经济应用数学二(线性代数)

当 时，齐次方程组为 ,
解得基础解系为 所以A的属于特征值 的全部特征向量为 。
37．将二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x1x2-4x1x3+2x22-4x2x3-x32化为标准型。
答案：解：
38．将二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3-3x2x3化为标准型。
答案：解：由于 中无平方项，故令 ，代入二次型，得
D.AB=E（Q，P，Q均为n阶可逆方阵）
答案：C
23．当A是正交阵时，下列结论错误的是（ ）.
A.A-1=AT
B.A-1也是正交阵
C.AT也是正交阵
D.A的行列式值一定为1
A－5E的一个特征值是（ ）.
A.1
B.－9
C.－1
D.9
答案：B
计算题
25．计算行列式D= 。
39．化二次型f(x1,x2,x3)=x12-4x1x2-4x1x3+2x22+3x32为标准型。
答案：
填空题
40．行列式D= 的转置行列式DT= ______。
答案：DT=
41．8级排列36215784的逆序数在τ(36215784)=_____.
答案：10
42．若行列式 ，则x=________________。
k2+…+kt=0，
……，
kt=0，
所以k1=k2=…=kt=0矛盾。故向量组α1,α1+α2, … ,α1+α2+ …+αt线性无关。
C.若A + B可逆,则A- B可逆
D.若A + B可逆,则A, B均可逆
答案：B
14．当（ ）时，A = 是正交阵.
A.a = 1, b = 2, c = 3
B.a = b = c = 1
C.
D.
答案：C
15．设A为三阶方阵，且A2=0，以下成立的是（ ）
A.A=0
B.A3=0
C.R(A)=0
D.R(A)=3
故B2=E,从而A2=A等价于B2=E。
59．设向量组α1,α2,α3线性无关，证明：向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关。
答案：
60．如α1,α2,α3,…αt向量组线性无关，试证明：向量组α1,α1+α2,α1+α2+α3, … ,α1+α2+…+αt线性无关。
答案：证明：假设向量组α1,α1+α2, … ,α1+α2+ …+αt线性相关，那么存在不全为0的数k1，k2，…kt，使得：
当 时，齐次方程组为 ,
由 ，解得基础解系为
，所以A的属于特征值 的全部特征向量为 。
当 时，齐次方程组为 ,
由
，解得基础解系为 所以A的属于特征值 的全部特征向量为 。
36．求矩阵 的特征值和特征向量。
答案：解：由 ，得A的特征值为： 。
当 时，齐次方程组为 ,
解得基础解系为
，所以A的属于特征值 的全部特征向量为 。
答案：B
16．在下列命题中，正确的是（ ）
A.
B.若A B，则 ；
C.设A,B是三角矩阵，则A+B也是三角矩阵；
D.
答案：D
17．t满足（ ）时， 线性无关.
A.t≠1；
B.t=1；
C.t≠0；
D.t＝0.
答案：A
18．设α1,α2,…,αs为n维向量组,且秩R(α1,α2,…,αs)=r则（ ）。
k1α1+k2(α1+α2)+…+k1(α1+α2+ …+αt)=0，
所以：k1α1+k2α1+k2α2+…+k1α1+k1α2+ …+ktαt=0；
即：（k1+k2+…+kt）α1+(k2+…+kt)α2+……+ktαt=0。
因为向量组α1,α2,α3,…αt线性无关，所以：
k1+k2+…+kt=0，
D.r-1阶子式都为0。
答案：B
6．A*是A的n阶伴随矩阵，且A可逆，刚|A*|=（）。
A.|A|；
B.1；
C.|A|n-1
D.|A|n+1
答案：C
7．设A，B，C为同阶矩阵，若AB＝AC，必推出B＝C，则A应满足条件（ ）
A.|A|≠0
B.A＝O
C.|A|＝0
D.A≠0
答案：A
8．设A是sxt矩阵，B是同m×n矩阵，如果ACTB有意义，则C应是（）矩阵。
A.该向量组中任意r个向量线性无关；
B.该向量组中任意r+1个向量线性相关；
C.该向量组存在唯一极大无关组；
D.该向量组有若干个极大无关组.
答案：B
19．如果两个同维的向量组可以相互线性表示,则这两个向量组（ ）.
A.相等
B.所含向量的个数相等
C.不相等
D.秩相等
答案：D
20．设α1,α2,α3是AX = B的三个线性无关的解,其中A是秩为1的4×3矩阵, B是4维列向量，则下列（ ）是AX=O的基础解系.
