现代控制理论--第三章 3 能观性

−
)A
−1 ⎤T ⎦
CT
=
⎡⎣C (sI
−
)A −1
B
⎤T ⎦
= GT (s)
○4 互为对偶的系统能控能观性的关系
定理：互为对偶的二系统{A,B,C}、{ A, B,C }，当系统{A,B,C}状态完全
能控（完全能观）时，系统{ A, B,C }状态完全能观（完全能控）。 证：设{A,B,C}状态完全能控，即 rank[s]=rank[B AB … An-1B]=n
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第三章 线性系统的结构特性
在零极点对消时，系统并非一定是不能控或不能观测的。 下面，从两个角度来研究利用传递函数阵来判断系统的能控性和能观性，即: z 利用传递短阵中的行或列向量的线性相关性来作判据 z 利用传递矩阵零极点对消来作判据。
单输入—单输出线性定常系统能控和能观到的充分必要条件是：系统传递函 数没有零极点对消，或传递函数不可约，或传递函数的极点等于短阵 A 的特征值。
二、多输入—多输出系统 对于多输入—多输出系统，利用其传递矩阵的特征来判断系统的能控性和能
观测性，要比单输入—单输出系统复杂得多。因为多输入—多输出系统传递阵存
只有当 rank[V ] = n 时，存在唯一的最小二乘解：
X (0) = [V TV ]−1V T β , β 据(0, t)Y (t) 的测量值求出。
即此时从Y (t) → X (0) 是最小二乘意义下的。
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第三章 线性系统的结构特性
例 3-15 试判别能观标准型实现的能观性。
⎡0 0
⎢ ⎢
1
⎡C ⎤ ⎡BT ⎤
⎢
∵V
=
⎢C A ⎢
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
BT
⎢
AT
⎥
⎥ ⎥
=
⎡⎣ B
AB
⎢
⎥⎢
⎥
⎢⎣C
n−1
A
⎥ ⎦
⎢⎣BT AT n−1 ⎥⎦
An −1 B ⎤⎦T
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第三章 线性系统的结构特性
∴ rank[V ]=rank[ ST ]=rank[S]=n ∴{ A, B,C }状态完全能观。 反之亦成立。 ○5 对偶原理的意义： 现代控制理论中的一个重要概念：利用对偶原理，可使系统的能控（观） 性研究转化为对偶系统的能观（控）性的研究。从而沟通了最优控制与最优 估计之间的内在联系。
J2
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥ ⎥
X
+
BU
，Y
=
CX
J
n
⎥ ⎦
中，和每个约当块 Ji (i = 1,2, , k) 的首行相对应的C 阵中的那些相应列，其每列 元素不全为零。
若两个约当块有相同特征值，上述结论不成立；若想要上述结论成立，则需
要对应的C 阵中相应列是线性独立的。
综上可知，能观标准型实现一定能观；能观，则通过线性非奇异变换一定能 化成能观标准型实现。能控标准型实现一定能控；能控，则通过线性非奇异变换 一定能化成能控标准型实现。线性非奇异变换不改变系统的能控能观性。
程，视状态变量的选择而定。 当 bi ≠ 0 ， ci ≠ 0 时（i＝1，2，…，n），系统状态既能控又能观测。这时由
动态方程导出的传通函数，不存在零极点对消现象。 第二种情况：A 阵具有重特征值。将动态方程中的 A、b、c 表示如下：
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第三章 线性系统的结构特性
显然，上述情况造成式(3.111)中 ci1biσi = 0 ，(i＝1，2．…，n)，此时传递 函数中必存在零极点对消的现象。综合上述两种情况的分析，对单输入—单输出 系统的能控性和能观测性的判据，结论如下:
若系统在区间 [t0，t1]上的每一状态 X (t0 ) 均能观，则称系统在 [t0，t1]上完全
能观。
若根据 [t0，t1]上的输入U (t) 和输出Y (t) 提供的信息足以确定 X (t1) ，则称系
统具有能构性。
讨论： ① 能观与能测量是不同的概念，比如状态变量不一定能测量，但它可能能 观。 ②由输出信息确定其以前的状态，称为能观；由输出信息确定其以后的状态， 称为能构。在线性定常连续系统中，能观性与能构性是等价的。 ○3 能控性：U → X ；能观性：Y → X 。 例 3-18 试判别图 3-18 所示电路系统的能观性
Y (t) = β0b0 (t) + β1b1 (t) + + β b n−1 n−1 (t)
∵ 可以证明 b0 (t),b1 (t), bn−1 (t) 是线性独立的（参见 ［日］须田信英，
