高一数学必修第二章测试题
高一数学必修2第二章测试题及答案解析(同名10275)
第二章单元测试题、选择题1．若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是 ( )A .相交B .平行C .异面D .平行或异面2 .平行六面体ABCD -A i B i C i D i 中，既与AB 共面也与CC i 共面的棱 的条数为 ( ) A .3 B .4 C .5 D . 64.长方体ABCD — A i B i C i D i 中，异面直线AB,A i D i 所成的角等于()A. 30° B . 45° C . 60° D . 90° 5.对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面a,使得() A . a? a ， b? a B . a? a, b 〃a C.a 丄 a, b 丄 a D . a? a, b 丄 a6. 下面四个命题：① 若直线 a b 异面 b c 异面 则 a c 异面；② 若直线 a b 相交 b c 相交 则 a c 相交；③ 若a // b ，则a , b 与c 所成的角相等；④ 若a 丄b , b 丄c ,则a / c.其中真命题的个数为()A . 4B . 3C . 2D . i 7. 在正方体 ABCD —A i B i C i D i 中EF 分别是线段 A i B i B i C i 上的 不与端点重合的动点，如果 A i E = B i F ,有下面四个结论：① EF 丄 AA i ;® EF // AC ;③ EF 与 AC 异面；④ EF //平面 ABCD. 其中一定正确的有 ( )A. ①② B .②③ C .②④ D .①④B .8设a , b 为两条不重合的直线，a, B 为两个不重合的平面，下列命 题中为真命题的是( )A .若a , b 与a 所成的角相等，贝S a //bB .若 a / a, b / 伏 a// B,则 a / bB. 若 a? a, b? B a / b ,贝U a// [33. 已知平面a 和直线I ，则 A .平行 B .相交 a 内至少有一条直线与1(C .垂直D .异面D .若a丄a, b丄3 a丄3贝y a丄b9.已知平面a丄平面厲aQ B= l，点A€ a, A?l，直线AB II l，直线AC 丄l，直线m// a n//伏则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A . AB//m B. AC 丄m C. AB// B D. AC 丄B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上)14. 正方体ABCD —A i B i C i D i中，二面角G —AB-C的平面角等于15. ______________________________________________________ 设平面a//平面B, A, C€ a, B , D € B,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面a B之间，AS= 8 , BS= 6 , CS= 12 ,则SD= _______________16. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD —C,有如下四个结论：①AC丄BD :②厶ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角;④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是_________ .三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （10分）如下图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，△ ABC与厶A i B i C i 都求证：（1）平面AB i F i //平面C i BF;⑵平面AB i F i丄平面ACC i A i.18. (12分)如图所示，边长为2的等边△ PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC = 2 2 M为BC的中点.(1)证明：AM丄PM;⑵求二面角P-AM —D的大小.详解答案1［答案］D2［答案］C［解析］AB与CC i为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CG相交的有：CD、C1D1与CC i平行且与AB相交的有：BB i、AA1，第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3［答案］C［解析］1°直线I与平面a斜交时，在平面a内不存在与I平行的直线，二A错；2°l? a时，在a内不存在直线与I异面，二D错；3°l // a时，在a内不存在直线与I相交.无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与I垂直.4［答案］D［解析］由于AD // A i D i，则/ BAD是异面直线AB, A i D i所成的角，很明显/ BAD = 90°5［答案］B［解析］对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a, b不相交，则a与b平行或异面，都存在a,使a? a, b // a, B正确；对于选项C, a丄a, b± a, 一定有a/ b, C错误；对于选项D , a? a, b丄a 一定有a丄b , D错误.6［答案］D［解析］异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a / c ,而在空间中，a与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误.7［答案］D［解析］如图所示.由于AA i丄平面A i B i C i D i , EF?平面A i B i C i D i,则EF丄AA i,所以①正确；当E, F分别是线段A1B1, B1C1 的中点时，EF// A i C i, 又AC// A i C i，贝S EF II AC，所以③不正确；当E, F分别不是线段A i B i, B i C i的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A iB iC iD i I平面ABCD, EF?平面A i B i C i D i，所以EF //平面ABCD，所以④正确.8［答案］D［解析］选项A中，a, b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a, b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，a, B还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a丄a a丄则a // B或a? B,贝卩B内存在直线I I a,又b± B,则b±I，所以a丄b.9［答案］Ci3［答案］an片ABi4［答案］45°［解析］如图所示，正方体ABCD — A i B i C i D i 中，由于BC 丄AB , BC i 丄AB ,贝卩/C i BC 是二面角C i — AB — C 的平面角.又△ BCC i 是等 腰直角三角形，则/ C i BC = 45°i5［答案］9T all AC // BD ,则Ah SD ，A 6=SD ，解得 SD = 9i6［答案］①②④［解析］如图所示，①取BD 中点，E 连接AE , CE ,则BD 丄AE , BD 丄CE ,而 AE A CE = E ,「. BD 丄平面 AEC , AC?平面 AEC , 故 AC 丄BD ，故①正确.②设正方形的边长为a,则AE= CE=_2a.由①知/ AEC= 90°是直二面角A-BD —C的平面角，且/ AEC = 90° 二AC= a,•••△ ACD是等边三角形，故②正确.③由题意及①知，AE丄平面BCD，故/ ABE是AB与平面BCD 所成的角，而/ ABE=45°所以③不正确.④分别取BC, AC的中点为M, N,连接ME, NE, MN.1 1贝S MN // AB, 且MN = 2AB= qa,〃厂 1 1ME / CD，且ME = 2CDpa,•••/ EMN是异面直线AB, CD所成的角.在Rt A AEC 中，AE= CE=今a, AC= a,1 1••• NE = 2AC = 2a. MEN 是正三角形，二/ EMN = 60° 故④正确.17［证明］(1)在正三棱柱ABC—A1B1C1中，T F、F1分别是AC、A1C1的中点，•B1F1 // BF, AF1 // GF.又••• B1F1 n AF1 = F1, C1F n BF=F,•平面AB1F1 //平面GBF.(2)在三棱柱ABC—A1B1C1 中，AA1 丄平面A1B1C1,「. BF 丄AA「又B1F1 丄A1C1, A1C1 n AA1 = A1,•B1F1X平面ACC1A1，而B1F1?平面ABF,「•平面AB i F i 丄平面ACC i A i .18［解析］(1)证明：如图所示，取 CD 的中点E ,连接PE , EM , EA ,•••△ PCD 为正三角形，••• PE 丄CD , PE = PDsin /PDE = 2sin60=^3.•••平面PCD 丄平面ABCD ,• P E 丄平面 ABCD ，而 AM?平面 ABCD ,「. PE 丄AM. T 四边形ABCD 是矩形，• △ ADE , △ECM , △ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得 EM = 3, AM = 6, AE = 3,• EM 2 + AM 2 = AE 2. • AM 丄 EM.又 PEA EM = E ,「. AM 丄平面 PEM ,「. AM 丄PM.(2)解：由(1)可知EM 丄AM , PM 丄AM ,• / PME 是二面角P - AM — D 的平面角.•二面角P — AM — D 的大小为45°• tan/ PME PE = 3= EM = 3=• / PME = 45°。
高一数学必修第二章测试题及答案解析
第二章综合检测题一、选择题1.若直线a与b没有公共点,则a与b得位置关系就是()A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面得棱得条数为()A.3B.4C.5D.63.已知平面α与直线l,则α内至少有一条直线与l()A.平行B.相交C.垂直D.异面4.长方体ABCD－A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成得角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°5.对两条不相交得空间直线a与b,必存在平面α,使得()A a⊂α,b⊂αB a⊂α,b∥αC a⊥α,b⊥αD a⊂α,b⊥α6.下面四个命题:①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面;②若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;③若a∥b,则a,b与c所成得角相等;④若a⊥b,b⊥c,则a∥c、其中真命题得个数为()A.4B.3C.2D.17.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别就是线段A1B1,B1C1上得不与端点重合得动点,如果A1E＝B1F,有下面四个结论:①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF与AC异面;④EF∥平面ABCD、其中一定正确得有()A.①②B.②③C.②④D.①④8.设a,b为两条不重合得直线,α,β为两个不重合得平面,下列命题中为真命题得就是()A.若a,b与α所成得角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b9.已知平面α⊥平面β,α∩β＝l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,n∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立得就是A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β10已知正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1得中点,那么直线AE与D1F所成角得余弦值为()A .－45B 、 、35C 、34D .－3511.已知三棱锥D －ABC 得三个侧面与底面全等,且AB ＝AC ＝3,BC ＝2,则以BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面得二面角得余弦值为( )A 、33B 、13 C.0 D.－1212.如图所示,点P 在正方形ABCD 所在平面外,P A ⊥平面ABCD ,P A ＝AB ,则PB 与AC 所成得角就是( )A.90°B.60°C.45°D.30°二、填空题13.下列图形可用符号表示为________.14.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,二面角C 1－AB －C 得平面角等于________.15.设平面α∥平面β,A ,C ∈α,B ,D ∈β,直线AB 与CD 交于点S ,且点S 位于平面α,β之间,AS ＝8,BS ＝6,CS ＝12,则SD ＝________、16.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 就是等边三角形;③AB 与平面BCD 成60°得角;④AB 与CD 所成得角就是60°、其中正确结论得序号就是________.三、解答题17.如下图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ,F 、F 1分别就是AC ,A 1C 1得中点.求证:(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ;(2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1、18如图所示,在四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,AB ＝4,BC ＝3,AD ＝5,∠DAB ＝∠ABC ＝90°,E 就是CD 得中点.(1)证明:CD ⊥平面P AE ;(2)若直线PB 与平面P AE 所成得角与PB 与平面ABCD 所成得角相等,求四棱锥P －ABCD 得体积.19如图所示,边长为2得等边△PCD 所在得平面垂直于矩形ABCD 所在得平面,BC ＝22,M 为BC 得中点.(1)证明:AM ⊥PM ;(2)求二面角P－AM－D得大小.20如图,棱柱ABC－A1B1C1得侧面BCC1B1就是菱形,B1C⊥A1B、(1)证明:平面AB1C⊥平面A1BC1;(2)设D就是A1C1上得点,且A1B∥平面B1CD,求A1D DC1得值.21如图,△ABC中,AC＝BC＝22AB,ABED就是边长为1得正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G,F分别就是EC,BD得中点.(1)求证:GF∥底面ABC;(2)求证:AC⊥平面EBC;(3)求几何体ADEBC得体积V、22如下图所示,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,AA1＝4,点D就是AB得中点.(1)求证:AC⊥BC1;(2)求证:AC1∥平面CDB1;(3)求异面直线AC1与B1C所成角得余弦值.详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线,故棱中不存在同时与两者平行得直线,因此只有两类:第一类与AB平行与CC1相交得有:CD、C1D1与CC1平行且与AB相交得有:BB1、AA1,第二类与两者都相交得只有BC,故共有5条.3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行得直线,∴A错;2°l⊂α时,在α内不存在直线与l异面,∴D错;3°l∥α时,在α内不存在直线与l相交.无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1,则∠BAD就是异面直线AB,A1D1所成得角,很明显∠BAD＝90°、5[答案] B[解析]对于选项A,当a与b就是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,D错误.6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递,故①②错;根据等角定理,可知③正确;对于④,在平面内,a∥c,而在空间中,a与c可以平行,可以相交,也可以异面,故④错误.7[答案] D[解析]如图所示.