数学物理方程第四章(调和)
调和函数
调和函数harmonic function定义：在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。
调和函数-----数学物理方程如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域二元函数Ω中的调和函数.满足拉普拉斯方程在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。
通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。
当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。
更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：拉普拉斯方程1拉普拉斯方程2形如上式右端的积分称作泊松积分。
设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。
这就是调和函数的最大、最小值原理。
由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即拉普拉斯方程，在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。
二维调和函数与解析函数论有着密切联系。
在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。
用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r＜R)。
调和方程——精选推荐
调和⽅程调和⽅程狄利克雷内外问题的唯⼀性及稳定性。
（1）原理 3.1 （极值原理）对于不恒等于常数的调和函数),,(z y x u ，其在区域Ω的任何内点上的值不可能达到它在Ω上的上界或下界。
推论1 在有限区域Ω内调和、在Γ?Ω上连续连续的函数必在边界Γ上取得最⼤值和最⼩值；推论2 设v u 及都是区域Ω内的调和函数，且在Γ?Ω上连续。
如果在Ω的边界Γ上成⽴着不等式v u ≤，那么在Ω内上述不等式也成⽴；并且只有在v u =时，在Ω内才会有等式成⽴的可能。
（2）调和⽅程狄利克雷内问题==++=Γ)2.3...(....................)1.3......(0222222g u z uy u x u u 现在证明解如果存在必是唯⼀的，⽽且连续的依赖于所给定的边界条件.f证：假设有两个调和函数),,(),,(21z y x u z y x u 和，它们在有界区域Ω的边界Γ上完全相同，则它们的差21u u u -=在Ω中也满⾜⽅程（3.1），⽽在Γ上等于零。
于是按照极值原理的推论1，函数u 在区域Ω上最⼤值及最⼩值均为零，即.0≡u 因此21u u ≡，即狄利克雷内问题的解是唯⼀的。
其次，设在区域Ω的边界Γ上给定了函数*f f 和，⽽且在Γ上处处成⽴ε≤-*f f ，这⾥ε是⼀个给定的正数。
设*u u ,分别是⽅程（3.1）在区域Γ上以*f f 和为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数*-u u 在Γ上取值*-f f 。
由极值原理的推论1得到，在Ω上各点有.)(min )(min ,)(max )(max εε-≥-=-≤-=-*Γ*ΓΩ*Γ*ΓΩf f u u f f u u因此在Ω上各点有，ε≤-≤-*Γ设函数21,u u 是狄利克雷外问题的解，令21u u v -=，则调和函数v 满⾜.0),,(l i m 00==→Γz y x v v r 及如果v 不恒等于零，则⼀定存在⼀点M ，使,0)(≠M v 不妨设0)(>M v 。
数理方程（调和方程）
数理方程（调和方程）第四章调和方程§1.调和方程的定解问题 1.方程的几个例子例1. 稳定的温度分布温度分布满足),(2t x f u a u t =?-稳定热源:),,,)((321x x x x x f f ==与t 无关边界绝热(即边界条件也与t 无关)则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与t 无关),即)(x u u =此时有)(1x f u =?, (21a ff -=)称为Poission 方程当01=f 时,0=?u ,称为Laplace 方程或调和方程.例2.弹性膜的平衡状态:u 为膜在垂直方向的位移,外力),(21x x f f =,则有f x ux u =??+222212例3.静电场的电势uMaxwell 方程组==??-=??+=ρdivD divB t B rotE t D J rotH 0E :电场强度, H :磁场强度, D :电感应强度, B :磁感应强度 J :传导电流的面密度, ρ:电荷的体密度物质方程??===E J H B E D σμε:μ导磁率, σ:导电率, ε: 介质的介电常数divE divD ερ==∵静电场是有势场:u grad E -=ερ-=?u grad div , 即ερ-=u ?若静电场是无源的,即0=ρ,则0=?u 例4.解析函数)(),,(),()(iy x z y x iv y x u z f +=+=则v u ,满足Cauchy-Riemann 条件:y x y x u v v u -==, 例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止，===?0,10`),,(),,(211C C u u u C z y x z y x u 概率，则上的为起点，终止在：以易知,0,0=?=?v u2.定解问题(1)内问题:nR ?Ω,有界,Γ=Ω?,u 在Ω内满足f u =? 边界条件:第一类(Dirichlet):g u =Γ|第二类(Neumann):g n u=??Γ| 第三类(Robin):)0(|)(>=+??Γσσg u nun 为Γ的单位外法线方向.(2) 外问题:u 在Ω外部满足f u =?同样有三类边界条件(此时n 为Ω的内法线方向).但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制? 先看两个例子:例1.2=n =>+=?=+0|)1(,012222y x u y x u221ln 1ln ,0yx r u u +===均为解, 例 2. 3=n =++=>==1),1(01222r u zy x r r u ?ru u 1,1==均为解.因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性. 通常,:2=n 解在无穷远处有界:),(lim y x u r ∞→有界:3≥n 解在无穷远处趋于0:0),,(lim =∞→z y x u r(3) 无界区域的边值问题:与外问题类似 (4) 等值面边值问题:0=?u边界条件:??=??=?ΓΓ)()(|已知待定A dS n uC u 这个问题可约化为 Dirichlet 问题:设==?Γ1|0U U 的解为)(x U U =,选取常数C ,s.t.:A dS n UC=Γ 则CU u =§2.分离变量法1. 圆的Dirichlet 内问题与外问题内问题=<+=?=+)(|)(0222222θf u a y x u a y x引入极坐标θθsin ,cos r y r x ==222222221)(111θθ??+=??+??+??≡urr u r r r ur r u r ru u ? 则原问题化为:≤≤=≤≤<=++=)20()(|)20,(0112πθθπθθθf u a r u r u r u a r r rr 将)()(θΘr R 代入方程并分离变量得-='+''-=''λ21r R R r RΘΘ0,02=-'+''=+''R R r R r λλΘΘ求解特征值问题:?==+'')2()0(0πλΘΘΘΘθλθλθλθθλθλθλθλsin cos )(:0)(:0)(:0212121C C C C e C e C +=Θ>+=Θ=+=Θ<---∴0<λ时不是解. 1)(:0C =Θ=θλ.θθθλλk C k C k s i n c o s )(,:0212+==>Θ∴,....)2,1,0(2==k k k λ,...)2,1(sin cos )(,)(00=+==k k B k A A k k k θθθθΘΘ求解)(022方程Euler R k R r R r =-'+'':一般Euler 方程的求解：()()t B t A t t y i t B t A t y BtAt t y a a a t y a t y t a t y t a ln sin ln cos )(ln )()(0)1(0)()()(212121212102120121βββαμμμμμμμμμμμαμμμ+=±?