教师专用教案-第八讲--函数与方程
2017数学(理)一轮教学案：第二章第8讲 函数与方程
第8讲函数与方程考纲展示命题探究1函数零点的等价关系2零点存在性定理3二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布根的分布图象满足条件(m <n<p为常数)x1<x2<mm<x1<x2续表根的分布图象满足条件(m<n<p为常数)x1<m<x2f(m)<0m<x1<x2<nm<x1<n<x2<p只有一根在或f(m)·f(n)<0 (m，n)之间4二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注意点零点存在性定理的使用条件零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区间上是单调函数，则该函数在区间上至多有一个零点.1．思维辨析(1)函数f (x )＝x 2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( )(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )(5)函数y ＝2sin x －1的零点有无数多个．( )(6)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1<k <－12.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×2．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案 B解析 ∵f ′(x )＝2x ln 2＋3>0，∴f (x )＝2x ＋3x 在R 上是增函数．而f (－2)＝2－2－6<0，f (－1)＝2－1－3<0，f (0)＝20＝1>0，f (1)＝2＋3＝5>0，f (2)＝22＋6＝10>0，∴f (－1)·f (0)<0.故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点．3．(1)下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )(2)若函数f (x )＝x 2－4x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)C (2)(－∞，4)解析 (1)A ，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续．故选C.(2)Δ＝16－4a >0，解得a <4.[考法综述] 函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．选择、填空题考查的主要形式有两种，一种是找零点的个数；一种是判断零点的范围，多为中等难度．解答题考查较为综合，在考查函数的零点、方程的根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．命题法 判断零点的个数及所在的区间典例 (1)已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)(2)函数f (x )＝3cos πx 2－log 12x 的零点个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5(3)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)[解析] (1)∵f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝64－log 24＝32－2<0，∴包含f (x )零点的区间是(2,4)，故选C.(2)把求函数f (x )的零点个数问题转化为求函数y ＝3cos πx 2的图象与函数y ＝log 12x 的图象的交点个数问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示．函数y ＝3cos πx 2的最小正周期是4，当x＝8时，y ＝log 12 8＝－3，结合图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f (x )＝3cos πx 2－log 12x 有5个零点． (3)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0.所以0<a <3.[答案] (1)C (2)D (3)C【解题法】 函数零点问题的解题方法(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．②利用零点存在性定理进行判断．③画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(2)判断函数零点个数的方法①直接法：解方程f (x )＝0，方程有几个解，函数f (x )就有几个零点．②图象法：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数．③将函数f (x )拆成两个常见函数h (x )和g (x )的差，从而f (x )＝0⇔h (x )－g (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象的交点个数．④二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．(3)已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决．③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 答案 D解析 函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋2，x <02，0≤x ≤2x 2－5x ＋8，x >2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2. 2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．3B ．2C ．7D ．0 答案 B解析 解法一：由f (x )＝0得⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎨⎧ x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点．解法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．3．设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C解析 ∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0，∴函数f (x )在R 上单调递增．对于A 项，f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (－1)f (0)>0，A 不正确；同理可验证B 、D 不正确．对于C 项，∵f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0.故f (x )的零点位于区间(1,2)．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. (1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)若a ＝1，则f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －1，x <14(x －1)(x －2)，x ≥1，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可得f (x )的最小值为－1.(2)当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2，当a <1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1≤2a 21－a >0，解得12≤a <1.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)． 5．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln (x ＋1)|的零点个数为________．答案 2解析 因为f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln (x ＋1)|＝2(1＋cos x )·sin x －2sin x －|ln (x ＋1)|＝sin2x －|ln (x ＋1)|，所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin2x 与y ＝|ln (x ＋1)|图象的交点的个数．函数y ＝sin2x 与y ＝|ln (x ＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．6．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.答案 ①③④⑤解析 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，则f ′(x )＝3x 2＋a .对于①，由a ＝b ＝－3，得f (x )＝x 3－3x －3，f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，f (x )极大值＝f (－1)＝－1<0，f (x )极小值＝f (1)＝－5<0，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根；对于②，由a ＝－3，b ＝2，得f (x )＝x 3－3x ＋2，f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，f (x )极大值＝f (－1)＝4>0，f (x )极小值＝f (1)＝0，函数f (x )的图象与x 轴有两个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0有两个实根；对于③，由a ＝－3，b >2，得f (x )＝x 3－3x ＋b ，f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，f (x )极大值＝f (－1)＝2＋b >0，f (x )极小值＝f (1)＝b －2>0，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根；对于④，由a ＝0，b ＝2，得f (x )＝x 3＋2，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在R 上单调递增，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根；对于⑤，由a ＝1，b ＝2，得f (x )＝x 3＋x ＋2，f ′(x )＝3x 2＋1>0，f (x )在R 上单调递增，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根．7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析 令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．8．已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围．解(1)由f(x)＝e x－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝e x－2ax－b.所以g′(x)＝e x－2a.因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当12<a<e2时，令g′(x)＝0，得x＝ln (2a)∈(0,1)．