指数函数与对数函数图像及交点问题

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同底指数函数与对数函数图象交点个数

同底指数函数与对数函数图象交点个数必修一教材第76页有这样一个探究：指数函数)10(≠>=a a a y x 且与对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且互为反函数，那么它们图象有什么关系呢？通过探究发现，我们容易知道它们的图象关于直线x y =对称，那么它们图象交点有几个呢？教科书上为何没有把它们两者图象画在同一坐标系下？这是一个探究价值很高的问题，教材这样处理，主要原因是这两个函数图象交点个数不定.下面我们一起来研究下.分1>a 和10<<a 两者情况进行讨论.1. 当1>a 时在几何画板中，画出x y 2=与x y 2log =图象，发现它们没有公共点（如图1）.当底数a )1(>a 逐渐变小时，)1(>=a a y x 与)1(log >=a x y a 图象与x y =逐渐接近，然后相切（如图2），再相交（如图3），而且我们清楚地看到它们交点在x y =上.图1 图2 图3 事实上，由反函数图象对称性知，确实如此，所以研究)1(>=a a y x 与)1(log >=a x y a 图象交点情况即研究)1(>=a a y x 与x y =图象交点情况.下面，我们从“临界状态”入手研究，从代数角度看只需联立方程0=-⇒⎩⎨⎧==x a xy a y x x让方程只有一个根即可，属于超越方程，无法用常规方法解，利用导数（选修2-2中知识）解法如下：()1ln 1ln 1ln 111=⇒=⎪⎩⎪⎨⎧⇒==⎩⎨⎧⇒='=x x x a a x a a x a x x x x x ∴e e ea e a e x 1,,===即得所以，当e e a 1=时，函数x a y =与x y a log =图象与x y =相切.根据指对数函数单调性以及以上分析得：当e e a 1>时，函数x a y =与x y a log =图象有0个交点；当e e a 1=时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点；当e e a 11<<时，函数x a y =与x y a log =图象有2个交点.2. 当10<<a 时同样地，我们也在几何画板中画出x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21与x y 21log =图象，发现它们有一个交点（如图4）.当底数a )10(<<a 逐渐变小时，我们惊奇地发现)10(<<=a a y x 与)10(log <<=a x y a 图象出现了3个交点（如图5）.图4 图5 由函数的单调性和连续性知，当10<<a 时，)10(<<=a a y x 与)10(log <<=a x y a 图象不可能相切，所以交点情况只有1个或者3个.同样地，我们也可以用导数解出临界状态时的a 的值，类似的，我们得到以下结论：当1<≤-a e a 时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点；当a ea -<<0时，函数xa y =与x y a log =图象有3个交点. 综上所述，当ee a 1>时，函数x a y =与x y a log =图象有0个交点；当e e a 1=或1<≤-a ea 时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点；当e e a 11<<时，函数x a y =与x y a log =图象有2个交点；当a e a -<<0时，函数xa y =与x y a log =图象有3个交点.微练习：1．下列命题① 若点）（n m ,在函数x a y =图象上，则点）（m n ,在函数x y a log =图象上② 当1>a 时，函数x y a log =的图象与直线x y =无公共点③ 若点）（n m ,既在函数x a y =图象上，也在函数x y a log =图象上，则n m =④ 当10<<a 时，函数x a y =的图象与直线x y =有且只有一个公共点其中正确的命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知1>a ,则方程|log |x a a x =实根的个数为（）A ．1个B ．2个C ．1个或2个D ．1个或2个或3个3．已知10<<a ，则方程|log |||x a a x =的实根的个数为（）A ．2个B ．3个C ．2个或3个D ．2个或4个【答案】1.①由反函数图象对称性知正确；②当1>a 时，函数x y a log =的图象与直线x y =可能有0个或1个或2个交点，所以错误；③当10<<a 时，函数x a y =与函数x y a log =交点有3个时，其中2个不在x y =上，所以错误；④当10<<a 时，函数x a y =与直线只有一个交点，所以正确.故选C.2.由函数与方程思想知，方程的根的个数即函数x a y =与函数x y a log =图象交点个数，而x y a log =是把x y a log =图象在x 轴下方部分作关于x 轴对称，又因为当1>a 时，函数xa y =与函数x y a log =图象交点可能有0个或1个或2个，所以|log |x a a x =实根个数可能是1个或2个或3个，故选D.3.当10<<a 时，方程|log |||x a a x =在区间）（1,0内实根个数是1个或3个，在区间[)∞+，1内的实根个数为1个，所以10<<a 时，方程|log |||x a a x =实根个数为2个或4个，故选D.。

《对数函数的概念》《对数函数的图象和性质》指数函数与对数函数PPT

-1
2
2
1
化简可得 ≤x2≤2.
2
再由 x>0 可得 2≤x≤
2
2
答案:(1)A (2)
, 2
2
2
2
2
1
,
2,故函数 f(x)的定义域为
2
,
2
2 .
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
反思感悟定义域问题注意事项
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,
偶次根式被开方式大于或等于零等.
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
值域
过定点
单调性
奇偶性
(0,+∞)
R
(1,0),即当 x=1 时,y=0
在(0,+∞)
在(0,+∞)
上是增函数
上是减函数
非奇非偶函数
课前篇
自主预习
一
二
三
3.做一做
(1)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是 (
)
A.0.5 B.2
C.e D.π
(2)下列函数中,在区间(0,+∞)内
.
2 -2-8 = 0,
解析:(1)由题意可知 + 1 > 0, 解得 a=4.
+ 1 ≠ 1,
(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,
所以
a-3=8,即
1
3
-

指对幂函数图像总结

指对幂函数图像特征总结（必修一）
————以第一象限为研究对象
指数函数图像：
在第一象限：底大图高！0<b<a<1<d<c
对数函数图像：
在第一象限做一条y=1的直线，此时观察
其与图像的交点：底大图右!
0<c<d<1<a<b
指数函数与对数函数共同特征：当a>1时，函数在定义域内单调递增；当0<a<1时，函数在定义域内单调递减。

幂函数图像特征总结：
在x=1的右侧，作一条垂直于x轴的直线，指大图高！当a<0时，图像为双曲线，图像单调递减；
当a>0，图像单调递增。

{a>1,图像为向上的抛物线，下凸函数
0<a<1,图像为向下的抛物线，上凸函数。

同底的指数函数与对数函数的交点问题

∙同底的指数函数与对数函数的交点问题∙需要具备的知识点指数函数一般地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数(exponential function) ，。

单调性：单调递减（0<a<1）,单调递增(a>1);对数函数单调性：单调递减（0<a<1）,单调递增(a>1);以上指数函数和对数函数的底数都用a表示。

求同底指数函数对数函数的交点方法：假设+渐近简要分析：首先看a>1还是0<a<1,高中范围内一般只考虑这两种情况.a>1交点数可能有三种情况，0个1个或2个.如下图0<a<1时图象有且仅有一个交点，我稍作说明。

