全等三角形、轴对称综合测试题解析
人教版八年级数学上《全等三角形》《轴对称》期末复习提优题及答案解析
八年级[上]数学期末《全等三角形》《轴对称》复习一．选择题（共4小题）1．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC 和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④2．如图，将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①∠DAC=∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④ED=2AB．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④3．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四边形ABDE =S△ABP，其中正确的是（）A．①③B．①②④C．①②③D．②③4．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有（）1A．2个B．3个C．4个D．5个二．解答题（共8小题）5．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，（1）当n=1时，则AF=_________；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．6．两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放，其中D点在AB上，连接BE．（1）则=_________，∠CBE=_________度；（2）当把△DEF绕点C旋转到如图2所示的位置时（D点在BC上），连接AD并延长交BE于点F，连接FC，则=_________，∠CFE=_________度；（3）把△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请求出∠CFE的度数_________．7．已知△ABC为边长为10的等边三角形，D是BC边上一动点：①如图1，点E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，当D点滑动时，∠AFE的大小是否变化？若不变，请求出其度数．②如图2，过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G，当点D在BC上滑动时，有下列两个结论：①DC+CG 的值为定值；②DG﹣CD的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请你选择正确的结论加以证明并求出其值．8．如图，点A、C分别在一个含45°的直角三角板HBE的两条直角边BH和BE上，且BA=BC，过点C作BE的垂线CD，过E点作EF上AE交∠DCE的角平分线于F点，交HE于P．（1）试判断△PCE的形状，并请说明理由；（2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF的长．9．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD=BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．10．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD 的中点G，连接GF．（1）FG与DC的位置关系是_________，FG与DC的数量关系是_________；（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．11．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE 和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．（1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗？（3）图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗？（不用证明）12．已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC 于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？八年级[丄]数学期末《全等三角形》《轴对称》复习提优题【大海之音组卷】参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC 和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考点：直角三角形的性质；角平分线的定义；垂线；全等三角形的判定与性质．专题：推理填空题．分析：①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②③先根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用角角边证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH，对应角相等可得∠PFD=∠HAP，然后利用平角的关系求出∠BAP=∠BFP，再利用角角边证明△ABP与△FBP全等，然后根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，从而得解；④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误．解答：解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，∴∠ABP=∠ABC，∠CAP=（90°+∠ABC）=45°+∠ABC，在△ABP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP，=180°﹣（45°+∠ABC+90°﹣∠ABC）﹣∠ABC，=180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC﹣∠ABC，=45°，故本小题正确；②③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP，∵PF⊥AD，∴∠APH=∠FPD=90°，在△AHP与△FDP中，，∴△AHP≌△FDP（AAS），∴DF=AH，∵AD为∠BAC的外角平分线，∠PFD=∠HAP，∴∠PAE+∠BAP=180°，又∵∠PFD+∠BFP=180°，∴∠PAE=∠PFD，∵∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠FBP，在△ABP与△FBP中，，∴△ABP≌△FBP（AAS），∴AB=BF，AP=PF故②小题正确；∵BD=DF+BF，∴BD=AH+AB，∴BD﹣AH=AB，故③小题正确；④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，∴AG⊥DH，∵AP=PF，PF⊥AD，∴∠PAF=45°，∴∠ADG=∠DAG=45°，∴DG=AG，∵∠PAF=45°，AG⊥DH，∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，∴DG=AG，GH=GF，∴DG=GH+AF，∵AF＞AP，∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，综上所述①②③正确．故选A．点评：本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．2．如图，将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①∠DAC=∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④ED=2AB．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考点：旋转的性质；含30度角的直角三角形．分析：根据直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质即可判断．解答：解：①根据旋转的性质可以得到：AB=AD，而∠ABD=60°，则△ABD是等边三角形，可得到∠DAC=30°，∴∠DAC=∠DCA，故正确；②根据①可得AD=CD，并且根据旋转的性质可得：AC=AE，∠EAC=60°，则△ACE是等边三角形，则EA=EC，即D、E都到AC两端的距离相等，则DE在AC的垂直平分线上，故正确；③根据条件AB∥DE，而AB≠AE，即可证得EB平分∠AED不正确，故错误；④根据旋转的性质，DE=BC，而BC=2AB，即可证得ED=2AB，故正确；故正确的是：①②④．故选B．点评：正确理解旋转的性质，图形旋转前后两个图形全等是解决本题的关键．3．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四边形ABDE=S△ABP，其中正确的是（）A．①③B．①②④C．①②③D．②③考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断．解答：解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPD，∴AH=FD，又∵AB=FB，∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正确．∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S四边形ABDE=S△ABP+S△BDP+S△APH﹣S△EOH+S△DOP=S△ABP+S△ABP﹣S△EOH+S△DOP=2S△ABP﹣S△EOH+S△DOP．故选C．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．分析：过M作ME⊥AD于E，得出∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°，根据三角形内角和定理求出∠AMD，即可判断①；根据角平分线性质求出MC=ME，ME=MB，即可判断②和⑤；由勾股定理求出DC=DE，AB=AE，即可判断③；根据SSS证△DEM≌△DCM，推出S=S三角形DCM，同理得出S三角形AEM=S三角形ABM，即可判断④．三角形DEM解答：解：过M作ME⊥AD于E，∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，∴∠AMD=180°﹣90°=90°，∴①正确；∵DM平分∠CDE，∠C=90°（MC⊥DC），ME⊥DA，∴MC=ME，同理ME=MB，∴MC=MB=ME=BC，∴②正确；∴M到AD的距离等于BC的一半，∴⑤正确；∵由勾股定理得：DC2=MD2﹣MC2，DE2=MD2﹣ME2，又∵ME=MC，MD=MD，∴DC=DE，同理AB=AE，∴AD=AE+DE=AB+DC，∴③正确；∵在△DEM和△DCM中，∴△DEM≌△DCM（SSS），∴S三角形DEM=S三角形DCM同理S三角形AEM=S三角形ABM，∴S三角形AMD=S梯形ABCD，∴④正确；故选D．点评：本题考查了角平分线性质，垂直定义，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．二．解答题（共8小题）5．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，（1）当n=1时，则AF=2；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．考点：含30度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：动点型．分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°，再根据平角等于180°求出∠FAC=60°，然后求出∠F=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；（2）根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30°+∠CBD，又∠HBE=30°+∠CBD，从而得到∠ADE=∠HBE，然后根据边角边证明△ADE与△HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE，对应角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60°，再根据等边三角形的判定即可证明．解答：（1）解：∵△BDE是等边三角形，∴∠EDB=60°，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴FAC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠F=180°﹣90°﹣60°=30°，∵∠ACB=90°，∴∠ACF=180°﹣90°，∴AF=2AC=2×1=2；（2）证明：∵△BDE是等边三角形，∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°，在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，即∠ADE+60°=∠CBD+90°，∴∠ADE=30°+∠CBD，∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°，∴∠HBE=30°+∠CBD，∴∠ADE=∠HBE，在△ADE与△HBE中，，∴△ADE≌△HBE（SAS），∴AE=HE，∠AED=∠HEB，∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，即∠AEH=∠BED=60°，∴△AEH为等边三角形．点评：本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，（2）中求出∠ADE=∠HBE是解题的关键．6．两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放，其中D点在AB上，连接BE．（1）则=1，∠CBE=45度；（2）当把△DEF绕点C旋转到如图2所示的位置时（D点在BC上），连接AD并延长交BE于点F，连接FC，则=1，∠CFE=45度；（3）把△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请求出∠CFE的度数135°．考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；确定圆的条件．分析：（1）先证明∠ACD=∠BCE，再根据边角边定理证明△ACD≌△BCE，然后根据全等三角形对应边相等和对应角相等解答；（2）根据（1）的思路证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等得BE=AD，对应角相等得∠DAC=∠DBF，又AC⊥CD，所以AF⊥BF，从而可以得到C、E、F、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠CFE=∠CDE=45°；（3）同（2）的思路，证明C、F、D、E四点共圆，得出∠CFD=∠CED=45°，而∠DEF=90°，所以∠CFE 的度数即可求出．解答：解：（1）∵△ABC和△DCE是等腰三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，因此=1，∠CBE=45°；（2）同（1）可得BE=AD，∴=1，∠CBE=∠CAD；又∵∠ACD=90°，∠ADC=∠BDF，∴∠BFD=∠ACD=90°；又∵∠DCE=90°，∴C、E、F、D四点共圆，∴∠CFE=∠CDE=45°；（3）同（2）可得∠BFA=90°，∴∠DFE=90°；又∵∠DCE=90°，∴C、F、D、E四点共圆，∴∠CFD=∠CED=45°，∴∠CFE=∠CFD+∠DFE=45°+90°=135°．点评：本题综合考查了等边对等角的性质，三角形全等的判定和全等三角形的性质，四点共圆以及同弧所对的圆周角相等的性质，需要熟练掌握并灵活运用．7．已知△ABC为边长为10的等边三角形，D是BC边上一动点：①如图1，点E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，当D点滑动时，∠AFE的大小是否变化？若不变，请求出其度数．②如图2，过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G，当点D在BC上滑动时，有下列两个结论：①DC+CG 的值为定值；②DG﹣CD的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请你选择正确的结论加以证明并求出其值．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：①∠AFE的大小不变，其度数为60°，理由如下：由三角形ABC为等边三角形，得到三条边相等，三个内角相等，都为60°，可得出AB=BC，∠ABD=∠C，再由BD=CE，利用SAS可得出三角形ABD与三角形BCE全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠BAD=∠CBE，在三角形ABD中，由∠ABD为60°，得到∠BAD+∠ADB的度数，等量代换可得出∠CBE+∠ADB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BFD 的度数，根据对应角相等可得出∠AFE=∠BFD，可得出∠AFE的度数不变；②连接AG，如图所示，由三角形ABC为等边三角形，得出三条边相等，三个内角都相等，都为60°，再由CG为外角平分线，得出∠ACG也为60°，由∠ADG为60°，可得出A，D，C，G四点共圆，根据圆内接四边形的对角互补可得出∠DAG与∠DCG互补，而∠DCG为120°，可得出∠DAG为60°，根据∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAG=60°，利用等式的性质得到∠BAD=∠CAG，利用ASA可证明三角形ABD 与三角形ACG全等，利用全等三角形的对应边相等可得出BD=CG，由BC=BD+DC，等量代换可得出CG+CD=BC，而BC=10，即可得到DC+CG为定值10，得证．解答：解：①∠AFE的大小不变，其度数为60°，理由为：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，又∠BAD+∠ADB=120°，∴∠CBE+∠ADB=120°，∴∠BFD=60°，则∠AFE=∠BFD=60°；②正确的结论为：DC+CG的值为定值，理由如下：连接AG，如图2所示：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°，又CG为∠ACB的外角平分线，∴∠ACG=60°，又∵∠ADG=60°，∴∠ADG=∠ACG，即A，D，C，G四点共圆，∴∠DAG+∠DCG=180°，又∠DCG=120°，∴∠DAG=60°，即∠DAC+∠CAG=60°，又∵∠BAD+∠DAC=60°，∴∠BAD=∠GAC，在△ABD和△ACG中，∵，∴△ABD≌△ACG（ASA），∴DB=GC，又BC=10，则BC=BD+DC=DC+CG=10，即DC+CG的值为定值．点评：此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆的条件，以及圆内接四边形的性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．8．如图，点A、C分别在一个含45°的直角三角板HBE的两条直角边BH和BE上，且BA=BC，过点C作BE的垂线CD，过E点作EF上AE交∠DCE的角平分线于F点，交HE于P．（1）试判断△PCE的形状，并请说明理由；（2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF的长．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据∠PCE=∠DCE=×90°=45°，求证∠CPE=90°，然后即可判断三角形的形状．（2）根据∠HEB=∠H=45°得HB=BE，再根据BA=BC和∠HAE=120°，利用ASA求证△HAE≌△CEF，得AE=EF，又因为AE=2AB．然后即可求得EF．解答：解：（1）△PCE是等腰直角三角形，理由如下：∵∠PCE=∠DCE=×90°=45°∠PEC=45°∴∠PCE=∠PEC∠CPE=90°∴△PCE是等腰直角三角形（2）∵∠HEB=∠H=45°∴HB=BE∵BA=BC∴AH=CE而∠HAE=120°∴∠BAE=60°，∠AEB=30°又∵∠AEF=90°∴∠CEF=120°=∠HAE而∠H=∠FCE=45°∴△HAE≌△CEF（ASA）∴AE=EF又∵AE=2AB=2×3=6∴EF=6点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，解答（2）的关键是利用ASA求证△HAE≌△CEF，此题有一定的拔高难度，属于中档题．9．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD=BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）在AB上取一点M，使得AM=AH，连接DM，则利用SAS可得出△AHD≌△AMD，从而得出HD=MD=DB，即有∠DMB=∠B，通过这样的转化可证明∠B与∠AHD互补．（2）由（1）的结论中得出的∠AHD=∠AMD，结合三角形的外角可得出∠DGM=∠GDM，可将HD转化为MG，从而在线段AG上可解决问题．解答：证明：（1）在AB上取一点M，使得AM=AH，连接DM，∵，∴△AHD≌△AMD，∴HD=MD，∠AHD=∠AMD，∵HD=DB，∴DB=MD，∴∠DMB=∠B，∵∠AMD+∠DMB=180°，∴∠AHD+∠B=180°，即∠B与∠AHD互补．（2）由（1）∠AHD=∠AMD，HD=MD，∠AHD+∠B=180°，∵∠B+2∠DGA=180°，∠AHD=2∠DGA，∴∠AMD=2∠DGM，又∵∠AMD=∠DGM+∠GDM，∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM，即∠DGM=∠GDM，∴MD=MG，∴HD=MG，∵AG=AM+MG，∴AG=AH+HD．点评：本题考查了全等三角形的判定及性质，结合了等腰三角形的知识，解决这两问的关键都是通过全等图形的对应边相等、对应角相等，将题目涉及的角或边进行转化．10．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF．（1）FG与DC的位置关系是FG⊥CD，FG与DC的数量关系是FG=CD；（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：探究型．分析：（1）证FG和CD的大小和位置关系，我们已知了G是CD的中点，猜想应该是FG⊥CD，FG=CD．可通过构建三角形连接FD，FC，证三角形DFC是等腰直角三角形来得出上述结论，可通过全等三角形来证明；延长DE交AC于M，连接FM，证明三角形DEF和FMC全等即可．我们发现BDMC是个矩形，因此BD=CM=DE．由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形，∠BED=∠A=45°，因此∠AEM=∠A=45°，这样我们得出三角形AEM是个等腰直角三角形，F是斜边AE的中点，因此MF=EF，∠AMF=∠BED=45°，那么这两个角的补角也应当相等，由此可得出∠DEF=∠FMC，这样就构成了三角形DEF和CMF的全等的所有条件，可得到DF=FC，即三角形DFC是等腰三角形，下面证直角．根据两三角形全等，我们还能得出∠MFC=∠DFE，我们知道∠MFC+∠CFE=90°，因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°，这样就得出三角形DFC是等腰直角三角形了，也就能得出FG⊥CD，FG=CD的结论了．（2）和（1）的证法完全一样．解答：解：（1）FG⊥CD，FG=CD．（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，∴四边形BCMD是矩形．∴CM=BD．又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∴ED=BD=CM．∵∠AEM=∠A=45°，∴△AEM是等腰直角三角形．又F是AE的中点，∴MF⊥AE，EF=MF，∠EDF=∠MCF．∵在△EFD和△MFC中，∴△EFD≌△MFC．∴FD=FC，∠EFD=∠MFC．又∠EFD+∠DFM=90°，∴∠MFC+∠DFM=90°．即△CDF是等腰直角三角形，又G是CD的中点，∴FG=CD，FG⊥CD．点评：本题中通过构建全等三角形来证明线段和角相等是解题的关键．11．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE 和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．（1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗？（3）图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗？（不用证明）考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）根据全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP，进而求出AG=EP．同理AG=FQ，即EP=FQ．（2）过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质即可解题．（3）由（1）、（2）中的全等三角形可以推知△ABC与△AEF的面积相等．解答：解：（1）EP=FQ，理由如下：如图1，∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA=BA．∵∠PEA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAG=90°，∴∠PEA=∠BAG在△EAP与△ABG中，，∴△EAP≌△ABG（AAS），∴EP=AG．同理AG=FQ．∴EP=FQ．（2）如图2，HE=HF．理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．由（1）知EP=FQ．在△EPH与△FQH中，∵，∴△EPH≌△FQH（AAS）．∴HE=HF；（3）相等．理由如下：由（1）知，△ABG≌△EAP，△FQA≌△AGC，则S△ABG=S△EAP，S△FQA=S△AGC．由（2）知，△EPH≌△FQH，则S△EPH=S△FQH，所以S△ABC=S△ABG+S△AGC=S△EAP﹣S△EPH+S△FQA﹣S△FQH=S△EAP+S△FQA=S△AEF，即S△ABC=S△AEF．故图2中的△ABC与△AEF的面积相等．点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△AFQ≌△CAG是解题的关键．12．已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样的关系．②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC 于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据EF∥BC，∠B、∠C的平分线交于O点，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上题目中给出的AB=AC，共5个等腰三角形；根据等腰三角形的性质，即可得出EF 与BE、CF间有怎样的关系．（2）根据EF∥BC 和∠B、∠C的平分线交于O点，还可以证明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用几个等腰三角形的性质即可得出EF与BE，CF的关系．（3）EO∥BC和OB，OC分别是∠ABC与∠ACL的角平分线，还可以证明出△BEO和△CFO是等腰三角形．解答：解：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样的关系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下：∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，又∠B、∠C的平分线交于O点，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，∴OE=BE，OF=CF，∴EF=OE+OF=BE+CF．又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，∴EF=BE+CF=2BE=2CF；（2）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；第一问中的EF与BE，CF的关系是：EF=BE+CF．（3）有，还是有2个等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下：∵EO∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延长线上的一点）又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACG的角平分线∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCG，∴∠EOB=∠EBO，∴BE=OE，∠FCO=∠FOC，∴CF=FO，又∵EO=EF+FO，∴EF=BE﹣CF．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是步骤繁琐，属于中档题，还有第（1）中容易忽略△ABC也是等腰三角形，因此这又是一道易错题．要求学生在证明此题时一定要仔细，认真．。
八年级全等三角形单元综合测试(Word版 含答案)
八年级全等三角形单元综合测试（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE＝AB6，∵AC＝BC2AB＝3∴BE＝23﹣6；③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝45°∴AE平分∠BAC∵AB＝AC，∴BE＝1BC＝3．2故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．【详解】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．3．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.4．如图，在01A BA △中，20B ∠=︒，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．【详解】解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ， ∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°； 同理可得，∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴第n个等腰三角形的底角∠A n= 11()802n-︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．5．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且72ABC EDC∠=∠=︒，92AEB∠=︒，则EBD∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE，由线段AB，DE的垂直平分线交于点C，得CA=CB，CE=CD，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA=CB，CE=CD，∵72ABC EDC∠=∠=︒=∠DEC，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD，在∆ACE与∆BCD中，∵CA CBACE BCDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE≅∆BCD（SAS），∴∠AEC=∠BDC，设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．6．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，又∵AB=AC，EA=EA，∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=1302BEC∠=︒，∴∠ADB=30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AC，AD=24 cm，则BC 的长________cm．【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA⊥AC，AD=24 cm∴DC=2AD=48cm，∵∠BAC=120°，DA⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.8．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．【答案】8．【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BD=5，DE=3，∴EM=2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm），故答案为8．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．9．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB －2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.10．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，210t t-=解得10t=故答案为：103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP 、BP 为腰或以BP 、AB 为腰．则满足条件的点P 可求．【详解】由题意可知：以AP 、AB 为腰的三角形有3个；以AP 、BP 为腰的三角形有2个；以BP 、AB 为腰的三角形有2个．所以，这样的点P 共有7个.故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．12．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°）所以 x°=180°-2α【点睛】求出M,N在什么位子△PMN周长最小是解此题的关键.13．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4 B．245C．5 D．6【答案】C【解析】试题解析：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴12×10•BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故选C．14．如图，点D，E是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且CD=AE，AD交BE于点P，BQ⊥AD于点Q，已知PE=2，PQ=6，则AD等于( )A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【解析】【分析】由题中条件可得△ABE≌△CAD，得出AD=BE，∠ABE=∠CAD，进而得出∠BPD=60°．在Rt△BPQ中，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，求出BP的长，进而可得结论．