弹性力学概念

力学：研究弹性体由于受外力，边界约束或温度改变等作用而发生的应力、形变和位移。

弹性力学的研究对象：为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。

（是各种弹性体，包括杆件，平面体、空间体、板和壳体等。

弹性力学研究的对象比较广泛，可以适用于土木、水利、机械等工程中各种结构的分析。

）
弹性力学的任务在边界条件下，从平衡微分方程、几何方程和物理方程求解应力、应变和位移等未知函数
研究方法已知条件：1物体的几何形状，即边界面方程2物体的材料参数3所受外力的情况4所受的约束情况。

求解的未知函数：应力、应变和位移。

解法：在弹性体区域内，根据微分体上力的平衡条件建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程弹性体边界上，根据面力条件，建立应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件然后在边界条件下，求解弹性体区域内的微分方程，得出应力、形变和位移
弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的）
（1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在物体内任何部分的材料性质都是相同的。

（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。

（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。

（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。

（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。

（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量。

即简化几何方程，简化平衡微分方程）
上述这些假定，确定了弹性力学的研究范畴：研究理想弹性体的小变形状态
外力是其他物体作用于研究对象的力（分为体力和面力）
体力是作用于物体体积内的外力（如重力和惯性力）面力是作用于物体表面上的外力（如液体压力和接触力）
内力假想将物体截开，则截面两边有互相作用的力，称为内力
切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的（大小等正负号相同）
形变就是物体形状的改变。

在弹性力学中，通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变
所谓位移就是位置的移动应力单位截面积上的内力
成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面（xOy面），且沿厚度（z向）不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变
归纳起来讲，所谓平面应力的问题，就是只有平面应力分量存在，且仅为x，y的函数的弹性力学问题
成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长
度方向不变3
体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变
归纳起来讲，所谓平面应变问题，就是只有平面应变分量存在，且仅为x，y的函数问题
平衡微分方程表示区域内任一点（x，y）的微分体的平衡条件
平衡问题中一点应力状态1求斜面应力分量（Px，Py）2由斜面应力分量求斜面上的正应力和切应力3求一点的主应力及应力方向4求一点的最大和最小的正应力和切应力
几弹性何方程表示任一点的微分线段上，形变分量与位移分量之间的关系式
形变与位移的关系1如果物体的位移确定，则形变完全确定2当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定
边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。

可分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件
位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式
应力分量和正的面力分量的正负号规定不同在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号
应力边界条件两种表达方式：1在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件2在同一边界上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）
圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变化为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计特别注意圣维南原理只能应用于一小部分边界上（又称局部边界、小边界和次要边界）
圣维南原理推广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么这个面力就只会使近处产生显著的应力而远处的应力可以不计
应力边界条件上应用圣维南原理就是在小边界上将精确的应力边界条件式，代之为静力等效的主矢量和主矩的条件
形变协调条件的物理意义1形变协调条件是连续体中位移连续性的必然结果2形变协调条件是形变对应的位移存在且连续的必要条件
应力求解考虑的条件1体力为常量2全部边界上均为应力边界条件3弹性体为单连体
应力分量和剪切力必然与弹性常数无关，由此可得应力解法与模型材料无关；平面应力与平面应变问题可互换；
求应力分量=平衡微分方程=非齐次特解+齐次通解
按应力函数求解，Φ应当满足的条件是1相容方程式2应力边界条件式。

其中假设全部为应力边界条件3对于多连体，还须满足位移的单值条件
逆解法步骤1先找出满足相容方程的解答2由Φ得出应力分量3在给定的边界形状下，根据应力边界条件，由应力反推出相应的面力
半逆解法步骤1假设应力分量的函数形式2推求应力函数的形式3由相容方程求解应力函数4由应力函数求应力分量5考察边界条件
几何方程表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式
空间问题物理方程两种形式1应变用应力表示用于按应力求解方法2应力用应变表示，用于按位移求解方法
解的唯一性定理符合线弹性和小变形假定的弹性体，无初应力和初应变的作用，只受到给定的体力，边界上的面力和边界上的约束位移的作用，则弹性体在平衡状态时，其体内的应力、应变的解是唯一的
解的叠加定理在线弹性和小变形假定下，作用于弹性体上几组荷载产生的总效应（应力和变形），等于每组荷载产生的效应之和，且与加载顺序无关
虚位移原理假定处于平衡状态的弹性体在虚位移过程中，没有温度的改变，也没有速度的改变，即没有热能和动能的改变，则按照能量守恒定理，形变势能的增加，等于外力势能的减少，也就等于外力所做的功，即所谓虚功
虚位移1所谓虚位移，是指满足协调条件（位移边界条件和几何方程）的。

