(b,c)3.辗转相除法和更相减损术,是求两个正整数的最大公约数的优秀算法,我们将算法转化为程序后,就可以由计算机来执行运算,实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.二.动手实践: 例1例1.已知函数f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1, (1)求f(-1); (2)求f(2).解:(1)f(-1)=8×(-1)7+5×(-1)6+3×(-1)4+2×(-1)+1 =-8+5+3-2+1=-1.(2) ∵f(x)=8x7+5x6+0.x5+3x4+0.x3+0.x2+2x1+1.x0∴f(x)=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1记v0=8,v1=8x+5,则v1=v0x+5=8×2+5=21, v2=v1x+0=21×2+0=42, v3=v2x+3=42×2+3=87,v4=v3x+0=87×2+0=174, v5=v4x+0=174×2+0=348, v6=v5x+2=348×2+2=698,v7=v6x+1=698×2+1=1397, 故f(2)=v7=1397.小结:求多项式函数的值: (1)缺项添零;(2)依次提公因式;(3)由内向外逐层计算.三.自主学习: P37-39四.理解学习: P37-39秦九韶算法1.把多项式函数该写成一次式的形式:f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=(a n x n-1+a n-1x n-2+…+a2x+a1)x+a0=((a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2)x+a1)x+a0=………=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0.2.对应f(x) =(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0,由内向外逐层计算一次多项式的值,其算法步骤为:第一步,计算v1=a n x+a n-1. 第二步,计算v2=v1x+a n-2.第三步,计算v3=v2x+a n-3. …第n步,计算v n=v n-1x+a0.3.秦九韶算法:P37-38上述求多项式函数值的算法称为秦九韶算法.该算法大大提高了运算效率.五.理解学习: P38思考用秦九韶算法求n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0,当x=x0时的值,需要多少次乘法运算?多少次加法运算?秦九韶算法把运算次数由至多2)1(nn次乘法运算和n次加法运算,减少为至多n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.4.在秦九韶算法中,记v 0=a n ,那么第k 步的算式是:v k =v k -1x +a n -k (k =1,2,…,n )六.理解学习: P 37-39秦九韶算法5.用秦九韶算法求多项式的值,可以用循环结构来构造算法,其算法步骤为:第一步,输入多项式的次数n ,最高次项的系数a n 和x 的值第二步,令v =a n ,i =n -1.第三步,输入i 次项的系数a i . 第四步,v =vx +a i ,i =i -1.第五步,判断i ≥0是否成立.若是,则返回第二步; 否则,输出多项式的值v . 6.用秦九韶算法求多项式的值,可以用循环结构来构造算法,其算程序框图为: 程序: 七.展示练习: 例2例2.已知函数f (x )=3x 4+2x 3-4x +5,利用秦九韶算法求f (2).解:∵f (x )=3x 4+2x 3+0.x 2-4x +5, ∴ f (x )=(((3x +2)x +0)x -4)x +5,记v 0=3,v 1=3x +2,则v 1=v 0x +2=3×2+2=8, v 2=v 1x +0=8×2+0=16,v 3=v 2x -4=16×2-4=28, v 4=v 3x +5=28×2+5=61,故 f (2)=v 4=61.小结:求多项式函数的值: (1)缺项添零;(2)依次提公因式;(3)由内向外逐层计算.八.勇攀高峰: 例3例3.阅读右边程序,说明它解决的实际问题是什么?求多项式在x =a 时的值.小结: 评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数,如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数,那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中,秦九韶算法是一个优秀算法.九.巩固练习: P45 2十.学后反思：1.本节课的主要内容是什么?2.通过本节课的探究学习,有什么体会?十一.巩固作业:1.课堂作业: P 48 A22.家庭作业:234()12345f x x x x x =++++。