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×6=12，∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．故选C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证明∠BPD=60°是解答本题的关键．15．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图，当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况：∠B=135°或90°，当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况：∠B=112.5°，所以符合条件的∠B有三个.又因为∠B为钝角，则符合答案的有两个，故本题应选B.点睛：因为不确定这个等腰三角形的底边，所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论：①当以B为顶点时，即以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，构成等腰△BAD；②当以点A为顶点时，即以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，构成等腰△ABD；或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.16．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△A CI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC．其中正确的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．故本选项正确；②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．故本选项正确；其中正确的是①③④．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．17．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∵△CDM周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6∴S△ABC=12BC•AD=12×4×6=12，【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．18．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )A．1 B．1+3C．2+3D．3【答案】B【解析】【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE的值.【详解】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM=MM’，∴MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE=4+33，∴MA+MD+ME的最小值为4+33．故选B．本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，则P的坐标是（3，4）；②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，过P′作P′N⊥OA于N，在Rt△OP′N中，设CP′=x，则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，x=2，则P′的坐标是（2，4）；过P″作P″M⊥OA于M，设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P ″的坐标是（8，4）；假设0P=PD ，则由P 点向0D 边作垂线，交点为Q 则有PQ 2十QD 2=PD 2，∵0P=PD=5=0D ，∴此时的△0PD 为正三角形，于是PQ=4，QD=120D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．所以排除此种可能．故选B ．20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB ，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，对应的点P 的坐标和△ABP 的最小周长分别为( )A ．(1，0)，224+B ．(3，0)，224+C ．(2,0), 25D ．(2,0),252+【答案】D【解析】 作A 关于x 轴的对称点N （1，-2），连接BN 与x 轴的交点即为点P 的位置，此时△ABP 的周长最小.设直线BN 的解析式为y kx b =+，∵N (1，-2)，B (3，2)，∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩， 解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-，当0y =时，240x -=，解得，2x=，∴点P的坐标为（2，0）；∵A(1，2)，B(3，2)，∴AB//x轴，∵AN⊥x轴，∴AB⊥x轴，在Rt△ABC中，AB＝2，AN＝4，由勾股定理得，BN==∵AP=NP,∴△ABP的周长最小值为：AB+BP+AP=AB+BP+PN=AB+BN故选D.点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P的位置是解题的关键.。
北师大版七年级(下)全等三角形、对称轴综合测试卷
北师大版七年级（下）轴对称数学综合测试卷一、选择题1．对于下列命题：(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点； (4)如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．其中真命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 ） ( )2．如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线 L 对称，下列结论中正确的有（ （1）△ABC≌△A′B′C′ （2）∠BAC=∠B′A′C′ （3）直线 L 垂直平分 CC′ （4）直线 BC 和 B′C′的交点不一定在直线 L 上． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个第2题 第5题 第7题 3．一个角的对称轴是（ ） A．这个角的其中的一条边 B．这个角的其中的一条边的垂线 C．这个角的平分线 D．这个角的平分线所在的直线 4．下列四个判断：①成轴对称的两个三角形是全等三角形；②两个全等三角形一定成轴对 称；③轴对称的两个圆的半径相等；④半径相等的两个圆成轴对称，其中正确的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 5．如图，在平面内，把矩形 ABCD 沿 EF 对折，若∠1=50°，则∠AEF 等于（ ） A．115° B．130° C．120° D．65° 6．下图是我国几家银行的标志，其中是中心对称图形的有（ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 7.如图，∠1=∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D、E，则下列结论中错误的是（ ） A．PD=PE B．BD=BE C．∠BPD=∠BPE D．BP=BE 8.如图，∠AOB 和一条定长线段 a，在∠AOB 内找一点 P，使 P 到 OA，OB 的距离都等于 a，作法如下：（1）作 OB 的垂线段 NH，使 NH=a，H 为垂足． （2）过 N 作 NM∥OB． （3）作∠AOB 的平分线 OP，与 NM 交于 P． （4）点 P 即为所求． 其中（3）的依据是（ ） A．平行线之间的距离处处相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上第8题 第 10 题 第 11 题 9.下列四个图形中，如果将左边的图形作轴对称变换，能变成右边的图形的是（）A．B．C．D．10．如图，在桌面上坚直放置两块镜面相对的平面镜，在两镜之间放一个小凳，那么在两镜 中共可得到小凳的象（ ） A．2 个 B．4 个 C．16 个 D．无数个 11.如图，直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条 公路的距离相等，则供选择的地址有（ ） A．1 处 B．2 处 C．3 处 D．4 处二、填空题 11．已知等腰三角形的腰长是底边长的 ________.4 ，一边长为 11cm，则它的周长为 3第 12 题第 13 题第 14 题第 17 题12． 如图， 在△ABC 中， AB=AC， E 分别是 AC， 上的点， BC=BD， D， AB 且 AD=DE=EB， 则∠A=（ ） 度． 13.如图，如果直线 m 是多边形 ABCDE 的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°．那么∠ BCD 的度数等于______________ 度． 14.如图，等边△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 AD=CE，BE、CD 交于点 P，若∠ ABE：∠CBE=1：2，则∠BDP= （ ）度．15. 等腰三角形的“三线合一”是指 （ ）（ ） ， ， （ ） 互相重合． 16. 在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是（ ） ，它有 （ ）条 对称轴；最少的是（） ，它有（） 条对称轴． 17. 如图，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 D，若 AC=6 cm，BC=4 cm，则△BDC 的 周长是 （ ） ． 18. 一天小刚照镜子时，在镜子中看见挂在身后墙上的时钟，如图，猜想实际的时间应是 （ ） ．第 18 题 第 19 题 第 20 题 第 21 题 19.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，BC=30，BD：CD=3：2，则点 D 到 AB 的距离为（ ） cm． 20.如图，D、E 为 AB、AC 的中点，将△ABC 沿线段 DE 折叠，使点 A 落在点 F 处，若∠ B=50°，则∠BDF=（ ） 度． 21. 如图，直角△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=2∠B，AD 平分∠BAC，CD：BD=1：2， BC=2.7 厘米，则点 D 到 AB 的距离 DE= 厘米，AD= （ ）厘米．三、解答题1．已知：如图 7—110，△ABC 中，AB＝AC，BE∥AC，∠BDE＝100°，∠BAD＝70°，则∠E 度数？2．如图 7—111，在 Rt△ABC 中，B 为直角，DE 是 AC 的垂直平分线，E 在 BC 上，∠BAE：∠ BAC＝1：5，则∠C 的度数？3．如图 7—112，∠BAC＝30°，AM 是∠BAC 的平分线，过 M 作 ME∥BA 交 AC 于 E，作 MD⊥ BA，垂足为 D，ME＝10cm，则 MD 的长度？4．如图 7—119，点 G 在 CA 的延长线上，AF＝AG，∠ADC＝∠GEC．求证：AD 平分∠BAC．5．已知：如图 7—120，等腰直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，D 为 BC 中点，E、F 分别为 AB、 AC 上的点，且满足 EA＝CF．求证：DE＝DF．6.已知，如图Δ ABC 中，AB＝AC,D 点在 BC 上，且 BD＝AD，DC＝AC.将图中的等腰三角 形全都写出来.并求∠B 的度数.ABDC7.如图，已知 P 点是∠AOB 平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为 C、D， （1）∠PCD=∠PDC 吗？ 为什么？ （2） 是 CD 的垂直平分线吗？ 为什么？ OPA CPODB8. 已知，△ABC 中，∠ABC 为锐角，且∠ABC=2∠ACB，AD 为 BC 边上的高，延长 AB 到 E，使 BE=BD，连接 ED 并延长交 AC 于 F．求证：AF=CF=DF．答案 三、1.∠ABC=∠BDE - ∠BAD=100° =30° -70° ∠ACB = ∠ABC =30 ∠DAC = 180-100 - 30 =50 因为 BE//AC ∠E = ∠DAC=50°2∵DE 是 AC 的垂直平分线∴AE=CE ∴∠C=∠CAE ∵∠BAE∶∠BAC=1∶5 ∴∠BAE=1/5∠BAC ∴∠CAE=4/5∠BAC ∴∠C=4/5∠BAC 即∠BAC=5/4∠C ∵∠B=90° ∴∠BAC+∠C=90° ∴5/4∠C+∠C=90° ∠C=40°3 解：过 E 点作 AB 的垂线交 AB 于 F因为 ME‖AB，且 AM 是∠BAC 的平分线 所以∠EMA=∠MAB=1/2 乘以 30°=15° 所以三角形 AEM 为等腰三角形 所以 AE=EM=10cm 又，在直角三角形 AEF 中 ∠BAC=30° 所以 EF=1/2AE=5cm 又 EFDM 为长方形，所以 MD=EF=5cm4 证明：∵AF=AG， ∴∠G=∠GFA． ∵∠ADC=∠GEC， ∴AD∥GE． ∴∠BAD=∠GFA，∠DAC=∠G． ∴∠BAD=∠DAC，即 AD 平分∠BAC．5.证明：连 AD，如图，∵△ABC 为等腰直角三角形，D 为 BC 中点， ∴AD=DC，AD 平分∠BAC，∠C=45°， ∴∠EAD=∠C=45°，在△ADE 和△CDF 中∴△ADE≌△CDF， ∴DE=DF．6. 解 析因为 AB=AC，BD=AD，DC=AC，由等腰三角形的概念得△ABC，△ADB，△ADC 是等腰三角形，再根据角之间的关系求得∠B 的度数．解 答图中等腰三角形有△ABC，△ADB，△ADC ∵AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形； ∵BD=AD，DC=AC ∴△ADB 和△ADC 是等腰三角形； ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵BD=AD，DC=AC ∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠DAC ∴5∠B=180° ∴∠B=36° ．7.解： （1）∠PCD=∠PDC。
2018年八年级数学《三角形全等、轴对称》专题复习资料(含解析)
2018年八年级数学《三角形全等、轴对称》专题复习资料【1】一．解答题（共15小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．求证：∠ABC=∠ACB=∠DEF．2．如图，已知：BE、CF是△ABC的高，在射线BE上截取BP=AC，在射线CF上截取CQ=AB，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，（1）求∠AOE的度数；（2）试说明：AC=AE+CD．4．已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE=DF？并给出证明；（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．5．△ABC中，∠ABC=110°，AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E，BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H，求∠EBG和∠DHF的度数．6．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，F是DE的中点，试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．7．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点E、D，且AD为∠BAC的平分线，∠B=30°，∠ADE=15°．（1）求∠BDN的度数；（2）求证：CD=CE．8．将含有45°角的直角三角板ABC和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE．（1）请写出图中的一对全等三角形并证明；（2）你能发现并证明线段AD，BE，DE之间的关系吗？9．在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E 在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n．（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=，∠CDE=；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．10．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长度．11．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A′B′C′与△ABC关于线1对称．（1）画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标：；（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标：；（3）若直线l′经过点（0，m），并且与x轴平行，根据上面研究的经验，写出点Q（c，d）关于直线1′的对称点Q′的坐标：．12．如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD=AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．13．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，点D是BC边上一动点（与点B，C不重合），点E与点D 关于直线AC对称，连结AE，过点B作BF⊥ED的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）当AE=BD时，用等式表示线段DE与BF之间的数量关系，并证明．14．请按要求完成下面三道小题．（1）如图1，AB=AC．这两条线段一定关于某条直线对称吗？如果是，请画出对称轴a（尺规作图，保留作图痕迹）；如果不是，请说明理由．（2）如图2，已知线段AB和点C．求作线段CD（不要求尺规作图），使它与AB成轴对称，且A与C是对称点，标明对称轴b，并简述画图过程．（3）如图3，任意位置的两条线段AB，CD，AB=CD．你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法；如果不能，请说明理由．15．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，AC=AE，BC=DE，连接CE交BD于点F．求证：BF=DF小明经探究发现，过B点作∠CBG=∠EDF，交CF于点G（如图2），从而可证△DEF≌△BCG，使问题得到解决（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程：参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（2）如图3，在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE，BC=DE，AB=BD，CF、EG分别为AB、BD的中线，连结FG并延长交CE于点H，是否存在与CH相等的线段？若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由．2018年八年级数学《三角形全等、轴对称》专题复习资料【1】参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．求证：∠ABC=∠ACB=∠DEF．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF（SAS），∴∠BDE=∠CEF，∵∠ABC+∠BDE+∠BED=∠BED+∠DEGF+∠CEF=180°，∴∠ABC=∠DEF，∴∠ABC=∠ACB=∠DEF．2．如图，已知：BE、CF是△ABC的高，在射线BE上截取BP=AC，在射线CF上截取CQ=AB，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【解答】证明：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB=∠AFC=90°，∴∠ABE=∠ACQ=90°﹣∠BAC．∵BP=AC，CQ=AB，在△APB和△QAC中，，∴△APB≌△QAC（SAS）．∴AP=AQ；（2）∵△APB≌△QAC，∴∠BAP=∠CQA．∵∠CQA+∠QAF=90°，∴∠BAP+∠QAF=90°．即AP⊥AQ．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，（1）求∠AOE的度数；（2）试说明：AC=AE+CD．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，∴∠ACB=30°，∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠CAO=∠BAC=45°，∠ACO=∠ACB=15°，∴∠AOE=∠CAO+∠AOC=45°+15°=60°．（2）如图，在AC上截取AF=AE，连接OF∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△AOE和△AOF中，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF，在△COF和△COD中，，∴△COF≌△COD（ASA）∴CF=CD，∴AC=AF+CF=AE+CD．4．已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE=DF？并给出证明；（2）如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．【解答】解：（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，证明：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）CG=DE+DF证明：连接AD，=S三角形ADB+S三角形ADC，∵S三角形ABC∴AB×CG=AB×DE+AC×DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．5．△ABC中，∠ABC=110°，AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E，BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H，求∠EBG和∠DHF的度数．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点G，∴EA=EB，GB=GC，∵∠ABC=110°，∴∠A+∠C=70°，∵EA=EB，GB=GC，∴∠ABE=∠A，∠GBC=∠C，∴∠ABE+∠GBC=70°，∴∠EBG=110°﹣70°=40°，在四边形BDHF中，∵∠ABC=110°、∠HDB=∠HFB=90°，∴∠DHF=360°﹣∠ABC﹣∠HDB﹣∠HFB=70°．6．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，F是DE的中点，试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．【解答】解：CF⊥DE，理由如下：∵AD∥EB∴∠A=∠EBC在△ADC和△BCE中∴△ADC≌△BCE（SAS）∴DC=CE又∵F是DE的中点∴CF⊥DE．7．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点E、D，且AD为∠BAC的平分线，∠B=30°，∠ADE=15°．（1）求∠BDN的度数；（2）求证：CD=CE．【解答】（1）解：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，又AD平分∠BAC，∴∠CAD=30°，又∠ACD=90°，∴∠CDA=60°又∠ADE=15°，∴∠CDE=∠CDA﹣∠ADE=60°﹣15°=45°∴∠BDN=∠CDE=45°；（2）证明：在△CED中，∠ECD=90°，∠CDE=45°∴∠CED=45°∴CD=CE．8．将含有45°角的直角三角板ABC和直尺如图摆放在桌子上，然后分别过A、B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE．（1）请写出图中的一对全等三角形并证明；（2）你能发现并证明线段AD，BE，DE之间的关系吗？【解答】解：（1）结论：△ADC≌△CEB．理由：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ACB=∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，∴∠CAD=∠ECB，∵AC=CB，'∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）结论：AD=BE+DE．理由：∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵CE=CD+DE，∴AD=BE+DE．9．在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E 在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n．（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=64°，∠CDE=32°；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．【解答】解：（1）∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=100°﹣36°=64°．∵在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+64°=104°．∵∠DAC=36°，∠ADE=∠AED，∴∠ADE=∠AED=72°，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=104°﹣72°=32°．故答案为64°，32°；（2）∠BAD=2∠CDE，理由如下：如图②，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=．∵∠ACB=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACB﹣∠AED=40°﹣=．∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=n﹣100°，∴∠BAD=2∠CDE；（3）∠BAD=2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ACD=140°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=．∵∠ACD=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACD﹣∠AED=140°﹣=．∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=100°+n，∴∠BAD=2∠CDE．10．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长度．【解答】解：如图所示，设AD=DC=x，BC=y，由题意得，或，解得或，当，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系；当时，等腰三角形的三边为14，14，5，所以，这个等腰三角形的底边长是5，综上所述，这个等腰三角形的底边长5．腰长是14．11．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A′B′C′与△ABC关于线1对称．（1）画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标：A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标：（a，2﹣b）；（3）若直线l′经过点（0，m），并且与x轴平行，根据上面研究的经验，写出点Q（c，d）关于直线1′的对称点Q′的坐标：（c，2m﹣d）．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；故答案为：A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；（2）由题可得，点P'的横坐标为a，设点P'的纵坐标为y，则=1，解得y=2﹣b，∴点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标为（a，2﹣b），故答案为：（a，2﹣b）；（3）由题可得，点Q′的横坐标为c，设点Q'的纵坐标为y，则=m，解得y=2m﹣d，∴点Q（c，d）关于直线1′的对称点Q′的坐标为（c，2m﹣d）．故答案为：（c，2m﹣d）．12．如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD=AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．【解答】证明：（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=70°，（2分）∵BD平分∠ABD，∴∠DBC=∠ABD=35°，（3分）∴∠DBC=∠ACB=35°，∴△BCD为等腰三角形；（4分）（2）证法一：如图2，在AC上截取AH=AB，连接EH，由（1）得：△BCD为等腰三角形，∴BD=CD，∴BD+AD=CD+AD=AC，（6分）∵AE平分∠BAC，∴∠EAB=∠EAH，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∠AHE=∠ABE=70°，（8分）∴∠HEC=∠AHE﹣∠ACB=35°，∴EH=HC，∴AB+BE=AH+HC=AC，∴BD+AD=AB+BE；（10分）证法二：如图3，在AB的延长线上取AF=AC，连接EF，由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD=CD，∴BD+AD=CD+AD=AC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAF=∠EAC，∴△AEF≌△AEC，∴∠F=∠C=35°，（8分）∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF，∴BD+AD=AB+BE；（10分）（3）正确结论：BD+AD=BE﹣AB，理由是：如图4，在BE上截取BF=AB，连接AF，∵∠ABC=70°，∴∠AFB=∠BAF=35°，∵∠BAC=75°，∴∠HAB=105°，∵AE平分∠HAB，∴∠EAB=∠HAB=52.5°，∴∠EAF=52.5°﹣35°=17.5°=∠AEF=17.5°，∴AF=EF，∵∠AFC=∠C=35°，∴AF=AC=EF，∴BE﹣AB=BE﹣BF=EF=AC=AD+CD=AD+BD．（12分）13．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，点D是BC边上一动点（与点B，C不重合），点E与点D 关于直线AC对称，连结AE，过点B作BF⊥ED的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）当AE=BD时，用等式表示线段DE与BF之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）依题意补全图形如图所示：（2）结论：DE=2BF．理由：连接AD，设DE交AC于H．∵点E、D关于AC对称，∴AC垂直平分DE．∴AE=AD．∵AE=BD，∴AD=DB．∴∠DAB=∠ABC=45°．∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠BDF=90°．∵BF⊥ED，AC⊥ED，∴∠F=∠AHD=90°．∴∠DBF+∠BDF=90°．∴∠DBF=∠ADH．∴△ADH≌△DBF∴DH=BF又∵DH=EH，∴DE=2BF．14．请按要求完成下面三道小题．（1）如图1，AB=AC．这两条线段一定关于某条直线对称吗？如果是，请画出对称轴a（尺规作图，保留作图痕迹）；如果不是，请说明理由．（2）如图2，已知线段AB和点C．求作线段CD（不要求尺规作图），使它与AB成轴对称，且A与C是对称点，标明对称轴b，并简述画图过程．（3）如图3，任意位置的两条线段AB，CD，AB=CD．你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，作∠ABC的平分线所在直线a．（答案不唯一）（2）如图2所示：①连接AC；②作线段AC的垂直平分线，即为对称轴b；③作点B关于直线b的对称点D；④连接CD即为所求．（3）如图3所示，连接BD；作线段BD的垂直平分线，即为对称轴c；作点C关于直线c的对称点E；连接BE；作∠ABE的角平分线所在直线d即为对称轴，故其中一条线段作2次的轴对称即可使它们重合．15．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，AC=AE，BC=DE，连接CE交BD于点F．求证：BF=DF小明经探究发现，过B点作∠CBG=∠EDF，交CF于点G（如图2），从而可证△DEF≌△BCG，使问题得到解决（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程：参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：（2）如图3，在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE，BC=DE，AB=BD，CF、EG分别为AB、BD的中线，连结FG并延长交CE于点H，是否存在与CH相等的线段？若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠AED=90°，∴∠DEF+∠AEC=∠ACE+∠BCG=90°，∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE，∴∠DEF=∠BCG，在△BCG与△DEF中，∴△BCG≌△DEF，（ASA），∴BG=DF，∠BGC=∠DFC，∴∠BGF=∠BFG，∴BF=BG，∴BF=DF；（2）解：CH=EH，理由：如图3，延长FH至L，使HL=FG，连接LE，则HL+HG=FG+HG，即LG=FH，∵∠ACB=∠AED=90°，CF、EG分别为AB、BD的中线，∴CF=EG，∵∠ABC=∠BDE，∠CBF=∠CFB，∠D=∠DGE，∴∠BFC=∠DGE，∵AB=BD，∴BF=BG，∴∠BFG=∠BGF，∵∠BGF=∠DGH，∴∠CFH=∠EGL，在△CFH与△EGL中，，∴△CFH≌△EGL，（SAS），∴CH=EL，∠ELH=∠CHF，∴∠ELH=∠EHL，∴EH=EL，∴EH=CH．。
2024-2025学年八年级上册期中押题重难点检测卷(范围：三角形、全等三角形、轴对称)(含解析)
期中押题重难点检测卷（培优卷）【考试范围：三角形、全等三角形、轴对称】注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。
