新高考数学模块二：一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练-(含答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识集锦(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识集锦单选题1、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a ，即{ba =−1ca=−2②． 将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3． 故选：A2、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ） A ．{x |x 〉1或x <−16}B ．{x |−16<x <1} C ．{x |x 〉1或x <−3}D ．{x |−3<x <2} 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1}．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．3、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（ ） A ．−2B ．0C ．1D ．2 答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案． 不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1， 则{−ba =−2+1−2a =−2×1，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D4、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围 设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可， 即a >f(3)=2，得a >2， 所以实数a 的取值范围为(2,+∞)， 故选：D5、若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ab<1B ．ba+ab>2C ．1ab2<1a 2bD ．a 2+a <b 2+b答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A ，B ，D ，对于C ，作出不等式两边的差即可判断作答. 取a =−2,b =−1，满足a <b ，而ab =2>1，A 不成立；取a =−2,b =1，满足a <b ，而ba +ab =−12+(−2)=−52<2，B 不成立； 因1ab 2−1a 2b =a−ba 2b 2<0，即有1ab 2<1a 2b ，C 成立；取a =−2,b =−1，满足a <b ，而a 2+a =2,b 2+b =0，即a 2+a >b 2+b ，D 不成立． 故选：C6、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ） A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100 答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x0.5>100． 故选：C. 7、不等式x−1x+2<0的解集为（ ）A ．{x|x >1}B ．{x|x <−2}C ．{x|−2<x <1}D ．{x|x >1或x <−2} 答案：C解析：由x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，进而可求出不等式的解集. 由题意，x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，解得−2<x <1， 所以不等式x−1x+2<0的解集为{x|−2<x <1}.故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题. 8、下列说法正确的为（ ） A ．x +1x ≥2 B ．函数y =2√x 2+3的最小值为4C ．若x >0,则x(2−x)最大值为1D．已知时，a+4a−3≥2√a⋅4a−3，当且仅当a=4a−3即a=4时，a+4a−3取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,y=2√x2+3=2√x2+3=2√x2+3√x2+3√x2+3=t(t≥√3)，即y=2t+2t (t≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min=2√3+√3=8√33,则B不正确；对于选项C,x(2−x)=−(x2−2x+1)+1=−(x−1)2+1≤1，则C正确；对于选项D,当时，a+4a−3=a−3+4a−3+3≥2√(a−3)⋅4a−3+3=7，当且仅当a−3=4a−3时，即a=5，等号成立，则D不正确.故选：C.多选题9、若a,b均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是（）A．ab的最大值为18B．1a +2b的最小值为9C．a2−b2的最小值为−13D．a2+b2的最小值为15答案：ABD分析：对于A，B，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C，D化成关于b的二次函数即可判断作答. 因a,b均为正数，且a+2b=1，则有ab=12⋅a⋅2b≤12⋅(a+2b2)2=18，当且仅当a=2b=12时取“=”，即ab的最大值为18，A正确；1 a +2b=(a+2b)(1a+2b)=5+(2ba+2ab)≥5+2√2ba⋅2ab=9，当且仅当a=b=13时取“=”，即1a+2b的最小值为9，B正确；3a>3a>显然0<b <12，a 2−b 2=(1−2b)2−b 2=3b 2−4b +1在b ∈(0,12)上单调递减，无最小值，C 不正确；a 2+b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15≥15，当且仅当b =25时取“=”，即a 2+b 2的最小值为15，D 正确. 故选：ABD10、已知a >0，b >0，则下列命题成立的有（ ） A ．若ab =1，则a 2+b 2≥2B ．若ab =1，则1a +1b ≥2 C ．若a +b =1，则a 2+b 2≤12D ．若a +b =1，则1a +1b ≥4 答案：ABD分析：利用基本不等式逐项判断.A.若ab =1，则a 2+b 2≥2ab =2，当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；B.若ab =1，则1a+1b ≥2√1ab=2当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；C.若a +b =1，则a 2+b 2≥12(a +b )2=12，当且仅当a =b =1时，等号成立，故错误； D.若a +b =1，则1a +1b =a+b ab=1ab ≥1(a+b 2)2=4，当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；故选：ABD11、（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．a +b √ab ≥3B ．(a +b )(1a +1b)≥4 C ．22√ab≥a +b D ．√a+b≥√ab答案：AD分析：A 选项，利用基本不等式a +b ≥2√ab 和2√ab +√ab≥2√2√ab √ab可得出该不等式的正误；B 选项，将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C 选项，利用基本不等式a 2+b 2≥(a+b )22以及√ab ≤a+b 2可验证该选项中的不等式是否成立；D 选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否成立.对于A ，a +b √ab≥2√ab +√ab≥2√2<3，当且仅当a =b =√22时等号同时成立；对于B ，(a +b )(1a +1b)=2+a b +b a ≥2+2√a b ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号； 对于C ，22√ab≥22√ab≥(a+b )2a+b=a +b ，当且仅当a =b 时取等号； 对于D ，当a =12，b =13时，√a+b=13√6=√215，√ab =√16，√16>√215，所以√a+b<√ab .故选AD.小提示：本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题. 12、下列命题不正确的（ ）A ．1a <1b <0⇒|a|>|b|B ．ac >bc ⇒a >bC ．a 3>b 3ab >0}⇒1a <1bD ．a 2>b 2ab >0}⇒1a <1b 答案：ABD分析：利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.A ：∵1a <1b <0∴ab >0且−1a >−1b >0，因此−1a ⋅ab >−1b ⋅ab >0⋅ab ， 即−b >−a >0⇒|−b |>|−a |>0⇒|b |>|a |，故本命题不正确； B ：因为4−2>8−2，显然4>8不成立，所以本命题不正确；C ：由a 3>b 3⇒a 3−b 3=(a −b)(a 2+ab +b 2)>0，而ab >0， 所以有a >b ，而1a −1b =b−a ab<0⇒1a <1b ，故本命题正确；D ：若a =−2,b =−1，显然{a 2>b 2ab >0成立，但是1−2<1−1不成立，故本命题不正确，故选：ABD小提示：方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法. 13、已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -c B ．若a >b ，c >d 则ac >bd C ．若ab >0，bc -ad >0，则ca >db D ．若a >b ，c >d >0，则ad >bc答案：AC分析：根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案. 解：由不等式性质逐项分析：A 选项：由c >d ，故−c <−d ，根据不等式同向相加的原则a −d >b −c ，故A 正确B 选项：若a >0>b ，0>c >d 则ac <bd ，故B 错误；C 选项：ab >0，bc −ad >0，则bc−ad ab>0，化简得c a−db>0，故C 正确；D 选项：a =−1，b =−2，c =2，d =1则ad =bc =−1，故D 错误. 故选：AC 填空题 14、函数f(x)=√ax 2+3ax+1的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．答案：[0,49)分析：由题知不等式ax 2+3ax +1>0恒成立，进而分a =0和a ≠0两种情况讨论求解即可. 解：因为函数f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2+3ax +1>0恒成立．所以，当a =0时，不等式等价于1>0，显然恒成立；当a ≠0时，则有{a >0Δ<0，即{a >09a 2−4a <0，解得0<a <49.综上，实数a 的取值范围为[0,49).故答案为: [0,49)15、方程x 2−(2−a )x +5−a =0的两根都大于2，则实数 a 的取值范围是_____． 答案：−5<a ≤−4分析：根据一元二次方程根的分布即可求解.解：由题意，方程x 2－(2－a)x +5－a =0的两根都大于 2， 令f (x )=x 2－(2－a)x +5－a ，可得{△≥0f(2)>02−a 2>2，即{a2≥16a+5>02−a>4，解得－5<a≤－4．所以答案是：−5<a≤−4.16、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为___________.答案：10≤V≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V−10，第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10V×8，由题意可知：V−10−V−10V×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40，所以答案是：10≤V≤40解答题17、解关于x的不等式：x2−(3a−1)x+2a2−2a>0．答案：见解析分析：根据条件得[x−(a−1)](x−2a)>0，讨论a−1与2a的大小,求解即可.原不等式可化为[x−(a−1)](x−2a)>0，讨论a−1与2a的大小．（1）当a−1>2a，即a<−1时，不等式的解为{x|x〉a−1或x<2a}；（2）当a−1=2a，即a=−1时，不等式的解为{x∈R|x≠−2}；（3）当a−1<2a，即a>−1时，不等式的解为{x|x〉2a或x<a−1}.综上：当a<−1时，不等式的解为{x|x〉a−1或x<2a}；当a=−1时，不等式的解为{x∈R|x≠−2}；当a>−1时，不等式的解为{x|x〉2a或x<a−1}.18、已知关于x的不等式mx2+5x+m<0，m∈R．（1）若m =2，则求上述不等式的解集；（2）若上述不等式对一切x ∈R 恒成立，则求m 的取值范围． 答案：（1）(−2,−12)；（2）m <−52．分析：（1）代入参数，解一元二次不等式求解集即可；（2）由不等式在x ∈R 上恒成立，讨论m =0、m ≠0，结合二次函数的性质求m 的范围． （1）将m =2代入不等式，得：2x 2+5x +2<0，即(2x +1)(x +2)<0，得−2<x <−12， ∴不等式的解集为(−2,−12)；（2）∀x ∈R,mx 2+5x +m <0恒成立，1）当m =0时，有5x <0，显然不恒成立，舍去；2）当m ≠0时，由二次函数的性质得：{m <0Δ=25−4m 2<0，解得m <−52； ∴综上，有m <−52.。
(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、设实数x 满足x >0，函数y =2+3x +4x+1的最小值为（ ） A ．4√3−1B ．4√3+2C ．4√2+1D ．6 答案：A解析：将函数变形为y =3(x +1)+4x+1−1，再根据基本不等式求解即可得答案. 解：由题意x >0，所以x +1>0，所以y =2+3x +4x+1=2+3(x +1)−3+4x+1=3(x +1)+4x+1−1≥2√3(x +1)⋅4x+1−1=4√3−1， 当且仅当3(x +1)=4x+1，即x =2√33−1>0时等号成立，所以函数y =2+3x +4x+1的最小值为4√3−1.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2 C ．a −b +1a−b≥2D ．1a−1<1b−1答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.3、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√2+1D ．√2+12答案：D分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出x+√xy x+y的最大值，设√yx =t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求x+√xy x+y的最大值即可，x+√xy x+y=1+√yx 1+y x，设√yx =t(t >0)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t2，再设1+t =m(m >1)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t2=m1+(m−1)2=mm 2−2m+2=1m+2m−2≤2√m⋅2m−2=2√2−2=√2+12，当且仅当m =2m ⇒√yx =√2−1时取得“=”.所以a ≥√2+12，即实数a 的最小值为√2+12. 故选：D.4、若关于x的不等式x2−6x+11−a<0在区间(2,5)内有解，则实数a的取值范围是（）A．(−2,+∞)B．(3,+∞)C．(6,+∞)D．(2,+∞)答案：D分析：设f(x)=x2−6x+11，由题意可得a>f(x)min，从而可求出实数a的取值范围设f(x)=x2−6x+11，开口向上，对称轴为直线x=3，所以要使不等式x2−6x+11−a<0在区间(2，5)内有解，只要a>f(x)min即可，即a>f(3)=2，得a>2，所以实数a的取值范围为(2,+∞)，故选：D5、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．6、已知a>0,b>0,a+b=1，则y=1a +3b的最小值是（）A．7B．2+√3C．4D．4+2√3答案：D分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果. 因为a>0,b>0,a+b=1，所以y =1a +3b =(a +b )(1a +3b )=4+b a +3a b≥4+2√b a⋅3a b=4+2√3，当且仅当ba =3a b即b =√3a 时，等号成立.结合a +b =1可知，当a =√3−12,b =3−√32时，y 有最小值4+2√3.故选：D.7、已知y =(x −m )(x −n )+2022(n >m )，且α,β(α<β)是方程y =0的两实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（ ）A ．α<m <n <βB ．m <α<n <βC ．m <α<β<nD ．α<m <β<n 答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y =0的两实数根，∴α，β为函数y =(x −m )(x −n )+2022的图像与x 轴交点的横坐标， 令y 1=(x −m )(x −n )，∴m ，n 为函数y 1=(x −m )(x −n )的图像与x 轴交点的横坐标，易知函数y =(x −m )(x −n )+2022的图像可由y 1=(x −m )(x −n )的图像向上平移2022个单位长度得到， 所以m <α<β<n . 故选:C.8、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1答案：A分析：由已知得， a =2−1b代入得2ab +1a=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案.解：因为a +1b =2，所以a =2−1b >0，所以0<b <2 ， 所以2ab +1a =2(2−1b )b +b2b−1=2(2b −1)+b2b−1， 令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t+12≥2√2t ⋅12t+12=52，当且仅当2t =12t，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a的最小值是52.故选：A.9、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（ ）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6， 则2+6=−2b a，2×6=−ca，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0， 整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0， 解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞). 故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解.10、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ） A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞) 答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A 填空题11、已知x >54，则函数y =4x +14x−5的最小值为_______. 答案：7分析：由x >54，得4x −5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.法一：∵x >54，∴4x −5>0， y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7，当且仅当4x −5=14x−5，即x =32时等号成立， 所以答案是：7.法二：∵x >54，令y ′=4−4(4x−5)2=0得x =1或x =32，当54<x <32时y′<0函数单调递减， 当x >32时y′>0函数单调递增，所以当x =32时函数取得最小值为：4×32+14×32−5=7，所以答案是：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.12、设x >0, y >0, x +2y =5，则√xy的最小值为______.答案：4√3分析：把分子展开化为2xy +6，再利用基本不等式求最值．∵√xy=√xy,∵x >0, y >0, x +2y =5,xy >0,∴√xy≥√3√xy √xy=4√3，当且仅当xy =3，即x =3,y =1时成立， 故所求的最小值为4√3．小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．13、已知a >b >0，那么当代数式a 2+4b (a−b )取最小值时，点P (a,b )的坐标为______ 答案：(2,1)分析：根据题意有b(a −b)≤(b+a−b 2)2，当且仅当b =a −b ，即a =2b 时取等号，所以a 2+4b (a−b )≥a 2+16a 2≥16，结合a >b >0以及两个不等式等号成立的条件可求出a,b 的值，从而可求得答案 解：由a >b >0，得a −b >0，所以b(a −b)≤(b+a−b 2)2=a 24，当且仅当b =a −b ，即a =2b 时取等号，所以a 2+4b (a−b )≥a 2+16a 2≥16，其中第一个不等式等号成立的条件为a =2b ，第二个不等式等号成立的条件为a 2=16a 2，所以当a 2+4b (a−b )取最小值时，{a 2=16a 2a =2b a >b >0，解得{a =2b =1所以点P (a,b )的坐标为(2,1)， 所以答案是：(2,1)小提示：关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，解题的关键是多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件，考查计算能力，属于中档题 14、函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是_____ 答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值. 因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3， 当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立.所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3. 所以答案是：3+2√3.15、已知x >0，则7−x −9x 的最大值为________． 答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x >0，则7−x −9x =7−(x +9x )≤7−2√x ⋅9x =1， 当且仅当x =9x 即x =3时取等号． 所以答案是：1 解答题16、设a ∈R ，关于x 的二次不等式ax 2−2x −2a >0的解集为A ，集合B ={x |1<x <2 }，满足A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围. 答案：(−∞,−2)∪(2,+∞)分析：由题意a ≠0，求出方程ax 2−2x −2a =0的两根，讨论a 的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案.解：由题意a≠0，令ax2−2x−2a=0，解得两根为x1=1a −√2+1a2,x2=1a+√2+1a2，由此可知x1<0,x2>0，当a>0时，解集A={x|x<x1}∪{x|x>x2}，因为x1<0,x2>1，所以A∩B≠∅的充要条件是x2<2，即1a+√2+1a2<2，解得a>2；当a<0时，解集A={x|x1<x<x2}，因为x1<0,x2<2，所以A∩B≠∅的充要条件是x2>1，即1a+√2+1a2>1，解得a<−2；综上，实数a的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞).17、已知不等式ax2+(1−a)x+a−1<0．(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式对a∈[0,12]恒成立，求实数x的取值范围．答案：(1)(−∞，−13)；(2)(−1−√52，−1+√52)．分析：（1）根据一元二次不等式的解集为全体实数的条件可得Δ<0，a<0，从而解出a的范围即可．（2）化简整理为关于a的一次函数再分析．构造函数g(a)利用{g(0)<0g(12)<0，解不等式组．（1）当a=0时，不等式为x−1<0，解得x<1，显然不符合题意；当a≠0时，由已知，得{a<0(1−a)2−4a(a−1)<0即{a<03a2−2a−1>0，解得a<−13,综上，实数a的取值范围为(−∞，−13)．（2）原不等式可化为(x 2−x +1)a +x −1<0， 设g （a ）=(x 2−x +1)a +x −1， 由题意，当a ∈[0，12]，g(a)<0 恒成立，所以{g(0)<0g(12)<0，即{x −1<012(x 2−x +1)+x −1<0,解得−1−√52<x <−1+√52，所以实数x 的取值范围为(−1−√52，−1+√52)．18、若函数y =3x 2−5x +a 的两个零点分别为x 1,x 2，且有−2<x 1<0,1<x 2<3，试求出a 的取值范围． 答案：−12<a <0.分析：根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围． 令f (x )=3x 2−5x +a ，则{f(−2)>0f(0)<0f(1)<0f(3)>0 得a 的取值范围是−12<a <0．故实数a 的取值范围为−12<a <0.小提示：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．19、解关于x 的不等式ax 2+(a -1)x -1≤0． 答案：答案见解析分析：解含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论、借助一元二次函数进行求解. 因为ax 2+(a -1)x -1≤0，即(ax -1)(x +1)≤0， 当a =0时，则-x -1≤0，即x ≥-1； 当a >0时，则-1≤x ≤1a ；当a<0时，①当-1<a<0时，则x≤1或x≥-1；a②当a=-1时，则(x+1)2≥0，即x∈R；；③当a<-1时，则x≤-1或x≥1a综上，当a=0时，不等式的解集为{x|x≥-1}；}；当a>0时，不等式的解集为{x|-1≤x≤1a或x≥-1}；当-1<a<0时，不等式的解集为{x|x≤1a当a=-1时，不等式的解集为R；当a<-1时，不等式的解集为{x|x≥1或x≤-1}.a。
必修一第二章-一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练-(含答案)
~第二章 一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案)【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式） 一、不等式1.定义 不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子.2..不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：性质1 对称性：a b b a >⇔<；】性质2 传递性：,a b b c a c >>⇒>；性质3 加法法则（同向不等式可加性）：()a b a c b c c R >⇔+>+∈； 性质4 乘法法则：若a b >，则000c ac bc c ac bc c ac bc ，，.>⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩补充：除法法则：若a b >且0c =，则00a bc c ca b c c c⎧>⇒>⎪⎪⎨⎪<⇒<⎪⎩.， 性质5 可加法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+； 性质6 可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅>； 性质7 可乘方性：()*00n n a b n a b N >>∈⇒>>；可开方性：()01a b n n N 且+>>∈>⇒！要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法 作差法：1. 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0a b a b ->⇔>； ②0a b a b -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=. 作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1a a b b >⇔>； ②1a a b b <⇔<； ③1aa bb =⇔=. &要点诠释：若代数式a 、b 都为负数，也可以用作商法. 中间量法：若两个代数式a 、b 不容易直接判断大小，可引入第三个量c 分别与a 、b 作比较，若满足a b >且b c >，则a c >. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：24b ac ∆=-0∆>&0∆=0∆<函数()y f x = 的图象方程()=0f x？的解有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根 122bx x a ==-无实根不等式()0f x >的解集 [{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R不等式()0f x <的解集{}12x xx x <<∅ ∅}要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 四、解一元二次不等式1. 解一元二次不等式()2ax +bx+c a ≠>00的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：%①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根122bx x a==-； ③0∆<时，方程无解（3）根据不等式，写出解集. 五、基本不等式1.对公式222a b ab +≥及2a b+≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”.~2.由公式222a b ab +≥和2a b+≥①2b aa b +≥（,a b 同号）； ②2b aa b+≤-（,a b 异号）；③20,0)112a b a b a b+≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.2a b+≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；>② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：1．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.2．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值./【典型例题】类型一 不等式性质/例1．对于实数a b c ，，判断以下说法的对错.（1）若a b >，则ac bc <； （2）若22ac bc >，则a b >； （3）若0a b <<， 则22a ab b >>； （4）若0a b <<， 则a b >； （5）若a b >，1a >1b， 则00a b ，><． 举一反三：【变式1】如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．B ．a+c ＜b+cC ．a ﹣c ＞b ﹣cD ．a •c ＜b •c 例2、比较下列两代数式的大小：。
必修一第二章 一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练 (含答案)
第二章 一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案)【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式） 一、不等式1.定义 不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子.2..不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：性质1 对称性：a b b a >⇔<； 性质2 传递性：,a b b c a c >>⇒>；性质3 加法法则（同向不等式可加性）：()a b a c b c c R >⇔+>+∈； 性质4 乘法法则：若a b >，则000c ac bc c ac bc c ac bc ，，.>⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩补充：除法法则：若a b >且0c =，则00a bc c ca b c c c⎧>⇒>⎪⎪⎨⎪<⇒<⎪⎩.， 性质5 可加法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+； 性质6 可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅>； 性质7 可乘方性：()*00n n a b n a b N >>∈⇒>>；可开方性：()01a b n n N 且+>>∈>⇒要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法 作差法：1. 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0a b a b ->⇔>； ②0a b a b -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=. 作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1a a b b >⇔>； ②1a a b b <⇔<； ③1aa bb =⇔=. 要点诠释：若代数式a 、b 都为负数，也可以用作商法. 中间量法：若两个代数式a 、b 不容易直接判断大小，可引入第三个量c 分别与a 、b 作比较，若满足a b >且b c >，则a c >. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：24b ac ∆=-0∆>0∆=0∆<函数()y f x = 的图象方程()=0f x的解 有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根 122bx x a ==-无实根不等式()0f x >的解集 {}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R不等式()0f x <的解集{}12x xx x <<∅ ∅要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 四、解一元二次不等式1. 解一元二次不等式()2ax +bx+c a ≠>00的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根122bx x a==-； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.五、基本不等式 1.对公式222a b ab +≥及2a b+≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”. 2.由公式222a b ab +≥和2a b+≥ ①2b aa b +≥（,a b 同号）； ②2b aa b+≤-（,a b 异号）；③20,0)112a b a b a b+≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.2a b+≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：1．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.2．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值.【典型例题】类型一 不等式性质例1．对于实数a b c ，，判断以下说法的对错.（1）若a b >，则ac bc <； （2）若22ac bc >，则a b >； （3）若0a b <<， 则22a ab b >>； （4）若0a b <<， 则a b >； （5）若a b >，1a >1b， 则00a b ，><． 举一反三：【变式1】如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．B ．a+c ＜b+cC ．a ﹣c ＞b ﹣cD ．a •c ＜b •c 例2、比较下列两代数式的大小：（1）(5)(9)x x ++与2(7)x +；举一反三：【变式1】比较22x x +与2x +的大小【变式2】已知0a b >>，则2222a b a b -+ _________a ba b-+ （填,,><=）类型二 解二次不等式例3. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+->举一反三：【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩解不等式f (x )＞3.【变式2】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3} 【变式3】下列选项中，使不等式x ＜1x ＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)例4． 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键. 举一反三：【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________.【变式2】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求x 的不等式210bx ax ++>的解集.【变式3】 若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 . 【变式4】 已知关于x 的不等式x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－1或x >2}，则b 2＋c 2＝( )A ．5B ．4C ．1D ．2例5.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（ ）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立 故x +1x −2≥0，有最小值0故选：B2、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ）A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.3、若不等式(ax −2)(|x |−b )≥0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则（ ）A ．a >0，ab =12B ． a >0，ab =2C ．a >0，a =2bD ．