所以函数g(x)在区间[0，ln (2a)]上单调递减，在区间(ln (2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln (2a))＝2a－2a ln (2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12<a<e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln (2a))＝2a－2a ln (2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．当a≥e2时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a<e2.此时g(x)在区间[0，ln (2a)]上单调递减，在区间(ln (2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln (2a)]，x2∈(ln (2a)，1)，必有g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有g(0)＝1－b＝a－e＋2>0，g(1)＝e－2a－b＝1－a>0.解得e－2<a<1.当e－2<a<1时，g(x)在区间[0,1]内有最小值g(ln (2a))．若g(ln (2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0,1])，从而f(x)在区间[0,1]上单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln (2a))<0.又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，故此时g(x)在(0，ln (2a))和(ln (2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2,1]上单调递增．所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2,1)． 函数f (x )＝x ＋1x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[错解][错因分析] 分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域．通过作图(图略)，可知函数f (x )＝x ＋1x 的图象不是连续不断的，而零点的存在性定理不能在包含间断点的区间上使用．[正解] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )<0.所以函数f (x )没有零点，故选A.[答案] A [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·武邑中学仿真]已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0答案 C解析 如图，在同一坐标系下作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝－1x 的图象，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >－1x ，当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0，选C.2．[2016·枣强中学一轮检测]函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析 令f (x )＝x cos2x ＝0，得x ＝0或cos2x ＝0.由cos2x ＝0，得2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，故x ＝k π2＋π4(k ∈Z )．又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝π4，3π4，5π4，7π4.所以零点的个数为1＋4＝5.故选D.3．[2016·衡水中学周测]已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 B解析 函数f (x )的导数为f ′(x )＝1x ，所以g (x )＝f (x )－f ′(x )＝ln x －1x .因为g (1)＝ln 1－1＝－1<0，g (2)＝ln 2－12>0，所以函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.4. [2016·衡水中学模拟]设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x∈(0，π)且x ≠π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，由图可知共有四个交点，故选B.5．[2016·枣强中学热身]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x 的零点个数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x ＝0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝cos x 的根的个数，即函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x与g (x )＝cos x 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.6．[2016·衡水二中期末]若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1 C ．－1<a <15D ．a <－1答案 B解析 当a ＝0时，f (x )＝1，与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0，函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，f (－1)f (1)<0，即(5a －1)(a ＋1)>0，解得a <－1或a >15，选择B.7．[2016·衡水二中预测]已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤17，15∪(5,7) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪[5,7) 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋1)＝－f (x ＋2)，因此f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是周期为2的周期函数．函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点可转化成y ＝f (x )与h (x )＝log a |x |两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a >1，则h (5)＝log a 5<1，即a >5.若0<a <1，则h (－5)＝log a 5≥－1，即0<a ≤15. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)． 8．[2016·枣强中学月考]定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66答案 B解析 令x ＝－1，则f (－1＋2)＝f (－1)－f (1)．又f (x )为定义域在R 上的偶函数，所以f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为T ＝2，又f (－x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于x ＝1对称，根据f (x )＝－2x 2＋12x －18(x ∈[2,3])作出f (x )与函数y ＝log a (x ＋1)(x >0)的图象，则y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，也就是函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋1)(x >0)至少有三个交点，如图所示，则⎩⎨⎧0<a <1，log a (2＋1)>－2，解得0<a <33.9．[2016·冀州中学期中]已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a的取值范围是________．答案 (－∞，2ln 2－2]解析 f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝e x －2＝0，得x ＝ln 2.当x >ln 2时，f ′(x )>0，当x <ln 2时，f ′(x )<0，所以当x ＝ln 2时，函数取得极小值，所以要使函数有零点，则f (ln 2)≤0，即e ln 2－2ln 2＋a ≤0，解得a ≤2ln 2－2，所以a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．10．[2016·冀州中学月考]已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．答案 m >1解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．当m ＝0时，不合题意，舍去；当m ≠0时，∵1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足0<1m <1，解得m >1.11．[2016·衡水中学猜题]若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析 令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0，f (2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0a ＋2b <－1a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域，得到△ABC 及其内部(如图)不含边界，其中A (－3,1)，B (－2,0)，C (－1,0)，设E (a ，b )为区域内任意一点，则k ＝b －2a －1表示点E (a ，b )与点D (1,2)连线的斜率，k AD ＝14，k CD ＝1，结合图形可知14<b －2a －1<1.12．[2016·武邑中学猜题]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a 3，x ≤0ln x －2x ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1＋ln 2,3]解析 要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝2x－a3＝0有一个根，此时⎩⎨⎧a >0f (0)＝1－a3≥0，解得0<a ≤3.而当x >0时，f (x )＝ln x －2x ＋a ＝0需有两个不同的实根，令g (x )＝2x －ln x ，g ′(x )＝2－1x ，当x >12时，g ′(x )>0，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，当0<x <12时，g ′(x )<0，函数g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 12＝1＋ln 2，当x →0时，g (x )→＋∞，当x →＋∞时，g (x )→＋∞，要使方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有两个不同的实数根，则有a >1＋ln 2.综上可知，a 的取值范围为(1＋ln 2,3]．能力组13.[2016·武邑中学周测]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2.若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)答案 D解析 画出函数f (x )的图象如图所示．观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有三个不同的交点，此时需满足0<a <1，故选D.14．[2016·衡水中学仿真]已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析 作出函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0,3)的图象(如图)，f (0)＝12，当x ＝1时，f (x )极大值＝12，f (3)＝72，方程f (x )－a ＝0在[－3,4]上有10个根，即函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 在[－3,4]上有10个交点．由于函数f (x )的周期为3，则直线y ＝a 与f (x )的图象在[0,3)上应有4个交点，因此有a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 15．[2016·衡水中学一轮检测]函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，并且方程f (x )＝0有三个不同的实根，则这三个实根的和为________．答案 32解析 由题意知，函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32.16. [2016·冀州中学仿真]已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e 等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e ，g (x )＝m 就有实数根．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )与f (x )的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．。