答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（23-24七年级下·全国·单元测试）一块三角形玻璃板不慎被小强同学碰破，成了如图所示的四块，聪明的小强经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃板，你认为可行的方案是（ ）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带 ①②或②③去就可以了C ．带 ①④ 或③④去就可以了D ．带①④或①③去就可以了3．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若三角形的三边长分别是2，8，m ，则m 的取值可能是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．104．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知ABC DCB ∠=∠，下列判断中，错误的是（ ）A ．若添加条件AB DC =，则ABC DCB △≌△B ．若添加条件AC DB =，则ABC DCB △≌△C ．若添加条件AD ∠=∠，则ABC DCB △≌△D ．若添加条件ACB DBC ∠=∠，则ABC DCB △≌△5．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中30,45,90B E C ADE °°°∠=∠=∠=∠=，若20EDB ∠=°，则BAE ∠的度数为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°6．（23-24七年级下·江苏南京·期末）在ABC 中，90C ∠=°，若10BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且:3:2BD CD =，则点D 到线段AB 的距离DE 为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．67．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，三角形纸片中，12cm AB =，9cm AC =，16BC cm =．沿过点C 的直线折叠这个三角形，使点A 落BC 边上的点E 处，折痕为CD ，则DBE 的周长是（ ）A ．19cmB ．20cmC ．2lcmD ．22cm8．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在五边形ABCDE 中，146BAE =°∠，90B E ∠=∠=°，AB BC =，AE DE =．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN 的周长最小时，则AMN ANM ∠+∠的度数为（ ）A ．68°B ．76°C ．84°D ．96°9．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在ABC 中，已知AB AC =，90BAC ∠= ，10cm BC =，直线CM BC ⊥，动点D 从点C 开始沿射线CCBB 方向以每秒3cm 的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在直线CM 上以每秒2cm 的速度运动，连接AAAA ，AE ，设运动时间为t 秒．当ABD ACE ≌△△时，t 的值应为（ ）A ．2或5B ．5或12C ．2或10D ．5或1010．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB AC ，为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG （正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接CE BG ，和EG EG ，与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG CE =；②BG CE ⊥；③AM 是AEG △的中线；④EAM ABC ∠=∠．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11．（24-25八年级上·全国·单元测试）若从一个n 边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则n = ． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在ABC 中，已知ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点F ，过F 作DE BC ∥，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若3,2BD CE ==，则线段DE 的长为 ．13．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，90B C ∠=∠=°，DE ，AE 分别平分ADC ∠，BAD ∠，8BC =，10AD =，则ADE 的面积为 ．14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，21x −，1y +，若这两个三角形全等，则x y +的值是 ．15．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）淇淇用正方形、正五边形和正六边形纸片组成如图所示的图形（正五边形和正六边形有1个顶点重合，正方形的两个顶点分别在正五边形和正六边形的边上），若12110∠+∠=°，则3∠的度数为 ．16．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，AD 是ABC 的角平分线，CE AD ⊥，垂足为F ，若30CAB ∠=°，50B ∠=°，则BDE ∠的度数为 ．17．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知30MON ∠=°，点123A A A …，，，在射线ON 上，点123B B B …，，，在射线OM 上．112223334A B A A B A A B A … ，，，均为等边三角形，若14OA =，则667A B A 的边长为 ．18．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，平面直角坐标系中，()0,2A ，点B 是x 轴上的动点，ABC 是等边三角形，连接OC ，则OC 的最小值是 ．三、解答题（8小题，共66分）19．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）已知一个三角形的两条边长分别为4cm ，8cm ．设第三条边长为cm x ．(1)求x 的取值范围．(2)若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长．20．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，已知AB CE =，A C ∠=∠，DA 和DE 分别是BDE ∠和ADC ∠的平分线，点B 、C 、D 在同一直线上．(1)求证：ABD CED ≌△△；(2)若6AB =，7AD =，5DE =，求BC 的长．21．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=°，延长AC 到点F ，过点F 作FE AB ⊥于点E ，FE 与BC 交于点D ，若DE DC =．(1)求证： BD DF =；(2)若35AC cm AB cm ==，， 求CCCC 的长度．22．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）小强为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．如图，CD DB AB DB ⊥⊥，，测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角36DPC ∠=°，测楼顶A 视线PA 与地面夹角54APB ∠=°，且CD PB =．(1)证明：CPD PAB △≌△；(2)1036CD DB ==，，求大楼AB 的高．23．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在ABC 中，BD ，CD 分别是ABC ∠，ACB ∠的内角平分线，交于点D ，BP ，CP 分别是ABC ∠，ACB ∠的外角平分线，交于点P ．若50A ∠=°．(1)求BDC ∠；(2)如果A α∠=，直接用α表示出BPC ∠的度数．24．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点P ．(1)如图1，如果80A ∠=°，那么BPC ∠=______°；(2)如图1，请猜想A ∠与BPC ∠之间的数量关系，并说明理由；(3)如图2，作ABC 的外角MBC ∠，NCB ∠的平分线交于点Q ，试探究Q ∠与BPC ∠的数量关系．25．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】（1）如图1，在四边形ABCD 中，90AB AD B ADC ∠∠===°，，E ，F 分别是BC CD ，上的点，且EF BE FD =+，探究图中BAE FAD EAF ∠∠∠，，之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =．连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌,可得出结论,则他的结论应是________．【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD 中，180AB AD B D E F =∠+∠=°，，，分别是BC CD ，上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD 中，180ABC ADC AB AD ∠+∠=°=，，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，且仍然满足EF BE FD =+，请直接写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系．26．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在ABC 中，5AB =，3AC =．若点D 在BAC ∠的平分线所在的直线上．(1)如图1，当点D 在ABC 的外部时，过点D 作DE AB ⊥于E ，作DF AC ⊥交AC 的延长线于F ，且BE CF =． ①求证：点D 在BC 的垂直平分线上；②BE =________；(2)如图2，当点D 在线段BC 上时，若90C ∠=°，BE 平分ABC ∠，交AC 于点E ，交AD 与点F ，过点F 作FG BE ⊥，交BC 于点G ．①DFG ∠=________；②若4BC =，43EC =，求GC 的长度； (3)如图3，过点A 的直线l BC ∥，若90C ∠=°，4BC =，点D 到ABC 三边所在直线的距离相等，则点D 到直线l 的距离是________．期中押题重难点检测卷（培优卷）【考试范围：三角形、全等三角形、轴对称】注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。
(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试卷(包含答案解析)(3)
一、选择题1．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = 3．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA4．下列四个命题中，真命题是（ ）A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0B ．面积相等的三角形是全等三角形C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分AB D．AB⊥CF6．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④7．如图所示，已知∠A＝∠C，∠AFD＝∠CEB，那么给出的条件不能得到ADF CBE△≌△是（）A．∠B＝∠D B．EB=DF C．AD=BC D．AE=CF，如果添加一个条件还不能判定8．如图，AC与DB相交于E，且BE CE△≌DCE，则添加的这个条件是（）．ABEA ．AC DB =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = 9．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，AB =4，则AC 长是（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．410．如图，点C ，D 在线段AB 上，AC DB =，AE //BF ，添加以下哪一个条件仍不能判定△AED ≌△BFC （ ）A ．ED CF =B ．AE BF =C ．E F ∠=∠D ．ED //CF11．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ）A ．3AB =，4BC =，7CA =B ．4AC =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒ 12．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b二、填空题13．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若3cm AE =，4cm BE =，则四边形ABCD 的面积是________．14．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．15．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB ＝10cm ，则DEB 的周长是_____cm ．16．如图，AB ＝8cm ，AC ＝5cm ，∠A ＝∠B ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向B 运动，同时，点Q 以x cm/s 的速度从点B 出发在射线BD 上运动，则△ACP 与△BPQ 全等时，x 的值为_____________17．如图，△ABC 的外角∠MBC 和∠NCB 的平分线BP 、CP 相交于点P ，PE ⊥BC 于E 且PE ＝3cm ，若△ABC 的周长为14cm ，S △BPC ＝7.5，则△ABC 的面积为______cm 2．18．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．19．如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，垂足分别为B 、C ，垂足为B 、C ，AC 与BD 相交于点E ，AC=BD 且∠A=50°，则∠BEA=___________．20．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．三、解答题21．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．22．如图，已知∠AOC 是直角，∠BOC =46°，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． （1）试求∠DOE 的度数；（2）当∠BOC =α（0°≤α≤90°），请问∠DOE 的大小是否变化？并说明理由．23．如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，AC ＝CE ，∠ACD ＝∠B ．求证：△ABC ≌△CDE ．24．如图，AB CB ⊥，DC CB ⊥，点E 、F 在BC 上，BE CF =，再添加一个什么条件后可推出AF DE =，写出添加的条件并完成证明．25．已知：直线EF 分别与直线AB ，CD 相交于点G ，H ，并且180AGE DHE ∠+∠=︒（1）如图1，求证：//AB CD ；（2）如图2，点M 在直线AB ，CD 之间，连接GM ，HM ，求证：M AGM CHM ∠=∠+∠；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH 是BGM ∠的平分线，在MH 的延长线上取点N ，连接GN ，若N AGM ∠=∠，12M N FGN ∠=∠+∠，求MHG ∠的度数． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．【详解】解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，'''MF F E ∴=，'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102CM ⨯⋅=，21054CM ⨯∴==． 即CF EF +的最小值为5，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．2．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、添加BD ＝CE ，可以利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；B 、添加AD ＝AE ，根据等边对等角可得∠ADE ＝∠AED ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；C 、添加BE ＝CD 可以利用“边角边”证明△ABE 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD ，可得∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；D 、添加DA ＝DE 无法求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．C解析：C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.4．C解析：C【分析】根据有理数的乘法、全等三角形的概念、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．【详解】解：A 、如果 ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；B 、面积相等的三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；C 、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；D 、不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．C解析：C【分析】证明EF ∥BC 即可得到A 正确，证明()Rt ACB Rt FEC HL ≅，得AC ＝EF ＝12cm ，CE ＝BC ＝5cm ，得到B 正确，根据∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°即可证明D 正确．【详解】解：∵EF ⊥AC ，∠ACB ＝90°，∴∠AEF ＝∠ACB ＝90°，∴EF ∥BC ，∴∠F ＝∠BCF ，故A 正确；在Rt ACB 和Rt FEC 中，CB EC AB FC =⎧⎨=⎩， ∴()Rt ACB Rt FEC HL ≅，∴AC ＝EF ＝12cm ，∵CE ＝BC ＝5cm ，∴AE ＝AC ﹣CE ＝7cm ．故B 正确；如图，记AB 与EF 交于点G ，如果AE ＝CE ，∵EF ∥BC ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴EF 平分AB ，而AE 与CE 不一定相等，∴不能证明EF 平分AB ，故C 错误；∵Rt ACB Rt FEC ≅，∴∠A ＝∠F ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°，∴∠ADC ＝90°，∴AB ⊥CF ，故D 正确．∴结论不正确的是C ．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． 6．D解析：D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 是等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，故③正确；作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在△BEG 和△BEF 中BE BE EF EG =⎧⎨=⎩∴ △BEG ≌△BEF ，∴BG=BF ，在△CEG 和△AFE 中EF EG AE CE =⎧⎨=⎩∴△CEG ≌△AFE ，∴ AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；7．A解析：A【分析】直接利用全等三角形的判定方法进行判断即可；三角形全等的证明方法有：SSS、SAS、AAS、ASA；【详解】A∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，∠B=∠D，三个角相等，不能判定三角形全等，该选项不符合题意；B∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，EB=DF，符合AAS的判定，该选项符合题意；C∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，AD=BC，符合AAS的判定，该选项符合题意；D∵∠A=∠C，∠AFD=∠CEB，AE=CF，∴AF=CE，符合ASA的判定，该选项符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确掌握判定方法是解题的关键；8．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE，∠AEB=∠DEC，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE（由AC=BD也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C，∴选项A、B、C可以判定，选项D不能判定，故选：D．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．9．B解析：B【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得1 2×2×AC+12×2×4=7，于是可求出AC的值．【详解】解：作DH⊥AC于H，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DE=2，∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，∴12×2×AC+12×2×4=7，∴AC=3．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．10．A解析：A【分析】欲使△AED≌△BFC，已知AC=DB，AE∥BF，可证明全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可；【详解】∵ AC=BD，∴ AD=CE，∵ AE∥BF，∴∠A=∠E，A、如添加ED=CF，不能证明△AED≌△BFC，故该选项符合题意；B、如添加AE=BF，根据SAS，能证明△AED≌△BFC，故该选项不符合题意；C、如添加∠E=∠F，利用AAS即可证明△AED≌△BFC，故该选项不符合题意；D、如添加ED∥CF，得出∠EDC=∠FCE，利用ASA即可证明△AED≌△BFC，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理；11．D解析：D【分析】利用构成三角形的条件，以及全等三角形的判定得解.【详解】+=，不满足三边关系，不能画出三角形，故选项错误；解：A，AB BC CAB，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；C，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；D，可以利用直角三角形全等判定定理HL证明三角形全等，故选项正确.故选:D【点睛】本题考查三角形全等的判定以及构成三角形的条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.12．B解析：B【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形ABDC的周长．【详解】解：在线段AC上作AF=AB，∵AE是BAC∠的平分线，∴∠CAE=∠BAE，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，∵AB∥CD，∴∠D+∠B=180°，∵∠AFE+∠CFE=180°，∴∠D=∠CFE，∵AE CE ⊥，∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED ，在△CEF 和△CED 中∵D CFE CEF CED CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△CEF ≌△CED （AAS ）∴CE=CF ，∴四边形ABDC 的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a b +，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．二、填空题13．【分析】如图延长AEBC 交于点M 通过条件证明再证明可知即可求解出结果【详解】解：如图延长AEBC 交于点MAE 平分又BE 平分BE=BE 故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的综合问题需要熟练掌握全等三角解析：212cm【分析】如图，延长AE ，BC 交于点M ，通过条件证明()ABE MBE AAS ≅，再证明()ADE MCE ASA ≅，可知ADE MCE SS =，=2ABE ABCD S S 四边形即可求解出结果．【详解】 解：如图，延长AE ，BC 交于点M ，AE 平分DAB ∠，BAE DAE ∴∠=∠，//AD BC ，//AD BM ∴，BAE DAE CME ∴∠=∠=∠，又 BE 平分CBA ∠，ABE MBE ∴∠=∠，BAE CME ABE MBE ∠=∠∠=∠，，BE=BE ，()ABE MBE AAS ∴≅，90BEA BEM AE ME ∴∠=∠=︒=，，DAE CME AE ME ∠=∠=，，AED MEC ∠=∠，()ADE MCE ASA ∴≅，ADE MCE S S ∴=，3cm AE =，4cm BE =，21==2234122ABM ABE ABCD S S S cm ∴=⨯⨯⨯=四边形， 故答案为：212cm ．【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能根据条件和图像做出合适的辅助线是解决本题的关键．14．100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得然后根据周角等于求出再根据三角形的内角和定理求出从而得解【详解】解：（对顶角相等）故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质三角形的内角和定理 解析：100°【分析】根据全等三角形对应角相等可得1BAE ∠=∠，ACB E ∠=∠，然后根据周角等于360︒求出2∠，再根据三角形的内角和定理求出2α∠=∠，从而得解．【详解】解：ABE ADC ABC ∆≅∆≅∆，1130BAE ∴∠=∠=︒，ACB E ∠=∠，23601360130130100BAE ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，180DFE E α∴∠=︒-∠-∠，1802AFC ACD ∠=︒-∠-∠，DFE AFC ∠=∠（对顶角相等），1801802E ACD α∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，2100α∴∠=∠=︒．故答案为：100︒．【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的性质，准确识图，找出对应角是解题的关键．15．10【分析】由已知利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得到DE ＝CDAC＝AE加上BC＝AC三角形的周长为BE+BD+DE＝BE+CB＝AE+BE于是周长可得【详解】解：∵AD平分∠BAC交B解析：10【分析】由已知利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得到DE＝CD，AC＝AE，加上BC＝AC，三角形的周长为BE+BD+DE＝BE+CB＝AE+BE，于是周长可得．【详解】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵AD=AD，∴ACD AED，∴AC=AE，又∵AC＝BC，∴△DEB的周长＝DB+DE+BE＝AC+BE＝AB＝10．故填：10．【点睛】本题主要考查角平分线的性质以及全等三角形的证明，解题的关键是理解并掌握角平分线的性质以及全等三角形的证明方法.16．2或【分析】由∠A＝∠B可知△ACP与△BPQ全等时CP和PQ是对应边则分AP＝BQ和AP＝PB两种情况进行讨论即可【详解】设动点的运动时间为t秒则AP＝2tBP＝AB－AP＝8－2tBQ＝xt∵∠解析：2或5 2【分析】由∠A＝∠B，可知△ACP与△BPQ全等时，CP和PQ是对应边，则分AP＝BQ和AP＝PB两种情况进行讨论即可．【详解】设动点的运动时间为t秒，则AP＝2t，BP＝AB－AP＝8－2t，BQ＝xt，∵∠A＝∠B，∴CP和PQ是对应边，当△ACP与△BPQ全等时，①AP＝BQ，即：2t＝ xt，解得：x＝2，②AP＝PB，即：2t＝8－2t，解得：t＝2，此时，BQ＝AC，xt＝5，即：2x＝5，解得：x＝5 2故填：2或52．【点睛】本题考查全等三角形的性质，“分类讨论”的数学思想是关键．17．6【分析】过点P作PH⊥AMPQ⊥AN连接AP根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ再根据三角形的面积求出BC然后求出AC+AB再根据S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC解析：6【分析】过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.【详解】解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=12×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC=12×AC×PQ+12×AB×PH-7.5=12×3（AC+AB）-7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S △ABC=12×3×9-7.5=6 cm 2 【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S △ABC 的面积的表示．18．【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=4然后由S △ABC=S △ABD+S △ACD 及三角形的面积公式得出结果【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线DE ⊥ABDF ⊥AC ∴DF=DE=4又∵S △ABC解析：【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=4，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE=4．又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，AB=8， ∴12×8×4+ 12×AC×4=28， ∴AC=6．故答案是：6．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的长是一种很好的方法，要注意掌握应用．19．80°【分析】先证明△ABC ≌△DCB 得∠DBC=∠ACB 进一步得∠ACB=40°根据三角形外角的性质可求出∠BEA 【详解】解：∵AB ⊥BCDC ⊥BC ∴∠ABC=∠DCB=90°在Rt △ABC 和Rt解析：80°【分析】先证明△ABC ≌△DCB 得∠DBC=∠ACB ，进一步得∠ACB=40°，根据三角形外角的性质可求出∠BEA ．【详解】解：∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴∠ABC=∠DCB=90°，在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，AC BD BC CB⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ）；∴∠DBC=∠ACB ，∵∠A=50°，∴∠ACB=∠DCB=40°∵∠AEB=∠DBC+∠ABC∴∠AEB=40°+40°=80°，故答案为：80°．【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定以及三角形外角的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解答此题的关键．20．或【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确解析：1或7 2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：PEC∆与QFC∆全等，PC QC，683∴-=-t t，解得:1t=；如图2所示：点P与点Q重合，PEC与QFC∆全等，638∴-=-t t，解得:72t =； 故答案为:1或72． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题21．见解析【分析】根据ASA 定理证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质求解．【详解】证明：∵DE=BF ，∴DE+EF=BF+EF ；∴DF=BE ；∵AF BD ⊥，CE BD ⊥∴∠AFD=∠CEB=90°∵//AD CB∴∠B=∠D在Rt △ADF 和Rt △BCE 中B D DF BE AFD CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △ADF ≌Rt △BCE∴AF CE =【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等式的性质得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．22．（1）45︒；（2）不会变化，理由见解析．【分析】（1）根据题意可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，12BOD AOB ∠=∠，12BOE BOC ∠=∠．即可推出12DOE AOC ∠=∠，即可求出DOE ∠． （2））根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关，所以DOE ∠的大小不会变化．【详解】（1）由图可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ．∴12BOD AOB ∠=∠，12BOE BOC ∠=∠． ∴1111()2222DOE AOB BOC AOB BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵∠AOC 是直角，∴90AOC ∠=︒， ∴1452DOE AOC ∠=∠=︒． （2）根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关， ∴DOE ∠的大小不会变化且大小为12AOC ∠． 【点睛】本题考查角的计算，角平分线的性质．利用角平分线的性质找出图形中角的关系是解答本题的关键．23．见解析．【分析】首先根据AC ∥DE ，利用平行线的性质可得：∠ACB=∠E ，∠ACD=∠D ，再根据∠ACD=∠B 证出∠D=∠B ，再由∠ACB=∠E ，AC=CE 可根据三角形全等的判定定理AAS 证出△ABC ≌△CDE ．