a >0，b =2a答案：B分析：由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a)(|x |−b )≥0，当b ≤0时，不满足题意，故b >0，再由二次函数的性质即可求解 由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a )(|x |−b )≥0，当b ≤0时，显然不满足题意，故b >0，由二次函数的性质可知，此时必有2a =b ，即ab =2，故选：B4、已知正数x ，y 满足2x+3y +13x+y =1，则x +y 的最小值（ ）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解.令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )，∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34，当且仅当m 4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A.5、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可.不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−b a(−12)⋅13=2a，解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A6、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B7、要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{a |−1<a <2}B ．{a |−2<a <1}C ．{a |a <−2}D ．{a |a >1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.由题意可得1+(a 2−1)+a −2=a 2+a −2<0，解得−2<a <1.故选：B.8、不等式1+x 1−x ≥0的解集为（ ）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，解得−1≤x <1，故不等式的解集为{x|−1≤x <1}， 23,21<<-<<-a b故选：D ．多选题9、已知a >b ⩾2，则（ ）A ．b 2<3b −aB ．a 3+b 3>a 2b +ab 2C ．ab >a +bD ．12+2ab >1a +1b 答案：BC解析：根据不等式的性质，逐一判断即可．解：a >b ⩾2，A 错误，比如a =3，b =2，4>3不成立；B ，a 3+b 3−(a 2b +ab 2)=a 2(a −b)−b 2(a −b)=(a −b)2(a +b)>0成立；C ，由ab −a −b =a(b −1)−b =(b −1)(a −b b−1)=(b −1)[a −(1+1b−1)]>0，故C 成立， D ，12+2ab −1a −1b =(a−2)(b−2)2ab ⩾0，故D 不成立，故选:BC . 小提示：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．10、若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 2<aC ．若a >b >0且c >0，则b+c a+c >b aD ．a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A ，当a <0<b 时，结论不成立，故A 错误；对于B ，a 2<a 等价于a (a −1)<0，又0<a <1，故成立，故B 正确；对于C ，因为a >b >0且c >0，所以b+c a+c >b a 等价于ab +ac >ab +bc ，即(a −b )c >0，成立，故C 正确； 对于D ，a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)等价于(a −1)2+(b +2)2≥0，成立，故D 正确.故选：BCD. 0ab11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.12、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，则下列结论正确的是（）A．a>0B．b>0C．c>0D．a+b+c>0答案：BCD分析：对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及b>0，即可求解.解：对A，∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，即a<0，故A错误；对B，C，由题意知：2和−12是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根，则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba=2+(−12)=32>0，又∵a<0，故b>0,c>0，故B，C正确；对D，∵ca=−1，∴a+c=0，又∵b>0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.13、某辆汽车以xkm/ℎ的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x −k +4500x )L ，其中k 为常数．若汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的值可为（ ） A ．60B ．80C ．100D ．120答案：ABC解析：先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后根据题意“油耗不超过9L ”列不等式，解不等式求得x 的取值范围.由汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，∴15(120−k +4500120)=11.5，解得：k =100，故每小时油耗为15(x +4500x )−20， 由题意得15(x +4500x )−20≤9，解得：45≤x ≤100，又60≤x ≤120，故60≤x ≤100，所以速度x 的取值范围为[60,100].故选：ABC小提示：关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题. 填空题14、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示） 答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论．2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3解得{m =−12n =52，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)， 又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3，−2≤−12(x +y )≤12,5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8，所以答案是：[3,8]．15、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______．答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解.解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4，解得{m =−1n =2， 所以3x −4y =−(x +2y)+2(2x −y)，因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0，所以−7≤3x −4y ≤2，所以答案是：[−7,2].16、已知三个不等式：①ab >0，②c a >d b ，③bc >ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ； {c a >d b bc >ad ⇒{bc−ad ab >0bc >ad ⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.解答题17、销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P =at t+1；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q =bt ．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元（1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．答案：（1）y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．分析：（1）由题意得y =ax x+1+b(3−x)，代入数值计算即可求出结果；（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3−x 万元，由题意知：y =P +Q =ax x+1+b(3−x)，当x =3时，f(x)=94，当x =0时，f(x)=1， 则{3a 4=94,3b =1,解得a =3,b =13， 则y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3． （2）由（1）可得f(x)=3x x+1+13(3−x)=3(x+1)−3x+1+1−13x =133−[3x+1+13(x +1)]≤133−2√3x+1⋅x+13=73，当且仅当x =2时取等号，故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．18、已知函数f (x )=x 2+ax −2，f (x )>0的解集为{x |x <−1或x >b }．(1)求实数a 、b 的值；(2)若x ∈(0,+∞)时，求函数g (x )=f (x )+4x 的最小值．答案：(1)a =−1，b =2(2)2√2−1分析：（1）分析可知−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得g (x )=x +2x −1，利用基本不等式可求得g (x )在(0,+∞)上的最小值.（1）解：因为关于x 的不等式x 2+ax −2>0的解集为{x |x <−1或x >b }，所以，−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，所以，{1−a −2=0−1⋅b =−2，解得{a =−1b =2.（2）解：由题意知g(x)=f(x)+4x =x2−x+2x=x+2x−1，因为x>0，由基本不等式可得g(x)=x+2x −1≥2√x⋅2x−1=2√2−1，当且仅当x=2x时，即x=√2时，等号成立故函数g(x)的最小值为2√2−1.。
(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考考点训练
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考考点训练单选题1、下列说法正确的为（）A．x+1x≥2B．函数y=2√x2+3的最小值为4C．若x>0,则x(2−x)最大值为1D．已知a>3时，a+4a−3≥2√a⋅4a−3，当且仅当a=4a−3即a=4时，a+4a−3取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,y=2√x2+32√x2+3=2√x2+3√x2+3，令√x2+3=t(t≥√3)，即y=2t+2t (t≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min=2√3√3=8√33,则B不正确；对于选项C,x(2−x)=−(x2−2x+1)+1=−(x−1)2+1≤1，则C正确；对于选项D,当a>3时，a+4a−3=a−3+4a−3+3≥2√(a−3)⋅4a−3+3=7，当且仅当a−3=4a−3时，即a=5，等号成立，则D不正确. 故选：C.2、若实数a 、b 满足a >b >0，下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a +b >2√ab B ．a +b <2√ab C ．a2+2b >2√ab D ．a2+2b <2√ab 答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为a >b >0，则a +b −2√ab =(√a −√b)2>0，故a +b >2√ab ，A 对B 错；a2+2b −2√ab =a2+2b −2√a2⋅2b =(√a2−√2b)2≥0，即a2+2b ≥2√ab ， 当且仅当a 2=2b 时，即当a =4b 时，等号成立，CD 都错. 故选：A.3、已知正实数a,b 满足4a+b+1b+1=1，则a +2b 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 答案：B分析：令a +2b =a +b +b +1−1，用a +b +b +1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可. 因为4a+b +1b+1=1，且a,b 为正实数 所以a +b +b +1=(a +b +b +1)(4a+b+1b+1)=4+a+b b+1+4(b+1)a+b+1≥5+2√a+b b+1×4(b+1)a+b=9，当且仅当a+b b+1=4(b+1)a+b即a =b +2时等号成立.所以a +2b +1≥9,a +2b ≥8. 故选：B.4、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果.因为正实数x,y满足x+y=2，则1x +9y+1=13(1x+9y+1)[x+(y+1)]=13(10+y+1x+9xy+1)≥13(10+2√y+1x⋅9xy+1)=163，当且仅当y+1x =9xy+1，即x=34,y=54时，等号成立.故选：A．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5、已知关于x的不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0(a>0,b>0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（）A．2a+b=1B．ab的最大值为18C．1a +2b的最小值为4D．1a+1b的最小值为3+2√2答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)，可得2a+3m>0，且方程(2a+3m)x2−(b−3m)x−1=0的两根为−1和12，所以{−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥2√2ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a +2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba⋅4ab=4+4=8，当且仅当ba =4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a +1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+√2，当且仅当ba =2ab时，即b=√2a时，等号成立，所以1a +1b的最小值为3+2√2，所以D正确．故选：C．6、若关于x的不等式x2−6x+11−a<0在区间(2,5)内有解，则实数a的取值范围是（）A．(−2,+∞)B．(3,+∞)C．(6,+∞)D．(2,+∞)答案：D分析：设f(x)=x2−6x+11，由题意可得a>f(x)min，从而可求出实数a的取值范围设f(x)=x2−6x+11，开口向上，对称轴为直线x=3，所以要使不等式x2−6x+11−a<0在区间(2，5)内有解，只要a>f(x)min即可，即a>f(3)=2，得a>2，所以实数a的取值范围为(2,+∞)，故选：D7、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>bB．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可. 对于A ，若c <0，由ac >bc 可得：a <b ，A 错误；对于B ，若c =0，则ac =bc =0，此时a =b 未必成立，B 错误； 对于C ，当a >0>b 时，1a >0>1b ，C 错误；对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确. 故选：D.8、已知集合M ={x |−4<x <2 }，N ={x |x 2−x −6 <0}，则M ∩N = A ．{x |−4<x < 3}B ．{x |−4<x < −2}C ．{x |−2<x < 2}D ．{x |2<x < 3} 答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M ={x |−4<x <2 },N ={x |−2<x <3 }，则 M ∩N ={x |−2<x <2 }．故选C ．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 9、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b =2，所以a =2−1b >0，所以0<b <2 ， 所以2ab +1a =2(2−1b )b +b2b−1=2(2b −1)+b2b−1，令2b−1=t，则b=t+12，且−1<t<3，所以2ab+1a =2t+t+12t=2t+12t+12≥2√2t⋅12t+12=52，当且仅当2t=12t，即t=12，b=34,a=23时，取等号，所以2ab+1a 的最小值是52.故选：A.10、前后两个不等式解集相同的有（）①x+52x−1≥0与(2x−1)(x+5)≥0②x+52x−1>0与(2x−1)(x+5)＞0③x2(2x−1)(x+5)≥0与(2x−1)(x+5)≥0④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0A．①②B．②④C．①③D．③④答案：B分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于①，由x+52x−1≥0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)≥0，解得：x>12或x≤−5.(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故①不正确；对于②，由x+52x−1>0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)>0，解得：x>12或x<−5.(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故②正确；对于③，x2(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x=0或x≤−5或x≥12}，(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故③不正确；对于④，x2(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x<−5或x>12}，(2x −1)(x +5)>0的解集为：{x |x >12或x <−5}，故④正确；故选：B. 填空题11、已知正实数x ，y 满足：x 2+xy +2x y=2，则3x +2y +2y的最小值为_________．答案：4√2分析：根据x 2+xy +2x y=2，可得(x +y)(x +2y )=4，再令{x +y =mx +2y=4m ，再利用基本不等式即可得出答案.解：因为x 2+xy +2x y=2，所以x 2+xy +2x y +2=4，所以x(x +y)+2y (x +y)=4， 所以(x +y)(x +2y )=4， 令{x +y =m x +2y=4m，则3x +2y +2y =2(x +y)+(x +2y )=2m +4m ≥2√2m ⋅4m =2√8=4√2， 当且仅当2m =4m 即m =√2时取等号， 所以3x +2y +2y 的最小值为4√2. 所以答案是：4√2.12、已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是_______． 答案：(−4,2)分析：由基本不等式求得x +2y 的最小值，然后解相应的不等式可得m 的范围． ∵x >0，y >0，且2x +1y =1，∴x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4+xy+4yx≥4+2√xy×4yx=8，当且仅当xy =4yx，即x=4,y=2时等号成立，∴x+2y的最小值为8，由m2+2m<8解得−4<m<2，∴实数m的取值范围是(−4,2)所以答案是：(−4,2)．小提示：方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得x+2y的最小值min，第二步是解不等式m2+2m<min．13、设a>0，b>0，且5ab+b2=1，则a+b的最小值为___________.答案：45分析：由5ab+b2=1得到a，再将a+b化为积为定值的形式，根据基本不等式可求得结果.因为5ab+b2=1，所以a=1−b25b =15b−b5，所以a+b=15b −b5+b=15b+4b5≥2√15b⋅4b5=45，当且仅当a=310，b=12时，等号成立，所以a+b的最小值为45.所以答案是：45小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14、不等式ax2+x+1>0的解集为(m,1)，则m=__________．答案：−12##−0.5分析：利用一元二次方程根与系数的关系可求得m 的值.由已知，关于x 的二次方程ax 2+x +1=0的两根分别为m 、1，且a <0， 所以，{a +2=01⋅m =1a，解得{a =−2m =−12.所以答案是：−12.15、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______． 答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解. 解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4 ，解得{m =−1n =2，所以3x −4y =−(x +2y)+ 2(2x −y)， 因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0， 所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0， 所以−7≤3x −4y ≤2， 所以答案是：[−7,2]. 解答题16、设函数f (x )=mx 2−mx −1．（1）若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； （2）解不等式f (x )<(m −1)x 2+2x −2m −1． 答案：（1）(−4,0]；（2）答案见解析．分析：（1）分别在m =0和m ≠0两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果； （2）将不等式整理为(x −m )(x −2)<0，分别在m <2，m >2和m =2三种情况下求得结果. （1）由f (x )<0知：mx 2−mx −1<0，当m=0时，−1<0，满足题意；当m≠0时，则{m<0Δ=m2+4m<0，解得：−4<m<0；综上所述：m的取值范围为(−4,0]．（2）由f(x)<(m−1)x2+2x−2m−1得mx2−mx−1−mx2+x2−2x+2m+1<0，即x2−(m+2)x+2m<0，即(x−m)(x−2)<0；当m<2时，解得：m<x<2；当m>2时，解得2<x<m；当m=2时，解集为∅．综上所述：当m<2时，解集为(m,2)；当m>2时，解集为(2,m)；当m=2时，解集为∅．17、若0<a<b，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.（1）a+1b <b+1a；（2）a2+1a2≥a+1a；（3）a 2b +b2a>a+b.答案：（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析；（3）正确，证明见解析. 解析：(1)作差分解因式，即可得出答案；(2)作差分解因式，即可得出答案；(3)用基本不等式，即可得出答案.（1）正确a+1b −b−1a=(a−b)(1+1ab)<0（2）正确a2+1a2−(a+1a)=(a+1a)2−(a+1a)−2=(a+1a−2)(a+1a+1)≥0（3）正确a 2b +b>2a,b2a+a>2b∴a2b+b2a+a+b>2a+2b∴a2b+b2a>a+b小提示：本题考查证明不等式，一般采用作差法、作商法、基本不等式，属于容易题.18、（1）已知x>1，求4x+1+1x−1的最小值；（2）已知0<x<1，求x(4−3x)的最大值．答案：（1）9；（2）43． 分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可.（1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9，当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号， 所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43， 当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号， 故x (4−3x )的最大值为43．19、设函数f(x)=ax 2+(b −2)x +3.（1）若不等式f (x )>0的解集为(−1,1)，求实数a,b 的值；（2）若f (1)=0，且存在x ∈R ，使f (x )>4成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）{a =−3b =2；（2）(−∞,−9)∪(−1,+∞). 解析：（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得a,b ；（2）由f (1)=0得b =−a −1，问题可转化为存在x ∈R ，使得ax 2−(a +3)x −1>0成立.，a ≥0不等式可以成立，a <0时由二次不等式有解可得a 的范围．解：（1）由题意可知：方程ax 2+(b −2)x +3=0的两根是−1，1所以{−b−2a =−1+1=03a =(−1)×1=−1解得{a =−3b =2（2）由f(1)=0得b=−a−1存在x∈R，f(x)>4成立，即使ax2+(b−2)x−1>0成立，又因为b=−a−1，代入上式可得ax2−(a+3)x−1>0成立.当a≥0时，显然存在x∈R使得上式成立；当a<0时，需使方程ax2−(a+3)x−1=0有两个不相等的实根所以Δ=(a+3)2+4a>0即a2+10a+9>0解得a<−9或−1<a<0综上可知a的取值范围是(−∞,−9)∪(−1,+∞)．小提示：关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，解题关键是掌握“三个二次”的关系．对一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数的图象与性质的问题能灵活转化，熟练应用．解题中注意不等式的解区间的端点处的值是相应二次方程的根，是二次函数图象与x轴交点横坐标．。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳单选题1、已知a>0，b>0且ab＝1，不等式12a +12b+ma+b≥4恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2B．m≥4C．m≥6D．m≥8答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a+b的范围，化简不等式可得m≥4(a+b)−(a+b)22，利用二次函数性质求4(a+b)−(a+b)22的最大值，由此可求m的取值范围.不等式12a +12b+ma+b≥4可化为a+b2ab+ma+b≥4，又a>0，b>0，ab＝1，所以m≥4(a+b)−(a+b)22，令a+b=t，则m≥4t−t22，因为a>0，b>0，ab＝1，所以t=a+b≥2√ab=2，当且仅当a=b=1时等号成立，又已知m≥4t−t22在[2,+∞)上恒成立，所以m≥(4t−t22)max因为4t−t22=12(8t−t2)=−12(t−4)2+8≤8，当且仅当t=4时等号成立，所以m≥8，当且仅当a=2−√3，b=2+√3或a=2−√3，b=2+√3时等号成立，所以m的取值范围是[8,+∞)，故选：D.2、已知正数x，y满足x+y=4，则xy的最大值（）A． 2B．4C． 6D．8答案：B分析：直接使用基本不等式进行求解即可.因为正数x，y满足x+y=4，所以有4=x+y≥2√xy⇒√xy≤2⇒xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号，故选：B3、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可.对于A，若c<0，由ac>bc可得：a<b，A错误；对于B，若c=0，则ac=bc=0，此时a=b未必成立，B错误；对于C，当a>0>b时，1a >0>1b，C错误；对于D，当ac2>bc2时，由不等式性质知：a>b，D正确.故选：D.4、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D 错误， 故选：A5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞)答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资300万；方案B 为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入”的是（ ） A ．80+20n ≥300B ．80+20n ≤300C ．80+20(n −1)≥300D ．80+20(n −1)≤300 答案：D分析：由不等关系求解即可.经过n 年之后，方案B 的投入为80+20(n −1)，故经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入，即80+20(n −1)≤300 故选：D7、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a <1b ，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a，即{ba =−1ca=−2②． 将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3． 故选：A 多选题9、（多选题）下列命题为真命题的是（ ）A ．若a >b >0，则ac 2≥bc 2B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2C ．若a >b >0且c >0，则ca 2>cb 2D ．若a >b 且1a >1b ，则ab <0 答案：ABD解析：由不等式的性质结合作差法，逐项判断即可得解.对于A ，若a >b >0，则ac 2−bc 2=c 2(a −b )≥0，即ac 2≥bc 2，故A 正确； 对于B ，若a <b <0，则a 2−ab =a (a −b )>0，ab −b 2=b (a −b )>0， 所以a 2>ab >b 2，故B 正确；对于C ，若a >b >0且c >0，则ca 2−cb 2=c (b 2−a 2)a 2b 2=c (b−a )(b+a )a 2b 2<0，所以c a 2<c b 2，故C 错误；对于D ，若a >b 且1a >1b ，则b −a <0，1a −1b =b−a ab>0，所以ab <0，故D 正确. 故选：ABD.10、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（ ） A ．a 2−b 2≤4 B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则c =4答案：ABD分析：由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a ，b 的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A ；由基本不等式可判断B ；由二次方程的韦达定理可判断C ，D ．124x x -=根据题意，函数y =x 2+ax +b(a >0)有且只有一个零点，必有a 2−4b =0，即a 2=4b ，(b >0)， a 2−b 2−4=4b −b 2−4=−(b 2−4b +4)=−(b −2)2≤0，b =2时，等号成立，即有a 2−b 2≤4，故A 正确；a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ⋅1b =4，当且仅当b =12时，取得等号，故B 正确； 由x 1，x 2为方程x 2+ax −b =0的两根，可得x 1x 2=−b <0，故C 错误； 由x 1，x 2为方程x 2+ax +b −c =0的两根，可得x 1+x 2=−a ，x 1x 2=b −c ， 则|x 1−x 2|2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=a 2−4(b −c)=a 2−4b +4c =4c =16， 解得c =4，故D 正确． 故选：ABD ．11、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确； 由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确； 由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4， 当且仅当{ab =1aba b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确.故选：ACD.12、已知a >0，b >0，a 2+b 2=1，则（ ） A ．ab 的最大值为12B ．2ab+3a+b的最小值为2√2C ．a 2(1+2b 2)的最大值为94D ．1a 2+4b 2的最小值为9答案：ABD分析：利用基本不等式判断A 、B 、D 的正误，注意等号成立条件，将a 2(1+2b 2)化为关于a 2的二次函数形式求最值判断C.因为a >0，b >0，a 2+b 2=1， 所以1≥2ab ，即ab ≤12，2ab+3a+b=(a+b )2+2a+b=a +b +2a+b≥2√2，当且仅当a =b =√22时等号成立，则A ，B正确． a 2(1+2b2)=a 2[1+2(1−a2)]=3a 2−2a 4=−2(a 2−34)2+89，当a 2=34时取得最大值98，则C 错误．1a 2+4b 2=(a 2+b 2)(1a 2+4b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥5+2√4=9，当且仅当b 2=2a 2=23时等号成立，则D 正确．故选：ABD13、已知a,b ∈R +且a +b =1，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）． A ．ab ⩽14B ．ab +1ab ⩾174C ．√a +√b ⩽√2D ．1a +12b ⩾2√2 答案：ABC分析：利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论． ∵a,b ∈R +,a +b =1，∴ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取得等号)．所以选项A 正确由选项A 有ab ≤14，设y =x +1x ，则y =x +1x 在(0，14]上单调递减. 所以ab +1ab ≥14+4=174，所以选项B 正确∵(√a +√b)2=a +b +2√ab ⩽a +b +a +b =2(当且仅当a =b =12时取得等号)， ∴√a +√b ⩽√2．所以选项C 正确. ∵1a +12b=a+b a+a+b 2b=32+b a+a 2b⩾32+2√b a⋅a 2b=32+√2（当且仅当a 2=2b 2时等号成立），所以选项D 不正确．故A ，B ，C 正确 故选：ABC小提示：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题填空题14、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______. 答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x+y的最小值为2.所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x⋅9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号．所以答案是：116、已知关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，则x1+x2+3ax1x2的最小值是___________.答案：2√6分析：由题知x1+x2=6a,x1x2=3a2，进而根据基本不等式求解即可.解：因为关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，所以x1,x2是方程−x2+6ax−3a2=0(a>0)的实数根，所以x1+x2=6a,x1x2=3a2，因为a>0，所以x1+x2+3ax1x2=6a+1a≥2√6，当且仅当6a=1a，即a=√66时等号成立，所以x1+x2+3ax1x2的最小值是2√6所以答案是：2√6解答题17、已知不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．(1)求常数a的值；(2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．答案：(1)a=1(2)[−4,4]分析：（1）由题意可得－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，将x=−1代入方程中可求出a的值；（2）由x2+mx+4≥0的解集为R，可得Δ≤0，从而可求出m的取值范围（1）因为不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．所以－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，把x=−1代入方程解得a=1．经验证满足题意（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，即x2+mx+4≥0的解集为R，所以Δ=m2−16≤0，解得−4≤m≤4，所以m的取值范围是[−4,4]．18、为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.答案：（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+160√3)平方米.分析：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x+4)，利用均值不等式，即得最小值.（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得y=400x.因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以400x⩾x+9，所以x2+9x−400⩽0，解得−25⩽x⩽16.又x>0，所以0<x⩽16.所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x +4)=824+8(x+300x)⩾(824+160√3)（平方米）当且仅当x=10√3米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为(824+160√3)平方米.。
新高考第2章 一元二次函数、方程和不等式(压轴题专练)高一数学上学期期中期末考试满分全攻略解析版
一、单选题
1．（2021·全国高一单元测试）已知实数 均为正数，满足 ， ，则 的最小值是
A．10B．9C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得 ，则 ，展开后再利用基本不等式可求得 的最小值．
【详解】 ， ， ， ，当且仅当 时，取等号．
则 ，
当且仅当 时，且 ， 时， 的最小值为9，故选B．
故选：A.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式与二次函数，二次方程的关系及应用，属于中档题.