+=?+=?=++-=+'+''：为一对共轭虚数，为相等的实数：，为不相等的实数：，，其解为特征值相应的特征方程为00)1(222=-?=-+-k k μμμμk ±=?μ,...)2,1()(=+=?-k r D r C r R k k k k kr D C r R ln )(000+=),2,1,0(0)0( ==?k D R k k 有界 ,...)2,1()(==?k r C r R k k k 00)(C r R = ∑∞=++=∴10)sin cos (2),(k kk k r k k r u θβθααθ∑∞=++==1)sin cos (2)(:k kk k a k k f a r θβθααθ====πππβπα2020,...2,1,sin )(1,...2,1,0,cos )(1k ktdt t f a k ktdt t f a k k k k代入级数表达式得，注：将k k βα, ()()()()∑∑?∑?∑++--=??-+-=+??? ??=-+=+??? ??+=--------∞=--∞=-∞=∞=πθθπθθθπθθπππππθπθθπθ202)()(220)()()(201)(0)(20120111)(21111)(21)(21)(cos 21)(21sin sin cos cos 21)(21),(dt a r e e a r a r t f dt e a r e a r e a r t f dt e a r e a r t f dt t k a r t f dt kt kt a r t f r u t i t i t i t i t i k t ik k k t ik k k k k k ()a r dt rt ar a r a t f r u <+---=??πθπθ202222)cos(2)(21),( (Poisson 公式)外问题??=>=∞→=有界u f u a r u r a r lim )()(0θ?∑∞=-++=1)sin cos (2),(k k k k r k k r u θβθααθ∑∞=-++==1)sin cos (2)(:k k k k a k k f a r θβθααθ====πππβπα2020,...2,1,sin )(,...2,1,0,cos )(k ktdt t f ak ktdt t f a kk kk同样有Poisson 公式)()cos(2)(21),(202222a r dt rt ar a a r t f r u >+---=θπθ 2.扇形域()??==<<<=++==θαθαθθθf u u a r u r u r u a r r rr 0 ),0(011,02 分离变量得:()()?===+''000αλΘΘΘΘ 与()+∞<=-'+''002R R R r R r λ 2=?απλk k(),.......2,1sin ==Θk k B k k θαπθ()απαπk k k k k rD rC r R -+=()00=?+∞<="" d="" p="" r="">==∴1,k k k k r a r u θαπθαπ()∑∞===1sin:k k k k a a f a r θαπθαπ()θθαπθαααπd k f aa k k sin2=∴3.环形域()()==<<===θθ212121,0f u f u rr r u r r r r ? ()......2,1,0,sin cos ......2,1,0,2=+=Θ==k k B k A k k k k k k θθθλ()≠+=+=-0,0,ln 00k r D r C k r D C R kk k k k θ ()()∑∞=-+++++=∴100sin cos sin cos ln ),(k kk k k k k r k d k c r k b k a r b a r u θθθθθ ()()()) 2,1(sin cos sin cos ln :100=+++++==∑∞=-i r k d k c r k b k a r b a f r r k ki k k k i k k i i i θθθθθ ()θθππd f r b a i i ?=+?200021ln ()θθθππd k f r c r a i k i k k i k ?=+-20cos 1()θθθππd k f r d r b i k i k k i k ?=+-20sin 1.....2,1,2,1==k i解联立方程即得().....2,1,0,,,,0,0=k d c b a b a k k k k 例如()()θθθθθ2cos 212122cos 1cos ,0221+=+===f f =≠=+=+=+--2,212,0,0,0ln 2211100k k r c r a r c r a r b a kk k k k k kk k r d r b r d r b r b a k k k k k k k k ?=+=+=+--,0,0,21 ln 2211200()()()())2(0),(02,2ln ln 21,ln ln 2ln 42412224241224121201210≠==?==--=-=-=--=?k c a k d b rr r c rr r r a r r b r r r a k k k k4.矩形域()()()()=====+====x u x u y u y u u u b y y a x x yy xx 100 100,,0ψψ??w v u +=分解()()=====+====x v x v v v v v y x v b y y a x x yy xx 100 0,0,00:),(ψψ()()=====+====0,0,0:),(0100b y y a x x yy xx w w y w y w w w y x w ??:),(y x v 求解分离变量得特征值问题()()??=X =X =X +X ''000a λ0=-''Y Y λ及(),......2,1,sin ,2==??=?k a x k B x a k k k k ππλX()ak D y a k C y k k k ππsinh cosh +=Y()x a k y a k b y a k a y x v k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=??? ?+=∴()x a k a x y k k πψsin :010∑∞===()xdx a k x a a a k πψsin 200?=∴()x a k b a k b b a k a x k k k πππψsin sinh cosh 11∑∞=??? ?+=()xd ak x a b a k b b a k a a k k πψππsin 2sinh cosh 01?=+?()()xdx a k a b k x x ab k a b a k ππψψπsin cosh sinh2001-=∴ 类似地，()y b k x b k d x b k c y x w k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=??? ?+=()ydy bk x b c b k π?sin 200?=()()ydy b k b a k y y ba kb d b k ππ??πsin cosh sinh2001-= 5.非齐次问题例()=<-+==cu R r y x b a u R r )(222?方法一:方程齐次化令21w w u v --=()()()212211111144,2)1(:1:r ar w a A a r A r A Ar r w aw rw w r w w =∴==?=+-==+"=?=-- 令设21212),(ρρy A x A y x w +=)()1()1(:)(222222*********y x b y A x A y x b w -=-+--=?--ρρρρρρ 12/,42121b A A =-===?ρρθ2cos 12)(12),(4442r by x b y x w =-=∴--=<=--=∴=θθ2cos 124)(02cos 12442242R b R a c v R r v r b r a u v Rr ?满足∑∞=++=1)sin cos (2),(n n n n r n n r v θβθααθ∑∞=++=--=142)sin cos (22cos 124:n nn n R n n R bR a c R r θβθααθ222012,42)(0),2,0(0R bR a c n n n n -=-=?=≠=?ααβα θθ2cos 124),(222R r b R a c r v --=∴θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴方法二.