【详解】证明：∵AC ∥DE ，∴ACD D ∠=∠，BCA E ∠=∠．又∵ACD B ∠=∠，∴B D ∠=∠，又∵AC CE =，∴()ABC CDE AAS ≌．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定两个三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．24．添加AB=CD ；证明见解析．【分析】根据线段的和差关系可得BF=CE ，故添加AB=CD 即可利用SAS 证明△ABF ≌△DCE ，根据全等三角形的性质即可得出AF=DE ．【详解】可添加AB=CD ，理由如下：∵BE=CF ，∴BE+EF=CF+EF ，即BF=CE ，∵AB CB ⊥，DC CB ⊥，∴∠B=∠C=90°，在△ABF 和△DCE 中，AB CD B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DCE ，∴AF=DE ．【点睛】本题考查全等三角形的判断与性质，全等三角形的判定方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 等；注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，当利用SAS 判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当判定方法是解题关键．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）60°【分析】（1）推出同旁内角互补即可（2）如图，过点M 作//MR AB ，利用平行线性质推出////AB CD MR ．得GMR AGM ∠=∠，HMR CHM ∠=∠．利用角的和M GMR HMR ∠=∠+∠代换即可．（3）如图，令2AGM α∠=，CHM β∠=，由N AGM ∠=∠推得2N α∠=，2M αβ∠=+，由射线GH 是BGM ∠的平分线，推得1902FGM BGM α∠=∠=︒-， 则90AGH AGM FGM α∠=∠+∠=︒+，由12M N FGN ∠=∠+∠，求出2FGN β∠=，过点N 作//HT GN ，由平行线的性质22GHM MHT GHT αβ∠=∠+∠=+，求出∠CHG 23αβ=+，利用//AB CD 的性质180AGH CHG ∠+∠=︒，即9023180ααβ︒+++=︒，求出30αβ+=︒，再求()260MHG αβ∠=+=︒即可．【详解】（1）证明：如图，∵180AGE DHE ∠+∠=︒，AGE BGF ∠=∠．∴180BGF DHE ∠+∠=︒，∴//AB CD ．（2）证明：如图，过点M 作//MR AB ，又∵//AB CD ，∴////AB CD MR ．∴GMR AGM ∠=∠，HMR CHM ∠=∠．∴M GMR HMR AGM CHM ∠=∠+∠=∠+∠；（3）解：如图，令2AGM α∠=，CHM β∠=，∵N AGM ∠=∠则2N α∠=，2M αβ∠=+，∵射线GH 是BGM ∠的平分线， ∴()111809022FGM BGM AGM α∠=∠=︒-∠=︒-， ∴29090AGH AGM FGM ααα∠=∠+∠=+︒-=︒+， ∵12M N FGN ∠=∠+∠， ∴1222FGN αβα+=+∠， ∴2FGN β∠=，过点N 作//HT GN ，则2MHT N α∠=∠=，2GHT FGN β∠=∠=，∴22GHM MHT GHT αβ∠=∠+∠=+，∴CHG CHM MHT GHT ∠=∠+∠+∠2223βαβαβ=++=+，∵//AB CD ，∴180AGH CHG ∠+∠=︒，∴9023180ααβ︒+++=︒，∴30αβ+=︒，∴()260MHG αβ∠=+=︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质， 角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造内错角，和同位角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算是解题关键．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论； （3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．【详解】（1）证明：∵()2320a b a b +-+-=，∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴()1,3A ，()2,0B ．作AE OB ⊥于点E ，∵()1,3A ，()2,0B ，∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴AEO AEB ∆∆≌，∴OA AB =．（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．在AOC ∆与ABD ∆中，∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC ABD ∆∆≌．（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=． ∵OA AB =，∴AOB ABO α∠=∠=．由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，∴ABD AOB α∠=∠=．∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，∴OP 长度不变，∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．。
几何-全等三角形及轴对称(含答案)
初二数学上学期期末考试复习建议(几何部分)一. 考试范围第十一章 三角形 第十二章 全等三角形 第十三章 轴对称 二. 复习目的1. 通过复习使学生对已学过的数学知识系统化, 条理化. 更有利于学生掌握基础知识和基本方法, 为进一步学习数学打下良好的基础.2. 逐步培养学生识图能力, 逻辑思维和推理论证的能力, 作图能力, 分析问题和解决问题的能力, 提高学生的数学素质.3. 使学生初步会运用数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想方法.三. 总体复习建议1. 重视基础: 对每一章的知识点进行总结, 使学生掌握所有重要的定义、公式、性质和判定; 掌握每章必须掌握的基本方法(包括解题规范) , 且“每一步推理都要有根据”; 关注教材中数学应用(包括尺规作图) 的实例及其数学原理.2. 优选例题习题, 使学生熟悉一些基本题型, 掌握常用辅助线的添加. 证明书写格式要规范, 思路清楚.3. 适当的综合题的训练.4. 关注新旧教材的对比与变化.5. 充分利用区里的教育资源.第十二章 全等三角形 第十三章 轴对称 一、通过框架图进行知识梳理轴对称等腰三角形 等边三角形画轴对称图形画轴对称图形的对称轴 关于坐标轴对称的点的坐标的关系 生活中的轴对称二、基本尺规作图: 作法及原理作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知角的平分线;作已知线段的垂直平分线(作已知线段的中点) ;三、适当总结证明方法:(1) 证明线段相等的方法①利用线段中点. ②利用数量相等.③证明两条线段所在的两个三角形全等④利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等⑤等腰三角形顶角平分线、底边上的高线平分底边⑥线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等(2) 证明角相等的方法:①利用数量相等. ②利用平行线的性质进行证明.③利用角平分线证明. ④证明两个角所在的两个三角形全等⑤同角(或等角) 的余角(或补角) 相等⑥等腰三角形底边上的高线或底边中线平分顶角⑦等式性质⑧等边对等角(3) 证明两条线段的位置关系(平行、垂直) 的方法.(4) 常添加的辅助线:截长补短倍长中线角分线双垂直角分线翻折平行线+角分线: 等腰三角形角分线+垂直: 补全等腰三角形四、从图形变换的角度来复习全等同时复习几何的平移、轴对称两种变换, 归纳定义及性质, 渗透旋转变换的思想全等三角形的常见图形平移型:A'AB C C'B'轴对称型:旋转型:补充习题(一) 全等的性质和判定1. 如图, 正方形ABCD 的边长为4, 将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处, 该三角板的两条直角边与CD 交于点F , 与CB 延长线交于点E . 四边形AECF 的面积是( ) . A A. 16 B. 12 C. 8 D. 42. 已知: 如图, AC 、BD 相交于点O , ∠A = ∠D , 请你再补充一个条件, 使△AOB ≌△DOC , 你补充的条件是____________.CA A' BABCB'C' ABCC' B'AB CC' B'B (C' )C (B' ) AA'ABB'C'CABB'C' C A'AA'B (C' )C (B' )A A'BB' C C' AA'B' BCC' ABB'C'C A'ABCDO3. 在△ABC 与△A'B'C' 中, 已知∠A = ∠A', CD 和C'D' 分别为∠ACB 和∠A'C'B' 的平分线, 再从以下三个条件: ①∠B = ∠B', ②AC = A'C', ③CD = C'D' 中任取两个为题设, 另一个为结论, 则可以构成 ( ) 个正确的命题.A . 1B . 2C . 3D . 4 4. 根据下列已知条件, 不能唯一确定．．．．．．△ABC 的大小和形状的是( ) . B A. AB ＝3, BC ＝4, AC ＝5 B. AB ＝4, BC ＝3, ∠A ＝30º C. ∠A ＝60º, ∠B ＝45º, AB ＝4D. ∠C ＝90º, AB ＝6, AC = 55. 如图, 已知△ABC , 则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的是( ) . Dbaca cc aa丙72︒50︒乙50︒甲50︒CBA50︒72︒58︒A. 只有乙B. 只有丙C. 甲和乙D. 乙和丙6. 已知: 如图, CB = DE , ∠B = ∠E , ∠BAE = ∠CAD . 求证: ∠ACD = ∠ADC .7. 如图, 锐角△ABC 中, D , E 分别是AB , AC 边上的点, △ADC ≌△ADC ′, △AEB ≌△AE B′, 且C ′D ∥EB ′∥BC , 记BE , CD 交于点F , 若BAC x ∠=︒, 则∠BFC 的大小是__________°. (用含x 的式子表示) (1802x -)E ABCDF E DB'C'ABC第6题图第7题图(二) 轴对称图形和垂直平分线1. 在下列各图中, 对称轴最多的图形有________条对称轴.2. (1) 点P (3, − 5) 关于x 轴的对称点坐标为( ) D A. (−3, −5) B. (5, 3) C. (−3, 5) D. (3, 5)(2) 如图, 数轴上A B ，两点表示的数分别为1-和3, 点B 关于点A 的对称点为C , 则点C 所表示的数为( ) A A. 23-- B. 13--C. 23-+D. 13+(3) 如图, 在正方形网格纸上有三个点A , B , C , 现要在图中网格范围内再找格点D , 使得A , B , C , D 四点组成的凸四边形是轴对称图形, 在图中标出所有满足条件的点D 的位置. (两个解)3. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB = 90°, ∠A = 15°, AB 的垂直平分线与 AC 交于点D , 与AB 交于点E , 连结BD . 若AD ＝12cm, 则BC 的长为 cm.4. 如图, 已知△ABC 中, ∠BAC = 120°, 分别作AC , AB 边的垂直平分线PM , PN 交于点P , 分别交BC 于点E 和点F . 则以下各说法中: ①∠P = 60°, ②∠EAF = 60°, ③点P 到点B 和点C 的距离相等, ④PE = PF , 正确的说法是______________. (填序号) ①②③FEPMN CAB第3题图第4题图5. 已知∠AOB ＝45°, 点P 在∠AOB 的内部, P 1与P 关于OB 对称, P 2与P 关于OA 对称, 则P 1、P 2与O 三点构成的三角形是( ) D A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形(三) 等腰三角形的性质和判定1. 等腰直角三角形的底边长为5, 则它的面积是( ). D A. 50B. 25C. 12.5D. 6.252. 已知: 如图3, △ABC 中, 给出下列四个命题: ① 若AB ＝AC , AD ⊥BC , 则∠1＝∠2; ②若AB ＝AC , ∠1＝∠2, 则BD ＝DC ; ③若AB ＝AC , BD ＝DC , 则AD ⊥BC ;④若AB ＝AC , AD ⊥BC , BE ⊥AC , 则∠1＝∠3; 其中, 真命题的个数是( ). D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个A O B3. 如图, 在△ABC 中, D 是BC 边上一点, 且AB = AD = DC , ∠BAD = 40°, 则∠C 为( ) . B A. 25° B. 35°C. 40°D. 50°4. 如图, 在△ABC 中, AB = AC , ∠BAC = 30°. 点D 为△ABC 内一点, 且DB = DC , ∠DCB = 30°. 点E 为BD 延长线上一点, 且AE = AB .(1) 求∠ADE 的度数;(2) 若点M 在DE 上, 且DM = DA , 求证: ME = DC .5. 已知: 如图, △ABC 中, 点,D E 分别在,AB AC 边上, F 是CD 中点, 连BF 交AC 于点E , 180ABE CEB ∠+∠=︒, 比较线段BD 与CE 的大小, 并证明你的结论.(提示, 注意AE = AB ; 过D 作AC 的平行线交BE 于点G )(四) 等边三角形(30° 角直角三角形)1. 下列条件中, 不能．．得到等边三角形的是( ) . B A. 有两个内角是60°的三角形 B. 有两边相等且是轴对称图形的三角形 C. 三边都相等的三角形D. 有一个角是60°且是轴对称图形的三角形2. 如图, △ABC 中, AB ＝AC , ∠BAC ＝120°, DE 垂直平分AC . 根据以上条件, 可知∠B ＝______, ∠BAD ＝_______, BD : DC ＝_______. (30, 90, 2: 1)3. 如图, 在纸片△ABC 中, AC = 6, ∠A = 30º, ∠C = 90º, 将∠A 沿DE 折叠, 使点A 与点B 重合, 则折痕DE 的长为_____. (2)4. 如图所示△ABC 中, AB = AC , AG 平分∠BAC ; ∠FBC = ∠BFG = 60︒, 若FG = 3, FB = 7, 求BC 的长. (答案10. 提示: 延长AG 、FG 与BC 相交)ABCDABCDEADMC(五) 最值问题1. 如图, P 、Q 为ABC 边上的两个定点. 在BC 边上求作一点M , 使PM +MQ 最短2. 已知: 如图, 牧马营地在M 处, 每天牧马人要赶着马群到草地吃草, 再到河边饮水, 最后回到营地M . 请在图上画出最短的放牧路线..M河草地第1题图第2题图3. 如图, 四边形EFGH 是一长方形的台球桌面, 现在黑、白两球分别位于A 、B 两点的位置上. 试问怎样撞击黑球A , 才能使黑球A 先碰到球台边EF , 反弹一次后再击中白球B ?4. 如图, MN 是正方形ABCD 的一条对称轴, 点P 是直线MN 上的一个动点, 当PC +PD 最小时, ∠PCD = _________°. (45)DAMNBCP5. 已知两点M (4, 2) , N (1, 1) , 点P 是x 轴上一动点, 若使PM +PN 最短, 则点P 的坐标应为___________. (2, 0)6. 平面直角坐标系xOy 中, 已知点A (0, 4) , 直线x = 3, 一个动点P 自OA 的中点M 出发, 先到达x 轴上的某点(设为点E ) , 再到达直线x = 6上某点(设为点F ) 最后运动到点A , 求使点P 运动的路径中最短的点E 、F 的坐标. E (4, 0) , F (6, 1)几何专题复习 (一) 分类讨论1. ① 等腰三角形的一个角是110︒, 求其另两角? ② 等腰三角形的一个角是80︒, 求其另两角?③ 等腰三角形两内角之比为2: 1, 求其三个内角的大小? 2. ① 等腰三角形的两边长为5cm 、6cm, 求其周长? ② 等腰三角形的两边长为10cm 、21cm, 求其周长?3. ① 等腰三角形一腰上的中线将周长分为12cm 和21cm 两部分, 求其底边长? ② 等腰三角形一腰上的中线将周长分为24cm 和27cm 两部分, 求其底边长?4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°, 则其顶角为_______.(按高的位置分类)5. 等腰三角形一边上的高等于底边的一半, 则其顶角为___________.6. 等腰三角形一腰上的高等于腰的一半, 则其顶角为___________.7. 等腰三角形一边上的高等于这边的一半, 则其顶角为___________.8. △ABC 中, AB = AC, AB 的中垂线EF 与AC 所在直线相交所成锐角为40︒, 则∠B = _____. (按一腰中垂线与另一腰的交点所在位置分类)9. 已知: ()()ABC x C B A ∆-轴上一点且为、,4,00,2为等腰三角形 , 问满足条件的C 点有几个? 4个10. 在正方形ABCD 所在平面上找一点P, 使△PAD 、△PAB 、△PBC 、△PCD 均为等腰三角形, 这样的P 点有几个? 9个11. 平面内有一点D 到△ABC 三个顶点的距离DA = DB = DC , 若∠DAB = 30°, ∠DAC = 40°, 则∠BDC 的大小是_________°. (20或140)(二) 几何作图1. 如图, 某地区要在区域S 内建一个超市M , 按照要求, 超市M 到两个新建的居民小区A , B 的距离相等, 到两条公路OC , OD 的距离也相等. 这个超市应该建在何处? (本题要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)SD2. 尺规作图作AOB 的平分线方法如下: 以O 为圆心, 任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D , 再分别以点C 、D 为圆心, 以大于12CD 长为半径画弧, 两弧交于点P , 则作射线OP 即为所求. 由作法得OCP ODP △≌△的根据是( ) . DA. SASB. ASAC. AASD. SSS3. 如图, 用圆规以直角顶点O 为圆心, 以适当半径画一条弧 交两直角边于A 、B 两点, 若再以A 为圆心, 以OA 为半径画弧, 与弧AB 交于点C , 则∠AOC 等于 __________ °4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现, 只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线. 如图: 一把直尺压住射线OB , 另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P , 小明说: “射线OP 就是∠BOA 的角平分线. ”你认为小明的想法正确吗? 请说明理由.5. 阅读下列材料:木工张师傅在加工制作家具的时候, 用下面的方法在木板上画直角:如图1, 他首先在需要加工的位置画一条线段AB , 接着分别以点A 、点B 为圆心, 以大于12AB 的适当长为半径画弧, 两弧相交于点C , 再以C 为圆心, 以同样长为半径画弧交AC 的延长线于点D (点D 需落在木板上) , 连接DB . 则∠ABD 就是直角. 木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法.图2EF ACBD 图1OAB解决下列问题:(1) 利用图1就∠ABD是直角作出合理解释(要求: 先写出已知、求证, 再进行证明);(2) 图2表示的一块残缺的圆形木板, 请你用“三弧法”, 在木板上．．．画出一个以EF为一条直角边的直角三角形EFG(要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹) .(三) 操作问题第1题图①图②第2题图1. 如图①, 一张四边形纸片ABCD, ∠A＝50︒, ∠C＝150︒. 若将其按照图②所示方式折叠后, 恰好MD'∥AB, ND'∥BC, 则∠D的度数为( ). CA. 70°B. 75°C. 80°D. 85°2. 如图所示, 把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后, 3个顶点不重合, 那么图中∠1+ ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值为( ) CA. 180°B. 270°C. 360°D. 无法确定3. 将一个菱形纸片依次按下图①、②的方式对折, 然后沿图③中的虚线裁剪, 成图④样式. 将纸展开铺平. 所得到的图形是图中的( ) A4. 如图, 等边△ABC的边长为1cm, D、E分别是AB、AC上的点, 将△ADE沿直线DE折叠, 点A落在点A´处, 且点在△ABC外部, 则阴影部分图形的周长为____________cm. (3)5. 如图, 将一张三角形纸片ABC 折叠, 使点A 落在BC 边上, 折痕EF ∥BC , 得到△EFG ; 再继续将纸片沿△BEG 的对称轴EM 折叠, 依照上述做法, 再将△CFG 折叠, 最终得到矩形EMNF , 折叠后的△EMG 和△FNG 的面积分别为1和2, 则△ABC 的面积为( ) A . 6B . 9C . 12D . 186. 将如图1所示的长方形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠, 使点B 落在AD 边上, 折痕为AE (如图2) ; 再继续将纸片沿过点E 的直线折叠, 使点A 落在EC 边上, 折痕为EF (如图3) , 则在图3中, ∠F AE = _______°, ∠AFE = _______°. (45, 67.5)图1 图2 图37.(1) 已知ABC △中, 90A ∠=, 67.5B ∠=, 请画一条直线, 把这个三角形分割成两个等腰三角形. (请你选用下面给出的备用图, 把所有不同的分割方法都画出来. 只需画图, 不必说明理由, 但要在图中标出相等两角的度数)(2) 已知ABC △中, C ∠是其最小的内角, 过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形, 请探求ABC ∠与C ∠之间的所有可能的关系.8. 当身边没有量角器时, 怎样得到一些特定度数的角呢? 动手操作有时可以解“燃眉之急”. 如图, 已知矩形ABCD , 我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角: (1) 以点A 所在直线为折痕, 折叠纸片, 使点B 落在AD 上, 折痕与BC 交于E ; (2) 将纸片展平后, 再一次折叠纸片, 以E 所在直线为折痕, 使点A 落在BC 上, 折痕EF 交AD 于F . 则∠AFE = _______°. (67.5)A BC 备用图①A BC 备用图②ABC备用图③AC B GFEACBAM GFECB NM G FEACB A BCD ED CB AFD CEA9. 如图(1)所示Rt △ABC 中, ∠A = 90°, 三边a b c >>. 现以△ABC 某一边的垂直平分线为对称轴, 作△ABC 的轴对称图形, 记作一次操作. 例如, 若图(1)中△ABC 以a 边的垂直平分线为对称轴, 作轴对称图形得到图(2)中的△ABC , 记作“a 操作”一次; 图(2)中△ABC 继续以b 边的垂直平分线为对称轴, 作轴对称图形得到图(3)中的△ABC , 记作“b 操作”一次. 现对图(1)中的△ABC 分别按以下顺序连续进行若干次操作, 则最后得到的△ABC 与图(1)中△ABC 重合的是( ) . BA. a 操作 − b 操作 − c 操作B. b 操作 − c 操作 − b 操作 − c 操作C. a 操作 − c 操作 − b 操作 − a 操作D. b 操作 − a 操作 − b 操作 − a 操作c ba a(1)ABC (2) a 操作 (3) b 操作BCAA BCACB四、探究性问题1. 已知: 如图, Rt △ABC 中, AB = AC , ∠BAC = 90°, 直线AE 是经过点A 的任一直线, BD ⊥AE 于D , CE ⊥AE 于E , BD > CE . (1) AD 与CE 的大小关系如何? 请说明理由. (2) 求证: DE ＝BD －CE .2. 已知: 如图, B 、A 、C 三点共线, 并且Rt △ABD ≌Rt △ECA , M 是DE 的中点. 问题:(1) 判断△ADE 的形状并证明;(2) 判断线段AM 与线段DE 的关系并证明; (3) 判断△MBC 的形状并证明.MCDAEB3.已知: 在△ABC 中, ∠CAB = 2α, 且030α<<, AP 平分∠CAB .(1) 如图1, 若21α=, ∠ABC = 32°, 且AP 交BC 于点P , 试探究线段AB , AC 与PB 之间的数量关系, 并对你的结论加以证明;(2) 如图2, 若∠ABC = 60α-, 点P 在△ABC 的内部, 且使∠CBP = 30°, 求∠APC 的度数(用含α的代数式表示) .五、关于旋转的问题、动点问题1. 已知: 如图, △AOB 和△COD 都是等边三角形, 作直线AC 、直线BD 交于E . 求证: (1) AC ＝BD ; (2) ∠AEB ＝60°.2. 已知: 如图, 等边三角形ABC 中, AB = 2, 点P 是AB 边上的一动点(点P 可以与点A 重合, 但不与点B 重合) , 过点P 作PE ⊥BC , 垂足为E , 过点E 作EF ⊥AC , 垂足为F , 过点F 作FQ ⊥AB , 垂足为Q . 设BP = x , AQ = y . (1) 请用x 的代数式表示y (直接写出) ; (2) 当BP 的长等于多少时, 点P 与点Q 重合; (128x y =+; 43) 3. 已知: 如图, △ABC 中, ∠A ＝90°, AB ＝AC . D 是斜边BC 的中点; E 、F 分别在线段AB 、AC 上, 且∠EDF ＝90°.(1) 求证: △DEF 为等腰直角三角形.(2) 如果E 点运动到AB 的反向．．延长线．．．上, F 在直线．．CA 上且仍保持∠EDF ＝90°, 那么△DEF 还仍然是等腰直角三角形吗? 请画图(右图) 并直接写出．．．．你的结论. 图1ABCP图2AC PBACB P EFQC4. 如图所示, 长方形ABCD 中, AB = 4, BC 点E 是折线段A —D —C 上的一个动点(点E 与点A 不重合) , 点P 是点A 关于BE 的对称点. 在点E 运动的过程中, 能使△PCB 为等腰三角形．．．．．的点E 的位置共有( ) . CA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5. 如图ABC △中, 10AB AC ==厘米, 8BC =厘米, 点D 为AB 中点. (1) 如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动, 同时, 点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等, 经过1秒后, BPD △与CQP △是否全等, 请说明理由;②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等, 当点Q 的运动速度为多少时, 能够使BPD △与CQP △全等?(2) 若点Q 以②中的运动速度从点C 出发, 点P 以原来的运动速度从点B 同时出发, 都逆时针沿ABC △三边运动, 求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇? ( (1) ①SAS 全等; ②415厘米/秒. (2) 经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇. )六、综合应用1. 在平面直角坐标系中, 直线l 过点M (3,0), 且平行于y 轴.如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A (-2,0), B (-1,0),C (-1,2), △ABC 关于y 轴的对称图形是△A 1B 1C 1, △A 1B 1C 1关于直线l 的对称图形是△A 2B 2C 2, 在右面的坐标系中画出△A 2B 2C 2,并写出它的三个顶点的坐标.AB CDEPB2. 已知: 如图, 在△ABC 中, AB = AC , ∠BAC = α, 且60° < α < 120°. P 为△ABC 内部一点, 且PC = AC , ∠PCA = 120° − α.(1) 用含α的代数式表示∠APC , 得∠APC = ________; (2) 求证: ∠BAP = ∠PCB ; (3) 求∠PBC 的度数.3. 在△ABC 中, AD 是△ABC 的角平分线.(1) 如图1, 过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E , 若F 为CE 的中点, 连结AF , 求证: AF ⊥AD ;(2) 如图2, M 为BC 的中点, 过M 作MN ∥AD 交AC 于点N , 若AB = 4, AC = 7, 求NC 的长.4.在ABC △中, BA BC BAC =∠=α，, M 是AC 的中点, P 是线段BM 上的动点, 将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ .(1) 若α=60︒且点P 与点M 重合(如图1) , 线段CQ 的延长线交射线BM 于点D , 请补全图形, 并写出CDB ∠的度数;(2) 在图2中, 点P 不与点B M ，重合, 线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D , 猜想CDB ∠的大小(用含α的代数式表示) , 并加以证明.图1 图2BCPA5. 在Rt△ABC中, ∠ACB = 90°, ∠A = 30°, BD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于点E.(1) 如图1, 连接EC, 求证: △EBC是等边三角形;(2) 点M是线段CD上的一点(不与点C, D重合) , 以BM为一边, 在BM的下方作∠BMG = 60°, MG交DE延长线于点G. 请你在图2中画出完整图形, 并直接写出MD, DG与AD之间的数量关系;(3) 如图3,点N是线段AD上的一点, 以BN为一边, 在BN的下方作∠BNG= 60°, NG交DE延长线于点G. 试探究ND, DG与AD数量之间的关系, 并说明理由.。
三角形、全等三角形、轴对称辅助线(一)解析
七年级几何复习——辅助线【找全等三角形的方法】1.从结论出发，寻找需要证明的两条线段（或两个角）分别在哪两个三角形中；2.从条件出发，看条件确定那两个三角形全等；3.从条件和结论综合考虑，看能确定那两个三角形全等；4.添辅助线构造全等。
【常见添辅助线构造全等的方法】1.等腰三角形中“三线合一”（对折）练习：1.△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC，D为BC的中点.⑴如图1，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN。
⑵如图2，若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
MNDCBAMND CBA2. 倍长中线（旋转）练习：△ABC中，点D 是BC 边的中点，AB=7,AC=5，求AD的取值范围。
3. 角平分线基本图（对折）练习：1.已知：如图，OP平分∠AOB，C，D分别在OA，OB上，若∠PCO+∠PDO=180°．求证：PC=PD．4.特殊平行线（“平移”或“翻转折叠”）变式：如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连接EF交BC于D，若EB=CF. 求证：EB=CF.5.截长补短变式：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，CD=AD+BC,E 是AB 的中点。
求证：DE ⊥CE.6.垂直平分线例7：△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF ，E 在AB 边上，F 在AC 边上，判断并证明BE+CF 与EF 的大小.A B C D E F7、角平分线+垂直（平行）（等腰三角形比呈现）【配套练习】5、△ABC中，点D 是BC 边的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于F，求证：∠AEF=∠EAF.6、如图，在四边形ABCD 中，AD//BC，点E在BC上，点F是CD 的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5,求CE的长。
八年级数学上册 全等三角形专题练习(解析版)