Q:存在函数y=a^x与y=logax（a>1,a≠1）在x属于（0,+∞）,求其交点个数。

（a^x意思是a的x次方，logax指以a为底x 的对数）A:假设一个x，使得y=a^x与y=logax为可比较的数，可以设为a的平方或立方，（因为logaa^n=n，而a^n也是一个可以求的实数，所以可以进行比较。

如a=2，则可设x=1/2，2，4，8...）用所得的指数函数值减去对数函数值。

设指数函数值减去对数函数值为delta y，如果delta y等于或小于零时，函数有交点，如果delta y大于零则函数在x处无交点。

如何验证只有一个交点？首先找到一个x使得delta y为零，然后取x左右的横坐标值x1，x2，如果x1，x2使delta y都大于零，那么可以说指数函数与对数函数有且仅有一个交点。

（如果x1，x2对应的delta y一正一负，则函数图像有两个交点。

）如何验证有二个交点？（已证）如何计算两个交点的交点坐标？（如果出题的老师没有恶意的话，是可以用这种方法算出来的）首先找到一个横坐标值x使得delta y小于零，然后在x左侧或右侧找到一个x1使得delta y大于零，则交点横坐标点在（x，x1）或（x1，x）之间，可以继续假设，知道找到使delta y等于零的x值。

同底的指数函数与对数函数的交点问题

同底的指数函数与对数函数的交点问题问题：()log ,0,1xa y x y aa a ==>≠的图像在0x >上的交点个数。

解答：1.当1a >时，由二者图像的对称性知，二者图像的交点都在直线y x =上，故原问题等价于讨论()1xy aa =>与y x =在0x >上的交点的个数，等价于讨论()ln 1y x a a =>与ln y x =在0x >上的交点的个数。

令()ln ln f x x a x =-，则()1ln ,0f x a x x '=->。

当10ln x a <<时，()0f x '<，()f x 在10,ln a ⎛⎤ ⎥⎝⎦严格递减；当1ln x a >时，()0f x '>，()f x 在1,ln a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格递增；因此()f x 在01ln x a =处取得最小值()01lnln f x a =+。

图1 1ea e >图2 1ea e =图3 11ea e <<当()01lnln 0f x a =+>，即当1e a e >时，()0f x >在0x >上恒成立，()f x 在0x >上没有零点（如图1）；当1e a e =时，()0f x ≥在0x >上恒成立，且()010ln f x x x e a=⇔===，此时()f x 在0x >上有且仅有一个零点0x e =（如图2）；当11ea e <<时，最小值()00f x <，又因为()0111ln 1ln e x a a a<<=<-，且 ()()()()111ln 0,ln 1ln ln 01ln 1f a f a a a a a ⎛⎫=>=+-+> ⎪ ⎪--⎝⎭后式求导讨论即可验证（如下图），故()f x 在()01,x 和()01,1ln x a a ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭上各有一个零点，又由()f x 在0x 两侧的严格单调性知这两个零点都是唯一的，故()f x 在0x >上有且仅有两个零点。

指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像

指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。

指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。

a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。

当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。

02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。

常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。

底数为任意正数的对数，记作log(x)。

对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。

对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。

对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。

•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂（1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。

同底的指数函数与对数函数的图象有几个交点

同底的指数函数与对数函数的图象有几个交点作者：张松年来源：《新课程·中学》2012年第08期函数y=ax与y=logax（a>0，a≠1）的图象有几个交点？自《普通高中课程标准实验教科书·苏教版·数学必修1》提出这个问题以后，引起了中学数学教师的广泛关注。

2006年第2版《苏教版·数学必修1》第80页的例5和探究的内容是：例5：分别就a=2，a=■和a=■画出函数y=ax与y=logax的图象，并求方程ax=logax解的个数。

探究：当0教材提示利用Excel、图形计算器或其他画图软件（教学过程中一般用几何画板），在同一坐标系中分别就a=2，a=■和a=■时画出函数y=ax与y=logax的图象，通过观察，发现：在这三种情况下，两个函数图象的交点个数分别为0，2，1，从而方程ax=logax解的个数分别为0，2，1。

作为探究，用几何画板演示，可以发现：当0但问题是：这两个函数的图象到底有几个交点？会不会有4个公共点？交点个数变化时，底数a的临界值是什么？怎样找底数a的临界值呢？一、几个基本结论1.y=ax与y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

如果函数y=logax的图象与直线y=x相交，那么交点必定在函数y=ax的图象上。

同样，如果函数y=ax的图象与直线y=x相交，那么交点必定在函数y=logax的图象上。

2.函数y=ax是凹函数，它的图象在其任意一条切线的上方。

证明如下：由y=ax，得y′=axlna，y″=ax（lna）2。

因为对任意的x∈R，都有ax>0，且（lna）2>0，所以y″>0，所以，函数y=ax是凹函数。

3.（1）当a>1时，函数y=logax是凸函数，它的图象在其任意一条切线的下方；（2）当0证明如下：由y=logax，得y′=■（x>0），y″=—■（x>0）。