特征函数法:=<+=++=cuR r br a u r u r u R r r rr )(2cos 1122θθθ 令()∑∞=+=0sin )(cos )(),(n nnn r B n r A r v θθθ代入方程:θθθ2cos sin )()(1)(cos )()(1)(202222br a n r B r n r B r r B n r A r n r A r r A n n n n n n n +=?????????????????? ??-'+"+???? ??-'+''∑∞= )2,0(0)()(1)(22≠=-'+''?n r A r n r A r r A n n n, )(0)()(1)(22n r B r n r B r r B n n n ?=-'+" (**))(4)(1)((*),)(1)(2222200br r A rr A r r A a r A rr A =-'+''='+'')0(,)0(==?+∞<+∞<="" b="" d="" n="" p="">)()(),2,0(,)(n r c r B n r a r A nn n n n n ?=≠=∴边界条件()?+=∑∞=0sin )(cos )(n n n n R B n R A c θθ()0)(,)(;00)(,0)(00==≠==R B c R A n R B R A n n )(0)(),2,0(0)(n r B n r A n n ?=≠=∴易求得（*）的一个特解为24r a,（**）的一个特解为412r b20004ln )(r a r b a r A ++= , 42222212)(r br b r a r A ++=-)0(,)0(2020==?+∞<+∞)(4)(4)(220200R r ac r A R a c a c R A -+=?-=?=,)(12)(120)(2222222R r r br A R ba R A -=?-=?=θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴ §3调和函数的基本性质 3.1 Green 公式设nR ?Ω为有界区域, ΓΩ=?分块光滑, ΓΩΩ =.Green 第一公式设)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C v C Cu ,则-??=ΩΓΩ?udx v dS n uv udx v 证明:∑=??=ΩΩni idx x uv udx v 122∑?∑==-=ΩΩni ii ni i i dx x ux v dx x u v x 11)(-??=ΩΓudx v dS n uv 同样地, 若)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C u C Cv ,则 -??=ΩΓΩ?vdx u dS n vu vdx u 因此有,Green 第二公式设),()(,12ΩΩC Cv u ∈则 -??=-ΓΩ??dS n uv n v u dx u v v u )()(Green 公式特例=ΓΩdS n uudx 0,==?v vdx u dS n vuΩΓ 0,0)(===??-v u dS n u v n v u ??Γ3.2 调和函数的基本性质1. Neumann 问题解的自由度及可解性条件 (1)解的自由度考虑问题 (PN)=??=g nu f u Γ?若它有两个解21,u u , 则21u u u -=满足问题(N) =??=00Γ?nu u-??==ΩΓΩdxu dS n u u udxu 2-=Ωdx u 2),,2,1(0n i u i x ==?.const u ≡?结论: 问题(PN)在相差一个常数的意义下有唯一解. (2)可解性条件对问题(PN),=ΓΩ?dS n uudx ??=?ΓΩdS g dx f结论: 问题(PN)有解的必要条件为=ΓΩdS g dx f .2. 基本积分公式先考察3=n 的情形.设.,,),,(30000ΓΩΩΓΩΩ ==??∈R z y x M考虑函数,41),(00MM r M M v π=其中,),,(Ω∈z y x M202020)()()(0z z y y x x r MM -+-+-=.易知,),(0M M v 除0M M=外关于M 处处满足调和方程,称之为调和方程的基本解.取ε充分小,使得Ω?)(0M B ε. 记,\,εεεεB BΩΩΓ==?,,εεεεεΩΩΩΓΓΩ?==? (见图)则)()(12εεΩΩC C v ∈,且在εΩ内处处满足调和方程.设)()(12ΩΩC Cu ∈,对u 与v 应用Green 第二公式, Ω?-επdx M u r MM )(41-??=εππΓΓ dS n M u r r n M u MM MM )(41)41()(00-??=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π-??-επΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100-??=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ++εεπεπεΓΓdS r M u dS M u )(41)(412-??=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100πε)()(21M ruM u ??++其中εΓ∈21,M M令,0→ε则,,,021ΩΩ→→εM M M 从而,-=Ω?dx r M u M u MM 0)(41)(0π-??-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π成为基本积分公式.调和函数的基本积分公式为:-??-=ΓdS n M u r r n M u M u MM MM )(1)1()(41)(000π注1. 基本解:1ln21:2MM r n π= ,1:32-≥n MM n r n ω其中n ω为n 维空间中单位球面的面积. 2=n 时的基本积分公式为:-=Ω?dx M u r M u MM )(1ln 21)(00π-??-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1ln )1(ln )(2100π注2. 对调和函数u ,成立-??-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ??=.),(4,),(2,,000000内在上在外在ΩΓΩM M u M M u M ππ 3. 平均值定理记以0M 为球心、R 为半径的球为)(0M B R ,球面为).(0M S R ).()()(000M S M B M B R R R = 设))((00M B C u R ∈, 且在)(0M B R 内调和,则=)(20041)(M S R dS u R M u π证明: 先假设)),(())((0102M B C M B Cu R R ∈由中的基本积分公式,-??-=)(0000)(1)1()(41)(M S MM MM R dS n M u r r n M u M u π=)(20)(41M S R dS M u R π+)(0)(41M S R dS n M u R π=)(20)(41M S R dS M u R π若))((00M B Cu R ∈,则取R R <,在)(0M B R 上有=)(20041)(M S RdS u R M u π 取极限R R →即可.注1. 上调和(0≤u ?): ??≥)(20041)(M S R dS u R M u π下调和(0≥u ?): ??≤)(20041)(M S R dS u R M u π注2.平()θ?θ?θ?θθπ?θρππcos ,sin sin ,cos sin sin ),,(41),,(000200000R z z R y y R x x d d z y x u u +=+=+==注3.()()??++===πθθθππ200000)(0sin ,cos 21)(21)(20d R y R xu M M S uds RM u n R M S R 为圆心的圆周：以时的平均值公式：4. 极值原理,min min ,max max ,,,,u u u u u ΓΩΓΩ==ΩΩΓΩ=ΩΓ=Ω?Ω则上连续内调和且在在若为有界区域设.,,,,,)(1.v u v u v u v u ≡≤Ω≤ΩΩΓΓ且等号成立当且仅当内恒成立则在且上连续在内调和在设顺序原理注.,:.2与最低点温度在边界取到最高点时稳定温度场内部无热源物理意义注uu f u u u f u C C u ΓΓΩ=?≤=?=?≥=?