答案：
26．计算行列式 。
答案：
27．计算行列式D = .
答案：D=(α2-b2)2
28．
答案：解： 所以 。
29．解矩阵方程XA =B，其中 .求X。
答案：
30．判断矩阵 是否可逆？如可逆，求其可逆矩阵。
答案：解：因为 ，所以 可逆。
所以 。
31．求解线性方程组 .
答案：
32．求向量组 ，的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。
A.α1+α2+α3
B.α1+α2－2α3
C.α1，α2，α3
D.α2－α1，α3－α2
答案：D
21．如果两个同维的向量组等价，则这两个向量组（ ）
A.相等；
B.所含向量的个数相等；
C.不相等；
D.秩相等。
答案：D
22．两个n阶矩阵A和B相似的，是指（ ）
A.PAP-1=B
B.QTAQ=B
C.Q-1AQ=B
C.A和B的列数相同;
D.C和A的行数相同。
答案：D
4．A*是A的伴随矩阵，且|A|≠0，刚A的逆矩阵A-1=（）。
A.AA*
B.|A|A*
C. ；
D.A'A*
答案：C
5．矩阵A的秩为r，则知（ ）
A.A中所有r阶子式不为0；
B.A中所有r+1阶子式都为0；
C.r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0；
A.BTA是n×k矩阵
B.CTD是n×k矩阵
C.BDT是m×s矩阵
D.DTC是n×k矩阵
答案：B
12．设A、B为n阶方阵，则（ ）.
A.
B.
C.
D.AB = O时，A = O或B = O
答案：A
13．设A , B均为n阶方阵,下面结论正确的是（ ）。
A.若A ,B均可逆,则A + B可逆
B.若A ,B均可逆,则AB可逆
答案：-5
43．排列36i15j84在i=_____,j=______时是奇排列。
答案：7，2
44．若 ，则x=______.
答案：5
45．
答案：
46．设A为三阶矩阵且|A|＝2，则|4A|＝__________ .
答案：128
47．A*是A的伴随矩阵，且A可逆，则(A*)-1=________________。
答案：
56．当t满足条件__________，使二次型f=x12+2x22+3x32+2x1x2-2x1x3+2tx2x3是正定的。
答案：
57．二次型f(x,y)=2x2-xy-y2的系数矩阵是______。
答案：
证明题
58．设A,B为r阶矩阵，且 ，证明：A2=A成立的充要条件是B2=E。
答案：证明：由 又
2065 -经济使用数学二（线性代数）
单项选择题
1．设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（ ）
A.|A|=0
B.|E+B|=0
C.|A|=0或|E+B|=0
D.|A|=0且|E+B|=0
答案：C
2．
A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案：C
3．若C=AB，则（ ）
A.A和B的阶数相同;
B.A和B的行数相同;
A.s×n
B.s×m
C.m×t
D.t×m
答案：C
9．设A、B为n阶矩阵，A可逆，k≠0，则运算（ ）正确.
A.
B.
C.
D.
答案：D
10．设A为3阶方阵，且|A|=2，则|A|-1=（）。
A.2
B.-2
C.
D.
答案：C
11．设A是m×k矩阵, B是m×n矩阵, C是s×k矩阵, D是s×n矩阵,且k≠n,则下列结论错误的是（ ）.
答案： 所以一个极大无关组为 ，且 。
33．求齐次线性方程组 的通解。
答案：解: ，
所以 ，基础解系 .所以通解为：
。
34．设 ，求A的特征值及对应的特征向量.
答案：解： 特征值λ1＝5，λ2＝λ3＝－1.
对于λ1＝5，
，特征向量为
对于λ2＝-1，
，特征向量为 .
35．
答案：
解：由 ，
得A的特征值为： 。
答案：k≠－2且k≠1
53．单独一个零向量必线性__________，单独一个非零向量必线性__________.
答案：相关，无关
54．设α=(1 1 0),β=(0 3 0),γ=(1 2 0),则3α+2β-4γ=__________。
答案：(-1 1 0)
55．二次型f(x,y)= x2-4xy+y2的系数矩阵是?
答案：
48．若A= ，则R(A) =______.
答案：2
49．设A= ，则A-1=______.
答案：
50．若A= ，则R(A) =______.
答案：3
51．设向量组 ， ， ， ，则向量组α1,α2,α3,α4线性__________（填线性相关或线性无关）。
答案：线性相关
52．k满足_______时，线性方程组 只有零解.