因为对任意的x∈（0，+∞），都有x2>0，所以当a>1时，有lna>0，所以y″0，所以，函数y=logax是凹函数。

指数函数与对数函数图像的两类交点

指数函数与对数函数图像的两类交点高焕江【摘要】用分析方法讨论两个与指数函数、对数函数有密切联系的函数的性质,给出了同底指数函数与对数函数图像的两类交点的存在性证明,从一个新的角度揭示指数曲线与对数曲线的位置关系.【期刊名称】《红河学院学报》【年(卷),期】2010(008)002【总页数】4页(P36-39)【关键词】指数函数;对数函数;导数;斜率;交点【作者】高焕江【作者单位】邢台医学高等专科学校数学教研室,河北,邢台,054000【正文语种】中文【中图分类】O172.1根据指数函数与对数函数的性质可知,指数曲线y=ax与对数曲线y=logax(a＞0且a≠1)的交点可以分为两类:一类在直线y=x上,一类关于直线y=x对称.由指数函数和对数函数的性质可知,指数曲线y=ax与对数曲线y=logax在直线y=x上有无交点取决于方程ax=x(x＞0)有无实数根,并且有交点时交点的个数取决于方程ax=x(x＞0)的实数根个数.为考察方程ax=x有无实数根以及有实数根时有几个实数根,对方程式ax=x两边取对数,得xlna=lnx,即有从而问题转化为讨论函数在区间上的(0,+∞)性态.讨论:,令f΄(x)=0,得到f(x)在(0,+∞)内的唯一驻点x=e.当0＜x＜e时,f΄(x)＞0,曲线f(x)在区间(0,e)内单调上升;当x＞e时,f΄(x)＜0,曲线f(x)在区间(0,+∞)内单调下降;从而f΄(x)在x=e处取得极大值f(e)=ee-1(因为x0是f(x)在区间(0,+∞)内的唯一驻点,此极小值也是最小值).由可知曲线向右以直线y=1为渐近线.又0,据此可知连续函数的值域为由以上讨论即知:(1)当a＞ee-1时,直线y=a与曲线无交点,从而方程无实数解,此时曲线y=ax与y=logax在直线y=x上无交点.(2)当a=ee-1时,直线y=a与曲线有且只有一个交点,从而方程有唯一实数根,此时曲线y=ax与y=logax在直线y=x上有唯一交点,更进一步还可知y=(ee-1)x与y=elnx的这个唯一交点为(e,e),两曲线在点(e,e)处的斜率都是1,故a=ee-1时两曲线相切于直线y=x.(3)当1＜a＜ee-1时,直线y=a与曲线有两个交点,一个交点在区间(0,e)内,另一个在区间(e,+∞)内,方程有两个实数根,此时曲线y=ax与曲线y=logax在直线y=x 上有两个交点.(4)当0＜a＜1时,直线y=a与曲线有且只有一个交点,且由于f(x)在区间(0,1)内单调增加,,可以断定此交点位于正方形区域{(x,y)|0＜x＜1,0＜y＜1}内,此时方程a=有唯一实数根,曲线y=ax与曲线y=logax在直线y=x上有且只有一个交点.函数q(x)=xax(lna)2(x＞0)是指数函数y=ax的导函数y′=axlna与对数y=logax(x＞0)的导函数y′=的商,通过对这个函数的研究可以揭示对数曲线上某一点的斜率与指数曲线上对应点的斜率之间的关系.引理若0＜a＜1,则q(x)=xax(lna)2(x＞0)具有如下性质:在区间(0,logae-1)内单调增加,在区间(logae-1,+∞)内单调减小,在x0=logae-1处取得最大值q(x0)=-e-1lna;图像在区间(0,logae-2)上是凸的,在区间(logae-2,+∞)上是凹的,拐点为值域为区间(0,-e-1lna].证明 q(x)=xax(lna)2(x＞0)的导数q′(x)=(lna)2(ax+xaxlna)=ax(lna)2(1+xlna)(x＞0).令q′(x)=0,此方程在0＜a＜1时存在唯一实数根,解得驻点当时,q′(x)＞0,q(x)在区间单调增加;当时,q′(x)＜0,q(x)在区间(-单调减小;又由于是q(x)在区间(0,+∞)内的唯一驻点,故q(x)在处取得最大值q(x0)=-e-1lna. q"(x)=ax(lna)3(2+xlna),令q"(x)=0,此方程在0＜a＜1时存在唯一实数根,解得logae-2.当时,q"(x)＜0,说明曲线q(x)在区间上是凸的;当时,q"(x)＞0,说明曲线q(x)在区间上是凹的.点是曲线q(x)的拐点.又因为所以连续函数q(x)在定义区间(0,+∞)上的值域为区间(0,-e-1lna].当0＜a＜1时,函数q(x)=xax(lna)2(x＞0)的示意图如图1所示.推论Ⅰ 当e-e＜a＜1时,对数曲线y=logax上任一点的斜率都小于指数曲线y=ax 上对应点的斜率.这是因为,当e-e＜a＜1时,-e＜lna＜0,0＜-e-1lna＜1,说明在区间(0,+∞)内q(x)的最大值是一个小于1的正数,故对任意x＞0都有0＜q(x)＜1,即0＜xax(lna)2,由xlna＜0,得推论Ⅱ 当a=e-e时对数曲线y=logax上除点以外的任一点的斜率都小于指数曲线y=ax上对应点的斜率.这是因为,当a=e-e时,lna=-e,-e-1lna=1,说明在区间(0,+∞)内q(x)的最大值是1(此时q(x)的最大值在处取得,y=logax在处的函数值是故对任意x＞0且都有0＜q(x)＜1,即0＜xax(lna)2＜1,由xlna＜0,得推论Ⅲ 当0＜a＜e-e时,对数曲线y=logax与指数曲线y=ax仅在两个特定点x1、x2处的斜率相等;曲线y=logax在区间(0,x1)和(x2,+∞)内任一点的斜率都小于曲线y=ax上对应点的斜率;曲线y=logax在区间(x1,x2)内任一点的斜率都大于曲线y=ax上对应点的斜率.其中x1、x2是方程xax(lna)2=1的两个不等实数根,且证明当0＜a＜e-e时,lna＜-e,-e-1lna＞1,这说明q(x)=Xax(lna)2(x＞0)在区间(0,+∞)内的最大值是一个大于1的正数.令q(x)=1,即xax(lna)2=1,由引理知q(x)在区间(0,logae-1)内单调增加,函数值的取值范围是区间(0,-e-1lna);q(x)在区间(logae-1,+∞)内单调减小,函数值的取值范围也是区间(0,-e-1lna);据此可知方程xax(lna)2=1在区间(0,logae-1)内存在一个实数根(记为x1);在区间(logae-1,+∞)内存在另一个实根(记为x2).当x=x1或x2时当x1＜x＜x2时xax(lna)2＞1,由xlna＜0,得当0＜x＜x1或x＞x2时0＜xax(lna)2＜1,由xlna＜0,得前已证明,当0＜a＜1时曲线y=ax与曲线y=logax在直线y=x上有且只有一个交点(第一类交点).令axlna=-1,当0＜a＜1时此方程存在唯一实数根x0=loga(logae-1).这说明指数曲线y=ax在点(loga(logae-1),logae-1)处的斜率为-1.相应地,对数曲线y=logax 在点(logae-1,loga(logae-1)处的斜率为-1.以下证明当且仅当0＜a＜e-e时指数曲线y=ax与对数曲线y=logax存在第二类交点.(1)当a＞1时,曲线y=ax与y=logax不存在第二类交点.证明若曲线y=ax与y=logax有一交点不在直线y=x上,设其坐标为(u,v),根据反函数的性质,二者必有另一交点(v,u),从而有au=v,av=u,不妨设u＞v,由于a＞1,应有au＜av,导致v＞u.矛盾.故当a＞1时,曲线y=ax与y=logax不存在第二类交点.(2)当e-e＜a＜1时,曲线y=ax与y=logax也不存在第二类交点.证明当e-e＜a＜1时,-e＜lna＜0,从而logae-1-loga(logae-1)=loga(-e-1lna)＞0,说明点(loga(logae-1),logae-1)在曲线y=ax上的位置位于曲线y=ax与y=logax的那个第一类交点的左侧,由对称性知点(logae-1,loga(logae-1)在曲线y=logax上的位置位于曲线y=ax与y=logax的那个第一类交点的右侧,不妨设此时曲线y=ax与y=logax的那个第一类交点的坐标为(c,c).由于函数y=axlna与在0＜a＜1时都是增函数(因为故在交点(c,c)处,必有-1＜axlna＜0,由推论Ⅰ知当x ＞c时据此可以断定曲线y=ax与y=logax在区间(c,+∞)内不会相交.由对称性知曲线y=ax与y=logax在区间(0,c)内也不会有交点,故当e-e＜a＜1时曲线y=ax 与y=logax不存在第二类交点.(3)当a=e-e时,曲线y=ax与y=logax同样不存在第二类交点.证明当a=e-e时,点既在对数曲线上又在指数曲线上,对数曲线与指数曲线在点处的斜率都是-1,二者相切于点由推论Ⅱ知:当从而曲线y=ax与y=logax在区间上不会相交,由对称性知曲线y=ax与y=logax在区间上也不会有交点,故当e-e＜a＜1时曲线y=ax与y=logax不存在第二类交点.(4)当0＜a＜e-e时,指数曲线y=ax与对数曲线y=logax存在两个第二类交点.证明当0＜a＜e-e时,lna＜-e,从而logae-1-loga(logae-1)=loga(-e-1lna)＜0,说明点(loga(logae-1,logae-1)在曲线y=ax上的位置位于曲线y=ax与y=logax 的那个第一类交点的右侧,由对称性知点(logae-1,loga(logae-1)在曲线y=logax 上的位置位于曲线y=ax与y=logax的那个第一类交点的左侧,不妨设此时曲线y=ax与y=logax的那个第一类交点的坐标为(d,d).由函数y=axlna与时都是增函数,可知在交点(d,d)处,有由可推知dad(lna)2＞1.(因为在不等式-adlna＞1的两边同除以小于1的正数令xax(lna)2=1,由推论Ⅲ知此方程存在两个相异实根x1、x2(0＜x1＜x2),且由于dad(lna)2＞1可知x1＜d＜x2.再根据推论Ⅲ即得:当d＜x＜x2时当x=x2时当x ＞x2时从而知曲线y=ax与y=logax在区间(d,+∞)上必有且仅有一个交点,由对称性知在(0,d)内还有一个交点,故当0＜a＜e-e时曲线y=ax与y=logax有两个第二类交点.例如,函数y=0.02646x与y=log0.02646x二者的图像有3个交点:一个交点在直线y=x上,用M athem atica计算可知其坐标为(0.31663,0.31663)(近似数);另两个交点一个是(0.04656,0.84442)(近似数),另一个是(0.84442,0.14656)(近似数),此两点关于直线y=x对称.又如,函数二者的图像也有3个交点,其中一个交点在直线y=x上,其坐标为(0.36425,0.36425)(近似数),另两个交点关于直线y=x对称,分别是【相关文献】[1]蔡邦成.巧构模型妙除顽症[J].数学通报,2006,45(8):41-43.[2]黄俊明.关于指数函数与对数函数图像的交点个数问题[J].凯里学院学报,2007,25(6):7-8。