《自动控制中的矩阵理论》，科学出版社，1979 年 9 月，PP.253－254）。
∴ β0 , βn−1 这几个标量是由观测Y (t) 唯一确定的常数。
5．系统的可控、可观性与传递函数（矩阵）的关系
描述系统内部结构特性的能控性和能观测性，与描述系统外部特性的传递函 数(矩阵)之间，是存在内在关系的。指示这种内在关系，可用来判断系统的能控 性和能观测性。这是一种在 s 城内的判据。
前面已述，线性系统总可以通过线性交换化为特征值规范型。为了简便起见， 下面给出的系统都是特征值规范型。
4．线性系统能控性与能观性的对偶关系 线性系统能控性与能观性不是两个独立的概念，在定义、概念和判据形式上，
两者有很多相似之处，有一种内在的联系。 ○1 对偶系统定义： 对于线性定常连续系统{A,B,C}和{ A, B,C },若
A = AT B = CT C = BT 则称此二系统为对偶系统。 ○2 互为对偶的系统有相同的特征方程：
n−1
∑ Y (t)凯－哈定理 b j (t)CA j X (0) j=0
（2）
〔1〕 SO 系统时： 即 C1×n 。
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第三章 线性系统的结构特性
此时，下列的几个量都是标量： β0 = CX (0), β1 = CAX (0), β n−1 = CAn−1 X (0)
(3) → (2) ：
（3）
从系统的状态方程可知，系统既不完全能控（在 u 的作用下，x1=x2）、又不
完全能观。其既不完全能控又不完全能观部分为上部分。
2.能观性判据之一 (1)定理（能观性判据）：线性定常连续系统{A,B,C}状态完全能观的充要条件是
⎡C ⎤
⎢ 其能观性矩阵V = ⎢
CA
⎥ ⎥
⎢⎥
满秩，即 rank[V ] = n 。
以上三种情况都使 cibi ＝0，(i＝1，2，…，n)，此时传递函数中必存在零极 点对消的现象。也就是说，由状态方程表示出的 n 阶系统，但其传递函数的分母
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第三章 线性系统的结构特性
阶次却小于 n。 因此，当由动态方程导出的传递函数存在零极点对消时，该系统或是能控不
能观、或是能观不能控、或是不能控不能观，三者必居其一。 当由可约的传递函数列写其实现方式时，也可列写出以上三种类型的动态方
但是，对于多输入、多输出系统，由于其能控性矩阵和能观性矩阵中 n 个线 性无关向量的选择可以不同，即不是唯一的，所以其能控标准型和能观标准型也 不是唯一的。
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第三章 线性系统的结构特性
3.能观性判据之二 判别系统{ A 、C }状态能观性的另一种方法是利用线性非奇异变换将 A 阵对
角化或约当化，然后根据变换后的 C 阵来判别系统的能观性。 (1)定理：线性非奇异变换不改变系统的能观性。 (2)定理：设线性定常连续系统{ A 、 C }的特征值各不相等，则其状态能观
∫ Y (t) 来求解
X (t0 ) 与据 Y (t) − C
t t0
e A(t−τ ) Bu(τ )dτ
来求解
X (t0 ) 是完全等价的。这就
是说，系统的能观性可看作只涉及 X (t) 和Y (t) 而与 u(t)无关。所以，讨论能观
性问题时，只用到 A、C 阵，系统可用｛A，C｝表示。
又因为所讨论系统是线性定常的，不失一般性，可以假设 t0 = 0 ，这样，问 题就变成了由方程：Y (t) = Ce At X (0) 来确定 X (0) 。
⎢⎣CA
n−1
⎥ ⎦
nl×n
证明：
∫ ∵ X (t) = e A(t−t0 ) X (t0 ) +
t e A(t−τ ) Bu(τ )dτ
t0
∫ ∴Y (t)
=
Ce A(t−t0 ) X (t0 ) + C
t e A(t−τ ) Bu(τ )dτ
t0
（1）
我们研究的目的是从输入 u(t)和输出 y(t)把状态 X (t0 ) 确定出来。因 u(t) 是给定函数，（1）式右边中的积分部分是与Y (t) 维数相同的已知函数，所以仅据
第三章 线性系统的结构特性
3.3 系统的能观性
实际中常常遇到系统的状态变量不能直接测量的问题。能否根据系统的输出 （输出一般均可直接测量）把这些状态变量的值计算出来，这即能观测性问题。 在现代控制理论中，这个问题很重要。若通过系统的输出可以计算出系统状态变 量的值，则尽管系统状态不能直接测得，但可把计算出的值进行反馈，从而实现 优良的控制效果；否则，只能由输出变量进行反馈，难以获得最优的效果。 1.能观性定义
0
解:因为 A = ⎢ 0 1
⎢
⎢
⎢⎣ 0 0
所以，能观性矩阵为
0 − a1 ⎤
0
−
