秦九韶算法
§75秦九韶算法
§75秦九韶算法§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法三大语言三结构五种语句三案例高考主流是框图循环结构是重点辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法注4：注1：自然语言框图程序设计语言注2：顺序结构条件结构循环结构输入语句注3：赋值语句输出语句条件语句循环语句───求最大公约数───求多项式的值框图的画法是次要的重点是要能看懂框图2.辗转相除法1.短除法求最大公约数的方法3.更相减损术数字较小短除法公质因数连续除除到所有商互质除数连乘是答案大除小余换大辗转除何时停0或11互质0除数即答案大减小差换大连续减何时停两相等即答案若可半可省功注：辗转相除法与更相减损术的异同点1.辗转相除法以除法运算为主3.两法本质上都是递推，都可用循环结构编程更相减损术以减法运算为主2.辗转相除法当除法运算余数为O或1时终止运算更相减损术当减法运算差为O时终止运算§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法常见的多项式（整式）函数我省的大压轴题，每年都是以三次函数来说事2013年的全国Ⅰ卷的小压轴题，是四次函数泰勒中值定理一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理②n越大越精确①阶乘的概念：参课本P：32练习2麦克劳林公式一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法最多n(n+1)/2次乘法，n次加法最多n次乘法，n次加法xn=(xn-1)xxn-1=(xn-2)xxn-2=(xn-3)x…二、求多项式值的求法4.其他法例如当n=10时……引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值直接法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１＋5＋１□=＋□＋□＋□251253125625=3906引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值秦九韶算法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１)＋１=5×(5×(5３＋5２＋5＋１)＋１)＋１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×(5+１)+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×6+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×31+１)+１)+１=5×(5×156+１)+１=5×781+１=3906先改后算迭代法降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表后算先改可以看出，该算法是：将求一个5次多项式f(x)的值转化成了求5个一次多项式的值的方法引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值1.直接法2.累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１3.秦九韶算法4.其他法5５，5４，5３，5２，5，１应用等比数列的求和公式最简洁吧秦九韶算法：设是一个n次的多项式先对该多项式按下面的方式进行改写：先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算如何求该多项式的值呢？最后一项Vn是所求值秦九韶算法是将求一个n次多项式f(x)的值转化成了，求n个一次多项式的值的方法。
用秦九韶算法计算多项式的值c语言
用秦九韶算法计算多项式的值c语言多项式是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在计算机科学中，多项式的计算也是一个常见的问题。
本文将介绍一种高效的算法——秦九韶算法，用它来计算多项式的值。
一、秦九韶算法的原理秦九韶算法是一种快速计算多项式值的算法。
它的基本思想是将多项式的系数和变量分离，然后通过递推的方式计算多项式的值。
具体来说，假设多项式为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n我们可以将其表示为：f(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... + x(an-1 + anx)...))这样，我们就可以通过递推的方式计算多项式的值。
具体来说，我们可以从最高次项开始，依次计算每一项的值，然后将其累加起来。
这样，我们就可以在O(n)的时间复杂度内计算多项式的值。
二、用c语言实现秦九韶算法下面，我们将用c语言来实现秦九韶算法。
具体来说，我们可以定义一个数组来存储多项式的系数，然后通过循环来计算多项式的值。
代码如下：```c#include <stdio.h>double qinjiushao(double a[], int n, double x) {double result = a[n];for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {result = result * x + a[i];}return result;}int main() {double a[] = {1, 2, 3, 4, 5};int n = 4;double x = 2;double result = qinjiushao(a, n, x);printf("f(%lf) = %lf\n", x, result);return 0;}```在这个例子中，我们定义了一个数组a来存储多项式的系数，n表示多项式的最高次数，x表示要计算的多项式的值。
秦九韶算法课件
(2)已知一个五次多项式f(x)＝2x5－4x3＋3x2 －5x＋1，用秦九韶算法求这个多项式当x＝3 是的值．
秦九韶算法课件
[探究] 1.用秦九韶算法求多项式的值时，几 次多项式就做几次乘法运算，对吗？
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn －1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…＋a1x＋a0在x＝x0时的值时，v0是什么？ v1呢？
秦九韶算法课件
[规律总结] 用秦九韶算法时要正确将多项 式的形式进行改写，然后由内向外依次计 算．当多项式函数中间出现空项时，要以系 数为零的齐次项补充．
秦九韶算法课件
用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋ 4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
[探究] 解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋ 1)x的形式，其次再弄清v0，v1，v2，…，v7 分别是多少，再针对这些式子进行计算．
秦九韶算法课件
用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公约数是4.
