材料力学答案1

第二章 轴向拉伸和压缩

2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。

（a ）解：

；

； （b ）解：

；

；

（c ）解：

；

。

(d) 解：

。

2-2 一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为f=kx ²（k 为常数），试作木桩的轴力图。 解：由题意可得：

⎰0l

Fdx=F,有1/3kl ³=F,k=3F/l ³

F N （x 1）=⎰

1x 3Fx ²/l ³dx=F(x 1 /l) ³

2-3 石砌桥墩的墩身高l=10m ，其横截面面尺寸如图所示。荷载F=1000KN ，材料的密度ρ=2.35×10³kg/m ³，试求墩身底部横截面上的压应力。

解：墩身底面的轴力为：

g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图

)(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=⨯⨯⨯⨯+⨯--=

墩身底面积：)(14.9)114.323(2

2

m A =⨯+⨯=

因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

MPa kPa m kN

A N 34.071.33914.9942.31042

-≈-=-==

σ

2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm ×8mm 的等边角钢。已知屋面承受集度为

的

竖直均布荷载。试求拉杆AE 和EG 横截面上的应力。

解：

=

1） 求内力

取I-I 分离体

得

（拉）

取节点E 为分离体

，

故

（拉）

2） 求应力

75×8等边角钢的面积 A =11.5 cm 2

(拉)

（拉）

2-5 图示拉杆承受轴向拉力 ，杆的横截面面积 。如以

表示斜截面与横截

面的夹角，试求当 ，30 ，45 ，60 ，90 时各斜截面上的正应力和切应力，并用图

表示其方向。 解：

2-6 一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长200mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E =10 GPa 。如不计柱的自重，试求： （1）作轴力图；

（2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形。

解：（压）

（压）

2-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。解：取长度为dx截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：

)

()(x EA Fdx l d =∆ ，⎰⎰==∆l l x A dx

E F dx x EA F l 00)()(

l x

r r r r =--121，2

2112112d x l d d r x l r r r +-=+⋅-=，

22

11

222)(u d x l

d d x A ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112

-==+- du d d l dx 122-=，)()(22)(221212u

du

d d l du u d d l

x A dx -⋅-=⋅-=ππ

因此，

)()(2)()(202100

u

du

d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l

⎰⎰⎰

--===∆π l

l

d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0

11

221021221)(21)(2⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=ππ ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-+--=21221)(211

1

221d d l l d d d d E Fl π 2-10 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数为E ， ，试求C 与

D 两点间的距离改变量

。

解：

横截面上的线应变相同

因此

2-11 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量GPa E 210=，已知m l 1=，221100mm A A ==，23150mm A =，kN F 20=。试求C 点的水平位移和铅垂位移。

2-11图 解：（1）求各杆的轴力

以AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB 平衡，所以

0=∑X ，045cos 3

=o N

，03=N

由对称性可知，0=∆CH ，)(10205.05.021kN F N N =⨯=== （2）求C 点的水平位移与铅垂位移。

A 点的铅垂位移：mm

mm

mm N mm

N EA l N l 476.0100/2100001000100002

2111=⨯⨯==

∆ 受力图

变形协调图

B 点的铅垂位移： mm mm

mm N mm

N EA l N l 476.0100/2100001000100002

2222=⨯⨯==

∆ 1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB 为刚性杆，可以得到

C 点的水平位移：)(476.045tan 1mm l o

BH AH CH =⋅∆=∆=∆=∆

C 点的铅垂位移：)(476.01mm l C =∆=∆

2-12 图示实心圆杆AB 和AC 在A 点以铰相连接，在A 点作用有铅垂向下的力kN F 35=。已知杆AB 和AC 的直径分别为mm d 121=和mm d 152=，钢的弹性模量GPa E 210=。试求A 点在铅垂方向的位移。

解：（1）求AB 、AC 杆的轴力

以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：

0=∑X ：045sin 30sin =-o AB o AC

N N

AB AC N N 2=………………………(a)

0=∑Y ：03545cos 30cos =-+o AB o AC

N N

7023=+AB AC N N ………………(b)

(a) (b)联立解得：

kN N N AB 117.181==；

kN N N AC 621.252== （2）由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移

222

211212221

EA l N EA l N F A +

=∆ )(12

22

2

1121EA l N EA l N F A +=∆

式中，)(141445sin /10001mm l o

==；)(160030sin /8002mm l o

==

2211131214.325.0mm A =⨯⨯=；2

221771514.325.0mm A =⨯⨯=

故：)(366.1)177

2100001600

25621113210000141418117(35000122mm A =⨯⨯+⨯⨯=

∆ 2-13 图示A 和B 两点之间原有水平方向的一根直径mm d 1=的钢丝，在钢丝的中点C 加一竖向