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF ⊥AA1,所以①正确;当E,F分别就是线段A1B1,B1C1得中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F分别不就是线段A1B1,B1C1得中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.8[答案] D[解析]选项A中,a,b还可能相交或异面,所以A就是假命题;选项B 中,a,b还可能相交或异面,所以B就是假命题;选项C中,α,β还可能相交,所以C就是假命题;选项D中,由于a⊥α,α⊥β,则a∥β或a⊂β,则β内存在直线l∥a,又b⊥β,则b⊥l,所以a⊥b、9[答案] C[解析]如图所示:AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β、10[答案]35命题意图]本试题考查了正方体中异面直线得所成角得求解得运用.[解析]首先根据已知条件,连接DF,然后则角DFD1即为异面直线所成得角,设边长为2,则可以求解得到5＝DF ＝D 1F ,DD 1＝2,结合余弦定理得到结论.11[答案] C[解析] 取BC 中点E ,连AE 、DE ,可证BC ⊥AE ,BC ⊥DE ,∴∠AED 为二面角A －BC －D 得平面角又AE ＝ED ＝2,AD ＝2,∴∠AED ＝90°,故选C 、12[答案] B[解析] 将其还原成正方体ABCD －PQRS ,显见PB ∥SC ,△ACS 为正三角形,∴∠ACS ＝60°、13[答案] α∩β＝AB14[答案] 45°[解析] 如图所示,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,由于BC ⊥AB ,BC 1⊥AB ,则∠C 1BC 就是二面角C 1－AB －C 得平面角.又△BCC 1就是等腰直角三角形,则∠C 1BC ＝45°、15[答案] 9[解析] 如下图所示,连接AC ,BD ,则直线AB ,CD 确定一个平面ACBD 、∵α∥β,∴AC ∥BD ,则AS SB ＝CS SD ,∴86＝12SD ,解得SD ＝9、16[答案] ①②④[解析] 如图所示,①取BD 中点,E 连接AE ,CE ,则BD ⊥AE ,BD ⊥CE ,而AE ∩CE ＝E ,∴BD ⊥平面AEC ,AC ⊂平面AEC ,故AC ⊥BD ,故①正确.②设正方形得边长为a ,则AE ＝CE ＝22a 、由①知∠AEC ＝90°就是直二面角A －BD －C 得平面角,且∠AEC ＝90°,∴AC ＝a ,∴△ACD 就是等边三角形,故②正确.③由题意及①知,AE ⊥平面BCD ,故∠ABE 就是AB 与平面BCD 所成得角,而∠ABE ＝45°,所以③不正确.④分别取BC ,AC 得中点为M ,N ,连接ME ,NE ,MN 、则MN ∥AB ,且MN ＝12AB ＝12a ,ME ∥CD ,且ME ＝12CD ＝12a ,∴∠EMN 就是异面直线AB ,CD 所成得角.在Rt △AEC 中,AE ＝CE ＝22a ,AC ＝a ,∴NE ＝12AC ＝12a 、∴△MEN 就是正三角形,∴∠EMN ＝60°,故④正确. 17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∵F 、F 1分别就是AC 、A 1C 1得中点,∴B 1F 1∥BF ,AF 1∥C 1F 、又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1,C 1F ∩BF ＝F ,∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF 、(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1,∴B 1F 1⊥AA 1、 又B 1F 1⊥A 1C 1,A 1C 1∩AA 1＝A 1,∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1,而B 1F 1⊂平面AB 1F 1,∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1、18[解析](1)如图所示,连接AC ,由AB ＝4,BC ＝3,∠ABC ＝90°,得AC ＝5、 又AD ＝5,E 就是CD 得中点,所以CD ⊥AE 、∵P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以P A ⊥CD 、而P A ,AE 就是平面P AE 内得两条相交直线,所以CD ⊥平面P AE 、(2)过点B 作BG ∥CD ,分别与AE ,AD 相交于F ,G ,连接PF 、由(1)CD ⊥平面P AE 知,BG ⊥平面P AE 、于就是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成得角,且BG ⊥AE 、由P A ⊥平面ABCD 知,∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成得角. AB ＝4,AG ＝2,BG ⊥AF ,由题意,知∠PBA ＝∠BPF ,因为sin ∠PBA ＝P A PB ,sin ∠BPF ＝BF PB ,所以P A ＝BF 、由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知,AD ∥BC ,又BG ∥CD ,所以四边形BCDG 就是平行四边形,故GD ＝BC ＝3、于就是AG ＝2、在Rt △BAG 中,AB ＝4,AG ＝2,BG ⊥AF ,所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25,BF ＝AB 2BG ＝1625＝855、于就是P A ＝BF ＝855、 又梯形ABCD 得面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16,所以四棱锥P －ABCD 得体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515、19[解析] (1)证明:如图所示,取CD 得中点E ,连接PE ,EM ,EA ,∵△PCD 为正三角形,∴PE ⊥CD ,PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝3、∵平面PCD ⊥平面ABCD ,∴PE ⊥平面ABCD ,而AM ⊂平面ABCD ,∴PE ⊥AM 、∵四边形ABCD 就是矩形,∴△ADE ,△ECM ,△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得EM ＝3,AM ＝6,AE ＝3,∴EM 2＋AM 2＝AE 2、∴AM ⊥EM 、又PE ∩EM ＝E ,∴AM ⊥平面PEM ,∴AM ⊥PM 、(2)解:由(1)可知EM ⊥AM ,PM ⊥AM ,∴∠PME 就是二面角P －AM －D 得平面角.∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1,∴∠PME ＝45°、 ∴二面角P －AM －D 得大小为45°、20[解析](1)因为侧面BCC 1B 1就是菱形,所以B 1C ⊥BC 1,又已知B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1＝B ,所以B 1C ⊥平面A 1BC 1,又B 1C ⊂平面AB 1C所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 、(2)设BC 1交B 1C 于点E ,连接DE ,则DE 就是平面A 1BC 1与平面 B 1CD 得交线.因为A 1B ∥平面B 1CD ,A 1B ⊂平面A 1BC 1,平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ,所以A 1B ∥DE 、又E 就是BC 1得中点,所以D 为A 1C 1得中点.即A 1D DC 1＝1、21[解] (1)证明:连接AE ,如下图所示.∵ADEB 为正方形,∴AE ∩BD ＝F ,且F 就是AE 得中点,又G 就是EC 得中点,∴GF ∥AC ,又AC ⊂平面ABC ,GF ⊄平面ABC ,∴GF ∥平面ABC 、(2)证明:∵ADEB 为正方形,∴EB ⊥AB ,又∵平面ABED ⊥平面ABC ,平面ABED ∩平面ABC ＝AB ,EB ⊂平面ABED ,∴BE ⊥平面ABC ,∴BE ⊥AC 、又∵AC ＝BC ＝22AB ,∴CA 2＋CB 2＝AB 2,∴AC ⊥BC 、又∵BC ∩BE ＝B ,∴AC ⊥平面BCE 、(3)取AB 得中点H ,连GH ,∵BC ＝AC ＝22AB ＝22,∴CH ⊥AB ,且CH ＝12,又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ,∴V ＝13×1×12＝16、22[解析] (1)证明:在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,底面三边长AC ＝3,BC ＝4,AB ＝5,∴AC ⊥BC 、又∵C 1C ⊥AC 、∴AC ⊥平面BCC 1B 1、 ∵BC 1⊂平面BCC 1B ,∴AC ⊥BC 1、(2)证明:设CB 1与C 1B 得交点为E ,连接DE ,又四边形BCC 1B 1为正方形.∵D 就是AB 得中点,E 就是BC 1得中点,∴DE ∥AC 1、 ∵DE ⊂平面CDB 1,AC 1⊄平面CDB 1, ∴AC 1∥平面CDB 1、(3)解:∵DE ∥AC 1,∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成得角.在△CED 中,ED ＝12AC 1＝52,CD ＝12AB ＝52,CE ＝12CB 1＝22,∴cos ∠CED ＝252＝225、∴异面直线AC 1与B 1C 所成角得余弦值为225、。
高一数学必修一第二章测试题答案
高一数学必修一第二章测试题一、选择题：（每小题4分，共48分）1.3a ·6a -等于【 】 A.－a - B.－a C.a -D.a解析：3a ·6a-=a 31·（－a ）61=－（－a ）6131+=－（－a ）21.答案：A2.已知函数y =log 41x 与y =kx 的图象有公共点A ，且A 点的横坐标为2，则k 的值等于【 】A.－41 B.41 C.－21 D.21 解析：由点A 在y =log 41x 的图象上可求出A 点纵坐标y =log 412=－21.又A （2，－21）在y =kx 图象上，－21=k ·2，∴k =－41. 答案：A3.已知函数f （x ）=lgxx+-11，若f （a ）=b ，则f （－a ）等于【 】 A.b B.－b C.b1D.－b1 解析：f （－a ）=lg a a -+11=－lg aa+-11=－f （a ）=－b .【答案】 B4.函数y =)1(log 221-x 的定义域是【 】A.［－2，－1）∪（1，2］B.（－3，－1）∪（1，2）C.［－2，－1）∪（1，2］D.（－2，－1）∪（1，2）解析：⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤>⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤->⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥->-2211211110)1(log 0122222212x x x x x x x x x 或－2≤x ＜－1或1＜x ≤2.∴y =)1(log 221-x 的定义域为［－2，－1）∪（1，2］.答案：A5.若函数f （x ）=log a （x +1）（a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是［0，1］，则a 等于【 】A.31B. 2C.22D.2解析：f （x ）=log a （x +1）的定义域是［0，1］，∴0≤x ≤1，则1≤x +1≤2. 当a ＞1时，0=log a 1≤log a （x +1）≤log a 2=1，∴a =2；当0＜a ＜1时，log a 2≤log a （x +1）≤log a 1=0，与值域是［0，1］矛盾. 综上，a =2. 答案：D6.函数y =log a （x 2＋2x －3），当x =2时，y ＞0，则此函数的单调递减区间是【 】A.（－∞，－3）B.（1，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－1，＋∞）解析：当x =2时，y =log a 5＞0，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0⇒x ＜－3或x ＞1，易见函数t ＝x 2＋2x －3在（－∞，－3）上递减，故函数y =log a （x 2＋2x －3）（其中a ＞1）也在（－∞，－3）上递减. 答案：A 7．函数||2)(x x f -=的值域是（D ） A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（ D ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9.函数y =log a （2－ax ）在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是【 】A.（0，1）B.（0，2）C.（1，2）D.（2，+∞） 解析：题中隐含a ＞0，∴2－ax 在［0，1］上是减函数.∴y =log a u 应为增函数，且u =2－ax 在［0，1］上应恒大于零.∴⎩⎨⎧>->.02,1a a ∴1＜a ＜2. 答案：C10.设函数f （x ）=log a |x |在（－∞，0）上单调递增，则f （a +1）与f （2）的大小关系是【】A.f （a +1）=f （2）B.f （a +1）＞f （2）C.f （a +1）＜f （2）D.不能确定解析：由f （x ）=⎩⎨⎧+∞∈-∞∈-),,0(,log ),0,(),(log x x x x a a 且f （x ）在（－∞，0）上单调递增，易得0＜a＜1.∴1＜a +1＜2.又∵f （x ）是偶函数，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减.∴f （a +1）＞f （2）.答案：B11.若函数y =a x +b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有【 】A.0＜a ＜1且b ＞0B.a ＞1且b ＞0C.0＜a ＜1且b ＜0D.a ＞1且b ＜0 解析：作函数y =a x +b －1的图象. 答案：C12.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于【 】A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a .∴log a 2a =31. ∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42.答案：A二、填空题（每小题4分，共20分）13．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .13．(2，－2)；14.函数y =（21）222+-x x 的递增区间是___________. 解析：∵y =（21）x在（－∞，+∞）上是减函数，而函数y =x 2－2x +2=（x －1）2+1的递减区间是（－∞，1］，∴原函数的递增区间是（－∞，1］.答案：（－∞，1］15.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lg x+11，那么当x ∈（－1，0）时，f（x ）的表达式是__________.解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg x-11=lg （1－x ）.答案：lg （1－x ）16.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121 ⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］17.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2. ∵x ＞0，∴x =2. 答案：2三、解答题：（每小题8分，共32分）18、已知[]3,2x ∈-，求11()142x x f x =-+的最小值与最大值。
高一数学必修第二章测试题
