必修二圆与方程复习小结

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高中数学必修2知识点总结：第四章圆与方程

高中数学必修2知识点总结：第四章圆与方程归海木心QQ:634102564高中数学必修2知识点总结第四章圆与方程411圆的标准方程1、圆的标准方程：a2b2r2圆心为Aa,b,半径为r的圆的方程2、点M0,0与圆a（1）0（3）02b2r2的关系的判断方法：a)20b2>r2，点在圆外（2）0a20b2=r2，点在圆上a20b2归海木心QQ:634102564（4）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；423直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．RM431空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组,,，、上的坐标2、有序实数组,,，对应着空间直角坐标系中的一点、分别是"3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组,,来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M,,，叫做点M的横坐标，坐标。

叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖432空间两点间的距离公式1、空间中任意一点1MM2HN2N归海木心QQ:6341025扩展阅读：高中数学必修2知识点总结：第四章圆与方程中国权威高考信息资源门户高中数学必修2知识点总结第四章圆与方程411圆的标准方程1、圆的标准方程：abr圆心为Aa,b,半径为r的圆的方程2、点M0,0与圆abr的关系的判断方法：（1）0a0b>r，点在圆外（2）0a0b=r，点在圆上（3）0a0b中国权威高考信息资源门户（4）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；423直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．RMO对应着唯一确定的有序实数组,,，、、分别是的坐标都可以用有序实数组,,来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M,,，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理(20200219214201)

y y1 y2
3
2
BD AB
③内角平分线定理：
CD AC
④定比分点公式： AM MB
⑤韦达定理 .
，则 xM xA
xB ， yM yA
yB
1
1
6
x2 y2 Dx Ey F 0 D 2 E 2 4F 0
1. Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0表示圆方程则
AB 0
C0
2
D A
2
E
F
4
0
A
A
AB0 C0 D 2 E 2 4 AF 0
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：
3. D 2 E 2 4F 0 常可用来求有关参数的范围
三、圆系方程：四、参数方程：五、点与圆的位置关系
x2 y2 D2x E2 y F2 0 （
1）
说明： 1）上述圆系不包括 C2 ； 2）当
1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（ 2 ）过直线 A x B y C 0 与圆 x2 y2 Dx Ey F 0 交点的圆系方程为
x2 y2 Dx Ey F
Ax By C 0
（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题 ①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程 .
2
2
d PA PB ，求 d 的最值及对应的 P 点坐标 .
2
2
4.已知圆 C ： x 1 y 2 25 ，直线 l ： 2m 1 x m 1 y 7m 4 0（ m R ）

必修2圆与方程知识点归纳总结

圆与方程1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2. 点与圆的位置关系：(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内d ＜r ； b.点在圆上d=r ； c.点在圆外d ＞r(2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ （3）涉及最值：① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.(2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D . (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422φAF E D -+.4. 直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ； ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； ⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：① 上述圆系不包括2C ；② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ，得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为。