ΩΩ∈min min 0max max 0),()(3.12则设注例题()()球上的最大值与最小值球心处的值和在试求为球坐标题设有单位球内的定解问u r u r u r .,,sin cos sin cos 1013?θ?θθ+++=<=?= ()4sin 41sin sin cos sin cos 41)0,0,0(2002200π?θθπ?θθ??θθπππππ==+++=d d d d u ()()21sin cos sin cos min min 22sin cos sin cos max max 11--=+++==+++=≤≤??θθ??θθu u r r5. Dirichlet 内问题解的唯一性与稳定性内问题??=∈=gu x f u ΓΩ?)(唯一性: 考虑相应的齐次问题=∈=0)(0ΓΩ?u x u .0min min ,0max max ====u u u u ΓΓΩ.0≡u稳定性: 连续依赖于边界条件.考虑=∈=g u x u ΓΩ?)(0,====g u u g u u ΓΓΓΓΩmin min min ,max max max .m a x m a x g u ΓΩ=§4 Green 函数及其应用4.1 Green 函数 1. G reen 函数的定义设3R ?Ω为有界区域,ΓΩ=?.设函数),()(,12ΩΩC Cg u ∈若g 在Ω中调和,则-??+=ΓΩ?dS n ug n g u udx g )(0设Ω∈0M ,已知基本积分公式ΓΩ-??-?-=dSn M u r r n M u dxr uM u MM MM MM ])(41)41()([4)(0000πππ相加得ΓΩ---??--?-=dS nM u g r g r n M u dxg r u M u MM MM MM ])()41()41() ([)41()(0000πππ因此选),(0M M g g =满足==ΓΓ?0410MM r g g π 称函数),(41),(000M M g r M M G MM -=π为Green 函数. 易知),(0M M G 除0M M=外关于变量M 处处满足调和方程,且0),(0=∈ΓM M M G .注1. 对Dirichlet 问题==?Γu fu ,ΓΩ--=dSn M M G M dxM f M M G M u ),()()(),()(000?注2. 对二维情形,Green 函数为),(1ln 21),(000M M g r M M G MM -=π 其中g 满足??==ΓΓ?01ln 210MM rg g π2. Green 函数的意义1) G reen 函数仅依赖于区域,而与边界条件无关. 2) 特殊区域上的Green 函数可用初等的方法求出. 3) 利用Green 函数求解的积分公式可以讨论解的性质. 4) 有明显的物理意义:在接地的导电闭曲面Γ内的点0M 处放一单位正电荷,则Γ内任一点M 处的电位为),(0M M G ,它由两部分组成:即0M 处电位正电荷产生的电位41MM r π与Γ内表面上感应负电荷产生的感应电位),(0M M g -.而且导体表面的电位恒为零. 3. Green 函数的性质 1))1(),(00MM r O M M G =事实上,),(411),(0000M M g r r M M G MM MM -=π而+∞<≤041max ),(0MM r M M g πΓ)(0),(000M M M M g r MM →→? 2) 1),(0-=ΓdS n M M G (只需取1≡u 即可.)3) 041),(00MM r M M G π<<.事实上, 由极值原理, 041min min ),(00>=>MM r g M M g πΓΓ, 即 041),(0MM r M M G π<.0,0),(,,00=>Γ?≠?ΓΓG G M M M 而使得充分小球面为半径的以为球心以εεεε.0min ),(G 0=>?G M M G εεΓΓΓΓ 所围的区域内调和与在由4) .),(),(),(211221中不重合的两点为ΩM M M M G M M G =事实上,.),(),(),(),(,,,,2121212121内调和在与则所围区域与、由使得充分小为半径的球面以为球心、分别作以εεεεεεεεΩΓΓΓΩ∈ΓΓ≠?M M G M M G M M M M M M -=εΩ??dx M M G M M G M M G M MG )),(),(),(),((01221-??=21)),(),(),(),((1221εεΓΓΓ dSn M M G M M G n M M G M M G -??=ΓdS n M M G M M G n M M G M M G )),(),(),(),((1221-??+1)),(),(),(),((1221εΓdSn M M G M M G n M M G M M G-??+2)),(),(),(),((1221εΓdS nM M G M M G n M M G M M GIII II I ++=).,(lim ),,(lim 0,120210M M G M M G -===→→III II I εε易知4.2 静电源像法当区域具有某种对称性时,感应负电荷产生的电位可以用在相应的对称点放置的假想负电荷产生的电位来取代------这种求Green 函数的方法称为静电源像法. 1. 上半空间的Green 函数{};41,0z z)y,(x,00MM r M M π点产生的电位为它对单位正电荷处放中的点在上半空间>),,,(0),,,(00011000000z y x M M z M z y x M M -===的对称点关于平面则设141,1MM r M M π-产生的电位为则它对放单位负电荷在104141),(0MM MM r r M M G ππ-=++-+---+-+-=202020202020)()()(1)()()(141z z y y x x z z y y x x π=>==),()0(0Dirichlet 0y x f u z u z ? 问题考虑, dxdy z G y x f z y x u z 0000),(),,(=∞+∞-∞+∞-= []∞+∞-∞+∞-+-+-=232020200)()(),(2z y y x x dxdy y x f z π. ),(),,(],1ln 1[ln 21),(Green .00110000010y x M M y x M M r r M M G MM MM -==-=其中函数为上半平面的注π∞+∞-=+-==>=?2200000)()(),()()0(0Dirichlet y x x dxx f y y x u x f u y y π的解为问题2. 球的Green 函数 ,),0( ,),0(10M R B R B M 反演点为的它关于球面内的一点为球设?=Γ 210R r r O M O M =?.441,,1010MM MM r qr M q M M ππ与产生的电位分别为它们对单位负电荷放在放单位正电荷在.,441100Γ∈=?P r qr PM PM 其中消这两个电位在球面上抵ππ 00100,OM PM PM r R r r q ===?ρρ其中)1(41),(1000MM MM r Rr M M G ρπ-=?=<==fu R r u R r )(0Dirichlet ?问题考虑2101221022001cos 2,cos 2,cos ),cos(,,101R G nGr r OM OM r r RMM MM OM OM =??=-+=-+=====Γρρργρρρργρρρργρρρ及并注意到则记-+-=?ΓdS f R R R R M u 2302022020)cos 2(41)(γρρρπ≤<≤≤≤≤??===R z y x ρπ?πθθρ?θρ?θρ0200cos sin sin cos sin 利用球坐标变换 ) Poisson (sin ),,()cos 2(4),,(2023020222000公式??-+-=ππθθ?θγρρρπθρd d R f R R R R u)cos ,sin sin ,cos (sin )cos ,sin sin ,cos (sin 1.000000??θ?θθ?θ?θ的方向余弦为的方向余弦为注OM OM)cos(sin sin cos cos cos 000??θθθθγ-+=? ]ln 1[ln 21),( Green 2.1000MM MM r Rr M M G ρπ-=函数为园的注 )P o i s s o n ()()c o s (221),(D i r i c h l e t 20002022200公式问题的解为相应的?--+-=πθθθθρρρπθρd f R R R u。
拉普拉斯方程的格林函数法
则 u(M 0)u (M ) n(4整r 1 M 理M 课0 件v)d S
19
2v0，in
令G(M,M0)41rM1M0 v, 其中调和函数v满足v4r1MM0
则 u(M0)u(M)G ndS.
