第三章 解线性方程组的迭代法.

5 1.01159 0.9953
1.01159 0.01159
6 1.000251 1.005795 1.000251 0.005795
7 0.9982364 1.0001255 0.9982364 0.0017636
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而切迭代7次得到
精确到小数点后两位的近似解.
x (k 1) 1

a23 a22
x (k ) 3

a2n a22
x(k) n

b2 a22


x
(k
n
1)
an1 ann
x (k 1) 1

an2 ann
x (k 1) 2

a nn 1 ann
x (k 1) n 1

bn ann
a1n a11
xn

b1 a11
x2

a21 a22
x1

a23 a22
x3

a2n a22
xn

b2 a22

xn

an1 ann
x1
an2 ann
x2

ann1 ann
xn1

bn ann
从而得迭代公式

x1(
k
1)

G-S迭代法的计算公式为:
1.11,
x (2) 2
1.2,
x (2) 3
1.11Biblioteka 计算结果列表如下:k
x1(k)
0
0
x2(k) 0
x3(k) 0
‖x(k)-x*‖
1
1
1.4
0.5
1.4
0.5
2
1.11
1.20
1.11
0.2
3
0.929
1.055
0.929
0.071
4 0.9906
0.9645
0.9906
0.0355
a11 a22
ann
x(k+1)=Bx(k)+g
k=0,1,2,…
若在J迭代法中,充分利用新值, 则可以得到如下的迭 代公式

x1(
k
1)

a12 a11
x(k) 2

a13 a11
x(k) 3

a1n a11
x(k) n

b1 a11

x
(k
2
1)
a21 a22
例1 用J法和G-S法求解线性方程组
10x1 3x2 x3 14 2x1 10x2 3x3 5 x1 3x2 10x3 14
方程组的精确解为x*=(1,1,1)T.
解 J迭代法计算公式为
x (k 1) 1


3 10
x(k) 2
x 1 (k ) 10 3
a12 a11
x(k) 2

a13 a11
x(k) 3

a1n a11
x(k) n

b1 a11

x
(k
2
1)
a21 a22
x(k) 1

a23 a22
x(k) 3

a2n a22
x(k) n

b2 a22


x
(k
n
1)
an1 ann
，或x=Mx+g
由此建立方程组的迭代公式
x(k+1)=Mx(k)+g , k=0,1,2,… (3.2) 其中M称为迭代矩阵。对任意取定的初始向量x(0),由(3.2) 式可逐次算出迭代向量x(k),k=1,2,…, 如果向量序列{x(k)} 收敛于x*,由(3.2)式可得
x*=Mx*+g 从而x*是方程组x=Mx+g的解,也就是方程组Ax=b的解.
(3.4) , k 1,2,3,
式(3.4)称为Gauss-Seidel迭代法,简称为G-S迭代法.
G-S迭代法也可记为
1 (k 1)
x a (b a x a x ) i
i 1
n
(k 1)
(k)
i ii
ij j 1
j
ij j i1
j
, i 1,2,n, k 0,1,2,

7 5

x
(k 2
1)
x1 (k ) 51
x 3 (k ) 10 3

1 2

x(k 3
1)


1 10
x(k) 1
x 3 (k ) 10 2

7 5
取初始向量x(0)=(0,0,0)T,迭代可得
x (1) 1

1.4,
x (1) 2

0.5,
x (1) 3
1.4
x (2) 1
x(k) 1

an2 ann
x(k) 2
ann1 ann
x(k) n 1

bn ann
(3.3) , k 1,2,3,
式(3.3)称为Jacobi迭代法,简称为J迭代法. J法也记为
x (k 1) i

1 aii
(bi

i 1
a x(k)
ij j 1
j

n
a x ) (k )
第3章 解线性方程组的迭代法
迭迭代代法 法的 是基 从本 某思 一想取是定，的把初始n元向线量性x方(0)程出组发,按照一个适
当的迭代 公a11式x1 ,a逐12 x次2 计...算 a出1n 向xn 量 bx1 (1), x(2),…,使得向量序 列方法{x.(k其)}优收..a..点2敛.1..x.1.是于....,方a..算.2.2程.x.法.2.组..简....的....便..精.a.,..2程确.n..x.序n解....易...b.迭.2.于. 代实法现是.一类逐（次3近.1似）的
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn
或
Ax=b
改写成等价的方程组
x1 m11x1 m12 x2 m1n xn g1
x2
m21x1 m22 x2 m2n xn

g2
xn mn1x1 mn2 x2 mnn xn gn
这种求解线性方程组的方法称为迭代法 ,若迭代序列 {x(k)}收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散.
§1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法
Jacobi方法是由方程组(3.1)中第k个方程解出x(k),得 到等价方程组:
x1


a12 a11
x2

a13 a11
x3

ij j i1
j
可见 ,J迭代法的迭代矩阵为
, i 1,2,n, k 0,1,2,
0

B



a21
a22


a n1 ann
a12 a11 0
an2
ann
a1n a11


a2n
a22


0

若记 g ( b1 , b2 ,, bn )T ,则J迭代法可写成