人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结

第四章圆与方程4.1 圆得方程4.1、1 圆得标准方程1.以(3,－1)为圆心,4为半径得圆得方程为()A.(x＋3)2＋(y－1)2＝4B.(x－3)2＋(y＋1)2＝4C.(x－3)2＋(y＋1)2＝16D.(x＋3)2＋(y－1)2＝162.一圆得标准方程为x2＋(y＋1)2＝8,则此圆得圆心与半径分别为()A.(1,0),4B.(－1,0),2 2C.(0,1),4D.(0,－1),2 23.圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2得圆心为________,半径为________.4.若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上,则a得值就是________.5.以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切得圆得方程就是____________________.6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)得圆得方程为()A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝17.一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1),圆心在直线x－3y－10＝0上,求此圆得方程.8.点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1得内部,则a得取值范围就是()A.|a|＜1B.a＜113C.|a|＜1 5D.|a|＜1139.圆(x－1)2＋y2＝25上得点到点A(5,5)得最大距离就是__________.10.设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A,B两点,且弦AB得长为 2 3,求a得值.4、1、2 圆得一般方程1.圆x2＋y2－6x＝0得圆心坐标就是________.2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2,－4)为圆心,以4为半径得圆,则F＝________、3.若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则k得取值范围就是()A.k>1B.k<1C.k≥1D.k≤14.已知圆得方程就是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0,则下列直线中通过圆心得就是()A.3x＋2y＋1＝0B.3x＋2y＝0C.3x－2y＝0D.3x－2y＋1＝05.圆x2＋y2－6x＋4y＝0得周长就是________.6.点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0得内部,则a得取值范围就是()A.－1<a <1B.0<a <1C.－1<a <15D.－15<a <17.求下列圆得圆心与半径. (1)x 2＋y 2－x ＝0;(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0); (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0、8.过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0得弦,其中弦长为整数得共有( ) A.16条 B.17条 C.32条 D.34条9.已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动,点P 为连接M (4,－3)与点A 得线段得中点,求P 得轨迹方程.10.已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆. (1)求t 得取值范围; (2)求圆得圆心与半径;(3)求该圆得半径r 得最大值及此时圆得标准方程.4.2 直线、圆得位置关系 4.2、1 直线与圆得位置关系1.直线y ＝x ＋3与圆x 2＋y 2＝4得位置关系为( ) A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离2.下列说法中正确得就是( )A.若直线与圆有两个交点,则直线与圆相切B.与半径垂直得直线与圆相切C.过半径外端得直线与圆相切D.过圆心且与切线垂直得直线过切点3.若直线x ＋y ＝2与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切,则m 得值为( )A 、12B 、22C 、 2 D.24.(2013年陕西)已知点M (a ,b )在圆O :x 2＋y 2＝1外,则直线ax ＋by ＝1与圆O 得位置关系就是( )A.相切B.相交C.相离D.不确定5.经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5得切线,则切线方程为( ) A 、2x ＋y ＝5 B 、2x ＋y ＋5＝0 C.2x ＋y ＝5 D.2x ＋y ＋5＝06.(2013年浙江)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得得弦长等于________.7.已知直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得得弦长为8,求k 得值.8.由直线y ＝x ＋1上得一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线,则切线长得最小值为( ) A.1 B.2 2 C 、7 D.39.已知圆C :(x －2)2＋(y －3)2＝4,直线l :(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8、 (1)证明:无论m 为何值,直线l 与圆C 恒相交; (2)当直线l 被圆C 截得得弦长最短时,求m 得值.10.已知圆C:x2＋y2－8y＋12＝0,直线l∶ax＋y＋2a＝0、(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB＝2 2时,求直线l得方程.4、2、2 圆与圆得位置关系1.已知两圆得方程x2＋y2＝4与x2＋y2－6x＋8y＋16＝0,则此两圆得位置关系就是()A.外离B.外切C.相交D.内切2.圆x2＋y2＋2x＋1＝0与圆x2＋y2－y＋1＝0得公共弦所在直线方程为()A.x－2y＝0B.x＋2y＝0C.2x－y＝0D.2x＋y＝03.已知直线x＝a(a>0)与圆(x＋1)2＋y2＝9相切,那么a得值就是()A.2B.3C.4D.54.两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0得公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条5.已知两圆相交于两点A(1,3),B(m,－1),两圆圆心都在直线2x－y＋c＝0上,则m＋c得值就是()A.－1B.2C.3D.06.圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0得交点为AB,则线段AB得垂直平分线方程为()A.x＋y－1＝0B.2x－y＋1＝0C.x－2y＋1＝0D.x－y＋1＝07.