指数函数和对数函数图像与交点问题

关于指数函数与对数函数的问题一、指数函数底数对指数函数的影响：①在同一坐标系分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a>0，且a≠l时，函数与函数y=的图象关于y轴对称。

利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值二、对数函数底数对函数值大小的影响：1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a>l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O<a<l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有对数函数的图象与性质：三、对数函数与指数函数的对比：(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l时，它们是增函数；当O<a<l时，它们是减函数．(3)指数函数与对数函数的联系与区别：四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题一、1a >时方程x log a a x =的解先求如图3所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。

设曲线x log y a y a x ==与相切于点M （00x ,x ），由于曲线x a y =在点M 处的切线斜率为1，所以⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧===1a ln a ,x a 1|)'a (,x a 0000x 0x x x x 0x 即所以a ln 1a x a ln 1,x a a ln 100x 0=⎪⎩⎪⎨⎧==则即e x ,e a ,a ln 1e 0e 1===此时所以。

同底的指数函数与对数函数的交点问题

同底的指数函数与对数函数的交点问题引文：讨论底a>1与0<a<1两种情况下函数的交点个数问题。

一、实例分析（一）判断函数y=3x与函数y=log3x的交点个数对于函数y=3x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。

由于底数a=3,a>1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。

对于函数y=log3x,其定义域为(0,+∞)，值域为全体实数。

由于底数a=3,a>1,所以函数在定义域区间上为单调增函数。

二者在同一坐标系的图像如下图：由于函数y=log3x和函数y=3x互为反函数，即关于直线y=x 对称。

从图像容易知道y=3x和y=x没有交点，所以根据对称性质，y=log3x与对称轴y=x也没有交点，即此时函数y=3x与函数y=log3x的交点个数为0.此时留下思考问题：在a>1的情况下，y=a x和y=x之间是永远相离，还是可以相切，或是相交？（二）判断函数y=（1/3）x与函数y=log1/3x的交点个数对于函数y=(1/3)x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。

由于底数a=1/3,0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。

对于函数y=log1/3x,其定义域为(0,+∞)，值域为全体实数。

由于底数a=1/3,0<a<1,所以函数在定义域区间上为单调减函数。

二者在同一坐标系的图像如下图：由于函数y=log1/3x和函数y=(1/3)x互为反函数，即关于直线y=x对称。

从图像容易知道y=(1/3)x和y=x有一个交点，所以根据对称性质，y=log1/3x与对称轴y=x同时交于此交点，即此时函数y=(1/3)x与函数y=log1/3x的交点个数为1.此时留下思考问题：（1）在0<a<1的情况下，y=a x和y=log a x在x趋近无穷远处或者在y趋近无穷远处，会不会相交？如果有，那就是3个交点。

（2）在0<a<1的情况下，本例出现的交点是1个，但不是切点，是否还存在只有1个交点且是切点的情况？二、结论归纳（一）函数y=a x与函数y=log a x(a>1)的交点个数对于函数y=a x,其定义域为全体实数，值域为(0,+∞)。

指数函数与对数函数的交点问题

指数函数与对数函数的交点
指数函数y=a x(a>0,a=1)与对数函数y=log a x(a>0,a=1)互为反函数，它们的交点问题一直让人困惑，是有一个交点，还是有两个交点，还是有更多的交点，一直是部分人争论的话题。

下面就此问题进行探究。

一个交点：一个交点的情况很普遍，可以随便找到一个实例比如a= 0.5，此时y=0.5x与y=log0.5x的交点是1个，其部分图像（仅画出了交点附近的图像）如图1：
图1:指数函数与对数函数有1个交点的情况
两个交点：两个交点的情况也比较好找，比如a=√
2，此时y=
(√
2)x与y=log√
2
x的交点是2个，其部分图像（仅画出了交点附近的图像）
如图2：
1
图2:指数函数与对数函数有2个交点的情况
三个交点：三个交点的情况比较少见，很难想到，此处给出一个实例，比如a=0.03，此时y=0.03x与y=log0.03x的交点是3个，其部分图像（仅
：
画出了交点附近的图像）如图3
2。