6．（2020·江苏高一单元测试）已知 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C．0D．
【答案】A
【分析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.
【详解】
令
，等号在 时取到．
故选：A
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
8．（2021·湖州市第二中学高一月考）若两个正实数x，y满足 ，且不等式 恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】 .
【分析】由题意和基本不等式可得 的最小值，再由恒成立可得关于 的不等式，解不等式即可.
【详解】解：
当且仅当 ，即 且 时取等号.
恒成立，则 解得 即
故答案为：
【点睛】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立的问题，属于中档题.
A． B．2C．4D．
【答案】A
【分析】转化条件为原式 ，结合基本不等式即可得解.
【详解】
，
当且仅当 ，即 ， ， 时，等号成立.
故选：A.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B2、若不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围 因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立 故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A3、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A4、不等式|5x −x 2|<6的解集为（ ）A ．{x|x <2,或x >3}B ．{x|−1<x <2,或3<x <6}C ．{x|−1<x <6}D ．{x|2<x <3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可. 解：∵|5x−x2|<6，∴−6<5x−x2<6∴{x 2−5x−6<0x2−5x+6>0⇒{−1<x<6x<2或x>3⇒−1<x<2或3<x<6则不等式的解集为：{x|−1<x<2或3<x<6}故选：B.5、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A6、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．7、关于x的方程x2+(m−2)x+2m−1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是（）A．[12,32]B．(12,23]C．[12,2)D．(12,23]∪{6−2√7}答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：f(x)=x2+(m-2)x+2m-1因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f(0)⋅f(1)<0，(2m-1)(3m-2)<0，解得：12<m<23；②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，Δ=(m-2)2-8m+4=0，解得m=6±2√7，经检验，当m=6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D8、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B多选题9、若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a<b，则1a >1bB．若0<a<1，则a2<aC．若a>b>0且c>0，则b+ca+c >baD．a2+b2+1≥2(a−2b−2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A，当a<0<b时，结论不成立，故A错误；对于B，a2<a等价于a(a−1)<0，又0<a<1，故成立，故B正确；对于C，因为a>b>0且c>0，所以b+ca+c >ba等价于ab+ac>ab+bc，即(a−b)c>0，成立，故C正确；对于D，a2+b2+1≥2(a−2b−2)等价于(a−1)2+(b+2)2≥0，成立，故D正确. 故选：BCD.10、已知正实数a，b满足a+b=ab，则（）A．a+b≥4B．ab≥6C．a+2b≥3+2√2D．ab2+ba2≥1答案：ACD分析：根据特殊值判断B，利用ab⩽(a+b)24判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D. 对于B，当a=b=2时，满足a+b=ab，此时ab<6，B错误；对于A，ab⩽(a+b)24，则(a+b)24⩾a+b，变形可得a+b⩾4，当且仅当a=b=2时等号成立，A正确；对于C ，a +b =ab ，变形可得1a +1b =1，则有a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+2b a+ab ⩾3+2√2，当且仅当a =2b 时等号成立，C 正确； 对于D ，ab 2+ba 2=a 3+b 3a 2b 2=(a+b)(a 2+b 2−ab)a 2b 2=b a +ab −1⩾2−1=1，当且仅当a =b =2时等号成立，D 正确；故选：ACD11、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确． 故选：ABD填空题12、若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是_____．答案：{k|0≤k≤2}分析：分k=0和k>0两种情况讨论，当k>0时需满足Δ≤0，即可得到不等式，解得即可；解：当k=0时，2<0不等式无解，满足题意；当k>0时，Δ=4k2−8k≤0，解得0<k≤2；综上，实数k的取值范围是{k|0≤k≤2}．所以答案是：{k|0≤k≤2}13、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.14、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+ 1>0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.解答题15、回答下列问题：(1)若a>b，且c>d，能否判断a−c与b−d的大小？举例说明．(2)若a>b，且c<d，能否判断a+c与b+d的大小？举例说明．(3)若a>b，且c>d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．(4)若a>b，c<d，且c≠0，d≠0，能否判断ac 与bd的大小？举例说明．答案：(1)不能判断，举例见解析(2)不能判断，举例见解析(3)不能判断，举例见解析(4)不能判断，举例见解析分析：因为a,b,c,d的正负不确定，因此可举例说明每个小题中的两式的大小关系不定. （1）不能判断a−c与b−d的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c>b−d；取a=5,b=4,c=3,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时a−c<b−d；取a=5,b=4,c=3,d=2，满足条件a>b，且c>d，此时a−c=b−d；（2）不能判断a+c与b+d的大小，举例：取a=5,b=3,c=0,d=1，满足条件a>b，且c<d，此时a+c>b+d；取a=5,b=3,c=2,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c<b+d.取a=5,b=3,c=4,d=6，满足条件a>b，且c<d，此时a+c=b+d；（3）不能判断ac与bd的大小，举例：取a=5,b=3,c=1,d=0，满足条件a>b，且c>d，此时ac>bd；取a=5,b=3,c=−3,d=−5，满足条件a>b，且c>d，此时ac=bd；取a=5,b=−3,c=1,d=−2，满足条件a>b，且c>d，此时ac<bd；（4）不能判断ac 与bd的大小举例：取a=6,b=3,c=1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac >bd；取a=2,b=1,c=−1,d=2，满足条件a>b，且c<d，此时ac <bd；取a=6,b=3,c=−2,d=−1，满足条件a>b，且c<d，此时ac =bd；。
2024年新高一数学初升高衔接《二次函数与一元二次方程、不等式》含答案解析
第08讲二次函数与一元二次方程、不等式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系3．掌握一元二次不等式的实际应用；4．会解一元二次不等式中的恒成立问题.知识点1一元二次不等式1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）．3、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系1、二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．2、三个“二次”之间的关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集．知识点3一元二次不等式的解法1、解一元二次不等式的一般步骤（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；（2）求根：计算判别式∆，求出相应方程的实数根；①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根abx x 221-==；③0∆<时，方程无解．（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图；（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集．口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间2、含参一元二次不等式的讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集．考点一：解不含参的一元二次不等式例1．（23-24高一上·北京·期中）不等式2230x x --<的解集为（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．(1)(3)∞∞--⋃+，，D ．(3)(1)∞∞--⋃+，，【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）不等式29124x x -≤-的解集为（）A ．RB ．∅C ．3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D ．3|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭【变式1-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式()()231x x x x +<-+的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【变式1-3】（23-24高一上·广东广州·期中）下列不等式解集为R 的是（）A ．23710x x -≤B ．21122x x -+-≤C ．()()230x x +->D ．223x x -+<-考点二：解含参一元二次不等式例2.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若01a <<，则不等式1(0)(x a x a --<的解集是（）A ．1}|{x a x a<<B ．1{|}x x x a a><或C ．1{|}x x a a <<D ．1{|}x x a x a><或【变式2-1】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）（多选）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(2)0x a x --<的解集可能为（）A ．(2)()a -∞+∞ ,,B ．()(2)a -∞+∞ ,,C ．(),2a D ．∅【变式2-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）解关于x 的不等式：()2330x m x m --->.【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）当1a <时，解关于x 的不等式(1)(1)0ax x --<.考点三：由一元二次不等式解集求参例3.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于x 的不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，则m n +的值为（）A ．12-B ．32-C ．32D ．12【变式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，则b a -的值是（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或,则下列结论错误的是（）A ．0a <B ．20a b c ++>C ．0a b c ++>D ．20cx bx a -+<的解集为1{|1}3x x x <->或【变式3-3】（23-24高一下·云南·月考）若关于x 的不等式()210x m x m -++<的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．[)(]2,14,5--⋃C ．()()3,14,5-⋃D ．[]3,5-考点四：三个“二次”关系的应用例4.（23-24高一上·湖南长沙·月考）不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【变式4-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（多选）关于x 的不等式20ax bx c ++>，下列说法不正确的是（）A ．若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则二次函数2y ax bx c =++的零点为()30A -,，()10B ,B ．若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则20cx bx a ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且240b ac -<D ．若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集与关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集相同都是R ，则111a b c a b c ==【变式4-2】（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且221215x x -=，则实数=a ．【变式4-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）已知二次函数()211y x a x a =----的图象与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点.(1)当3a =时，求2212x x +的值；(2)求关于x 的不等式10y +≥的解集.考点五：一元二次不等式恒成立与有解例5.（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）若对于R x ∀∈，都有220x mx m -+≥，则m 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【变式5-1】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[)1,+∞B ．()1,1-C ．(],1-∞D ．(),1-∞【变式5-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）（多选）若关于x 的不等式2420ax x -+<有实数解，则a 的值可能为（）A ．0B ．3C ．1D ．2-【变式5-3】（23-24高一上·陕西商洛·期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,-+∞B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．(),3-∞-考点六：一元二次不等式的实际应用例6.（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x 元（110x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的客房会减少15x 套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（）A ．250元B ．260元C ．270元D ．280元【变式6-1】（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x 元（120x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的礼服会减少10x 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）A ．220元B ．240元C ．250元D ．280元【变式6-2】（23-24高一上·北京·月考）某市有块三角形荒地，如图ABC 所示，90,200A AB AC ∠=== （单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF ，其中,,D E F点分别在线段,,AB BC CA 上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则AD 的长度（单位：米）范围是（）A ．[]40,160B ．[]50,150C ．[]55,145D ．[]60,140【变式6-3】（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）如图，在长为8m ，宽为6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？一、单选题1．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）不等式2450x x --+<的解集是（）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(5,)-∞-+∞ 2．（23-24高一上·河南商丘·期中）不等式2230x x --<的解集是（）A ．{|1x x <-或3}2x >B ．3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <-3．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，则不等式20cx bx a +->的解集为（）A ．15x x ⎧<⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭B ．13x x ⎧<-⎨⎩或15x ⎫>-⎬⎭C ．1153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭4．（23-24高一上·甘肃·期末）若关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，且221220x x +=，则=a （）A ．2B ．1C ．D5．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）若关于x 的不等式()2220x a x a ---<的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值集合是（）A ．{56}aa <≤∣B ．{65}aa -≤<-∣C ．{21aa -<≤-∣或56}a ≤<D ．{65aa -≤<-∣或12}a <≤6．（23-24高一上·江苏南京·期末）设a 为实数，则关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是（）A ．2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2(,2)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．22,a ⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题7．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是R 的是（）A ．210x x -++≥B ．20x ->C ．26100x x ++>D ．22340x x -+<8．（23-24高一上·湖北·月考）若不等式20ax bx c -+<的解集是{21}xx -<<∣，则下列说法正确的是（）A ．0b <且0c <B ．<0a b c -+C ．0a b c ++<D ．不等式20ax bx c ++<的解集是()1,2-三、填空题9．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根分别为2和4，则不等式20ax bx c ++<的解集为．10．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于x 的不等式210mx x ++>的解集为R ，则实数m 的取值范围为.11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数x y ，满足2x y +=，若211m m x y+>-恒成立，则实数m 的取值范围为.四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）解下列一元二次不等式：(1)23710x x -≤；(2)2104x x -+<．13．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于x 的不等式()210x m x m -++<.（2）若对任意的[]()21,2,10x x m x m ∈-++≤恒成立，求实数m 的取值范围.第08讲二次函数与一元二次方程、不等式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系3．掌握一元二次不等式的实际应用；4．会解一元二次不等式中的恒成立问题.知识点1一元二次不等式1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）．3、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系1、二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．2、三个“二次”之间的关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集．知识点3一元二次不等式的解法1、解一元二次不等式的一般步骤（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；（2）求根：计算判别式∆，求出相应方程的实数根；①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根abx x 221-==；③0∆<时，方程无解．（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图；（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集．口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间2、含参一元二次不等式的讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集．考点一：解不含参的一元二次不等式例1．（23-24高一上·北京·期中）不等式2230x x --<的解集为（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．(1)(3)∞∞--⋃+，，D ．(3)(1)∞∞--⋃+，，【答案】A【解析】不等式2230x x --<，即()()130x x +-<，解得13x -<<，所以不等式2230x x --<的解集为()1,3-.故选：A【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）不等式29124x x -≤-的解集为（）A ．RB ．∅C ．3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D ．3|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由29124x x -≤-，得241290x x -+≤，得2(23)0x -≤，解得32x =，所以不等式的解集为3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，故选：C【变式1-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式()()231x x x x +<-+的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】不等式()()231x x x x +<-+，化为2210x x --<，即(21)(1)0x x +-<，解得112x -<<，所以不等式()()231x x x x +<-+的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A【变式1-3】（23-24高一上·广东广州·期中）下列不等式解集为R 的是（）A ．23710x x -≤B ．211022x x -+-≤C ．()()230x x +->D ．223x x -+<-【答案】B【解析】对于A ，()()23710,13100x x x x -≤+-≤，解得1013x -≤≤，A 错；对于B ，211022x x -+-≤，()210x -≥，解集为R ，B 对；对于C ，()()230x x +->，解得<2x -或3x >，C 错；对于D ，223x x -+<-，()()1230x x +->，解得1x <-或32x >，D 错.故选：B.考点二：解含参一元二次不等式例2.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若01a <<，则不等式1(0)(x a x a --<的解集是（）A ．1}|{x a x a<<B ．1{|}x x x a a><或C ．1{|}x x a a <<D ．1{|}x x a x a><或【答案】A【解析】由01a <<，得110a a>>>，解不等式1(0)(x a x a --<，得1a x a <<，所以不等式1(0)()x a x a --<的解集是1}|{x a x a<<.故选：A【变式2-1】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）（多选）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(2)0x a x --<的解集可能为（）A ．(2)()a -∞+∞ ,,B ．()(2)a -∞+∞ ,,C ．(),2a D ．∅【答案】CD【解析】当2a <时，此时解集为(),2a ；当2a =时，此时解集为∅；当2a >时，此时解集为()2,a ；故选：CD.【变式2-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）解关于x 的不等式：()2330x m x m --->.【答案】答案见解析【解析】不等式()2330x m x m --->，即()()30x x m +->，当3m =-时，原不等式即()230x +>，解得3x ≠-，即不等式的解集为{}|3x x ≠-；当3m >-时，解得x >m 或3x <-，即不等式的解集为{|x x m >或3}x <-；当3m <-时，解得3x >-或x m <，即不等式的解集为{|3x x >-或}x m <；综上可得：当3m =-时不等式的解集为{}|3x x ≠-，当3m >-时不等式的解集为{|x x m >或3}x <-，当3m <-时不等式的解集为{|3x x >-或}x m <.【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）当1a <时，解关于x 的不等式(1)(1)0ax x --<.【答案】答案见解析【解析】当0a =时，代入不等式可得10x -+<，解得1x >；当01a <<时，化简不等式可得1(1)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭即1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，由11a>得不等式的解为11x a <<，当a<0时，化简不等式可得1(1)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭即1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，由11a <得不等式的解为1x >或1x a<，综上可知，当0a =时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为{|1}x x >；当01a <<时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a<0时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为1x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.考点三：由一元二次不等式解集求参例3.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于x 的不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，则m n +的值为（）A ．12-B ．32-C ．32D ．12【答案】C【解析】因为不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，所以1,2-是方程2102x mx n -++=的两个实根，所以()()221110212202m n m n ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩，解得121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以32m n +=.故选：C.【变式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，则b a -的值是（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【答案】D【解析】因为不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，所以a<0，1x =和3x =是方程230ax bx +-=的根，所以13313b a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩，即1a =-，4b =，则5b a -=．故选：D ．【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或,则下列结论错误的是（）A ．0a <B ．20a b c ++>C ．0a b c ++>D ．20cx bx a -+<的解集为1{|1}3x x x <->或【答案】D【解析】根据题意,可以知道,20ax bx c ++=的两根为1,3-.由根与系数的关系得到：2233b b a ac c a a ⎧=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-=⎪⎩.因为2()f x ax bx c =++开口向下,则a<0,故A 正确.22(2)(3)30a b c a a a a ++=+-+-=->,故B 正确.且(1)(3)0f f -==,对称轴为1x =,(1)40f a b c a =++=->,故C 正确.22320cx bx a ax ax a -+=-++<,两边同时除以a -,得到23210x x --<,解得1|13{}x x -<<,故D 错误.故选:D.【变式3-3】（23-24高一下·云南·月考）若关于x 的不等式()210x m x m -++<的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．[)(]2,14,5--⋃C ．()()3,14,5-⋃D ．[]3,5-【答案】A【解析】原不等式可化为(1)()0x x m --<，当1m >时，得1x m <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45m <≤；当1m <时，得1m x <<，此时解集中的整数为2-，1-，0，则32m -≤<-，综上所述，m 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃.故选：A考点四：三个“二次”关系的应用例4.（23-24高一上·湖南长沙·月考）不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】A【解析】因为20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，所以方程20ax bx c -+=的两根分别为2-和1，且a<0，则()21,21,b ac a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩变形可得,2,b a c a =-⎧⎨=-⎩故函数()()22221y ax bx c ax ax a a x x =-+=+-=+-的图象开口向下，且与x 轴的交点坐标为()1,0和()2,0-，故A 选项的图象符合.故选：A【变式4-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（多选）关于x 的不等式20ax bx c ++>，下列说法不正确的是（）A ．若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则二次函数2y ax bx c =++的零点为()30A -,，()10B ,B ．若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则20cx bx a ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且240b ac -<D ．若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集与关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集相同都是R ，则111a b c a b c ==【答案】BC【解析】A 选项：若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则0a >，且其对应方程20ax bx c ++=有两个解11x =，23x =-，所以对应函数2y ax bx c =++的两个零点为1和3-，A 选项错误；B 选项：若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则a<0，且其对应方程20ax bx c ++=有两个解13x =，21x =-，且122b x x a=-+=，123cx x a=-=，即2b a =-，3c a =-，所以22320cx bx a ax ax a ++=--+>，即()()23213110x x x x +-=-+<，解得113x -<<，所以不等式的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，B 选项正确；C 选项：若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且其对应方程20ax bx c ++=无解，即240b ac -<，C 选项正确；D 选项：若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集为R ，则0a >，且240b ac -<，关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集是R ，则10a >，且211140b a c -<，无法确定其比例关系，D 选项错误；故选：BC.【变式4-2】（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且221215x x -=，则实数=a ．【答案】/【解析】由题意，22280x ax a --=的两根为12,x x ，所以212122,8x x a x x a +=⋅=-，解得124,2x a x a ==-，或122,4x a x a =-=，当124,2x a x a ==-时，故222121215x x a -==，由12x x <知a<0，所以解得2a =，当122,4x a x a =-=时，222121215x x a -=-=不合题意.故答案为：2-【变式4-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）已知二次函数()211y x a x a =----的图象与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点.(1)当3a =时，求2212x x +的值；(2)求关于x 的不等式10y +≥的解集.【答案】(1)12；(2)答案见解析【解析】（1）当3a =时，224y x x =--.由题意可知12,x x 是方程2240x x --=的两个不同实根，则122x x +=，124x x =-，故()()2222121212222412x x x x x x +=+-=-⨯-=.（2）不等式10y +≥可转化为()()10x a x -+≥.当1a >-时，不等式1y ≥的解集是{}1x x x a ≤-≥或；当1a =-时，不等式1y ≥的解集是{}R x x ∈；当1a <-时，不等式1y ≥的解集是{}1x x a x ≤≥-或.考点五：一元二次不等式恒成立与有解例5.（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）若对于R x ∀∈，都有220x mx m -+≥，则m 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB【解析】依题意，命题等价于220x mx m -+≥恒成立，所以2440m m ∆=-≤，解得01m ≤≤，即[]0,1m ∈，故AB 正确，CD 错误.故选：AB.【变式5-1】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[)1,+∞B ．()1,1-C ．(],1-∞D ．(),1-∞【答案】D【解析】因为对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，所以对任意的()0,x ∈+∞，2112x m x x x+<=+恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以22m <，解得1m <，即m 的取值范围为(),1-∞.故选：D【变式5-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）（多选）若关于x 的不等式2420ax x -+<有实数解，则a 的值可能为（）A ．0B ．3C ．1D ．2-【答案】ACD【解析】当0a =时，不等式420x -+<有解，符合题意；当a<0时，得Δ1680a =->，则不等式2420ax x -+<有解；当0a >时，由Δ1680a =->，解得02a <<.综上，a 的取值范围为(),2∞-，对照选项，选项ACD 中a 的值符合题意.故选：ACD【变式5-3】（23-24高一上·陕西商洛·期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,-+∞B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．(),3-∞-【答案】A【解析】易知2160m ∆=+>恒成立，即240x mx +-=有两个不等实数根12,x x ，又1240x x =-<，即二次函数24y x mx =+-有两个异号零点，所以要满足不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，所以只需24440m +->，解得3m >-，所以实数m 的取值范围是()3,-+∞．故选A ．考点六：一元二次不等式的实际应用例6.