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)得公共弦长为2 3,求实数a得值.8.两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25与(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切,则半径r＝____________、9.已知两圆C1:x2＋y2－10x－10y＝0与C2:x2＋y2＋6x－2y－40＝0,求:(1)它们得公共弦所在直线得方程;(2)公共弦长.10.已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0、(1)求证:对任意实数a,该圆恒过一定点;(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切,求a得值.4、2、3 直线与圆得方程得应用1.方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示得圆()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线x－y＝0对称D.关于直线x＋y＝0对称2.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切,则m为()A.0或2B.2C、 2 D.无解3.过原点得直线与圆(x＋2)2＋y2＝1相切,若切点在第三象限,则该直线方程为()A.y＝3xB.y＝－3xC.y＝3 3xD.y＝－3 3x4.若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相离,则点P (a ,b )与圆得位置关系就是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.都有可能5.圆x 2＋y 2－4x －4y －1＝0上得动点P 到直线x ＋y ＝0得最小距离为( ) A.1 B.0C.2 2D.2 2－36.过点P (2,1)作圆C :x 2＋y 2－ax ＋2ay ＋2a ＋1＝0得切线只有一条,则a 得取值就是( ) A.a ＝－3 B.a ＝3 C.a ＝2 D.a ＝－27.与圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0相切且在两坐标轴上得截距相等得直线有( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条8.设圆x 2＋y 2－4x －5＝0得弦AB 得中点P (3,1),则直线AB 得方程为____________.9.若实数x ,y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3,那么yx得最大值为( )A 、12B 、33C 、32D 、 310.已知圆C :x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2,3).(1)若点P (a ,a ＋1)在圆上,求线段PQ 得长及直线PQ 得斜率; (2)若M 为圆C 上任一点,求|MQ |得最大值与最小值;(3)若实数m ,n 满足m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0,求k ＝n －3m ＋2得最大值与最小值.4、3 空间直角坐标系 4.3、1 空间直角坐标系1.点P (－1,0,1)位于( ) A.y 轴上 B.z 轴上C.xOz 平面内D.yOz 平面内2.在空间直角坐标系中,点(－2,1,4)关于x 轴得对称点得坐标就是( ) A.(－2,1,－4) B.(－2,－1,－4) C.(2,－1,4) D.(2,1,－4)3.点P (－4,1,3)在平面yOz 上得投影坐标就是( ) A.(4,1,0) B.(0,1,3) C.(0,3,0) D.都不对4.在空间直角坐标系中,点P (1,2,3),过点P 作平面yOz 得垂线PQ 垂足为Q ,则Q 得坐标为( )A.(0,2,0)B.(0,2,3)C.(1,0,3)D.(1,2,0)5.点(2,－3,0)在空间直角坐标系中得位置就是在( ) A.y 轴上 B.xOy 平面上 C.xOz 平面上 D.第一象限内6.设x,y为任意实数,相应得点P(x,y,3)得集合就是()A.z轴上得两个点B.过z轴上得点(0,0,3),且与z轴垂直得直线C.过z轴上得点(0,0,3),且与z轴垂直得平面D.以上答案都有可能7.点A(1,－3,2)关于点(2,2,3)得对称点得坐标为()A.(3,－1,5)B.(3,7,4)C.(0,－8,1)D.(7,3,1)8.已知点A(3,y,4),B(x,4,2),线段AB得中点就是C(5,6,z),则x＝______,y＝______,z＝________、9.点P(2,3,5)到平面xOy得距离为________.10.如图K4-3-1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且边长为2a,棱PD⊥底面ABCD,|PD|＝2b,取各侧棱得中点E,F,G,H,试建立适当得空间直角坐标系,写出点E,F,G,H得坐标.图K4-3-14.3、2 空间两点间得距离公式1.在空间直角坐标系中,点A(2,1,5)与点B(2,1,－1)之间得距离为()A、 6 B.6C、 3 D.22.坐标原点到下列各点得距离最大得就是()A.(1,1,1)B.(2,2,2)C.(2,－3,5)D.(3,3,4)3.已知A(1,1,1),B(－3,－3,－3),点P在x轴上,且|P A|＝|PB|,则点P得坐标为()A.(－3,0,0)B.(－3,0,1)C.(0,0,－3)D.(0,－3,0)4.设点B就是A(－3,2,5)关于xOy平面得对称点,则|AB|＝()A.10 B、10C.2 10D.405.已知空间坐标系中,A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),AB得中点为M,线段CM得长|CM|＝()A、534B、532C、532D、1326.方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36得几何意义就是____________________________.7.已知点A在y轴上,点B(0,1,2),且|AB|＝5,求点A得坐标.8.以A(1,2,1),B(1,5,1),C(1,2,7)为顶点得三角形就是________三角形.9.已知点A(x,5－x,2x－1),B(1,x＋2,2－x),当|AB|取最小值时,x得值为________.10.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)与B(1,0,－3),问:(1)在y轴上就是否存在点M,满足|MA|＝|MB|;(2)在y轴上就是否存在点M,使△MAB为等边三角形？若存在,试求出点M得坐标.第四章圆与方程4.1 圆得方程4.1、1 圆得标准方程 1.C 2、D3.(－2,2) |m | 4、±5 5、(x ＋2)2＋(y －1)2＝26.A 解析:方法一(直接法):设圆心坐标为(0,b ),则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1,解得b ＝2,故圆得方程为x 2＋(y －2)2＝1、方法二(数形结合法):作图由点到圆心得距离为1,易知圆心为(0,2),故圆得方程为x 2＋(y －2)2＝1、7.