称 G ( M ,M 0 ) 为 三 维 L a p l a c e 方 程 狄 氏 问 题 的 格 林 函 数 。 这 种 由 格 林 函 数 或 其 导 数 的 积 分 来 表 示 解 的 方 法 称 为 格 林 函 数 法 。
的 值 来 表 示 。
2） 若 M0为 外 或 边 界 上 的 点 ， 类 似 推 导 有
u(M)nrM 1M0
1 rMM0
u ndS 24uu(0 (M ， M00 M ))， ， 0在 M M 00在 在 外 上 内
整理课件
13
3 ） 若 u C 2 ( ) C 1 ( ) ， 且 2 u = F , 我 们 可 以 得 到 类 似 公 式
取 v1,则 可 得 牛 曼 问 题 u n=f有 解 的 必 要 条 件 是 fdS0
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14
（3）平均值公式
定 理 ： 设 函 数 u(M )在 区 域 内 调 和 的 ， M 0(x0,y0,z0)为 其 中 任 一 点 ，
Ka表 示 以 M 0(x0,y0,z0)为 中 心 ， 以 a为 半 径 且 完 全 落 在 内 部 的 球 面 ，
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15
（4）Laplace方程解的唯一性问题
定 理 ： 狄 氏 问 题 在 C 2 ( )C 1 ( ) 内 解 唯 一 ， 牛 曼 问 题 除 相 差 一 个
常 数 外 解 也 是 唯 一 确 定 的 。
证明：
设 u1,u2为 上 述 两 类 问 题 的 解 ， 则 它 们 的 差 vu1u2必 是 原 问 题 的 满 足 零 边 界 条 件 的 解 ， 即 对 于
数学物理方程-谷超豪
其中σ = k /ES . 类似的,对x = l 端,有
− ∂u + σu ∂x
2
= 0.
x= l
3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 ∂ x E 1− ∂x h
∂u ∂x
=ρ 1−
x h
2
∂2u , ∂t2
其中h 为圆锥的高. 证明: 此时S (x) = S0 1 −
x h
2
,其中S0 为圆锥枢轴的底面积.根据第1题的推导,即得所证.
第三章 调和方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5. 一柔软均匀的细弦,一端固定,另一端是弹性支承.设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小 的横振动,试写出弦的位移所满足的定解问题.
解: 此时所受外力为阻力F (x) = k
∂u ,因而有 ∂t ∂2u ∂2u ∂u T 2 − ρ 2 = −k ∂t ∂x ∂t
假设固定端为x = 0,有u(0, t) = 0; ∂u = 0. 对于弹性支承端x = l,有 + σu ∂x x= l 6. 若F (ξ ),G(ξ )均为其变元的二次连续可导函数,验证F (x−at),G(x+at)均满足弦振动方程(1.11). 解: 参见第二节.
3. 利用传播波法,求解波动方程的古沙(Goursat)问题 2 2 ∂ u 2∂ u = a , ∂t2 ∂x2 u|x−at=0 = ϕ (x) , u|x+at=0 = ψ (x) , (ϕ (0) = ψ (0)) .
调和分析
调和分析调和分析是一种数学方法，用于解决多变量问题。
它于20世纪早期由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Léon Lebesgue）提出，并且在过去的几十年中得到广泛应用。
调和分析的核心思想是将一个给定的函数分解为调和函数的线性组合，这样可以更好地理解和研究原函数的性质。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，即在某个区域内的二阶偏微分方程。
调和函数在物理学、工程学和其他科学领域中有广泛的应用。
调和分析的目标是研究和理解调和函数的性质，进而将这些性质应用于解决实际问题。
调和分析的一个重要应用是对泛函方程进行研究。
泛函方程是指包含未知函数及其导数的方程，常见于数学、物理学和工程学中的建模问题。
通过将泛函方程转化为调和函数的线性组合，可以更好地理解和分析方程的解，并得到更准确的结果。
在实际问题中，调和分析也经常用于信号处理和图像处理。
通过分析信号的频谱特性和图像的调和分量，可以有效地提取和分离信号或图像中的特定信息。
这对于音频、视频和图像的压缩、去噪和增强等任务非常有用。
除了应用领域外，调和分析在纯数学中也有重要的地位。
它与其他数学分支如复分析和偏微分方程紧密相关，并且在这些领域中起到了关键作用。
例如，通过调和函数的线性组合，可以将复变函数表示为实变函数的形式，从而简化复变函数的研究。
总之，调和分析是一种重要的数学方法，对于解决多变量问题、研究泛函方程和处理信号与图像等具有重要的应用。
它通过将一个给定的函数分解为调和函数的线性组合，从而提供了更完整、更准确的分析结果。
调和分析在学术研究和实际应用中都有广泛的应用前景，对于推动数学和相关科学领域的发展具有重要意义。
数学学习中的常见偏微分方程和调和分析问题解析
数学学习中的常见偏微分方程和调和分析问题解析偏微分方程是数学中的一个重要分支，它在各个学科领域中都有广泛的应用。
而调和分析则是研究调和函数和调和函数的性质的数学分析学科。
本文将重点讨论数学学习中的常见偏微分方程和调和分析问题的解析方法。
一、常见偏微分方程的解析1. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程是一类非常常见的偏微分方程，其形式通常为：∂u/∂t = a∇²u + b∇u + cu + f(x, t)其中，u表示未知函数，t表示时间，x表示空间坐标，a、b、c都是常数，f(x, t)是给定的函数。
抛物型方程可以用来描述热传导、扩散等过程。
常见的抛物型方程包括热方程和扩散方程。
2. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是另一类常见的偏微分方程，其形式通常为：∇·(α∇u) + β·∇u + γu = f(x)其中，u表示未知函数，x表示空间坐标，α、β、γ都是常数，f(x)是给定的函数。
椭圆型方程可以用来描述稳定状态下的物理现象，如静电场、气体静力学平衡等。
3. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是另一类常见的偏微分方程，其形式通常为：∂²u/∂t² = a∇²u + b∇u + cu + f(x, t)其中，u表示未知函数，t表示时间，x表示空间坐标，a、b、c都是常数，f(x, t)是给定的函数。
双曲型方程可以用来描述波动现象，如声波传播、电磁波传播等。
二、调和分析问题的解析调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数。
调和函数在物理和工程领域中具有广泛的应用。