（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x 元（110x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的客房会减少15x 套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（）A ．250元B ．260元C ．270元D ．280元【答案】C【解析】依题意，每天有()50015x -间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为()()250015200101502000100000x x x x -+=-++．因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所以21502000100000106600x x -++>，即23401320x x -+<，解得2263x <<．因为110x ≤≤且x ∈Z ，所以7x =，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元．故选：C ．【变式6-1】（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x 元（120x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的礼服会减少10x 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）A ．220元B ．240元C ．250元D ．280元【答案】C【解析】依题意，每天有30010x -套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为()()23001020010100100060000x x x x -⋅+=-++元.因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元，所以2100100060000x x -++62400>，即210240x x -+<，解得46x <<.因为120x ≤≤且x ∈Z ，所以5x =，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选：C.【变式6-2】（23-24高一上·北京·月考）某市有块三角形荒地，如图ABC 所示，90,200A AB AC ∠=== （单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF ，其中,,D E F点分别在线段,,AB BC CA 上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则AD 的长度（单位：米）范围是（）A ．[]40,160B ．[]50,150C ．[]55,145D ．[]60,140【答案】B【解析】ABC 中，90,A AB AC ∠== ，ABC 为等腰直角三角形，设AD x =米，则EF FC AD x ===米，200FA x =-米，依题意有()2007500x x -≥，解得50150x ≤≤.即AD 的长度（单位：米）范围是[]50,150.故选：B.【变式6-3】（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）如图，在长为8m ，宽为6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？【答案】花卉的宽度至少为1m【解析】设花卉带的宽度为m x ，则028026x x <<⎧⎨<<⎩，可得03x <<，所以，草坪的长为()82m x -，宽为()62m x -，则草坪的面积为()()()()8262443x x x x --=--，因为草坪的面积不超过总面积的一半，则()()1443682x x --≤⨯⨯，整理可得2760x x -+≤，解得16x ≤≤，又因为03x <<，可得13x ≤<.所以，花卉的宽度至少为1m .一、单选题1．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）不等式2450x x --+<的解集是（）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(5,)-∞-+∞ 【答案】C【解析】由2450x x --+<可得2450x x +->，故()()510x x +->，解得1x >或5x <-，故不等式的解为()(),51,-∞-⋃+∞故选：C2．（23-24高一上·河南商丘·期中）不等式2230x x --<的解集是（）A ．{|1x x <-或3}2x >B ．3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <-【答案】C【解析】不等式2230x x --<可化为()()1230x x +-<，所以312x -<<，即原不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：C.3．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，则不等式20cx bx a +->的解集为（）A ．15x x ⎧<⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭B ．13x x ⎧<-⎨⎩或15x ⎫>-⎬⎭C ．1153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】因为关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，所以0a >且方程20ax bx c +-=的解为3,5，所以8,15b ca a-=-=，所以8,15b a c a =-=-，则不等式20cx bx a +->，即为不等式21580ax ax a --->，则215810x x ++<，解得1135x -<<-，所以不等式20cx bx a +->的解集为1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选：D.4．（23-24高一上·甘肃·期末）若关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，且221220x x +=，则=a （）A ．2B ．1C．D【答案】B【解析】因为关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，所以1x 和2x 是方程()222800x ax a a --=>的两根，则1221228x x a x x a +=⎧⎨⋅=-⎩.又因为221220x x +=，()2221212122x x x x x x +=+-，所以()()2222820a a --=，解得1a =±.又因为0a >，所以1a =.故选：B5．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）若关于x 的不等式()2220x a x a ---<的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值集合是（）A ．{56}aa <≤∣B ．{65}aa -≤<-∣C ．{21aa -<≤-∣或56}a ≤<D ．{65aa -≤<-∣或12}a <≤【答案】D【解析】()()()222020x a x a x x a ---<⇒-+<，当2a >-时，不等式解集为{}2x a x -<<，此时恰有3个整数解，则3个整数解分别为1,0,1-，故21a -≤-<-，解得12a <≤，当2a <-时，不等式解集为{}2x x a <<-，此时恰有3个整数解，则3个整数解分别为3,4,5，故56a <-≤，解得65a -≤<-，当2a =-时，不等式解集为∅，不合要求，故实数a 的取值集合为{65aa -≤<-∣或12}a <≤.故选：D 6．（23-24高一上·江苏南京·期末）设a 为实数，则关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是（）A ．2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2(,2)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．22,a ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<，若0a =，不等式为2(24)0x --<，解得2x >，此时解集为(2,)+∞；若0a ≠，方程(2)(24)0ax x --=，解得2x a=或2x =，a<0时，不等式(2)(24)0ax x --<解得2x a <或2x >，此时解集为()2,2,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ；01a <<时，22a >，不等式(2)(24)0ax x --<解得22x a <<，此时解集为22,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；1a =时，22a=，不等式(2)(24)0ax x --<解集为∅，1a >时，22a <，不等式(2)(24)0ax x --<解得22x a <<，此时解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；所以不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B二、多选题7．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是R 的是（）A ．210x x -++≥B ．20x ->C ．26100x x ++>D ．22340x x -+<【答案】ABD【解析】对于A ，由210x x -++≥，得210x x --≤，解得1122x ≤≤，所以A 正确，对于B ，由20x ->，解得x <x >，所以B 正确，对于C ，26100x x ++>，因为364040∆=-=-<，所以不等式26100x x ++>的解集为R ，所以C 错误，对于D ，22340x x -+<，因为932230∆=-=-<，所以不等式22340x x -+<的解集为∅，所以D 正确，故选：ABD8．（23-24高一上·湖北·月考）若不等式20ax bx c -+<的解集是{21}xx -<<∣，则下列说法正确的是（）A ．0b <且0c <B ．<0a b c -+C ．0a b c ++<D ．不等式20ax bx c ++<的解集是()1,2-【答案】ACD【解析】不等式20ax bx c -+<的解集是{21}xx -<<∣，则对应的方程20ax bx c -+=的两根为2-和1，211,212b ca a∴=-+=-=-⨯=-，且0a >，故0,2a b c a +==-，且0a >，故0,0c b <<，故A 正确；20a b c a a a -+=+-=，故B 错误；0a b c c ++=<，故C 正确；20ax bx c ++<，220ax ax a --<，即()()22120x x x x --=+-<的解集是()1,2-，故D 正确.故选：ACD三、填空题9．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根分别为2和4，则不等式20ax bx c ++<的解集为．【答案】{}|24x x <<【解析】二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根分别为2和4，可得2424b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，即68b a c a =-⎧⎨=⎩，由()200ax bx c a ++<>可得2680x x -+<，解得24x <<，所以不等式2680x x -+<的解集为{}|24x x <<.故答案为：{}|24x x <<.10．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于x 的不等式210mx x ++>的解集为R ，则实数m 的取值范围为.【答案】14m >【解析】当0m =时，10x +>，1x >-，不满足题意；当0m ≠时，0Δ140m m >⎧⎨=-<⎩,所以14m >，综上，实数m 的取值范围为14m >.故答案为：14m >11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数x y ，满足2x y +=，若211m m x y+>-恒成立，则实数m 的取值范围为.【答案】(1,2)-【解析】因为0,0x y >>且2x y +=，所以111111()222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222⎛≥⨯+= ⎝，当且仅当1y x ==时取等号．因为不等式211m m x y+>-恒成立，所以22m m -<，解得12m -<<．故答案为：(1,2)-.四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）解下列一元二次不等式：(1)23710x x -≤；(2)2104x x -+<．【答案】(1)1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；(2)∅【解析】（1）由23710x x -≤，得237100x x --≤，即()()31010x x -+≤，所以1013x -≤≤，所以不等式得解集为1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）由2104x x -+<，得2102x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，无解，所以不等式的解集为∅.13．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于x 的不等式()210x m x m -++<.（2）若对任意的[]()21,2,10x x m x m ∈-++≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）2m ≥.【解析】（1）不等式()210x m x m -++<化为：()(1)0x m x --<，当1m <时，解得1m x <<；当0m =时，不等式无解；当1m >时，解得1x m <<，所以当1m <时，原不等式的解集为(,1)m ；当0m =时，原不等式的解集为∅；当1m >时，原不等式的解集为(1,)m .（2）当1x =时，2(1)0x m x m -++≤恒成立，则m ∈R ，当(1,2]x ∈时，不等式2(1)0(1)(1)x m x m m x x x m x -++≤⇔-≥-⇔≥，依题意，(1,2]x ∀∈，m x ≥，而x 最大值为2，因此2m ≥，所以实数m 的取值范围是2m ≥.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专项训练题单选题1、实数a,b 满足a >b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a +b <ab B ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2<b 2，故B 错误；C ，若a >b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C2、若a,b,c ∈R ，则下列命题为假命题的是（ ） A ．若√a >√b ，则a >b B ．若a >b ，则ac >bc C ．若b >a >0，则1a >1b D ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案. 解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a>1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确. 故选：B.3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9， 当且仅当3x −5=2时，等号成立， 故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ） A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8) 答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8 故选：B5、已知a,b >0，a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．4 答案：B分析：由题可得4a +1b =1，根据a +b =(a +b )(4a +1b )展开利用基本不等式可求.∵a,b >0，a +4b =ab ，∴4a +1b =1， ∴a +b =(a +b )(4a +1b )=4b a +a b +5≥2√4b a ⋅ab +5=9，当且仅当4ba =ab 时等号成立，故a +b 的最小值为9. 故选：B.23,21<<-<<-a b6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x+9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x+9x y+1)≥13(10+2√y+1x⋅9x y+1)=163，当且仅当y+1x=9xy+1，即x =34,y =54时，等号成立.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m 的值为（ ） A ．−1B ．−4C ．−4或1D ．−1或4 答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案. ∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根， ∴Δ=[2(m −1)]2−4×1×(m 2−m )=−4m +4⩾0， 解得：m ⩽1，∵关于x 的方程x 2+2(m −1)x +m 2−m =0有两个实数根α，β， ∴α+β=−2(m −1)，α⋅β=m 2−m ，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m −1)]2−2(m 2−m )=12，即m 2−3m −4=0，解得：m =−1或m =4(舍去). 故选：A.8、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2 答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立. 故选：C. 多选题9、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ） A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0 C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A 是一元一次不等式，故错误；选项B ，D ，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a =0时，选项C 是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD.10、已知a >0，b >0，且a 2+b 2=2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ≥1B ．a +b ≤2 C ．lga +lgb ≤0D ．1a +1b ≤2 答案：BC分析：对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 解：对于A ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则ab =√22×√62=√32<1，所以A 错误，对于B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =2+2ab ≤2+a 2+b 2=4，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =1时取等号，所以B 正确，对于C ，因为lga +lgb =lgab ≤lg a 2+b 22=lg1=0，当且仅当a =b =1时取等号，所以C 正确，对于D ，令a =√22,b =√62满足a 2+b 2=2，则1a +1b =√2+√63≈1.414+0.8165>2，所以D 错误，故选：BC11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．a 2+b 2≥12B ．2a−b >12C ．log 2a +log 2b ≥−2D ．√a +√b ≤√2 答案：ABD分析：根据a +b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 对于A ，a 2+b 2=a 2+(1−a )2=2a 2−2a +1=2(a −12)2+12≥12， 当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a −b =2a −1>−1，所以2a−b >2−1=12，故B 正确；对于C ，log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2(a+b 2)2=log 214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(√a +√b)2=1+2√ab ≤1+a +b =2，所以√a +√b ≤√2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD小提示：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12、下列选项中正确的是（ ） A ．不等式a +b ≥2√ab 恒成立B ．存在实数a ，使得不等式a +1a ≤2成立 C ．若a ，b 为正实数，则ba +ab ≥2D ．若正实数x ，y 满足，则2x +1y ≥821x y +=答案：BCD分析：根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案. 解：对于A选项，当a<0,b<0时不成立，故错误；对于B选项，当a<0时，a+1a =−[(−a)+(−1a)]≤2，当且仅当a=−1等号成立，故正确；对于C选项，若a，b为正实数，则ba >0,ab>0，所以ba+ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时等号成立，故正确；对于D选项，由基本不等式“1”的用法得2x +1y=(2x+1y)(x+2y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，故正确.故选：BCD13、已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+a，若对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是（）A．(−∞,0]B．[0,3]C．[−1,2]D．[3,+∞)答案：AD解析：对于区间[−1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，分析即f(x)在区间[−1,2]上单调，利用二次函数的单调区间判断.二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+a图象的对称轴为直线x=a−1，∵任意x1,x2∈[−1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[−1,2]上是单调函数，∴a−1≤−1或a−1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(−∞,0]∪[3,+∞).故选：AD小提示：（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．填空题14、已知三个不等式：①ab>0，②ca >db，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题． 答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ；{ca>d bbc >ad⇒{bc−adab>0bc >ad⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.15、命题p:∀x ∈R ，x 2+ax +a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x ∈R ，要使得x 2+ax +a ≥0，则Δ=a 2−4a ≤0，解得0≤a ≤4. 若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围为[0,4]. 所以答案是：[0,4]. 16、a >b >c ，n ∈N ∗，且1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，则n 的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a −c =a −b +b −c ，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值． 解：由于1a−b+1b−c≥n a−c恒成立，且a >c即恒成立 只要的最小值即可∵a −c a −b +a −c b −c =a −b +b −c a −b +a −b +b −cb −c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >ca c a cn a b b c --≤+--a c a cn a b b c --≤+--∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4． 解答题17、（1）已知x >1，求4x +1+1x−1的最小值；（2）已知0<x <1，求x (4−3x )的最大值． 答案：（1）9；（2）43．分析：（1）由于x −1>0，则4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可， （2）由于0<x <1，变形得x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )，然后利用基本不等式求解即可. （1）因为x >1，所以x −1>0，所以4x +1+1x−1=4(x −1)+1x−1+5≥2√4(x −1)⋅1x−1+5=9， 当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32时取等号，所以4x +1+1x−1的最小值为9．（2）因为0<x <1，所以x (4−3x )=13⋅(3x )⋅(4−3x )≤13(3x+4−3x 2)2=43，当且仅当3x =4−3x ，即x =23时取等号，故x (4−3x )的最大值为43．18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2acosB =2c −b ． （1）求角A 的值；（2）若b =5，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5，求△ABC 的周长； （3）若2bsinB +2csinC =bc +√3a ，求△ABC 面积的最大值． 答案：（1）A =π3;（2）20;（3）3√34. 解析：（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式展开，可得，可求得角A 的值；（2）根据向量的数量积及余弦定理分别求出a,c ，即可求得周长；1cos 2A（3）将利用正弦定理将角化成边，再利用余弦定理结合基本不等式可求得面积的最值； （1）∵2acosB =2c −b ⇒2sinA ⋅cosB =2sinC −sinB ,∴2sinA ⋅cosB =2⋅sin(A +B)−sinB =2(sinA ⋅cosB +cosA ⋅sinB)−sinB , ∴,∵0<A <π,∴A =π3;（2）∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =c ⋅5⋅cos π3−52=52c −25=−5⇒c =8，在△ABC 中利用余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2b ⋅c ⋅cosA =52+82−2⋅5⋅8⋅12=49， ∴a =7，∴ΔABC 的周长为：5+8+7=20； （3）∵bsinB =csinC =asinA =√32=2√3a3，∴sinB =√32ba，sinC =√32ca， ∴2b ⋅√32⋅b a+2c ⋅√32⋅ca=bc +√3a ，∴√3(b 2+c 2−a 2)=abc ⇒√3⋅cosA =a2⇒√3⋅12=a2⇒a =√3， ∴√3(b 2+c 2−3)=√3bc ⇒b 2+c 2=3+bc ， ∴3+bc ⩾2bc ⇒bc ⩽3，等号成立当且仅当， △ABC 面积的最大值为(12bcsinA)max=3√34. 小提示：本题考查三角恒等变换、正余弦定理在解三角形中的应用，求解时注意选择边化成角或者角化成边的思路.1cos 2A =b c =。
(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知正实数a,b满足4a+b +1b+1=1，则a+2b的最小值为（）A．6B．8C．10D．12 答案：B分析：令a+2b=a+b+b+1−1，用a+b+b+1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可.因为4a+b +1b+1=1，且a,b为正实数所以a+b+b+1=(a+b+b+1)(4a+b +1b+1)=4+a+bb+1+4(b+1)a+b+1≥5+2√a+bb+1×4(b+1)a+b=9，当且仅当a+bb+1=4(b+1)a+b即a=b+2时等号成立.所以a+2b+1≥9,a+2b≥8. 故选：B.2、若不等式组{x−1>a2x−4<2a的解集非空，则实数a的取值范围是（）A．(−1,3)B．(−∞,−1)∪(3,+∞)C．(−3,1)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)答案：A分析：分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解．由题意{x>a2+1x<2a+4，∴a2+1<2a+4，即a2−2a−3<0，解得−1<a<3．故选：A．小提示：本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题．3、下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥−2abC．a+b≥−2√|ab|D．a+b≤2√|ab|答案：B分析：由基本不等式，可判定A不正确；由a2+b2+2ab=(a+b)2≥0，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；由基本不等式可知a2+b2≥2ab，故A不正确；由a2+b2≥−2ab，可得a2+b2+2ab≥0，即(a+b)2≥0恒成立，故B正确；当a=−1,b=−1时，不等式不成立，故C不正确；当a=0,b=1时，不等式不成立，故D不正确.故选：B.<0的解集为（）4、不等式x−1x+2A．{x|x>1}B．{x|x<−2}C．{x|−2<x<1}D．{x|x>1或x<−2}答案：C<0等价于(x−1)(x+2)<0，进而可求出不等式的解集.解析：由x−1x+2<0等价于(x−1)(x+2)<0，解得−2<x<1，由题意，x−1x+2<0的解集为{x|−2<x<1}.所以不等式x−1x+2故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.5、下列命题中，是真命题的是（）A ．如果a >b ，那么ac >bcB ．如果a >b ，那么ac 2>bc 2C ．如果a >b ，那么ac>bc D ．如果a >b ，c <d ，那么a −c >b −d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误； 对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误； 对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.6、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为（ ） A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 若要使ab+bca 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同， 不妨设a,b,c 均为正实数， 则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b+2b≤2√a 2+c 2b×2b=2√2(a 2+c 2)=12√a 2+2ac+c 22(a 2+c 2)=12√12+ac a 2+c 2≤12√122√a 2×c2=12， 当且仅当a 2+c 2b=2b ，且a =c 取等，即a =b =c 取等号，即则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为12， 故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 7、已知命题“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,0]∪[4,+∞)B ．[0,4]C ．[4,+∞)D ．(0,4) 答案：A分析：先求出命题为真时实数a 的取值范围，即可求出命题为假时实数a 的取值范围. 若“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是真命题，即判别式Δ=(a −2)2−4×4×14<0，解得：0<a <4，所以命题“∀x ∈R ，4x 2+(a −2)x +14>0”是假命题，则实数a 的取值范围为：(−∞,0]∪[4,+∞). 故选：A.8、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（ ） A ．3B ．32C ．2D ．23 答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0，方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a ，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1， 即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3. 故选：A9、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．49 答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y，当且仅当a x =by 时等号成立，又0<x <12，即1−2x >0，于是得f(x)=222x+321−2x≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x=31−2x，即x =15时取“=”，所以函数f(x)=2x+91−2x(0<x <12)的最小值为25.故选：B10、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，√3)B ．(−∞，127)C ．(√3，+∞)D ．(127，+∞) 答案：A分析：分离参数，将问题转换为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设函数g(x)=6xx 2+3，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=6x x 2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6xx 2+3 ，故问题转化为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设g(x)=6xx 2+3，则g(x)=6x x 2+3=6x+3x，x ∈(0，2]，对于x +3x ≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号， 则g(x)max =2√3=√3，故m <√3 ， 故选：A 填空题11、已知正实数x,y 满足(x +3y −1)(2x +y −1)=1，则x +y 的最小值是________． 答案：3+2√25分析：先由题中条件，得到x +3y −1>0，2x +y −1>0，再由x +y =15(x +3y −1)+25(2x +y −1)+35，利用基本不等式，即可直接求出最小值.由已知得x >0，y >0，则x +3y −1>−1，2x +y −1>−1，因为(x +3y −1)(2x +y −1)=1，所以x +3y −1>0，2x +y −1>0，因此x +y =15(x +3y −1)+25(2x +y −1)+35≥2√225(x +3y −1)(2x +y −1)+35=3+2√25， 当且仅当15(x +3y −1)=25(2x +y −1)，即{x +3y −1=√22x +y −1=√22，即{x =25+√210y =15+3√210时，等号成立； 所以x +y 的最小值是3+2√25. 所以答案是：3+2√25. 小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12、函数f(x)=4x2+1x(x>0)取得最小值时x的取值为__________．答案：12分析：将函数化为f(x)=4x+1x，根据“一正，二定，三相等”的原则即可得到答案.x>0,f(x)=4x+1x ≥2√4x⋅1x=4，当且仅当4x=1x⇒x=12时取“=”.所以答案是：12.13、若x>0,y>0,xy=10，则2x +5y的最小值为_____．答案：2分析：化简2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2，结合基本不等式，即可求解.由x>0,y>0,xy=10，则2x +5y=2x+102y=2x+xy2y=2x+x2≥2√2x×x2=2，当且仅当x=2时取“=”，即2x +5y的最小值为2．所以答案是：2.14、已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝_____．答案：1分析：根据不等式的解集可得方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．∵不等式x2+ax+b≥0解集为{x|x≤2或x≥3}，故方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，由根与系数的关系可得{−a =5b =6 ，∴{a =−5b =6，∴a +b ＝1．所以答案是：1．15、正实数x,y 满足：2x +y =1，则2x +1y 的最小值为_____. 答案：9解析：根据题意，可得2x +1y =(2x +1y )(2x +y )=5+2y x+2x y，然后再利用基本不等式，即可求解.2x +1y =(2x +1y )(2x +y )=5+2y x+2x y≥5+2√2y x⋅2x y≥5+2√4=9，当且仅当x =y =13时取等号．所以答案是：9．小提示：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 解答题16、（1）若不等式ax 2+(1−a )x +a −2≥−2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式ax 2+(1−a )x +a −2<a −1(a ∈R ). 答案：（1）a ≥13；（2）答案见解析.分析：（1）根据题意分a =0和a >0两种情况求解；（2）不等式等价于ax 2+(1−a )x −1<0，然后分a =0，a >0和a <0三种情况求解. 解：（1）由题意，ax 2+(1−a )x +a ≥0恒成立， 当a =0时，不等式可化为x ≥0，不满足题意；当a ≠0时，满足{a >0Δ≤0，即{a >0(1−a )2−4a 2≤0 ，解得a ≥13. （2）不等式ax 2+(1−a )x +a −2<a −1(a ∈R )等价于ax 2+(1−a )x −1<0. 当a =0时，不等式可化为x <1，所以不等式的解集为{x |x <1}； 当a >0时，不等式可化为(ax +1)(x −1)<0，此时−1a <1， 所以不等式的解集为{x |−1a <x <1}；当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x−1)<0，①当a=−1时，−1a=1，不等式的解集为{x|x≠1}；②当−1<a<0时，−1a >1，不等式的解集为{x|x>−1a或x<1}；③当a<−1时，−1a <1，不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}.17、已知x>0,y>0且1x +9y=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．答案：m⩽16.分析：要使不等式x+y≥m恒成立，只需求x+y的最小值，将x+y=(x+y)(1x +9y)展开利用基本不等式可求解.由1x +9y=1，则x+y=(x+y)(1x+9y)=10+9xy+yx⩾10+2√9xy⋅yx=16．当且仅当{x+y=169xy=yx即{x=4y=12时取到最小值16．若x+y⩾m恒成立，则m⩽16．