1.3 案例2 秦九韶算法

((an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
当知道了x的值后该如何求多项式的值?
f ( x ) ((an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
所以，当x = 2时，多项式的值等于-41.
高中数学备课组
练习: 已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当 x= -2 时的值.
f(-2)= -1.
高中数学备课组
秦九韶算法的程序框图：
开始输入n, an, x的值 v=an
v 0 a n v k v k 1 x an k ( k 1,2, , n)
f (5)=55＋54＋53＋52＋5＋１ =5×(54＋53＋52＋5＋１)＋１
=5×(5×(53＋52＋5 ＋１)＋１ )＋１
=5×(5×( 5× (52＋5 ＋１)＋１ )＋１ )＋１
=5×(5×(5× (5 × (5 ＋１ ) ＋１ )＋１ )＋１ )＋１
两种算法中各用了几次乘法运算? 几次加法运算?
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 (an x n1 an1 x n 2 a1 ) x a0

(( an x n 2 an1 x n 3 a2 ) x a1 ) x a0
高中数学备课组
v1 an x an1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
高中数学备课组
v 3 v 2 x an 3
v n v n 1 x a 0

秦九韶算法高中数学

秦九韶算法高中数学
秦九韶算法是一种快速求解多项式值的算法，常用于计算机科学和工程学。

该算法可以将一个n次多项式表示为n-1次多项式的递归形式，从而快速计算多项式的值。

具体来说，假设要求P(x)=a0+a1*x+a2*x^2+⋯+an*x^n，秦九韶算法的递推公式为：
P(x) = a0 + x * (a1 + x * (a2 + x * (a3 + ⋯ + x * (an-1 + x * an))))
也就是说，从最高次项开始逐次将x乘进去，直到乘到最低次项为止。

这样一来，算法的复杂度为O(n)（即线性），比暴力计算的O(n^2)（即平方）要快得多。

在高中数学中，秦九韶算法主要作为多项式函数的计算工具。

例如，假设给定多项式f(x)=2x^3+4x^2+3x+1和x=2，要求计算f(x)，可以使用秦九韶算法：
f(2) = 2 * 2^3 + 4 * 2^2 + 3 * 2 + 1
= 16 + 16 + 6 + 1
= 39
因此，f(2)=39。