调和函数的性质有许多重要的解析结果，如下所示：1. 调和函数的均值性质调和函数具有平均值性质，即在某个区域内，调和函数的值等于它在该区域边界上的平均值。
这个性质在物理上有很多应用，例如根据均值性质可以推导出热力学中的平衡温度分布。
2. 调和函数的极值性质调和函数的极值性质指的是对于任何调和函数，其在区域的内部只能取得极小值或者极大值。
拉普拉斯方程及其在物理学中的应用
拉普拉斯方程及其在物理学中的应用拉普拉斯方程，又称为调和方程，是数学中的一个重要方程，其形式为：∇²φ=0其中，φ表示标量场，∇²表示拉普拉斯算子。
在物理学中，拉普拉斯方程有许多应用。
下面我们来探讨一些相关的问题。
1. 电势的分布在电学领域中，物体表面的电势分布往往可以通过拉普拉斯方程来描述。
假设一个电势φ在空间的分布是调和的，则满足拉普拉斯方程。
根据边界条件，可以计算出物体表面的电势分布。
举个例子，假设一个正方体的6面电势相同，其中一个面上有一极板，另一个面上有一个异极板。
如果我们要计算出其他面的电势分布，就可以运用拉普拉斯方程，将其表示为一个调和函数，并使用边界条件来求解。
2. 流体力学在流体动力学中，拉普拉斯方程用于计算流体的速度场。
根据流场在空间中的速度变化，可以得到拉普拉斯方程。
流体的速度场对于飞机和汽车的设计以及无线电和雷达的设计至关重要。
通常来说，求解流场速度场方程是一项十分困难的任务，但是运用计算机来求解可以大大简化问题。
3. 物理学中的热传导在热传导领域中，拉普拉斯方程可以用来描述热点的分布。
热传导是指热量从高温区域向低温区域传递的过程。
当没有热源时，一般会有一个稳态的温度分布，在此情况下，拉普拉斯方程可以用来描述稳态温度分布。
运用边界条件可以求解物体表面温度的分布情况。
4. 气体力学在气体力学中，拉普拉斯方程被用来计算气体分子在空气中的运动。
公式可以表示为以下形式：∂²p/∂x² + ∂²p/∂y² + ∂²p/∂z² = 0其中， p表示气体分子的密度。
拉普拉斯方程在气体物理学中的应用十分广泛，从气体力学模型构建到对飞行器的模拟，都可以使用这个方程来计算气体流动的速度和压力分布。
总结：拉普拉斯方程在物理学中的应用十分广泛，几乎所有领域都可以运用到它。
气体力学、流体动力学、热传导和电学等领域，都需要用到该方程来计算数据分析。
解析函数和调和函数的定义
解析函数和调和函数的定义
解析函数和调和函数是数学中的两个概念，它们的定义如下：
解析函数（Analytic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是解析的，如果它在该点附近的某个区域内满足柯西-黎曼方程，即f'(x)=[f(x)]^n，其中n为正整数，f(x)在该点处连续。
如果一个函数在整个定义域内都是解析函数，则称它为全解析函数。
常见的解析函数包括多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等等。
调和函数（Harmonic Function）：
一个函数f(x)在某一点x处是调和的，如果它满足拉普拉斯方程，即Δf(x)=0，其中Δ为二阶拉普拉斯方程。
调和函数具有许多优良的性质，如最大值原理、最小值原理、格林公式等等，因此在物理学和工程学中有着广泛的应用。
常见的调和函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等等。
总的来说，解析函数和调和函数都是数学中非常重要的概念，它们具有不同的性质和应用领域。
解析函数主要用于研究函数的导数和微分
方程，而调和函数主要用于研究波动现象和物理学中的振动问题。
数学物理方法-2.1 调和函数和初等函数
指数和对数函数
指数函数
e z e x (cos y i sin y )
对数函数
指数函数 是周期的 T＝2kπi, k为整数
指数函数的反函数：若两个复数z,w满足关系z=ew， 称w是z的对数函数，记为 w Ln( z ) 主值
对数函数 Ln( z ) ln | z | i Arg( z ) 是多值的
第二章
解析函数
复变函数的导数 解析函数 调和函数 初等函数 平面场的复势
调和函数是解析函数的扩展、加深； 初等函数是基本函数类型，是复变函数的基础。
复习：解析函数的判别法(CR条件)
条件1 的充分条件：u, v具有连续的一阶偏导数。
。
调和函数
拉普拉斯方程 又称势函数
简单性质 有限个调和函数的线性组合也是调和函数； 解析函数的实部和虚部都是调和函数； 但，两个调和函数u, v构成的复变函数f(z)=u+iv不一定 构成解析函数。
幂函数的应用：写出复数(1+i)i的代数式。
三角函数、反三角函数
定义复变数z的正弦、余弦函数分别如下：
e iz e iz cos z 2 例：求函数cos(z)的模。
e iz e iz sin z 2i
三角函数的反函数，称为反三角函数 设z=cosw或z=sinw，其反函数分别为：
例1： u(x, y)=e-ycosx，求一解析函数f(z)=u+iv
例2：u(x, y)=(x-y)(x2+4xy+y2) ，求一解析函数 f(z)=u+iv.
已知调和函数u或v，求解析函数f(z)的方法小结
方法一：曲线积分 积分路径：从z0到z的任意路径 方法二：逐步积分 先根据CR条件的一个方程用记分方法求出v, 与另一个 方程匹配，确定积分常数。（步骤清晰、容易理解） 方法三：全微分 根据CR条件第一点（可微条件），要求更高（能看出 全微分）。
第四章 -green函数法
1 在区域 K 内直到边界上，v r 可任意求导。
M 0
K
数学物理方程与特殊函数
2
第4章格林函数法
2
v u 在第二格林公式 (u v v u)dV (u v )dS n n 1 中, 取 u 为调和函数, 而令 v , 并以 K r
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
第四章
拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 4.2 格林公式 4.3 格林函数 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄利克雷问题的解
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
三维拉普拉斯方程的球对称解
x r sin cos 球面坐标： y r sin sin z r cos
故
u M0 1 4 1 u M n rM 0 M
2
1 u M dS rM M n 0
2 2
rM 0 M 表示距离
x x0 y y0 z z0
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
3）调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及 其在区域 边界 上的法向导数沿 的积分来表 达调和函数在区域 内任一点的值。 设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内的点, 下面求调和函数在 该点的值。构造辅助函数
r
(r x 2 y 2 z 2 ).