高一数学教案范文：函数与方程教案
高一数学教案范文：函数与方程教案教学目标：1. 了解函数的定义和性质；2. 掌握函数的表示方法；3. 能够根据函数的性质解决实际问题；4. 了解方程的定义和基本性质；5. 能够解一元一次方程；6.能够用方程解决实际问题。
教学重点：1. 函数的定义和性质；2. 函数的表示方法；3. 方程的定义和基本性质；4. 一元一次方程的解法。
教学难点：1. 函数的性质的理解和应用；2. 方程的解法的灵活运用。
教学准备：教师准备讲义、教具以及相关习题。
教学过程：第一课时：1. 导入：教师引导学生回顾函数的概念和性质，并提醒学生函数在数学中的重要作用。
2. 观察与思考：给出一个实际问题，让学生思考如何用函数的方法来解决。
3. 学习：教师向学生讲解函数的定义和性质，并介绍函数的表示方法。
4. 实践：教师带领学生通过例题的讲解和解题实践，巩固对函数的理解和应用。
5. 小结：教师对本节课的内容进行小结，并提醒学生复习函数的知识点。
第二课时：1. 导入：教师引导学生回顾方程的概念和性质，并提醒学生方程在数学中的应用。
2. 观察与思考：给出一个实际问题，让学生思考如何用方程的方法来解决。
3. 学习：教师向学生讲解方程的定义和基本性质，并介绍一元一次方程的解法。
4. 实践：教师带领学生通过例题的讲解和解题实践，巩固对方程的理解和应用。
5. 小结：教师对本节课的内容进行小结，并提醒学生复习方程的知识点。
第三课时：1. 导入：教师引导学生回顾函数和方程的概念，并提醒学生函数和方程在数学中的联系。
2. 学习：教师讲解如何用函数和方程解决实际问题，并通过例题讲解和解题实践来加深学生的理解。
3. 实践：教师布置一些综合性的习题，让学生通过解题来巩固所学内容。
4. 总结：教师对本节课的内容进行总结，并提醒学生复习整个教学内容。
教学反思：本节课的教学过程比较严谨，通过导入、观察与思考、学习、实践、小结等环节的设计，使学生能够逐步理解函数和方程的概念，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
函数与方程教案苏教版必修
函数与方程教案苏教版必修一、教学目标1. 理解函数与方程之间的关系，掌握函数的概念和性质。
2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等基本数学问题。
3. 能够运用函数与方程的知识解决实际生活中的问题。
二、教学内容1. 函数的概念与性质函数的定义与表示方法函数的域与值域函数的单调性、奇偶性、周期性2. 一元一次方程与一元二次方程一元一次方程的解法一元二次方程的解法方程的根的判别式3. 不等式与不等式组不等式的性质一元一次不等式的解法一元二次不等式的解法4. 函数的图像与解析式函数图像的性质函数解析式的求法函数与方程的图像关系5. 函数与方程的应用函数与方程在实际生活中的应用函数与方程的数学建模函数与方程的综合练习三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探究来理解函数与方程的概念和性质。
2. 利用数形结合的方法，通过绘制函数图像和解析式，帮助学生直观地理解函数与方程之间的关系。
3. 提供实际生活中的例子，让学生学会运用函数与方程的知识解决实际问题。
四、教学评估1. 课堂练习：每节课结束后，安排适量的练习题，巩固学生对函数与方程的理解和应用能力。
2. 课后作业：布置相关的作业题，要求学生在规定时间内完成，以检验学生对知识的掌握情况。
3. 单元测试：每个章节结束后，进行一次单元测试，全面评估学生对该章节知识的掌握程度。
五、教学资源1. 教材：苏教版必修数学教材2. 教辅资料：相关的函数与方程的辅导书籍和练习题库3. 教学软件：数学软件或教育平台，用于展示函数图像和解析式4. 实际案例：收集一些实际生活中的问题，用于教学中的应用举例六、教学内容6. 函数的性质探究函数的极值与最值函数的转折点与单调区间函数的凹凸性与拐点7. 方程的求解方法代数法求解方程图像法求解方程数值法求解方程8. 函数与方程的变换函数的平移与拉伸函数的旋转与翻转函数的复合与分解9. 函数与方程的应用案例经济增长模型药物浓度变化模型运动物体轨迹模型10. 函数与方程的综合练习综合性的函数与方程问题函数与方程的实际应用题函数与方程的数学竞赛题七、教学方法1. 采用案例教学法，通过分析实际案例，引导学生理解和掌握函数与方程的性质和应用。
函数与方程教案
函数与方程教案教案：函数与方程一、教学目标：1. 知识与能力：（1）理解函数和方程的概念；（2）掌握函数和方程的基本性质；（3）能够根据实际问题建立函数和方程模型。
2. 过程与方法：（1）讲授与实例演示相结合的教学方法；（2）引导学生独立思考和探究，培养解决实际问题的能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学知识的兴趣和热爱，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的概念：（1）函数的定义；（2）函数的图象和性质；（3）函数的自变量和因变量。
2. 函数相关的概念：（1）定义域和值域；（2）函数的增减性和奇偶性；（3）函数的图象与方程。
3. 方程的概念：（1）方程的定义；（2）方程的解；（3）实际问题转化为方程。
4. 方程的解法：（1）等式的加减消元法；（2）等式的乘除消元法；（3）方程的解集。
三、教学过程：1. 导入新知识：通过实例引出函数和方程的概念，并让学生思考函数和方程的联系与区别。
2. 讲解函数的定义：（1）讲解函数的定义和符号表示；（2）通过实例演示函数的图象和性质。
3. 探究函数的相关概念：（1）讲解函数的定义域和值域的概念，并通过实例计算；（2）引导学生思考函数的增减性和奇偶性。
4. 引入方程的概念：（1）讲解方程的定义和解的概念；（2）通过实例演示方程的解法。
5. 培养实际问题转化为方程的能力：通过实际问题实例，让学生学会将问题转化为方程，并通过解方程得到答案。
6. 强化训练：设计一定数量的练习题，让学生巩固所学内容，并检查学生的掌握程度。
7. 总结归纳：对本节课所学的内容进行总结和归纳，帮助学生理清思路，掌握学习要点。
四、教学评价：1. 观察学生对函数和方程的理解程度；2. 检查学生在实际问题中能否正确转化为方程；3. 分析学生的解题思路和解题能力；4. 对学生的作业进行批改和评价。
五、教学资源：1. 教材和课件；2. 实物、图片等辅助教具；3. 习题集和参考答案。
初中数学教案函数与方程
初中数学教案函数与方程初中数学教案函数与方程引言:在初中数学中，函数与方程是一个非常重要的概念。
它们被广泛应用于数学和实际生活中的各种问题。
本教案旨在帮助学生全面理解函数和方程的概念，并通过实际例子和练习来加深他们的认识。
教学目标:1. 理解函数和方程的定义和特性。
2. 能够读取、解释和绘制函数和方程。
3. 能够用函数和方程解决实际问题。
4. 发展分析和推理的能力。
教学准备:1. 教师准备各种函数和方程的例子。
2. 确保教室的黑板或白板干净，并准备好足够的粉笔或白板笔。
3. 复印足够的练习题和作业，以供学生使用。
4. 确保课堂环境安静和适宜学习。
教学过程:I. 函数的介绍 (用一种直观方式解释函数)1. 引入函数的概念，例如通过描述温度与时间的变化、速度与距离的关系等。
2. 定义函数为两个变量之间的关系，其中一个变量的值取决于另一个变量的值。
3. 用表格、图表和图像等方式展示函数的特性。
II. 函数的符号表示1. 引入函数符号表示的概念，例如"f(x)"。
2. 解释符号中的"f"代表函数名称，"x"代表输入值。
3. 通过具体例子帮助学生理解函数符号表示的含义。
III. 方程的介绍1. 引入方程的概念，例如描述两个变量之间的平衡状态。
2. 明确方程中等号的作用，表示两边相等的关系。
3. 通过图像和实际问题解释方程的应用。
IV. 方程的解1. 解释方程的解为能满足方程的变量值。
2. 通过等式两边的变换和化简方法来解方程。
3. 解释方程解的唯一性和多解性。
V. 函数与方程的联系1. 比较函数和方程的共同点和不同点。
2. 解释函数可以转化为方程，方程可以表示为函数的形式。
3. 通过实例演示如何将函数转化为方程，以及如何从方程中找到函数关系。
VI. 应用练习1. 分发练习题和作业，确保学生能够应用所学知识解决各种实际问题。
2. 解答学生在解题过程中遇到的问题，并给予指导和建议。
数学课教案函数与方程
数学课教案函数与方程数学课教案：函数与方程导语：函数与方程是数学中的基础概念，掌握它们对学生的数学学习和思维能力培养具有重要的意义。
本节课将通过生动的教学活动，帮助学生深入理解函数与方程的概念以及它们在实际问题中的应用。
一、引入1. 提出问题：同学们，你们知道什么是函数吗？函数在我们日常生活中有什么应用呢？2. 开展小组讨论：让学生以小组为单位讨论函数的定义和应用，并记录下来。
3. 小组分享：每个小组选择一位代表，向全班展示他们的讨论结果，讨论过程中让其他同学提问和补充。
二、探究函数1. 实物演示：给出一张耐热玻璃和一根蜡烛，让学生猜测玻璃会在什么情况下破裂。
2. 实验设计：让学生围绕实物演示的问题进行实验设计，探究玻璃破裂的条件。
3. 分组实验：将学生分成小组，每个小组用不同的方法设计实验并记录实验结果。
4. 实验总结：集中讨论各组的实验结果，引导学生总结出玻璃破裂与温度、压力等因素之间的关系。
5. 引入函数概念：结合实验结果，引导学生理解函数的定义，并解释函数的图像可以表示事物之间的对应关系。
三、函数的图像1. 图像展示：给学生展示不同形状的图像，如直线、抛物线、正弦曲线等，并引导学生发现图像的规律。
2. 图像分类：让学生依据图像的形状和特点进行分类，同学们一起回顾和总结各类图像的特点。
3. 知识点讲解：介绍常见的函数表达式，如线性函数、二次函数、三角函数等，并解释它们与图像之间的关系。
4. 练习与验证：给学生一些简单的函数表达式，让他们画出对应的图像，并进行相互交流和验证。
四、方程的应用1. 示例问题：给出一个生活中的实际问题，如购买物品的优惠活动，让学生思考这个问题背后可能存在的方程关系。
2. 方程的建立：引导学生从问题中提取和建立相应的方程，解释方程的含义。
3. 方程求解：讲解如何通过求解方程来寻找问题的解，如利用代入法或图像法进行求解。
4. 实际运用：鼓励学生将所学的方程知识应用到自己感兴趣的实际问题中，并与同学分享解题思路和结果。
函数与方程教案
函数与方程教案函数与方程教案引言：数学是一门抽象而又实用的学科，而函数与方程则是数学中的两个重要概念。
函数与方程的学习对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力非常重要。
在本篇文章中，我们将探讨如何设计一份高质量的函数与方程教案，以帮助学生更好地理解和应用这两个概念。
一、教学目标在设计教案之前，我们首先需要明确教学目标。
