必修二圆与方程复习小结

必修2 第四章 圆与方程复习小结

一、知识点归纳

（一）．圆的两种方程

（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，表示_____________．

（2）圆的一般方程

022=++++F Ey Dx y x ．

①当D 2＋E 2

－4F ＞0时，方程 ② 表示（1）当0422>-+F E D 时，表示__________； ：

②当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2

E y -=，即只表示_______； ③当0422<-+

F E D 时，方程_____________________________________________． 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆．

（二）．点00(,)M x y 与圆222

()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：

（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在_____；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在______；

（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在______． （三）．直线与圆的位置关系

设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2

,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： #

（1）当r d >时，直线l 与圆C ______；（2）当r d =时，直线l 与圆C ________；

（3）当r d <时，直线l 与圆C ________．

（四）．圆与圆的位置关系

设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C _______；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C ______；

（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C ____；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C ___；

（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C ______．

^

二、基本题型

题型一：求圆的方程

例1 ．求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．

$

【方法总结】求圆的方程有两种常用方法：直接法与待定系数法，根据条件若能方便求出圆的圆心与半径则宜用直接法，若有三个条件则选用待定系数法。

题型二：弦长、弧问题

例2、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.

*

变式练习：1、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为

2、求两圆0222=-+-+y x y x 和52

2=+y x 的公共弦长

题型三：圆的切线问题

例3 ．过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过

两切点的直线l 方程．

—

【方法总结】解答与圆的切线相关问题关键要抓住圆心到切线的距离等于半径。

变式练习：自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所

在直线与圆C ：x 2 + y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．

￥

题型四：直线与圆的位置关系

例4、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关

系.

变式练习：若直线m x y +=与曲线24x y -=

有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.

题型五：圆与圆的位置关系

例5、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:2

22=++-+y x y x C 的位置关系，

变式练习：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。 题型六：圆中的对称问题

…

例6、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是

题型七：与圆有关的动点轨迹问题

例7.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2

214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．

、

题型八：圆中的最值问题

例8：圆010442

2=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是

>

【思想方法】

1.数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代数上的繁琐的运算．同时等价转化和．函数的思想也是常用的思想，如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决

2.数学方法: 圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程，已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式．

【自我检测】

1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值

依次为（ ）．

（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-4

<

2.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）． (A)22 (B)4 (C)24 (D)2

3.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）．

(A) 11<<-a (B) 10<-

4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）． (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 5

5.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) ．

(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x

(

6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为（ ）．

(A) 1，-1 (B)2，-2 (C)1 （D ）-1

7.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）． (A) x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 33= （D ）x y 3

3-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ ）．

(A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 （D ）(x+1)2+(y+1)2=4

9．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是（ ）． (A) 6π (B)4π (C)3π （D ）2

π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与

该圆的位置关系是（ ）．

(A)相切 (B)相交 (C)相离 （D ）相切或相交

11.已知圆0242

2=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB .求m 的值．