(完整版)必修2--圆与方程知识点归纳总结

圆与方程

1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.

2. 点与圆的位置关系：

(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内

d ＜r ； b.点在圆上

d=r ； c.点在圆外

d ＞r

(2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔

②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ （3）涉及最值：

① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值

min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+

② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值

min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+

思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）

3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .

(1) 当042

2

>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭

⎫

⎝⎛--2,2E D C ，半径2

422F

E D r -+=

.

(2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫

⎝

⎛--

2,2E D . (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.

注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且

0422φAF E D -+.

4. 直线与圆的位置关系：

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2

2

B

A C Bb Aa d +++=

1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；

3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0

2

2

F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解

的个数来判断：

（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5. 两圆的位置关系

（1）设两圆2

121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2

22

2222)()(:r b y a x C =-+-，

圆心距2

21221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ； ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；

④条公切线

内切1

2

1

⇔⇔

-

=

r

r

d；

⑤无公切线

内含⇔

⇔

-

<

<

2

1

0r

r

d；

外离外切相交内切

（2）两圆公共弦所在直线方程

圆

1

C：22

111

x y D x E y F

++++=，

圆

2

C：22

222

x y D x E y F

++++=，

则()()()

121212

D D x

E E y

F F

-+-+-=为两相交圆公共弦方程.

补充说明：

①若

1

C与

2

C相切，则表示其中一条公切线方程；

②若

1

C与

2

C相离，则表示连心线的中垂线方程.

（3）圆系问题

过两圆

1

C：22

111

x y D x E y F

++++=和

2

C：22

222

x y D x E y F

++++=交点的圆系方程为()

2222

111222

x y D x E y F x y D x E y F

λ

+++++++++=（1

λ≠-）

补充：

①上述圆系不包括

2

C；

②2）当1

λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

③过直线0

Ax By C

++=与圆220

x y Dx Ey F

++++=交点的圆系方程为

()

220

x y Dx Ey F Ax By C

λ

+++++++=

6. 过一点作圆的切线的方程：

(1)过圆外一点的切线：

①k不存在，验证是否成立

②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

-

-

-

=

-

=

-

1

)

(

)

(

2

1

1

1

1

R

x

a

k

y

b

R

x

x

k

y

y