对于函数与方程的学习，我们可以设定以下几个目标：1. 理解函数与方程的基本概念和性质；2. 掌握函数与方程的表示方法和解题方法；3. 能够应用函数与方程解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容接下来，我们需要确定教学内容。
函数与方程的内容非常广泛，可以从基础概念开始，逐步深入，包括但不限于以下几个方面：1. 函数的定义和性质：包括定义域、值域、图像、奇偶性等；2. 方程的基本概念：包括方程的定义、方程的解、方程的根等；3. 一次方程与一次函数：介绍一次方程与一次函数的关系，以及如何通过方程求解函数的根；4. 二次方程与二次函数：介绍二次方程与二次函数的关系，以及如何通过函数图像求解方程的根；5. 函数与方程的应用：介绍函数与方程在实际问题中的应用，如数学建模、物理问题等。
三、教学方法在教学过程中，我们可以采用多种教学方法，以激发学生的学习兴趣和提高他们的参与度。
以下是一些常用的教学方法：1. 探究式学习：通过引导学生观察、实验、总结，让他们主动发现函数与方程的规律和性质；2. 问题导向学习：通过提出具体问题，引导学生思考和解决问题，培养他们的问题解决能力；3. 合作学习：组织学生进行小组合作，通过互相讨论和合作解决问题，培养他们的团队合作精神；4. 案例分析：引入实际问题案例，让学生通过分析和解决案例，理解函数与方程的应用价值。
四、教学步骤在设计教案时，我们需要合理安排教学步骤，以确保教学的连贯性和有效性。
以下是一个可能的教学步骤：1. 引入：通过引入一个实际问题，激发学生的学习兴趣，并引导他们思考如何用函数与方程解决问题；2. 概念讲解：介绍函数与方程的基本概念和性质，让学生对它们有一个初步的了解；3. 示例演示：通过几个具体的例子，演示如何表示函数与方程，并解决相关问题；4. 练习巩固：组织学生进行一些练习，巩固他们对函数与方程的理解和掌握程度；5. 拓展应用：引入一些拓展应用题，让学生应用函数与方程解决更复杂的问题；6. 总结回顾：对本节课的内容进行总结回顾，并展望下节课的学习内容。
函数与方程教案
函数与方程教案一、引言函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是解决数学问题的基本工具。
在教学中，如何生动有效地向学生介绍函数与方程的概念，引导学生理解和掌握相关的知识和技能，是每位教师都需要思考和解决的问题。
本教案旨在通过设计合理的教学活动，帮助学生全面理解函数与方程的概念，提高他们解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 知识目标- 掌握函数与方程的基本概念和相关术语。
- 了解函数与方程在数学和实际生活中的应用。
- 理解函数与方程之间的关系。
2. 能力目标- 能够识别并解释函数与方程的特征。
- 能够应用函数与方程解决实际问题。
- 能够运用函数与方程的知识进行分析和推理。
三、教学重点和难点1. 教学重点- 函数与方程的概念和特征。
- 函数与方程的应用。
2. 教学难点- 帮助学生理解函数与方程之间的关系。
- 引导学生解决实际问题时能够正确运用函数与方程的知识。
四、教学准备1. 教师准备- 准备教学课件和教具。
- 复习函数与方程的相关知识。
2. 学生准备- 准备教学所需的教材和笔记。
- 复习与函数与方程相关的知识。
五、教学过程本教案将采用探究式教学的方法，让学生通过实际操作和思考，主动发现函数与方程的规律和应用。
具体教学过程如下：1. 概念引入- 利用实例引导学生思考：什么是函数？什么是方程？它们有什么区别和联系？- 定义函数与方程的概念，并让学生进行归纳整理。
2. 特征分析- 设计一组数据，让学生观察并分析其中的规律。
- 引导学生发现函数和方程的特征，如自变量、因变量、线性函数、非线性函数等。
3. 应用探究- 提供一些实际问题，让学生运用函数与方程的知识解决。
- 引导学生分析问题的关键词，确定函数与方程的表达式，并进行计算。
4. 总结归纳- 引导学生总结函数与方程的定义、特征和应用。
- 提供一些练习题，巩固学生对函数与方程的理解。
六、教学评价1. 自我评价- 教师观察学生的参与程度和思维能力。
- 教师记录学生在课堂上的表现和反馈，并做好评价记录。
函数与方程教案苏教版必修
函数与方程教案苏教版必修一、教学目标1. 理解函数与方程的概念，掌握它们之间的关系。
2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等简单方程。
3. 能够运用函数与方程的知识解决实际问题。
二、教学内容1. 函数与方程的定义2. 一元一次方程的解法3. 一元二次方程的解法4. 不等式的解法5. 函数与方程的应用三、教学重点与难点1. 重点：函数与方程的概念、解法及应用。
2. 难点：函数与方程之间的关系，解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数与方程的基本概念、解法及应用。
2. 利用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用函数与方程的知识解决问题。
3. 运用讨论法，让学生在课堂上互相交流、探讨，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数与方程的重要性。
2. 新课讲解：讲解函数与方程的定义，分析它们之间的关系。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用函数与方程的知识解决问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固函数与方程的知识。
六、教学评价1. 评价内容：学生对函数与方程的概念、解法及应用的掌握程度。
2. 评价方法：课堂提问、作业批改、课后访谈等。
3. 评价指标：（1）能够正确理解函数与方程的定义；（2）掌握一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法；（3）能够运用函数与方程的知识解决实际问题；七、教学反思1. 反思内容：教学方法、教学内容、教学过程等。
2. 反思方法：教师自我评价、学生反馈、同行评价等。
3. 反思措施：（1）根据学生反馈，调整教学方法，提高教学效果；（2）根据学生掌握情况，适当调整教学内容，加强难点讲解；（3）注重课堂互动，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
八、教学资源1. 教材：苏教版必修《数学》2. 辅助资料：教学课件、练习题、案例分析资料等。
函数与方程教案
函数与方程教案教案：函数与方程一、教学内容：1. 函数概念及性质；2. 方程概念及求解方法；3. 函数与方程的关系。
二、教学目标：1. 了解函数的定义及性质；2. 掌握方程的概念及求解方法；3. 理解函数与方程的关系，能够在实际问题中应用函数和方程进行求解。
三、教学过程：1. 导入：通过提问引导学生回顾线性方程的概念及求解方法。
2. 讲解函数的概念及性质：（1）引导学生思考函数的含义。
函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量与唯一的一个因变量对应起来。
例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，其中x是自变量，y是因变量。
（2）介绍函数的性质：a. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
b. 单调性：函数的单调性是指函数曲线的上升与下降方向。
可以分为增函数和减函数。
c. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关系在对称中的表现。
奇函数的函数图象关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，偶函数的函数图象关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
d. 图象和方程：函数的图象是函数关系在坐标系中的表示，函数的方程是表示函数关系的代数式。
3. 讲解方程的概念及求解方法：（1）引导学生思考方程的含义。
方程是一个等式，含有一个或多个未知数，通过求解可以得到未知数的值。
（2）介绍方程的求解方法：a. 方程的转化：可以通过变形、移项等方法将方程转化为更简单的形式。
b. 方程的解法：可以通过列方程、联立方程等方法求解方程。
4. 讲解函数与方程的关系：（1）引导学生思考函数与方程的关系。
函数是一个特殊的方程，它是自变量与因变量之间的关系。
（2）举例说明函数与方程的关系。
例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，也可以写成2x + y - 3 = 0的方程。
5. 练习与巩固：（1）通过练习题，让学生巩固函数与方程的概念及性质。
（2）设计实际问题，让学生应用函数和方程进行求解。
四、教学反思：通过本节课的教学，学生对函数和方程的概念有了更深入的理解。
高中数学备课教案函数与方程
高中数学备课教案函数与方程高中数学备课教案：函数与方程一、教学内容概述在高中数学课程中，函数与方程是非常重要的内容之一。
函数是数学中常见的一种关系，用来描述两个变量之间的依赖关系，而方程则是用来表示两个量相等的数学语句。
本次备课教案将重点介绍函数与方程的基本概念、性质以及相关解题方法，以帮助学生深入理解和掌握这一知识点。
二、教学目标1. 理解函数的定义、性质和图像特征；2. 掌握函数的常见类型及其表示方法；3. 熟练运用函数的性质和图像特征解决相关问题；4. 了解方程的基本概念和解题方法；5. 能够灵活运用方程解决实际问题。
三、教学内容1. 函数的定义：函数是一种特殊的二元关系，用来描述自变量与因变量之间的对应关系。
常用函数的表示方法有显式函数公式、隐式函数方程和参数方程等。
2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的定义域是输入变量的取值范围，值域是函数结果的取值范围。
- 奇偶性：函数的奇偶性可以根据函数的公式关系来判断。
- 单调性：函数的单调性可以通过导数的正负来判断。
- 反函数：反函数与原函数的图像关于直线y=x对称。
3. 常见函数类型：- 一次函数：y=ax+b，表达线性关系。
- 二次函数：y=ax^2+bx+c，表达抛物线形状。
- 指数函数：y=a^x，表示底数为a的指数函数。
- 对数函数：y=log_a(x)，表示底数为a的对数函数。
- 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
4. 方程的概念和解题方法：- 方程是一个等式，由未知数和常数通过运算符连接而成。
- 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以通过移项和消元来求解。
- 一元二次方程：形如ax^2+bx+c=0的方程，可以通过因式分解、配方法和求根公式等方法来求解。
- 实际问题与方程：将问题抽象成方程，通过解方程来求解实际问题。
四、教学步骤1. 引入概念：- 通过引入实际问题或观察图表引入函数和方程的概念。
- 引导学生思考函数的定义和方程的含义，并与实际问题联系起来。
函数与方程教案苏教版必修
函数与方程教案苏教版必修一、教学目标：1. 理解函数与方程之间的关系，掌握函数的定义及性质。
2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等基本方程。
3. 能够运用函数与方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的定义及性质2. 一元一次方程的解法3. 一元二次方程的解法4. 不等式的解法5. 函数与方程的实际应用三、教学重点与难点：1. 重点：函数的定义及性质，一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法。
2. 难点：函数与方程之间的联系及应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数与方程的基本概念、解法及实际应用。
2. 利用案例分析，让学生在实际问题中体会函数与方程的重要性。
3. 运用练习法，巩固所学知识，提高解题能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的实例，引导学生认识函数与方程的重要性。
2. 讲解函数的定义及性质：结合图形，讲解函数的定义，引导学生理解函数的性质。
3. 讲解一元一次方程的解法：引导学生掌握解一元一次方程的方法，如加减法、乘除法等。
4. 讲解一元二次方程的解法：引导学生掌握解一元二次方程的方法，如因式分解、公式法等。
5. 讲解不等式的解法：引导学生掌握解不等式的方法，如同解变形、图像法等。