小提示：本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.18、冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到：每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与(4x+1)成正比；若在距离车站5km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和7万元.记两项费用之和为ω.(1)求ω关于x的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．答案：(1)ω=75x+1+13(4x+1)(2)这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元分析：（1）依题意设出y1=k1x+1，y2=k2(4x+1)，然后根据已知求出k1,k2，然后可得；（2）通过配凑使得积为定值，然后由基本不等式可得.（1）∵每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，∴可设y1=k1x+1，∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，∴可设y2=k2(4x+1)，又∵在距离车站5km处建仓库时，y1与y2分别为12.5万元和7万元，∴k1=6×12.5=75，k2=74×5+1=13.∴y1=75x+1,y2=13(4x+1)∴ω=y1+y2=75x+1+13(4x+1).（2）ω=y1+y2=75x+1+13(4x+1)=75x+1+43(x+1)−1≥2√75x+1×43(x+1)−1=19当且仅当75x+1=43(x+1)，即x＝6.5时等号成立，∴这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元．19、请回答下列问题：(1)若关于x的不等式x2−3x+2a2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b}，求a，b的值.(2)求关于x的不等式ax2−3x+2>5−ax(a∈R)的解集.答案：(1)b=2、a=±1(2)答案见解析分析：（1）由题意可得1和b为方程x2−3x+2a2=0的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）不等式为ax2+(a−3)x−3>0，即(ax−3)(x+1)>0，讨论a=0，a>0，a=−3，a<−3，−3< a<0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．（1）解：因为关于x的不等式x2−3x+2a2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b}，所以1和b为方程x2−3x+2a2=0的两根，所以{1+b=31×b=2a2，解得{b=2a=±1；（2）解：不等式ax2−3x+2>5−ax(a∈R)，即ax2+(a−3)x−3>0，即(ax−3)(x+1)>0，当a=0时，原不等式解集为{x|x<−1}；当a≠0时，方程(ax−3)(x+1)=0的根为x1=3a，x2=−1，∴①当a>0时，3a >−1，∴原不等式的解集为{x|x>3a或x<−1}；②当−3<a<0时，3a <−1，∴原不等式的解集为{x|3a<x<−1}；③当a=−3时，3a=−1，∴原不等式的解集为∅；④当a<−3时，3a >−1，∴原不等式的解集为{x|−1<x<3a}．。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识汇总笔记(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识汇总笔记单选题1、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（ ） A ．2B ．√2+1C ．94D ．52答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ， 所以1b+4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+a b +4b a)，≥14(5+2√ab ⋅4b a )=94，当且仅当{1b +4a =4a b=4b a，即{a =32b =34时，等号成立，故选：C2、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√2+1D ．√2+12答案：D分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出x+√xy x+y的最大值，设√yx =t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求x+√xy x+y的最大值即可，x+√xy x+y=1+√yx 1+y x，设√yx =t(t >0)，则1+√y x 1+y x=1+t1+t 2，再设1+t =m(m >1)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t 2=m 1+(m−1)2=m m 2−2m+2=1m+2m−2≤2√m⋅m−2=2√2−2=√2+12，当且仅当m =2m ⇒√yx =√2−1时取得“=”.所以a ≥√2+12，即实数a 的最小值为√2+12. 故选：D.3、下列说法正确的为（ ） A ．x +1x ≥2B ．函数y =2√x 2+3的最小值为4C ．若x >0,则x(2−x)最大值为1D ．已知时，a +4a−3≥2√a ⋅4a−3，当且仅当a =4a−3即a =4时，a +4a−3取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.对于选项A ,只有当x >0时，才满足基本不等式的使用条件，则A 不正确； 对于选项B ,y =2√x 2+3=2√x 2+3=2√x 2+3√x 2+3√x 2+3=t(t ≥√3)，即y =2t +2t (t ≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min =2√3+√3=8√33, 则B 不正确；对于选项C ,x(2−x)=−(x 2−2x +1)+1=−(x −1)2+1≤1，则C 正确；对于选项D ,当时，a +4a−3=a −3+4a−3+3≥2√(a −3)⋅4a−3+3=7，当且仅当 a −3=4a−3时，即a =5，等号成立，则D 不正确.故选：C .4、已知a >b >c >0，则（ ） A ．2a <b +c B ．a (b −c )>b (a −c ) C ．1a−c >1b−c D ．(a −c )3>(b −c )3 答案：D分析：由不等式的性质判断ACD ；取特殊值判断B.解：对于A ，因为a >b >c >0，所以a +a >b +a >b +c ，即2a >b +c ，故错误；3a >3a >对于B，取a=3>b=2>c=1>0，则a(b−c)=3<b(a−c)=4，故错误；对于C，由a>b>c>0，得a−c>b−c>0，所以1a−c <1b−c，故错误；对于D，由a>b>c>0，得a−c>b−c>0，所以(a−c)3>(b−c)3，故正确.故选：D.5、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为（）A．a+b2≥√ab(a>0,b>0)B．a2+b2≥2√ab(a>0,b>0)C．2aba+b ≤√ab(a>0,b>0)D．a+b2≤√a2+b22(a>0,b>0)答案：D分析：根据图形，求出圆的半径以及OC .再利用勾股定理求得FC ,结合直角三角形的直角边长小于斜边长，可得答案.设AC=a,BC=b，可得圆O的半径为r=OF=12AB=a+b2，又由OC=OB−BC=a+b2−b=a−b2，在直角△OCF中，可得FC2=OC2+OF2=(a−b2)2+(a+b2)2=a2+b22，因为FO≤FC，所以a+b2≤√a2+b22，当且仅当a=b时取等号．故选：D.6、前后两个不等式解集相同的有（）①x+52x−1≥0与(2x−1)(x+5)≥0②x+52x−1>0与(2x−1)(x+5)＞0③x2(2x−1)(x+5)≥0与(2x−1)(x+5)≥0④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0A．①②B．②④C．①③D．③④答案：B分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于①，由x+52x−1≥0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)≥0，解得：x>12或x≤−5.(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故①不正确；对于②，由x+52x−1>0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)>0，解得：x>12或x<−5.(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故②正确；对于③，x2(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x=0或x≤−5或x≥12}，(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故③不正确；对于④，x2(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x<−5或x>12}，(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故④正确；故选：B.7、设M I表示函数f(x)=|x2−4x+2|在闭区间I上的最大值．若正实数．．．a满足M[0,a]≥2M[a,2a]，则正实数a 的取值范围是（）A．[2−√3,12]B．[2−√3,1]C．[2,2+√3]D．[2+√3,4]答案：A分析：作图分析函数f(x)的特点，再分类讨论.函数f(x)的图像如下：f (x )的对称轴为x =2，f (2)=2，f (0)=f (4)=2；分类讨论如下：①当a >4时，M [0,a ]=f (a ),M [a,2a ]=f (2a )， 依题意，f (a )≥f (2a )，而函数在x ≥2+√2时是增函数，a <2a ， f (a )<f (2a )，故不可能；②当a ≤4时，M [0,a ]=2，依题意，2≥M [a,2a ]，即M [a,2a ]≤1， 令f (x )=1，解得：x 1=2−√3，x 2=1，x 3=2+√3，x 4=3，如图； 则有：a ≥2−√3并且2a ≤1，解得：2−√3≤a ≤12； 或者a ≥3并且2a ≤2+√3，无解； 故选：A.8、已知x >0，y >0，，则1x+1y的最小值为（ ）A ．3+2√2B ．12C ．8+4√3D ．6 答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x >0，y >0，， 所以(1x +1y )(x +2y )=3+2y x+xy ≥3+2√2，当且仅当2yx =xy ，即x =√2−1,y =2−√22时，等号成立.故选：A. 多选题21x y +=21x y +=9、设a>0,b>0，且2a +3b=1，则下列不等式成立的是（）A．b>3 B．ab≤24C．4a2+9b2≥12D．2a+b≤7+4√3答案：AC分析：对于选项A，利用已知求出a的关系式，然后由a>0即可求出b的范围；对于选项BCD，利用基本不等式以及“1”的代换即可求解，判断是否正确．对于选项A，因为a>0,b>0，且2a +3b=1，则a=21−3b，由a>0，则21−3b >0，即1−3b>0，解得b>3，故A正确，对于选项B，因为a>0,b>0，所以2a +3b=1≥2√2a⋅3b，当且仅当2a=3b=12时取等号，此时√6ab≤12，解得ab≥24，故B错误；对于选项C，a>0,b>0，且2a +3b=1，则4a2+9b2+12ab=1，即4a2+9b2=1−12ab，由选项B可得：4a2+9b2=1−12ab ≥1−1224=1−12=12，当且仅当2a=3b=12时取等号，故C正确；选项D：因为2a+b=(2a+b)(2a +3b)=7+2ba+6ab≥7+2√2ba⋅6ab=7+4√3，当且仅当2ba=6ab时取等号，故D错误.故选：AC．10、已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0，则（）A．xy的取值范围是[1,9]B．x+y的取值范围是[2,3)C．x+4y的最小值是3D．x+2y的最小值是4√2−3答案：BD分析：根据基本不等式可求得0<xy≤1，判断A;将x+y+xy−3=0变形为3−(x+y)=xy≤(x+y2)2结合基本不等式，判断B；由x+y+xy−3=0整理得到x=−1+4y+1结合基本不等式可判断C,D. 对于A，因为x>0，y>0，所以x+y≥2√xy，当且仅当x=y时取等号，即3−xy≥2√xy，解得0<√xy≤1，即0<xy≤1，A错误；对于B, 由x>0，y>0,3−(x+y)=xy≤(x+y2)2，当且仅当x=y时取等号，得(x+y)2+4(x+y)−12≥0，所以x+y≥2, 又3−(x+y)=xy>0，所以x+y<3，B正确；对于C, 由x>0，y>0，x+y+xy−3=0，得x=−y+3y+1=−1+4y+1，则x+4y=−1+4y+1+4y=4y+1+4(y+1)−5≥2√4y+1⋅4(y+1)−5=3，当且仅当4y+1=4(y+1)，即y=0时等号成立,但y>0，所以x+4y>3．（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：x>0，y>0,x=−1+4y+1,x+2y=−1+4y+1+2y=4y+1+2(y+1)−3≥4√2−3，当且仅当4y+1=2(y+1)，即y=√2−1时等号成立，D正确，故选：BD11、已知1a <1b<0，则下列不等关系中正确的是（）A．ab>a−b B．ab<−a−b C．ba +ab>2D．ba>ab答案：CD分析：根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假．对A，由1a <1b<0，得b<a<0，当a=−12，b=−2时，A错误；对B，当a=−2，b=−3时，B错误；对C，由1a <1b<0，得b<a<0，根据基本不等式知，C正确：对D ，由1a <1b <0，得b <a <0，所以b 2>a 2，因为b a −ab =b 2−a 2ab>0，所以D 正确．故选：CD ．12、已知函数f(x)=x 2−2x +2，关于f(x)的最大（小）值有如下结论，其中正确的是（ ） A ．f(x)在区间[−1,0]上的最小值为1B ．f(x)在区间[−1,2]上既有最小值，又有最大值C ．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5D ．当0<a <1时f(x)在区间[0,a ]上的最小值为f(a)；当a >1时f(x)在区间[0,a ]上的最小值为1 答案：BCD分析：根据二次函数的图象和性质判断.函数f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1的图象开口向上，对称轴为直线x =1.对于A 选项，因为f(x)在区间[−1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[−1,0]上的最小值为f(0)=2，所以错误； 对于B 选项，因为f(x)在区间[−1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[−1,2]上的最小值为f (1)=1，又因为f(−1)=5,f(2)=2,f(−1)>f(2)，所以f(x)在区间[−1,2]上的最大值为f(−1)=5，所以此选项正确； 对于C 选项，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2，最大值为f(3)=5，所以C 正确；对于D 选项，当0<a <1时，f(x)在区间[0,a ]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(a)， 当a >1时，因为f(x)在区间上单调递减，在[1,a ]上单调递增，所以f(x)在区间[0,a ]上的最小值为f(1)=1，所以D 正确. 故选：BCD13、若方程x 2+2x +λ=0在区间(−1,0)上有实数根，则实数λ的取值可以是（ ） A ．−3B ．18C ．14D ．1答案：BC解析：分离参数得λ=−x 2−2x ，求出−x 2−2x 在(−1,0)内的值域即可判断． 由题意λ=−x 2−2x 在(−1,0)上有解．[]0,1∵x ∈(−1,0)，∴λ=−x 2−2x =−(x +1)2+1∈(0,1)， 故选：BC ． 填空题14、已知−1<x +y <4,2<x −y <4，则3x +2y 的取值范围是_____． 答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可. 设x +y =m,x −y =n ，因此得：x =m+n 2,y =m−n 2，−1<m <4,2<n <4，3x +2y =3⋅m+n 2+2⋅m−n 2=5m 2+n2，因为−1<m <4,2<n <4，所以−52<5m 2<10,1<n 2<2，因此−32<5m 2+n2<12，所以−32<3x +2y <12. 所以答案是： (−32,12)15、已知∀a ∈[0,2]时，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，则x 的取值范围为__________． 答案：(−2,−1)分析：由题意构造函数关于a 的函数f (a )=(x 2+x −32)a +x +1，则可得{f(0)<0f(2)<0，从而可求出x 的取值范围.由题意，因为当a ∈[0,2]，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，可转化为关于a 的函数f (a )=(x 2+x −32)a +x +1，则f (a )<0对任意a ∈[0,2]恒成立， 则满足{f(0)=x +1<0f(2)=2x 2+2x −3+x +1<0，解得−2<x <−1，即x 的取值范围为(−2,−1)． 所以答案是：(−2,−1)16、用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m ． 答案：32##1.5分析：首先设框架的宽为x ，再表示框架的面积，利用基本不等式求最值，即可求框架的宽. 设框架的宽为x ，则其高为6−2x ，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S 最大，S =x (6−2x )=2x (3−x )≤2×[x+(3−x )2]2=92，当且仅当x =3−x ，即x =32时等号成立，故框架的宽为32m ．所以答案是：32解答题17、已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1． （1）求1a+2b 的最小值；（2）证明：ab+2b a 2+b 2+1＜√52．答案：（1）3+2√2；（2）证明见解析. 分析：（1）利用基本不等式即可求得最小值； （2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． （1）1a +2b =(a +b)(1a +2b )=3+2a b+b a z3+2√2a b ⋅ba =3+2√2，当且仅当“b =√2a ”时取等号， 故1a+2b 的最小值为3+2√2；（2）证明：ab+2ba 2+b 2+1=ab+2b a 2+b 25+4b 25+1⩽2√a 2⋅25+2√25⋅1=ab+2b2√5(ab+2b )=√52， 当且仅当a =12,b =√52时取等号，此时a +b ≠1．故ab+2ba 2+b 2+1＜√52．小提示：本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题. 18、已知二次函数y =x 2−2tx +t 2−1(t ∈R ).(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2−2tx+t2−1≥0；(2)若关于x的方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，求实数t的取值范围．答案：(1){x|x≥1或x≤−1}(2){t|−1<t<3}分析：（1）设二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)的两个零点分别为x1，x2，由x1+x2=0求出t，直接解得；（2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围．（1）设二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)的两个零点分别为x1，x2，由已知得x1+x2=0，而x1+x2=2t，所以2t=0，故t=0，不等式x2−2tx+t2−1≥0即x2−1≥0，解得x≥1或x≤−1，故不等式的解集为{x|x≥1或x≤−1}.（2）因为方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，所以{Δ=(−2t)2−4(t2−1)≥0−2<t<4(−2)2−2t×(−2)+t2−1>0 42−2t×4+t2−1>0，即{4≥0−2<t<4 t2+4t+3>0t2−8t+15>0，解得：−1<t<3，即实数t的取值范围为{t|−1<t<3}.。
2023年高考数学试题分类解析【第二章 一元二次函数、方程和不等式】附答案解析
2023年高考数学试题分类解析【第二章一元二次函数、方程和不等式】第一节不等式的性质1.（2023甲卷文科11）已知函数()()21e x f x --=.记22a f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，b f =⎝⎭，c f =⎝⎭，则（）A.b c a>> B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解析】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，因为4112222⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭，而22491670+-=+-=->，所以1122->-由二次函数性质知())22g g <，因为241122⎛--= ⎪⎝⎭，而22481682)0+-=+-=-=<，即1122-<-，所以()22g g >，综上，))222g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选A.2.（2023新高考I 卷10）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级20lgp pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（）A.12p p ≥B.2310p p >C.30100p p =D.12100p p ≤【解析】选项A，12121120000220lg 20lg 20lg lg 20lg 0p p p p pL L p p p p p ⎛⎫-=⨯-⨯=⨯-=⨯≥ ⎪⎝⎭，所以12p p ≥，所以A 正确；选项B，223320lg10p L L p -=⨯≥，所以231lg 2p p ≥，所以23p p ≥B 错误；选项C，33020lg40p L p =⨯=，所以30lg 2p p =，所以30100pp =，故C 正确；选项D，112220lg 905040p L L p -=⨯≤-=，所以12lg 2p p ≤，所以12100pp ≤，故D 正确.故选ACD.第二节三个“二次”的关系1.（2023甲卷文科11）已知函数()()21e x f x --=.记22a f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，b f =⎝⎭，c f =⎝⎭，则（）A.b c a>> B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解析】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，因为4112222⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭，而22491670+-=+-=->，所以1122->-由二次函数性质知())22g g <，因为241122⎛--= ⎪⎝⎭，而22481682)0+-=+-=-=<，即1122-<-，所以()22g g >，综上，))222g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选A.2.（2023新高考I 卷1）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N = （）A.{}2,1,0,1--B.{}0,1,2 C.{}2- D.{}2【解析】{}(][)260,23,N x x x =--≥=-∞-+∞ ，所以{}2M N =- ，故选C.11.（2023新高考I 卷4）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,0- C.(]0,2 D.[)2,+∞【解析】令()t x x a =-，要使得()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，需要满足()t x x a =-在区间()0,1单调递减，所以12a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选D.第三节基本不等式无。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知a,b 为正实数且a +b =2，则ba +2b 的最小值为（ ） A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2， 所以b =2−a ， 所以，ba +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立； 所以ba +2b =2−a a+2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D2、已知正数x ，y 满足2x+3y+13x+y=1，则x +y 的最小值（ ）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解. 令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1， 即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )， ∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34， 当且仅当m4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立， 故选：A.3、已知关于x 的不等式(2a +3m )x 2−(b −3m )x −1>0(a >0,b >0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（）A．2a+b=1B．ab的最大值为18C．1a +2b的最小值为4D．1a+1b的最小值为3+2√2答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)，可得2a+3m>0，且方程(2a+3m)x2−(b−3m)x−1=0的两根为−1和12，所以{−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥2√2ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a +2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba⋅4ab=4+4=8，当且仅当ba =4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a +1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+√2，当且仅当ba =2ab时，即b=√2a时，等号成立，所以1a +1b的最小值为3+2√2，所以D正确．故选：C．4、已知a=√2，b=√7−√3，c=√6−√2，则a，b，c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a答案：B分析：通过作差法，a−b=√2+√3−√7，确定符号，排除D选项；通过作差法，a−c=2√2−√6，确定符号，排除C选项；通过作差法，b−c=(√7+√2)−(√6+√3)，确定符号，排除A选项；由a−b=√2+√3−√7，且(√2+√3)2=5+2√6>7，故a>b；由a−c=2√2−√6且(2√2)2=8>6，故a>c；b−c=(√7+√2)−(√6+√3)且(√6+√3)2=9+2√18>9+2√14=(√7+√2)2，故c>b.所以a>c>b，故选：B.5、要使关于x的方程x2+(a2−1)x+a−2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是（）A．{a|−1<a<2}B．{a|−2<a<1}C．{a|a<−2}D．{a|a>1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围.由题意可得1+(a2−1)+a−2=a2+a−2<0，解得−2<a<1.故选：B.6、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.7、若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是（）A．ba >b+1a+1B．a+1a>b+1bC．a+1b>b+1aD．2a+ba+2b>ab答案：C分析：根据不等式的性质，对选项逐一判断对于A，ba −b+1a+1=b−aa(a+1)，因为a>b>0，故ba−b+1a+1=b−aa(a+1)<0，即ba<b+1a+1，故A错；对于B，a+1a −(b+1b)=(a−b)(1−1ab)不确定符号，取a=1,b=12则a+1a<b+1b，故B错误；对于C，a+1b −(b+1a)=(a−b)(1+1ab)，因为a>b>0，故a+1b −(b+1a)=(a−b)(1+1ab)>0，即a+1b>b+1a，故C正确；对于D，2a+ba+2b −ab=(b+a)(b−a)(a+2b)b，因为a>b>0，故2a+ba+2b −ab=(b+a)(b−a)(a+2b)b<0，即2a+ba+2b<ab，故D错误．故选：C8、设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（）A．2a >2bB．ac<bc C．|a|>－b D．√−a>√−b答案：B分析：利用不等式的性质对四个选项一一验证：对于A，利用不等式的可乘性进行证明；对于B，利用不等式的可乘性进行判断；对于C，直接证明；对于D，由开方性质进行证明.对于A，因为a<b<0，所以2ab >0，对a<b同乘以2ab，则有2a>2b，故A成立；对于B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；对于D，由－a>－b>0，可得√−a>√−b，则选项D成立.故选：B多选题9、若a>1，b<2，则（）A．a−b>−1B．(a−1)(b−2)<0C ．a +1a−1的最小值为2D ．12−b≥b答案：ABD分析：利用不等式的性质可判断ABD 选项；利用基本不等式可判断C 选项. 因为b <2，所以−b >−2，又a >1，所以a −b >−1，A 正确；因为a >1，b <2，则a −1>0，b −2<0，所以(a −1)(b −2)<0，B 正确； 因为a >1，所以a −1>0，所以a +1a−1=a −1+1a−1+1≥2√(a −1)⋅1a−1+1=3， 当且仅当a =2时，等号成立，C 不正确；因为b <2，则b (b −2)+1=(b −1)2≥0，所以，b (2−b )≤1， 因为2−b >0，所以12−b≥b ，D 正确.故选：ABD.10、已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <2}，则下列结论正确的是（ ） A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a +b +c >0 答案：BCD分析：对A ，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B ，C ，利用韦达定理即可判断；对D ，根据韦达定理以及b >0，即可求解.解：对A ，∵不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <2}， 故相应的二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下， 即a <0，故A 错误；对B ，C ，由题意知： 2和−12是关于x 的方程ax 2+bx +c =0的两个根， 则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba =2+(−12)=32>0， 又∵a <0，故b >0,c >0，故B ，C 正确； 对D ，∵c a =−1， ∴a +c =0， 又∵b >0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.11、《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB上取一点C，使得AC=a,BC=b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径，O为圆心的半圆周于点D，连接.下面不能由OD≥CD直接证明的不等式为（）A．√ab≤a+b2(a>0，b>0)B．√ab≥2aba+b(a>0，b>0)C．a2+b2≥2ab(a>0，b>0)D．a+b2≤a2+b22(a>0，b>0)答案：BCD解析：由AC=a,BC=b，得到OD=12(a+b)，然后利用射影定理得到CD2=ab判断. 因为AC=a,BC=b，所以OD=12(a+b),因为∠ADB=90∘，所以由射影定理得CD2=ab，因为OD≥CD，所以√ab≤a+b2，当且仅当a=b时取等号，故选：BCD12、若1≤x≤3≤y≤5，则（）A．4≤x+y≤8B．x+y+1x +16y的最小值为10C．−2≤x−y≤0D．(x+1y )(y+4x)的最小值为9OD答案：AB分析：根据不等式的基本性质和基本不等式进行求解判断即可.因为1≤x ≤3≤y ≤5，所以4≤x +y ≤8，−4≤x −y ≤0，故A 正确，C 错误； 因为x +y +1x +16y=x +1x +y +16y≥2√x ⋅1x +2√y ⋅16y=10，当且仅当x =1，y =4时，等号成立，所以x +y +1x +16y的最小值为10，因此B 正确；因为(x +1y )(y +4x )=xy +4xy +5≥2√4+5=9，当且仅当xy =2时，等号成立，但1≤x ≤3≤y ≤5，xy 取不到2，所以(x +1y )(y +4x )的最小值不是9，因此D 不正确， 故选：AB13、若a <b <0，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a−b <1a B ．1|a |>1|b |C ．(a +1b )2>(b +1a )2D ．(a +1a )2>(b +1b )2答案：AC分析：根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可. 对于A 选项, 由于a <b <0,故a −b <0,所以1a−b −1a =a−(a−b )a (a−b )=b a (a−b )<0, 即1a−b <1a ,故A 选项正确; 对于B 选项, 由于a <b <0,故a −b <0, 1|a|−1|b|=|b |−|a ||a ||b |=a−b |a ||b |<0,故1|a|<1|b |,故B 选项错误;对于C 选项, 因为a <b <0,故0>1a >1b ,所以0>b +1a >a +1b ,所以(a +1b )2>(b +1a )2,故C 选项正确; 对于D 选项,令a =−2,b =−12,则a +1a =b +1b =−52,所以(a +1a )2>(b +1b )2不成立,故D 选项错误;故选:AC小提示：本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断. 填空题14、不等式ax 2+x +1>0的解集为(m,1)，则m =__________． 答案：−12##−0.5分析：利用一元二次方程根与系数的关系可求得m 的值.由已知，关于x 的二次方程ax 2+x +1=0的两根分别为m 、1，且a <0， 所以，{a +2=01⋅m =1a，解得{a =−2m =−12.所以答案是：−12.15、函数y =2√x 2+1的最小值是___________.答案：4分析：根据基本不等式可求出结果. 令t =√x 2+1≥1，则y =2√x 2+1=t +4t≥4，当且仅当t =2，即x =±√3时，y min =4.所以函数y =2√x 2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16、已知a >0,b >0，且ab =1，则12a+12b+8a+b的最小值为_________．答案：4分析：根据已知条件，将所求的式子化为a+b 2+8a+b ，利用基本不等式即可求解. ∵a >0,b >0,∴a +b >0，ab =1,∴12a+12b +8a+b=ab 2a+ab 2b+8a+b=a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4，当且仅当a +b =4时取等号，结合ab =1,解得a =2−√3,b =2+√3，或a =2+√3,b =2−√3时，等号成立. 所以答案是：4小提示：本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 解答题17、如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为20m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 答案：(1)长为92m ，宽为185m(2)长为5m ，宽为4m分析：（1）设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则每间老虎笼的面积为S =xy ，可得出4x +5y =36，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则xy =20，利用基本不等式可求得钢筋网总长4x +5y 的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论. （1）解：设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则每间老虎笼的面积为S =xy ， 由已知可得4x +5y =36，由基本不等式可得S =xy =120⋅4x ⋅5y ≤120×(4x+5y 2)2=815(m 2)，当且仅当{4x =5y4x +5y =36，即当{x =92y =185时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为92m ，宽为185m 时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则xy =20， 钢筋网总长为4x +5y ≥2√20xy =40(m )，当且仅当{4x =5y xy =20，即当{x =5y =4时，等号成立，因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 18、实数a 、b 满足−3≤a +b ≤2，−1≤a −b ≤4. (1)求实数a 、b 的取值范围； (2)求3a −2b 的取值范围． 答案：(1)a ∈[−2,3]，b ∈[−72,32](2)[−4,11]分析：（1）由a =12[(a +b )+(a −b )]，b =12[(a +b )−(a −b )]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a −2b =12(a +b)+52(a −b)，再利用不等式的性质得解. （1）解：由−3≤a +b ≤2，−1≤a −b ≤4，则a =12[(a +b )+(a −b )]，所以−4≤(a +b )+(a −b )≤6，所以−2≤12[(a +b )+(a −b )]≤3，即−2≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[−2,3]． 因为b =12[(a +b )−(a −b )]， 由−1≤a −b ≤4，所以−4≤b −a ≤1，所以−7≤(a +b )−(a −b )≤3， 所以−72≤12[(a +b )−(a −b )]≤32， ∴−72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[−72,32]．（2）解：设3a −2b =m (a +b )+n (a −b )=(m +n )a +(m −n )b ， 则{m +n =3m −n =−2，解得{m =12n =52，∴3a−2b=12(a+b)+52(a−b)，∵−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4．∴−32≤12(a+b)≤1，−52≤52(a−b)≤10，∴−4≤3a−2b≤11，即3a−2b的取值范围为[−4,11]．。
4 第二章 一元二次函数、方程和不等式 章节综合检测卷(新高考题型)(解析版).