B 1C 1A 1D 1BACD 高一数学必修2第二章测试题班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________第Ⅰ卷一、选择题（每小题4分，共48分）1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o角 D 、11AC 与1B C 成60o角 5、若直线l 垂直平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l 垂直aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、以上三种6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、47、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么A 、点P 不在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ， a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、如图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中有下列几个结论 ①BM 其中真命题的个数是11、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 A 、23 B 、76 C 、45 D 、5612、直线m,n 分别在两个互相垂直的平面α，β内，且α∩β= a ,m 和n 与 a 不垂直也不平行，那么m 和n 的位置关系是（）A ．可能垂直，但不一定平行，B ，可能平行，但一定不垂直C ，可能垂直，可能平行，D ，一定不垂直，也一定不平行。
高一数学必修一 第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试试卷 (3)
高一数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试试卷 (3)数学第二章测试卷A卷本试卷满分100分，考试时间80分钟。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.若$a+b+c=0$，且$a<b<c$，则下列不等式一定成立的是A。
$ab<bc$B。
$ab<ac$XXX<bc$D。
$ab<bc$2.已知正数$a$、$b$满足$\frac{22}{1194}+\frac{a}{b}=1$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的最小值是A。
6B。
12C。
24D。
363.已知二次函数$f(x)=x^2+bx+c$的两个零点分别在区间$(-2,-1)$和$(-1,0)$内，则$f(3)$的取值范围是A。
$(12,20)$B。
$(12,18)$C。
$(18,20)$D。
$(8,18)$4.若$x>0$，$y>0$，且$\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x+2y}=1$，则$2x+y$的最小值为A。
2B。
$\frac{2}{3}$C。
$2+\frac{2}{3}$D。
$3$5.关于$x$的不等式$(ax-1)<x$恰有2个整数解，则实数$a$的取值范围是A。
$-\frac{34}{43}<a\leq-\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}<a\leq\frac{43}{34}$B。
$-\frac{3}{4}<a\leq-\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}<a\leq\frac{3}{4}$C。
$-\frac{34}{43}\leq a<-\frac{3}{4}$或$\frac{4}{3}\leq a<\frac{43}{34}$D。
$-\frac{3}{4}\leq a<-\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}\leq a\leq\frac{3}{4}$二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共计10分。
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c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．
7[答案] D [解析] 如图所示．由于 AA1⊥平面 A1B1C1D1，EF⊂平面 A1B1C1D1，则 EF⊥AA1，所以①正确；当 E，F 分别是线段 A1B1，B1C1 的中点时，EF∥A1C1，又 AC∥A1C1，则 EF∥AC，所以 ③不正确；当 E，F 分别不是线段 A1B1，B1C1 的中点时，EF 与 AC 异面，所以②不正确；由于平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD，EF⊂平面 A1B1C1D1，所以 EF∥平面 ABCD，所以④正确．
14．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，二面角 C1－AB－C 的平面角等于 ________． 15．设平面 α∥平面 β，A，C∈α，B，D∈β，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S 位于平面 α，β 之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则 SD＝________. 16．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A－BD－C，有如下 四个结论： ①AC⊥BD；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面 BCD 成 60°的角； ④AB 与 CD 所成的角是 60°.其中正确结论的序号是________．
4．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，异面直线 AB，A1D1 所成的角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90°
5．对两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 α，使得( ) A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α C.a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α
6．下面四个命题： ①若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面； ②若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交； ③若 a∥b，则 a，b 与 c 所成的角相等； ④若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c.其中真命题的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1
高中数学必修一第二章测试题(含答案)
高中数学必修一第二章测试题(2)一、选择题：1．已知p >q >1,0<a <1,则下列各式中正确的是（）A ．q p a a >B ．a a q p >C ．q p a a -->D ．a a q p -->2、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ）A 、510B 、105C 、lg10D 、lg 53．函数x y a log =当x >2 时恒有y >1，则a 的取值范围是（） A．1221≠≤≤a a 且B ．02121≤<≤<a a 或C ．21≤<a D ．2101≤<≥a a 或4．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是（ ）5、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >> 6．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x D ．y ＝x ＋1x7．若a <12，则化简4(2a －1)2的结果是( )A.2a －1B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a8．函数y ＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是()A ．[0，53)B ．[0，53]C ．[1，53)D ．[1，53] 9．幂函数的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞) 10．函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[4，＋∞)D ．[3，＋∞) 11．函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )12．若0＜x ＜y ＜1，则( ) A ．3y ＜3x B ．log x 3＜log y 3 C ．log 4x ＜log 4y D ．(14)x ＜(14)y 二、填空题13．函数f (x )＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________． 14．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．15．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是______．13．将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，作出C 2关于直线y =x 对称的图象C 3，则C 3的解析式为. 三、解答题 17．化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)2lg 2＋lg 31＋12 lg 0.36＋14lg 16.18．已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1，0]时，函数解析式f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值． 19．已知x ＞1且x ≠43，f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小． 20．已知函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 21．已知函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)．(1)若函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)点，求a 的值；(2)若f (lg a )＝100，求a 的值；(3)比较f ⎝⎛⎭⎫lg 1100与f (－2.1)的大小，并写出比较过程． 22．已知f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x.(1)求证f (x )是定义域内的增函数； (2)求f (x )的值域．答案一. 选择题1—5.BDAAC 6—10.ACCCC 11—12.DC 二.填空题13．(1,4)14.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞15．(－1,0)∪(1，＋∞)16.1)1(log 2--=x y17．解 (1)原式＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫641 00015－5223－⎝⎛⎭⎫27813－1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫410315×⎝⎛⎭⎫－52×23－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋14lg 24＝2lg 2＋lg 31＋lg 2×310＋lg 2＝2lg 2＋lg 31＋lg 2＋lg 3－lg 10＋lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＝1. 18．解 (1)∵f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，且f (x )在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，即f (0)＝140－a20＝1－a ＝0.∴a ＝1.设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]． ∴f (－x )＝14－x －12－x ＝4x－2x.又∵f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝4x －2x . ∴f (x )＝2x －4x .(2)当x ∈[0,1]，f (x )＝2x －4x ＝2x －(2x )2， ∴设t ＝2x (t ＞0)，则f (t )＝t －t 2. ∵x ∈[0,1]，∴t ∈[1,2]．当t ＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.19．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 34＝log x 34x ，当1＜x ＜43时，34x ＜1，∴log x 34x ＜0；当x ＞43时，34x ＞1，∴log x 34x ＞0.即当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＞43时，f (x )＞g (x )．20．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x .由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x ＝1±2.∵2x ＞0，∴x ＝log 2(1＋2)． (2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)． ∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)． ∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)． ∴lg a lg a －1＝2(或lg a －1＝log a 100)．21．解 (1)∵函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)，∴a 3－1＝4，即a 2＝4. 又a >0，所以a ＝2.(2)由f (lg a )＝100知，a lg a －1＝100. ∴(lg a －1)·lg a ＝2. ∴lg 2a －lg a －2＝0, ∴lg a ＝－1或lg a ＝2， ∴a ＝110或a ＝100.(3)当a >1时，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100>f (－2.1)； 当0<a <1时，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100<f (－2.1)． 因为，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＝f (－2)＝a －3， f (－2.1)＝a －3.1，当a >1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为增函数，∵－3>－3.1，∴a －3>a －3.1.即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100>f (－2.1)；当0<a <1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∵－3>－3.1，∴a －3<a －3.1， 即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100<f (－2.1)． 22．(1)证明 因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝10－x －10x 10－x ＋10x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x －1102x ＋1＝1－2102x ＋1.令x 2＞x 1，则 f (x 2)－f (x 1)＝(1－2102x 2＋1)－(1－2102x 1＋1)＝2·102x 2－102x 1(102x 2＋1)(102x 1＋1).因为y ＝10x 为R 上的增函数， 所以当x 2＞x 1时，102x 2－102x 1＞0. 又因为102x 1＋1＞0,102x 2＋1＞0. 故当x 2＞x 1时，f (x 2)－f (x 1)＞0， 即f (x 2)＞f (x 1)． 所以f (x )是增函数．(2)解 令y ＝f (x )．由y ＝102x －1102x ＋1，解得102x ＝1＋y1－y. 因为102x ＞0，所以－1＜y ＜1.即f (x )的值域为(－1,1)．。