a2
⎥ ⎥
0
−
a3
⎥ ⎥
， C = [0
⎥
1 − an ⎥⎦ n×n
0 1]1×n
⎡C ⎤
⎡0
⎢
V
=
⎢ ⎢
CA
⎥ ⎥ ⎥
⎢ =⎢
⎢
⎢⎣CA
n−1
⎥ ⎦
nl×n
⎢⎣1
1⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ n×n
系统的能观性矩阵V 为下三角阵。因为 V = 1 ，所以 rank[V ] = n 。即能观标
例 3-16 判别下列各系统的状态能观性。
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第三章 线性系统的结构特性 9
第三章 线性系统的结构特性
解： （1） C1=0，不能观，x1 不能观。 （2） 能观 （3） 不能观。因为特征值相等而能化为对角阵，且 C1、C2 相关。 （4） 不能观。因为特征值相等而能化为约当阵，且 C1、C3 相关 （5） 不能观。因为 J1 首行对应的 C 的列元素全为零。 （6） 能观
的充要条件是系统经线性非奇异变换后的对角标准型运动方程
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第三章 线性系统的结构特性
⎡λ1
X
=
⎢ ⎢
⎢⎣ 0
0⎤
⎥ ⎥
X
+
BU
λn ⎥⎦
Y = CX 的矩阵C 中不包含元素全为零的列。
注意，当 A 阵含有重特征值，且仍能对角化时，上述结论不成立。在单输出
系统中，更有结论：即使C 中不含 0 元素，{A,C }也是不能观的；在 MO 系统中，
设线性定常连续系统的动态方程为
⎧X = AX + BU
⎨ ⎩Y
=
CX
+
DU
能观性定义：系统的状态 X 0 ≠ 0 被称为在区间 [t0，t1] 上能观的( T = t1 − t0
为有限时间) ，如果在 [t0，t1]上的输入U (t) 和输出Y (t) 提供的信息足以确定 X 0 。 否则，称状态 X 0 在区间 [t0，t1]上不能观。
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第三章 线性系统的结构特性
图 3-18
例 3-18 系统的状态图如图 3-19 所示，试判别其能控、能观性。 图 3-19
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第三章 线性系统的结构特性
系统的状态方程为：
⎧ ⎪X ⎨
=
⎡−1 ⎢⎣ 0
0⎤ −1⎥⎦
X
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
u
⎪ ⎩
y = [0 1] X
系统的传递函数为：
G(s) = Y = 1 U s +1
若重根λ对应的C 中各列独力，则系统能观。 (3)定理：设 n 维系统{ A 、C }有重特征值为：λ1为m1重根，…，λk为mk 重
k
∑ 根， mi = n ；且当 i ≠ j 时，有 λi ≠ λ j 。则系统状态完全能观的充要条件是在 i=1
系统经线性非奇异变换后的约当标准形
⎡J1
⎢
X
=
⎢ ⎢
∴方程（3）实际上代表 n 个方程，其矩阵形式为： β = VX (0)
⎡ β0 ⎤ ⎡ C ⎤
⎢ ⎢
β1
⎥⎢ ⎥=⎢
CA
⎥ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
X (0)
⎢⎣β
n
−1
⎥ ⎦
⎢⎣CA
n−1
⎥ ⎦
n×n
（4）
∴ X (0) 有唯一解的充分必要条件是 rank[V ] = n .
〔2〕 MO 时：即 Cl×n 。 此时（4）式是 nl 个方程，n 个未知数。当测量值Y (t) 有误差时，无解。
λI − A = λI − AT = λI − A = 0
○3 互为对偶的系统的传递矩阵互为转置：
G (s) = C (sI − )A −1 B
( ) ( ) G ( s) = C sI − A −1 B = BT sI − AT −1 CT
=
BT
⎡⎣( sI
) −
A
T
⎤ ⎦
−1
C
T
=
BT
⎡⎣( sI
准型实现一定是状态完全能观的。
(2)定理：SISO 线性定常连续系统如果状态能观，则存在一个非奇异变换矩阵 Tn×n，使x = Tx ，可将系统变为能观标准型。
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第三章 线性系统的结构特性
单输入、单输出系统的能控标准型和能观标准型是唯一的。这是因为其能控 性矩阵 S 和能观性矩阵 V 都只有唯一的一组 n 个线性无关的向量，由它们的线性 组合可导出两组基，变换矩阵 Q 和 T 分别由这两组基构成，而能控标准型和能观 标准型则是在这两组基下系统所具有的两种标准型式。