以保证解的唯一性。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
§4.2
高斯(Gauss)公式
格林公式
设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在闭域 上连续,在 内 有一阶连续偏导数，即 P , Q , R C C 1 则：
数学物理方程第四章(调和)
u(M0 )
G(M , M 0 ) f (M )dS n
对泊松问题
2u(M ) F（M）, 内
u | f (M )
u(M 0 )
G(M , M0)F(M
)d V
G(M , M 0 ) n
f
(M )d
S
因此求解狄氏问题就转化为求此区域的格林函数，即
V
(u2v
v2u)dV
S
(u
v n
v
u n
)dS
若u，v均为调和函数
S
(u
v n
v
u n
)dS
0
两式相加
u(M0)
S
u
(
v n
1
4
1 (
n rMM0
)
(
1
4
1 rMM0
v)
u n
5、 极值原理
调和函数的最大、最小值只能在边界上达到
6、 拉普拉斯方程解的唯一性问题
狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数 外也是唯一确定的。
数学物理方程
第4章 调和方程
§ 3 格林函数
1
1
1 u
u(M0) 4
(u ( )
)dS
S n rM0M rM0M n
由格林公式
d ( x x0 )d ( y y0 )
三维：( x0 , y0 , z0 ) 处有一个单位点电荷，密度分布函数为
d ( x x0 )d ( y y0 )d (z z0 )
复变函数中的全纯函数与调和函数
复变函数中的全纯函数与调和函数全纯函数和调和函数是复变函数中两个重要的概念。
它们在数学和物理学等领域扮演着重要的角色。
本文将详细介绍全纯函数和调和函数的定义、性质以及它们之间的关系。
一、全纯函数的定义和性质1. 全纯函数的定义在复变函数理论中，全纯函数是指在其定义域上处处可导的复变函数。
具体而言，设$f(z)$是定义在区域$D$上的复变函数，如果$f'(z)$在$D$中的每一个点上存在，则称$f(z)$是$D$上的全纯函数。
2. 全纯函数的性质全纯函数具有以下几个重要性质：（1）全纯函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程，即实部和虚部的一阶偏导数满足一定的关系。
（2）全纯函数的导函数也是全纯函数。
（3）全纯函数在其定义域上无奇点，即没有极点和本性奇点。
（4）全纯函数在闭合曲线上的积分为0。
二、调和函数的定义和性质1. 调和函数的定义在复变函数理论中，调和函数是指在其定义域上满足拉普拉斯方程的函数。
具体而言，设$u(x,y)$是定义在区域$D$上的实函数，如果$u(x,y)$满足拉普拉斯方程$\Delta u=0$，则称$u(x,y)$是$D$上的调和函数。
2. 调和函数的性质调和函数具有以下几个重要性质：（1）调和函数的导函数是调和函数。
（2）调和函数的实部和虚部构成调和函数。
（3）调和函数在区域$D$的边界上的限制称为调和函数的边界值。
（4）如若调和函数在$D$的每一点处为0，则调和函数在$D$内为恒为0的常数函数。
三、全纯函数与调和函数的关系在复变函数理论中，全纯函数和调和函数有着密切的联系：（1）全纯函数的实部和虚部都是调和函数。
这是因为实部和虚部满足柯西-黎曼方程和拉普拉斯方程。
（2）设$f(z)$是定义在区域$D$上的全纯函数，则$f(z)$的实部和虚部都是$D$上的调和函数。
这是因为全纯函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程。
（3）函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$是全纯函数的充要条件是$u(x,y)$和$v(x,y)$满足柯西-黎曼方程和拉普拉斯方程。
数学物理方程(谷超豪)-第三、四章 课后习题答案
第三章调和方程§1建立方程定解条件1．设)(),,,(21r f x x x u n = )(221n x x r ++=是n 维调和函数（即满足方程022212=∂∂++∂∂nx ux u），试证明221)(-+=n rc c r f )2(≠n rInc c r f 1)(21+=)2(=n 其中21,c c 为常数。
证：)(r f u =,rx r f x rr f x u i i i ⋅=∂∂⋅=∂∂)()(''32''22"22)(1)()(r x r f r r f rx r f x ui i i ⋅-⋅+⋅=∂∂312''212"122)()()(rx r f r nr f rx r f x uni i ni i ni i∑∑∑===⋅-⋅+⋅=∂∂)(1)('"r f rn r f -+=即方程0=∆u 化为0)(1)('"=-+r f rn r f rn r f r f 1)()('"--=所以)1(1')(--=n r A r f 若2≠n ，积分得1212)(c r n A r f n ++-=+-即2≠n ，则221)(-+=n r c c r f 若2=n ，则rA r f 1')(=故Inr A c r f 11)(+=即2=n ，则rInc c r f 1)(21+=2．证明拉普拉斯算子在球面坐标),,(ϕθr 下，可以写成sin 1)(sin sin 1(12222222=∂∂⋅+∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂⋅=∆ϕθθθθθur u r r u r r r u 证：球坐标),,(ϕθr 与直角坐标),,(z y x 的关系：ϕθcos sin r x =，ϕθsin sin r y =，θcos r z =（1）222222z u yu xu u ∂∂+∂∂+∂∂=∆为作变量的置换，首先令θρsin r =，则变换（1）可分作两步进行ϕρcos =x ，ϕρsin =y （2）θρsin r =，θcos r z =（3）由（2）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂)cos ()sin (sin cos ϕρϕρϕϕϕρy ux u u y u x u u 由此解出⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂-∂∂=∂∂ρϕϕϕρρϕϕϕρcos sin sin cos u u y u u u x u （4）再微分一次，并利用以上关系，得)sin cos (22ρϕϕϕρ⋅∂∂-∂∂∂∂=∂∂u u x xu)sin cos (sin )sin cos (cos ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂-∂∂∂∂⋅-⋅∂∂-∂∂∂∂=u u u u +∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂=22222222sin cos sin 2cos ϕρϕϕρρϕϕρϕuu u ρρϕϕρϕϕ∂∂⋅+∂∂⋅+u u 22sin cos sin 2cos sin (22ρϕϕϕρ⋅∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y yu)cos sin (cos )cos sin (sin ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂+∂∂∂∂++⋅∂∂+∂∂∂∂=u u u u ρρϕϕρϕϕϕρϕϕρρϕϕρ∂∂⋅+∂∂⋅--∂∂⋅+∂∂∂+∂∂=u u uu u2222222222cos cos sin 2cos cos sin 2sin 所以ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂=∂∂+∂∂uu u yu xu 11222222222（5）ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂uuz uu z u y u x u112222222222222再用（3）式，变换2222zu u ∂∂+∂∂ρ。
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y
|
x0
,
y0
)
1 4π
ln[ ( x (x
x0 x0
)2 )2
( (
y y
y0 )2 y0 )2
]
数学物理方程
第4章 调和方程
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，
v
1
u dS u[ ( )]dS
n
r 4r
1
4
u
1 r2
r 2d
u(r0 )
u(r0 ) v(r , r0 ) f (r )dV
T
u(r) [v(r , r0 ) n
u(r)
v(r,
r0
)
]dS.