秦九韶算法的应用范围很广，可以用于求解各种多项式函数的值，包括指数函数、对数函数等。

秦九韶与高次方程的数值解法

秦九韶是我国南宋时期的数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其著作《数书九章》是我国十三世纪数学成就的代表之一.秦九韶利用多项式算法，给出了求高次代数方程的完整解法，提出了相当完备的“正负开方术”，这一成就比西方早了五六百年.下面，我们具体介绍一下秦九韶在高次方程数值解法方面所做的工作.首先，我们先来介绍一下秦九韶的高次方程的表示方法，以及他对高次方程分类的方法.秦九韶沿用了前人在开方中所使用的列筹方法：把常数——“实”——置于第二层，在最上面一层放置得数——开方所得的“商”.之后，再由上向下依次放置x 的一次项、二次项等各项的系数(各“廉”)，在最下一层放置最高次项系数——“隅”.如图1所示的筹式，图1该式相当于列出了方程：f (x )=a 0x n +a 1x n -1+a 2x n -2+a 3x n -3+⋯+a n -1x +a n =0(a n <0).因为所计算的大都是长度、面积之类的问题，因而秦九韶以前的数学家们将开方式的“实”——即常数项常设为正数，在求得根的各位得数后，由下向上推算，再把最后算得的结果从常数项中减去.秦九韶觉得这样不方便，设“实常为负”(a n <0)，把a n 和各项系数列在一起，在计算时只要按增乘开方法累乘、累加直至最后即可.这就是说，古代数学家们所列筹式相当于：a 0x n +a 1x n -1+⋯+a n -1x =A ,A >0.而秦九韶则列出了：a 0x n +a 1x n -1+⋯+a n -1x +a n =0，而其中a n =-A 常是负数.在秦九韶的所有问题中，除了a n 之外，其他项的系数有时为正，有时为负，它们是不受任何限制的.清代数学家李锐称：“秦道古（即秦九韶）《数学九章》卷四上开方图，负算画黑，正算画朱.”但是现传刊本中已经看不见这种黑赤两色的记录了.现传刊本中只记有“上廉负”“下廉正”等.而方程的缺项，则在应列筹处划入零号“○”，并在其旁记入“虚方”“虚下廉”等，如图2（秦九韶正负开方法算草图，采自宜稼堂丛书本《数书九章》）所示.图2数学史话57秦九韶《数书九章》中有二十多个需要进行“开方”求解的方程问题.按各问题原有的名目看，这些问题都是和测量降雪深度、求各种形状的田地的面积、测量问题、计算粮仓的体积等实际应用问题有关的.在这些问题中，次数最高的有十次方程.秦九韶曾把高次方程按其系数的情况定为若干名目.若|a0|≠1，则称之为“开连枝某乘方”；如400x4-2930000=0（x=97643439，第4卷“竹器验雪”题），则称之为“开连枝三乘方”.若某方程的奇次幂系数皆为零时，则称之为“开玲珑某乘方”，如x10+15x8+72x6-864x4-11664x2-34992=0(x=3，第八卷“遥度圆城”题)，则称之为“开玲珑九乘方”.以上便是秦九韶的开方式列筹方式和他对方程进行的简单分类.下面，我们介绍一下秦九韶的“正负开方术”——任意高次方程的数值解法的具体运算步骤.这一解法的步骤和“增乘开方法”完全一致.以《数书九章》卷五中“尖田求积”的问题为例，简单叙述如下：“尖田求积”问题需要求解的方程为-x4+763200x2-40642560000=0.秦九韶在二十多个开方问题中，除了系数数字比较庞大的两个问题外，都附有算草和解说运算每一步骤的筹图.在“尖田求积”问题中就附有二十一个图式——“正负开三乘方图”，用来详细说明运算的每一个步骤.为了简洁起见，我们把二十一个筹算图式精简为八个图式，为了便于理解，将原图下附有的全部注文，附注于8个图式之旁.①列算如图.②上廉超一位，益隅超三位，商数进一位；上廉再超一位，益隅再超三位，商数再进一位；上商八百为定.③以商生（即乘）隅入益下廉，以商生下廉消（指正负相消）从上廉，以商生上廉入方，以商生方得正积，乃与实相消.以负实消正积，其积乃有余为正实，谓之“换骨”.④以商生隅入下廉——一变：以商生下廉入上廉内，相消——以正负上廉相消，以商生上廉入方内相消——以正负方相消.⑤以商生隅入下廉——二变：以商生下廉入上廉.⑥以商生隅入下廉——三变.⑦方一退，上廉二退，下廉三退，隅四退；商续置——四变.数学史话58⑧以方约实，续商置四十，生隅入下廉内，以商生下廉入上廉内，以商生上廉入方内.以续商四十命方法，除实适尽.所得商数八百四十步为田积（即x =840）.