秦九韶算法课件
[规律总结] 更相减损术与辗转相除法都能
求两个数的最大公约数，二者的区别与联系
求出其中两个数的最大公约数，再求这个最 大公约数与第三个数的最大公约数，所得的 结果就是这三个数的最大公约数．
秦九韶算法课件
[解析] 先求175与100的最大公约数： 175＝100×1＋75,100＝75×1＋25，
75＝25×3， ∴175与100的最大公约数是25. 再求25与75的最大公约数：
39， 42＝39×1＋3,39＝3×13， ∴288和123的最大公约数是3.
编程用秦九韶算法计算多项式的值
编程用秦九韶算法计算多项式的值秦九韶算法（又称秦九韶快速幂算法）是一种用于计算多项式的值的高效算法。
该算法的思想是将多项式的计算过程进行优化，减少重复的计算。
多项式可以表示为：P(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n 普通的计算方法是按照上述公式逐项计算每一项相乘再相加的结果。
然而，这种方法在项数较多时，计算量会急剧增加，效率低下。
秦九韶算法通过一系列的优化，可以极大地提高计算效率。
秦九韶算法的核心思想是通过重复平方的方式，快速地计算多项式的值。
具体过程如下：Step 1: 将多项式的系数存储在一个数组中。
例如，多项式P(x) = 2 + 3x + 4x^2可以表示为：coefficients = [2, 3, 4]Step 2: 设定一个初始值result为0Step 3: 从n=0开始，遍历coefficients数组，对每个系数进行以下操作：- 将result乘以x的n次幂。
初始情况下，x的幂为1，乘以coefficients[0]得到r0 = coefficients[0]。
之后，将x平方，得到x^2，依次类推。
- 将上述结果与result相加，得到新的result。
例如，r0 + coefficients[1]*x + coefficients[2]*x^2 + ... +coefficients[n]*x^n = resultStep 4: 返回result作为多项式P(x)的值。
以以上示例的多项式P(x)=2+3x+4x^2为例，假设x=2，那么应用秦九韶算法的计算过程如下：Step 1: coefficients = [2, 3, 4]Step 2: result = 0Step 3: 遍历coefficients数组-第一次迭代：- result = result * x + coefficients[0] = 0 * 2 + 2 = 2-第二次迭代：- result = result * x + coefficients[1] = 2 * 2 + 3 = 7-第三次迭代：- result = result * x + coefficients[2] = 7 * 2 + 4 = 18Step 4: 返回result = 18，即多项式P(x) = 2 + 3x + 4x^2在x=2时的值为18通过秦九韶算法，我们可以在O(n)的时间复杂度内计算多项式的值，极大地提高计算效率。
秦九韶算法(正式)
秦九韶算法
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知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1 已f(知 x)5x54x43x32x2
x1 ,求 f(5).
18556
算法1：
需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法
算法2： 秦九韶算法 需要5次乘法，5次加法
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知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
思考1 已f(知 x)5x54x43x32x2
x1 ,求 f(5).
18556
算法1：
需要(5+4+3+2)=14次乘法，5次加法
算法2： 秦九韶算法 需要5次乘法，5次加法
思考2 已f(知 x)7x76x65x54x4 3x32x2x1,求 f(3).
18
一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式:
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
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点评:秦九韶算法是求一元多项式的 值的一种方法.