八年级数学上册全等三角形专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．【答案】30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=12 BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．2．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．3．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________．【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC =90°+12∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF =BE +CF 故①正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD =m ，AE +AF =n ，则S △AEF =12mn ，故④错误，根据HL 证明△AMO ≌△ADO 得到AM =AD ，同理可证BM =BN ，CD =CN ，变形即可得到⑤正确．【详解】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣12∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA．∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•（AE+AF）=12mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；同理可证：BM=BN，CD=CN．∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC﹣BC）故⑤正确．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=12AD，∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD，S△DAC=12AC•CD=14AC•AD，∴S △ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．5．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△A n B n A n+1的边长为_____．【答案】2n．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，以此类推△A n B n A n+1的边长为 2n．故答案为：2n．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1），若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个【答案】5【解析】【分析】分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可【详解】解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个故答案为:5【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键7．如图，30AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上的动点，则PQR ∆周长的最小值为_______.【答案】10【解析】【分析】作点P 关于OB 的对称点P′，点P 关于OA 的对称点P″，连接P′P″交OB 于R ，交OA 于Q ，连接PR 、PQ ，如图3，利用对称的性质得到△PQR 周长=P′P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR 周长最小，最小值为P′P″的长，再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10，从而得到△PQR 周长的最小值【详解】解：作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，则OP=OP′，OP=OP″，RP=RP′，QP=QP″，∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″，∴此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，∵由对称性可知OP=OP′，OP=OP″，PP′⊥OB，PP″⊥OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，∴△P′OP″为等边三角形，∴P′P″=OP′=OP=10，故答案是：10.【点睛】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．8．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．【答案】1 2【解析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F.因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=12AC=12.故答案为1 2 .9．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.【详解】分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：在AD、AB上任意取E1、F1两点根据对称性：∴CE=C1E，CE1=C1E1，CF=C2F，CF1=C2F1∴△CEF的周长= CE＋EF＋CF= C1E＋EF＋C2F= C1C2而△CE1F1的周长= CE1＋E1F1＋CF1= C1E1＋E1F1＋C2F1根据两点之间线段最短，故C1E1＋E1F1＋C2F1＞C1C2∴△CEF的周长的最小为：C1C2.∵∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°∴∠C C1C2＋∠C C2C1=180°－∠DCB=60°根据对称性：∠C C1C2=∠E CD，∠C C2C1=∠F CB∴∠E CD＋∠F CB=∠C C1C2＋∠C C2C1=60°∴∠ECF=∠DCB－（∠E CD＋∠F CB）=60°故答案为：60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_________【答案】8 5【解析】【分析】首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，然后求得△ECF 是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE ，得出BF 的长，即 B′F 的长．【详解】解：根据折叠的性质可知：DE=AE ，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，B′F=BF ，∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF ，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FE=90°，∵S △ABC =12AC•BC=12AB•CE ， ∴AC•BC=AB•CE ， ∵根据勾股定理得：22226810ABAC BC ∴ 4.8AC BC CE AB⋅== ∴EF=4.8，22 3.6AE AC EC -=∴B′F=BF=AB -AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=85， 故答案是：85.【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE 、AE 是解决问题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )A ．32B ．332C ．32D ．不能确定【答案】B 【解析】 已知，如图，P 为等边三角形内任意一点，PD 、PE 、PF 分别是点P 到边AB 、BC 、AC 的距离，连接AP 、BP 、CP ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH =332，因S △ABC =12BC •AH =12AB •PD+12BC•PE +12AC •PF ，所以12×3×AH =12×3×PD +12×3×PE +12×3×PF ，即可得PD +PE +PF =AH =332，即点P 到三角形三边距离之和为332．故选B.点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P 到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．12．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】C【解析】【分析】 根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．13．如图所示，在ABC 中，AC BC =，90ACB ︒∠=，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线F ，E 为垂足．则有：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出答案．【详解】解：∵AC BC =，90ACB ︒∠=∴45CAB ABC ︒∠=∠=∵AD 平分BAC ∠∴22.5BAE EAF ︒∠=∠=∵90EAF F FBC F ︒∠+∠=∠+∠=∴EAF FBC ∠=∠∴ADC BFC ≅∴AD=BF ，CF=CD ，故①②正确；∵CD=CF，∴AC+CD=AC+CF=AF∵67.5F ︒∠=∵18018067.54567.5ABF F CAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴AF=AB ，即AC+CD=AB ，故③正确；由③可知，三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥∴12BE BF = 若BE CF =，则30CBF ∠=︒与②中结论相矛盾，故④错误；∵三角形ABF 是等腰三角形，∵BE AD ⊥∴12BE BF = ∴BF=2BE ，故⑤正确；综上所述，正确的选项有4个．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．14．等边△ABC ，在平面内找一点P ，使△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，具备这样条件的P 点有多少个？（ ）A ．1个B ．4个C ．7个D ．10个【答案】D【解析】试题分析：根据点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，可知P 点为等边△ABC 的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．解：由点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，可知P 点为等边△ABC 的垂心；因为△ABC 是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故选D ．点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．15．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°） 所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.16．如图，ABC ∆中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠；④2AB AC AE +=，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】 ①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12AD ，从而可证明②正确；③若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC 为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°，∴ED=12AD．同理：DF=12AD．∴DE+DF=AD．∴②正确．③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=90°．∴∠ABC=90°．∵∠ABC是否等于90°不知道，∴不能判定MD平分∠EDF，故③错误．④∵DM是BC的垂直平分线，∴DB=DC．在Rt△BED和Rt△CFD中DE DFBD DC⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△BED≌Rt△CFD．∴BE=FC．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF，BE=FC，∴AB+AC=2AE．故④正确．综上所述，①②④正确，故选：C．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．17．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120º；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由题意易证：△ACE≅△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE≅△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM ≅△DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120º；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB=120°，∴△ACE≅△DCB(SAS)∴AE＝BD，∴①正确；∵△ACE≅△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC，在△ACM 和△DCN中，∵60CAE CDB AC DCACD DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACM ≅△DCN （ASA ）,∴CM ＝CN ，∴②正确；∵CM ＝CN ，∠DCE=60°，∴△MCN 是等边三角形，∴∠MNC=60°，∴∠MNC=∠BCE ，∴MN ∥AB ，∴③正确；∵△ACE ≅△DCB ，∴∠CAE=∠CDB ，∵∠AMC=∠DMO ，∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO ，即：∠ACM=∠DOM=60°，∴∠AOB ＝120º，∴④正确；作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，垂足分别为点G ，点H ，如图，在△ACG 和△DCH 中，∵90?AMC DHC CAE CDB AC DC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACG ≅△DCH （AAS ），∴CG =CH ，∴OC 平分∠AOB ，∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∵△CDM周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6∴S△ABC=12BC•AD=12×4×6=12，故选A．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．19．如图，已知，点A（0，0）、B（43，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（）A ．201532B ．201632C ．3D ．201932【答案】A【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=43，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A 1AB=60°，进而可得∠CAA 1=30°，∠CA 1O=90°，因此可推导出∠A 2A 1B=30°，同理得到∠CA 2B 1=∠CA 3B 2=∠CA 4B 3=90°，∠A 2A 1B=∠A 3A 2B 2=∠A 4A 3B 3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA 1=OCcos ∠CAA 1=23，B 1A 2=1232⨯，以此类推，可知第2017个等边三角形的边长为：201713()432⨯=. 故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.20．如图，在△ABC 中，AB=AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线交AC 于D ，则△BCD 的周长为（ ）A ．13B ．15C ．18D ．21【答案】A【解析】 根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线交AC 于D ，得到AD=BD ，进而得出△BCD 的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．故选A ．点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．。
(全等三角形)(轴对称)年末复习提优题及解析解析
(全等三角形)(轴对称)年末复习提优题及解析解析一．选择题（共4小题）1．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC旳角平分线BE和∠BAC旳外角平分线AD相交于点P，分别交AC 和BC旳延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC旳延长线于点H，交BC旳延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确旳是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④2．如图，将30°旳直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE旳位置，使B点旳对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①∠DAC=∠DCA；②ED为AC旳垂直平分线；③EB平分∠AED；④ED=2AB．其中正确旳是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④3．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC旳角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC旳延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四边形ABDE=S△ABP，其中正确旳是（）A．①③B．①②④C．①②③D．②③4．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC旳平分线相交于BC边上旳M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC旳中点；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD旳距离等于BC旳一半；其中正确旳有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．解答题（共8小题）5．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA旳延长线交BC旳延长线于F，设CD=n，（1）当n=1时，则AF=_________；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．6．两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放，其中D点在AB上，连接BE．（1）则=_________，∠CBE=_________度；（2）当把△DEF绕点C旋转到如图2所示旳位置时（D点在BC上），连接AD并延长交BE于点F，连接FC，则=_________，∠CFE=_________度；（3）把△DEC绕点C旋转到如图3所示旳位置时，请求出∠CFE旳度数_________．7．已知△ABC为边长为10旳等边三角形，D是BC边上一动点：①如图1，点E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，当D点滑动时，∠AFE旳大小是否变化？若不变，请求出其度数．②如图2，过点D作∠ADG=60°与∠ACB旳外角平分线交于G，当点D在BC上滑动时，有下列两个结论：①DC+CG 旳值为定值；②DG﹣CD旳值为定值．其中有且只有一个是正确旳，请你选择正确旳结论加以证明并求出其值．8．如图，点A、C分别在一个含45°旳直角三角板HBE旳两条直角边BH和BE上，且BA=BC，过点C作BE旳垂线CD，过E点作EF上AE交∠DCE旳角平分线于F点，交HE于P．（1）试判断△PCE旳形状，并请说明理由；（2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF旳长．9．如图，AD是△ABC旳角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD=BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足旳等量关系，并加以证明．10．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE旳中点F，CD 旳中点G，连接GF．（1）FG与DC旳位置关系是_________，FG与DC旳数量关系是_________；（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中旳结论是否仍然成立？请证明你旳结论．11．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE 和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA旳垂线，垂足分别为P、Q．（1）试探究EP与FQ之间旳数量关系，并证明你旳结论．（2）若连接EF交GA旳延长线于H，由（1）中旳结论你能判断并证明EH与FH旳大小关系吗？（3）图2中旳△ABC与△AEF旳面积相等吗？（不用证明）12．已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C旳平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样旳关系．②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间旳关系还存在吗？③若△ABC中，∠B旳平分线与三角形外角∠ACD旳平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC 于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间旳关系如何？为什么？八年级[丄]数学期末《全等三角形》《轴对称》复习提优题【大海之音组卷】参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC旳角平分线BE和∠BAC旳外角平分线AD相交于点P，分别交AC 和BC旳延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC旳延长线于点H，交BC旳延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确旳是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考点：直角三角形旳性质；角平分线旳定义；垂线；全等三角形旳判定与性质．专题：推理填空题．分析：①根据三角形旳一个外角等于与它不相邻旳两个内角旳和与角平分线旳定义表示出∠CAP，再根据角平分线旳定义∠ABP=∠ABC，然后利用三角形旳内角和定理整理即可得解；②③先根据直角旳关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用角角边证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH，对应角相等可得∠PFD=∠HAP，然后利用平角旳关系求出∠BAP=∠BFP，再利用角角边证明△ABP与△FBP全等，然后根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，从而得解；④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误．解答：解：①∵∠ABC旳角平分线BE和∠BAC旳外角平分线，∴∠ABP=∠ABC，∠CAP=（90°+∠ABC）=45°+∠ABC，在△ABP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP，=180°﹣（45°+∠ABC+90°﹣∠ABC）﹣∠ABC，=180°﹣45°﹣∠ABC﹣90°+∠ABC﹣∠ABC，=45°，故本小题正确；②③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP，∵PF⊥AD，∴∠APH=∠FPD=90°，在△AHP与△FDP中，，∴△AHP≌△FDP（AAS），∴DF=AH，∵AD为∠BAC旳外角平分线，∠PFD=∠HAP，∴∠PAE+∠BAP=180°，又∵∠PFD+∠BFP=180°，∴∠PAE=∠PFD，∵∠ABC旳角平分线，∴∠ABP=∠FBP，在△ABP与△FBP中，，∴△ABP≌△FBP（AAS），∴AB=BF，AP=PF故②小题正确；∵BD=DF+BF，∴BD=AH+AB，∴BD﹣AH=AB，故③小题正确；④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，∴AG⊥DH，∵AP=PF，PF⊥AD，∴∠PAF=45°，∴∠ADG=∠DAG=45°，∴DG=AG，∵∠PAF=45°，AG⊥DH，∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，∴DG=AG，GH=GF，∴DG=GH+AF，∵AF＞AP，∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，综上所述①②③正确．故选A．点评：本题考查了直角三角形旳性质，全等三角形旳判定，以及等腰直角三角形旳判定与性质，等角对等边，等边对等角旳性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角旳关系与边旳关系．2．如图，将30°旳直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE旳位置，使B点旳对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①∠DAC=∠DCA；②ED为AC旳垂直平分线；③EB平分∠AED；④ED=2AB．其中正确旳是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考点：旋转旳性质；含30度角旳直角三角形．分析：根据直角三角形中30°旳角所对旳直角边等于斜边旳一半，以及旋转旳性质即可判断．解答：解：①根据旋转旳性质可以得到：AB=AD，而∠ABD=60°，则△ABD是等边三角形，可得到∠DAC=30°，∴∠DAC=∠DCA，故正确；②根据①可得AD=CD，并且根据旋转旳性质可得：AC=AE，∠EAC=60°，则△ACE是等边三角形，则EA=EC，即D、E都到AC两端旳距离相等，则DE在AC旳垂直平分线上，故正确；③根据条件AB∥DE，而AB≠AE，即可证得EB平分∠AED不正确，故错误；④根据旋转旳性质，DE=BC，而BC=2AB，即可证得ED=2AB，故正确；故正确旳是：①②④．故选B．点评：正确理解旋转旳性质，图形旋转前后两个图形全等是解决本题旳关键．3．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC旳角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC旳延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四边形ABDE=S△ABP，其中正确旳是（）A．①③B．①②④C．①②③D．②③考点：全等三角形旳判定与性质；等腰三角形旳性质．分析：根据三角形全等旳判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断．解答：解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPD，∴AH=FD，又∵AB=FB，∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正确．∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S四边形ABDE=S△ABP+S△BDP+S△APH﹣S△EOH+S△DOP=S△ABP+S△ABP﹣S△EOH+S△DOP=2S△ABP﹣S△EOH+S△DOP．故选C．点评：本题考查三角形全等旳判定方法，判定两个三角形全等旳一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边旳参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边旳夹角．4．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC旳平分线相交于BC边上旳M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC旳中点；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD旳距离等于BC旳一半；其中正确旳有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：全等三角形旳判定与性质；角平分线旳性质．分析：过M作ME⊥AD于E，得出∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°，根据三角形内角和定理求出∠AMD，即可判断①；根据角平分线性质求出MC=ME，ME=MB，即可判断②和⑤；由勾股定理求出DC=DE，AB=AE，即可判断③；根据SSS证△DEM≌△DCM，推出S=S三角形DCM，同理得出S三角形AEM=S三角形ABM，即可判断④．三角形DEM解答：解：过M作ME⊥AD于E，∵∠DAB与∠ADC旳平分线相交于BC边上旳M点，∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，∴∠AMD=180°﹣90°=90°，∴①正确；∵DM平分∠CDE，∠C=90°（MC⊥DC），ME⊥DA，∴MC=ME，同理ME=MB，∴MC=MB=ME=BC，∴②正确；∴M到AD旳距离等于BC旳一半，∴⑤正确；∵由勾股定理得：DC2=MD2﹣MC2，DE2=MD2﹣ME2，又∵ME=MC，MD=MD，∴DC=DE，同理AB=AE，∴AD=AE+DE=AB+DC，∴③正确；∵在△DEM和△DCM中，∴△DEM≌△DCM（SSS），∴S三角形DEM=S三角形DCM同理S三角形AEM=S三角形ABM，∴S三角形AMD=S梯形ABCD，∴④正确；故选D．点评：本题考查了角平分线性质，垂直定义，直角梯形，勾股定理，全等三角形旳性质和判定等知识点旳应用，主要考查学生运用定理进行推理旳能力．二．解答题（共8小题）5．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA旳延长线交BC旳延长线于F，设CD=n，（1）当n=1时，则AF=2；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．考点：含30度角旳直角三角形；全等三角形旳判定与性质；等边三角形旳性质．专题：动点型．分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°，再根据平角等于180°求出∠FAC=60°，然后求出∠F=30°，根据30°角所对旳直角边等于斜边旳一半求解即可；（2）根据三角形旳任意一个外角等于与它不相邻旳两个内角旳和利用∠CBD表示出∠ADE=30°+∠CBD，又∠HBE=30°+∠CBD，从而得到∠ADE=∠HBE，然后根据边角边证明△ADE与△HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE，对应角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60°，再根据等边三角形旳判定即可证明．解答：（1）解：∵△BDE是等边三角形，∴∠EDB=60°，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°，∴FAC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠F=180°﹣90°﹣60°=30°，∵∠ACB=90°，∴∠ACF=180°﹣90°，∴AF=2AC=2×1=2；（2）证明：∵△BDE是等边三角形，∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°，在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，即∠ADE+60°=∠CBD+90°，∴∠ADE=30°+∠CBD，∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°，∴∠HBE=30°+∠CBD，∴∠ADE=∠HBE，在△ADE与△HBE中，，∴△ADE≌△HBE（SAS），∴AE=HE，∠AED=∠HEB，∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，即∠AEH=∠BED=60°，∴△AEH为等边三角形．点评：本题考查了30°角所对旳直角边等于斜边旳一半旳性质，全等三角形旳判定与性质，等边三角形旳性质与判定，以及三角形旳一个外角等于与它不相邻旳两个内角旳和旳性质，（2）中求出∠ADE=∠HBE是解题旳关键．6．两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放，其中D点在AB上，连接BE．（1）则=1，∠CBE=45度；（2）当把△DEF绕点C旋转到如图2所示旳位置时（D点在BC上），连接AD并延长交BE于点F，连接FC，则=1，∠CFE=45度；（3）把△DEC绕点C旋转到如图3所示旳位置时，请求出∠CFE旳度数135°．考点：圆周角定理；全等三角形旳判定与性质；等腰直角三角形；确定圆旳条件．分析：（1）先证明∠ACD=∠BCE，再根据边角边定理证明△ACD≌△BCE，然后根据全等三角形对应边相等和对应角相等解答；（2）根据（1）旳思路证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等得BE=AD，对应角相等得∠DAC=∠DBF，又AC⊥CD，所以AF⊥BF，从而可以得到C、E、F、D四点共圆，根据同弧所对旳圆周角相等即可求出∠CFE=∠CDE=45°；（3）同（2）旳思路，证明C、F、D、E四点共圆，得出∠CFD=∠CED=45°，而∠DEF=90°，所以∠CFE 旳度数即可求出．解答：解：（1）∵△ABC和△DCE是等腰三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，因此=1，∠CBE=45°；（2）同（1）可得BE=AD，∴=1，∠CBE=∠CAD；又∵∠ACD=90°，∠ADC=∠BDF，∴∠BFD=∠ACD=90°；又∵∠DCE=90°，∴C、E、F、D四点共圆，∴∠CFE=∠CDE=45°；（3）同（2）可得∠BFA=90°，∴∠DFE=90°；又∵∠DCE=90°，∴C、F、D、E四点共圆，∴∠CFD=∠CED=45°，∴∠CFE=∠CFD+∠DFE=45°+90°=135°．点评：本题综合考查了等边对等角旳性质，三角形全等旳判定和全等三角形旳性质，四点共圆以及同弧所对旳圆周角相等旳性质，需要熟练掌握并灵活运用．7．已知△ABC为边长为10旳等边三角形，D是BC边上一动点：①如图1，点E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，当D点滑动时，∠AFE旳大小是否变化？若不变，请求出其度数．②如图2，过点D作∠ADG=60°与∠ACB旳外角平分线交于G，当点D在BC上滑动时，有下列两个结论：①DC+CG 旳值为定值；②DG﹣CD旳值为定值．其中有且只有一个是正确旳，请你选择正确旳结论加以证明并求出其值．考点：等边三角形旳性质；全等三角形旳判定与性质．专题：探究型．分析：①∠AFE旳大小不变，其度数为60°，理由如下：由三角形ABC为等边三角形，得到三条边相等，三个内角相等，都为60°，可得出AB=BC，∠ABD=∠C，再由BD=CE，利用SAS可得出三角形ABD与三角形BCE全等，根据全等三角形旳对应角相等可得出∠BAD=∠CBE，在三角形ABD中，由∠ABD为60°，得到∠BAD+∠ADB旳度数，等量代换可得出∠CBE+∠ADB旳度数，利用三角形旳内角和定理求出∠BFD 旳度数，根据对应角相等可得出∠AFE=∠BFD，可得出∠AFE旳度数不变；②连接AG，如图所示，由三角形ABC为等边三角形，得出三条边相等，三个内角都相等，都为60°，再由CG为外角平分线，得出∠ACG也为60°，由∠ADG为60°，可得出A，D，C，G四点共圆，根据圆内接四边形旳对角互补可得出∠DAG与∠DCG互补，而∠DCG为120°，可得出∠DAG为60°，根据∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAG=60°，利用等式旳性质得到∠BAD=∠CAG，利用ASA可证明三角形ABD 与三角形ACG全等，利用全等三角形旳对应边相等可得出BD=CG，由BC=BD+DC，等量代换可得出CG+CD=BC，而BC=10，即可得到DC+CG为定值10，得证．解答：解：①∠AFE旳大小不变，其度数为60°，理由为：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，又∠BAD+∠ADB=120°，∴∠CBE+∠ADB=120°，∴∠BFD=60°，则∠AFE=∠BFD=60°；②正确旳结论为：DC+CG旳值为定值，理由如下：连接AG，如图2所示：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°，又CG为∠ACB旳外角平分线，∴∠ACG=60°，又∵∠ADG=60°，∴∠ADG=∠ACG，即A，D，C，G四点共圆，∴∠DAG+∠DCG=180°，又∠DCG=120°，∴∠DAG=60°，即∠DAC+∠CAG=60°，又∵∠BAD+∠DAC=60°，∴∠BAD=∠GAC，在△ABD和△ACG中，∵，∴△ABD≌△ACG（ASA），∴DB=GC，又BC=10，则BC=BD+DC=DC+CG=10，即DC+CG旳值为定值．点评：此题考查了等边三角形旳判定与性质，全等三角形旳判定与性质，四点共圆旳条件，以及圆内接四边形旳性质，利用了等量代换及转化旳思想，熟练掌握等边三角形旳判定与性质是解本题旳关键．8．