秦九韶的正负开方术和现代通常所谓的霍纳方法基本上是一致的，二者的运算步骤都采用了随乘随加的方法.在上列八个筹式中：图①相当于列出了方程：-x 4+763200x 2-40642560000=0（1）；图②相当于对(1)式进行x =100x 1的变换，得-(10)8x 14+763200·104x 12-40642560000=0（2）；求得8<x 1<9，确定出第一位得数为8，图③至图⑥就是用与霍纳算法完全一致的步骤进行x 2=x 1-8的代换，求出新方程(即图⑥）：-(10)8x 42-3200(10)6x 32-3076800(10)4x 22-826880000(10)2x 2+38205440000=0(3)图⑦相当于对(3)式进行了x 3=10x 2的换变之后，得出了新的方程：-(10)8x 43-3200(10)6x 33-3076800(10)4x 23-826880000(10)x 3+38205440000=0最后求得x 3=4，故得x =100x 1=100(8+x 2)=100(8+x310=840.我们注意到，秦九韶在求第二位得数时，采用了“以方约实”的试除法，用来求出第二位得数的估值.“以方约实”就是以方程的一次项系数除常数项，其得数与第二位得数的真值很相近.值得指出的是，在现代通常应用的霍纳算法中也使用这种试除法.秦九韶还对运算过程中所产生的某些特殊情况进行了讨论.例如他曾讨论了“换骨”“投胎”等情形.我们知道，在通常情况下，进行x =a +y 的代换后，方程的常数项符号保持不变，同时其绝对值逐渐减少.但也会有特殊情况发生.假如，在代换后常数项的符号由负变正，秦九韶称之为“换骨”，并将其开方式称为“开翻法某乘方”.上述“尖田求积”题中就有“换骨”的情况出现.这种情况是因为方程存在两个正根，而所求者恰好是由较大的数所产生的，假若所求的是由较小的数产生的，就不会有“换骨”的情况产生.如“环田三积”(卷六），“望敌圆营”(卷八），虽然都有可能出现两个正根，但因所求乃是由较小的数产生的，故而都没有“换骨”的情况产生.所谓“投胎”则是指常数项符号不变，但其绝对值增大的情况，如“古池推元”(卷八）：0.5x 2-152x -11552=0，在得到第一位商300进行代换后，常数项的绝对值反而增至12152，所以称之“投胎”，但在求得第二位商6并进行代换后，常数项绝对值反而减少至1472，最后求得x =366412429.当方程的根不为整数时，秦九韶采取了下列办法：（1）按原有步骤继续求其小数，即所谓“进退开除”的方法.如卷十二“囤积量容”问题中16x 2+192x -1863.2=0的答数为x =6.35，在同一问题中还有方程36x 2+360x -13068.8=0，其答数为x =14.7.（2）“命分”的方法.如卷六“环田三积”：-x 4+15245x 2-6262506.25=0，在求得初商进行减根变换后，秦九韶便以方、廉、隅各数(即减根变换后所得方程的一次、二次、三次，至四次项的各个系数)相并为分母，余实（常数项最后的余数）为分子，即得x =20+324506.25-1-80+12845+577800=2012980252362256.假如所求解的是一个二次方程，这种方法和《九章算术》刘徽注中所提出的“以借算加定法而命分”的方法相同.我们可以认为秦九韶的这种方法是古已有之的“命分”方法在高次方程解法中的推广.值得注意的是，伊斯兰国的数学家也采用了这种命分方法，在阿尔·卡西的《算术之钥》(公元1427年)一书中就记载了这样的例子.(3)当方程为两项方程，且其首项系数|a 0|≠1时，秦九韶又给出了所谓的“连枝同体术”.若a 0x 2-a 1=0中的系数a 0和a 1都是平方数时，则方程可以化为(αx )2=β2，可以立即得出x =βα.此外还可以首先进行x =y a 0的变换，把首项系数变为1.秦九韶用首项系数乘常数项，得出变换后的方程y 2-a 0a 1=0,解得y =a 0a 1,将其代入x =ya 0中，即可求得x 的值.如卷七“临台测水”一题中有方程24649x 2-41912676=0，其系数均为平方数，可得（157x )2=64742，从而得出x =6474157=4137157；而在卷六“漂田推积”问题中有方程121x 2-43264=0，以二次项系数乘常数项后的方程为y 2-121×43264=0,开方得y =2288,将其代入x =y a 0得x =2288121=181011.——摘自《中国数学史》数学史话59。