解:方法一:设圆心P (a ,b ), 则⎩⎪⎨⎪⎧a －3b －10＝0(a －5)2＋b 2＝(a ＋2)2＋(b －1)2解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－3、圆得半径r ＝(a －5)2＋b 2＝(1－5)2＋(－3)2＝5、 ∴圆得标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25、方法二:线段AB 得中点P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫5－220＋12,即P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3212、直线AB 得斜率k ＝1－0－2－5＝－17、∴弦AB 得垂直平分线得方程为y －12＝7⎝⎛⎭⎫x －32, 即7x －y －10＝0、解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －10＝07x －y －10＝0得⎩⎨⎧x ＝1y ＝－3、即圆心P (1,－3).圆得半径r ＝(1－5)2＋(－3)2＝5、∴圆得标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25、 8.D9、41＋510.解:∵弦AB 得长为2 3,则由垂径定理,圆心(1,2)到直线得距离等于1,∴|a －2＋3|a 2＋1＝1,∴a ＝0、4.1、2 圆得一般方程 1.(3,0) 2、4 3.B 4、A5.2 13π6.A7.解:(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14,圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120,半径r ＝12、 (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2,圆心(－a,0),半径r ＝|a |、(3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2,圆心(0,－a ),半径r ＝1＋a 2、8.C 解析:圆得标准方程就是:(x ＋1)2＋(y －2)2＝132,圆心(－1,2),半径r ＝13、过点A (11,2)得最短得弦长为10,最长得弦长为26(分别只有一条),还有长度为11,12,…,25得各2条,所以共有长为整数得弦2＋2×15＝32(条).9.解:设点P 得坐标为(x ,y ),A 得坐标为(x 0,y 0).∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上,∴有2x 0－3y 0＋5＝0、又∵P 为MA 得中点,∴有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02y ＝－3＋y 02、∴⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋3、代入直线得方程,得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0, 化简,得2x －3y －6＝0即为所求. 10.解:(1)由圆得一般方程,得[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0,解得－17<t <1、(2)圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－2(t ＋3)2－2(1－4t 2)2,即(t ＋3,4t 2－1),半径r ＝12[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)＝－7t 2＋6t ＋1、(3)r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167, 所以当t ＝37时,r max ＝4 77,故圆得标准方程为⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167、 4.2 直线、圆得位置关系 4.2、1 直线与圆得位置关系 1.D 2、D 3、D4.B 解析:点M (a ,b )在圆O :x 2＋y 2＝1外,有a 2＋b 2>1,圆心到直线ax ＋by ＝1得距离为d ＝1a 2＋b2<1＝r ,所以直线与圆O 相交.5.C 解析:因为点(2,1)在圆x 2＋y 2＝5上,所以切线方程为2x ＋y ＝5、6.4 5 解析:圆(x －3)2＋(y －4)2＝25,圆心(3,4)到直线2x －y ＋3＝0得距离为d ＝|6－4＋3|5＝5,弦长等于252－(5)2＝4 5、 7.解:设直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得得弦长为AB ,其中点为C ,则△OCB 为直角三角形.因为圆得半径为|OB |＝5,半弦长为|AB |2＝|BC |＝4,所以圆心到直线kx －y ＋6＝0得距离为3、由点到直线得距离公式得6k 2＋1＝3、解得k ＝±3、 8.C9.(1)证明:由(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8, 得mx ＋2x ＋2my ＋y ＝7m ＋8,即m (x ＋2y －7)＋(2x ＋y －8)＝0、由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －7＝02x ＋y －8＝0解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝2、∴无论m 为何值,直线l 恒过定点(3,2).(2)解:过圆内得一点得所有弦中,最长得弦就是过该点得直径,最短得弦就是垂直于过该点得直径得那条弦,∵圆心(2,3),定点(3,2),直径得斜率为－1, ∴最短得弦得斜率为1,故最短弦得方程为x －y －1＝0、∴m ＝－1、10.解:将圆C 得方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方,得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4,则此圆得圆心为(0,4),半径为2、(1)若直线l 与圆C 相切,则有|4＋2a |a 2＋1＝2、解得a ＝－34、故当a ＝－34时,直线l 与圆C 相切.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意与圆得性质,得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1CD 2＋DA 2＝AC 2＝22DA ＝12AB ＝2解得a ＝－7或a ＝－1、∴直线l 得方程就是7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0、 4.2、2 圆与圆得位置关系 1.B 2、D 3、A4.C 解析:圆化为标准方程,得(x －2)2＋(y ＋1)2＝4,(x ＋2)2＋(y －2)2＝9,∴圆心O 1(2,－1),r 1＝2,O 2(－2,2),r 2＝3、∵|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2,∴两圆外切.