n
这样，边界条件得以进入积分之中！上式为泊松方程的基本积分公式。
令f=0,即得调和方程的基本积分公式：
d
(
x
)dx
g( x)d ( x) g(0)d ( x)
f ( x)g( x)d ( x)dx f ( x)[g(0)d ( x)]dx
数学物理方程
第4章 调和方程
令
x
d ( x)dx
(x)
1, 0,
x0 x0
两边微商，得
因为
由傅里叶逆变换，得
拉普拉斯变换 L d (t t0 ) d (t t0 )e ptdt e pt0 ,
r2 a2
lim a0 V
r2
3a 2 a2
52
r 2dr sindd
12 lim a0 0
a2 r2 a2
5 2 r 2dr
数学物理方程
第4章 调和方程
令 r a tan ，上式积分与 a 无关
V
2 1 dxdydz 12
r
0
a2
a2
tan 2 a 2
y
y
z
z
d
或
(u2v)d
u
v n
ds
u
vd
数学物理方程
第4章 调和方程
3﹑格林第二公式
在上述格林第一公式中，交换 u ﹑v 的位置，得
(v2u)d
v
u n
ds
v
ud
原有
(u2v)d
u
v n
ds
u
vd
n
然后两式消减，我们就得到格林第二公式：
uv vud
u
v n
v
u n
ds
格林公式通常指格林第二公式，在格林函数法求解定解问题时常要用到。
数学物理方程
第4章 调和方程
第四章 调和方程
§1 方程的建立和定解条件 § 2 格林公式、调和函数及其基本性质 § 3 格林函数
§ 4 用电象法求解特殊区域的狄氏问题
数学物理方程
第4章 调和方程
§1 方程的建立和定解条件
一、方程的建立
u 2u 2u 2u 2u f (x, y, z) x2 y2 z2
第4章 调和方程
§ 2 格林公式、调和函数及其基本性质 一、格林公式
1﹑奥—高公式
设 Px, y, z 及 Qx, y, z 和 Rx, y, z 是在 上连续，在 内
有连续偏导数的任意函数, 则有如下的奥-高公式
P x
Q y
R z
d
Pdydz
Qdxdz
Rdxdy
Pcosn, x Qcosn, y Rcosn, zds 其中n cosn, x,cosn, y,cosn, z 是 在
数学物理方程
第4章 调和方程
4、d 函数
由物理学家狄拉克首先引进 用以讨论物理学中的一切点量
质点 点电荷 瞬时力 脉冲等
定义
d 函数是指具有以下性质的函数：
(i)
d
(
0, x),
x0 x0
(ii) d ( x)dx 1
数学物理方程
第4章 调和方程
物理意义：集中的量的密度函数
如对一维问题:设在无穷直线上 l x l 区间内有均匀
2
2
， 的电荷分布，总电量为一个单位，在区间外无电荷如图
y
1 l
则电荷密度函数为
0,
d
l
(
x)
1
l
,
0,
xl
2
l x l
2
2
x l
2
若 f(x) 在
l 2
,
l 2
内连续，由中值定理有
l o l
x
22
l l
2
2
b
对于 a l , b l
2
2
有
f ( x)d l ( x)dx f ( ),
狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数 外也是唯一确定的。
数学物理方程
第4章 调和方程
§ 3 格林函数
1
1
1 u
u(M0) 4
(u ( )
)dS
S n rM0M rM0M n
由格林公式
V
(u2v
v2u)dV
S
(u
v n
v
u n
)dS
若u，v均为调和函数
S
(u
v n
v
u n
)dS
建立点源泊松方程
u f (r)
[
u n
u]
()
z
0
x
K
r0
(vu uv)dV
V
vfdV
ud
(rr
r r0
)dV
V
V
V
d
(
r
r0
)
奇异，不能化为
面积分。在 V 中
径 的小球 K
r0
点挖掉半
。小球边界
。
y
数学物理方程
第4章 调和方程
u v
(vu uv)dV (v u )dS
0
对二、三维同样有 函数
t0 0
二维： ( x0 , y0 ) 处有一个单位点电荷，密度分布函数为
d ( x x0 )d ( y y0 )
三维：( x0 , y0 , z0 ) 处有一个单位点电荷，密度分布函数为
d ( x x0 )d ( y y0 )d (z z0 )
数学物理方程
例 求证： 2 1 4d (r ) ，其中
电象法求格林函数 在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放
置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。 这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。
这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所 以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．
数学物理方程
第4章 调和方程
d
x
M1 q
G(x,
y
|
x0 ,
y0
)
1 2π
ln
1
1 ln
(x x0 )2 ( y y0 )2 2π
1 (x x0 )2 ( y y0 )2
1 4π
ln[ (x (x
x0 )2 x0 )2
(y (y
y0 )2 y0 )2
]
数学物理方程
第4章 调和方程
据此可求解上半平面区域的定解问题 例1 定解问题：
点 x, y, z 处的外法向量
数学物理方程
第4章 调和方程
2﹑格林第一公式
在上述的奥-高公式中﹐令 P u v ，Q u v
R u v
x
，注意到显然的恒等式：
y
z
x
u
v x
u x
v x
u
2v x 2
我们就有如下的格林第一公式
v
u v u v u v
uvd
u
ds n
x
x
u
2u x2
2u y 2
2u z 2
0
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
二、 拉普拉斯方程边值问题的提法
1 第一边值问题（狄氏问题） 2 第二边值问题（牛曼问题）
u f
u f
n
3、狄氏外问题
4、牛曼外问题
数学物理方程
三、泊松方程边值问题
泊松方程 u f (r)
第4章 调和方程
1 1
2
2
a
数学物理方程
当 l 0 时，得到点电荷的密度函数
第4章 调和方程
对于 f ( x) 在 x 0 连续，有
或者
表示的是任意阶可微函数的极限，通常意义 下没有意义，只在积分运算中才有意义。
此积分应理解为
数学物理方程
第4章 调和方程
有关d 函数的等式应该在积分意义下理解。
xd ( x) 0
5
2
(a tan )2 d(a tan )
2
12
0
tan 2 1 tan 2
3
2
d
2
12 sin2 cosd
0
12 1 sin3 2 4
3
0
从而有 2 1 4 , r 0
r
因此
即 2 1 4d (r)
r
数学物理方程
第4章 调和方程
二、 泊松方程的基本积分公式
边界条件
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0