高一数学必修第二章测试题
B 1C 1A 1D 1BACD 高一数学必修2第二章测试题班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________第Ⅰ卷一、选择题（每小题4分，共48分）1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o角 D 、11AC 与1B C 成60o角 5、若直线l 垂直平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l 垂直aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、以上三种6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、47、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么A 、点P 不在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ， a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、如图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中有下列几个结论 ①BM 其中真命题的个数是11、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 A 、23 B 、76 C 、45 D 、5612、直线m,n 分别在两个互相垂直的平面α，β内，且α∩β= a ,m 和n 与 a 不垂直也不平行，那么m 和n 的位置关系是（）A ．可能垂直，但不一定平行，B ，可能平行，但一定不垂直C ，可能垂直，可能平行，D ，一定不垂直，也一定不平行。
高中数学(必修一)第二章 基本不等式练习题
高中数学（必修一）第二章 基本不等式练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_____________一、解答题 1．已知a b ，比较2a ab +与23ab b -的大小，并证明.2．设a ，b 为正实数，求证：()()()2233338a b a b a b a b +++≥．3．求函数1(3)3y x x x =+>-的最小值.4．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？5．已知圆C 的圆心在坐标原点，且过点(M . (1)求圆C 的方程；(2)已知点P 是圆C 上的动点，试求点P 到直线40x y +-=的距离的最小值；(3)若直线l 与圆C 相切，且l 与,x y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点，求ABC 的面积最小时直线l 的方程.6．已知a ，b R +∈，求证：()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭．7．函数π()2sin()10,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭图像过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻对称轴间的距离为π2．(1)求,ωϕ的值；(2)已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2a =，求ABC 面积的最大值．8．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25x -万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累积收入+销售收入-总支出）9．高一（3）班的小北为我校设计的冬季运动会会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要批量生产．其中会徽的六个直角（如图2阴影部分）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图1所示，矩形 ABCD 的周长为4cm ，其中长边 AD 为 x cm ，将BCD △沿BD 向ABD △折叠，BC 折过去后交AD 于点E ．(1)用 x 表示图1中BAE 的面积；(2)已知镀金工艺是2元/2cm ，试求一个会徽的镀金部分所需的最大费用．10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，A 为锐角，cos cos 3cos b A a B c A +=． (1)求cos A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值．11．已知(2,5)x ∈-，求(2)(5)y x x =+-的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2≥；(3)若0ab <，则2b aa b+≤-．13．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥(2)若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.14．已知x ＞2，求函数4()2f x x x =+-的最小值．15．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME 的面积取最小值时，求直线l 的方程.16．如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为220m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？17．已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值．参考答案：1．见解析【解析】利用作差法比较大小. 【详解】解：223a ab ab b +>-，证明如下：()2222232()a ab ab b a ab b a b +--=-+=-.a b ≠2()0a b ∴-> 223a ab ab b ∴+>-【点睛】本题考查作差法比较两式的大小关系，属于基础题. 2．证明见解析【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为a ，b 为正实数，所以a b +≥222a b ab +≥，332a b +≥=当a b =时取等号，所以()()()223333228a b a b a b ab a b +++≥⨯=，即()()()2233338a b a b a b a b +++≥，当且仅当a b =时取等号；3．5【分析】式子化为1333x x +-+-，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为3x >， 所以30x ->，所以133353y x x =+-+≥=-， 当且仅当133x x -=-即4x =时取等号，此时取得最小值5.4．（1）当7x y ==时，x y +取得最小值14；（2）当6x y ==时，xy 取得最大值36【解析】（1）设0x >，0y >，49xy =，然后利用基本不等式求得x y +的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.（2）设0x >，0y >，12x y +=，然后利用基本不等式求得x y ⋅的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得,x y 的值.【详解】（1）设0x >，0y >，49xy =，由均值不等式，得214x y xy +=， 当且仅当x y =时，取等号．由,49,x y xy =⎧⎨=⎩得7x y ==，即当7x y ==时，x y +取得最小值14．（2）设0x >，0y >，12x y +=，由均值不等式，得22123622x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当且仅当x y =时，取等号．由,12,x y x y =⎧⎨+=⎩得6x y ==．即当6x y ==时，xy 取得最大值36.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 5．(1)224x y +=(2)2(3)0x y +-【分析】（1）利用两点间距离公式可求得半径r ，由此可得圆C 方程； （2）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离d ，可知最小值为d r -；（3）设():10,0x yl a b a b+=>>，由圆心到直线距离等于半径，结合基本不等式可知当a b ==ABC面积取得最小值，由此可得直线l 方程. （1）由题意知：圆心()0,0C ，半径2r CM ===，∴圆C 的方程为：224x y +=.（2）圆心到直线40x y +-=的距离d r ==，∴点P 到直线40x y +-=的距离最小值为2d r -=.（3）设直线():10,0x yl a b a b+=>>，即0bx ay ab ， 则圆心到直线l 距离2d ==，ab ∴=≥a b ==，解得：8ab ≥， ∴当a b ==ABC 面积取得最小值142ab =，则直线1l =，即0x y +-=. 6．见解析【分析】()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开并运用基本不等式即可得证.【详解】()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 7．(1)2ω=，π3ϕ=；(2)2+【分析】（1）由题干条件得到最小正周期，进而求出2ω=，待定系数法求出π3ϕ=；（2）先由32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出π6A =，利用余弦定理，基本不等式求出8bc ≤+. (1)由题意得：()f x 的最小正周期πT =，由于0>ω，故2ππω=，解得：2ω=，又2π32sin()11ϕ++=，所以2ππ,3k k Z ϕ+=∈，即2ππ,3k k Z ϕ=-∈，又π||2ϕ<，所以2πππ,32k k Z <∈-，解得：1766k <<，k Z ∈，故1k =，此时π3ϕ=，综上：2ω=，π3ϕ=； (2)2sin()33π12A f A ⎛⎫= ⎪⎝++=⎭，所以sin()1π3A +=，因为()0,πA ∈，所以ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ32A +=，解得：π6A =，又2a =，所以由余弦定理得：224cos 2b c A bc +-==，则224b c +=，由基本不等式得：222b c bc +≥，即42bc ≥，解得：8bc ≤+b c =时等号成立，故ABC 面积最大值为1sin 22bc A ≤8．（1）第三年；（2）第5年.【解析】（1）求出第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 【详解】（1）设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x ﹣[6x +x （x ﹣1）]﹣50＝﹣x 2+20x ﹣50（0＜x ≤10，x ∈N ）由﹣x 2+20x ﹣50＞0，可得10﹣＜x ＜，∈2＜10﹣＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出； （2）∈利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∈二手车出售后， 小张的年平均利润为(25)y x y x +-=＝19﹣（x +25x）≤19﹣10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立， ∈小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 【点睛】思路点睛：首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.9．(1)()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)当 AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元.【分析】（1）设ED a =cm ，根据条件可得222x x a x-+=，然后利用面积公式即得；（2）利用基本不等式即得.（1）因为AD x =cm ，所以()2AB x =-cm ， 设 ED a = cm ，则()AE x a =-cm ，因为AEB C ED '∠=∠，EAB DC E '∠=∠，AB DC '=， 所以Rt Rt BAE DC E '≌△△，所以BE ED a ==cm ， 在Rt BAE △中，由勾股定理得222BA AE BE +=， 即()()2222x x a a -+-=， 解得222x x a x-+=，所以22x AE x a x-=-=， 所以BAE 的面积()()22112232223cm 1222x x x S AB AE x x x x x x --+-⎡⎤⎛⎫=⋅=-⋅==-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 所以BAE 的面积()223cm 12S x x x ⎡⎤⎛⎫=-+<< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）设一个会徽的镀金费用为y 元，则(26212312336BAE y Sx x ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅=⨯-+≤⨯-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当2xx=，12x <<，即x所以当AD cm 时，一个会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-元． 10．(1)1cos 3A =；【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式求cos A 的值；（2）由同角三角函数间的基本关系求sin A 的值，根据余弦定理和基本不等式求bc 的最大值，最后根据三角形的面积公式求ABC 面积的最大值即可． (1)因为cos cos 3cos b A a B c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin 3sin cos B A B A C A +=， 所以()sin 3sin cos A B C A +=，所以sin 3sin cos C C A =． 在ABC 中，sin 0C ≠， 所以1cos 3A =；(2)由（1）知1cos 3A =，由22sin cos 1A A +=，A 为锐角，得sin A =由余弦定理可知222123b c a bc +-=，因为2a =， 所以2233122b c bc +-=， 所以22212336bc b c bc +=+≥，所以3bc ≤，当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =△所以ABC 11．当32x =时，y 取得最大值494【解析】根据基本不等式，求得y 的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时x 的值.【详解】∈(2,5)x ∈-，∈20,50x x +>->，∈22549(2)(5)24x x y x x ++-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭． 当且仅当25x x +=-，即32x =时，取等号．即当32x =时，y 取得最大值494．【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 12．