A． a 0
B．不等式 bx c 0 的解集为x x 4
C．不等式 cx2
bx
a
0
的解集为
x
x
1 4
或
x
1
3
D． a b c 0
【答案】AD
【详解】对于
A，由不等式的解集可知：
a
0
且
c
a
b a
3 4 7 3 4 12
，b
7a
，
c
12a
，A
正
确；
对于 B， bx c 7ax 12a 0 ，又 a 0 ， x 12 ，B 错误； 7
当且仅当
n m
m 4n
且
m
n
2 ，即
m
4 3
，
n
2 3
时取等号，此时取得最小值
5 4
，
故选：C
7．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式 ax2 bx c 0 的解集为x 1 x 2 ，则不等式
a x2 1 b(x 1) c 2ax 的解集是（ ）
A．x 0 x 3
B．x x 0 或 x 3
C．x 1 x 3
D．x 1 x 3
【答案】A
【详解】解：由 a x2 1 b x 1 c 2ax ，整理得 ax2 b 2a x a c b 0 ①．
又不等式 ax2 bx c 0 的解集为x 1 x 2 ，
所以
a
0
，且
(1) (1)
2 2
c a
b a
，即
对于
C，cx2
bx
a
12ax2
7ax
a
0
，即12
x
(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式总结(重点)超详细
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式总结(重点)超详细单选题1、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2 答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立， 当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意； 当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0 ，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2]. 故选：A.2、若a ，b ，c 为实数，且a <b ，c >0，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．a +c <b +c B ．1a <1b C ．ac >bc D ．b −a >c 答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a <b ⇒a +c <b +c ，A 选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.3、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.4、不等式1+x1−x≥0的解集为（）A．{x|x≥1或x≤−1}B．{x∣−1≤x≤1} C．{x|x≥1或x<−1}D．{x|−1≤x<1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，解得−1≤x<1，故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，故选：D．5、已知a >0，b >0且ab ＝1，不等式12a+12b+m a+b≥4恒成立，则正实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥2B ．m ≥4C ．m ≥6D ．m ≥8 答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a +b 的范围，化简不等式可得m ≥4(a +b )−(a+b )22，利用二次函数性质求4(a +b )−(a+b )22的最大值，由此可求m 的取值范围.不等式12a+12b+ma+b≥4可化为a+b 2ab+m a+b≥4，又a >0，b >0，ab ＝1，所以m ≥4(a +b )−(a+b )22，令a +b =t ，则m ≥4t −t 22，因为a >0，b >0，ab ＝1，所以t =a +b ≥2√ab =2，当且仅当a =b =1时等号成立， 又已知m ≥4t −t 22在[2,+∞)上恒成立，所以m ≥(4t −t 22)max因为4t −t 22=12(8t −t 2)=−12(t −4)2+8≤8，当且仅当t =4时等号成立，所以m ≥8，当且仅当a =2−√3，b =2+√3或a =2−√3，b =2+√3时等号成立， 所以m 的取值范围是[8,+∞)， 故选：D.6、已知正数x ，y 满足2x+3y+13x+y=1，则x +y 的最小值（ ）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解. 令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1， 即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )，∴x +y =m+n 4=(m4+n4)(2m +1n )=12+m4n +2n4m +14≥2√m4n ⋅2n4m +34=22√2+34=2√2+34， 当且仅当m4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立， 故选：A.7、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ） A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13} 则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A8、已知实数a,b,c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．a +1b<b +1aB ．2a+b a+2b<a bC ．ba−c>ab−c D ．√ca 3<√cb3答案：B分析：对于A ，利用不等式的性质判断；对于CD ，举例判断；对于B ，作差法判断 解：对于A ，因为a >b >0，所以1a<1b，所以a +1b>b +1a，所以A 错误，对于B ，因为a >b >0， 所以2a+ba+2b −ab =(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b=b 2−a 2(a+2b)b <0，所以2a+ba+2b <ab ，所以B 正确，对于C ，当a =2,b =1,c =−1时，b a−c =13<ab−c =1，所以C 错误， 对于D ，当a =8,b =1,c =−1时，√c a 3=−12>√cb 3=−1，所以D 错误， 故选：B9、已知集合M ={x |−4<x <2 }，N ={x |x 2−x −6 <0}，则M ∩N = A ．{x |−4<x < 3}B ．{x |−4<x < −2}C ．{x |−2<x < 2}D ．{x |2<x < 3} 答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M ={x |−4<x <2 },N ={x |−2<x <3 }，则 M ∩N ={x |−2<x <2 }．故选C ．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 10、若a >0,b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当a >0,b >0时，a +b ≥2√ab ，则当a +b ≤4时，有2√ab ≤a +b ≤4，解得ab ≤4，充分性成立；当a =1,b =4时，满足ab ≤4，但此时a +b =5>4，必要性不成立，综上所述，“a +b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 填空题11、已知a,b,a +m 均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a >b ,②a <b ,③m >0,④m <0,⑤b+m a+m >ba .以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________. 答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一. 已知a,b,a +m 均为大于0的实数,选择①③推出⑤. ①a >b ，③m >0， 则b+m a+m−b a=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bm a(a+m)=(a−b)m a(a+m)>0，所以b+ma+m >ba .所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.12、函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域是________. 答案：[−2,+∞)解析：先求出函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)， 则−x 2+3x +4>0，解得：−1<x <4， 所以函数的定义域为(−1,4)， 设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，则x ∈(−1,32)时，f (x )为增函数，x ∈(32,4)时，f (x )为减函数，可知当x =32时，f (x )有最大值为254，而f (−1)=f (4)=0，所以0<f (x )≤254，而对数函数y =log 0.4x 在定义域内为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)在区间(−1,32)上为减函数，在(32,4)上为增函数， ∴y ≥log 0.4254=−2，∴函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域为[−2,+∞). 所以答案是：[−2,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力. 13、已知x 、y 为两个正实数，且mx+y≤1x+1y恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案：(−∞,4]分析：由参变量分离法可得m ≤(x +y )(1x +1y )，利用基本不等式求出(x +y )(1x +1y )的最小值，由此可得出实数m 的取值范围.因为x 、y 为两个正实数，由mx+y ≤1x +1y 可得m ≤(x +y )(1x +1y )，因为(x +y )(1x +1y )=2+xy +yx ≥2+2√xy ⋅yx =4，当且仅当x =y 时，等号成立. 所以，m ≤4，因此，实数m 的取值范围是(−∞,4]. 所以答案是：(−∞,4].14、已知集合A ={x |−5<−2x +3<7 },B ={x |x 2−(3a −1)x +2a 2−a <0 } ,若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为______． 答案：[−12,52]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B ={x |(x −a )(x −2a +1)<0 }，当a <2a −1，即a >1时，B =(a,2a −1)，当a =2a −1，即a =1时，B =∅，当a >2a −1，即a <1时，B =(2a −1,a)，又A =(−2,4)，B ⊆A ，于是得{a >12a −1≤4 ，解得1<a ≤52，或{a <12a −1≥−2，解得−12≤a <1， 而∅⊆A ，则a =1，综上得：−12≤a ≤52， 所以实数a 的取值范围为[−12,52]．所以答案是：[−12,52]15、关于x 的不等式x 2−4x +4a ≥a 2在[1,6]内有解，则a 的取值范围为________． 答案：[−2,6]分析：根据不等式有解可得当x ∈[1,6]时，a 2−4a ≤(x 2−4x )max ，结合二次函数的最值可求得结果. ∵x 2−4x +4a ≥a 2在[1,6]内有解，∴a 2−4a ≤(x 2−4x )max ，其中x ∈[1,6]； 设y =x 2−4x (1≤x ≤6)，则当x =6时，y max =36−24=12， ∴a 2−4a ≤12，解得：−2≤a ≤6，∴a 的取值范围为[−2,6]. 所以答案是：[−2,6]. 解答题16、解关于x 的不等式：ax−1x−a>0．答案：答案见解析.分析：分a <−1、a =−1、−1<a <0、a =0、0<a <1、a =1、a >1七种情况讨论即可. 当a =0时，不等式化为−1x >0，解得x <0若a >0，则原不等式可化为a(x−1a)x−a>0，(x −a )(x −1a )>0当0<a <1时，a <1a ，解得x <a 或x >1a当a =1时，不等式化为(x −1)2>0，解得x ∈R 且x ≠1 当a >1时，a >1a ，解得x <1a 或x >a若a<0，则不等式可化为(x−a)(x−1a)<0当a<−1时，a<1a ，解得a<x<1a当a=−1时，不等式可化为(x+1)2<0，其解集为∅当−1<a<0时，a>1a ，解得1a<x<a综上，当a<−1时，不等式的解集为{x|a<x<1a}当a=−1时，不等式的解集为∅当−1<a<0时，不等式的解集为{x|1a<x<a}当a=0时，不等式的解集为{x|x<0}当0<a<1时，不等式的解集为{x|x<a或x>1a}当a=1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}当a>1时，不等式的解集为{x|x<1a或x>a}小提示：本题考查的是含参的分式不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.17、为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.答案：（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+160√3)平方米.分析：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x+4)，利用均值不等式，即得最小值.（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得y=400x.因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以400x⩾x+9，所以x2+9x−400⩽0，解得−25⩽x⩽16. 又x>0，所以0<x⩽16.所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x +4)=824+8(x+300x)⩾(824+160√3)（平方米）当且仅当x=10√3米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为(824+160√3)平方米.18、冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到：每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与(4x+1)成正比；若在距离车站5km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和7万元.记两项费用之和为ω.(1)求ω关于x的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．答案：(1)ω=75x+1+13(4x+1)(2)这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元分析：（1）依题意设出y1=k1x+1，y2=k2(4x+1)，然后根据已知求出k1,k2，然后可得；（2）通过配凑使得积为定值，然后由基本不等式可得.（1）∵每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，∴可设y1=k1x+1，∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，∴可设y2=k2(4x+1)，又∵在距离车站5km处建仓库时，y1与y2分别为12.5万元和7万元，∴k1=6×12.5=75，k2=74×5+1=13.∴y1=75x+1,y2=13(4x+1)∴ω=y1+y2=75x+1+13(4x+1).（2）ω=y1+y2=75x+1+13(4x+1)=75x+1+43(x+1)−1≥2√75x+1×43(x+1)−1=19当且仅当75x+1=43(x+1)，即x＝6.5时等号成立，∴这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元．19、解以下一元二次不等式(1)2x2−3x+1≤0(2)−x2−5x+6<0(3)4x2−4x+1>0(4)x2−6x+9≤0答案：(1){x|12≤x≤1}(2){x|x<−6或x>1}；(3){x|x≠12}(4)x=3分析：（1）（3）（4）对不等式的左边分解因式求解，（2）由−x2−5x+6<0，得x2+5x−6>0，然后对不等式的左边分解因式求解，（1）由2x2−3x+1≤0，得(x−1)(2x−1)≤0，≤x≤1，解得12≤x≤1}所以不等式的解集为{x|12（2）由−x2−5x+6<0，得x2+5x−6>0，则(x−1)(x+6)>0，解得x<−6或x>1，所以不等式的解集为{x|x<−6或x>1}（3）由4x2−4x+1>0，得(2x−1)2>0，，解得x≠12}所以不等式的解集为{x|x≠12（4）由x2−6x+9≤0，得(x−3)2≤0，得x=3，所以不等式的解集为{x|x=3}。
新高考数学模块二：一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练-(含答案)
新高考模块二：一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式） 一、不等式1.定义 不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子.2..不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：性质1 对称性：a b b a >⇔<； 性质2 传递性：,a b b c a c >>⇒>；性质3 加法法则（同向不等式可加性）：()a b a c b c c R >⇔+>+∈； 性质4 乘法法则：若a b >，则000c ac bc c ac bc c ac bc ，，.>⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩补充：除法法则：若a b >且0c =，则00a bc c ca b c c c⎧>⇒>⎪⎪⎨⎪<⇒<⎪⎩.， 性质5 可加法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+； 性质6 可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅>； 性质7 可乘方性：()*00n n a b n a b N >>∈⇒>>；可开方性：()01a b n n N 且+>>∈>⇒要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法 作差法：1. 任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①0a b a b ->⇔>； ②0a b a b -<⇔<； ③0a b a b -=⇔=. 作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小. ①1a a b b >⇔>； ②1a a b b <⇔<； ③1aa bb =⇔=. 要点诠释：若代数式a 、b 都为负数，也可以用作商法. 中间量法：若两个代数式a 、b 不容易直接判断大小，可引入第三个量c 分别与a 、b 作比较，若满足a b >且b c >，则a c >. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：24b ac ∆=-0∆>0∆=0∆<函数()y f x = 的图象方程()=0f x的解 有两相异实根 1212,()x x x x <有两相等实根 122bx x a ==-无实根不等式()0f x >的解集 {}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R不等式()0f x <的解集{}12x xx x <<∅ ∅要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 四、解一元二次不等式1. 解一元二次不等式()2ax +bx+c a ≠>00的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根122bx x a==-； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.五、基本不等式 1.对公式222a b ab +≥及2a b+≥. （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”. 2.由公式222a b ab +≥和2a b+≥ ①2b aa b +≥（,a b 同号）； ②2b aa b+≤-（,a b 异号）；③20,0)112a b a b a b+≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 要点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b +≥可以变形为：2()2a b ab +≤.2a b+≤求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：1．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.2．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值.【典型例题】类型一 不等式性质例1．对于实数a b c ，，判断以下说法的对错.（1）若a b >，则ac bc <； （2）若22ac bc >，则a b >； （3）若0a b <<， 则22a ab b >>； （4）若0a b <<， 则a b >； （5）若a b >，1a >1b， 则00a b ，><． 举一反三：【变式1】如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．B ．a+c ＜b+cC ．a ﹣c ＞b ﹣cD ．a •c ＜b •c 例2、比较下列两代数式的大小：（1）(5)(9)x x ++与2(7)x +；举一反三：【变式1】比较22x x +与2x +的大小【变式2】已知0a b >>，则2222a b a b -+ _________a ba b-+ （填,,><=）类型二 解二次不等式例3. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+->举一反三：【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩解不等式f (x )＞3.【变式2】 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3} 【变式3】下列选项中，使不等式x ＜1x ＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)例4． 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键. 举一反三：【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________.【变式2】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求x 的不等式210bx ax ++>的解集.【变式3】 若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 . 【变式4】 已知关于x 的不等式x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－1或x >2}，则b 2＋c 2＝( )A ．5B ．4C ．1D ．2例5.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点题库(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点题库单选题1、设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m+1+1n+1的最小值为（ ）A ．134B ．94C ．74D ．95 答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1=(4m+1+1n+1)(m+14+n+14)=n+1m+1+m+14(n+1)+54 ≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54=94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即m =53，n =13时等号成立.故选：B .2、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−b a (−1)×2=c a，即{ba=−1ca=−2②． 将①两边同除以a 得：x 2+(ba −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x2−3x<0，解得0<x<3．故选：A3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．{x|−2<x<1}B．{x|x<−2或x>1}C．{x|−2≤x≤1}D．{x|x≤−2或x≥1}答案：A分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.由二次函数图象知：ax2+bx+c>0有−2<x<1.故选：A4、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．5、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.6、已知p：a>b>0q：1a2<1b2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：根据a>b>0与1a2<1b2的互相推出情况判断出属于何种条件.当a>b>0时，a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以充分性满足，当1a2<1b2时，取a=−2,b=1，此时a>b>0不满足，所以必要性不满足，所以p是q的充分不必要条件，故选：A.7、不等式(x+1)(x+3)<0的解集是（）A．R B．∅C．{x∣−3<x<−1}D．{x∣x<−3，或x>−1}答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由(x+1)(x+3)<0，解得−3<x<−1，即不等式的解集为{x∣−3<x<−1}；故选：C8、若不等式(ax−2)(|x|−b)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则（）A．a>0，ab=12B． a>0，ab=2C．a>0，a=2b D．a>0，b=2a答案：B分析：由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，不满足题意，故b>0，再由二次函数的性质即可求解由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，显然不满足题意，故b>0，由二次函数的性质可知，此时必有2a=b，即ab=2，故选：B多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、下列说法中正确的是（ ） A ．若a >b ，则ac 2+1>bc 2+1 B ．若-2<a <3，1<b <2，则-3<a -b <1 C ．若a >b >0，m >0，则ma<mbD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 答案：AC分析：利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.对于A ，因c 2+1>0，于是有1c 2+1>0，而a >b ，由不等式性质得a c 2+1>bc 2+1，A 正确； 对于B ，因为1<b <2，所以-2<-b <-1，同向不等式相加得-4<a -b <2，B 错误； 对于C ，因为a >b >0，所以1a <1b ，又因为m >0，所以ma <mb ，C 正确；对于D ，−1>−2且−2>−3，而(−1)⋅(−2)<(−2)(−3)，即ac >bd 不一定成立，D 错误. 故选：AC11、下列说法正确的是（ ）A ．若x >2，则函数y =x +1x−1的最小值为3B ．若x >0,y >0，3x +1y =5，则3x +4y 的最小值为5 C ．若x >0，则xx 2+1的最大值为12D ．若x >0,y >0,x +y +xy =3，则xy 的最小值为1 答案：BC分析：利用基本不等式以及“1”的代换，结合不等式的解法，逐项判定，即可求解.对于A 中，由x >2，可得函数y =x +1x−1=(x −1)+1x−1+1≥2√(x −1)×1x−1+1=3， 当且仅当x −1=1x−1时，即x =2时等号成立，因为x >2，所以等号不成立，所以函数y =x +1x−1的最小值为不是3，所以A 不正确；对于B 中，由x >0,y >0，3x+1y=5，则3x +4y =15⋅(3x +4y)(3x+1y)=15×[13+(12y x+3x y)]≥15×(13+2√12y x×3x y)=5，当且仅当12y x=3x y时，即x =2y =1时，等号成立，所以3x +4y 的最小值为5，所以B 正确；对于C 中，由x >0，则x x 2+1=1x+1x因为x +1x≥2√x ×1x=2，当且仅当x =1x时，即x =1时，等号成立，所以x x 2+1的最大值为12，所以C 正确；对于D 中，由x >0,y >0，可得x +y +xy ≥2√xy +xy ，当且仅当x =y 时，等号成立， 所以xy +2√xy ≤3，即xy +2√xy −3=(√xy +3)(√xy −1)≤0， 解得0<√xy ≤1，即0<xy ≤1，所以xy 的最大值为1，所以D 不正确. 故选：BC.12、已知正数a ，b 满足a +2b =1，则（ ） A ．ab 有最大值18B ．1a +2b 有最小值8 C ．1b+ba有最小值4D ．a 2+b 2有最小值15答案：ACD分析：A 由a ⋅2b ≤(a+2b 2)2即可确定ab 最大值；B 利用基本不等式“1”的代换有1a +2b =2b a+2a b+5即可求最小值；C 将a +2b =1代入，利用基本不等式即可求最小值；D 将a =1−2b 代入，结合二次函数的性质求最值. A ：a ⋅2b ≤(a+2b 2)2=14，则ab ≤18当且仅当a =12，b =14时取等号，正确；B ：1a +2b =(a +2b )(1a +2b )=2b a +2a b+5≥4+5=9，当且仅当a =b =13时取等号，错误；C ：1b +ba =a+2b b+ba =2+ab +ba ≥2+2=4，当且仅当a =b =13时取等号，正确；D ：a 2+b 2=(1−2b )2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15(0<b <12)，故最小值为15，正确.故选：ACD13、下列命题不正确的（）A．1a <1b<0⇒|a|>|b|B．ac>bc⇒a>bC．a 3>b3ab>0}⇒1a<1bD．a2>b2ab>0}⇒1a<1b答案：ABD分析：利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.A：∵1a <1b<0∴ab>0且−1a>−1b>0，因此−1a⋅ab>−1b⋅ab>0⋅ab，即−b>−a>0⇒|−b|>|−a|>0⇒|b|>|a|，故本命题不正确；B：因为4−2>8−2，显然4>8不成立，所以本命题不正确；C：由a3>b3⇒a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)>0，而ab>0，所以有a>b，而1a −1b=b−aab<0⇒1a<1b，故本命题正确；D：若a=−2,b=−1，显然{a 2>b2ab>0成立，但是1−2<1−1不成立，故本命题不正确，故选：ABD小提示：方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法. 填空题14、已知a,b,c均为正实数，且aba+2b ⩾13,bcb+2c⩾14,cac+2a⩾15，那么1a+1b+1c的最大值为__________．答案：4分析：本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可因为a,b,c均为正实数，所以由题可得：0<a+2bab ≤3,0<b+2cbc≤4,0<c+2aac≤5，即0<1b+2a≤3，0<1c+2 b ≤4，0<1a+2c≤5，三式相加得：0<3(1a+1b+1c)≤12，所以0<1a+1b+1c≤4所以1a +1b+1c的最大值为4所以答案是：415、若a>0,b>0，则1a +ab2+b的最小值为____________．答案：2√2分析：两次利用基本不等式即可求出. ∵a >0,b >0， ∴1a +a b2+b ≥2√1a⋅a b2+b =2b+b ≥2√2b⋅b =2√2， 当且仅当1a =a b2且2b=b ，即所以1a +ab 2+b 的最小值为2√2. 所以答案是：2√2.16、已知a ，b ∈R ，若对任意x ≤0，不等式(ax +2)(x 2+2bx −1)≤0恒成立，则a +b 的最小值为___________． 答案：√3分析：考虑两个函数g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，由此确定a >0，x <0时，f(x)，g(x)有相同的零点，得出a,b 的关系，检验此时f(x)也满足题意，然后计算出a +b （用a 表示），然后由基本不等式得最小值．设g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，f(x)图象是开口向上的抛物线，因此由x ≤0时，f(x)g(x)≤0恒成立得a >0， g(x)=0时，x =−2a ，x <−2a 时，g(x)<0，−2a <x ≤0时，g(x)>0， 因此x <−2a 时，f(x)>0，−2a <x ≤0时，f(x)<0，f(−2a )=0， 所以4a 2−4b a−1=0①，−b >−2a②，由①得b =1a−a 4，代入②得a 4−1a>−2a，因为a >0，此式显然成立．a +b =1a+3a 4≥2√1a×3a 4=√3，当且仅当1a=3a 4，即a =2√33时等号成立， 所以a +b 的最小值是√3． 所以答案是：√3．小提示：关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数f(x)和g(x)，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数a,b 的关系，从而a b ==可求得a +b 的最小值． 解答题17、设函数f (x )=mx 2−mx −1．（1）若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； （2）解不等式f (x )<(m −1)x 2+2x −2m −1． 答案：（1）(−4,0]；（2）答案见解析．分析：（1）分别在m =0和m ≠0两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果； （2）将不等式整理为(x −m )(x −2)<0，分别在m <2，m >2和m =2三种情况下求得结果. （1）由f (x )<0知：mx 2−mx −1<0， 当m =0时，−1<0，满足题意；当m ≠0时，则{m <0Δ=m 2+4m <0，解得：−4<m <0；综上所述：m 的取值范围为(−4,0]．（2）由f (x )<(m −1)x 2+2x −2m −1得mx 2−mx −1−mx 2+x 2−2x +2m +1<0， 即x 2−(m +2)x +2m <0，即(x −m )(x −2)<0；当m <2时，解得：m <x <2；当m >2时，解得2<x <m ；当m =2时，解集为∅． 综上所述：当m <2时，解集为(m,2)；当m >2时，解集为(2,m )；当m =2时，解集为∅． 18、已知关于x 的不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0). （1）若不等式的解集是{x |x <−3或x >−2}，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围． 答案：（1）k =−25；（2）(−∞,−√66)；（3）[√66,+∞). 分析：（1）由题意可知不等式kx 2−2x +6k =0的两根分别为−3、−2，利用韦达定理可求得实数k 的值； （2）由题意得出{k <0Δ<0，由此可解得实数k 的取值范围；（3）由题意得出{k >0Δ≤0，由此可解得实数k 的取值范围.（1）因为不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集是{x |x <−3或x >−2}， 所以，−3和−2是方程kx 2−2x +6k =0的两个实数根，且k <0， 由韦达定理得(−3)+(−2)=2k，所以k =−25；（2）由于不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集是R ，所以{k <0Δ=4−24k 2<0，解得k <−√66， 因此，实数k 的取值范围是(−∞,−√66)； （3）由于不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0)的解集为∅， 则不等式kx 2−2x +6k ≥0(k ≠0)对任意的x ∈R 恒成立， 所以{k >0Δ=4−24k 2≤0，解得k ≥√66. 因此，实数k 的取值范围是[√66,+∞). 小提示：本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.。