∴公切线有3条.5.D 6、A7.解:由已知两个圆得方程可得相交弦得直线方程为y ＝1a、利用圆心(0,0)到直线得距离d＝⎪⎪⎪⎪1a ,得⎪⎪⎪⎪1a ＝22－(3)2＝1,解得a ＝1或a ＝－1(舍). 8.5－2 29.解:(1)将两圆方程C 1:x 2＋y 2－10x －10y ＝0与C 2:x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0相减,得2x ＋y －5＝0、∴公共弦所在直线得方程为2x ＋y －5＝0、(2)圆C 1:x 2＋y 2－10x －10y ＝0得标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50,圆心为(5,5),半径为5 2,圆心到直线2x ＋y －5＝0得距离为2 5,根据勾股定理与垂径定理,知公共弦长为2 30、 10.(1)证明:将圆得方程整理,得(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0,此方程表示过圆x 2＋y 2＝20与直线－4x ＋2y ＋20＝0得交点得圆系,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝204x －2y －20＝0得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－2、故对任意实数a ,该圆恒过定点(4,－2). (2)解:圆得方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2、 ①若两圆外切,则2＋5(a －2)2＝5a 2,解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍);②若两圆内切,则|5(a －2)2－2|＝5a 2,解得a ＝1－55,或a ＝1＋55(舍).综上所述,a ＝1±55、4.2、3 直线与圆得方程得应用1.D 解析:该圆得圆心(－a ,a ),在直线x ＋y ＝0上,故关于直线x ＋y ＝0对称.2.B 解析:圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0得距离d ＝|m |2＝m ,m ＝2、3.C4.C 解析:由于直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相离,则1a 2＋b2>1,即a 2＋b 2<1,∴P 在圆内. 5.C 6、A7.A 解析:过原点得直线也满足条件. 8.x ＋y －4＝09.D 解析:方法一:∵实数x ,y 满足(x －2)2＋y 2＝3, ∵记P (x ,y )就是圆(x －2)2＋y 2＝3上得点, yx就是直线OP 得斜率,记为k 、∴直线OP :y ＝kx ,代入圆得方程,消去y ,得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0、直线OP 与圆有公共点得充要条件就是Δ＝(－4)2－4(1＋k 2)≥0,∴－3≤k ≤3、方法二:同方法一,直线OP 与圆有公共点得条件就是|k ·2－0|k 2＋1≤3,∴－3≤k ≤3、10.解:(1)∵点P (a ,a ＋1)在圆上,∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0、解得a ＝4,∴P (4,5).∴|PQ |＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210,k PQ ＝3－5－2－4＝13、(2)∵圆心坐标C 为(2,7),半径为2 2, ∴|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2、 ∴|MQ |max ＝4 2＋2 2＝6 2, |MQ |min ＝4 2－2 2＝2 2、(3)设点(－2,3)得直线l 得方程为y －3＝k (x ＋2),即kx －y ＋2k ＋3＝0,方程m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0, 即(m －2)2＋(n －7)2＝8表示圆.易知直线l 与圆方程相切时,k 有最值, ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝2 2、∴k ＝2±3、∴k ＝n －3m ＋2得最大值为2＋3,最小值为2－3、4.3 空间直角坐标系 4.3、1 空间直角坐标系1.C 解析:点P 得y 轴坐标为0,则点P 在平面xOz 上.2.B 解析:点P (a ,b ,c )关于x 轴得对称点为P ′(a ,－b ,－c ).3.B 4、B 5、B 6、C 7、B8.7 8 3 9、510.解:由图知,DA ⊥DC ,DC ⊥DP ,DP ⊥DA ,故以D 为原点,DA ,DC ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.∵E ,F ,G ,H 分别为侧棱中点,由立体几何知识可知,平面EFGH ∥底面ABCD ,从而这4个点得竖坐标都为P 得竖坐标得一半,也就就是b 、由H 为DP 得中点,得H (0,0,b ).E 在底面ABCD 上得投影为AD 得中点,∴E (a,0,b ).同理G (0,a ,b ).F 在坐标平面xOz 与yOz 上得投影分别为点E 与G ,故F 与E 得横坐标相同,都就是a ,点F 与G 得纵坐标也同为a ,又F 得竖坐标为b ,故F (a ,a ,b ).4.3、2 空间两点间得距离公式1.B 2、C 3、A 4、A 5、C6.以点(12,－3,5)为球心,半径长为6得球7.解:由题意设A (0,y,0),则(y －1)2＋4＝5,得y ＝0或y ＝2,故点A 得坐标为(0,0,0)或(0,2,0).8.直角解析:因为|AB |2＝9,|BC |2＝9＋36＝45,|AC |2＝36,所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2,所以△ABC 为直角三角形.9、87解析:|AB | ＝(x －1)2＋(5－x －x －2)2＋(2x －1－2＋x )2＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57, 故当x ＝87时,|AB |取得最小值. 10.解:(1)假设在y 轴上存在点M ,满足|MA |＝|MB |、设M (0,y,0),由|MA |＝|MB |,可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32、显然,此式对任意y ∈R 恒成立.∴y 轴上所有点都满足关系|MA |＝|MB |、(2)假设在y 轴上存在点M ,使△MAB 为等边三角形.由(1)可知,y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |,∴只要满足|MA |＝|AB |,就可以使得△MAB 就是等边三角形. ∵|MA |＝10＋y 2,|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20,∴10＋y 2＝20,解得y ＝±10、故y 轴上存在点M ,使△MAB 为等边三角形,点M 得坐标为(0,10,0)或(0,－10,0).。