(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. （1）取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥不成立； （2）0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. （3）0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 13．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式证明即可；（2）由112111⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b ab 利用基本不等式求最值即可.（1）因为a ，b ，c 都是正数，所以 ()()()(1122++=+++++≥⎡⎤⎣⎦a b c a b b c a c=，当且仅当a b c ==时，等号成立，所以a b c ++≥ （2）211111122211111119142a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时等号成立. ∈11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 14．6【解析】利用基本不等式可求函数的最小值.【详解】解：∈2x >，∈20x ->，故44()222622f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当4x =时等号成立，故()f x 的最小值为6.15．(1)24y x =(2)1x y =±+【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，根据焦点弦的性质得到12||AB x x p =++，从而求出p ，即可得解； （2）设:1l x ty =+，联立直线与抛物线，消元、利用韦达定理得到M y ，从而得到M x ，则()1||12DEM M S DE x =⋅+最后利用基本不等式求出最小值，即可得解； （1）解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知12||43AB x x p p p =++=+=时，2p =，故抛物线方程为24y x =；（2）解：设:1l x ty =+，联立抛物线方程得2440y ty --=，∈1222M y y y t +==，2121M M x ty t =+=+，而21,D t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21,E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()21141||1224||822||||DEM M S DE x t t t t ⎛⎫=⋅+=⋅⋅+=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当||1t =时等号成立，故直线l 的方程为1x y =±+．16．(1)长为9m 2，宽为18m 5(2)长为5m ，宽为4m【分析】（1）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，可得出4536x y +=，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，利用基本不等式可求得钢筋网总长45x y +的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论.（1）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则每间老虎笼的面积为S xy =，由已知可得4536x y +=，由基本不等式可得()2211458145m 202025x y S xy x y +⎛⎫==⋅⋅≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当454536x y x y =⎧⎨+=⎩，即当92185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为9m 2，宽为18m 5时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为m x ，宽为m y ，则20xy =，钢筋网总长为()4540m x y +≥=，当且仅当4520x y xy =⎧⎨=⎩，即当54x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 17．2 【分析】将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦ ， 又由54x <，则540x ->，则()154254x x -+≥-， 当且仅当15454x x -=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2.。
高一数学必修2第二章测试题及答案解析(同名8164)
第二章综合检测题、选择题1 .若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A .相交B .平行C.异面D .平行或异面2 .平行六面体ABCD —A i B i C i D i中，既与AB共面也与CC i共面的棱的条数为( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知平面a和直线I，则a内至少有一条直线与1( )A .平行B .相交C.垂直D .异面4. 长方体ABCD —A i B i C i D i中，异面直线AB,A i D i所成的角等于()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面a,使得() Aa? a, b? a Ba? a, b II a Ca X a, b X a Da? a b X a6. 下面四个命题：①若直线a b 异面b c 异面则a c 异面；②若直线a b 相交b c 相交则a c 相交；③若a I b 则a b 与c 所成的角相等；④若a X b b X c 则a I c.其中真命题的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. i7. 在正方体ABCD —A i B i C i D i中，E , F分别是线段A i B i , B i C i上的不与端点重合的动点，如果A i E= B i F ,有下面四个结论：①EF X AA i；②EF II AC;③EF与AC异面；④EF I平面ABCD. 其中一定正确的有( )A .①②B.②③C.②④ D .①④8. 设a , b为两条不重合的直线，a, B为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A.若a , b与a所成的角相等，则a// bB .若a I a, b I 伏a// B,贝y a I bC. 若a? a, b? B a I b,贝U a I [3D. 若a Xa, b X 3 aXB 贝U a X b9. 已知平面a丄平面3 aQ 3= I，点A € a, A?l ,直线AB I I ,直线AC X I 直线m I a n I3 则下列四种位置关系中不一定成立的是A. AB I m B. AC X m C. AB I3 D. AC X 310已知正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB i 、CC 1的中点, 那么直线AE 与D i F 所成角的余弦值为（ ）4 3 3 3A .— 4 B. .5 C ・3 D . — 311.已知三棱锥D — ABC 的三个侧面与底面全等，且 AB = AC =「3, BC = 2,则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为 （_）A.fB.| C . 0D .— 1 12 .如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA 丄平面ABCD , FA =AB ,则PB 与AC 所成的角是（ ） A . 90° B . 60二、填空题13.14. 正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，二面角 G — AB — C 的平面角等于 15. 设平面a//平面伏A , C € a, B , D €3直线AB 与CD 交于点 S ,且点S 位于平面a 3之间，AS = 8, BS= 6, CS= 12,则SD= ________ 16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A — BD — C ,有如下 四个结论：① AC 丄BD ;② 厶ACD 是等边三角形；③ AB 与平面BCD 成60°的角；④ AB 与CD 所成的角是60°C .其中正确结论的序号是 __________ .三、解答题17. 如下图，在三棱柱ABC —A1B1C1中，△ ABC与厶A i B i C i都为正三求证：（1）平面AB i F i //平面C i BF;⑵平面AB i F i丄平面ACGA i.18如图所示，在四棱锥F-ABCD中，FA丄平面ABCD, AB= 4, BC E是CD的中点.(1) 证明：CD丄平面PAE;⑵若直线PB与平面FAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等, 求四棱锥F- ABCD的体积.19如图所示，边长为2的等边△ FCD所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC= 2 ■'，2, M为BC的中点.(1)证明：AM丄FM;⑵求二面角F-AM- D的大小.20如图，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC i B i 是菱形，B i C 丄A i B.(1)证明：平面AB i C 丄平面A i BC i ；⑵设D 是A i C i 上的点，且A i B //平面B i CD ,求A i D 2i 如图，△ ABC 中，AC = BC = ^AB , ABED 是边长为i 的正方形, 平面ABED 丄底面ABC , 若 G , F 分别是EC , BD 的中点.(i)求证：GF //底面ABC ;⑵求证：AC 丄平面EBC ;⑶求几何体ADEBC 的体积V.DC i 的值.22女口下图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC= 3, BC = 4, AB = 5, AA i = 4,点D是AB的中点.(1)求证：⑵求证：AC i //平面CDB i；⑶求异面直线AC i与B i C所成角的余弦值.详解答案1［答案］D2［答案］C［解析］AB与CC i为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线, 因此只有两类：第一类与AB平行与CC i相交的有：CD、C1D1与CC i平行且与AB相交的有：BB i、AA i,第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3［答案］C［解析］1°直线I与平面a斜交时，在平面a内不存在与I平行的直线，•••A 错；2°l? a时，在a内不存在直线与I异面，「・D错；3°l //a时，在a内不存在直线与I相交.无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与I垂直.4［答案］D［解析］由于AD //A i D i,贝U/BAD是异面直线AB, A i D i所成的角，很明显Z BAD= 90 °5［答案］B［解析］对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B, 若a, b不相交，则a与b平行或异面，都存在a,使a? a, b//a, B 正确；对于选项C, a丄a, b丄a, —定有a//b , C错误；对于选项D , a? a, b± a, —定有a丄b , D错误.6［答案］D［解析］异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a//c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误.7［答案］D［解析］如图所示.由于AA i丄平面A i B i C i D i, EF?平面A i B i C i D i, 则EF丄AA i，所以①正确；当E, F分别是线段A i B i, B i C i的中点时，EF//A i C i，又AC//A i C i,贝S EF//AC，所以③不正确；当E, F分别不是线段A i B i, B i C i的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A i B i C i D i //平面ABCD, EF?平面A i B i C i D i,所以EF //平面ABCD, 所以④正确.5 ------ c8［答案］D［解析］选项A中，a, b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B 中，a, b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，a B 还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a丄a a丄伏则a / B或a? B,贝卩B内存在直线I //a,又b丄B,则b±l，所以a丄b.9［答案］C［解析］如图所示：AB//I //m ; AC 丄 l , m//l?AC 丄 m ; AB//I? AB //B310［答案］3命题意图］本试题考查了正方体中异面直线的所成角 的求解的运用.［解析］首先根据已知条件，连接DF ，然后则角DFD i 即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到'5= DF = D i F , DD i = 2,结合余弦定理得到结论.11［答案］C［解析］ 取BC 中点E ,连AE 、DE ,可证BC 丄AE , BC 丄DE ,「.zAED 为二面角 A -BC -D 的平面角又 AE = ED = 2, AD = 2,「・zAED = 90 ° 故选C.12［答案］B［解析］将其还原成正方体 ABCD -PQRS,显见PB//SC,mCS 为正 13［答案］14［答案］45°三角形,/i［解析］如图所示，正方体ABCD —A1B1C1D1中，由于BC丄AB, BG 丄AB,贝卩Z C1BC是二面角C1 —AB—C的平面角.又△ BCC1是等腰直角三角形，则/C i BC = 45°T all B,「.AC //BD ,AS CS 8 12则SB = SD ，A 6= SD ，解得 SD = 9.16［答案］①②④［解析］如图所示，①取BD 中点，E 连接AE , CE ,贝y BD 丄AE , BD 丄CE , 而 AE A CE = E ,「.BD 丄平面 AEC , AC?平面 AEC , 故 AC 丄 BD ，故①正确.② 设正方形的边长为a ,则AE = CE = a.: ” 1 /7^115［答案］9由①知Z AEC= 90是直二面角A—BD —C的平面角，且/ AEC =90 ° .••AC= a,•••/ACD是等边三角形，故②正确.③由题意及①知，AE丄平面BCD，故/ABE是AB与平面BCD所成的角，而Z ABE= 45 °所以③不正确.④分别取BC, AC的中点为M, N,连接ME, NE, MN.1 1贝卩MN //AB,且MN = 2AB = qa,1 1ME//CD，且ME = 2CD = 2a,•••zEMN是异面直线AB, CD所成的角.亠亠x/2在Rt A AEC 中，AE= CE = -^a, AC= a,「•NE = 2AC = 2a. •△MEN 是正三角形，「./EMN = 60° 故④正确. 17［证明］(1)在正三棱柱ABC—A1B1C1中，TF、F1分别是AC、A1C1的中点，•••B1F1 //BF, AF1 //C1F.又TB1F1 Q AF1= F1, C〔F n BF= F,•平面AB1F1 //平面GBF.(2) 在三棱柱ABC —A1B1C1 中，AA1 丄平面A1B1C1,「.B1F1 丄AA1. 又B1F1 丄A1C1, A1C1 n AA1 = A1,「•B1F1 丄平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1,•平面AB1F1丄平面ACC1A1.18［解析］(1)如图所示，连接 AC ,由 AB = 4, BC = 3,/ABC = 90° 得 AC = 5. 又AD = 5, E 是CD 的中点，所以CD 丄AE.••PA 丄平面ABCD , CD?