二级结论专题4 指数函数与对数函数

二级结论专题4指数函数与对数函数二级结论1：不同底的指数函数图像变化规律【结论阐述】当底数大于1时，底数越大指数函数的图像越靠近y 轴；当底数大于0且小于1时，底数越小，指数函数的图像越靠近y 轴.即如图1所示的指数函数图像中，底数的大小关系为：01c d b a <<<<<，即图1中由y 轴右侧观察，图像从下至上，指数函数的底数依次增大.图1【应用场景】利用这一结论根据图像迅速判断对应指数函数的底数大小，从而对底数进行定位.【典例指引1】（2022北京市十一学校高一上学期期中考试）1．已知函数x y a =、x y b =、x y c =、x y d =的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A ．b d a c +>+B ．b d a c +<+C ．a d b c +>+D ．a d b c+<+【典例指引2】（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期中）2．如图是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =，（4）x y d =的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是__________【针对训练】（2022·全国·高一课时练习）3．函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．5413，12B 54，13，12C ．12，1354，D ．13，12，54（2022·全国·高一课时练习）4．已知113xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23x y =，310x y -=，410xy =，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知实数a ，b 满足等式23a b =，下列五个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤0a b ==其中有可能成立的关系式有（）A ．①B ．②⑤C ．②③D ．④（2022·全国·高一课时练习）6．（多选）已知实数a ，b 满足等式1123a b⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中不可能成立的是（）A ．0b a <<B ．0a b <<C ．0a b<<D ．0b a <<7．已知实数,a b 满足等式36a b =，则下列可能成立的关系式为（）A ．=a bB ．0b a<<C ．0a b <<D ．0a b<<（2022·湖南·高一课时练习）8．设a b c d ,,,都是不等于1的正数，,,,x x x x y a y b y c y d ====在同一坐标系中的图象如图所示，则a b c d ,,,的大小顺序是______________．二级结论2：不同底的对数函数图像变化规律【结论阐述】当底数大于0且小于1时，底数越小，对数函数的图像越靠近x 轴；当底数大于1时，底数越大，对数函数的图像越靠近x 轴.即如图2所示的对数函数图像中，底数的大小关系为：01b a d c <<<<<，即图2中，在x 轴上侧观察，图像从左向右，对数函数的底数依次增大.图2【应用场景】利用这一结论根据图像迅速判断对应对数函数的底数大小，从而对底数进行定位.【典例指引1】9．如图，曲线1C ，2C ，3C ，4C 分别对应函数1log a y x =，2log a y x =，3log a y x =，4log a y x =的图象，则（）A ．432110a a a a >>>>>B ．341210a a a a >>>>>C ．214310a a a a >>>>>D ．123410a a a a >>>>>【典例指引2】（2022四川绵阳南山中学高一上学期期中考试）10．已知实数,a b 满足等式，1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下列五个关系式：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =.其中可能成立的关系式有________.(填序号)【针对训练】（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）11．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b12．若log 8.1log 8.10m n <<，那么m ，n 满足的条件是（）A ．1m n >>B ．1n m >>C ．01n m <<<D ．01m n <<<（2022·湖南五市十校期末考试）13．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<14．设幂函数312,,c c c y x y x y x ===，指数函数1234,,,xxxxy a y a y a y a ====，对数函数1234log ,log ,log ,log b b b b y x y x y x y x ====在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（）.A ．13201c c c <<<<B ．431201a a a a <<<<<C ．342101b b b b <<<<<D ．431201b b b b <<<<<（2022·湖南·高一课时练习）15．对于函数log m y x =与log n y x =．(1)若01m n <<<，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？(2)若1m n <<，你能在直角坐标系中画出它们的大致图象吗？你发现了什么？（2022·全国·高一课时练习）16．如图所示是6个函数的图像，依据图中的信息将a ，b ，c ，d 从大到小排列.二级结论3：方程()x f x k +=的根为1x ，方程()1x f x k -+=的根【结论阐述】若函数=()y f x 是定义在非空数集D 上的单调函数，则存在反函数1()y f x -=.特别地，x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图像关于=y x 对称，即()()00,x f x 与()()00,f x x 分别在函数()=y f x 与反函数()1y f x -=的图像上.若方程()x f x k +=的根为1x ，方程()1x f x k -+=的根为2x ，则12x x k +=.【应用场景】同底的对数函数与指数函数互为反函数，利用互为反函数的两个函数图像的对称性来求两方程根的和.【典例指引1】17．若实数a 满足e 20x x +-=，实数b 满足ln 20x x +-=，则+=a b ___________.【典例指引2】18．设P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点，则称PQ 的最小值为曲线1C 、2C 之间的距离，记作12(,)d C C .若1C ：e 20x y -=，2C ：ln ln 2x y +=，则12(,)d C C =__________．【针对训练】19．已知1x 是方程24x x +=的根，2x 是方程24x log x +=的根，则12x x +的值是______________．20．已知1x 是方程lg 3x x +=的一个根，2x 方程103x x +=的一个根，则12x x +=___________.21．已知函数()=f x kx ，1[,e]e x ∈，21()=()exg x ，若()f x ，()g x 图像上分别存在点,M N 关于直线=y x 对称，则实数k 的取值范围为（）A ．1[,e]e-B ．2[,2e]e-C ．3[,3e]e-D ．2(,2e)e-22．若1x 是方程3x xe e =的解，2x 是方程3ln x x e =的解，则12x x 等于A ．4e B ．3e C ．2e D ．e23．已知实数,a b 满足710a a -=，4lg lg 103b b -=-，则ab =___________.24．已知实数,p q 满足：25+=p p ，2log 1=q ，则2+=p q （）A ．1B ．2C ．3D ．4参考答案：1．B【分析】如图，作出直线1,x =得到1c d a b >>>>，即得解.【详解】如图，作出直线1,x =得到1c d a b >>>>，所以b d a c +<+.故选：B2．1c d a b>>>>【分析】作直线1x =，由图可知a ，b ，c ，d 与1的大小关系.【详解】作直线1x =，由图可得11111>>>>c d a b ，即1c d a b >>>>.故答案为：1c d a b >>>>.3．C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而511423>>>.故选：C ．4．A【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.【详解】23xy =与410xy =是增函数，113x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与311010xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭是减函数，在第一象限内作直线1x =，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ．故选：A 5．AB【分析】画出指数函数2x y =，3x y =的图象，利用单调生即可得出答案.【详解】如图所示，数2x y =，3x y =的图象，由图象可知：(1)当时0x >，若23a b =，则a b >；(2)当0x =时，若23a b =，则0a b ==；(3)当0x <时，若23a b =，则a b <.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤.故选：AB6．CD【分析】根据2,3x x y y ==的图象，讨论23a b --=与1的大小关系判断,a b 的大小.【详解】由题设，23a b --=，而2,3x x y y ==的图象如下：∴当231a b --=<时，0a b -<-<，即0a b >>；当231a b --==时，0a b ==；当231a b --=>时，0a b ->->，即0a b <<；综上，故C 、D 不可能成立．故选：CD 7．ABC【分析】在同一坐标系内分别画出函数3x y =和6x y =的图像，结合图像即可判断.【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数3x y =和6x y =的图像，如图所示，由图像知，当0a b ==时，361a b ==，故选项A 正确；做出直线y k =，当1k >时，若36a b k ==，则0b a <<，故选项B 正确；当01m <<时，若36a b m ==，则0a b <<，故选项C 正确；当0a b <<时，易得21b >，则33236a b b b b <<⋅=，故选项D 错误.故选：ABC .8．b a d c<<<【分析】先根据指数函数的单调性，确定a ，b ，c ，d 与1的关系，再由1x =时，函数值的大小判断.【详解】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数，所以c ，d 大于1，a ，b 小于1，由图知：11c d >，即c d >，11b a <，即b a <，所以1b a d c <<<<，故答案为：b a d c<<<9．A【分析】根据对数函数特点，可作直线1y =，根据各曲线与直线的交点越靠左，对应底数越小判断即可【详解】作直线1y =，它与各曲线1C ，2C ，3C ，4C 的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有：432110a a a a >>>>>.故选：A【点睛】本题考查对数函数底数大小的判断，技巧是：作一条()0y a a =>的直线，与曲线交点在第一象限越靠左，则对应底数越小，属于基础题10．