6. 实践练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
7. 案例分析：选取实际问题，引导学生运用函数与方程解决问题。
六、教学评估：1. 通过课堂问答、练习批改等方式，了解学生对函数与方程基本概念的理解程度。
2. 评估学生在解决实际问题时的能力，检查他们能否灵活运用函数与方程知识。
3. 定期进行小型测验，检查学生的学习进度和掌握情况。
七、教学资源：1. 教材：苏教版《数学》必修教材。
2. 教辅：相关练习册、参考书。
3. 网络资源：数学教育网站、在线教学平台。
4. 图形计算器：用于展示函数图像和方程解的图形。
八、教学进度安排：1. 第一周：函数的定义及性质。
2. 第二周：一元一次方程的解法。
函数与方程教案
函数与方程教案教案标题：探索函数与方程教案目标：1. 让学生了解函数和方程的基本概念和特征。
2. 培养学生分析、解决问题的能力。
3. 帮助学生建立函数和方程之间的联系，提高数学思维和推理能力。
教案内容：1. 引入函数和方程的概念：a. 向学生介绍函数和方程的定义，并与实际生活中的例子进行关联。
b. 解释函数和方程的区别，强调函数作为一种映射关系，而方程则是等式的表示。
2. 探索函数：a. 帮助学生理解函数的符号表示法，包括函数名、自变量和因变量。
b. 引导学生使用输入输出表和图形表示来描述函数的关系。
c. 鼓励学生研究不同类型的函数，如线性函数、二次函数等。
3. 解决方程：a. 介绍方程的概念，并鼓励学生发现方程在解决问题中的应用。
b. 帮助学生理解解方程的含义，并教授基本的解方程方法，如逆运算、等式性质等。
c. 提供一系列实际问题和数学问题，要求学生使用方程来解决。
4. 函数与方程的联系：a. 引导学生思考函数与方程之间的联系，如函数图像与方程的关系。
b. 帮助学生通过观察函数图像来推导函数的方程表示。
c. 鼓励学生探索函数和方程在解决实际问题中的应用。
教案实施：1. 知识导入：通过一个生活中实际的例子引入函数和方程的概念。
2. 知识呈现：使用图表、图形和实例来展示函数和方程的特征和应用。
3. 学生练习：将学生分成小组，让他们完成一些关于函数和方程的练习和问题。
4. 教师辅助：引导学生思考和讨论，澄清概念，解答疑问。
5. 巩固与拓展：通过解决更复杂的问题和探索更多的函数类型来巩固和拓展学生的知识。
6. 总结与评价：让学生总结所学的函数和方程的知识，评价他们在解决问题中的应用能力。
7. 课后作业：布置一些相关的作业和习题，巩固学生的知识和技能。
教案评估：1. 教师观察：观察学生在课堂上的参与度和理解程度。
2. 练习与作业：评估学生在练习和作业中的表现。
3. 小组讨论：观察学生在小组中的合作和讨论，评估他们对函数和方程的掌握程度。
初中数学教案函数与方程式的应用
初中数学教案函数与方程式的应用初中数学教案：函数与方程式的应用一、教学目标通过本次授课，学生应能够：1. 理解函数与方程式的概念及其应用；2. 掌握函数与方程式的基本性质和运算法则；3. 运用函数与方程式解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决的能力。
二、教学重点1. 函数与方程式的概念及其应用；2. 函数与方程式的基本性质和运算法则；3. 运用函数与方程式解决实际问题。
三、教学内容及教学方法1. 教学内容（1）函数的概念函数是一种数学关系，通常用符号y=f(x)表示，其中x是自变量，y 是因变量。
学生需要理解函数的定义域、值域和图像的概念。
（2）函数的分类介绍常见的函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数等，并讲解它们的特点和图像。
（3）方程式的概念方程是一个等式，其中包含未知数和已知数，通过求解方程可以找到未知数的值。
（4）方程的应用介绍方程在实际问题中的应用，如速度、距离、时间等相关问题。
2. 教学方法（1）讲授法：通过课堂讲解引入函数与方程的基本概念，帮助学生理解其含义和应用。
（2）示例法：通过具体的例子演示函数与方程的求解方法，加深学生对概念和运算法则的理解。
（3）实践法：引导学生运用函数与方程来解决实际问题，培养学生的问题解决能力。
四、教学流程1. 导入（5分钟）引导学生回顾之前学过的内容，例如线性方程的求解方法，为本次课程的学习做铺垫。
2. 理论讲解（20分钟）（1）引入函数的概念，解释自变量和因变量的含义，并给出函数的常见记法。
（2）介绍不同类型的函数，如线性函数、二次函数等，并讲解它们的特点和图像。
（3）讲解方程的概念及其应用，并举例说明方程在实际问题中的运用。
3. 示例演练（20分钟）（1）通过具体的例子，教导学生如何根据函数的定义求解相关问题。
（2）引导学生利用方程求解实际问题，如速度与时间的关系等。
4. 实践应用（35分钟）（1）提供一些实际问题，要求学生思考并运用函数与方程来解决。
高中数学教案：函数与方程
高中数学教案：函数与方程一、导言函数与方程是高中数学的重要内容之一，它们是数学的基石，也是解决实际问题的有力工具。
本教案旨在帮助高中数学教师更好地教授函数与方程的知识，引导学生深入理解函数与方程的概念、性质和应用，提高他们的数学思维和问题解决能力。
二、函数的概念与性质1. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
教师可以通过实际生活中的例子，如温度与时间的关系、总成绩与各科成绩的关系等，引导学生理解函数的基本概念。
2. 函数的表示与表达式教师可以介绍函数的表示方法，如函数符号表示法、映射表示法和方程表示法。
同时，还可以让学生熟练掌握用表达式表示函数的方法，如y = f(x)和f(x) = ax + b 等。
3. 函数的性质教师可以通过例题和证明，帮助学生理解函数的奇偶性、周期性、单调性和奇函数与偶函数的性质。
通过探究函数的性质，学生可以更好地理解函数的变化规律和特点。
三、方程的解与解法1. 方程的基本概念方程是含有未知数的等式，解是使方程成立的未知数的值。
教师可以通过实际应用问题，如线性方程解决物品购买问题、二次方程解决抛物线问题等，引导学生理解方程及其解的概念。
2. 一元一次方程的解法一元一次方程是最基本也是最常见的方程类型。
教师可以介绍解一元一次方程的基本方法，如逆运算法、图象法和消元法，并通过练习题帮助学生巩固运用这些解法解题的能力。
3. 一元二次方程的解法一元二次方程是高中数学中的重要内容。
教师可以教授求解一元二次方程的常用方法，如配方法、因式分解法和根的公式，并通过例题引导学生在不同情境下巧妙地运用这些解法。
四、函数与方程的应用1. 函数的应用问题教师可以引导学生通过实际问题，如函数解决函数模型、函数解决最值问题等，理解函数在实际问题中的应用。
通过解决这些问题，学生可以培养建立数学模型、分析问题和求解的能力。
2. 方程的应用问题教师可以通过实际应用问题，如方程组解决平衡问题、方程解决几何问题等，帮助学生理解方程的应用。
高中数学老师教案 第三章 函数、导数及其应用-第八节-函数与方程
第八节函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系[小题体验]1．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致范围是( ) A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞) 解析：选B 易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.2．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 函数f (x )＝e x ＋3x 在R 上是增函数，∵f (－1)＝1e－3＜0，f (0)＝1＞0， ∴f (－1)·f (0)＜0，∴函数f (x )有唯一零点，且在(－1,0)内，故选B.3．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤－1，－121．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f (x )按照下述方法定义：当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ；当x ＞2时，f (x )＝12(x －2)2，则方程f (x )＝12的所有实数根之和是( ) A ．2B ．3C ．5D ．8解析：选C 画出函数f (x )的图象，如图所示：结合图象x ＜2时，两根之和是2，x ＞2时，由12(x －2)2＝12，解得x ＝3， 故方程f (x )＝12的所有实数根之和是5，故选C. 2．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f (a )·f (b )＜0； ③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac ＜0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知实数a＞1,0＜b＜1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选B∵a＞1,0＜b＜1，f(x)＝a x＋x－b，－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，∴f(－1)＝1a由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f (x )的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y ＝f (x )必须在区间[a ，b ]上是连续的，当f (a )·f (b )＜0时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f (x )＝g (x )－h (x )，作出y ＝g (x )和y ＝h (x )的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点．考点二 判断函数零点个数(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·温州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图，作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1，由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1得f (x )＝－2或f (x )＝12. 若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14； 若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2. 综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －x －2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ＜0时，令f (x )＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x ＝－2或x ＝0(舍去)，所以当x ＜0时，只有一个零点；当x ≥0时，f (x )＝e x －x －2，而f ′(x )＝e x －1，显然f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝e 0－0－2＝－1＜0，f (2)＝e 2－4＞0，所以当x ≥0时，函数f (x )有且只有一个零点．综上，函数f (x )只有2个零点，故选C.考点三 函数零点的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·杭州七校联考)若函数f (x )＝m －x 2＋2ln x 在⎣⎡⎦⎤1e 2，e 上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为________．解析：令f (x )＝m －x 2＋2ln x ＝0，则m ＝x 2－2ln x ．