平面ABCD ，所以PA 丄CD.而FA , AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以 CD 丄平面PAE. ⑵过点B 作BG //CD ，分别与AE , AD 相交于F , G ,连接PF.由(1)CD 丄平面PAE 知，BG 丄平面PAE.于是Z BPF 为直线PB 与平面 PAE 所成的角，且BG 丄AE.由PA 丄平面ABCD 知，/PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角. AB = 4, AG = 2, BG 丄AF ,由题意，知/PBA=ZBPF ,因为 sinZPBA = PB , sin/BPF = |B , 由 ZDAB =Z ABC = 90 知，AD //BC ,又BG//CD ，所以四边形 BCDG是平行四边形，故GD = BC = 3.于是AG = 2.在 Rt^BAG 中，AB = 4, AG = 2, BG 丄AF ，所以BG=p B 2+ AG 2 = 2质,BF = AB|=務=皆.于是 PA = BF =皆.1又梯形ABCD 的面积为S =十(5 + 3) X 4= 16,所以四棱锥P -ABCD 的体积为1 c i 1 _ 8 5128 ‘5 V =^x S x PA =T X 16X = . 3 3 5 15所以PA = BF.19［解析］(1)证明：如图所示，取CD的中点E,连接PE, EM , EA,H •••△CD 为正三角形，「PE 丄 CD , PE = PDsinZPDE = 2sin60 =°3.••平面PCD 丄平面ABCD ,「PE 丄平面 ABCD ,而AM?平面ABCD ,「・PE 丄AM. •四边形ABCD 是矩形，「•/ADE , △ECM , A ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得 EM =.''3，AM = ：6, AE = 3,•••EM 2 + AM 2= AE 2「AM 丄EM.又 PE A EM = E ,「AM 丄平面 PEM ,「・AM 丄 PM.(2)解：由(1)可知EM 丄AM , PM 丄AM ,「•zPME 是二面角P -AM — D 的平面角.「•二面角P — AM — D 的大小为45 :20［解析］「•ta n/PME = EM ,「./PME = 45 :(1) 因为侧面BCC i B i 是菱形，所以B i C 丄BC i , 又已知 B i C 丄A i B ,且 A i B A BC i = B ,所以B i C 丄平面A i BC i ，又B i C?平面AB i C 所以平面AB i C 丄平面A i BC i .(2) 设BC i 交B i C 于点E ,连接DE ，则DE 是平面A i BC i 与平面 B i CD 的交线.因为A i B//平面B i CD,A i B?平面A i BC i ,平面A i BC i A 平面B i CD =DE ，所以 A i B//DE.又E 是BC i 的中点，所以D 为A i C i 的中点.即 A i D DC i = i.2i ［解］(i)证明：连接AE ,如下图所示.VADEB 为正方形，•••AE A BD = F ，且F 是AE 的中点，又G 是EC 的中点，•••GF //AC ,又 AC?平面 ABC , GF?平面 ABC ,•••GF //平面 ABC.(2)证明：V ADEB 为正方形，• EB 丄AB ,又V 平面ABED 丄平面ABC ，平面ABED A 平面ABC = AB , EB? 平面ABED ,•BE 丄平面 ABC ,「.BE 丄AC.又 */AC = BC ="^AB,•••CA2+ CB2= AB2,•••AC丄BC.又V BC A BE= B,「.AC丄平面BCE.J2 x［2⑶取AB 的中点H，连GH , VBC= AC = pAB = p,1•CH丄AB,且CH =㊁，又平面ABED丄平面ABC1 1 1•GH 丄平面ABCD，:S 1X£=.3 2 622［解析］(1)证明：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面三边长AC =3, BC= 4, AB= 5,「・AC丄BC.又TGC丄AC.「AC丄平面BCC1B1.••BG?平面BCGB,「.AC丄BG.⑵证明：设CB1与GB的交点为E,连接DE,又四边形BCC1B1 为正方形.VD是AB的中点，E是BC1的中点，二DE //AG.VDE?平面CDB1, AG?平面CDB1,•••AC //平面CDB1.(3) 解：TDE //AG ,• zCED为AC1与B1C所成的角.在△CED 中，ED =推1 = 2，1 5 1 厂CD = 2AB= 2，CE = 2CB1 = 2 2,2二异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为牛22。
(人教版A版)高中数学必修第一册 第二章综合测试试卷03及答案
第二章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列等式一定正确的是（ ）A .()lg lg lg xy x y=+B .222m n m n++=C .222m n m n+×=D .2ln 2ln x x=2.若函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =（）A .1B .3-C .3-或1D .23.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ）A .y x x=B .xy e =C .1y x=-D .2log y x=4.函数()ln 3y x =- ）A .[)23，B .[)2+¥，C .()3-¥，D .()23，5.下列各函数中，值域为()0¥，+的是（ ）A .22xy -=B.y =C .21y x x =++D .113x y +=6.已知()x f x a =，()()log 01a g x x a a =＞，且≠，若()()330f g ＜，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（）A BC D7.已知0.2log 2.1a =， 2.10.2b =，0.22.1c =则（ ）A .c b a＜＜B .c a b＜＜C .a b c＜＜D .a c b＜＜8.已知()()221122x a x x f x x ì-ï=íæö-ïç÷èøî，≥，，＜是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .()2-¥，B .138æù-¥çúèû，C .()02，D .1328éö÷êëø，9.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x e x =+，则()ln 2f -=（ ）A .12ln 22-B .12ln 22+C .22ln 2-D .22ln 2+10.已知函数()()()x xf x x e ae x -=+ÎR ，若()f x 是偶函数，记a m =；若()f x 是奇函数，记a n =.则2m n +的值为（ ）A .0B .1C .2D .1-11.已知实数a ，b 满足等式20172018a b =，则下列关系式不可能成立的是（ ）A .0a b ＜＜B .0a b ＜＜C .0b a＜＜D .a b=12.已知函数()221222log x mx m x m f x x x m ì-++ï=íïî，≤，，＞，其中01m ＜＜，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a=恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（）A .104æöç÷èø，B .102æöç÷èø，C .114æöç÷èøD .112æöç÷èø，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.满足31164x -æöç÷èø＞的x 的取值范围是________.14.若函数()212log 35y x ax =-+在[)1-+¥，上是减函数，则实数a 的取值范围是________.15.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，xy =的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.16.定义新运算Ä：当m n ≥时，m n m Ä=；当m n ＜时，m n n Ä=.设函数()()()2221log 2xx f x x éùÄ-Ä×ëû，则函数()f x 在()02，上的值域为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）计算下列各式的值：（1）7015log 243210.06470.250.58--æö--++´ç÷èø；（2）()2235lg5lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9+´++´´.18.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x ＞时，()23x xf x =-.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ÎR ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知实数x 满足9123270x x -×+≤，函数()2log 2xf x =×（1）求实数x 的取值范围；（2）求函数()f x 的最值，并求此时x 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()x f x a =，()2x g x a m =+，其中0m ＞，0a ＞且1a ≠.当[]11x Î-，时，()y f x =的最大值与最小值之和为52.（1）求a 的值；（2）若1a ＞，记函数()()()2h x g x mf x =-，求当[]0x Î，1时，()h x 的最小值()H m .21.（本小题满分12分）以德国数学家狄利克雷（l805-1859）命名的狄利克雷函数定义如下：对任意的x ÎR ，()10.x D x x ì=íî，为有理数，，为无理数研究这个函数，并回答如下问题：（1）写出函数()D x 的值域；（2）讨论函数()D x 的奇偶性；（3）若()()()212x x D x x f x D x x ì-ï=íïî+，为有理数，+，为无理数，，求()f x 的值域.22.（本小题满分12分）若函数()f x 满足()()21log 011a a f x x a a a x æö=×-ç÷-èø＞，且≠.（1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当()2x Î-¥，时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】对于A ，D ，若x ，y 为非正数，则不正确；对于B ，C ，根据指数幂的运算性质知C 正确，B 错误.故选C .2.【答案】B【解析】因为函数()12122m y m n x -=+-是幂函数，所以22211m m m +-=且≠，解得3m =-.3.【答案】A【解析】2200x x y x x x x ìï==í-ïî，≥，，＜为奇函数且是R 上的增函数，图像关于原点对称；x y e =是R 上的增函数，无奇偶性；1y x=-为奇函数且在()0-¥，和()0+¥，上单调递增，图像关于原点对称，但是函数在整个定义域上不是增函数；2log y x =在()0+¥，上为增函数，无奇偶性.故选A .4.【答案】A【解析】函数()ln 3y x =-+x 满足条件30240xx -ìí-î＞，≥，解得32x x ìíî＜，≥，即23x ≤＜，所以函数的定义域为[)23，，故选A .5.【答案】A【解析】对于A，22xxy -==的值域为()0+¥，；对于B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y =(]0-¥，，所以021x ＜≤，所以0121x -≤＜，所以y =[)01，；对于C ，2213124y x x x æö=++=++ç÷èø的值域是34éö+¥÷êëø，；对于D ，因为()()1001x Î-¥+¥+，∪，，所以113x y +=的值域是()()011+¥，∪，.6.【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，函数()x f x a =与()()log 01a g x x a a =＞，且≠在()0+¥，上的单调性相同，可排除B ，D .再由关系式()()330f g ×＜可排除A ，故选C .7.【答案】C【解析】 2.100.200.20.2log 2.1log 1000.20.21 2.1 2.1 1.a b c a b c ======\Q ＜，＜＜，＞＜＜.故选C .8.【答案】B【解析】由题意得，函数()()221122x a x x f x x ì-ï=íæö-ïç÷èøî，≥，，＜是R 上的减函数，则()2201122,2a a -ìïíæö--´ïç÷èøî＜，≥解得138a ≤，故选B .9.【答案】D【解析】Q 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x e x =+，()()ln 2ln 2ln 22ln 222ln 2f f e \-==+=+.故选D .10.【答案】B【解析】当()f x 是偶函数时，()()f x f x =-，即()()x x x x x e ae x e ae --+=-×+，即()()10x x a e e x -++=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =-，即1m =-.当()f x 是奇函数时，()()f x f x =--，即()()x x x x x e ae x e ae --+=+，即()()10x x a e e x ---=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =，即1n =.所以21m n +=.11.【答案】A【解析】分别画出2017x y =，2018x y =的图像如图所示，实数a ，b 满足等式20172018a b =，由图可得0a b ＞＞或0a b ＜＜或0a b ==，而0a b ＜＜不成立.故选A .12.【答案】A【解析】当01m ＜＜时，函数()221222log x mx m x m f x x x m ì-++ï=£íïî，≤，，＞，的大致图像如图所示.Q 当x m ≤时，()()2222222f x x mx m x m =-++=-+≥，\要使得关于x 的方程()f x a =有三个不同的根，则12log 2m ＞.又01m ＜＜，解得104m ＜＜.故选A .二、13.【答案】()1-¥，【解析】由题可得，321144x --æöæöç÷ç÷èøèø＞，则32x --＜，解得1x ＜.14.【答案】(]86--，【解析】令()235g x x ax =-+，其图像的对称轴为直线6a x =.依题意，有()1610ag ì-ïíï-î，＞，即68.a a -ìí-î≤，＞故(]86a Î--，.15.【答案】1124æöç÷èø，【解析】由图像可知，点()2A A x ，在函数y x =的图像上，所以2A x =，212A x ==.点()2B B x ，在函数12y x =的图像上，所以122B x =，4x =.点()4,C C y 在函数x y =的图像上，所以414C y ==.又因为12D A xx ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为1124æöç÷èø，.16.【答案】()112，【解析】根据题意，当22x ≥，即1x ≥时，222x x Ä=；当22x ＜，即1x ＜时，222x Ä=.当2log 1x ≤，即02x ＜≤时，21log 1x Ä=；当21log x ＜，即2x ＞时，221log log x x Ä=.()()2220122122log 2 2.x x x x xx f x x x x ìïï\=-íï-×ïî，＜＜，，≤≤，，＞\①当01x ＜＜时，()2x f x =是增函数，()12f x \＜＜；②当12x ≤＜，()221122224xxx f x æö=-=--ç÷èø，1222 4.x x \Q ≤＜，≤＜()221111242424f x æöæö\----ç÷ç÷èøèø＜，即()212f x ≤＜.综上，()f x 在()02，上的值域为()112，.三、17.【答案】解（1）70515log 244321510.06470.250.51224822--æöæö--++´=-++´=ç÷ç÷èøèø.（2）()()22352lg52lg 22lg3lg5lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9lg5lg5lg 2lg 21lg 2lg3lg5+´++´´=++++´´11810=++=.18.