高中数学必修2知识点总结04 圆与方程

高中数学必修2知识点总结04 圆与方程高中数学必修2学问点总结04 圆与方程高中数学必修2学问点总结04圆与方程坐标法是以坐标系为桥梁，把讨论几何问题转化成代数问题，通过代数运算讨论几何图形性质的方法，是解析几何中最基本的讨论方法。

通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。

教材要求：把握如何在直角坐标系中建立圆的方程；并通过圆的方程讨论直线与圆、圆与圆的位置关系；把握空间直角坐标系的有关学问；体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的力量。

一、圆与方程高考考试内容及考试要求：把握圆的标准方程和一般方程；了解参数方程的概念；理解直线与圆、圆与圆的位置关系；把握空间直角坐标系的有关学问；二、圆的方程课标要求：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探究并把握圆的标准方程与一般方程。

要点精讲：1．圆的方程（1）圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为：(xa)2(yb)2r2(r0)。

（其参数方程为xarcos（θ为参数））特别地，当a=b=0时，圆心在原点的圆的方程为：x2y2r2（其参数ybrsinxrcos方程为（θ为参数））。

yrsinDE（2）圆的一般方程xyDxEyF0，圆心为点(,)，半径r222222其中DE4F0。

D2E24F，2（3）二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0，表示圆的方程的充要条件是：①、x2项y2项的系数相同且不为0，即AC0；22②、没有xy项，即B=0；③、DE4AF0。

（4）点M(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的关系的推断方法：1）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆外；2）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆上；3）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆内三、直线、圆的位置关系课标要求：1．能依据给定直线、圆的方程，推断直线与圆、圆与圆的位置关系；2．能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题；3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

数学人教版必修二圆的方程知识点

数学人教版必修二圆的方程知识点
数学人教版必修二中关于圆的方程的内容主要涉及以下几个知识点：
1. 圆的标准方程：圆的标准方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。

2. 圆的一般方程：圆的一般方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。

一般方程推导出标准方程的方法是完成平方并合并同类项。

3. 圆的参数方程：若圆的圆心为(a, b)，半径为r，则圆的参数方程为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中θ为参数。

4. 圆的切线方程：过圆上的一点M(x₁, y₁)的切线方程为xx₁ + yy₁ = r²，其中r为圆的半径。

5. 过圆心的直线方程：过圆心的直线方程为x/a + y/b = 1，其中a和b分别为圆心的横纵坐标。

6. 圆与直线的位置关系：可以利用圆的一般方程和直线的方程，通过解方程组来判断
圆与直线的位置关系。

以上是数学人教版必修二中有关圆的方程的主要知识点。

希望对你有所帮助！。

高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习知识讲解

第三节圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)；9．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：34(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋5 5－5典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心．由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)，则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y 0≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)，故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.[题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有： ①弄清集合代表的几何意义；②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围．针对训练若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14×⎝⎛⎭⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限，且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为 (x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2，且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ，则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2 即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根．故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫2552，解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋(±2)2＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |，又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2012·银川质检)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.7B ．2 2C ．3D. 2解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为42＝22，切线长的最小值为(22)2－1＝7.3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( )A.322B.62C ．1D ．2解析：选B 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝12.则r 2＝⎝⎛⎭⎫12|AB |2＋d 2＝32，r ＝62. 4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k ＜ 3.答案：(－3， 3)5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．典题导入[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能[自主解答] 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，所以点P (3,0)在圆内．故过点P 的直线l 定与圆C 相交． [答案] A本例中若直线l 为“x －y ＋4＝0”问题不变．解：∵圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4， ∴圆心(2,0)，r ＝2. 又圆心到直线的距离为d ＝62＝32＞2. ∴l 与C 相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k |k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．33B ．2 3 C. 3D ．1(2)(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1.故|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，整理得[(m ＋n )－2]2－8≥0，解得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1．圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．以题试法2．(2012·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3， 3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0解析：选B 如图，设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k2≤1，解得－33≤k ≤ 33.典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．(2)由题意可设两圆的方程为(x －r i )2＋(y －r i )2＝r 2i ，r i ＞0，i ＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i )2＋(1－r i )2＝r 2i ，整理得r 2i －10r i ＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r 1，r 2，所以r 1r 2＝17，r 1＋r 2＝10，则|C 1C 2|＝(r 1－r 2)2＋(r 1－r 2)2＝2×(r 1＋r 2)2－4r 1r 2＝2×100－68＝8. [答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．以题试法3．(2012·青岛二中月考)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：4[典例](2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0[尝试解题]过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.[答案] D——————[易错提醒]—————————————————————————1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.2.对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解.——————————————————————————————————————针对训练1．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为__________________．解析：显然x＝2为所求切线之一．当切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝02．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________．解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题1．(2012·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．2．(2012·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3.3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．5．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．(2012·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(2012·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝ 12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx－2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32. 11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k.1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x ＋y －5＝0 2302．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值； (3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)，将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2. (3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线．2．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知，问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43. 答案：43 3．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案：1或1774．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 2的半径为r 2，∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 因为圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为 |r 22－12|42＝ 4－⎝⎛⎭⎫2222＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。