①②⑤【解析】先画出112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，213xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，考虑动直线y t =与它们的交点情况后可得可能成立的关系式.【详解】112x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，213xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示：令1123a bt ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则当1t >时，由图象可得0a b <<；当1t =时，由图象可得0a b ==；当01t <<时，由图象可得0b a <<；故答案为：①②⑤【点睛】本题考查指数函数的图象和特征，注意底数的变化对图象的影响，注意把大小关系转化为动直线与确定函数图象的交点的横坐标的大小问题，本题属于中档题.11．D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .故选：D ．12．C【解析】根据对数函数图象与性质判断即可得答案.【详解】解：根据题意知m ，n 一定都是大于0且小于1的数，画出log m y x =，log n y x =的图象，如图，根据函数图象，当1x >时，底数越大，函数值越小，所以有01n m <<<.故选：C.【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，是基础题.13．D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数()()log a f x x b =-为减函数，所以01a <<又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以10xb =+>，即1b >-又因为函数图象与y 轴有交点，所以0b <，所以10b -<<，故选：D14．C【分析】对四个选项一一验证：对于A ：利用幂函数y x α=的图像，直接判断；对于B ：利用指数函数x y a =的图像，直接判断；对于C 、D ：利用对数函数log xa y =的图像，进行判断；【详解】对于A ：要判断的是幂函数y x α=的图像，根据312c c c y x y x y x ===、、的图像可以判断13201c c c <<<<，故A 正确；对于B ：要判断的是指数函数x y a =的图像，作出x =1，看交点，交点高，底数越大，所以431201a a a a <<<<<，故B 正确；对于C 、D ：要判断的是对数函数log xa y =的图像，作出y =1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以431201b b b b <<<<<，故D 正确，C 错误；故选：C15．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据对数函数的性质作答；（）根据对数函数的性质作答．（1）图象如图：图象都过(1,0)点，函数都是单调递减，在直线1x =右侧，底数越小，越靠近x 轴；（2）图象都过(1,0)点，函数都是单调递增，在直线1x =右侧，底数越大，越靠近x 轴．16．d b c a >>>.【解析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、互为反函数的两个函数图像的特征，进行判断即可.【详解】通过两个对数函数图像的性质可以得出：2>d ；根据函数x y b =的图像与2log y x =的图像关于y x =对称，所以有2b =，即2d b >=；根据三个指数函数的图像可知：10b c a >>>>，因此有d b c a >>>.【点睛】本题考查了通过指数函数和对数函数的图像比较参数的大小，考查了数形结合的思想，考查了对数函数和指数函数的性质.17．2【分析】,a b 可以看作是函数e x y =和ln y x =的图象与直线2y x =-+交点的横坐标，由前两个函数的图象关于直线=y x 对称求解．【详解】e 20e 2x x x x +-=⇒=-+，ln 20ln 2x x x x +-=⇒=-+，而e x y =和ln y x =互为反函数，图像关于=y x 对称，可知=x a 是函数e x y =和2y x =-+交点的横坐标，同理x b =是函数ln y x =与2y x =-+交点的横坐标，且2y x =-+与=y x 垂直，作出图像如下，==1=-+2y x x y x ⇒⎧⎨⎩，所以=x a ，x b =关于=1x 对称，所以2a b +=.故答案为：2．182【分析】由题意，根据两个曲线方程，整理其函数解析式，根据反函数的性质，转化为曲线到直线的最短距离问题，结合导数求切线，可得答案.【详解】由题意，1e :2xC y =，2:ln 2C y x =，由1:ln 2C x y =，则两个函数互为反函数，即12,C C 的图像关于=y x 对称，所以只需求出曲线2C 上的点到=y x 的距离的最小值，2C 对应的函数为ln ln2y x =+，求导1y x '=，故斜率为1的切线方程对应的切点为()1,ln2，从而切线方程为1ln2y x =-+，与=y x 的距离为d =12(,)222d C C d ==⨯，2．【点睛】由于曲线12,C C 表示的是两个互为反函数的图像，图像关于直线y=x 对称，所以转化为曲线上的点到直线=y x 的距离的最小值的2倍．19．4【详解】∵24x x +=，∴24x x =-，∴1x 是2x y =与4y x =-交点的横坐标．又∵24x log x +=，∴24log x x =-，∴2x 是2y log x =与4y x =-交点的横坐标．又2x y =与2y log x =互为反函数，其图象关于y x =对称，由4y x y x=-⎧⎨=⎩得2x =，∴1222x x +=，∴124x x +=．20．3【分析】根据函数与方程的关系，将方程的解转化为函数的交点，根据反函数的性质，利用中点坐标公式，可得答案.【详解】将已知的两个方程变形得lg 3x x =-+，103x x =-+.令：()lg f x x =，()10x g x =，()3h x x =-，画出它们的图像，如图，记函数()lg f x x =与()3h x x =-的交点为11(,)A x y ，()10x g x =与()3h x x =-的图像的交点为22(,)B x y ，由于()lg f x x =与()10x g x =互为反函数，且直线3y x =-与直线=y x 垂直，所以11(,)A x y 与22(,)B x y 两点关于直线=y x 对称，由==+3y x y x -⎧⎨⎩，解得3=23=2x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴12322x x +=，则123x x +=.故答案为：3.21．B【分析】根据互为反函数的函数图像关于直线=y x 对称，只需函数()=f x kx 与函数21()=()ex g x 的反函数2ln y x =-有交点，即可存在满足题意的点,M N ，联立二者，反解参数转化为求函数2ln ()x m x x =-，1[,e]ex ∈的值域问题，利用导数求解即可得到答案.【详解】21()=()ex g x 的反函数为2ln y x =-，设(,)M m km ，1[,e]e m ∈，则点(,)M m km 在2ln y x =-上，即满足()f x ，()g x 图像上分别存在点,M N 关于直线=y x 对称，即方程2ln km m =-有解，可得2ln m k m=-，令2ln ()x m x x =-，1[,e]e x ∈，则()2222ln ln 1==2x x x x m x x x---'，当1[,e]e x ∈时，()0m x ≤'，()m x 是减函数，所以()1e ()e m m x m ≤≤⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2()2e e m x -≤≤，所以22e ek -≤≤.故选：B.22．B 【分析】33=x xe xe e e x =⇔，33ln ln e x x e x x =⇔=再利用函数x y e =与函数ln y x =互为反函数，推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系【详解】由题意知1x 是方程3xe e x =的解，2x 是方程3ln e x x =的解，即1x 是函数xy e =与函数3e y x =交点的横坐标，2x 是函数ln y x =与函数3e y x =交点的横坐标．因为函数x y e =与函数ln y x =互为反函数，图像关于对称．所以1x 等于函数ln y x =与函数3e y x=交点的纵坐标，即331222=e x x x e x ⋅=【点睛】方程的解就是对应函数图像的交点，还是函数的零点利用函数x y e =与函数ln y x =互为反函数，推出函数图像交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题．23．410##10000【分析】根据方程与函数的关系，整理方程，转化为两个函数的交点，结合指数函数与对数函数的反函数关系，可得交点的轴对称性，利用中点坐标公式，可得答案.【详解】因为710lg 7a a a a -=⇔=-，所以a 是方程lg 7x x =-的根；又因为4lg 4lg lg 103107(4lg )b b b b --=-⇔=--，所以4lg b -是方程107x x =-的根；又因为lg y x =与10x y =互为反函数，其图像关于=y x 对称，且直线=y x 与7y x =-的交点的横坐标为72，因为直线7y x =-与=y x 垂直，所以(4lg )7(4lg )722a b a b +-=⇒+-=，又因为lg 7a a =-，所以4(7lg )(4lg )7lg()410a b ab ab -+-=⇒=⇒=.故答案为：410.24．C【分析】将25+=p p 变为25p p =-，2log 1+=q 化为()()2log 22522q q +=-+，令22,log ,5x y y x y x ===-，则方程25p p =-的解即为函数2x y =与5y x =-交点的横坐标，关于()22q +的方程()()2log 22522q q +=-+的解即为函数2log y x =与5y x =-交点的横坐标，根据2x y =与2log y x =互为反函数，得函数y x =与5y x =-的交点M 为函数2x y =与5y x =-交点和2log y x =与5y x =-交点的中点，作出函数图像，结合图像，求出函数y x =与5y x =-的交点M 得坐标，即可得解.【详解】解：由25+=p p ，则25p p =-，由2log 1=q ，则()21log 112q q ++=，即()2log 122q q ++=，则()2log 1123q q +++=⎡⎤⎣⎦，()()2log 22225q q +++=，()()2log 22522q q +=-+，令22,log ,5x y y x y x ===-，则方程25p p =-的解即为函数2x y =与5y x =-交点的横坐标，方程log 1=q ，即关于()22q +的方程()()2log 22522q q +=-+的解即为函数2log y x =与5y x =-交点的横坐标，因为2x y =与2log y x =互为反函数，则它们关于y x =对称，答案第14页，共14页则函数y x =与5y x =-的交点M 为函数2x y =与5y x =-交点和2log y x =与5y x =-交点的中点，作出函数图像，如图所示：联立5y x y x =-⎧⎨=⎩，解得5252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即55,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()5522522p q ++=+=，即23p q +=.故选：C.。