【答案】解（1）Q 定义域为R 的函数()f x 是奇函数，()00f \=.Q 当0x ＜时，0x -＞，()23x xf x --\-=-.又Q 函数()f x 是奇函数，()()f x f x \-=-，()23x xf x -\=+.综上所述，()2030020.3xx x x f x x xx -ì-ïï==íïï+î，＞，，，，＜（2）()()51003f f -==Q ＞，且()f x 为R 上的单调函数，()f x \在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜得()()2222f t t f t k ---＜.()f x Q 是奇函数，()()2222f t t f k t \--＜.又()f x Q 是减函数，2222t t k t \--＞，即2320t t k --＞对任意t ÎR 恒成立，4120k \D =+＜，解得13k -＜，即实数k 的取值范围为13æö-¥-ç÷èø，.19.【答案】解（1）由9123270x x -×+≤，得()23123270xx -×+≤，即()()33390x x --≤，所以339x ≤≤，所以12x ≤≤，满足02x 0.所以实数x 的取值范围为[]12，.（2）()()()()2222222231log log 1log 2log 3log 2log 224xf x x x x x x æö=×=--=-+=--ç÷èø.因为12x ≤≤，所以20log 1x ≤≤.所以2log 1x =，即2x =时，()min 0f x =；当2log 0x =，即1x =时，()max 2f x =.故函数()f x 的最小值为0，此时2x =，最大值为2，此时1x =.20.【答案】解（1）()f x Q 在[]11-，上为单调函数，()f x \的最大值与最小值之和为152a a -+=，2a \=或12a =.（2）1a Q ＞，2a \=.()2222x x h x m m =+-×，即()()2222xx h x m m =-×+.令2x t =，则()h x 可转化为()22k t t mt m =-+，其图像对称轴为直线t m =.[]01x ÎQ ，，[]12t \Î，，\当01m ＜＜时，()()11H m k m ==-+；当12m ≤≤时，()()2H m k m m m ==-+；当2m ＞时，()()234H m k m ==-+.综上所述，()21011234 2.m m H m m m m m m -+ìï=-+íï-+î，＜＜，，≤≤，，＞21.【答案】解（1）函数()D x 的值域为{}01，.（2）当x 为有理数时，则x -为无理数，则()()1D x D x -==；当x 为无理数时，则为x -为无理数，则()()0D x D x -==.故当x ÎR 时，()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数.（3）由()D x 的定义知，()22x x x f x x ìï=íïî，为有理数，，为无理数.即当x ÎR 时，()2x f x =.故()f x 的值域为()0+¥，.22.【答案】解（1）令log a x t =，则t x a =，()()21t t a f t a a a -\=--.()()()21x x a f x a a x a -\=-Î-R .()()()()2211x x x x a a f x a a a a f x a a ---=-=--=---Q ，()f x \为奇函数.当1a ＞时，x y a =为增函数，xy a -=-为增函数，且2201a a -，()f x \为增函数.当01a ＜＜时，x y a =为减函数，x y a -=-为减函数，且2201a a -＜，()f x \为增函数.()f x \在R 上为增函数.（2）()f x Q 是R 上的增函数，()4y f x \=-也是R 上的增函数.由2x ＜，得()()2f x f ＜，要使()4f x -在()2-¥，上恒为负数，只需()240f -≤，即()22241a a a a ---≤.422141a a a a-\×-≤，214a a \+≤，2410a a \-+≤，22a \-+≤.又1a Q ≠，a \的取值范围为)(21,2éë.。
高一数学必修一第二单元试题
第二章 基本初等函数(Ⅰ)一、选择题 1．对数式log32－(2＋3)的值是( )．A ．－1B ．0C ．1D ．不存在2．当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图象是( )．A B C D3．如果0＜a ＜1，那么下列不等式中正确的是( )． A ．(1－a )31＞(1－a )21 B ．log 1－a (1＋a )＞0 C ．(1－a )3＞(1＋a )2D ．(1－a )1+a＞14．函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小顺序是( )．A ．1＜d ＜c ＜a ＜bB ．c ＜d ＜1＜a ＜bC ．c ＜d ＜1＜b ＜aD ．d ＜c ＜1＜a ＜b5．已知f (x 6)＝log 2 x ，那么f (8)等于( )． A ．34B ．8C ．18D ．21 6．如果函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛121 ，上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )．A ． a ≤2B ．a ＞3C ．2≤a ≤3D ．a ≥37．函数f (x )＝2－x－1的定义域、值域是( )． A ．定义域是R ，值域是RB ．定义域是R ，值域为(0，＋∞)C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞)D ．定义域是(0，＋∞)，值域为R8．已知－1＜a ＜0，则( )．(第4题)A ．a ＜a⎪⎭⎫ ⎝⎛21＜2aB ．2a＜a⎪⎭⎫ ⎝⎛21＜aC ．2a＜a＜a⎪⎭⎫⎝⎛21D ．a⎪⎭⎫ ⎝⎛21＜a ＜2a9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧+-1 log 1≤413＞ ，，)(x x x a x a a是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0，1)B ．⎪⎭⎫⎝⎛310，C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3171，D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡171，10．已知y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )． A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(0，2) D ．［2，＋∞)二、填空题11．满足2－x ＞2x的x 的取值范围是 ．12．已知函数f (x )＝(－x 2＋4x ＋5)，则f (3)与f (4)的大小关系为 ． 13．64log 2log 273的值为_____．14．已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧，≤ ，，＞，020log 3x x x x 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为_____．15．函数y ＝)－(34log 5.0x 的定义域为 ． 16．已知函数f (x )＝a －121+x，若f (x )为奇函数，则a ＝________． 三、解答题17．设函数f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b ，满足f (－1)＝－2，且任取x ∈R ，都有f (x )≥2x ，求实数a ，b 的值．18．已知函数f (x)＝lg(ax2＋2x＋1) ．(1)若函数f (x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f (x)的值域为R，求实数a的取值范围．19．求下列函数的定义域、值域、单调区间：(1)y＝4x＋2x+1＋1；(2)y＝2＋3231x－x⎪⎭⎫⎝⎛．20．已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，其中a＞0，a≠1．(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；(2)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)求使f(x)－g(x)＞0成立的x的集合．参考答案一、选择题 1．A 解析：log 32－(2＋3)＝log 32－(2－3)－1，故选A ． 2．A解析：当a ＞1时，y ＝log a x 单调递增，y ＝a －x单调递减，故选A ． 3．A解析：取特殊值a ＝21，可立否选项B ，C ，D ，所以正确选项是A ．4．B解析：画出直线y ＝1与四个函数图象的交点，它们的横坐标的值，分别为a ，b ，c ，d 的值，由图形可得正确结果为B ．5．D解析：解法一：8＝(2)6，∴ f (26)＝log 22＝21． 解法二：f (x 6)＝log 2 x ，∴ f (x )＝log 26x ＝61log 2 x ，f (8)＝61log 28＝21． 6．D解析：由函数f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛121 ，上是减函数，于是有21－a ≥1，解得a ≥3． 7．C解析：函数f (x )＝2－x－1＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21－1的图象是函数g (x )＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛21图象向下平移一个单位所得，据函数g (x )＝x⎪⎭⎫⎝⎛21定义域和值域，不难得到函数f (x )定义域是R ，值域是(－1，＋∞)．8．B解析：由－1＜a ＜0，得0＜2a＜1，0.2a＞1，a⎪⎭⎫⎝⎛21＞1，知A ，D 不正确．当a ＝－21时，2121－⎪⎭⎫⎝⎛＝501.＜201.＝2120－.，知C 不正确．∴ 2a＜a⎪⎭⎫ ⎝⎛21＜0.2a．9．C解析：由f (x )在R 上是减函数，∴ f (x )在(1，＋∞)上单减，由对数函数单调性，即0＜a ＜1 ①，又由f (x )在(－∞，1]上单减，∴ 3a －1＜0，∴ a ＜31②，又由于由f (x )在R 上是减函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1］上的最小值7a －1要大于等于f (x )在［1，＋∞)上的最大值0，才能保证f (x )在R 上是减函数．∴ 7a －1≥0，即a ≥71③．由①②③可得71≤a ＜31，故选C ． 10．B解析：先求函数的定义域，由2－ax ＞0，有ax ＜2，因为a 是对数的底，故有a ＞0且a ≠1，于是得函数的定义域x ＜a2．又函数的递减区间［0，1］必须在函数的定义域内，故有1＜a2，从而0＜a ＜2且a ≠1．若0＜a ＜1，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a (2－ax )增大，即函数y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是单调递增的，这与题意不符.若1＜a ＜2，当x 在［0，1］上增大时，2－ax 减小，从而log a (2－ax )减小，即函数y ＝log a (2－ax )在［0，1］上是单调递减的．所以a 的取值范围应是(1，2)，故选择B ． 二、填空题11．参考答案：(－∞，0)． 解析：∵ －x ＞x ，∴ x ＜0． 12．参考答案：f (3)＜f (4)．解析：∵ f (3)＝ 8，f (4)＝ 5，∴ f (3)＜f (4)． 13．参考答案：21． 解析：64log 2log 273＝3lg 2lg ·64lg 27lg ＝63＝21．14．参考答案：41． 解析：⎪⎭⎫⎝⎛91f ＝log 391＝－2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f ＝f (－2)＝2－2＝41． 15．参考答案：⎥⎦⎤⎝⎛143 ，． 解析：由题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧0 34log 0345.0≥)－(＞－x x ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧13443 ≤－＞x x ∴ 所求函数的定义域为⎥⎦⎤⎝⎛143 ，． 16．参考答案：a ＝21． 解析：∵ f (x )为奇函数，∴ f (x )＋f (－x )＝2a －121＋x －121＋x -＝2a －1212＋＋x x ＝2a －1＝0，∴ a ＝21． 三、解答题17．参考答案：a ＝100，b ＝10．解析：由f (－1)＝－2，得1－lg a ＋lg b ＝0 ①，由f (x )≥2x ，得x 2＋x lg a ＋lg b ≥0(x ∈R )．∴Δ＝(lg a )2－4lg b ≤0 ②．联立①②，得(1－lg b )2≤0，∴ lg b ＝1，即b ＝10，代入①，即得a ＝100． 18．参考答案：(1) a 的取值范围是(1，＋∞) ，(2) a 的取值范围是[0，1]． 解析：(1)欲使函数f (x )的定义域为R ，只须ax 2＋2x ＋1＞0对x ∈R 恒成立，所以有⎩⎨⎧0 ＜440a －a ＞，解得a ＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)； (2)欲使函数 f (x )的值域为R ，即要ax 2＋2x ＋1 能够取到(0，＋∞) 的所有值． ①当a ＝0时，a x 2＋2x ＋1＝2x ＋1，当x ∈(－21，＋∞)时满足要求； ②当a ≠0时，应有⎩⎨⎧0 ≥440a －a ＝＞Δ 0＜a ≤1．当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时满足要求(其中x 1，x 2是方程ax 2＋2x ＋1＝0的二根)．综上，a 的取值范围是[0，1]．19．参考答案：(1)定义域为R ．令t ＝2x(t ＞0)，y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1， ∴ 值域为{y | y ＞1}．t ＝2x 的底数2＞1，故t ＝2x 在x ∈R 上单调递增；而 y ＝t 2＋2t ＋1在t ∈(0，＋∞)上单调递增，故函数y ＝4x＋2x ＋1＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)定义域为R ．令t ＝x 2－3x ＋2＝223⎪⎭⎫ ⎝⎛x －－41⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡，＋∞41－t ∈． ∴ 值域为(0，43]．∵ y ＝t⎪⎭⎫⎝⎛31在t ∈R 时为减函数，∴ y ＝2＋3－231x x ⎪⎭⎫⎝⎛在 ⎝⎛－∞，⎪⎭⎫23上单调增函数，在 ⎝⎛23，＋∞⎪⎪⎭⎫为单调减函数． 20．参考答案：(1){x |－1＜x ＜1}； (2)奇函数；(3)当0＜a ＜1时，－1＜x ＜0；当a ＞1时，0＜x ＜1．解析：(1)f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，若要式子有意义，则 即－1＜x ＜1，所以定义域为{x |－1＜x ＜1}．(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，其定义域为(－1，1)，且F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－［log a (1＋x )－log a (1－x )］＝－F (x )，所以f (x )－g (x )是奇函数．(3)f (x )－g (x )＞0即log a (x ＋1)－log a (1－x )＞0有log a (x ＋1)＞log a (1－x )．当0＜a ＜1时，上述不等式 解得－1＜x ＜0；当a ＞1时，上述不等式 解得0＜x ＜1． x ＋1＞01－x ＞0x ＋1＞01－x ＞0 x ＋1＜1－x x ＋1＞0 1－x ＞0 x ＋1＞1－x。
(人教版A版)高中数学必修第一册 第二章综合测试试卷02及答案
