高三数学 第8讲 函数与方程

第8讲 函数与方程

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(·无锡调研)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是________．

解析 由已知得f ′(x )＝e x ＋3＞0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝e －1－3＜0，f (1)＝e ＋3＞0，所以f (x )的零点个数是1. 答案 1

2．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 解析 ∵f (x )＝e x ＋4x －3，∴f ′(x )＝e x ＋4＞0. ∴f (x )在其定义域上是单调递增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝

－4＜0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2＜0，

F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫14＝ －2＜0，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12＝1

2e －1＞0，

∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，故选③.

答案 ③

3．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________． 解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；

当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－1

4.

综上，当a ＝0或a ＝－1

4时，函数仅有一个零点．

答案 0或－1

4

4．(·朝阳区期末)函数f (x )＝2x －2

x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．

解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎨⎧

f (1)＜0，f (2)＞0，，所以0＜a ＜3.

答案 (0,3)

5．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．

解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x ，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3. 答案 x 1＜x 2＜x 3

6．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．

解析 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， g (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋12，

则g (x )的零点是x ＝0，x ＝－1

2. 答案 0，－1

2

7．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 2

8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x －1，x ＞0，

－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实

数m 的取值范围是________．

解析 画出f (x )＝

⎩⎨⎧

2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0

的图象，如图． 由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1) 二、解答题

9．函数f (x )＝x 3－3x ＋2. (1)求f (x )的零点；

(2)求分别满足f (x )＜0，f (x )＝0，f (x )＞0的x 的取值范围． 解 f (x )＝x 3－3x ＋2＝x (x －1)(x ＋1)－2(x －1)＝ (x －1)(x 2＋x －2)＝(x －1)2(x ＋2)．

(1)令f (x )＝0，函数f (x )的零点为x ＝1或x ＝－2. (2)令f (x )＜0，得x ＜－2；

所以满足f (x )＜0的x 的取值范围是(－∞，－2)； 满足f (x )＝0的x 的取值集合是{1，－2}；

令f (x )＞0，得－2＜x ＜1或x ＞1，满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．

10．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围． 解 设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，

则f (x )为开口向上的抛物线(如图所示)． ∵f (x )＝0的两根分别在区间(－2，0)，(1,3)内，

∴⎩⎨⎧

f (－2)＞0，

f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，

即⎩⎨⎧

3×(－2)2－5×(－2)＋a ＞0，

a ＜0，3－5＋a ＜0，

3×9－5×3＋a ＞0，

解得－12＜a ＜0.

∴所求a 的取值范围是(－12,0)．

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、填空题

1．(·烟台模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在区间是________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；②(1,2)③⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1； ④(2,3)．

解析 由f (x )的图象知0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2

＜a ＜－1，g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，g (x )在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12＝ln 12＋1＋a

＜0，g (1)＝2＋a ＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12·g (1)＜0.

答案 ③

2．(·连云港检测)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

sin (πx )，x ＞0，－1

x ，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]

上的零点的个数为________．

解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.