激光原理第一章习题

思考练习题1

1． 试计算连续功率均为1W 的两光源，分别发射λ＝0.5000m ，ν=3000MHz 的光，每秒从

上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？

答：粒子数分别为：18

8

346341105138.21031063.6105.01063.61⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯

⨯==---λ

ν

c h q n 23

9

342100277.510

31063.61⨯=⨯⨯⨯==-νh q n

2．热平衡时，原子能级E 2的数密度为n 2，下能级E 1的数密度为n 1，设21g g =，求：(1)当原子跃迁时相应频率为ν＝3000MHz ，T ＝300K 时n 2/n 1为若干。(2)若原子跃迁时发光波长λ＝1m ，n 2/n 1＝0.1时，则温度T 为多高？

答：（1）(//m n E E m m kT

n n n g e n g --=）

则有：1]300

1038.11031063.6exp[23

93412≈⨯⨯⨯⨯⨯-==---kT h e n n ν

（2）K T T

e n n kT h 3

6

23834121026.61.0]1011038.11031063.6exp[⨯=⇒=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==----ν

3．已知氢原子第一激发态(E 2)与基态(E 1)之间能量差为 1.64×l0－18

J ，设火焰(T ＝2700K)

中含有1020

个氢原子。设原子按玻尔兹曼分布，且4g 1＝g 2。求：(1)能级E 2上的原子数n 2

为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08

n 2，求光的功率为多少瓦？

答：（1）1923

181221121011.3]2700

1038.11064.1exp[4----⨯=⨯⨯⨯-⨯=⇒=⋅⋅n n e g n g n kT

h ν

且20

2110=+n n 可求出312≈n

（2）功率＝W 918

8

10084.510

64.13110--⨯=⨯⨯⨯

4．(1)普通光源发射λ＝0.6000m 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比

q q 激自1

=

2000

，求此时单色能量密度νρ为若干？(2)在He —Ne 激光器中若34/100.5m s J ⋅⨯=-νρ，λ为0.6328m ，设μ＝1，求

q q 激

自

为若干？ 答：（1）

3

1734

36333/10857.31063.68)106.0(2000188m s J h h c q q ⋅⨯=⇒⨯⨯⨯=⇒=---ννννρρπρπλρνπ＝自激

（2）9434

36333106.710510

63.68)106328.0(88⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---πρπλρνπννh h c q q ＝自激

5．在红宝石Q 调制激光器中，有可能将全部Cr 3＋

(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。

设红宝石直径0.8cm ，长8cm ，铬离子浓度为2×1018cm －3

，巨脉冲宽度为10ns 。求：(1)输

出0.6943m 激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命τ＝10－2

s ，问自发辐射功率为多少瓦？ 答：（1）最大能量

J

c

h d r h N W 3.2106943.010

31063.61010208.0004.06

8

3461822=⨯⨯⋅⨯⋅⨯⨯⋅⋅⨯=⋅

⋅⋅⋅=⋅=--πλ

ρπν

脉冲平均功率＝瓦8

961030.210

10103.2⨯=⨯⨯=--t W （2）瓦自

自自145113.211200

2021=⎪⎭

⎫

⎝⎛-⨯==⎪

⎭

⎫

⎝⎛-==⎰-e h N P e n dt e n N t A τνττ

6．试证单色能量密度公式，用波长λ来表示应为5

811

hc kT

hc e

λλπρλ

=-

证明：

1

1

811852322-⨯=⋅-⨯=⋅=⋅==

kT

h kT h e hc c e h c c dVd dw dVd dw νννλλπλλπλρλνλρ 7. 试证明，黑体辐射能量密度()ρν为极大值的频率m ν由关系1

12.82m T kh ν--=给出，并

求出辐射能量密度为极大值的波长m λ与m ν的关系。

答：（1）由 3

3

811

hv kT

h c e

νπνρ=

-可得：

0))1(11

3(82323=⋅⋅--⋅+-=∂∂kT h

e e e c h kT h kT h kT h ν

νννννπνρ 令kT

h x ν=，则上式可简化为：x

x xe

e =-)1(3

解上面的方程可得：82.2≈x 即：

1182.282.2--=⇒≈kh T kT

h m m

νν （2）辐射能量密度为极大值的波长m λ与m ν的关系仍为

m m c λν=

8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数1

A τ

=

证明： 2

202)

2/1()(4)(τννπν+-=

A

f N ，由归一化条件且0ν是极大的正数可得： ⇒=+-⎰

∞

1)2/1()(40

2

202ντννπd A ⇒=+-⎰∞1)2/1()(4202202ντννπνd A

⇒='+'⎰

∞

1)

41(1

20

2

22

νπτνπd A τ

πτνπτπ1

1]'4[4202

=

⇒=⋅⋅∞A arctg A

9．试证明：自发辐射的平均寿命21

1

A =

τ，21A 为自发辐射系数。 证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）式变化：

t A e n t n 21202)(-＝

自发辐射的平均寿命可定义为

()dt t n n ⎰

∞

=

220

1

τ

式中()dt t n 2为t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔dt 产生的总时间，因此上述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。将（1-26）式代入积分即可得出

21

1

21

A dt e

t

A ==⎰∞

-τ