秦九韶算法与进位制 课件
(1)k 进制数化为十进制数的步骤 ①把 k 进制数写成不同数位上的数字与 k 的幂的乘积之和的形 式； ②按十进制数的运算规则运算出结果．
(2)十进制数化为 k 进制数(除 k 取余法)的步骤
探究点 3 中国古代数学文化中的算法问题
(1)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普
州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如 110001(2) 表示二进制数，37(8)表示八进制数，十进制数一般不标注基数．
探究点 1 秦九韶算法及其应用 利用秦九韶算法分别计算 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1
在 x＝2 与 x＝－1 时的值，并判断 f(x)在区间[－1，2]上有没 有零点． 【解】 因为 f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1 ＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1， 且 x＝2， 所以 v0＝8， v1＝8×2＋5＝21，
利用秦九韶算法求多项式的值的步骤
探究点 2 进位制 (1)把二进制数 101101(2)化为十进制数为________．
(2)将十进制数 458 转化为四进制数为________． 【解析】 (1)101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21 ＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，
(3)程序框图和相应程序 程序框图如图所示，程序如下：
2．进位制 (1)进位制的概念 进位制是人们为了_计__数__和_运__算__方便而约定的记数系统，“满 几进一”就是_几__进__制，_几__进__制的基数就是_几__． 常见的进位制有二进制，八进制、十进制，十六进制及六十进 制．
(2)k 进制数的表示方法 一般地，若 k 是一个大于 1 的整数，那么以 k 为基数的 k 进制 数 可 以 表 示 为一 串 数 字连 写 在一 起 的 形 式 ： anan － 1an － 2 … a1a0(k)(an，an－1，…，a1，a0∈N，0＜an＜k，0≤an－1，…，a1， a0＜k)． (3)k 进制数与 10 进制数的转化 ①由 k 进制 anan－1an－2…a1a0(k)转化为 10 进制数 anan－1an－2…a1a0＝an×kn＋an－1×kn－1＋an－2×kn－2＋…＋a1×k ＋a0×k0； ②由 10 进制数转化为 k 进制数——除 k 取舍法．
《秦九韶算法》课件
秦九韶பைடு நூலகம்法的代码示例
} ``` Java实现
秦九韶算法的代码示例
01
```java
02
import java.util.Scanner;
public class Main {
03
秦九韶算法的代码示例
01
02
03
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new
秦九韶算法的步骤解析
01
确定多项式的最高次项 系数和次数。
02
根据秦九韶算法的公式 ，计算一次多项式的系 数。
03
利用一次多项式求值公 式，计算多项式的值。
04
重复以上步骤，直到求 出所有需要计算的多项 式的值。
秦九韶算法的公式推导
根据多项式求值原理，推导出秦九韶 算法的公式。
利用递归的思想，将高次多项式转化 为一次多项式，推导出秦九韶算法的 公式。
编写代码
按照秦九韶算法的步骤，编写相应的代码。需要注意代码 的健壮性和可读性，以便于后续的维护和调试。
测试代码
通过输入不同的多位数，测试代码的正确性和性能。
秦九韶算法的代码示例
C语言实现 ```c
int main() {
秦九韶算法的代码示例
int n, x = 0, i, d; printf("请输入一个多位数：");
05
秦九韶算法的优缺点
秦九韶算法的优点
01
02
03
高效性
秦九韶算法将多项式求值 问题转化为一系列一元运 算，减少了乘法的次数， 提高了运算效率。
易于编程实现
秦九韶算法的步骤明确， 易于转化为程序代码，便 于计算机实现。
数值分析——实验1 秦九韶算法
实验1 秦九韶算法（贺俊杰 2020022060）一、实验目的人类的计算能力等于计算工具的效率与计算方法的效率的乘积，高效率计算方法大大减少了计算次数，从而也能较少舍入误差的传播和积累，构造高效率计算方法一直是科学计算的一个主要目的。
本次实验以完成秦九韶算法为契机，深入了解高效计算多项式结果的数值计算方法，同时加深对Matlab 环境的熟悉。
二、算法分析对于n 次多项式：1110()n n n n n P x a x a x a x a −−=+++ (1)可改写为嵌套形式：1210()((()))n n n n p x a x a x a x a x a −−=++++ (2)在(1)式中，n i n i a x −−需要计算n i −次乘法运算(其中0,1,1i n =−)和n 次加法运算，共需要进行(1)2n n+次乘法运算和n 次加法运算。
而在(2)式中，仅需要经过n 次乘法运算和n 次加法运算，能够极大地减少运算次数，提高运算效率。