2025高考数学专项复习第二章 一元二次函数、方程和不等式第3节 二次函数与一元二次方含答案
2025高考数学专项复习第二章一元二次函数、方程和不等式第三节二次函数与一元二次方程、不等式课标解读考向预测1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的实际意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为“二次问题”，二次函数是解决“二次问题”的核心灵魂．对于高考，主要考查利用二次函数解决一元二次不等式，借助二次函数的图象利用数形结合写出有关不等式的解集或者是未知参数的取值范围．预计2025年高考对于二次函数的考查，还是以结合一元二次不等式为主，难度不会太大，比如集合部分和函数定义域部分的求解等，稍有难度的主要还是与数形结合出题，整体保持稳定.必备知识——强基础1．二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集01{x|x>x2或x<x1} 02⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a03Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集04{x|x1＜x＜x2} 05∅06∅(1)f(x)g(x)>0(<0)07f(x)g(x)>0(<0)．(2)f(x)g(x)≥0(≤0)08f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．3．简单的绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为09(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，|x |<a (a >0)的解集为10(－a ，a )．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式－x 2－x ＋6＞0的解集是{x |x ＜－3或x ＞2}．( ) (2)不等式x －1x ＋3≥2等价于x －1≥2x ＋6.( )(3)不等式x 2－a ≤0的解集是[－a ，a ]．( )(4)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，关于x 的不等式f (x )<0的解集为(－1，3)，则f (4)>f (0)>f (1)．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)(人教B 必修第一册2.2.3练习B T1改编)已知集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{x |x 2－6x ＋5<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{0，1，2，3，4} B ．{1，2，4} C ．{0，1} D ．{2，4}答案 D解析 由题意，得B ＝{x |x 2－6x ＋5<0}＝{x |1<x <5}，所以A ∩B ＝{2，4}．故选D. (2)设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( ) A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n } 答案 B解析 原不等式可变形为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为m ，－n ，显然由m ＋n >0，得m >－n ，所以原不等式的解集是{x |－n <x <m }．故选B.(3)若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是________． 答案 －14解析 由题意，知－12，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－16，2a ＝－16，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.所以a ＋b ＝－14.(4)若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－2，2]解析 原不等式可整理为(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4＞0.当m ＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；当m ≠2时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＞0，(4－2m )2－4×4(2－m )＜0，解得－2＜m ＜2.综上可知，实数m 的取值范围是(－2，2]． 考点探究——提素养考点一 一元二次不等式的解法(多考向探究) 考向1不含参数的一元二次不等式的解法例1已知集合A ＝{x |4－x 2>0}，B ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－2<x <1} B ．{x |1<x <2} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－2<x <2}答案 C解析 因为A ＝{x |－2<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，所以A ∪B ＝{x |－2<x <3}．故选C. 【通性通法】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤【巩固迁移】1．(2024·浙江绍兴诸暨高三联考)已知集合M ＝{x |0≤x ＜2}，N ＝{x |－x 2＋2x ＋3＞0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2}答案 B解析 因为N ＝{x |－x 2＋2x ＋3＞0}＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}，M ＝{x |0≤x ＜2}，所以M ∩N ＝{x |0≤x ＜2}．故选B. 考向2含参数的一元二次不等式的解法例2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ∈R )． 解 原不等式可化为(ax －1)(x －1)＜0， 当a ＞0时，有⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0， 所以当a ＞1时，解得1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a；当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1＜0，即x ＞1； 当a ＜0时，1a ＜1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0， 解得x ＞1或x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ＞1}； 当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x >1. 【通性通法】解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：求对应方程的根优先考虑用因式分解法确定，不能因式分解时再用求根公式计算． 【巩固迁移】2．(2024·山东潍坊一中高三上期中)若关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集不为空集，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫65，＋∞解析 根据题意，分两种情况讨论：①当a 2－4＝0，即a ＝±2时，若a ＝2，则原不等式为4x －1≥0，解得x ≥14，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥14，不是空集；若a ＝－2，则原不等式为－1≥0，无解，不符合题意；②当a 2－4≠0，即a ≠±2时，若(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65，所以当不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集不为空集时，有a <－2或a ≥65且a ≠2.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫65，＋∞. 考向3可化为一元二次不等式的分式不等式的解法例3若集合A ＝{x |－x 2－x ＋6>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪5x －3≤－1，则A ∩B ＝( )A ．(－3，3)B ．[－2，3)C ．(－2，2)D ．[－2，2)答案 D解析 将－x 2－x ＋6>0化为x 2＋x －6<0，解得－3<x <2，则A ＝(－3，2)．由5x －3≤－1得x ＋2x －3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(x －3)≤0，x －3≠0，解得－2≤x <3，则B ＝[－2，3)，所以A ∩B ＝[－2，2)．故选D.【通性通法】分式不等式的求解策略分式不等式的求解策略是把分式不等式转化为整式不等式，对于形如f (x )g (x )>m 的分式不等式，一般应遵循“移项—通分—化乘积”的原则进行求解．注意：解不等式f (x )g (x )>m 时，不能直接在不等式两边同乘以分母g (x )，因为g (x )的符号不确定．3．(2024·广东部分地市高三模拟)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x ＋1≤0，B ＝{x |2x 2－(2a ＋1)x ＋a ≤0}，且A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－3，－1] B ．[－3，－1) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，－1]答案 C解析 依题意，得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x ＋1≤0＝{x |－3≤x <－1}，方程2x 2－(2a ＋1)x ＋a ＝0，即(2x －1)(x －a )＝0，解得x ＝12或x ＝a .当a >12时，B ＝⎣⎡⎦⎤12，a ，此时A ∩B ＝∅，不符合题意；当a ＝12时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，此时A ∩B ＝∅，不符合题意；当－1≤a <12时，B ＝⎣⎡⎦⎤a ，12，此时A ∩B ＝∅，不符合题意；当a <－1时，B ＝⎣⎡⎦⎤a ，12，此时A ∩B ≠∅，符合题意．综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－1)．故选C. 考点二 三个二次之间的关系例4若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集是( ) A ．{x |0<x <3} B ．{x |x <0或x >3} C ．{x |1<x <3} D ．{x |－1<x <3}答案 A解析 由a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax ，得ax 2＋(b －2a )x ＋(a ＋c －b )>0 ①.又不等式ax 2＋bx＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，所以a <0，且⎩⎨⎧(－1)＋2＝－b a ，(－1)×2＝c a ，即⎩⎨⎧ba ＝－1，ca ＝－2②.将①两边同除以a ，得x 2＋⎝⎛⎭⎫b a －2x ＋⎝⎛⎭⎫1＋c a －ba <0 ③.将②代入③，得x 2－3x <0，解得0<x <3.故选A. 【通性通法】三个“二次”即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，三者之间具有丰富的内涵和密切的联系．一元二次方程和一元二次不等式可看作二次函数的一种特殊情况：当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)转化为二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0；当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，所以解决问题需要三者相互联系．4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的最小值为0，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为{x |m <x <m ＋4}，则实数c 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．6 D ．4答案 D解析 由题意得4b －a 24＝0，∴b ＝a 24，又不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为{x |m <x <m ＋4}，∴方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的根为m ，m ＋4，即m ＋m ＋4＝－a ，解得m ＝－a －42，∴m ＋a 2＝－2，又m 2＋am ＋a 24－c ＝0，∴c ＝m 2＋am ＋a 24＝⎝⎛⎭⎫m ＋a 22＝4.故选D. 考点三 一元二次不等式恒成立问题(多考向探究) 考向1在R 上的恒成立问题例5关于x 的不等式mx 2－mx ＋m ＋1>0恒成立，则m 的取值范围为________． 答案 [0，＋∞)解析 当m ＝0时，1>0成立；当m ≠0时，⎩⎨⎧m >0，Δ＝m 2－4m (m ＋1)<0，解得m >0，所以m ≥0，即m 的取值范围为[0，＋∞)． 【通性通法】一元二次不等式在R 上恒成立问题一般要结合二次函数图象，用判别式解决． (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧a <0，b 2－4ac <0.注意：题目中是否有“一元二次”几个字，也就是判断是否要考虑二次项系数为0的情况． 【巩固迁移】5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0的解集为∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a <－2或a ≥2} B ．{a |－2<a <2} C ．{a |－2<a ≤2} D ．{a |a <2}答案 C解析 由题意得不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，即不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切实数x 恒成立．当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0，符合题意；当a －2<0，即a <2时，由Δ＝[2(a －2)]2＋4×4×(a －2)<0，解得－2<a <2，即实数a 的取值范围是{a |－2<a ≤2}．故选C.考向2在给定区间上的恒成立问题例6(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1，3]，f (x )>－m ＋2恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 (3，＋∞)解析 由f (x )>－m ＋2，得mx 2－mx －1>－m ＋2，即m (x 2－x ＋1)>3，当x ∈[1，3]时，x 2－x ＋1∈[1，7]，所以m >3x 2－x ＋1在x ∈[1，3]上恒成立，只需m >⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x ＋1max ，当x ＝1时，x 2－x ＋1有最小值，为1，则3x 2－x ＋1有最大值，为3，则m >3，故实数m 的取值范围为(3，＋∞)． 【通性通法】一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，则集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a . 【巩固迁移】6．(2024·广东深圳高三模拟)对于任意x ∈[－2，3]，不等式x 2－a |x |＋1>0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，2) 解析 当a ＝0时，不等式x 2＋1>0恒成立，当a ≠0时，不等式可变形为a <x 2＋1|x |，0<|x |≤3，设t ＝|x |，t ∈(0，3]，则y ＝x 2＋1|x |＝t 2＋1t ＝t ＋1t ，由对勾函数的性质，知该函数在(0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，∴当t ＝1时，y ＝t ＋1t 取得最小值2，∴a <2.故实数a 的取值范围是(－∞，2)．考向3给定参数范围的恒成立问题例7若不等式x 2＋px >4x ＋p －3，当0≤p ≤4时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[－1，3] B ．(－∞，－1] C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 不等式x 2＋px >4x ＋p －3可化为(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0，则[(x －1)p ＋x 2－4x ＋3]min >0(0≤p ≤4)，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3(0≤p ≤4)，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝x 2－4x ＋3>0，f (4)＝4(x －1)＋x 2－4x ＋3>0，解得x <－1或x >3. 【通性通法】解给定参数范围的不等式恒成立问题，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置(变换主元)，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围求解． 【巩固迁移】7．(2023·湖北部分重点高中高三联考)若命题“∃a ∈[－1，3]，ax 2－(2a －1)x ＋3－a <0”为假命题，则x 的取值范围为________． 答案 [－1，0]∪⎣⎡⎦⎤53，4解析 由题意知“∀a ∈[－1，3]，ax 2－(2a －1)x ＋3－a ≥0”为真命题．令g (a )＝ax 2－2ax ＋x ＋3－a ＝(x 2－2x －1)a ＋x ＋3≥0，则⎩⎨⎧g (－1)≥0，g (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，3x 2－5x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤4，x ≥53或x ≤0，所以x 的取值范围为[－1，0]∪⎣⎡⎦⎤53，4. 考向4不等式能成立或有解问题例8已知关于x 的不等式mx 2－6x ＋3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，3) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，127 C ．(3，＋∞) D ．⎝⎛⎭⎫127，＋∞ 答案 A解析 问题转化为m <6x x 2＋3在(0，2]上有解，设g (x )＝6x x 2＋3，则g (x )＝6x x 2＋3＝6x ＋3x ，x ∈(0，2]，又x ＋3x ≥23，当且仅当x ＝3时取等号，则g (x )max ＝623＝3，故m < 3.故选A.【通性通法】能成立或有解问题与恒成立问题处理方法类似，一般也是转化为函数的最值问题，一是直接研究原函数的最值；二是参数分离后研究最值，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )能成立⇔a ≥f (x )min ； (2)a ≤f (x )能成立⇔a ≤f (x )max . 【巩固迁移】8．若存在x ∈[－2，2]，x 2＋mx ＋3－m ≤0有解，则实数m 的取值范围为________． 答案 (－∞，－7]∪[2，＋∞)解析 因为f (x )＝x 2＋mx ＋3－m 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝－m 2，①当－m2≤－2，即m ≥4时，f (x )min ＝f (－2)＝4－2m ＋3－m ≤0，即m ≥73，∴m ≥4；②当－2<－m2<2，即－4<m <4时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－m 2＝－m 24＋3－m ≤0，解得m ≥2或m ≤－6，∴2≤m <4；③当－m2≥2，即m ≤－4时，f (x )min ＝f (2)＝4＋2m ＋3－m ≤0，解得m ≤－7.综上，m ≥2或m ≤－7.课时作业一、单项选择题1．不等式x 2－3x －10<0的解集为( ) A ．(－2，5)B ．(－∞，－2)∪(5，＋∞)C ．(－5，2)D ．(－∞，－5)∪(2，＋∞) 答案 A解析 由x 2－3x －10<0，得(x ＋2)(x －5)<0，解得－2<x <5.故选A.2．(2024·辽宁沈阳高三模拟)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≥0，B ＝{x |x 2－x －2>0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[1，2]B ．(1，2]C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．∅ 答案 B解析 x －21－x ≥0⇔⎩⎨⎧(x －2)(x －1)≤0，x ≠1，解得1<x ≤2，则A ＝(1，2]．由x 2－x －2＝(x －2)·(x ＋1)>0，解得x >2或x <－1，则B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故∁R B ＝[－1，2]，则A ∩(∁R B )＝(1，2]．故选B.3．已知不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式ax 2＋(b －1)x －3>0的解集为( ) A ．R B ．∅C ．{x |－1<x <3}D ．{x |x <－1或x >3} 答案 D解析 由⎩⎨⎧－ba ＝－1＋2，－2a ＝－1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝1.故不等式ax 2＋(b －1)x －3>0可化为x 2－2x －3>0，即(x －3)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >3.故选D.4．已知关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |－1≤a ≤4} B ．{a |－1<a <4} C ．{a |a ≥4或a ≤－1} D ．{a |－4≤a ≤1} 答案 A解析 因为关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，即x 2－4x ＋a 2－3a ≤0在R 上有解，只需y ＝x 2－4x ＋a 2－3a 的图象与x 轴有公共点，所以Δ＝(－4)2－4×(a 2－3a )≥0，即a 2－3a －4≤0，所以(a －4)(a ＋1)≤0，解得－1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤4}．故选A.5．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．⎣⎡⎭⎫－52，＋∞ D ．(－∞，－3]答案 C解析 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，即a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max，y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，y max ＝－52，所以a ≥－52.故选C. 6．(2023·江苏徐州三十六中模拟)若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有x 2＋mx －1<0成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－23，0 B ．⎝⎛⎭⎫－22，0 C ．⎣⎡⎦⎤－23，0 D ．⎣⎡⎦⎤－22，0 答案 B解析 设f (x )＝x 2＋mx －1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m 2－1<0，f (m ＋1)＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.故选B.7．(2024·福建福州高级中学高三阶段测试)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋4>0的解集为(－∞，m )∪⎝⎛⎭⎫4m ，＋∞，其中m <0，则b a ＋4b 的最小值为( ) A ．－4 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 因为ax 2＋bx ＋4>0的解集为(－∞，m )∪⎝⎛⎭⎫4m ，＋∞，所以a >0，且m ，4m 是方程ax 2＋bx ＋4＝0的两根，所以m ·4m ＝4a ，解得a ＝1，所以m ＋4m ＝－ba ＝－b ，即b ＝－⎝⎛⎭⎫m ＋4m ，当m <0时，b ＝－⎝⎛⎭⎫m ＋4m ＝－m ＋⎝⎛⎭⎫－4m ≥2－m ·⎝⎛⎭⎫－4m ＝4，当且仅当m ＝4m，即m ＝－2时取等号，令f (b )＝b a ＋4b ＝b ＋4b (b ≥4)，由对勾函数的性质可知，函数f (b )在(2，＋∞)上单调递增，所以f (b )≥f (4)＝4＋44＝5，所以b a ＋4b的最小值为5.故选D.8．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多有2个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－3，5] D ．[－2，4]答案 D解析 x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)·(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为1<x <a ，要使得解集中至多有2个整数，则1<a ≤4；当a ＝1时，不等式的解集为∅，满足题意；当a <1时，不等式的解集为a <x <1，要使得解集中至多有2个整数，则－2≤a <1.综上，实数a 的取值范围是[－2，4]．故选D. 二、多项选择题9．已知关于x 的一元二次不等式ax 2－(2a －1)x －2>0，其中a <0，则该不等式的解集可能是( ) A ．∅ B ．⎝⎛⎭⎫2，－1a C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1a ∪(2，＋∞) D ．⎝⎛⎭⎫－1a ，2 答案 ABD解析 不等式变形为(x －2)(ax ＋1)>0，又a <0，所以(x －2)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0.当a ＝－12时，不等式的解集为∅；当a <－12时，－1a <x <2；当－12<a <0时，2<x <－1a.故选ABD.10．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则( ) A ．a >0B ．不等式bx ＋c >0的解集是{x |x <－6}C ．a ＋b ＋c >0D ．不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 ABD解析显然a >0，A 正确；又－2和3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则⎩⎨⎧－2＋3＝－b a，－2×3＝c a，即b ＝－a ，c ＝－6a ，则a ＋b ＋c ＝－6a <0，C 错误；不等式bx ＋c >0即为－ax －6a >0，解得x <－6，B 正确；不等式cx 2－bx ＋a <0即为－6ax 2＋ax ＋a <0，即6x 2－x －1>0，解得x <－13或x >12，D 正确．故选ABD. 11．