必修二《圆与方程》

设点M ）到圆心距离为d，圆的半径为r，则点M与圆的位置关系如下：
位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
d与r的关系
d<r
d=r
d>r
另外：① 在圆内点在圆内
② 在圆上点在圆上
③ 在圆外点在圆外
5、直线与圆的位置关系：
直线 : 与圆的位置关系及判断：
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判
定
方
法
几何法：设圆心到直线的距离d=
d<r
d=r
d>r
代数法：由
消元得到一元二次方程的判别式
6、两圆的位置关系
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2， .
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；
外离外切相交内切内含
考点一：求圆心和半径
例1、已知下列圆的标准方程，求圆心和半径.
（1）、（2）、
（3）、（4）、
例2、已知下列圆的一般方程，求圆心和半径.（方法：配方）
（1）
（2）、
（3）、
练一练：
1、求下列圆的圆心和半径：
（1）、(x-3)2+y2=9（2）、
（3）（4）、x +y －2y－4=0
2、圆的周长是（）
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、
考点二：点与圆的位置关系
例1、若点（1,1）在圆的外部，求实数a的取值范围.
A、相切B、相交
C、相离D、内含
2、已知圆和点P（-5，4），点Q（4，-4），则P、Q两点（）
A、P在圆上，Q在圆外B、Q在圆上，P在圆外

必修二数学圆与方程知识点总结（精选3篇）

必修二数学圆与方程知识点总结（精选3篇）必修二数学圆与方程知识点总结篇11、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程，圆心，半径为r；(2)一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况:(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；(2)过圆外一点的切线:①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定.设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定.当时两圆外离，此时有公切线四条。

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条。

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线。

当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线。

当时，两圆内含；当时，为同心圆。

注意:已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线。

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。

数学集合的运算知识点运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B 的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).学数学的方法学习方法很多女生在学习数学的时候喜欢按部就班，注重基础，但是却很少做难题，所以便导致了解题能力薄弱。

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总

高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条外切ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条内切ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

高一数学必修二圆与方程知识点整理

圆及方程?学问点整理一、标准方程()()222x a y b r -+-=——关键是求出圆心(),a b 和半径r①待定系数：往往圆上三点坐标，例如教材119P 例2②利用平面几何性质往往涉及到直线及圆的位置关系，特殊是：相切和相交相切：利用到圆心及切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的间隔公式及垂径定理二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程那么 222200004040A B A B C C D E AF D E F A A A ⎧⎪=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 2.求圆的一般方程一般可采纳待定系数法：3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围三、圆系方程：四、参数方程：五、点及圆的位置关系1.推断方法：点到圆心的间隔 d 及半径r 的大小关系d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：〔1〕圆外一点B ，圆上一动点P ，探讨PB 的最值 min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+〔2〕圆内一点A ，圆上一动点P ，探讨PA 的最值min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+思索：过此A 点作最短的弦？〔此弦垂直AC 〕六、直线及圆的位置关系1.推断方法〔d 为圆心到直线的间隔〕〔1〕相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>〔2〕相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=〔3〕相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<这一学问点可以出如此题型：告知你直线及圆相交让你求有关参数的范围.〔1〕学问要点①根本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 及圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的间隔恰好等于半径r〔2〕常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及留意点．．．i 〕点在圆外如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特殊留意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x =〕点在圆上1）假设点()00x y ，在圆222x y r +=上，那么切线方程为200x x y y r +=会在选择题及填空题中运用，但肯定要看清题目.2）假设点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，那么切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--=遇到一般方程那么可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过肯定点求某圆的切线方程，特别重要的第一步就是——推断点及圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用根本图形，222AP CP r AP =-⇒=〔1〕求弦长及弦长的应用问题垂径定理．．．．及勾股定理——常用弦长公式：12l x =-=〔2〕推断直线及圆相交的一种特殊方法〔一种巧合〕：直线过定点，而定点恰好在圆内. 〔3〕关于点的个数问题例：假设圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的间隔为1，那么半径r 的取值范围是. 答案：()4,6会对直线及圆相离作出推断〔特殊是涉及一些参数时〕七、对称问题 ()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，那么实数m 的值为. 答案：3〔留意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去〕变式：点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上随意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，那么实数a =. ()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是.变式：圆1C ：()()22421x y -+-=及圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，那么直线l 的方程为.()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是.八、最值问题方法主要有三种：〔1〕数形结合；〔2〕代换；〔3〕参数方程x ，y 满意方程22410x y x +-+=，求：〔1〕5y x -的最大值和最小值；——看作斜率〔2〕y x -的最小值；——参数法；截距〔线性规划〕〔3〕22x y +的最大值和最小值.——两点间的间隔的平方AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，那么c 的取值范围是. 答案：1c ≥〔数形结合和参数方程两种方法均可！〕七、圆的参数方程 ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数八、相关应用240mx ny +-=〔m ，n R ∈〕，始终平分圆224240x y x y +---=的周长，那么m n ⋅的取值范围是.C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，假设存在，写出直线l 的方程，假设不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --=C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标. C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=〔m R ∈〕〔1〕证明：不管m 取什么值，直线l 及圆C 均有两个交点；〔2〕求其中弦长最短的直线方程.y x k =-+及曲线x =k 的取值范围.2260x y x y m ++-+=及直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，假设存在，求出m 的值；假设不存在，说明理由.九、圆及圆的位置关系1.推断方法：几何法〔d 为圆心距〕〔1〕12d r r >+⇔外离〔2〕12d r r =+⇔外切〔3〕1212r r d r r -<<+⇔相交〔4〕12d r r =-⇔内切〔5〕12d r r <-⇔内含圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，那么()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：假设1C 及2C 相切，那么表示其中一条公切线方程；假设1C 及2C 相离，那么表示连心线的中垂线方程.3圆系问题〔1〕过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=〔1λ≠-〕说明：1〕上述圆系不包括2C ；2〕当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程〔公共弦〕〔2〕过直线0Ax By C ++=及圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=〔3〕有关圆系的简洁应用〔4〕两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程〔1〕定义法〔圆的定义〕：略〔2〕干脆法：通过条件干脆得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析：222OP AP OA += 〔3〕相关点法〔平移转换法〕：一点随另一点的变动而变动 ↓ ↓动点主动点特点为：主动点肯定在某一的方程所表示的〔固定〕轨迹上运动.法2：〔参数法〕设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=，那么 223cos ,3sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设(),G x y ，那么()()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ⎧⎛⎫+++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎪===+++ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭===++⎪ ⎪⎝⎭⎩4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,122x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量〔即参数〕表示，通过消．参．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围. 〔4〕求轨迹方程常用到得学问①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ③内角平分线定理：BD AB CD AC= ④定比分点公式：AM MB λ=，那么1A B M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.。