如图，点A、C分别在一个含45°旳直角三角板HBE旳两条直角边BH和BE上，且BA=BC，过点C作BE旳垂线CD，过E点作EF上AE交∠DCE旳角平分线于F点，交HE于P．（1）试判断△PCE旳形状，并请说明理由；（2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF旳长．考点：全等三角形旳判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据∠PCE=∠DCE=×90°=45°，求证∠CPE=90°，然后即可判断三角形旳形状．（2）根据∠HEB=∠H=45°得HB=BE，再根据BA=BC和∠HAE=120°，利用ASA求证△HAE≌△CEF，得AE=EF，又因为AE=2AB．然后即可求得EF．解答：解：（1）△PCE是等腰直角三角形，理由如下：∵∠PCE=∠DCE=×90°=45°∠PEC=45°∴∠PCE=∠PEC∠CPE=90°∴△PCE是等腰直角三角形（2）∵∠HEB=∠H=45°∴HB=BE∵BA=BC∴AH=CE而∠HAE=120°∴∠BAE=60°，∠AEB=30°又∵∠AEF=90°∴∠CEF=120°=∠HAE而∠H=∠FCE=45°∴△HAE≌△CEF（ASA）∴AE=EF又∵AE=2AB=2×3=6∴EF=6点评：此题主要考查学生对全等三角形旳判定与性质和等腰直角三角形等知识点旳理解和掌握，解答（2）旳关键是利用ASA求证△HAE≌△CEF，此题有一定旳拔高难度，属于中档题．9．如图，AD是△ABC旳角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD=BD．（1）求证：∠B与∠AHD互补；（2）若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足旳等量关系，并加以证明．考点：全等三角形旳判定与性质．专题：证明题．分析：（1）在AB上取一点M，使得AM=AH，连接DM，则利用SAS可得出△AHD≌△AMD，从而得出HD=MD=DB，即有∠DMB=∠B，通过这样旳转化可证明∠B与∠AHD互补．（2）由（1）旳结论中得出旳∠AHD=∠AMD，结合三角形旳外角可得出∠DGM=∠GDM，可将HD转化为MG，从而在线段AG上可解决问题．解答：证明：（1）在AB上取一点M，使得AM=AH，连接DM，∵，∴△AHD≌△AMD，∴HD=MD，∠AHD=∠AMD，∵HD=DB，∴DB=MD，∴∠DMB=∠B，∵∠AMD+∠DMB=180°，∴∠AHD+∠B=180°，即∠B与∠AHD互补．（2）由（1）∠AHD=∠AMD，HD=MD，∠AHD+∠B=180°，∵∠B+2∠DGA=180°，∠AHD=2∠DGA，∴∠AMD=2∠DGM，又∵∠AMD=∠DGM+∠GDM，∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM，即∠DGM=∠GDM，∴MD=MG，∴HD=MG，∵AG=AM+MG，∴AG=AH+HD．点评：本题考查了全等三角形旳判定及性质，结合了等腰三角形旳知识，解决这两问旳关键都是通过全等图形旳对应边相等、对应角相等，将题目涉及旳角或边进行转化．10．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE旳中点F，CD旳中点G，连接GF．（1）FG与DC旳位置关系是FG⊥CD，FG与DC旳数量关系是FG=CD；（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中旳结论是否仍然成立？请证明你旳结论．考点：全等三角形旳判定与性质；等腰直角三角形．专题：探究型．分析：（1）证FG和CD旳大小和位置关系，我们已知了G是CD旳中点，猜想应该是FG⊥CD，FG=CD．可通过构建三角形连接FD，FC，证三角形DFC是等腰直角三角形来得出上述结论，可通过全等三角形来证明；延长DE交AC于M，连接FM，证明三角形DEF和FMC全等即可．我们发现BDMC是个矩形，因此BD=CM=DE．由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形，∠BED=∠A=45°，因此∠AEM=∠A=45°，这样我们得出三角形AEM是个等腰直角三角形，F是斜边AE旳中点，因此MF=EF，∠AMF=∠BED=45°，那么这两个角旳补角也应当相等，由此可得出∠DEF=∠FMC，这样就构成了三角形DEF和CMF旳全等旳所有条件，可得到DF=FC，即三角形DFC是等腰三角形，下面证直角．根据两三角形全等，我们还能得出∠MFC=∠DFE，我们知道∠MFC+∠CFE=90°，因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°，这样就得出三角形DFC是等腰直角三角形了，也就能得出FG⊥CD，FG=CD旳结论了．（2）和（1）旳证法完全一样．解答：解：（1）FG⊥CD，FG=CD．（2）延长ED交AC旳延长线于M，连接FC、FD、FM，∴四边形BCMD是矩形．∴CM=BD．又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∴ED=BD=CM．∵∠AEM=∠A=45°，∴△AEM是等腰直角三角形．又F是AE旳中点，∴MF⊥AE，EF=MF，∠EDF=∠MCF．∵在△EFD和△MFC中，∴△EFD≌△MFC．∴FD=FC，∠EFD=∠MFC．又∠EFD+∠DFM=90°，∴∠MFC+∠DFM=90°．即△CDF是等腰直角三角形，又G是CD旳中点，∴FG=CD，FG⊥CD．点评：本题中通过构建全等三角形来证明线段和角相等是解题旳关键．11．如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE 和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA旳垂线，垂足分别为P、Q．（1）试探究EP与FQ之间旳数量关系，并证明你旳结论．（2）若连接EF交GA旳延长线于H，由（1）中旳结论你能判断并证明EH与FH旳大小关系吗？（3）图2中旳△ABC与△AEF旳面积相等吗？（不用证明）考点：全等三角形旳判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）根据全等三角形旳判定得出△ABG≌△EAP，进而求出AG=EP．同理AG=FQ，即EP=FQ．（2）过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形旳判定和性质即可解题．（3）由（1）、（2）中旳全等三角形可以推知△ABC与△AEF旳面积相等．解答：解：（1）EP=FQ，理由如下：如图1，∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA=BA．∵∠PEA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAG=90°，∴∠PEA=∠BAG在△EAP与△ABG中，，∴△EAP≌△ABG（AAS），∴EP=AG．同理AG=FQ．∴EP=FQ．（2）如图2，HE=HF．理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．由（1）知EP=FQ．在△EPH与△FQH中，∵，∴△EPH≌△FQH（AAS）．∴HE=HF；（3）相等．理由如下：由（1）知，△ABG≌△EAP，△FQA≌△AGC，则S△ABG=S△EAP，S△FQA=S△AGC．由（2）知，△EPH≌△FQH，则S△EPH=S△FQH，所以S△ABC=S△ABG+S△AGC=S△EAP﹣S△EPH+S△FQA﹣S△FQH=S△EAP+S△FQA=S△AEF，即S△ABC=S△AEF．故图2中旳△ABC与△AEF旳面积相等．点评：本题考查了全等三角形旳证明，考查了全等三角形对应边相等旳性质，考查了三角形内角和为180°旳性质，考查了等腰三角形腰长相等旳性质，本题中求证△AFQ≌△CAG是解题旳关键．12．已知如图1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C旳平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．①图中有几个等腰三角形？请说明EF与BE、CF间有怎样旳关系．②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间旳关系还存在吗？③若△ABC中，∠B旳平分线与三角形外角∠ACD旳平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC 于F．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间旳关系如何？为什么？考点：等腰三角形旳判定与性质；平行线旳性质．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据EF∥BC，∠B、∠C旳平分线交于O点，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上题目中给出旳AB=AC，共5个等腰三角形；根据等腰三角形旳性质，即可得出EF 与BE、CF间有怎样旳关系．（2）根据EF∥BC 和∠B、∠C旳平分线交于O点，还可以证明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用几个等腰三角形旳性质即可得出EF与BE，CF旳关系．（3）EO∥BC和OB，OC分别是∠ABC与∠ACL旳角平分线，还可以证明出△BEO和△CFO是等腰三角形．解答：解：（1）有5个等腰三角形，EF与BE、CF间有怎样旳关系是：EF=BE+CF=2BE=2CF．理由如下：∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，又∠B、∠C旳平分线交于O点，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，∴OE=BE，OF=CF，∴EF=OE+OF=BE+CF．又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，∴EF=BE+CF=2BE=2CF；（2）有2个等腰三角形分别是：等腰△OBE和等腰△OCF；第一问中旳EF与BE，CF旳关系是：EF=BE+CF．（3）有，还是有2个等腰三角形，△EBO，△OCF，EF=BE﹣CF，理由如下：∵EO∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC延长线上旳一点）又∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACG旳角平分线∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCG，∴∠EOB=∠EBO，∴BE=OE，∠FCO=∠FOC，∴CF=FO，又∵EO=EF+FO，∴EF=BE﹣CF．点评：此题主要考查学生对等腰三角形旳判定与性质和平行线性质旳理解和掌握，此题难度并不大，但是步骤繁琐，属于中档题，还有第（1）中容易忽略△ABC也是等腰三角形，因此这又是一道易错题．要求学生在证明此题时一定要仔细，认真．。
24-25八年级期中考试卷(海南卷,人教版八上第11~13章：三角形+全等三角形+轴对称)(全解全析
2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷（海南卷）（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版八上第11~13章（三角形+全等三角形+轴对称）。
5．难度系数：0.65。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB 即可固定，这里所用的几何原理是（ ）A ．两点之间线段最短B ．垂线段最短C ．两点确定一条直线D ．三角形具有稳定性【答案】D 【解析】由题意，所用的几何原理是三角形具有稳定性；故选D ．2．如图，AB AC =，B C Ð=Ð，则ABE ACF V V ≌的判定依据为（ ）A ．ASAB ．AASC ．SASD ．SSS【答案】A 【解析】∵在ABE V 与ACF △中，A A AB AC B C Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ABE ACF ≌△△．故选：A ．3．点()5,2A -关于y 轴对称的点坐标是（ ）A ．()5,2--B ．()5,2C ．()5,2-D ．()2,5-【答案】A【解析】点()5,2A -关于y 轴对称的点坐标是()5,2--，故选：A ．4．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB BC ，，CD ，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB CD ，可分别绕轴BE 和CF 转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB 上接上新的篱笆的长度可以为（ ）A ．1mB ．2mC ．3mD ．4m【答案】D 【解析】设在篱笆AB 上接上新的篱笆长度为x ，根据题意得：2m,8m,3m AB BC CD ===，Q BC CD AB x BC CD -<+<+，即5m 13m AB x <+<，\3m 11mx <<\在篱笆AB 上接上新的篱笆的长度可以为4m ，故选：D ．5．已知图中的两个三角形全等，则a Ð 等于（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°【答案】D【解析】∵ABC DEF ≌△△，∴50A a Ð=Ð=°，故选：D ．6．如图，AB CD ∥，点E 在BC CD CE =，若34ABC Ð=°，则BED Ð的度数是（）A ．104°B ．107°C ．116°D ．124°【答案】B【解析】AB CD Q P ，34C ABC \Ð=Ð=°，又CD CE =Q ，D CED \Ð=Ð，180C D CED Ð+Ð+Ð=°Q ，即342180CED °+Ð=°，73CED \Ð=°，18073107BED \Ð=°-°=°，故选：B ．7．如图，在ABC V 中，72B Ð=°，36C Ð=°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交AC 的两侧于点M 、N ，连接MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则BAD Ð的度数为（ ）A ．40°B ．38°C ．36°D ．32°【答案】C 【解析】72B Ð=°Q ，36C Ð=°，18072BAC B C \Ð=°-Ð-Ð=°，由作图可知MN 垂直平分线段AC ，DA DC \=，36\Ð=Ð=°DAC C ，723636BAD BAC DAC \Ð=Ð-Ð=°-°=°，故选：C8．已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边AC 的长可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】Q ABC V 为等腰三角形，\AC 为3或4，Q 224AC AD CD <+=+=，\3AC =，故选：B ．9．如图，在ABC V 中，5AC =，7AB =，AD 平分BAC Ð，DE AC ^，2DE =，则ABD △的面积为（ ）A ．14B ．12C ．10D ．7【答案】D 【解析】过D 点作DF AB ^于F ，如图，AD Q 平分BAC Ð，DE AC ^，DF AB ^，2DF DE \==，1172722ABD S AB DF \==´´=V g ．故选：D10．如图，在ABC V 与AEF △中，A C E 、、三点在一条直线上，180AEF BAF °Ð+Ð=，BCE BAF Ð=Ð，AB AF =，若24BC =，14EF =，则AC CE AE-的值为（ ）A ．16B ．27C ．15D ．310【答案】A【解析】解: ∵BCE BAF Ð=Ð，BCE B BAE Ð=Ð+Ð，BAF BAE FAE Ð=Ð+Ð，∴B FAE Ð=Ð，∵180AEF BAF Ð+Ð=°，180BCE BCA Ð+Ð=°，BCE BAFÐ=Ð∴BCA AEF Ð=Ð，在ABC V 和FAE V 中，BCA AEF B FAE AB AF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS ABC FAE V V ≌，∴24BC AE ==，14CA EF ==，∴10CE AE CA =-=，∴14101246AC CE AE --==，故选：A ．11．如图，AD 是ABC V 的角平分线，DE AB ^于点E ，7ABC S =△，24DE AB ==，，则AC 长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．5【答案】A 【解析】如图所示，过点D 作DF AC ^于F ，∵AD 是ABC V 的角平分线，DE AB ^，DF AC ^，∴2DF DE ==，∵7ABC ABD ACD S S S =+=△△△，∴11722AB DE AC DF ×+×=，∴11422722AC ´´+´=，∴3AC =，故选：A ．12．如图，AB AD =，140BAD Ð=°，AB CB ^于点B ，AD CD ^于点D ，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且70EAF Ð=°，下列结论中①DF BE =， ②ADF ABE △≌△， ③FA 平分DFE Ð，④EF平分AEC Ð，⑤BE DF EF +=．其中正确的结论是（ ）A ．④⑤B ．①②C ．③⑤D ．①②③【答案】C 【解析】∵E 、F 分别是CB CD 、上的任意点，∴DF 与BE 不一定相等，故①错误；∵AB CB ^于点B AD CD ^，于点D ，∴90D ABE Ð=Ð=°，∵AB AD =，∴ADF ABE V V ≌的另一个条件是DF BE =，∵DF 与BE 不一定相等，∴ADF △与ABE V 不一定全等，故②错误；延长CB 到点G ，使BG DF =，连接AG ，则18090ABG ABE Ð=°-Ð=°，∴ABG D Ð=Ð，在ABG V 和ADF △中，AB AD ABG D BG DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABG ADF V V ≌，∴AG AF BAG DAF G AFD =Ð=ÐÐ=Ð，，，∵14070BAD EAF Ð=°Ð=°，，∴70EAG BAE BAG BAE DAF BAD EAF Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð-Ð=°，∴Ð=ÐEAG EAF ，在EAG △和EAF △中，AG AF EAG EAF AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS EAG EAF V V ≌，∴G AFE AEB AEF EG EFÐ=ÐÐ=Ð=，，∴AFD AFE BE DF BE BG EG EF Ð=Ð+=+==，，∴FA 平分DFE Ð，故③⑤正确；若EF 平分AEC Ð，而AEF AEG Ð=Ð，∴60CEF AEF AEG Ð=Ð=Ð=°，与题干信息矛盾，故④错误；故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）13．如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是 .【答案】10【解析】Q 一个多边形的每个内角都是144°，\这个多边形的每个外角都是18014436°-°=°，\这个多边形的边数为：3603610¸°=．故答案为：10．14．如图，ABC V 中，CD 为AB 边上的中线，点E 是CD 的中点，连接BE ，若ABC V 的面积为10，则BECV 的面积是 ． 【答案】52【解析】∵CD 为AB 边上的中线，ABC V 的面积为10，∴152BCD ABC S S ==△△．∵点E 是CD的中点，∴1522BEC BCD S S ==V V ，故答案为：52．15．如图，已知在ABC V ，BD 、CD 分别平分EBA Ð、ECA Ð，BD 交AC 于F ，连接AD ，且20BDC Ð=°，则CAD Ð的度数为 °．【答案】70【解析】过点D 分别作DH BE ^交BE 于点H ，DM BG ^交BG 于点M ，DN AC ^交AC 于点N ，如图所示：因为BD 、CD 分别平分EBA Ð、ECA Ð，则DH DM =，DH DN=则DM DN =，因为DM BG ^，DN AC ^，所以AD 是GAC Ð的角平分线，因为BD 、CD 分别平分EBA Ð、ECA Ð，所以2ABC CBD Ð=Ð，2ACE DCE Ð=Ð，因为20BDC Ð=°，所以20DCE CBD Ð=Ð+°，则22220DCE CBD Ð=Ð+´°，即40ACE ABC Ð=Ð+°，所以40BAC а=因为180MAC BAC Ð+Ð=°，且AD 是GAC Ð的角平分线所以18040702CAD GAD °-°Ð=Ð==°．故答案为：70.16．如图，CN 平分ABC V 的外角ACM Ð，过点A 作CN 的垂线，垂足为点D ，B BAD Ð=Ð．若9AC =，6BC =，则AD 的长为 ．【答案】152【解析】如图，AD 的延长线交BM 于点E ，B BAD Ð=ÐQ ，AE BE \=，CN Q 平分ACM Ð，ACN ECN \Ð=Ð，AD CN ^Q ，90ADC EDC \Ð=Ð=°，在ACD V 和ECD V 中，ACN ECN CD CD ADC EDC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，(ASA)ACD ECD \V V ≌，AC EC \=，AD ED =，9=Q AC ，9EC \=，6BC =Q ，15BE BC EC \=+=，15AE \=，152AD \=，故答案为：152．三、解答题（本大题共6小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知AB 、CD 是两条公路，E 、F 是两个村庄，通讯公司要在两公路之间建一座信号基站，要求到两条公路距离相等，并且到两村庄距离之和最小，请你用尺规作图帮通讯公司确定符合要求的位置点P （保留作图痕迹，不写做法）【解析】如图所示，则点P 即为所求：．18．（12分）正多边形的每个内角比它相邻的外角的3倍还多36°，求这个多边形的对角线是多少条？【解析】设这个多边形的每个外角为x °，则180336x x -=+，·····（3分）解得36x =·····（6分）∴这个多边形的边数是3601036°=°·····（9分）∴这个多边形的对角线是()10103352´-=（条）．·····（12分）19．（12分）如图，A ，E ，B ，D 在同一直线上，FE AD ^，CB AD ^，AE DB =，AC DF =，若30D Ð=°，求C Ð的度数．【解析】∵FE AD ^，CB AD ^，∴90FED CBA Ð=Ð=°，·····（2分）∵AE DB =，∴AE EB EB BD +=+，·····（4分）即AB DE =，·····（5分）在Rt ABC △与Rt DEF △中AB DE AC DF =ìí=î，∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△，·····（8分）∴30D A Ð=Ð=°，·····（11分）∴9060C A Ð=°-Ð=°．·····（12分）20．（12分）如图，ABC V 的高AD 与高BE 交于点F ，过点F 作FG BC P ，交直线AB 于点G ，45ABC Ð=°．求证：(1)BDF ADC V V ≌；(2)FG DC AD +=．【解析】（1）证明：∵AD 是BC 边上的高，45ABC Ð=°，∴90ADB ADC Ð=Ð=°，∴45DAB DBA Ð=Ð=°，∴BD AD =，·····（2分）在Rt BDF V 中，90DBF DFB Ð+Ð=°，∵BE 是AC 边上的高，∴90FEA FEC Ð=Ð=°，·····（4分）在Rt AEF V 中，90EAF EFA Ð+Ð=°，∵DFB EFA Ð=Ð，∴DBF EAF Ð=Ð，·····（6分）在Rt BDF V 和Rt ADC V 中，DBF DAC BD AD BDF ADC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()BDF ADC ASA V V ≌；·····（8分）（2）证明：∵FG BC P ，45ABC Ð=°，∴45AGF ABC Ð=Ð=°，由（1）可得，45DAB Ð=°，∴AGF GAF Ð=Ð，·····（10分）∴FG FA =，由（1）可得，BDF ADC V V ≌，∴DF DC =，·····（11分）∵AD AF DF =+，∴AD FG DC =+，即FG DC AD +=．·····（12分）21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点分别为A 、B 、C ．(1)在图中作出ABC V 关于y 轴的对称图形111A B C △．(2)求ABC V 的面积．(3)在x 轴上画出点P ，使PA PC +最小．【解析】（1）解：∵ABC V 的三个顶点的坐标分别为()3,4A -，()4,1B -，()1,2C -，∴它们关于y 轴的对称点111,,A B C 的坐标为：()13,4A ，()14,1B ，()11,2C ，·····（3分）∴111A B C △的图形如下图所示，·····（6分）（2）解：111331313224222ABC S =´-´´-´´-´´=△；·····（9分）（3）解：如下图所示，作点C 关于x 轴的对称点2C ，连接2AC 交x 轴于点P ，即为所求作的点．·····（12分）22．（14分）如图，等边ABC V 中，CD AB ∥，P 为边BC 上一点，Q 为直线CD 上一点，连接AP PQ 、，使得APQ BAC Ð=Ð．(1)①如图1，探索PAC Ð与PQC Ð的数量关系并证明；②如图1，求证：AP PQ =．(2)如图2，若将“等边ABC V ”改为“等腰直角ABC AB AC =V （）”，其他条件不变，求证：AP PQ =．(3)如图3，若继续将“等腰直角ABC V ”改为“等腰ABC AB AC =V （）”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由．【解析】（1）证明：PAC PQC Ð=Ð，过程如下：·····（1分）①如图1所示，过P 点作PF AB ∥，·····（2分）则PQC FPQ Ð=Ð，CD AB Q ∥，FPA BAP \Ð=Ð，又APQ BAC Ð=ÐQ ，APQ FPA BAC BAP \Ð-Ð=Ð-Ð，即FPQ PAC PQC Ð=Ð=з····（3分）②如图1所示，过P 点作PE AC ∥，·····（4分）则BE BP =，AE PC =，APE PAC PQC Ð=Ð=Ð，180120AEP BEP Ð=°-Ð=°Q ，180120PCQ B Ð=°-Ð=°，AEP PCQ \Ð=Ð，·····（5分）在AEP △和PCQ △中，APE PQC AE PC AEP PCQ Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ASA AEP PCQ \V V ≌，·····（6分）AP PQ \=．·····（7分）（2）解：延长CA 至F 点使PF PC =，·····（8分）45PFC PCF \Ð=Ð=°，180454590FPC \Ð=°-°-°=°，CD AB Q ∥，AC AB ^，AC CD \^，90ACQ \Ð=°，904545PCQ ACQ ACP \Ð=Ð-Ð=°-°=°，PCQ PFA \Ð=Ð，90APQ BAC Ð=Ð=°Q ，90FPC Ð=°，APF APC QPC APC \Ð+Ð=Ð+Ð，APF QPC \Ð=Ð，在APF V 和QPC V 中，APF QPC PF PCPCQ PFA Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ASA APF QPC V V ≌AP PQ \=．·····（9分）（3）解：正确，过程如下：·····（10分）在AC 上取一点F 使PF PC =，·····（11分）ABC \V 和PFC △均为等腰三角形，ACB PCF Ð=ÐQ ，FPC BAC \Ð=Ð，·····（12分）又APQ BAC Ð=ÐQ ，APQ FPC \Ð=Ð，APF QPC \Ð=Ð，CD AB \∥，ACQ BAC APQ FPC \Ð=Ð=Ð=，FPC FCP ACQ FCP \Ð+Ð=Ð+Ð，PFA PCQ \Ð=Ð，在APF V 和QPC V 中，APF QPC PF PC PCQ PFA Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA APF QPC V V ≌，·····（13分）AP PQ \=．·····（14分）。
八年级全等三角形单元测试卷(解析版)
八年级全等三角形单元测试卷（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.在等腰△疤中，初鬼交直线鬼于点"若AD^-BC.则△物7的顶角的度数为【答案】30°或150。
或90°【解析】试题分析：分两种情况：①8C为腰，②8C为底，根据直角三角形30。
角所对的直角边等于斜边的一半判断出ZACD=3O°,然后分AD在内部和外部两种情况求解即可.解：①8C为腰，9：AD±BC于点D , AD= - BC ,2ZACD=3O° ,如图1 , AD在△A8C内部时,顶角ZC=3O° f如图 2 , AD在AABC外部时,顶角ZACB=180° - 30°=150° ,②8C为底，如图3,\9AD±B C 于点D , AD=-BC ,2:.AD=BD=CD ,：,ZB=ZBAD , ZC=ZCAD , :,ZBAD+ZCAD=-xl30°=90° ,2...顶角ZBAC=90° ,综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30。
或150。
或90。
.故答案为30。
或150。
或90° .点睛：本题考查了含30。
交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.2. ________________________________________________ 在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A (1, 2),点P是y轴正半轴上的一点，且△AOP、为等腰三角形，则点P的坐标为.【答案】(0,方),(0,4),(0,|J【解析】【分析】有三种情况：①以。
为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D,求出OA即可：②以A为圆心，以OA为半径画弧交v轴于P,求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C,则AC=OC,根据勾股定理求出OC即可. 【详解】有三种情况：①以。
数学八年级上册 全等三角形单元测试卷(含答案解析)
数学八年级上册 全等三角形单元测试卷（含答案解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在长方形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B 、C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在_____．【答案】AD 的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD 作C 点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P 点使BP+PC 的之最短.详解：如图，过AD 作C 点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD∴△ABP ≌△DC′P∴AP=PD即P 为AD 的中点.故答案为P 为AB 的中点.点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．2．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．【详解】解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152DE BD ==，12BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠， 在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．3．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，连接PD∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60︒，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，∴∠DAB ＝∠PAC ，又AB=AC,AD=AP∴△ADB ≌△APC∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60︒，∴△ADP 为等边三角形，在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，∵△ADB ≌△APC ，∴S △ADB ＝S △APC ，∴S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ＝34×32＋12×3×4＝9364+． 故答案为：936+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．4．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．【详解】解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB ，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ，∴BD=DC ，在△BDF 和△CDA 中，∠BDF=∠CDA ，∠A=∠DFB ，BD=CD ，∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF=AC ，故①正确．∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE ⊥AC ，∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，∵BE 平分∠ABC ，∠ABC=45°，∴∠ABE=∠CBE=22.5°，∵∠BDF=∠BHG=90°，∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°，∴DG=DF ，故③正确．作GM ⊥AB 于M ．如图所示：∵∠GBM=∠GBH ，GH ⊥BC ，∴GH=GM ＜DG ，∴S △DGB ＞S △GHB ，∵S △ABE =S △BCE ，∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故④错误，故答案为：①②③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．5．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，求出△COD是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC，OD，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．6．如图，已知，点E是线段AB的中点，点C在线段BD上，8BD=，2DC=，线段AC交线段DE于点F，若AF BD=，则AC=__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE至G，使EG=DE，连接AG，证明BDE AGE∆≅∆，而后证明AFG∆、CDF∆是等腰三角形，即可求出CF的长，于是可求AC的长.【详解】解：如图，延长DE至G，使EG=DE，连接AG，∵点E是线段AB的中点，∴AE=BE,∴在BDE∆和AGE∆中，BE AEBED AEGDE EG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BDE AGE∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE∠=∠,∵AF=BD=8,∴AFG AGE ∠=∠∵AFG DFC ∠=∠,∴BDE DFC ∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.7．