根据程序设计地习惯，把公式(2)写成下来等价的地推形式：(1,2,)n n k y a y y x a k n −⇐⎧⎨⇐⋅+=⎩ (3)三、算法代码实现秦九韶算法Matlab 实现如下：Qinjiu.m 文件其中a 为多项式系数从高次向低次排列数组(缺项系数为0)，n 为多项式多高次数，x 为变量。
四、实验结果1、 设543()851f x x x x =++−，计算()f x 在1,1.5,2.1,3x =上的值。
编写run_qinjiu.m 代码文件如下所示：run_qinjiu.m 文件取多项式系数a = [8, 5, 1, 0, 0, -1]，运行结果如下图所示：图1 run_qinjiu.m 运行结果由图可知算法能正确运行。
2、 利用Matlab 库中的horner 命令，可直接把多项式变为如(2)式的嵌套形式。
编写run_horner.m 代码文件如下所示：程序运行结果如下图所示：从图中可看出，horner库函数可正确地将多项式转为嵌套形式。
秦久韶算法
3.用秦九韶算法计算多项式 6 5 4 3 2 f ( x) 3x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 1 当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的 次数分别是( A ) A 6,6 B 5,6 C 5,5 D 6,5 4.用秦九韶算法计算多项式 5 4 3 2 f ( x) 6 x 4 x x 2 x 9 x 需要做加法(或减法)与乘法运算的次数 分别为( D ) A 5,4 B 5,5 C 4,4 D 4,5
输入n，an，x的值
v=an i=n-1
i=i-1 v=vx+ai
i≥0？ 否 输出v 结束 输入ai
是
“n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
例2 阅读下列 程序，说明它 解决的实际问 题是什么？
求多项式 f ( x) 1 2 x 2 3 4 3x 4 x 5 x 在x=a时的值.
INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHLE n<5 y=y+(n+1)*a∧n n=n+1 WEND PRINT y END
小结作业
美国美国著名科学史家萨顿说过著名科学史家萨顿说过秦九韶是他那个民族他那秦九韶是他那个民族他那个时代并且确实也是所有时个时代并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一
1.3
算法案例
第二课时
问题提出
1.辗转相除法和更相减损术，是求 两个正整数的最大公约数的优秀算法， 我们将算法转化为程序后，就可以由计 算机来执行运算，实现了古代数学与现 代信息技术的完美结合. 2.对于求n次多项式的值，比如函数 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1,求f(5)的值.在我 国古代数学中有一个优秀算法，即秦九 韶算法，我们将对这个优秀的算法作些 了解和探究.
秦九韶算法课堂教学PPT
秦九韶算法的数学证明
秦九韶算法的证明
秦九韶算法的正确性可以通过数 学证明来证实，证明的关键在于 利用多项式的递推关系和数学归
纳法。
递推关系的证明
证明秦九韶算法中的递推关系是正 确的，可以通过数学归纳法来证明。
算法复杂度的分析
秦九韶算法的时间复杂度为O(n)， 空间复杂度为O(1)，比直接法更高 效。
将多项式表示为 “v[0]+v[1]*x+v[2]*x^2+...+v[n]*x ^n”的形式，通过n次乘法和加法运 算得到多项式的值。
利用多项式的递推关系，通过迭代计 算多项式的值，可以减少计算量。
多项式系数与根的关系
多项式的根
多项式等于0的解称为多项式的根 。
系数与根的关系
多项式的系数与多项式的根之间 存在一定的关系，可以通过求解 方程组得到多项式的根。
详细描述
Java语言具有面向对象的特性，能够培养学生的面向对象编程思维。使用Java实 现秦九韶算法可以让学生体验到严谨的编程规范和代码组织方式，同时也能加深 对算法的理解和应用。
使用C实现秦九韶算法
总结词
底层操作，高效执行
详细描述
C语言具有底层操作的特性，能够让学生更加深入地了解计算机底层的工作原理。使用C实现秦九韶算法可以让学 生更加深入地理解算法的实现细节，同时也能提高他们的编程能力和执行效率。
03
秦九韶算法的编程实现
使用Python实现秦九韶算法
总结词
简洁明了，易于理解
详细描述
Python语言具有简洁的语法和易读性，适合初学者学习。使用Python实现秦九 韶算法可以让学生快速理解算法的基本思想，并通过简单的代码实现加深对算 法的理解。
2.22. 秦九韶算法
0
k进制的数 an an 1an 2 a2 a1( k ) 表示为：
7342(8) 7 8 3 8 4 8 2 8
3 2 1
八进制逢8进1,使用0~7两个数字
0
an k
n 1
an 1 k
n 2
a1 k0 Nhomakorabea(0 an k , 0 an1 , , a1 k )
vn vn1 x a0
一、进位制的由来 人类在长期的生产劳动中创造了数字,为了方便读写和计 算,逐渐地产生了进位制.古罗马人采取60进制,玛雅人使用20 进制,中国、埃及、印度等国主要采取10进制.而近代由于计 算机的诞生,二进制应运而生. 计算机为何采用二进制？
1.二进制只有0和1两个数字,要得到表示两种不同 稳定状态的电子器件很容易,而且制造简单,可靠性高.