高中生数学思维的培养路径——以“指数函数与对数函数交点个数问题”的教学为例

2024年第6期教育教学SCIENCE FANS 对于高中生数学思维的培养，一线教师一直在探索各种有效的途径。

本文以“指数函数与对数函数交点个数问题”的教学为例，详细探讨如何培养高中生的数学思维，以期有效提升学生的数学成绩。

1 培养高中生数学思维的重要性高中数学作为一门重要学科，对于高中生的学习和发展具有重要的作用。

在高中数学教学中培养学生的数学思维，可以促进学生逻辑思维能力、创新能力以及问题解决能力的提高，而这些能力对于学生未来的学习和职业发展都非常重要。

高中阶段正是培养学生数学思维的关键阶段，教师应将培养学生的数学思维作为教学重点。

2 “指数函数与对数函数交点个数问题”的背景和意义第一，指数函数与对数函数交点个数问题是高中数学中的一个经典问题，其中蕴含着深刻的数学思维。

指数函数和对数函数是数学中的重要函数，它们被广泛应用于科学、工程等各个领域[1]。

第二，指数函数与对数函数交点个数问题的研究旨在探索这两类函数的交点个数的规律和特征，以帮助学生深入理解指数函数和对数函数的性质和变化趋势，拓宽学生的数学视野，培养学生的探究精神和数学思维能力[2]。

第三，通过解决指数函数与对数函数交点个数问题，学生可以锻炼抽象思维能力，培养观察、分析、推理和解决实际问题的能力。

同时，对指数函数与对数函数交点个数问题进行研究，也可以为后续的高等数学学习奠定坚实的基础[3]。

总之，研究指数函数与对数函数交点个数问题不仅具有重要的理论意义，而且对于高中生数学思维的培养具有重要的实践意义，可以让学生在解决实际问题的过程中感受到数学的奇妙，从而培养学生的数学学习兴趣和创新意识，促进学生全面发展。

因此，高中数学教师应指导学生积极探索指数函数与对数函数交点个数问题，以提升学生的数学思维能力和解决问题的能力[4]。

3 探讨“指数函数与对数函数交点个数问题”的解决方法指数函数与对数函数交点个数问题是一个典型的数学分析问题，解决这一问题的关键在于熟练掌握函数图象、基本性质和求解方程。

指数函数与对数函数图像及交点问题

关于指数函数与对数函数的问题一、指数函数底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当 a>l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近 y 轴；同样地，当 0<a<l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近 x 轴．②底数对函数值的影响如图．③当 a>0 ，且 a≠l 时，函数与函数y=的图象关于y 轴对称。