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________【答案】()8,0-【解析】【分析】根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.【详解】解：设到第n 个三角形顶点的个数为y则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,∴OA 19=9-1=8,∴19A 的坐标为()8,0-故答案是()8,0-【点睛】本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在BC 的延长线上，G 是AC 上一点，且CG ＝CD ，F 是GD 上一点，且DF ＝DE ．若∠A ＝100°，则∠E 的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE ，CG=CD 可得∠E=∠DFE ，∠CDG=∠CGD ，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E ，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G ，进而可得∠ACB=4∠E ，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF ＝DE ，CG ＝CD ，∴∠E ＝∠DFE ，∠CDG ＝∠CGD ，∵GDC ＝∠E +∠DFE ，∠ACB ＝∠CDG +∠CGD ，∴GDC ＝2∠E ，∠ACB ＝2∠CDG ，∴∠ACB ＝4∠E ，∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∴∠ACB ＝40°，∴∠E ＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.9．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..10．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝20°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是______________．【答案】2018180 2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，∴∠BA1C=°180-2B∠=80°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×80°；同理可得∠EA3A2=（12）2×80°，∠FA4A3=（12）3×80°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（12）n-1×80°．∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是（12）2018×80°，故答案为：（12）2018×80°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）A ．511a 32⨯（） B ．511a 23⨯（） C ．611a 32⨯（） D ．611a 23⨯（） 【答案】A【解析】 连接AD 、DB 、DF ，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL 证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD ∥EF ∥GI ，过F 作FZ ⊥GI ，过E 作EN ⊥GI 于N ，得出平行四边形FZNE 得出EF=ZN=13a ，求出GI 的长，求出第一个正六边形的边长是13a ，是等边三角形QKM 的边长的13；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI 的边长的13；求出第五个等边三角形的边长，乘以13即可得出第六个正六边形的边长． 连接AD 、DF 、DB ．∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠ABC=∠BAF=∠AFE ，AB=AF ，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD ，∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，∵∠AFE=∠ABC=120°，∴∠AFD=∠ABD=90°，在Rt △ABD 和RtAFD 中AF=AB {AD=AD∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （HL ），∴∠BAD=∠FAD=12×120°=60°， ∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，∴AD ∥EF ，∵G 、I 分别为AF 、DE 中点，∴GI ∥EF ∥AD ，∴∠FGI=∠FAD=60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，∴∠EDM=60°=∠M，∴ED=EM，同理AF=QF，即AF=QF=EF=EM，∵等边三角形QKM的边长是a，∴第一个正六边形ABCDEF的边长是13a，即等边三角形QKM的边长的13，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，则FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四边形FZNE是平行四边形，∴EF=ZN=13a，∵GF=12AF=12×13a=16a，∠FGI=60°（已证），∴∠GFZ=30°，∴GZ=12GF=112a，同理IN=112a，∴GI=112a+13a+112a=12a，即第二个等边三角形的边长是12a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是13×12a；同理第第三个等边三角形的边长是12×12a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是13×12×12a；同理第四个等边三角形的边长是12×12×12a，第四个正六边形的边长是13×12×12×12a；第五个等边三角形的边长是12×12×12×12a，第五个正六边形的边长是13×12×12×12×12a ； 第六个等边三角形的边长是12×12×12×12×12a ，第六个正六边形的边长是13×12×12×12×12×12a ， 即第六个正六边形的边长是13×512（）a ， 故选A ．12．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】 以O 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴有两交点，这两点显然符合题意．以A 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴交与两点（O 点除外）．以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，13．如图,ABC ∆中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )A ．1.5B ．3C ．4.5D ．9【答案】C【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差=S△ADC，然后由DC⊥AC时，△ACD的面积最大求出结论即可．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB=∠ADH=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°．∵∠BAD=∠HAD，∴∠ABD=∠H，∴AB=AH．∵AD⊥BH，∴BD=DH．∵DC=CA，∴∠CDA=∠CAD．∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠H，∴CD=CH=AC．∵BD=DH，AC=CH，∴S△CDH=12S△ADH14=S△ABH．∵AE=EC，∴S△ABE14=S△ABH，∴S△CDH=S△ABE．∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD．∵AC=CD=3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12⨯3×392=．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．14．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC 的长为A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】【分析】 根据题意可得MN 是直线AB 的中点，所以可得AD=BD ，BC=BD+CD ，而△ADC 为AC+CD+AD=14，即AC+CD+BD=14，因此可得AC+BC=14，已知BC 即可求出AC .【详解】根据题意可得MN 是直线AB 的中点AD BD ∴=ADC 的周长为14AC CD AD ++=14AC CD BD ++=∴BC BD CD =+14AC BC =∴+已知8BD =6AC ∴= ，故选B【点睛】本题主要考查几何中的等量替换，关键在于MN 是直线AB 的中点，这样所有的问题就解决了.15．如图，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形；④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.【详解】连接OB ，∵AB AC =，AD ⊥BC ，∴AD 是BC 垂直平分线，∴OB OC OP ==，∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，∵AB=AC ，∠BAC =120∘∴30ABC ACB ∠=∠=︒ ∴30ABO DBO ∠+∠=︒，∴30APO DCO ∠+∠=．故①②正确；∵OBP ∆中，180BOP OPB OBP ∠=︒-∠-∠，BOC ∆中，180BOC OBC OCB ∠=︒-∠-∠，∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，∵OPB OBP ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，∴260POC ABD ∠=∠=︒，∵PO OC ，∴OPC ∆是等边三角形，故③正确；在AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，则AOQ ∆为等边三角形，则120BQO PAO ∠=∠=︒，在BQO ∆和PAO ∆中，BQO PAOQBO APOOB OP∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴BQO PAO AAS∆∆≌（），∴PA BQ=，∵AB BQ AQ=+，∴AB AO AP=+，故④正确.故选：D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证BQO PAO∆∆≌是解题的关键．16．如图钢架中，∠A=a,焊上等长的钢条P1P2, P2P3, P3P4, P4P5……来加固钢架.著P1A= P1P2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )A．15°≤ a <18°B．15°< a ≤18°C．18°≤ a <22.5°D．18° < a ≤ 22.5°【答案】C【解析】【分析】由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围.【详解】∵AB=BC=CD=DE=EF∴∠P1P2A=∠A=a由三角形外角性质，可得∠P2P1P3=2∠A=2a同理可得，∠P1P3P2=∠P2P1P3=2a，∠P3P 2P4=∠P3P4P2=∠A+∠P1P3P2=3a，∠P4P3P5=∠P4P5P3=∠A+∠P3P4P2=4a，在△P4P3P5中，∠P3P4P5=180°-2∠P4P3P5=180°-8a当∠P5P4B≥90°即∠P5P4A≤90°时，不能再放钢管，∴3180890+-≤a a，解得a≥18°又∵等腰三角形底角只能是锐角，∴4a ＜90°，解得a ＜22.5∴1822.5οο≤<a故选C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.17．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知AH DF =，即可作出判断.【详解】①正确：∵ABC △是等边三角形，∴60BAC ︒∠=，∴CA AB =．∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．又∵90BAD ︒∠=，∴150CAD BAD BAC ︒∠=∠+∠=，∴DA CA =，∴()1180150152ADC ACD ︒︒︒∠=∠=-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°∠AFG≠∠AGD∴AF≠AG③，④正确，由题意可得45DAF ABH ︒∠=∠=，DA AB =，∵AE BD⊥，AH CD⊥．∴180EHG EFG︒∠+∠=．又∵180?DFA EFG∠+∠=，∴EHG DFA∠=∠，在DAF△和ABH中()AFD BHADAF ABH AASDA AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF△≌ABH．∴DF AH=．⑤正确：∵150CAD︒∠=，AH CD⊥，∴75DAH︒∠=，又∵45DAF︒∠=，∴754530EAH︒︒︒∠=-=又∵AE DB⊥，∴2AH EH=，又∵=AH DF，∴2DF EH=【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.18．如图，平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)，若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由点A、B的坐标可得到2，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．【详解】∵点A、B的坐标分别为(2，2)、B(4，0)．∴2，如图，①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点(含B点)，即(0，0)、(4，0)，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA=CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．故选D．【点睛】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上．19．如图，已知，点A（0，0）、B（43，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（）A 3B3C3D3【答案】A【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=3OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A1AB=60°，进而可得∠CAA1=30°，∠CA1O=90°，因此可推导出∠A2A1B=30°，同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°，∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA1=OCcos∠CAA1=3B1A2=1232⨯2017个等边三角形的边长为：201713()432⨯=.故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，则P的坐标是（3，4）；②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，过P′作P′N⊥OA于N，在Rt△OP′N中，设CP′=x，则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，x=2，则P′的坐标是（2，4）；过P″作P″M⊥OA于M，设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P″的坐标是（8，4）；假设0P=PD，则由P点向0D边作垂线，交点为Q则有PQ2十QD2=PD2，∵0P=PD=5=0D，∴此时的△0PD为正三角形，于是PQ=4，QD=120D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．所以排除此种可能．故选B．。
八年级上册数学 全等三角形单元测试卷(含答案解析)
八年级上册数学全等三角形单元测试卷（含答案解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．-【答案】10310【解析】解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP-；最小，最小值为10310③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；-（cm）．综上所述，PA的最小值为10310-．故答案为：10310点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．【详解】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=；∴D （0，5）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，∴P （0，4）；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，∴OC ＝54， ∴C （0，54）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．3．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°；所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，故答案为：110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.4．在锐角三角形ABC中．32∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，再根据BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE 的长．【详解】解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M′，过点M′作M′N′⊥BC 于N′，则CE 即为CM+MN 的最小值，∵BC=32，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC ，∴△BCE 是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4． ∴CM+MN 的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．5．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．6．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，点D 在边AB 上，∠ACD =15°，则AD BC=____．【答案】22． 【解析】【分析】根据题意作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH ＝DH ，连接DH ，并设AD ＝2x ，解直角三角形求出BC （用x 表示）即可解决问题．【详解】解：作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH=DH ，连接DH ．设AD=2x ， ∵AB=AC ，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=x ， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，∴∠HDC=∠HCD=15°，∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，∴DH=HC=2x ，FH 3=x ，∴AB=AC=2x+23x ，在Rt △ACE 中，EC 12=AC=x 3+x ，AE 3=EC 3=x+3x ， ∴BE=AB ﹣AE 3=x ﹣x ，在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =+=22x ， ∴222AD BC x ==． 故答案为：22． 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，又∵AB=AC ，EA=EA ，∴△AEB ≌△AEC （SSS ），∴∠BEA =∠CEA =1302BEC ∠=︒， ∴∠ADB =30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D 关于直线AB 的对称点E ，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．8．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________．【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC=90°+12∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12mn，故④错误，根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD，同理可证BM=BN，CD=CN，变形即可得到⑤正确．【详解】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣12∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA．∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•（AE+AF）=12mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；同理可证：BM=BN，CD=CN．∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC﹣BC）故⑤正确．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．9．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为_____．【答案】3【解析】【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．【详解】如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD BDDF DE⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11，AC=5，∴BE=12（11-5）=3．故答案为：3．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．【答案】64a【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2，进而得出A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2…从而得到答案．【详解】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a．∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2=16a，以此类推：A7B7=64B1A2=64a．故答案为：64a．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上且△APO是等腰三角形，这样的点P 共有（）个A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，要使△AOP是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P共8个．【详解】如图，分两种情况进行讨论：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；∴满足条件的点P共有8个，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．12．如图所示，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD ，有下列四个结论：①∠PBC ＝15°，②AD ∥BC ，③PC ⊥AB ，④四边形ABCD 是轴对称图形，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】根据周角的定义先求出∠BPC 的度数，再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形，∠PBC 即可求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．【详解】根据题意，BPC 36060290150∠=-⨯-= ， BP PC =，()PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，∴AD//BC ，②正确；∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，∴PC ⊥AB ，③正确，所以四个命题都正确，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.13．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°） 所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.14．如图，△ABC 的周长为32，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA ＝BE ，CA ＝CD ，由△ABC 的周长为32以及BC ＝12，可得DE ＝8，利用中位线定理可求出PQ ．【详解】∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴∠ABQ ＝∠EBQ ，∵∠ABQ+∠BAQ ＝90°，∠EBQ+∠BEQ ＝90°，∴∠BAQ ＝∠BEQ ，∴AB ＝BE ，同理：CA ＝CD ，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD ＝AB+AC ＝32﹣BC ＝32﹣12＝20，∴DE ＝BE+CD ﹣BC ＝8，∴PQ ＝12DE ＝4． 故选：B ．【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线．15．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P 、Q 分别是线段BC 、射线BA 上一点，则CQ+PQ 的最小值为（ ）A ．6B ．7.5C ．9D ．12【答案】C【解析】【分析】 通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.【详解】解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.∵AB=AC=6,∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，易得BC=63，在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，∴HC=33，∠BCH=60°，∴163CC =，在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，∴19PC =∴CQ+PQ 的最小值为9，故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.16．如图，四边形ABCD 中，∠C=，∠B=∠D=，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】【详解】作点A 关于直线BC 和直线CD 的对称点G 和H ，连接GH ，交BC 、CD 于点E 、F ，连接AE 、AF ，则此时△AEF 的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G ，∠3=∠H ，△AGH 的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．故选D ．考点：轴对称的应用；路径最短问题．17．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）【答案】A【解析】试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．试题解析：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．18．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正确；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正确，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE ＝∠BED ，∵∠CBE ＝∠DAE ，∴∠AOB ＝∠OAE +∠AEO ＝60°，∴∠AOE ＝120°，故⑤正确，故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．19．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知AH DF =，即可作出判断.【详解】①正确：∵ABC △是等边三角形，∴60BAC ︒∠=，∴CA AB =．∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．又∵90BAD ︒∠=，∴150CAD BAD BAC ︒∠=∠+∠=，∴DA CA =，∴()1180150152ADC ACD ︒︒︒∠=∠=-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°∠AFG≠∠AGD∴AF≠AG③，④正确，由题意可得45DAF ABH ︒∠=∠=，DA AB =，∵AE BD ⊥，AH CD ⊥．∴180EHG EFG ︒∠+∠=．又∵180?DFA EFG ∠+∠=，∴EHG DFA ∠=∠，在DAF △和ABH 中()AFD BHA DAF ABHAAS DA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌ABH ．∴DF AH =．⑤正确：∵150CAD ︒∠=，AH CD ⊥，∴75DAH ︒∠=，又∵45DAF ︒∠=，∴754530EAH ︒︒︒∠=-=又∵AE DB ⊥，∴2AH EH =，又∵=AH DF ，∴2DF EH =【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.20．如图，已知等边△ABC 的面积为43， P 、Q 、R 分别为边AB 、BC 、AC 上的动点，则PR ＋QR 的最小值是（ ）A ．3B ．23C ．15D ．4【答案】B【解析】 如图，作△ABC 关于AC 对称的△ACD ，点E 与点Q 关于AC 对称，连接ER ，则QR=ER ，当点E ，R ，P 在同一直线上，且PE ⊥AB 时，PE 的长就是PR +QR 的最小值，设等边△ABC 的边长为x 3， ∵等边△ABC 的面积为3，∴12x ×2 解得x=4，∴等边△ABC即PR +QR 的最小值是，故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题等，解题的关键是正确添加辅助线构造出最短路径.。
八年级数学全等三角形与轴对称综合解答题 (3)
八年级数学综合解答、证明题1．已知如图在△ABC 中，∠ACB=90。
，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE=BC ，过E 点做AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ，求证：AB=FC2．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：BE=CF3．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD=DE=EB ，BD=BC ，试求∠A 的度数4．已知△ABC 中，BD 、CE 是高，BD 、CE 相交于O ，OB=OC ，试判断△ABC 的形状，并说明理由。
A BB CABC5．已知：CD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，DE ∥BC 交AC 于E ，求证：DF=2DE 。
6．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，CD 和BE 相交于点M,CD 交AB 于点N ，试证明（1）CD=BE (2) CD ⊥BE7．如图，B 、C 、F 、E 在同一直线上，AB 、DE 相交于点G ，且BC=EF ，GB=GE ，∠D=∠A. 求证：DC=AF8．已知∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，AB=AC . 证明：BD=CE.ABC DE F D A B C D E9．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长。
10．如图23，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF⑴求证：BG=CF⑵请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并说明理由。
11．.如图21，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC12. A、B、C是三个村庄，现要修一个自来水厂P，使自来水厂P到三个村庄距离相等，请做出自来水长位置PAB C13.求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠ABC的两边距离相等.B A14.已知直线AB和直线AB同侧两点M、N，在直线AB上找一点P，使PM+PN最短。
全等三角形与轴对称综合练习题(4)
全等三角形与轴对称练习题一、填空题1、如图1所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，则边BC的长为 .2、如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAD＝30°，且AD=AE，则∠EDC＝ .3、在直角坐标系内有两点A(-1，1)、B(3，3)，若M为x轴上一点，且MA+MB最小，则M的坐标是________。
4、如图3，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF=_________度．图1 图2 图35、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图的方式进行折叠，使折叠的左侧部分比右侧部分短1；展开后按图的方式再折叠一次，使第二侧折痕的左侧部分比右测部分长1，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 .6、已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是______.7、如图4，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____．8、如图5，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，若AD=AB，∠CAD=36°，则∠DBC的度数是。