令g (x )＝x 2－2ln x ，则g ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x，∴g (x )在⎣⎡⎭⎫1e 2，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝1，又g ⎝⎛⎭⎫1e 2＝4＋1e 4，g (e)＝e 2－2，4＋1e 4＜5＜e 2－2，∴g ⎝⎛⎭⎫1e 2＜g (e)，数形结合知，若函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e 2，e 上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，4＋1e 4. 答案：⎝⎛⎦⎤1，4＋1e 4 [由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法[即时应用]1．(2018·浙江名校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x ＞0，－x 2＋3，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．[1,3)B ．(1,3]C ．[2,3)D ．[1，＋∞)解析：选A 函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，等价于直线y ＝k (x ＋1)与函数y ＝f (x )的图象在(－∞，1]上有两个不同的交点．作出f (x )的大致图象如图所示，因为直线y ＝k (x ＋1)过定点(－1,0)，定点(－1,0)与点(1,2)和(0,3)连线的斜率分别为1和3，结合f (x )的图象可知k 的取值范围是[1,3)．2．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3 解析：选B 函数y ＝log 12x 在定义域上是减函数，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x －1在R 上单调递增．故选B.2．(2018·豫南十校联考)函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选A 因为f (0)＝－1＜0，f (1)＝2＞0，则f (0)·f (1)＝－2＜0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．3．(2018·宁波期末)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即0是函数f (x )的一个零点，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3为增函数．因为f (1)＝e 1＋1－3＝e －2＞0，f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14＋14－3＝e 14－114＜0，所以当x ＞0时，f (x )有一个零点．根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点的个数为3.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x ，x ＜0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是________．解析：由f (x )＝0，得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2，得x ＝1＋3，由g (x )＝－2，得x ＝－12，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋ 3. 答案：12＋ 3 5．已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2，则函数f (x )为开口向上的抛物线，且f (0)＝k 2≥0，∴关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，即函数f (x )的零点位于[0,1)，(1，＋∞)上．故只需f (1)＜0即可，即1＋k －3＋k 2＜0，解得－2＜k ＜1.答案：(－2,1)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·宁波高考模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))的零点之和为( ) A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，∵f (f (x ))＝0，∴f (x )＝0或f (x )＝1，由以上过程可知f (x )＝0的解为0,1，令f (x )＝1，得x ＝－1或x ＝2，∴f (f (x ))的零点之和为0＋1＋(－1)＋2＝2.故选C.2．(2019·绍兴模拟)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 法一：函数f (x )＝ln x －2x ＋6的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，当0＜x ＜12时，f ′(x )＞0，当x ＞12时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减．因为f ⎝⎛⎭⎫1e 10＝－4－2e 10＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝5－ln 2＞0，f (e 2)＝8－2e 2＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e 10，12，⎝⎛⎭⎫12，e 2上各有一个零点，所以函数f (x )的零点个数为2.法二：令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x (x ＞0)，h (x )＝2x －6(x ＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2.3．(2017·金华期中)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝(x －2)(x －3)＋0.02，则关于y ＝f (x )在R 上零点的说法正确的是( )A ．有4个零点其中只有一个零点在(－3，－2)内B ．有4个零点，其中两个零点在(－3，－2)内，两个在(2,3)内C ．有5个零点都不在(0,2)内D ．有5个零点，正零点有一个在(0,2)内，一个在(3，＋∞)内解析：选C 根据对称性可以分三种情况研究：①x ＞0的情况，f (x )是把抛物线y ＝(x －2)(x －3)(与x 轴交点为2,3)向上平移了0.02，则与x 轴交点变到(2,3)之间了，所以在(2,3)之间有两个零点．②当x ＜0时，f (x )＝－(x ＋2)(x ＋3)－0.02，根据对称性(－3，－2)之间也有两个零点． ③f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝0(奇函数特性)，所以有五个零点，故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋3，x ≤1，ln x ，x ＞1，若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，eB.⎣⎡⎭⎫12，e C.⎝⎛⎦⎤12，e e D.⎝⎛⎭⎫12，e e解析：选D 若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx －12有4个交点．作出函数y ＝f (x )的图象，如图，故点(1,0)在直线y ＝kx －12的下方． ∴k ×1－12＞0，解得k ＞12.当直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ，则k ＝ln m ＋12m ＝1m ，∴m ＝ e.此时，k ＝1m ＝e e ，f (x )的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件，故所求k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，e e .5．(2018·湖南考前演练)设x 0是函数f (x )＝2x －|log 2x |－1的一个零点，若a ＞x 0，则f (a )满足( )A ．f (a )＞0B ．f (a )＜0C ．f (a )≥0D ．f (a )≤0解析：选A 当x ＞1时，f (x )＝2x －log 2x －1，易证2x ＞x ＋1＞x .又函数y ＝2x 的图象与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，所以2x ＞x ＋1＞x ＞log 2x ，从而f (x )＞0.故若a ＞1，有f (a )＞0；若0＜a ≤1，因为当0＜x ≤1时，f (x )＝2x ＋log 2x －1，显然f (x )单调递增，又f (1)＝1＞0，f ⎝⎛⎭⎫12＝2－2＜0，所以x 0是f (x )唯一的零点，且0＜x 0＜1，所以f (a )＞0，故选A.6．(2018·余杭地区部分学校测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋2)，－2＜x ＜0，2|x －1|－1，x ≥0，若方程f (x )＝a 有三个不等的实数根，则a 的取值范围为________；不等式f (f (x ))≥1的解集为____________．解析：作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，方程f (x )＝a 有三个不等的实数根，即直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合图象知a ∈(0,1)．设f (x )＝t ，则不等式f (f (x ))≥1可转化为f (t )≥1，故得t ＝0或t ≥2，由f (x )＝0得x ＝±1，由f (x )≥2得x ≥log 23＋1，所以f (f (x ))≥1的解集为{－1,1}∪[log 23＋1，＋∞)．答案：(0,1) {－1,1}∪[log 23＋1，＋∞)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是______．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)8．(2019·台州三校适考)已知f (x )＝x ＋1x －2，若关于x 的方程f (|2x －1|)－k ⎝⎛⎭⎫2|2x －1|－3＝0有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围为________．解析：令t ＝|2x －1|(x ≠0)，则方程f (|2x －1|)－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2|2x －1|－3＝0可化为方程f (t )－k ⎝⎛⎭⎫2t －3＝0，作出函数y ＝|2x －1|(x ≠0)的大致图象如图所示，结合图象分析可知，关于t 的方程f (t )－k ⎝⎛⎭⎫2t －3＝0在(0,1)上有两个不同的实数解．f (t )－k ⎝⎛⎭⎫2t －3＝0可化为t 2＋(3k －2)t ＋1－2k ＝0，记g (x )＝x 2＋(3k －2)x ＋1－2k ，则g (x )在(0,1)上有两个不同的零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(3k －2)2－4(1－2k )＝9k 2－4k ＞0，0＜－3k －22＜1，g (0)＝1－2k ＞0，g (1)＝1＋3k －2＋1－2k ＝k ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＜0或k ＞49，0＜k ＜23，k ＜12，k ＞0，所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫49，12.答案：⎝⎛⎭⎫49，12 9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14. 证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12＜0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上是连续曲线， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 10．