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必修2 第四章圆与方程复习小结
一、知识点归纳
（一）．圆的两种方程
（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，表示_____________．
（2）圆的一般方程
022=++++F Ey Dx y x ．
①当D 2＋E 2
－4F ＞0时，方程 ② 表示（1）当0422>-+F E D 时，表示__________；：
②当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2
E y -=，即只表示_______； ③当0422<-+
F E D 时，方程_____________________________________________．综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆．
（二）．点00(,)M x y 与圆222
()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：
（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在_____；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在______；
（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在______．（三）．直线与圆的位置关系
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： #
（1）当r d >时，直线l 与圆C ______；（2）当r d =时，直线l 与圆C ________；
（3）当r d <时，直线l 与圆C ________．
（四）．圆与圆的位置关系
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C _______；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C ______；
（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C ____；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C ___；
（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C ______．
^
二、基本题型
题型一：求圆的方程
例1 ．求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．
$
【方法总结】求圆的方程有两种常用方法：直接法与待定系数法，根据条件若能方便求出圆的圆心与半径则宜用直接法，若有三个条件则选用待定系数法。

题型二：弦长、弧问题
例2、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.
*
变式练习：1、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为
2、求两圆0222=-+-+y x y x 和52
2=+y x 的公共弦长
题型三：圆的切线问题
例3 ．过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过
两切点的直线l 方程．
—
【方法总结】解答与圆的切线相关问题关键要抓住圆心到切线的距离等于半径。

变式练习：自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所
在直线与圆C ：x 2 + y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．
￥
题型四：直线与圆的位置关系
例4、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关
系.
变式练习：若直线m x y +=与曲线24x y -=
有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.
题型五：圆与圆的位置关系
例5、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:2
22=++-+y x y x C 的位置关系，
变式练习：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。

题型六：圆中的对称问题
…
例6、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是
题型七：与圆有关的动点轨迹问题
例7.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2
214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．
、
题型八：圆中的最值问题
例8：圆010442
2=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
>
【思想方法】
1.数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代数上的繁琐的运算．同时等价转化和．函数的思想也是常用的思想，如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决
2.数学方法: 圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程，已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式．
【自我检测】
1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值
依次为（）．
（A ）2、4、4；（B ）-2、4、4；（C ）2、-4、4；（D ）2、-4、-4
<
2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（）． (A)22 (B)4 (C)24 (D)2
3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（）．
(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a
4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（）． (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 5
5.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) ．
(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x
(
6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为（）．
(A) 1，-1 (B)2，-2 (C)1 （D ）-1
7.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）． (A) x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 33= （D ）x y 3
3-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（）．
(A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 （D ）(x+1)2+(y+1)2=4
9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是（）． (A) 6π (B)4π (C)3π （D ）2
π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与
该圆的位置关系是（）．
(A)相切 (B)相交 (C)相离（D ）相切或相交
11.已知圆0242
2=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB .求m 的值．
12.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．。