在平衡状态附近可能发生的微小位移改变2不仅适用于弹性体，也适用于一般的可变形体3虚位移是位移状态即位移函数的微小改变。

虚位移在数学上称为位移的变分，因此虚位移原理式又称为位移变分方程4注意微分和变分是不同的概念，两者的自变量和因变量是不同的。

虚功方程处于平衡状态的弹性体，当发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在相应的虚应变上所做的功
最小势能原理在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中间，实际存在的一组位移应使弹性体的总势能成为极值。

考虑到二阶变分可以得出对于稳定平衡状态，这个极值是极小值
外力功的互等定理符合线弹性和小变形假定的弹性体，若受到两组不同的外力作用，则第一组外力在第二组外力引起的位移上所做的功，等于第二组外力在第一组外力引起的位移上所做的功
三种数值解法变分法、差分法和有限单元法
有限单元法的两种导出方法1结构力学方法：首先将结构离散化，把连续体变换为离散化结构，再应用结构力学方法求解2变分方法：同样将连续体变换为离散化结构，再将连续体中的变分原理推广应用到离散化结构，从而导出有限单元法
有限单元法特点1具有极大的可解性2具有极大的通用性3只要适当的加密网格，就可以达到工程要求的精度
有限单元法用结构力学方法求解弹性力学问题
有限单元法主要内容1结构离散化—将连续体变换为离散化结构2对离散化结构应用结构力学方法求解a.单元的位移模式b.单元的应变和应力列阵c.单元的节点力列阵d.单元的结点荷载列阵
离散化结构构成将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在单元边界上的一些结点处用铰连接起来
保证有限单元法收敛性，位移满足条件1位移模式必须能反映单元的刚体位移2位移模式必须能反映单元的常量应变3位移模式应尽可能反映位移的连续性
移置原则1刚体静力等效原则：使原荷载与移置荷载的主矢量相同，对同一点的主矩也相同2变形体静力等效：在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等
整体劲度矩阵由单元劲度矩阵的元素集合合成，因此，K也具有对称性。

又由于列每一结点的方程时，只涉及此结点周围的一些结点，所以K矩阵具有高度的稀疏性
提高应力精度，解决应力波动性问题，两种方法1绕结点平均法：把环绕某一结点的各单元的常量应力加以平均，用来表征该结点出的应力2两相邻单元平均法：把两个相邻单元的常量应力加以平均，用来表征公共边中点处的应力
应力波动性在相邻的两单元中，如果一个单元的应力比真解低，则相邻单元的应力会比真解高
一﹑概念
1．弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。

2.固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材料力学。

3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。

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4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛
5.弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法.
6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；.
7.弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。

8.几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。

9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。

10.平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。

11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。

反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。

它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13．圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。

14. 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。

这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。

15.求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。

16.弹性力学的基本原理：解的唯一性原理﹑解的叠加原理﹑圣维南原理。

会推导两种平衡微分方程
17.逆解法步骤：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数
（2）由式(2-24)，根据应力函数求得应力分量
（3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件, 分析这
些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可
以解决什么样的问题。

（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表
达式中的待定系数
18.半逆解法步骤：(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形
的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部
分或全部应力分量的函数形式
(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f的一般形式（含待定函数项）；
(3)将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达
形式；
(4)将应力函数f代入式(2-24)，由应力函数求得应力分量
(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全
部应力边界条件。