v2 v1 x an 2 v 3 v 2 x an 3
v0 an v k v k 1 x an k ( k 1, 2, , n)
vn vn1 x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n 个一次多项式的值的方法,称为秦九韶算法
2.在各种计数中,二进制的算法逻辑简单,有布尔逻辑代数 做理论依据,简单的运算规则则使得机器内部的操作也变得简 单,如加法法则只有4条：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0,而十进 制加法法则从0+0=0到9+9=18需要100条;乘法法则也是这样： 0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1,十进制的乘法法则要由一张 “九九表”来规定,比较复杂.
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值.
秦九韶算法的贡献
秦九韶算法的贡献介绍秦九韶算法，即秦九韶公式，是数学上一个重要的算法，用于计算等差数列的和。
它由中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中首次提出，并给出了详细的推导和应用方法。
秦九韶算法的贡献不仅体现在数学上，还具有广泛的实际应用价值。
本文将对秦九韶算法的贡献进行全面、详细、完整且深入地探讨。
由来首先，我们来了解一下秦九韶算法的由来。
秦九韶，字子阳，是中国古代数学家和天文学家，生活在清朝乾隆年间。
他在《数书九章》中首次提出了秦九韶算法，并给出了推导过程和具体应用方法。
算法推导推导思路秦九韶算法的推导过程相对简单，基本思路是通过一系列的代数变换，将等差数列的求和问题转化为多项式的计算问题。
具体推导过程如下：1.假设等差数列为a、a+d、a+2d、…、a+nd，共有n+1项。
2.假设它们的和为S，即S=(a+a+d+a+2d+…+a+nd)。
3.利用等差数列的性质，将每一项与首项a相减，得到d、2d、…、nd。
4.再利用等差数列的性质，将每一项除以公差d，得到1、2、…、n。
5.观察得到的1、2、…、n，发现它们构成了一个等差数列。
6.利用等差数列的求和公式，计算出1、2、…、n的和，记为T。
7.将T与n相乘，得到S=nT。
8.利用等差数列的性质，将nT转化为n(n+1)/2。
9.故而得出S=n(n+1)/2+a(n+1)。
秦九韶公式根据推导过程，我们可以得出秦九韶公式如下：S = n(n+1)/2 + a(n+1)其中，S为等差数列的和，n为项数，a为首项，d为公差。
应用领域秦九韶算法不仅在数学上具有重要意义，还有广泛的实际应用价值。
下面将介绍秦九韶算法在不同领域的应用。
计算机科学在计算机科学领域，秦九韶算法被广泛用于算法的分析和设计中。
通过对算法的时间复杂度进行计算，可以评估算法的运行效率，并选择最优的算法。
秦九韶算法在计算等差数列的和问题上具有简洁、高效的特点，适用于大规模数据的处理。
金融学在金融学中，秦九韶算法常常用于计算复利问题。
案例2秦九韶算法
并行化优化效果
通过实验验证，并行化实现的秦 九韶算法在处理大规模数值计算 问题时，能够显著提高计算速度， 减少计算时间。
算法的误差分析
误差来源
秦九韶算法中的误差主要来源于舍入误差和截断误差。舍 入误差是由于计算机浮点数的表示精度限制而引起的，截 断误差是由于近似计算而引起的。
误差传播
误差在秦九韶算法的计算过程中会累积和传播，对计算结 果的精度产生影响。误差传播的分析有助于了解算法的精 度损失情况。
扩展应用前景
随着科学计算和工程领域中大规模数值计算问题的不断涌现，秦九韶 算法的扩展应用前景广阔，具有重要的实际意义和价值。
05 秦九韶算法的未来发展与 展望
算法的进一步研究与完善
深入研究秦九韶算法 的数学原理，探索其 更广泛的应用场景。
结合现代计算机技术， 开发更高效的秦九韶 算法实现方式。
针对算法的缺陷和不 足，进行改进和优化， 提高算法的效率和准 确性。
算法在其他领域的应用探索
01
在数值分析、计算物理、工程优化等领域探索秦九 韶算法的应用可能性。
02
结合人工智能、机器学习等技术，将秦九韶算法应 用于数据分析和模式识别等领域。
03
探索秦九韶算法在金融、经济、社会科学等领域的 应用，为决策提供支持。
秦九韶算法对数学发展的影响
1
秦九韶算法的提出和发展，丰富了数学理论体系， 为后续数学研究提供了新的思路和方法。
秦九韶算法案例分析
contents
目录
• 秦九韶算法简介 • 秦九韶算法的原理 • 秦九韶算法案例展示 • 秦九韶算法的改进与优化 • 秦九韶算法的未来发展与展望
01 秦九韶算法简介
秦九韶算法的定义