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，(1)若f (x )≤0的解集A ⊆{x |0≤x ≤3}，求实数a 的取值范围；(2)若g (x )＝f (x )＋|x 2－1|在区间(0,3)内有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求实数a 的取值范围． 解：(1)若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)＝4(a －2)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0＜a ＜3，f (0)≥0，f (3)≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1或a ≥2，0＜a ＜3，a ＋2≥0，9－6a ＋a ＋2≥0⇒2≤a ≤115. 综上得－1＜a ≤115.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，115. (2)g (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＋|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2ax ＋a ＋1，|x |≥1，－2ax ＋a ＋3，|x |＜1.若a ＝0时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，|x |≥1，3，|x |＜1无零点； 若a ≠0时，由于h (x )＝－2ax ＋a ＋3在(0,1)单调，所以在(0,1)内h (x )至多只有一个零点． 记φ(x )＝2x 2－2ax ＋a ＋1.①若0＜x 1＜1,1≤x 2＜3，则⎩⎨⎧ h (0)·h (1)＜0，φ(1)·φ(3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋3)(－a ＋3)＜0，(3－a )(19－5a )≤0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞3或a ＜－3，3≤a ≤195⇒3＜a ≤195. 经检验a ＝195时，φ(x )的零点为45，3∉[1,3)，所以a ≠195. 所以3＜a ＜195. ②若1≤x 1＜x 2＜3， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a 2－8(a ＋1)＞0，1＜a 2＜3，φ(1)≥0，φ(3)＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1－3或a ＞1＋3，2＜a ＜6，a ≤3，a ＜195⇒1＋3＜a ≤3. 综合①②得，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1＋3，195. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ＜1，1x ＋1－1，－1＜x ＜0，g (x )＝f (x )－4mx －m ，其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．{－1}∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ C ．{－1}∪⎣⎡⎭⎫15，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析：选C 作出函数y ＝f (x )的大致图象，如图所示．函数g (x )的零点个数⇔函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝4mx ＋m 的交点个数．直线y ＝4mx ＋m 过点⎝⎛⎭⎫－14，0，当直线y ＝4mx ＋m 过点(1,1)时，m ＝15；当直线y ＝4mx ＋m 与曲线y ＝1x ＋1－1(－1＜x ＜0)相切时，设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0＋1－1，由y ′＝－1(x ＋1)2得切线的斜率为－1(x 0＋1)2，则－1(x 0＋1)2＝1x 0＋1－1－0x 0＋14， 解得x 0＝－12，所以4m ＝－1⎝⎛⎭⎫－12＋12＝－4，得m ＝－1.结合图象可知当m ≥15或m ＝－1时，函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点．2．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x－4ln x ＝x －3x－4ln x －2(x ＞0)， ∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：又∵g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．。
函数与方程的关系备课教案
函数与方程的关系备课教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1.理解函数和方程之间的关系，并能够解释它们之间的联系；2.能够将方程转化为函数表示，以及将函数转化为方程表示；3.能够应用函数和方程的关系解决实际问题。
二、教学准备1.黑板、粉笔；2.教材、课件或其他相关教学资料；3.练习题、例题。
三、教学过程Step 1：导入1.教师简要介绍函数与方程的概念，以及它们在数学中的重要性。
强调函数和方程之间的密切联系，并引导学生思考它们之间的关系。
Step 2：理解函数与方程的概念1.教师通过例题和图示，向学生解释函数和方程的定义。
确保学生理解函数是一种特殊的方程，而方程则是函数的表达方式之一。
2.通过多组实例题，引导学生熟悉函数和方程的不同形式，并能够快速判断一个表达式是函数还是方程。
Step 3：方程转化为函数表示1.教师给出一组方程的例子，引导学生通过适当的变换，将方程表示为函数的形式。
2.与学生共同分析例题，找出方程中的自变量与函数中的自变量、因变量之间的对应关系。
Step 4：函数转化为方程表示1.教师给出一组函数的例子，引导学生思考如何将函数表示为方程的形式。
2.通过例题讲解和讨论，帮助学生理解函数图象与方程的关系，并掌握提取函数与方程之间对应关系的方法。
Step 5：应用实际问题1.教师提供一些与实际问题相关的函数和方程，引导学生将其转化为对应的表达形式。
2.鼓励学生主动思考，并进行小组讨论和展示，分享彼此的解题思路。
Step 6：总结与拓展1.教师通过复习巩固所学的内容，让学生回顾函数与方程的转化过程。
2.鼓励学生提出问题，引导他们思考更复杂的函数与方程的转化及其应用。
3.提供额外的拓展资料，以帮助有兴趣的学生深入了解函数与方程的关系。
四、课堂延伸活动1.让学生自主搜索并找到一些实际问题，提出相关的函数与方程，并解决问题。
2.设计一些拓展性的题目，要求学生能够在限定的时间内完成。
五、作业要求1.完成备课教案中提供的练习题；2.搜索一些和实际生活相关的函数和方程，解决相关问题。
高中数学教案函数与方程
高中数学教案函数与方程高中数学教案：函数与方程引言：函数与方程是高中数学中的基础概念和重要内容。
本教案旨在通过教学活动，帮助学生深入理解函数与方程的概念、性质和应用，并提升他们的问题解决能力和数学思维。
一、教学目标1. 理解函数与方程的基本概念；2. 掌握函数的性质与图像的特点；3. 学会利用方程解决实际问题；4. 发展分析与推理能力，培养数学思维。
二、教学内容及教学步骤1. 教学内容1.1 函数的概念与性质- 了解函数的定义，明确自变量和因变量的概念；- 熟悉常见函数的类型，如一次函数、二次函数、指数函数等；- 掌握函数的图像特点，包括函数的单调性、奇偶性等。
1.2 方程的基本性质与解法- 学习方程的定义，了解等式的性质；- 掌握一元一次方程、一元二次方程的解法；- 通过实例学习方程的应用，如应用于几何问题、物理问题等。
2. 教学步骤此处给出一种教学步骤，具体可根据实际教学情况灵活调整。
2.1 引入- 创设情境，引起学生兴趣，如生活中函数的应用实例。
- 向学生提问，以激发思考，如函数的定义是什么？2.2 讲解函数的概念与性质- 通过具体例子引入函数的概念，解释自变量和因变量的含义。
- 结合数学符号和图像，介绍函数的性质，如单调性、奇偶性等。
2.3 展示函数的图像特点- 利用教学投影仪或白板绘制函数的图像。
- 分析图像特点，引导学生发现函数图像的规律。
2.4 讲解方程的基本性质与解法- 定义方程，解释等式两边相等的含义。
- 示范解一元一次方程和一元二次方程的方法，包括消元法、配方法等。
2.5 在实际问题中应用函数与方程- 提供一些与生活实际相关的问题，让学生通过分析、建立方程求解。
- 引导学生在解答问题的过程中理解函数与方程的应用意义。
三、教学辅助工具与教学资源1. 教学辅助工具- 教学投影仪或白板- 教科书及课后习题- 几何工具、尺子等2. 教学资源- 准备相关练习题，并提供详细的解答过程。
四、教学评估1. 利用课堂讨论和提问，检查学生对函数与方程的理解程度。
函数与方程教案
函数与方程教案一·教学目标：(1)结合学过的函数图象，理解函数零点的概念，积累由特殊到一般的探究新知的经验,初步感悟函数与方程的数学思想。
(2）经过函数零点存在定理的探究过程，了解零点存在定理,感悟数形结合和转化思想在函数中的应用，提升数学抽象和直观想象的数学素养。
（3)会求简单函数的零点，能利用函数零点存在定理判断简单连续函数零点的存在性,提升逻辑推理能力。
二．教重点和难点(一)教学重点1.函数零点的概念的构建。
2.零点存在性的判定。
(二）教学难点探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。
三·教学设想(一）方程的发展史汉代数学家刘徽利用“互其算”解一元一次方程。
花拉子米用还原与对消法解一元二次方程。
瑞典数学家欧拉给出了函数的概念。
韦达发现了一元二次方程根与系数的关系。
卡丹和他的学生费拉给出了三四次方程的解法。
1９世纪挪威年轻的数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解,而我国古代数学家秦九韶也提出了高次方程数值解的解法，这就是方程求解的发展史。
（二)教师预设问题探究活动1问题１求下列方程的根（1)2x-1＝0（2)322=--xx(3)62ln=-+xx探究活动2求出表中一元二次方程的实数根,并画出对应一元二次函数图像的简图,并写出函数的图像与x轴的交点坐标。
的零点。
叫做函数的实数把使函数函数函数零点的定义：对于)()(),(xfyxxfxfy===2 0, 2,- D. (2,0)(0,0),(-2,0), C.20, B . 0200 .)4()(1?2），），（，（的零点为（）例A x x x f -= 温馨提示1:函数的零点是实数,而不是点。
温馨提示2:求函数的零点就是求函数所对应方程的实数根。
探究活动3：函数y=f(x)的零点 ⇔方程f(x ）=0的实数根 ⇔ 函数y=ｆ(ｘ)图象与x 轴交点的横坐标。
探究活动４满足什么条件时，函数y=f （ｘ)在区间(a,ｂ)上有零点?例1 ｙ=x2-2x -３(1)在区间(-2,0)上ｆ(－2）f （0)_＜__0,则在区间(-2，0）上有零点。
数学教案函数与方程的应用
数学教案函数与方程的应用数学教案：函数与方程的应用一、教学目标1. 知识目标：掌握函数与方程的基本概念，了解函数与方程的联系与应用。
2. 能力目标：能够通过函数与方程解决实际问题，培养学生的数学建模与解决问题的能力。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣与热爱，激发学生的学习动机。
二、教学重难点1. 教学重点：函数与方程的概念及其应用。
2. 教学难点：培养学生运用函数与方程解决实际问题的能力。
三、教学过程导入：在课堂上，我会先通过一个具体问题引入函数与方程的概念，让学生了解到函数与方程在实际生活中的应用。
第一部分：函数的定义与性质1. 导入：通过一组数据的例子，引导学生思考数据间的关系。
2. 引入函数的概念：解释函数的定义，即输入和输出的对应关系。
3. 函数的性质：解释函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，并通过例题进行演示和练习。
第二部分：方程的应用1. 导入：通过一个实际问题，引出方程的概念和应用。
2. 方程解的意义：解释方程解的含义，并通过例题进行演示和练习。
