.指数函数与对数函数的应用(人教版A必修一)

2.2指数函数与对数函数的应用
目标认知：
学习目标：
能够熟练运用指数函数与对数函数的性质，解决指数函数与对数函数的综合问题．
学习重点：
运用函数有关理论，解决综合问题．
学习难点：
指数函数与对数函数综合应用．
典型例题：
例1．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则( )
A．B．2C．D．4
【解析】设，函数在区间上的最大值与最小值分别为
，，它们的差为，∴，，选D．例2．函数的反函数的定义域为( )
A．B．(1，9]C．(0，1)D．
【解析】函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(1，9]，
∴选B．
例3．若，则下列结论正确的是( )
A．B．C．
D．
【解析】D；由指数函数与对数函数的单调性知D正确．
例4．函数的值域为
A．B．C．D．
答案：A
例5．若函数是函数的反函数，且，则
( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】函数的反函数是，又，即，
所以，a=2，故，选A．
例6．设，，，则
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵，∴
∴，∴．例7．设则________
答案：．
【解析】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算．
例8．已知函数．若，a＜b且，则的取值范围是A．B．C．D．
答案：C
【解析1】因为，所以，所以a=b(舍去)，或，所以
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，
由“对勾”函数的性质知函数在上为减函数，
所以，即a+b的取值范围是．
【解析2】由0＜a＜b，且得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题，
，过点(1，1)时z最小为2，
∴C
例9．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是
A．B．C．
D．
答案：A
【解析】的零点为，的零点为，
的零点为，的零点为．
现在我们来估算的零点，因为，，
所以的零点，
又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，
只有的零点适合，故选A．
例10．函数的图像大致为（）．
【解析】函数有意义，需使，其定义域为，排除C，D，
又因为，所以当时，函数为减函数，故选A．
答案：A．
例11．设，则的定义域为( )
A．B．C．
D．
答案：B
【解析】的定义域是(-2，2)，故应有且，
解得或，故选B．
例12．若函数(且)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
答案：
【解析】设函数(且)和函数，
则函数(且)有两个零点，
就是函数(且)与函数有两个交点，
由图象可知，当时，两函数只有一个交点，不符合；
当时，因为函数()的图象过点（0，1），
而直线所过的点（0，a）在点（0，1）的上方，就一定有两个交点．
所以实数a的取值范围是．
【命题立意】本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答．
例13．设，，函数有最大值，则不等式
的解集为________．
【解析】设，，函数有最大值，∵
有最小值，
∴，则不等式的解为，解得，
所以不等式的解集为(2，3)．
例14．求函数的增区间和减区间．
【解析】令，∴，y对u而言是减函数．
∴当时，u对x为减函数，∴y对x为增函数．
当时，u对x为增函数，∴y对x为减函数．
∴的增区间为，减区间为．
例15．已知函数是奇函数，a是常数，求a的值．
【解析】∵是奇函数，∴
∴
∴
∴．
例16．求，的值域．
【解析】设．∴，
∴，，故转化为二次函数问题
∵的对称轴为，
∴
∴值域为
例17．已知函数(1)判断奇偶性，(2)求函数的值域，(3)证明在区间上是增函数．
【解析】由
(1)为奇函数
(2)
∵∴，
∴
(3)，
∴
∵，，
∴
又∵，，
∴
即．
∴即
∴在上为增函数．。