海伦秦九韶算法公式

海伦秦九韶算法公式
海伦秦九韶算法公式是一种用于求解三角形面积的数学公式。

该公式由古希腊数学家海伦提出，后来被中国古代数学家秦九韶所发扬光大，因此也被称为“海伦-秦九韶公式”。

海伦秦九韶公式的表达式为：
S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S为三角形的面积，a、b、c分别为三角形三边的长度，p 为三角形半周长，即：
p = (a+b+c)/2
海伦秦九韶公式的推导过程较为复杂，但其优点在于可以快速、准确地计算任意形状的三角形的面积，而不需要事先知道其高度或底边长。

由于其实用性和广泛应用，海伦秦九韶公式已成为中学数学教学中不可或缺的一部分。

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秦九韶算法公式

秦九韶算法公式
《秦九韶算法公式》是由古代中国数学家秦九韶发明的一种算法公式，与其他现代算法公式相比，它有较高的准确度和计算速度，被广泛应用于科学计算中。

秦九韶算法公式由三部分组成：十六进制转换、递归分解和矩阵运算。

十六进制转换秦九韶算法的基础，它可以将一个二进制数转换成十六进制数。

十六进制转换可以确保数据的精确性，从而确保最终结果的准确性。

递归分解的过程是将原来的高维数据逐步分解成低维数据，这样可以有效减少计算量，提高计算速度。

例如，原本要计算一个1024维数据，经过8次递归分解，就可以将它分解为8个2维数据，再进行计算，大大提高了计算效率。

矩阵运算是一种高效算法，它采用矩阵之间的乘积运算，可以大大提高计算效率，简化计算过程。

另外，矩阵运算有利于准确推断出复杂的关联关系，可以更有效地进行大规模的数据分析。

秦九韶算法公式在科学计算中得到了广泛应用，它可以有效解决复杂的计算难题，提高计算效率，提高准确度。

在金融分析、市场分析、图像处理、信号处理等领域都有广泛应用。

例如，在股票市场分析中，可以利用秦九韶算法公式快速分析市场的投资策略，辅助投资者更好地把握市场机会，更好地投资，获得投资回报。

另外，在图像处理中，秦九韶算法可以将图像转换成高分辨率的数字表示，从而实现图像处理的效果。

还有，在信号处理领域，
秦九韶算法可以实现快速精确地信号处理，准确地提取信号特征，从而可以实现复杂的信号分析。

秦九韶算法的应用可以帮助我们更有效地处理复杂的数据，从而更有效地实现科学计算，从而更好地适应现代社会的发展需求。

秦九韶公式

秦九韶公式
S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
直径=半径×2 半径=直径÷2
圆的周长=圆周率×直径=
圆周率×半径×2
圆的面积=圆周率×半径×半径
长方体的表面积=
（长×宽+长×高＋宽×高）×2
长方体的体积 =长×宽×高
正方体的表面积=棱长×棱长×6
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
圆柱的体积=底面积×高
圆锥的体积=底面积×高÷3
长方体（正方体、圆柱体）
的体积=底面积×高。

秦九韶算法公式详解

秦九韶算法公式详解秦九韶算法是一种多项式求值的高效算法，可以大大提高多项式求值的速度。

本文将详细介绍秦九韶算法的原理、流程和应用。

一、算法原理秦九韶算法是一种递推算法，其基本思想是将多项式分解为一个个单项式，然后通过递推的方式依次求值。

具体来说，对于一个n次多项式f(x)，我们可以将其表示为：$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 然后，我们可以先计算出a_n和a_{n-1}的值，然后利用递推公式：$b_{i}=a_{i}+xtimes b_{i+1}$求出$b_{n-1}$，再利用递推公式：$c_{i}=b_{i}+xtimes c_{i+1}$求出$c_{n-2}$，以此类推，直到求出$c_{1}$，最后再加上$a_{0}$即可得到多项式的值。

二、算法流程1.输入多项式的系数和x的值；2.初始化b_{n-1}=a_{n}和c_{n-2}=a_{n}x+a_{n-1}；3.从n-2到0依次计算$b_{i}$和$c_{i}$，直到$i=0$为止；4.输出$c_{0}$，即为多项式在x处的值。

三、算法应用秦九韶算法可以用于多项式求值、多项式插值、多项式拟合、多项式积分等多个领域。

其中，多项式插值和多项式拟合是最为常见的应用。

1.多项式插值多项式插值是指通过已知的n个点，构造一个n次多项式，使得该多项式经过这n个点。

具体来说，对于n个点$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{n},y_{n})$，我们要求出一个n次多项式$f(x)$，使得$f(x_{i})=y_{i}$。