(2024·福州四校联盟期末检测)命题“∀x ∈[1，2]，ax 2－x ＋a >0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥12B ．a >12C ．a ≥1D ．a ＝2答案 CD解析 解法一：由题意得a >0，设函数f (x )＝ax 2－x ＋a ，其图象的对称轴为直线x ＝12a .当12a ≤1，即a ≥12时，f (x )在[1，2]上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝2a －1>0，即a >12，符合题意；当1<12a <2，即14<a <12时，可知Δ＝1－4a 2<0无解，不符合题意；当12a ≥2，即0<a ≤14时，f (x )在[1，2]上单调递减，所以f (x )min ＝f (2)＝5a －2>0无解，不符合题意．综上，命题为真命题的充要条件为a >12，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为a ≥1或a ＝2.故选CD.解法二：因为∀x ∈[1，2]，ax 2－x ＋a >0等价于∀x ∈[1，2]，a >x x 2＋1恒成立，设h (x )＝xx 2＋1，则h (x )＝x x 2＋1＝1x ＋1x ∈⎣⎡⎦⎤25，12.所以命题为真命题的充要条件为a >12，所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为a ≥1或a ＝2.故选CD. 三、填空题12．(2024·陕西长安一中高三月考)不等式x 2＋2x －3x ＋1≥0的解集为________．答案 [－3，－1)∪[1，＋∞)解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≥0，x ＋1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x ＋1<0，解得x ≥1或－3≤x <－1.13．(2023·江苏南京高三质检)函数y ＝lg (c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________． 答案 3解析 依题意，得－x 2＋2x ＋c >0，即x 2－2x －c <0的解集为(m ，m ＋4)，所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝2，m (m ＋4)＝－c ，解得m ＝－1，c ＝3.14．(2024·山东潍坊高三模拟)若对任意m ∈[－1，1]，x 2＋(3－m )x －6<2恒成立，则实数x的取值范围是________． 答案 (－4，23－2)解析 x 2＋(3－m )x －6<2，即x 2＋(3－m )x －8<0，设g (m )＝x 2＋(3－m )x －8＝－mx ＋x 2＋3x －8，因为对任意m ∈[－1，1]，g (m )＝－mx ＋x 2＋3x －8<0恒成立，所以由一次函数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝－x ＋x 2＋3x －8<0，g (－1)＝x ＋x 2＋3x －8<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8<0，x 2＋4x －8<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－4<x <2，－2－23<x <23－2.故实数x 的取值范围是(－4，23－2)．15．若不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅，则m 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，233B ．⎝⎛⎭⎫－∞，233C ．⎣⎡⎭⎫－233，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 D解析 ∵不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅，∴(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0恒成立．①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式化为x －2≥0，解得x ≥2，不是对任意x ∈R 恒成立，舍去；②当m ＋1≠0，即m ≠－1时，对任意x ∈R ，要使(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0，只需m ＋1>0且Δ＝(－m )2－4(m ＋1)·(m －1)≤0，解得m ≥233.综上，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫233，＋∞.故选D.16．(多选)(2024·江苏苏州中学高三质量评估)已知关于x 的不等式a (x －1)(x ＋3)＋2>0的解集是(x 1，x 2)，其中x 1<x 2，则下列结论中正确的是( ) A ．x 1＋x 2＋2＝0 B ．－3<x 1<x 2<1 C ．|x 1－x 2|>4 D ．x 1x 2＋3<0 答案 ACD解析 由题意，a (x －1)(x ＋3)＋2＝ax 2＋2ax －3a ＋2>0的解集为(x 1，x 2)，所以a <0，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝2a －3，所以x 1＋x 2＋2＝0，x 1x 2＋3＝2a <0，故A ，D 正确；原不等式可化为f (x )＝a (x －1)(x ＋3)>－2的解集为(x 1，x 2)，而f (x )的零点分别为－3，1且f (x )的图象开口向下，又x 1<x 2，如图所示，由图可知，x 1<－3<1<x 2，|x 1－x 2|>4，故B 错误，C 正确．故选ACD.17．(多选)(2024·河北石家庄一中高三模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c －1<0的解集为{x |α<x <β}，且β－α<1，若x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不等实根，则( ) A ．a <0 B ．β－x 1＝x 2－α C ．|x 1－x 2|<1D ．|β2－x 22|>|α2－x 21|答案 BC解析 由题意得a >0，A 错误；因为将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c －1图象上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，所以α＋β＝x 1＋x 2，即β－x 1＝x 2－α，B 正确；如图，又0<β－α<1，所以|x 1－x 2|<|β－α|<1，C 正确；当α<β<0，x 1<x 2<0时，|β－x 2|＝|α－x 1|，|β＋x 2|<|α＋x 1|，所以|β2－x 22|＝|(β－x 2)(β＋x 2)|<|(α－x 1)·(α＋x 1)|＝|α2－x 21|，D 错误．故选BC.18．(2024·江苏常州金坛区期中)某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数．若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为________元． 答案 120或130解析 设每个床位的定价应为x 元，则每晚上有200－(x －50)＝250－x 张床位有人入住，所以旅馆每晚的收入为(250－x )x ＝－x 2＋250x 元，因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，所以－x 2＋250x >15400，即x 2－250x ＋15400<0，解得110<x <140，因为x 是10的整数倍，所以每个床位的定价应为120或130元．19．设关于x 的不等式ax 2＋8(a ＋1)x ＋7a ＋16≥0(a ∈Z )只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a 的取值是________，不等式的全部整数解的和为________． 答案 －2或－1 －10解析 若a ＝0，则原不等式为8x ＋16≥0，即x ≥－2，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故a ≠0.设y ＝ax 2＋8(a ＋1)x ＋7a ＋16(a ≠0)，其图象为抛物线，对于任意一个给定的a 值，其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y ≥0的整数解是有限个，所以a <0.因为0为其中一个解，所以7a ＋16≥0，即a ≥－167，所以－167≤a <0，又a ∈Z ，所以a ＝－2或a ＝－1.若a ＝－2，则不等式为－2x 2－8x ＋2≥0，解得－2－5≤x ≤5－2，因为x 为整数，所以x ＝－4，－3，－2，－1，0；若a ＝－1，则不等式为－x 2＋9≥0，解得－3≤x ≤3，因为x 为整数，所以x ＝－3，－2，－1，0，1，2，3.所以不等式的全部整数解的和为－10. 20．已知f (x )＝1＋ax －1＋ax 2，若对任意x ∈[0，2]，f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 [1－2，0]解析 由题意，得f (x )≤0，即1＋ax ≤1＋ax 2，x ∈[0，2]．当x ＝0时，1＝1，a ∈R .当x∈(0，2]时，①若a ≥0，则1＋2ax ＋a 2x 2≤1＋ax 2，即(a 2－a )x ＋2a ≤0，设g (x )＝(a 2－a )x＋2a ，于是⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝2a ≤0，g (2)＝2(a 2－a )＋2a ≤0，则1－2≤a ≤0，所以a ＝0.②若a <0，首先1＋ax 2≥0，而函数y ＝1＋ax 2在(0，2]上单调递减，则1＋2a ≥0，则a ≥－12.而函数y ＝1＋ax 在(0，2]上单调递减，则1＋ax ≥1＋2a ≥1－22>0，则1＋2ax ＋a 2x 2≤1＋ax 2，即(a 2－a )x ＋2a ≤0，设h (x )＝(a 2－a )x ＋2a ，于是⎩⎪⎨⎪⎧h (0)＝2a ≤0，h (2)＝2(a 2－a )＋2a ≤0，则1－2≤a ≤0，所以1－2≤a <0.综上，实数a的取值范围为[1－2，0]．所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． (1)判别式Δ的符号；(2)对称轴x ＝－b2a 与所给区间的位置关系；(3)区间端点处函数值的符号．一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类： 类型一 已知两根与实数k 的大小关系根的分布情况两根都小于k ，即x 1<k ，x 2<k两根都大于k ，即x 1>k ，x 2>k一根小于k ，一根大于k ，即x 1<k <x 2大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－b2a <k ，f （k ）>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－b2a >k ，f （k ）>0f (k )<0大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－b2a <k ，f （k ）<0 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－b2a >k ，f （k ）<0 f (k )>0综合结论(不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－b2a <k ，a ·f （k ）>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－b2a >k ，a ·f （k ）>0a ·f (k )<0例1(1)若关于x 的方程x 2－(m －1)x ＋2－m ＝0的两根为正数，则实数m 的取值范围是________．答案 [－1＋22，2)解析 设f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2－m ，则⎩⎨⎧Δ＝（m －1）2－4（2－m ）≥0，m －12>0，f （0）＝2－m >0，解得－1＋22≤m <2.(2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1<1<x 2，那么实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－211，0 解析 由于方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0有两个不相等的实数根，故a ≠0，则ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0可化为x 2＋⎝⎛⎭⎫1＋2a x ＋9＝0，令f (x )＝x 2＋⎝⎛⎭⎫1＋2a x ＋9，则f (1)＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋2a ×1＋9<0，解得－211<a <0. 当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.1．(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x 的方程x 2＋(m －2)x ＋6－m ＝0的两根都大于2，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－6，－25]解析 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋6－m ，则⎩⎨⎧Δ＝（m －2）2－4（6－m ）≥0，－m －22>2，f （2）＝4＋2（m －2）＋6－m >0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤－25，m <－2，m >－6，解得－6<m ≤－2 5.2．已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，1 解析 解法一：显然2m ＋1≠0，令f (x )＝x 2－2m2m ＋1x ＋m －12m ＋1，则f (0)<0，即m －12m ＋1<0，所以(2m ＋1)(m －1)<0，解得－12<m <1.解法二：设x 1，x 2是方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0的两个根，则x 1x 2＝m －12m ＋1<0，解得－12<m <1. 类型二 已知两根所在的区间 根的分布情况两根都在(m ，n )内恰有一根在(m ，n )内一根在(m ，n )内，另一根在(p ，q )内，m <n <p <q大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f （m ）>0，f （n ）>0，m <－b2a <n⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，m <－b 2a <n 或f (m )f (n )<0 ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）>0，f （n ）<0，f （p ）<0，f （q ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）f （n ）<0，f （p ）f （q ）<0 大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f （m ）<0，f （n ）<0，m <－b2a <n⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，m <－b 2a <n 或f (m )f (n ) <0 ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （n ）>0，f （p ）>0，f （q ）<0或⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）f （n ）<0，f （p ）f （q ）<0综合结论(不讨论a )⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a ·f （m ）>0，a ·f （n ）>0，m <－b2a <n⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，m <－b 2a <n或f (m )f (n ) <0 ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）f （n ）<0，f （p ）f （q ）<0另外，根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ，n )外，即在区间两侧x 1<m ，x 2>n (图形分别如下)，需满足的条件是：(1)当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （n ）<0；(2)当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）>0，f （n ）>0.例2已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m 的取值范围为________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－56，－12 ⎝⎛⎦⎤－12，1－2 解析 设函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则其图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56，解得－56＜m ＜－12.由题意知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，Δ＝4m 2－4（2m ＋1）≥0，0<－m <1，即⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0，解得－12＜m ≤1－ 2.求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值． 注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x ，y 轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法．3．已知方程x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0，1)解析 解法一：设f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋1）>0，－2a ＋a （a ＋1）<0，9－3（2a ＋1）＋a （a ＋1）>0，解得⎩⎨⎧a >0或a <－1，0<a <1，a >3或a <2，所以0<a <1.解法二：由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＝0，得(x －a )[x －(a ＋1)]＝0，所以方程两根为x 1＝a ，x 2＝a ＋1，则⎩⎨⎧0<a <1，1<a ＋1<3，解得0<a <1.4．已知关于x 的方程ax 2＋x ＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－3，0)解析 显然a ≠0，则方程ax 2＋x ＋2＝0可化为x 2＋x a ＋2a ＝0，设f (x )＝x 2＋x a ＋2a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）<0，即⎩⎨⎧2a<0，1＋1a ＋2a <0，解得－3<a <0，所以实数a 的取值范围是(－3，0)． 类型三 可转化为一元二次方程根的分布的问题一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解．(2023·河北石家庄藁城一中模拟)设函数f (x )＝－32cos2x ＋a sin x ＋a ＋92，若方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－3，6－62)解析 f (x )＝－32(1－2sin 2x )＋a sin x ＋a ＋92＝3sin 2x ＋a sin x ＋a ＋3，x ∈(0，π)，令sin x ＝t ，t ∈(0，1]，h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3，当0<t <1时，sin x ＝t 有两个不相等的实数根，当t ＝1时，sin x ＝t 有且仅有一个实数根，因为方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<－a6<1，Δ＝a 2－12（a ＋3）>0，h （0）＝a ＋3>0，h （1）＝2a ＋6>0，解得－3<a <6－6 2.本题中，令sin x ＝t ，将原问题转化为3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，进而转化为一元二次方程根的分布问题是解决问题的关键，同时要注意区间端点是否满足题意．5．(2024·黑龙江哈尔滨南岗实验中学模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，|log 4x |，x >0，若关于x 的函数g (x )＝[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3恰好有六个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤23－2，32 解析 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋1，x ≤0，|log 4x |，x >0的图象如图，令f (x )＝t ，则当t ∈(1，2]时，方程f (x )＝t 有3个不同的实数解，所以使关于x 的方程[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则方程t 2－(a ＋2)t ＋3＝0在(1，2]上有两个不同的实数根，令g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（a ＋2）2－12>0，1<a ＋22<2，g （1）＝2－a >0，g （2）＝3－2a ≥0，解得23－2<a ≤32，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤23－2，32.。
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新高考模块二：一元二次函数、方程和不等式全章讲解训练【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式）一、不等式1.定义不等式：用不等号（>,<,2, W, W）表示不等关系的式子.2.1.等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：性质1对称性：a>b O b<ax性质2传递性：a >b. b>c = d >c：性质3加法法则（同向不等式可加性）：a>b^a + c>b + c（ceR）：'c > o n * > be,性质4乘法法则：若a>〃，则<c = O = ac = "c, c < 0 => nc < he.c>0=> — >—,补充：除法法则：若且c = 0,则0 :c<0 = 2「.c C性质5 可加法则：o>b,c>d =>a + c>b + d :性质6 可乘法贝a>b>O.c>d >0=>a c>b d >0 ；性质7可乘方性：a>h>O（neN）=>a n >^>0：可开方性：”>〃>（）（〃wN♦且〃>1）=y7>物.要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.二、比较两代数式大小的方法作差法：1.任意两个代数式“、/人可以作差。
-8后比较。
-人与。
的关系，进一步比较“与。
的大小. "）4-/?>0 = 4>。
：②a-b<O = a <1八③。
一b = O = a = b.作商法：任意两个值为正的代数式a、〃，可以作商〃后比较；与1的关系，进一步比较，与〃的大小. b①®-<\^a<b；③j=1Q Q =从b b h要点诠释：若代数式"、b都为负数，也可以用作商法.中间量法：若两个代数式“、〃不容易直接判断大小，可引入第三个量。
分别与“、人作比较，若满足a>〃且b>c,则“>c.第三个量就是中间量.这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择。
或1为中间量.三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设+以+ c (“>0),判别式△ = Z/_4“c,按照△>(), △ = (), △<()该函数图象(抛物线)与x 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同.如下表所示：△ = — 4</c A>0 A=O A<0函数y = /(x) 的图象『/三uo|冷及k方程/(切=0的解有两相异实根菁,w(± <X2)有两相等实根b% =居=-- 2a无实根不等式〃、)>0 的解集｛中<$或¥>&｝♦b 〈X X H 一一2a・R不等式/(“<0 的解集｛中］< x<x2J 0 0要点诠释：(1)一元二次方程"、公+。
= 0(〃=0)的两根斗公是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =,谓+以+。
与A-轴的交点的横坐标；(2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决：(3)解集分A>O,A = O3vO三种情况，得到一元二次不等式心?+法+ c>0与o^+Zu + cvO的解集.四、解一元二次不等式1.解一元二次不等式。
♦+〃+€ > 0(。
丰0)的步骤(1)先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数:(2)写出相应的方程加+取+ c = 0Q>0),计算判别式△:①△>()时，求出两根入卜々，且(注意灵活运用因式分解和配方法): ②△ = ()时, ③△<()时，方程无解(3)根据不等式,写出解集.求根A =x2五、基本不等式L对公式cr +b2> 2ab及竺2 >猴的理解. 2（1）成立的条件是不同的：前者只要求〃力都是实数，而后者要求4/都是正数：（2）取等号』”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当〃=〃时取等号”.2 •由公式42+〃224;和人22V而可以引申出常用的常用结论2①9 + 322 （«〃同号）；a b②9 +（。
力异号）；a b" - < 4ab < J（a >O.b> 0）或4 （"今 < ""'-（a >0、b>0）1 J2 V 2 2 2a + b要点诠释：〃之2皿可以变形为：ah<^-^-9匕匕之箍可以变形为:"<（上辿尸.2 2 2六、用基本不等式J拓4三士求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值：③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.要点诠释：1.基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式：若对于所给的“和式”中的各项的“积''为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，贝IJ"积”有最大值.2.利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数：②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值.【典型例题】类型一不等式性质例1.对于实数a, b, c判断以下说法的对错.(1)若a > 〃，则ac < 权，；(2 )若at? > be2,贝lj a > 〃：(3)若a<〃<0,则(4)若a<〃<0,则同(5)若a>〃，- >1»则a>0, /?<0 .a b举一反三：【变式1】如果aVbVO,那么下列不等式成立的是( )A. —^―B. a+cVb+cC. a - c>b - cD. a*c<b>c a b例2、比较下列两代数式的大小：(1) (x + 5)(x + 9)与3 + 7尸：举一反三：【变式1】比较V+2x与x+2的大小【变式2］已知则『4 _______________________ —(填>,<=)er +b- a + b类型二解二次不等式例3.解下列一元二次不等式(1) x2 -5x<0 ：(2) x2 -4x + 4>0；(3) T2+4X-5>0举一反三：+ 2 V r > 0【变式1】已知函数/(x)= ，'一 '解不等式.Nx)>3.-x~ + 2k x<0x2—1<0【变式2】不等式组，的解集为( )I A2-3A<0A. {xl— l<x<l}B. {A I0<X<3}C. {xlO<v<l}D. [x\—1<A<3}【变式3】下列选项中，使不等式成立的x的取值范困是( )人A. (-8, -I)B. (-L0)C. (0,1)D. (L 4-00)例4,不等式x2 + 一〃< 0的解集为x w (4,5),求关于x的不等式“V + 〃优一1 > o的解集.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键. 举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2},则a=, b=.【变式2】已知关于x的不等式V+ar + OvO的解集为(1,2),求x的不等式以2+以+1>0的解集.【变式3】若关于x的不等式批2一6犬+ /<0的解集为(1,〃?)，则实数m等于.【变式4】已知关于x的不等式N+队+c>0的解集为{"<一1或心>2},则/+/=( )A. 5B. 4C. 1D. 2例5.已知不等式aF+4x+a> 1 一正对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
举一反三：【变式1】不等式mx2+l>mx 的解集为实数集R,求实数m 的取值范闱.【变式2】关于x 的不等式（1+〃•+如+小〈r+1对x £R 恒成立，则实数小的取值范围是（ ）【变式3］如果4 = {北常一以+1<0}=。
,则实数〃的取值范围是例6.解关于x 的含参不等式举一反三：【变式1】若0W1,则不等式（xT ）（x 」）vO 的解集为（B J X I X >- sHx<t '【变式2】不等式/一心一6a2<0（〃<0）的解集为（A. (—8, -2a)U(3a ， +°°)B. (—2。
,3。
)C. ( —°0> 3a)U(2^， +°°)D. (3a, —2ci)【变式3】求不等式⑵2—D A/QER ）的解集.A. (—8, 0)B. (-8, (30)U —,+s 14C. (-00, 0]D. (-8, 0JU(1) x 2-(a+l)x+a<0；(2) x 2-ax+l>0；(3 ) (ax-l)(x-2)>0：A.< x\ - < x <t >类型三基本不等式9例L若工〉0,求/（x） = 4x + —的最小值. x举一反三：【变式1】已知X、y都是正数，廿+:最小值为 ________x y2【变式2］已知f（K）二三上至QEN*），则f（X）在定义域上的最小值为（）XA.蜉B.孕C. V33D. 2V335 2【变式3］当x>4时，不等式抖一1，,〃恒成立，则〃?的取值范围是（）x-4A. B. ,n<8 C.628 D. 〃?>8例2.已知工>-2,贝Ux」7r的最小值为( )x+2A・-g B・-1 C. 2 D. 0 2举一反三：4 【变式1］己知。
>3,求证:——+ a>l 。
一3【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.例3.已知x>0, y>0, x+y+Vxy=2,则x+y的最小值是( )—B. 1 C. — D.—A. 3 3 2举一反三：【变式1］已知工>0, b>0,且满足ab=a+b+3,则a+A的最小值是( )A. 2B. 3C. 5D. 69 Q【变式2】若x>0,y>0,且二+2 = 1,求个的最小值.例4.“1”的代换己知二1求"+〃的最小值?举一反三：【变式1］设a>0, b>0,若a+b=l,则比/的最小值为( )a bA. 4B. 8C. 1D. 1【变式2]已知x>0, y>0,且2x+y=l,则L + L 的最小值为 x y 【变式3】若正数工，y 满足工+2=1，则3x+4y 的最小值是()y xA. 24B. 28C. 25D. 26【巩固练习】1.不等式ax2+5x+c>0的解集为则a, c 的值为()3 2A. a=6, c=lB. a= _6t c=_1C. a=l, c=lD. a= _1» c=-6 2.不等式X? -ax —bVO 的解集是{x[2<xV3},则bx?-ax —1>0的解集是()A. .A5W)<A-1)B. /(2)<A5)<A-1)C. .A2)<A-1)<A5)D.4一卜)勺⑵勺⑸ x+2, xWO4 .已知函数凡Y)= 小 八，则不等式共1)>/的解集为()—Xi 2, X>0 A. [-1J] B. [-2,2]C. [-2J]D. [-1,2]5 .已知x>0,则工二-1的最小值是( )x A. 4 B. 3 C. 2 D. 16 .当- 1时，f (x) =x+二一的最大值为 __________ .x+1 7 .不等式的解集是 _________________3x- 18 .已知函数丁=(〃/+4〃?-5>2+4(1—〃。