对数函数与指数函数的关系

1 = log a (4 − 1)
即 : log a 3 = 1,∴ a = 3.
b＝f(a)
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上 点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
a＝f－1(b)
例5 ：已知函数（ x） x −（ x ≤ − 2） f = 1
2
求出 f （4）的值。
−1
源自文库
解：令 x −1 = 4，解之得：x = ± 5
3
2 y= 3
x
例3 求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同 一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。
ｙ＋ 2 解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得 ｘ＝ 3
所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是
ｙ＝ ｘ＋ 2 3
（ｘ∈R ）
ｙ＝3ｘ－2
经过两点（0，－2）， （2/3，0）
ｘ＋ 2 ｙ＝ 经过两点（－2，0）， （0 ，2/3 ） 3
它的反函数是指数函数
1 y= . 3
写出下列指数函数的反函数: 例2 写出下列指数函数的反函数
(1)y=5x
2 (2) y = . 3
x
指数函数y=5x,它的底数是 它的底数是5 解(1)指数函数 指数函数 它的底数是 它的反函数是对数函数 y=log5x;
2 (2)指数函数 ,它的底数是 , 指数函数 它的底数是 3 它的反函数是对数函数 y = log 2 x
x
小结 指数函数y=a x (a>0,a≠1)与 指数函数 与 反函数的概念 对数函数y=loga x(a>0,a≠1) 对数函数 互为反函数 定义域和值域互换 对应法则互逆 图像关于直线y=x对称 图像关于直线 对称
y
ｙ＝ｘ ｙ＝3ｘ－2
x 0
ｘ＋ 2 3
ｙ＝
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数
ｘ＋ 2 ｙ＝ 的图象之间有什么关系？ 3
求函数反函数的步骤: 求函数反函数的步骤 1° 反解 ° 2° x与y互换 ° 与 互换 3° 求原函数的值域 ° 4° 写出反函数及它的定义域 °
y Q(a,b) (0,1) O
指数函数y=ax是对数函数 y=log a x(a>0,a≠1)的 反函数 的
指数函数y=a x (a>0,a≠1)
反 函 数
对数函数y=log a x(a>0,a≠1)
问题2： 问题 ： 与函数y=2x的 观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数 与函数 观察在同一坐标系内函数 图像,分析它们之间的关系 分析它们之间的关系. 图像 分析它们之间的关系 y y=2x 函数y=log2x的图像与 函数 的图像与 函数y=2 x 的图像关于 函数 y=x Q(a,b) 直 线 y = x 对 称 y=log2x P(b,a) (0,1) 函数y=f(x)的图像和 函数 的图像和 O x (1,0) 它的反函数的图像 关于直线y=x对称
写出下列对数函数的反函数: 例1 写出下列对数函数的反函数
(1)y =lgx; (2 ) y = log 1 x.
3
对数函数y=lgx,它的底数是 10 解 (1)对数函数 对数函数 它的底数是 它的反函数是指数函数 y=10x
1 (2)对数函数 y = log 1 x, 它的底数是 对数函数 3 x 3
2
又Q x ≤ −2， x = − 5. ∴
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上 点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
b＝f(a)
a＝f－1(b)
理论迁移
例4 已知函数 f (x) = log2 (1− 2 ) . 求函数f(x)的定义域和值域； f(x)的定义域和值域 （1）求函数f(x)的定义域和值域； 求证函数y=f(x) y=f(x)的图象关于直线 （2）求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称 对称. y=x对称.
• 1．当一个函数是一一映射时，可以把这个 函数的因变量作为一个新的函数的自变量， 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变 量，我们称这两个函数互为反函数。 • 2．对数函数y=loga x与指数函数y=ax 互为反 函数，图象关于直线y=x对称。 • 3 ．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x) 表 示。 注意：y＝f－1(x) 读作：“f逆x” 表示反函数，不是-1次幂（倒数） 的意思
y=2x y=x P(b,a) (1,0) y=log2x x
结论: 结论
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上 点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
b＝f(a)
a＝f－1(b)
函数f(x)＝ [例4]函数 ＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象 － ＞ 且 的反函数的图象 经过点(1, ， 的值. 经过点 4)，求a的值 的值 依题意,得 解:依题意 得 依题意
函数 函数 函 数
函数
3.2.3指数函数与对数函数的关系 指数函数与对数函数的关系
问题1： 问题 ： 指数函数y=ax与对数函数 与对数函数y=loga x(a>0,a≠1) 指数函数 有什么关系? 有什么关系
指数换对数 交换x,y
y=ax 对应法则互逆
x=loga y
y=loga x
称这两个函数互为反函数 称这两个函数互为反函数