根据拉格朗日插值公式，我们可以得到：$f(x)=sum_{i=1}^{n}y_{i}l_{i}(x)$其中，$l_{i}(x)$是n次拉格朗日基函数，定义为：$l_{i}(x)=prod_{j=1,jeq i}^{n}frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$这里，我们可以使用秦九韶算法来快速求出各个基函数的系数，从而快速计算出多项式的值。

秦九韶算法

4次的乘法运算,5次的加法运算ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×（5４＋5３＋5２＋5＋１）＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１）＋１）＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１）＋１）＋１）＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１）＋１）＋１）＋１）＋１
设 f ( x) 是一个n次的多项式
f ( x) an x an1x
n
n1
a1x a0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x an1x
n
n1
a1x a0
(an x
n1
an1x
n 2
a1 ) x a0

这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
例2 已知一个五次多项式为
f ( x)=4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7 x 0.8
f ( x) ((((4 x 2) x 3.5) x 2.6) x 1.7) x 0.8
乘法？多少 v0 4 次加法？ v1 4 5 2 22 v2 22 5 3.5 113.5 v3 113.5 5 2.6 564.9 v4 564.9 5 1.7 2826.2 v5 2826.2 5 0.8 14130.2
((an x
n 2
an1x
n3
a2 ) x a1 ) x a0
((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0

1.3.2秦九韶算法

(an x n1 an1 x n2 a1 ) x a0

(( an x
n2
an1 x
n 3
a2 ) x a1 ) x a0
((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
再将第二种方法与第三种方法比较，两种方法都是利用上一步的结果进行运算。两种方法哪种更有效？我们将上题加上系数再比较。
f ( x) 5x 2x 3.5x 2.6x 1.7 x 0.8
5 4 3 2
算法二：
f ( x) 5x( x( x x2 )) 2x( x x2 ) 3.5x x2 2.6x2 1.7x 0.8
共做了4次乘法，5次加法。共做了10次乘法，5次加法。
ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =(5４＋5３＋5２＋5＋１)×5＋１ =((5３＋5２＋5＋１)×5＋１)×5＋１ =(((5２+5 +１)×5+１)×5+１)×5+１ =((((5+１)×5+１)×5+１)×5+１)×5+１
共做了4次乘法，5次加法。
你从中看到了怎样的规律？怎么用程序框图来描述呢？
所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。
利用秦九韶算法求多项式Байду номын сангаас
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值：先化为f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0，

2.22. 秦九韶算法

5 4 3 2 1
0
k进制的数 an an 1an 2 a2 a1( k ) 表示为：
7342(8) 7 8 3 8 4 8 2 8
3 2 1
八进制逢8进1,使用0~7两个数字
0
an k
n 1
an 1 k
n 2
a1 k0 Nhomakorabea(0 an k , 0 an1 , , a1 k )
vn vn1 x a0

一、进位制的由来人类在长期的生产劳动中创造了数字,为了方便读写和计算,逐渐地产生了进位制.古罗马人采取60进制,玛雅人使用20 进制,中国、埃及、印度等国主要采取10进制.而近代由于计算机的诞生,二进制应运而生. 计算机为何采用二进制？
1.二进制只有0和1两个数字,要得到表示两种不同稳定状态的电子器件很容易,而且制造简单,可靠性高.
v2 v1 x an 2 v 3 v 2 x an 3
v0 an v k v k 1 x an k ( k 1, 2, , n)
vn vn1 x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n 个一次多项式的值的方法,称为秦九韶算法
2.在各种计数中,二进制的算法逻辑简单,有布尔逻辑代数做理论依据,简单的运算规则则使得机器内部的操作也变得简单,如加法法则只有4条：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0,而十进制加法法则从0+0=0到9+9=18需要100条;乘法法则也是这样： 0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1,十进制的乘法法则要由一张 “九九表”来规定,比较复杂.
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值.