如果都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要
重新假设应力分量，重复上述过程并进行求解。

.
19. “小孔口问题”应符合两个条件：（1）孔口尺寸远小于弹性体的尺寸，这使孔口的存在所引起的应力扰动只局限于一个小的范围内；（2）孔边距离弹性体边界比较远（约大于1.5倍的孔口尺寸），这使孔口与边界之间不发生相互干扰。

20. 在小孔口问题中，孔口附近将发生应力集中现象，它具有两个特点：（1）孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。

（2）应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍的孔口尺寸（如圆也直径）的范围内，在此范围之外，可以忽略不计。

21.FEM（有限元法）分析的主要步骤：
（1）将连续体变化为离散化结构。

（2）对单元体进行分析
a．单元的位移模式
b．单元的应变列阵
c．单元的应力列阵
d．单元的结点力列阵
f．单元的等效结点荷载列阵
（3）整体分析
二、公式
1. 已求出应力分量，求位移分量的步骤： （1）将应力分量 代入物理方程 求出应变分量
（2）将应变分量带入几何方程 求出位移分量
2.极坐标中的边界条件是：
3. 应力分量由直角坐标向极坐标的变换式为.：
应力分量由极坐标向直角坐标的的转换式 4.在将平面应力问题的物理方程变换到平面应变问题的物理方程时，只需将 即可。

5.平面问题的应力边界条件为
6. 平面问题的位移边界条件为
ϕ
τϕϕσστϕ
τϕσϕσσϕ
τϕσϕσσρϕϕρ2cos sin cos )(2sin cos sin 2sin sin cos 2222xy x y xy y x xy y x +-=-+=++= ϕτϕϕσστϕ
τϕσϕσσϕ
τϕσϕσσρϕϕρρϕϕρρϕϕρ2cos sin cos )(2sin cos sin 2sin sin cos 2222+-=++=-+=xy y x 0===xy y x y I M τσσxy xy x y y y x x E E E τμγμσσεμσσε)1(2)(1)(1+=-=-=
0=-==xy y x y EI M y EI M γμεε0,,==∂∂+∂∂-==∂∂==∂∂xy y x y u x v y EI M y v y EI M x u γμεε)()()
()(s f m l s f m l y
s y xy x s xy x =+=+σττσ)()(),
()(s s u u s s υυ==⎰⎰
--±=⋅±=⋅2/2/2/2
/1)(1)(h h x h h l x x dy y f dy σμμμμ-⇒-⇒112
E E
7.圣维南原理的三个积分式
如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，则三个积分边界条件变为
8.艾里应力函数
二、平面问题的直角坐标解答前面我们主要建立了平面问题的基本方程。

对于平面问题而言，基本方程包括2个平衡方程、3个几何方程和3个物理方程。

这8个方程对应着8个未知量（3个应力分量：x σ、y σ、xy τ；3个应变分量：x ε、y ε、xy γ；2个位移分量：
s h h l x xy h h l x x N h h l x x F dy M ydy F dy =⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰-=-=-=2/2/2/2/2/2/1)(1)(1)(τσσy
x y x y f x y x x f y y x xy y y x x ∂∂∂-=-∂∂=-∂∂=),(,),(,),(22222φτφσφσ
u 、v ）。

弹性力学要解决的平面问题，简单说就是研究在不同的边界条件下如何求解这8个未知量。

本部分就是研究在平面直角坐标系下，求解这8个未知量的方法。

总结：按照位移法求解平面应力问题，就是要使得位移分量(),u v 满足（1）中的平衡方程，同时还要在边界上满足边界条件（视具体的边界而定需要满足应力边界or 位移边界or 两者兼有）。

在求出位移分量以后，即可利用几何方程求出形变分量，进而利用变换后的物理方程（应力用应变表示）求出应力分量。

当问题为平面应变问题时，注意应将上述方程中的 21E E μ→-；1μμμ
→- 位移法求解平面问题的实质，就是求解满足上述平衡方程和边界条件的位移分量u 、v ，然后利用求解出的位移分量去求解形变分量（几何方程）和应力分量（物理方程）。

应力法求解平面问题的实质，就是求解满足上述平衡方程、相容方程及边界条件的应力分量，然后利用求解出来的应力分量去求解形变分量（物理方程）和位移分量（几何方程）。

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