一元二次方程根与系数关系(附答案)

一元二次方程根与系数的关系（附答案）

评卷人得分

一．选择题（共6小题）

1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1

3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定

4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6

5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．

6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3

评卷人得分

二．填空题（共1小题）

7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．

评卷人得分

三．解答题（共8小题）

8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．

9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．

（1）若该方程的一个根为1，求a的值；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程一个根为3，求m的值．

11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．

（1）当a=﹣11时，解这个方程；

（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；

（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；

（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．

13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；

（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．

14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；

（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，

∴△=22﹣4×1×（﹣m）=4+4m≥0，

解得：m≥﹣1．

故选：A．

3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定

【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣1，

∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6

【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，

∴x1+x2=2，x1x2=﹣，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5．

故选：C．

5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．

【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，

∴α+β=5．

故选：B．

6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，

∴△=（﹣4）2﹣4×1×（c+1）=12﹣4c=0，

解得：c=3．

故选：D．

二．填空题（共1小题）

7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为﹣5 ．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p、q，

∴p+q=3，pq=a，

∵p2﹣pq+q2=（p+q）2﹣3pq=18，即9﹣3a=18，

∴a=﹣3，

∴pq=﹣3，

∴+====﹣5．

故答案为：﹣5．

三．解答题（共8小题）

8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．

【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，

∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=4k﹣3＞0，

∴k＞．

（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，

设方程的两个为m、n，