利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值二、对数函数底数对函数值大小的影响：1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当 a>l 时，底数越大，图象越靠近x 轴，同理，当O<a<l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如x=l把第一象限分成两个区域，分别对应函数每，则必有对数函数的图象与性质：三、对数函数与指数函数的对比：(1) 对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x 对称．(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l 时，它们是增函数；当O<a<l 时，它们是减函数．(3)指数函数与对数函数的联系与区别：四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题一、a 1时方程 a x log a x 的解先求如图 3 所示曲线ya x与ylogax相切时a的值。

设曲线ya x与y log a x 相切于点 M （x, x0），由于曲线y a x在点 M 处的切线斜率为1，a x 0x 0 ,a x0x 0 ,(a x )' |x x0即所以1a x0ln a 1a x 0x 0 , 111则 a ln aln a所以 ln ax 011e,所以 ae e ,此时 x 0 eln a即。

第4章指数函数与对数函数(复习课件)高一数学(人教A版必修第一册)课件

应为减函数,可知B项正确;而对C项,由y=ax的图象知
y=ax为减函数,则0<a<1,y=loga(-x)为增函数,与C项中
y=loga(-x)的图象不符.
答案:B
典例
例3（2）若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象
有两个公共点,则a的取值范围是
.
解析:当a>1时,通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图
往往是选择题,常借助于指数函数、对数函数的图象特
征来解决;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方
程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点
个数问题.这就要求画指数函数、对数函数的图象时尽
量准确,特别是一些关键点要正确,比如,指数函数的图象
必过点(0,1),对数函数的图象必过点(1,0).
题型四函数的零点与方程的根
4. 恒成立问题，采用分离参数，转化为求最值问题.
专题三
指数函数、对数函数图象的应用
典例
例3（1）已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是( )
解析:由y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知,图象应在y轴左
侧,可排除A,D选项.当a>1时,y=ax应为增函数,y=loga(-x)
f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.
由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．
(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，
所以整治后有16个月的污染度不超过60.
以有2m-3<1,解得m<2.故实数m的取值范围为(-∞,2).
解题技能

指数函数与对数函数的交点个数问题

指数函数x a y =与对数函数x y a log =交点个数问题论题：指数函数x a y =)10(≠>a a 且与对数函数x y a log = )10(≠>a a 且交点个数问题．分1>a 及10<<a 两种情况进行讨论．（一）：当1>a 时，过原点)0,0(O 作x a y =的切线l ，设切点为),(00y x P ∵a a y x ln =' ∴a a y k x x x lln 00='== 又∵0000x a x y k x l == ∴a a x a x x ln 000= ∴e ax a log ln 10== 从而a e a a k e la ln ln log == 当1=l k ，即1ln =a e ，亦即e ee e a ==1时，P 在x y =上，∴00y x = 这样就有00x a x =，∴00log x x a =∴),(00y x P 是x a y =与x y a log =的公共点.当1>l k ,即1ln >a e ，亦即e e a>时，x a y =与x y =相离, x a y =与x y a log =没有公共点.当1<l k ,即1ln <a e ，亦即e e a <<1时，x a y =与x y =有两个公共点),(11y x M ,),(22y x N ,同理可知),(11y x M ,),(22y x N 均是x a y =与x y a log =的公共点.引理：当1>a 时，x a y =与x y a log =不可能有不在x y =上的公共点. 证明：用反证法.假设x a y =与x y a log =有公共点),(t s Q ,t s t s ≠>,0,, 当t s >时,t a s =①,t s a =log ②由②得s a t =③∵x a y =单增,又∵t s>∴t s a a >由此式结合①③可知s t >, 与t s >矛盾.同理当s t >时亦矛盾.从而假设不真. 所以,引理得证. 由上可知：当e e a<<1时, x a y =与x y a log =有两个公共点, 当e e a =时, x a y =与x y a log =有唯一公共点, 当e e a>时,x a y =与x y a log =没有公共点. （二）：当10<<a 时,作函数x a x f a x log )(-=,易知-∞=+→)(lim 0x f x ,+∞=+∞→)(lim x f x 不妨设)0(<=m e a m , 则x me xf mx ln 1)(-=, mx mx mxex m e x f ----='2)( 过原点作mx e y -=的切线,则切线的斜率me e e k m -==-ln 当2m me ≥-,即e m -≥时,0)(≥'x f 恒成立.从而)(x f 单增, ∴)(x f 有唯一的零点.当2m me <-,即e m -<时,不妨设mx e y -=与x m y 2= 交于两点),(11y x M ,),(22y x N , (21x x <)则当),0(1x x ∈时,0)(>'x f , 当),(21x x x ∈时, 0)(<'x f , 当),(2+∞∈x x 时, 0)(>'x f∴)(x f 的单增区间为),0(1x ,),(2+∞x ,单减区间为),(21x x)(x f 在1x x =处取得极大值,且0)(1>x f ,)(x f 在2x x =处取得极小值,且0)(2<x f ,再由零点存在定理可知, )(x f 有三个零点,分别在区间),0(1x ,),(21x x ,),(2+∞x 之内.对上述0)(1>x f 及0)(2<x f 的结论,可证明如下：设m x e y = （e m -<）与x y =的交点为),(33x x∵e m -< ∴11-<⋅e m ∴11-⋅<e e e m 即当e x 1=时，m x e y =的函数值小于x y =的函数值，数形结合可知e x 13< ∵m x e y = （e m -<）与x y =的交点为),(33x x∴33mx e x =从而33ln mx x = 于是01ln 1)(33333=-=-=mx mx x m e x f mx 又∵333323)(mx mx e mx x m e x f ----='333231mx e mx x m x ---=3232321mx e mx x m ---=32333)1)(1(mx e mx mx mx ---+= ∵0,03><x m ，∴013>-mx ，0323>--m x e mx 又∵ex 13<，∴1ln 3-<x ，∴0ln 1133<+<+x mx ∴0)(3<'x f ，又∵当),0(1x x ∈时,0)(>'x f , 当),(21x x x ∈时, 0)(<'x f , 当),(2+∞∈x x 时, 0)(>'x f∴),(213x x x ∈ 又∵)(x f 在区间),(21x x 单减及0)(3=x f 可知0)(1>x f 且0)(2<x f由上可知：当e m -≥即1<≤-a e e 时，x a y =与x y a log =有唯一公共点,且此公共点在x y =上，当e m -<即e e a -<<0时，x a y =与x y a log =有三个公共点,且有两个不在直线x y =上，但关于x y =对称，而第三个公共点在直线x y =上.综合上述,我们可以得到如下结论：当e e a <<1时, x a y =与x y a log =有两个公共点,且两个公共点均在直线x y =上. 当e e a =时, x a y =与x y a log =有唯一公共点, 且该公共点在直线x y =上. 当e e a >时, x a y =与x y a log =没有公共点.当1<≤-a e e 时，x a y =与x y a log =有唯一公共点,且此公共点在x y =上，当e e a -<<0时，x a y =与x y a log =有三个公共点,且有两个不在直线x y =上，但关于x y =对称，而第三个公共点在直线x y =上.。