3. 方程的应用：通过实际问题，让学生应用方程解决实际问题，培养学生的数学建模与解决问题的能力。
第三部分：函数与方程的综合应用1. 导入：通过一个综合问题，引出函数与方程的综合应用。
2. 综合应用的分析与求解：分析问题，列方程，解方程，得出问题的解答，并通过例题进行演示和练习。
四、教学手段与资源1. 教学手段：讲授、示范、练习、互动。
2. 教学资源：黑板、教材、电子资源。
五、教学评价与反馈1. 教学评价：通过课堂练习、作业和小组合作等形式对学生进行评价，了解学生对函数与方程的掌握情况。
2. 教学反馈：根据学生的表现进行及时的反馈和指导，帮助他们解决问题和强化学习。
六、教学拓展与延伸1. 教学拓展：引导学生去探究更高层次的函数与方程的应用，如二次函数、指数函数等。
2. 教学延伸：鼓励学生主动寻找更多实际问题，并尝试使用函数与方程解决。
七、课堂总结通过对函数与方程的学习，我们不仅掌握了它们的基本概念与性质，而且了解了它们在实际生活中的应用。
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铁山兰教育五星级私人教师教案教材梳理知识点一零点与方程根1.函数的零点: 如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.归纳: 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.求函数的零点①(代数法)求方程的实数根；②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点．3.二次函数零点的判定二次函数的零点个数,方程的实根个数见下表:4.二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的,当它通过零点时（不是二重零点）,函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸:对任意函数,只要它的图象是连续不间断的,上述性质同样成立.5.二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质,作出函数的简图.②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号,观察函数的一些性质.引伸:二次函数的零点的应用可推广到一般函数.6.零点存在性的探索(1)观察二次函数的图象:①在区间上有零点__________;_______， _______,______0（＜或＞＝）②在区间上有零点__________;_______0（＜或＞＝）．(2)观察下面函数的图象①在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）．②在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）．③在区间上______(有/无)零点；_______0（＜或＞＝）．提出问题:①由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？②怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？7.零点存在定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.知识点二用二分法求方程的近似解1.二分法定义:对于在区间上连续不断,且满足的函数,就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法.2.二分法步骤: 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：(1)确定区间,验证,给定精度；(2)求区间的中点；(3)计算：①若，则就是函数的零点；②若，则令（此时零点）；③若，则令（此时零点）；(4)判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤知识点三函数的模型及其应用(1)几类不同增长的函数模型利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
(2)函数模型及其应用建立函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图,选择函数模型；③待定系数法求函数模型；④检验是否符合实际,如果不符合实际,则改用其它函数模型,重复②至④步；如果符合实际，则可用这个函数模型来解释或解决实际问题．解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）．典例分析题组一函数零点的判定1.若函数在区间上的图象是连续不断的曲线，且函数在内有一个零点，则的值 ( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定解析:若函数内有一个零点，则该零点是变号零点，则，若不是变号零点，则.2.设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是 ( )A.[0,1]B.[1,2]C.[－2，－1]D.[－1,0]解析：*3.若方程的解为，则不小于的小整数是 .解析：题组二函数零点的求法4.(2009福建)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是 ( )解析：5.设函数,则函数的零点是 .解析：题组三函数零点的应用6.若二次函数，则函数的零点个数是 ( )A.1个B.2个C.0个D.不确定解析：即7.(2009山东高考)若函数有两个零点, 则实数的取值范围是 .解析：函数的零点的个数就是函数与函数交点的个数，由函数的图象可知时两函数图象有两个交点，时两函数图象有唯一交点，故.8.已知关于的二次函数(1)求证：对于任意，方程必有实数根；(2)若，求证：方程在区间内各有一个实数根.解析：针对性练习1.(2010岳阳)设是函数的零点，则在区间 ( )解析:2.设函数，则 ( )3.(2010潍坊)函数的零点的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3解析:如图,在同一坐标系内分别作出的图象，观察图象易知两函数图象有两个交点，即原函数有2个零点．4.若函数没有零点，则实数的取值范围是 ( )解析:由题意，函数没有零点，即方程无解，即方程的判别式小于零，解不等式解得5.(2010上海)若是方程的解，则属于区间 ( )A.(0,1)B.(1,1.25)C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)6.已知函数则函数 ，则函数f(x)零点个数为 （ ）A.1B.2C.3D.4解析:只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与轴有三个交点，即函数的零点有3个.7.设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是 ( )A.[0,1]B.[1,2]C.[－2，－1]D.[－1,0]解析：8.设上的增函数，且,则方程内 ( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根解析：由上是增函数，且，知在上有唯一实数根，所以方程上有唯一实数根.9.设函数与的图象的交点为,则所在的区间是 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析：令，可求得：易知函数的零点所在区间为10.用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点_______,第二次应计算______.解析:11.若函数的两个零点是，则不等式的解集是__________．解析:由于的两个零点是，即方程的两个根是，12.已知函数,若在上存在, 使，则实数的取值范围是 .解析:课外练习1.已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（ ）A.函数在或内有零点B.函数在内无零点C.函数在内有零点D.函数在内不一定有零点解析：C 唯一的零点必须在区间，而不在2.如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.解析：D 或3.求零点的个数为（ ）A. B. C. D.解析：C，显然有两个实数根，共三个4.设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）A. B. C. D.不能确定解析：B5.已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（ ） A. B. C. D.解析:由题意，可知，故在上必存在零点．故选C6.若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.解析:由方程的判别式小于0，可得，故选B7.设函数是上的增函数，且，则方程在内 ( )A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根解析:上是增函数且8.若已知，则下列说法中正确的是 ( ) A. B. C., D.,.解析:若不连续可能没有零点，若在该区间有二重零点可能有正偶数个零点.9.函数在区间内的函数值 ( )A.大于等于0B.小于等于0C.大于0D.小于0解析:的两个零点是1和2，在1和2之间函数值同号.又，故选D.10.如图,下列函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )解析:用二分法只能求变号零点，选项B中的零点为不变号零点，不宜用二分法求解.11.函数的零点个数为解析: 分别作出的图象；12.用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 。
解析: 令13.已知函数的图象是连续不断的，有如下的，对应值表：－2－1.5－1－0.500.51 1.52-3.51 1.02 2.37 1.56-0.38 1.23 2.77 3.45 4.89函数在哪几个区间内有零点？为什么？解析:因为函数的图象是连续不断的，并且由对应值表可知，，，所以函数在区间,以及内有零点.14.证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点.证明：函数的定义域为，函数的图像在区间上是连续的. ，,,函数在区间上至少有一个零点.能力提升1.解:故只需2.解： ∴若实数满足条件，则只需即可．3.利用给定函数模型解决实际问题有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是和万元，它们与投入资金（万元）的关系为：,,今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解: 设投入甲产品资金为万元（，投入乙产品资金为万元，总利润为万元．通过配方求函数最值则=当时，答：对甲、乙产品各投资为1.5万元，获最大利润为万元4.建立确定的函数模型解决实际问题2008年5月12日，四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震．在随后的几天中，地震专家对汶川地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度（J） 1.6 3.2 4.5 6.4震级（里5.0 5.2 5.3 5.4氏）注：地震强度是指地震时释放的能量(1)画出震级随地震强度变化的散点图；(2)根据散点图，从下列函数中选取选取一个函数描述震级随地震强度变化关系：，(3)四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震时释放的能量是多少？（取）解：（1）散点图如下图：（2）根据散点图，宜选择函数。
（3）根据已知，得解得：当时， （J）通过观察图表，判断问题适用的函数模型，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题.5.某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解:设客房日租金每间提高元，则每天客房出租数为，由且 得设客房租金总上收入元，则有：由二次函数性质可知当时,所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.函数模型一次函数模型：二次函数模型：幂函数模型：指数函数模型：（＞0，）。