秦九韶三角形面积公式推导过程

秦九韶三角形面积公式推导过程秦九韶三角形面积公式，是中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一。

这个公式可以通过下面的步骤来推导：首先，将三角形分别以三个顶点为圆心画三个圆，然后将这三个圆相切于一点，如图所示。

接着，用线段连接相切圆之间的交点，可以得到一个等边三角形，如图所示。

现在，我们可以用几何方法推导出三角形面积公式。

我们设三角形的三边分别为a、b、c，半周长为s，高为h，如图所示。

对于等边三角形，我们可以用勾股定理求出它的边长和面积。

由于等边三角形的三边相等，因此有：a =b = c而它的半周长s为：s = (a + b + c)/2其高h为：h = √3a/2利用勾股定理可以求得等边三角形的面积：S1 = (a^2 * √3)/4下面，我们将用这个面积公式来推导出三角形面积公式。

首先，将三角形分成三个小三角形，如图所示。

可以发现，三角形ABC的面积等于三角形ADE的面积加上三角形AFB的面积再加上三角形BDC的面积，即：S = S1 + S2 + S3其中，S1是等边三角形的面积，可以用上面的公式求得。

现在，我们来看如何求解S2和S3。

对于三角形ADE，我们可以用海伦公式求解它的面积。

根据海伦公式：s = (a + d + e)/2其中，d和e分别为线段AD和AE的长度。

接着，可以得到三角形ADE的面积：S2 = √[s(s-a)(s-d)(s-e)]同样地，对于三角形BDC，我们也可以用海伦公式求出它的面积，即：S3 = √[s(s-b)(s-c)(s-f)]其中，f为线段BF的长度。

最终，将S1、S2和S3代入前面的公式，即可得到三角形面积公式：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]这就是秦九韶三角形面积公式。

这个公式在中国古代广泛应用于农业、航海以及建筑等领域，是古代中国数学的重要成就之一。

它不仅揭示了三角形面积的本质，还为后人推导出更广泛的面积公式奠定了基础。

秦九韶公式

n n 1
这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？
(( an x n2 an1 x n3 a2 ) x a1 ) x a0

((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
f ( x) ((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v1 an x an1
v v xa
n n 1
v2 v1 x an2 v3 v2 x an3
0
最后的一项是什么？
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
5 4 3 2
思考：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？
（3）若将x的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以x的值，再加上变形前的第3个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值。这种算法即是“秦九韶算法” （4）用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？
算法案例(二)
（秦九韶算法求多项式的值）
三、秦九 4x 3x 6x 7
5 4 3 2
当x=5时的值的算法，并写出程序。（2）有没有更高效的算法？能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？引导学生把多项式变形为：

秦九韶算法胡

1.先计算最内层v1=a5x+a4的值. 2.计算v2=v1x+a3的值. 3.计算v3=v2x+a2的值. 4.计算v4=v3x+a1的值. 5.计算v5=v4x+a0的值.
这种方法叫秦九韶算法
秦九韶简介
秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东曲阜一带人）。早年曾从隐君子学数术，后因其父往四川做官，即随父迁徙，后也认为是普州安岳（今四川安岳县）人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。秦九韶聪敏勤学，宋绍定四年（公元 1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官。南宋理宗景定元年（公元 1260年）出任梅州（今广东梅县）守，翌年卒于梅州。据史书记载，他“性及机巧，星象、音律、算术以至营造无不精究”，还尝从李梅亭学诗词。他在政务之余，以数学为主线进行潜心钻研，且应用范围至为广泛：天文历法、水利水文、建筑、测绘、农耕、军事、商业金融等方面。从历史上来看，秦九韶的《数书九章》可与《九章算术》相媲美；从世界范围来看，秦九韶的《数书九章》也不愧为世界数学名著。
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然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
秦九韶算法就是将一个求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式的值.
直到今天，这种算法仍是世界上多项式求值的最先进的算法。这种方法的计算量仅为：
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v0 an v k v k 1 x an k ( k 1, 2, , n)
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