秦九韶算法是一种用于计算多项式的 算法，它将多项式计算转化为一系列 的乘法和加法操作，从而提高了计算 的效率。
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[问题 有没有更高效的算法 问题2]有没有更高效的算法 问题 有没有更高效的算法? 分析:计算 的幂时,可以利用前面的计算结 计算x的幂时 分析 计算 的幂时 可以利用前面的计算结 以减少计算量, 果,以减少计算量 以减少计算量 即先计算x 然后依次计算 即先计算 2,然后依次计算
x • x, ( x • x) • x, (( x • x) • x) • x
点评:上述算法一共做了 次乘法运算 点评 上述算法一共做了15次乘法运算 次 上述算法一共做了 次乘法运算,5次 加法运算.优点是简单 易懂;缺点是不通用 优点是简单,易懂 缺点是不通用,不能 加法运算 优点是简单 易懂 缺点是不通用 不能 解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高 而且计算效率不高. 解决任意多项多求值问题 而且计算效率不高
程序框图 开始
输入a 输入 0,a1,a2,a3,a4,a5 输入x 输入 0 n=1 v=a5 n=n+1 v=vx0+a5-n n≤5?
程序
INPUT a0,a1,a2,a3,a4,a5
否
输出v 输出
是
INPUT x0 n=1 v=a5 WHILE n<=5 v=vx0+a5-n n=n+1 WEND PRINT v END
一般地,对于一个 次多项式 一般地 对于一个n次多项式 对于一个 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式: 我们可以改写成如下形式 f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 求多项式的值时 首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 然后由内向外逐层计算一次多项式的值 即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0. 这样,求 次多项式 次多项式f(x)的值就转化为求 个 的值就转化为求n个 这样 求n次多项式 的值就转化为求 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法. 这种算法称为秦九韶算法 一次多项式的值 这种算法称为秦九韶算法
所以,当 多项式的值是2677. 所以 当x=5时,多项式的值是 时 多项式的值是
练一练:用秦九韶算法求多项式 练一练 用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值 时的值. 当 时的值 原多项式先化为: 解:原多项式先化为 原多项式先化为 f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0 × 3 -6 0 605 3040 15170 608 3034 15170 所以,当 多项式的值是15170. 所以 当x=5时,多项式的值是 时 多项式的值是 注意:n次多项式有 次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 注意 次多项式有 项 因此缺少哪一项 应将其系数补0. 应将其系数补 列表 2 x=5 2 -5 10 5 0 -4 25 125 25 121
金昌市第二中学
路锋杰
三维目标 （a）知识与技能 了解秦九韶算法的计算过程， 了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶 算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 （b）过程与方法 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙. 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙. （c）情感态度与价值观 通过对秦九韶算法的学习， 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家 对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。 对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。 教学重难点 重点：秦九韶算法的特点; 重点：秦九韶算法的特点; 难点: 难点: 秦九韶算法的先进性理解 .