9、如图6，△ABD、△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=__________.图4 图5 图6二、选择题1、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是（）A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°2、如图7，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4，若已知∠1＝55°，∠3=75°，那么∠2等于（）.A.50° B.55° C.66° D65°3、如图8，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形.其中正确结论的个数为（）.A.1B.2C.3D.44、如图9，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）.A.50° B.55° C.60° D.65°5、如图10，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则( )A、AF=2BFB、AF=BFC、AF>BFD、AF<BF图7 图8 图9 图106、如下图，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③），那么∠AFE的度数为：（）A.60°B.67.5°C.72°D.75°8.如下图1，AB⊥AC，AG⊥BG,CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°其中正确的结论是（）A、①③ B、②④ C、①③④ D、①②③④9.如下图2所示，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2 等于（） A 、270° B、180° C、135° D、90°10.如下图3，已知在△ABC中，∠CAB、∠ABC的外角平分线相交于点D。
全等三角形和轴对称专练题(50题)
全等三角形和轴对称专练题（50题）一．解答题（共60小题）1．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠DEC的度数．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠F AG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．4．如图，AB平分∠CAD，AC＝AD，求证：BC＝BD．5．已知：如图，C是AB的中点，AE＝BD，∠A＝∠B．求证：∠E＝∠D．6．如图，CE＝DE，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝42°，求∠3的度数．7．如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，AC＝BD．求证：∠C＝∠D．8．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．（1）求证：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．10．在△ABC中，D为AC的中点，DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，且DM＝DN．（Ⅰ）求证：△ADM≌△CDN．（Ⅱ）若AM＝2，AB＝AC，求四边形DMBN的周长．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．12．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝1时，求AC的长．14．如图，点C、E、F、B在同一直线上，CE＝BF，AB＝CD，AB∥CD．（1）求证∠A＝∠D；（2）若AB＝BE，∠B＝40°，求∠D的度数．15．如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．16．如图，AB∥CD，∠B＝∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；（2）试说明△AOD≌△EOC．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝50°，点D在边BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交边AC于点E．（1）当∠BDA＝100°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°．（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．18．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．19．如图所示，已知△ABC中AB＝AC，E、D、F分别在AB，BC和AC边上，且BE＝CD，BD＝CF，过D作DG⊥EF于G．求证：EG＝EF．20．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）求证：DE＝EF．（2）当∠A＝36°时，求∠DEF的度数．21．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；22．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．23．如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．24．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，BD＝CE，求证：∠B＝∠C．25．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝80°，求∠DEC的度数．26．已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC＝BE，∠ABC＝∠E，求证：AB＝DE．27．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB＝DC，求证：∠A＝∠D．28．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC．29．已知：如图，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF，且点B、E、C、F都在一条直线上，求证：AC∥DF．30．如图，点B，E，C，F在同一直线上，∠A＝∠D＝90°，BE＝FC，AB＝DF．求证：∠B＝∠F．31．如图，△ABC和△EFD的边BC、DF在同一直线上（D点在C点的左边），已知∠A＝∠E，AB∥EF，BD＝CF．（1）求证：△ABC≌△EFD；（2）求证：AC∥DE．32．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE，求证：△ABC≌△DEF；33．如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF．34．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．35．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝AD．36．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F．（1）求证：BE＝CG；（2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．37．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ 的形状，并加以证明．38．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB＝DC．求证：∠ABD＝∠ACD．39．如图，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求证：△ABC≌△ADC．40．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠1＝∠2，AE＝CF，AD＝CB．判断BE和DF的位置关系，并说明理由．41．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BD＝CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠B＝40°，AB＝BE，求∠DAE的度数．42．已知：如图，B，A，E在同一直线上，AC∥BD且AC＝BE，∠ABC＝∠D．求证：AB＝BD．43．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，AF＝DE，BE＝CF．求证：AB＝DC．44．已知：点A、E、D、C在同一条直线上，AE＝CD，EF∥BD，EF＝BD．求证：AB∥CF．45．已知：如图AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，AB＝CD，求证：△AOB≌△DOC．46．如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE＝CF，求证：AB∥CD．47．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F．求证：AC＝2BF．48．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，为了测量它们的距离，可以沿河岸作一条直线MN，且使MN ⊥AB于点B，在BN上截取BC＝CD，过点D作DE⊥MN，使点A、C、E在同一直线上，则DE的长就是A、B两建筑物之间的距离，请说明理由．49．如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DE＝BF．请推导下列结论：（1）∠D＝∠B；（2）AE∥CF．50．如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE＝BF．求证：△ABF≌△CDE．51．已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C．求证：BD＝CE．52．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．53．已知：如图，AC与BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO．求证：AB∥CD．54．已知：如图，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE＝CD．55．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC上一点，AB＝AD，求证：EB＝ED．56．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．（1）若AD＝2，求AF的长；（2）求当AD取何值时，DE＝EF．57．已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，求证：AB＝DE．58．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝CE，求证：AB∥CF．59．如图，BE＝BC，∠A＝∠D，求证：AC＝DE．60．如图，AD，BC相交于点O，OA＝OB，∠C＝∠D＝90°．（1）求证：△ACB≌△BDA．（2）当AC＝3，AB＝5时，求OD的长．2022年11月03日遵义三十二钟的初中数学组卷一．解答题（共60小题）1．如图所示：（1）A，B两点关于轴对称；（2）A，D两点横坐标相等，线段AD y轴，线段ADx轴；若点P是直线AD上任意一点，则点P的横坐标为；（3）线段AB与CD的位置关系是；若点Q是直线AB上任意一点，则点Q的纵坐标为．2．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A'，B'，C'的坐标；（3）直接写出△ABC的面积．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？4．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：（1）△ABC是等腰三角形；（2）AF＝CE．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．6．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．若∠A＝100°，∠ABD ＝22°，求∠C的度数．7．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）作出△ABC关于x对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）求△AA1A2的面积．8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．（1）若∠DAC＝30°，求∠FDC的度数；（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为；（3）△A1B1C1的面积为；（4）在y轴上确定一点P，使△APB的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹）10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED．（1）求证：BD＝CD．（2）若∠A＝120°，∠BDC＝2∠1，求∠DBC的度数．11．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）△ABC的面积；（2）在坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标．12．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．（1）求证：BD⊥BC．（2）求DB的长．13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；（2）已知P为y轴上一点，若△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'；（2）写出点A'，B'，C'的坐标．（3）在y轴上找一点P，使P A+PC的长最短．15．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．16．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．17．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．（1）求∠BAC和∠ACB的度数；（2）求证：△ACF是等腰三角形．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC边上一点，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度数；（2）请说明：AB＝CD．20．如图：已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC求证：∠C＝2∠D．21．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．22．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，求∠CDE的度数．23．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，点E是AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．25．如图，△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．26．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝∠B．27．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．28．如图，△ABC中，AB＝AC＝CD，BD＝AD，求△ABC中各角的度数．（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．30．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE＝CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC．31．已知，如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．34．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．35．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．36．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．37．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由．38．如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形．（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．39．已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．（1）求证：CE＝CB；（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．40．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．41．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长．42．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE ＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．43．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．44．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．45．已知：如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E．（1）求证：CE＝CB；（2）如果连接BE，请写出BE与AC的关系并证明．46．已知：如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠1＝80°，AB＝AD＝DC．求：∠C的度数．47．如图，△ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，△ADE的周长为6cm．（1）求△ABC中BC边的长度；（2）若∠BAC＝116°，求∠DAE的度数．48．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E．（1）若AC＝12，BC＝10，求△EBC的周长；（2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数．49．已知在△ABC中，AB＝AC，且线段BD为△ABC的中线，线段BD将△ABC的周长分成12和6两部分，求△ABC三边的长．50．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE ＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．51．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．52．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．53．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝42°，求∠BED的度数．54．如图，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC．（1）求△PDE的周长；（2）若∠A＝50°，求∠BPC的度数．55．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10，AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E．（1）求△ACD的周长；（2）若∠C＝25°，求∠CAD的度数．56．如图在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．57．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）△BCD的周长是a，BC＝b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）．58．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．①若△BCD的周长为8，求BC的长；②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数．59．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E．求证：FC＝2BF．60．如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B＝∠CAF．。
八年级测试卷三角形全等三角形轴对称
八年级测试卷三角形全等三角形轴对称在八年级的数学学习中，三角形全等和三角形轴对称这两个重要的知识点，犹如数学大厦中的基石，为我们进一步探索几何世界提供了坚实的基础。
先来说说三角形全等。
三角形全等是指两个三角形的形状和大小完全相同。
要判断两个三角形是否全等，我们有多种方法，比如“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）以及直角三角形特有的“斜边、直角边”（HL）。
“边边边”定理，只要两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形就全等。
这就好像我们制作两个完全相同的木框，只要三根木条的长度分别一样，那么这两个木框的形状和大小就会一模一样。
“边角边”定理告诉我们，如果两个三角形有两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形也全等。
比如说，我们要制作两个形状相同的风筝骨架，只要保证两条骨架边的长度相等，并且它们之间的夹角也相等，那么这两个风筝骨架就是一样的。
“角边角”和“角角边”定理则强调了三角形的角和边的对应关系。
当两个三角形的两个角及其夹边对应相等，或者两个角和其中一个角的对边对应相等时，它们就是全等的。
而在直角三角形中，“斜边、直角边”定理是个特殊的存在。
只要一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形就全等。
理解和掌握三角形全等的判定定理，不仅能够帮助我们解决许多几何问题，还能培养我们的逻辑推理能力和空间想象力。
接下来谈谈三角形的轴对称。
轴对称是一种非常美丽而又有趣的几何现象。
如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
对于三角形来说，等腰三角形和等边三角形都是轴对称图形。
等腰三角形的对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边上的中线）所在的直线。
想象一下，把一个等腰三角形沿着这条直线对折，两边是不是能够完美重合？等边三角形就更特别了，它有三条对称轴，分别是三条边上的高（或顶角平分线或底边上的中线）所在的直线。
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ABCDE 全等三角形、轴对称期末复习1．两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）A 、两角和一边B 、 两边及夹角C 、 三个角D 、三条边2．如图，在△ABD 和△ACE 都是等边三角形，则ΔADC ≌ΔABE 的根据是（ ）A 、SSSB 、SASC 、ASAD 、AAS3．如图：若△ABE ≌△ACF ，且AB=5，AE=2，则EC 的长为（ ） A 、2 B 、3 C 、5 D 、2.5 4．使两个直角三角形全等的条件是（ ）A.一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C.一条边对应相等D.两边对应相等 5．如图：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，则下列结论：①△ABD ≌△ACD ，②∠B=∠C ，③BD=CD ，④AD ⊥BC 。
其中正确的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6．下列平面图形中，不是轴对称图形的是 （ ）7．下列图形：①角，②两相交直线，③圆，④正方形，其中轴对称图形有( )A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个8．已知∠AOB=30︒，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则△P 1OP 2是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 9．已知A 、B 两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A 、B 关于x 轴对称；②A 、B 关于y 轴对称；③A 、B 关于原点对称；④A 、B 之间的距离为4，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图：AB=AD ，AE 平分∠BAD ，则图中有（ ）对全等三角形。
A 、2 B 、3 C 、4 D 、5第2题图 第3题图 第5题图 第10题图11．已知点A （a ，b ）关于x 轴对称点的坐标是（a ，-12），关于y 轴对称点的坐标是（5,b ），则A 点的坐标是 。
12．AD 为△ABC 的高，AB AC =，△ABC 周长为20cm ，△ACD 周长为14cm ，则AD =______． 13．设∠a 是等腰三角形的一个底角，则其度数x 的取值范围应是______． 14．如图：将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点F 处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= ； 15．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD 的面积是______； A B C D17．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为18．如图，已知AC CD DA CB DE====，则此图中共有______ 个等腰三角形．19．如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD＝158°，则EDF∠等于______．20．如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：①AD∥BC，②DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。
将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。
请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果……那么……）（1）；（2）；第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图第19题图第20题图21．如图，已知AB DC AC DB==，．求证：12∠=∠．22．如图，已知在△ABC中，AB AC=，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．FECBAA DB CO1223．如图，已知等腰Rt △OAB 中，∠AOB =90o ，等腰Rt △EOF 中，∠EOF =90o ，连结AE 、BF ．求证：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ．24．如图，△ABC 中AB =AC ，D 、E 分别在AB 、AC 上，且BD =DE =AE ，BE =BC ，•你能求出∠A 的度数吗？25．如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 。
求证：（1）AD=AG ，（2）AD 与AG 的位置关系如何，请说明理由。
26．两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ， MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．E D CA B G H F E DC BA Ｍ Ｂ Ｃ ＡＥ Ｄ27．如图，△ABC 中AB ＞AC ，AF 是角平分线，D 是AB 上一点，且AD =AC ，DE ∥BC 交AC 于E ，求证：CD 平分∠EDF ．28．如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE ，求证：△ABC 是等腰三角形。
29．如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N 。
（1）求证：MN=AM+BN 。
（2）若过点C 在△ABC 内作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ，则AM 、BN 与MN 之间有什么关系？请说明理由。
30．如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于F ，连结AF 。
求证：∠B=∠CAF 。
E D C A BF N MCB A NM CBA D C BA FE全等三角形、轴对称期末复习（2）1．等腰三角形一个外角等于110°，则底角为（）A．70°或40°B．40°或55°C．55°或70°D．70°2．如图：在不等边△ABC中，PM⊥AB，垂足为M，PN⊥AC，垂足为N，且PM=PN，Q 在AC上，PQ=QA，下列结论：①AN=AM，②QP∥AM，③△BMP≌△QNP，其中正确的是（）A、①②③B、①②C、②③D、①3．直线a，b，c表示三条相互交叉环湖而建的公路，现在建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1个B、2个C、3个D、4个4．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长是（）A、6㎝B、4㎝C、10㎝D、以上都不对5．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．底边上的高C．腰上的高所在的直线D．顶角的平分线所在的直线6．三角形一边上的高与中线相互重合，且等于该边的一半，则这个三角形是（）．A．任意三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．已知等腰△ABC的底边8cmBC=，且|AC-BC|=2cm，则腰AC的长为（）A. 10cm或6cmB.10cmC. 6cmD.8cm或6cm8．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D’，C’的位置，若∠EFB=65︒，则∠AED’等于（）．A．50°B．55°C．60°D．65°9．如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC OA∥交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=4，则PD等于（）．A．4B．3C．2D．110．在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个第2题图第4题图第6题图第7题图11．正三角形的对称轴有条。
12．如果一个等腰三角形的一个外角等于40°，则该等腰三角形的底角的度数是．13．若等腰三角形的顶角和一个底角的和是110°，则它的一个底角＝_________．14．如图：AB，CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是；15．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB= ；16．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______”。
17．如图，已知AB∥CD，AB=CD，则由“AAS”直接判定______≌______。
18．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABCAB D CEAA'B CC'的周长为_19．如图，∆MNP中，∠P=60︒，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若∆MNP的周长为12，MQ=a，△MGQ的周长是_____________．20．如图所示，AOB∠是一个钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管____根．第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图第19题图第20题图21．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB与CD相等吗？请你说明理由.22．如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
23．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，求∠B和∠C的度数.DCBA4321AB D C24．如图：AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD 。
求证：BE ⊥AC 。
25．如图：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D 。
求证：（1）OC=OD ，（2）DF=CF 。
26．如图，△ABC 是等边三角形，AE =CD ，BQ ⊥AD 于Q ，BE 交AD 于P ．①求∠PBQ 的度数．②判断PQ 与BP 的数量关系．27．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论。
C F E B DA OF E D CB A28．如图，AB =CD，AD =BC，O为BD上任意一点，过O点的直线分别交AD，BC于M、N点，求证：21∠=∠29．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B+∠C=120°，求∠BAD的度数.30．已知如图（1）：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F。