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0. 观察上述秦九韶算法中的n个一次式 可见 观察上述秦九韶算法中的 个一次式,可见 个一次式 vk的计算要用到 k-1的值 若令 0=an,得 的计算要用到v 的值. 若令v 得 v0=an, vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步 因此可用循环结构来实现. 骤,因此可用循环结构来实现 因此可用循环结构来实现 [问题 画出程序框图 表示用秦九韶算法求 次多 问题]画出程序框图 表示用秦九韶算法求5次多 问题 画出程序框图,表示用秦九韶算法求 项式f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当x=x0 项式 (x0是任意实数 时的值的过程 然后写出程序 是任意实数)时的值的过程 然后写出程序. 时的值的过程,然后写出程序
结束
作业: 作业
课本P35页练习 页练习T2; 课本 页练习 P38页A组T2. 页 组
〖教学设计〗
[问题 设计求多项式 问题1]设计求多项式 问题 设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 时的值的算法,并写出程序 当x=5时的值的算法 并写出程序 时的值的算法 并写出程序. 程序
x=5 f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ PRINT f END
点评:秦九韶算法是求一元多项式的 点评 秦九韶算法是求一元多项式的 值的一种方法. 值的一种方法 它的特点是:把求一个 次多项式的值 它的特点是 把求一个n次多项式的值 把求一个 转化为求n个一次多项式的值 个一次多项式的值,通过这种转 转化为求 个一次多项式的值 通过这种转 化,把运算的次数由至多 把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法 次乘法 把运算的次数由至多 运算和n次加法运算 减少为n次乘法运算 次加法运算,减少为 运算和 次加法运算 减少为 次乘法运算 次加法运算,大大提高了运算效率 和n次加法运算 大大提高了运算效率 次加法运算 大大提高了运算效率.
例1:用秦九韶算法求多项式 用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值 时的值. 当 时的值 解法二:列表 解法二 列表 2 x=5 2 -5 10 5 -4 25 21 3 105 108
原多项式 的系数
-6 7 540 2670 534 2677
多项式 的值. 的值
v5=v4x+7=534×5+7=2677 ×
例1:用秦九韶算法求多项式 用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值 时的值. 当 时的值 解法一:首先将原多项式改写成如下形式 解法一 首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 然后由内向外逐层计算一次多项式的值 即 v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5 × v2=v1x-4=5×5-4=2ห้องสมุดไป่ตู้ × v3=v2x+3=21×5+3=108 × 所以,当 所以 当x=5时,多 时多 项式的值是2677. v5=v4x+7=534×5+7=2677 项式的值是 × v4=v3x-6=108×5-6=534 ×
[问题 能否探索出更好的算法 来解决任意多项式 问题3]能否探索出更好的算法 问题 能否探索出更好的算法,来解决任意多项式 的求值问题? 的求值问题 v0=2 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 × 4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =(2x v2=v1x-4=5×5-4=21 × 3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =((2x v3=v2x+3=21×5+3=108 × 2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =(((2x v4=v3x-6=108×5-6=534 × =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 所以,当 多项式的值是2677. 所以 当x=5时,多项式的值是 时 多项式的值是 这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法 这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法. 秦九韶算法
2 2 2
的值. 这样计算上述多项式的值 一共需要 次乘 的值 这样计算上述多项式的值,一共需要 一共需要9次乘 法运算,5次加法运算 次加法运算. 法运算 次加法运算 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运 第二种做法与第一种做法相比 乘法的运 算次数减少了,因而能提高运算效率 因而能提高运算效率.而且对于 算次数减少了 因而能提高运算效率 而且对于 计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一 计算机来说 做一次乘法所需的运算时间比做一 次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到 次加法要长得多 因此第二种做法能更快地得到 结果. 结果