第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知,,a b c ÎR ，那么下列命题中正确的是（ ）A .若a b ＞，则22ac bc ＞B .若a bc c＞，则a b＞C .若33a b ＞，且0ab ＜，则11a b ＞D .若22a b ＞，且0ab ＞，则11a b＜2.如果a ÎR ，且20a a +＜，那么2,,a a a -的大小关系为（ ）A .2a a a -＞＞B .2a a a ->＞C .2a a a -＞＞D .2a a a-＞＞3.若函数14(2)2y x x x =+--＞，则函数y 有（ ）A .最大值0B .最小值0C .最大值2-D .最小值2-4.不等式1021x x -+的解集为（ ）A .1|12x x ìü-íýîþ＜≤B .1|12x x ìü-íýîþ≤C .1| 12x x x ìü-íýîþ＜或≥D .1|| 12x x x x ìü-íýîþ≤或≥5.若不等式220ax bx ++＜的解集为11|| 23x x x x ìü-íýîþ＜或＞，则a b a -的值为（ ）A .16B .16-C .56D .56-6.若不等式()(2)3x a x a a ---＞对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A .(1,3)-B .(3,1)-C .(2,6)-D .(6,2)-7.若0,0a b ＞＞，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A .114ab B .111a b+≤C 2D .228a b +≥8.不等式3112x x--≥的解集是（ ）A .3|24x x ìüíýîþ≤B .3|24x x ìüíýîþ≤＜C .3| 24x x x ìüíýîþ≤或＞D .{|2}x x ＜9.若命题“0x $ÎR ，使得200230x mx m ++-＜”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A .26m ≤≤B .62m --≤≤C .26m ＜＜D .62m --＜＜10.若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ）A .245B .285C .5D .611.已知210a +＜，关于x 的不等式22450x ax a --＞的解集是（ ）A .{|5 }x x a x a -＜或＞B .{|5 }x x a x a -＞或＜C .{|5}x a x a -＜＜D .{|5}x a x a -＜＜12.某厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是310051x x æö+-ç÷èø元.若使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x 的取值范围为（ ）A .{|3}x x ≥B .1| 35x x x ìü-íýîþ≤或≥C .{|310}x x ≤≤D .{|13}x x ≤≤二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在题中的横线上）13.若1x -＞，则当且仅当x =________时，函数111x x y +++=的最小值为________.14.若不等式20x ax b ++＜的解集为{}|12x x -＜＜，则不等式210bx ax ++＜的解集为________.15.已知,x y +ÎR ，且满足22x y xy +=，那么34x y +的最小值为________.16.若x ÎR ，不等式224421ax x x ++-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知不等式2340x x --＜的解集为A ，不等式260x x --＜的解集为B .（1）求A B I ；（2）若不等式20x ax b ++＜的解集为A B I ，求,a b 的值.18.[12分]已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根，命题p 是真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a ---＜的解集为N ，若x N Î是x M Î的充分条件，求a 的取值范围.19.[12分]（1）若0,0x y ＞＞，且281x y+=，求xy 的最小值；（2）已知0,0x y ＞＞满足21x y +=，求11x y+的最小值.20.[12分]要制作一个体积为39m ，高为1m 的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元.求该长方体容器的长为多少时总造价最低，最低为多少元？21.[12分]已知,,a b c 均为正实数.求证：（1）()2()4a b ab c abc ++≥；（2）若3a b c ++=+.22.[12分]设2()1g x x mx =-+.（1）若()0g x x对任意0x ＞恒成立，求实数m 的取值范围；（2）讨论关于x 的不等式()0g x ≥的解集.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】D 8.【答案】B 9.【答案】A 10.【答案】C【解析】由35x y xy +=可得13155y x+=，所以139431213131234(34)5555555555x y x y x y y x y x æö+=++=++++=+=ç÷èø，当且仅当31255x yy x =且35x y xy +=，即1x =，12y =时取等号.故34x y +的最小值是5.11.【答案】A【解析】方程22450x ax a --=的两根为,5a a -.1210,,52a a a a +\-\-Q ＜＜＞.结合2245y x ax a =--的图像，得原不等式的解集是{|5 }x x a x a -＜或＞.12.【答案】C【解析】根据题意，得3200513000x x æö+-ç÷èø≥，整理，得35140x x --≥，即251430x x --≥.又110x ≤≤，可解得310x ≤≤.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x 的取值范围是|310{}x x ≤≤.二、13.【答案】0214.【答案】1| 1 2x x x ìü-íýîþ＜或＞15.【答案】5+16.【答案】2|3a a ìü-íýîþ≥【解析】不等式224421ax x x ++-+≥恒成立2(2)430a x x Û+++≥恒成立220443(2)0a a +>ìïÛí-´´+ïî≤23a Û-≥，故实数a 的取值范围是2|3a a ìü-íýîþ≥.三、17.【答案】（1）解：{|14},{|23}A x x B x x =-=-＜＜＜＜，{|13}A B x x \Ç=-＜＜.（2）解：Q 不等式20x ax b ++＜的解集为{|13}x x -＜＜，1,3\-为方程20x ax b ++=的两根.10,930,a b a b -+=ì\í++=î2,3.a b =-ì\í=-î18.【答案】（1）解：命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根，所以240m D =->，解得2m ＞或2m -＜.所以{| 2 2}M m m m =-＞或＜.（2）解：因为x N Î是x M Î的充分条件，所以N M Í.因为{|2}N x a x a =+＜＜，所以22a +-≤或2a ≥，所以4a -≤或2a ≥.19.【答案】（1）解：0,0x y Q ＞＞且281x y+=，281x y \=+=≥，8，当且仅当82x y =且281x y+=即4x =，16y =时取等号.64xy \≥..故xy 的最小值是64.（2）解：0,0,21x y x y >>+=Q11112(2)1233x y x y x y x y y x æö\+=++=++++=+ç÷èø≥当且仅当x =且21x y +=.即x =，y =.故11x y+的最小值是3+20.【答案】解：设该长方体容器的长为m x ，则宽为9m x.又设该长方体容器的总造价为y 元，则9991021510019010y x x x x æöæö=´++´´+=++ç÷ç÷èøèø.因为96x x +=≥（当且仅当9x x =即3x =时取“=”）.所以min 250y =.即该长方体容器的长为3m 时总造价最低，最低为250元.答：该长方体容器的长为3m 时总造价最低，最低为250元.21.【答案】（1）证明：因为,,a b c 均为正实数，由基本不等式得a b +≥，2ab c +≥，两式相乘得()2()4a b ab c abc ++≥，当且仅当a b c ==时取等号.所以()2()4a b ab c abc ++≥..（2）解：因为,,a b c 12322a a +++=，当且仅当12a +=时取等号；12322b b +++=，当且仅当12b +=时取等号；12322c c +++=.当且仅当12c +=时取等号.以上三式相加，得962a b c ++++=≤，当且仅当1a b c ===时取等号.22.【答案】（1）解：由题意，若()0g x x≥对任意0x ＞恒成立，即为10x m x-+对0x ＞恒成立，即有1(0)m x x x+≤＞的最小值.由12(0)x x x +≥＞，可得1x =时，1x x+取得最小值2.所以2m ≤.（2）解：2()1g x x mx =-+对应的一元二次方程为210x mx -+=.当240m D =-≤，即22m -≤≤时，()0g x ≥的解集为R ；当0D ＞，即2m ＞或2m -＜时，方程的两根为x =可得()0g x ≥的解集为|x x x ìïíïî.。
完整版)高中数学必修一第二章测试题(含答案)
完整版)高中数学必修一第二章测试题(含答案)1.已知p>q>1,0<a<1，则下列各式中正确的是：A。
ap>aq B。
pa>qa C。
a-p>a-q D。
p-a>q-a正确答案：A解析：因为p>q>1，所以p-q>0，又因为0<a<1，所以a 的p-q次方小于1，即a^p-q<1，所以ap<aq，即选项A正确。
2.已知f(10x)=x，则f(5)=？A。
105 B。
510 C。
lg10 D。
lg5正确答案：B解析：将f(10x)=x代入x=5/10=1/2中，得到f(1/2)=5，又因为f(5)=f(1/2)/10=5/10=1/2，所以选项B正确。
3.当a≠0时，函数y=ax+b和y=ba^x的图象只可能是？正确答案：直线和指数函数曲线解析：当a=1时，y=x+b和y=be^x，即两个函数都是直线；当a>1时，y=ax+b的图象是一条上升的直线，y=ba^x的图象是一条上升的指数函数曲线；当0<a<1时，y=ax+b的图象是一条下降的直线，y=ba^x的图象是一条下降的指数函数曲线。
4.当a≠1时，函数y=a^(x+b)和y=b^(ax)的图象只可能是？正确答案：指数函数曲线解析：y=a^(x+b)可以化为y=a^b*a^x，因此是一条上升的指数函数曲线；y=b^(ax)可以化为y=(b^a)^x，因此也是一条上升的指数函数曲线。
5.设y1=4,y2=80.90.48，y3=1/2，则递增区间是？正确答案：(0，+∞)解析：因为y1<y3<y2，所以递增区间是(0，+∞)。
6.下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是？A。
y=ln(x+2) B。
y=-x+1 C。
y=1/(1+x) D。
y=sin(x)正确答案：A解析：求导可得y'=(1/(x+2))>0，所以y在区间(0，+∞)上为增函数，因此选项A正确。
高一数学必修一第二单元测试题及答案
高一数学必修一第二单元测试题及答案一、选择题1.(20 13年高考四川卷)设集合a={1,2,3},集合b={ -2,2},则a∩b等于( b )(a) (b){2}(c){-2,2} (d){-2,1,2,3}解析:a∩b={2},故挑选b.(a){2} (b){0,2}(c){-1,2} (d){-1,0,2}解析:依题意得集合p={-1,0,1},(a)1个 (b)2个 (c)4个 (d)8个4.(年高考全国新课标卷ⅰ)已知集合a={x|x2-2x>0},b={x|-(a)a∩b= (b)a∪b=r解析:a={x|x>2或x<0},∴a∪b=r,故挑选b.5.已知集合m={x ≥0,x∈r},n={y|y=3x2+1,x∈r},则m∩n等于( c )(a) (b){x|x≥1}(c){x|x>1} (d){x|x≥1或x<0}解析:m={x|x≤0或x>1},n={y|y≥1}={x|x≥1}.∴m∩n={x|x>1},故选c.6.设子集a={x + =1},子集b={y - =1},则a∩b等同于( c )(a)[-2,- ] (b)[ ,2](c)[-2,- ]∪[ ,2] (d)[-2,2]解析:集合a表示椭圆上的点的横坐标的取值范围a=[-2,2],集合b表示双曲线上的点的纵坐标的取值范围b=(-∞,- ]∪[ ,+∞),所以a∩b=[-2,- ]∪[ ,2].故选c.二、填空题7.( 年高考上海卷)若集合a={x|2x+1>0},b={x||x-1|<2},则a∩b=.解析:a={x x>- },b={x|-1所以a∩b={x -答案:{x -解析:因为2∈a,所以 <0,即(2a-1)(a- 2)>0,Champsaura>2或a< .①若3∈a,则 <0,即为( 3a-1)(a-3)>0,解得a>3或a< ,①②挑关连得实数a的值域范围就是∪(2,3].答案: ∪(2,3]若a≠0,b=(- ),∴- =-1或- =1,∴a=1或a=-1.所以a=0或a=1或a=-1组成的集合为{-1,0,1}.答案:{-1,0,1}10.已知集合a={x|x2+ x+1=0},若a∩r= ,则实数m的取值范围是.解析:∵a∩r= ,∴a= ,∴δ=( )2-4<0,∴0≤m<4.答案:[0,4)11.已知集合a={x|x2-2x-3>0},b={x|x2+ax+b≤0},若a∪b=r,a∩b={x| 3解析:a={x|x<-1或x>3},∵a∪b=r,a∩b={x|3∴b={x|-1≤x≤4},即方程x2+ax+b=0的两根为x1=-1,x2=4.∴a=-3,b=-4,∴a+b=-7.答案:-7三、解答题12.未知子集a={-4,2a-1,a2},b={a-5,1-a,9},分别谋适宜以下条件的a的值.(1)9∈(a∩b);(2){9}=a∩b.解:(1) ∵9∈(a∩b),∴2a-1= 9或a2=9,∴a=5或a=3或a=-3.当a=5时,a={-4,9,25},b={0,-4,9};当a=3时,a-5=1-a=-2,不满足集合元素的互异性;当a=-3时,a={-4,-7,9},b={-8,4,9},所以a=5或a=-3.(2)由(1)所述,当a=5时,a∩b={-4,9},相左题意,当a=-3时,a∩b={9}.所以a=- 3.13.已知集合a={x|x2-2x-3≤0};b={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈r,m∈r}.(1)若a∩b=[0,3],谋实数m的值;解:由已知得a={x|-1≤x≤3},b={x|m-2≤x≤m+2}.(1)∵a∩b=[0,3],∴∴m=2.∴m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.14.设u=r,子集a={x |x2+3x+2=0},b={x|x2+(m+1)x+m=0},若解:a={x|x=-1或x=-2},方程x2+(m+1)x+m=0的根是x1=-1,x2=-m,当-m=-1,即m=1时,b={-1},当-m≠-1,即m≠1时,b={-1,-m},∴-m=-2,即m=2.所以m=1或m=2.集合的三个特性(1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，如集合a={1,2}，集合b={2,1}，则集合a=b。
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高一数学必修第二章测
试题
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高一数学必修2第二章测试题
班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是
A 、A
B α⊂ B 、AB α⊄
C 、由线段AB 的长短而定
D 、以上都不对
2、下列说法正确的是
A 、三点确定一个平面
B 、四边形一定是平面图形
C 、梯形一定是平面图形
D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点
3、垂直于同一条直线的两条直线一定
A 、平行
B 、相交
C 、异面
D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是
A 、11AC AD ⊥
B 、11D
C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角
D 、11AC 与
1B C 成60角
5、若直线l 垂直平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是
A 、l 垂直a
B 、l 与a 异面
C 、l 与a 相交
D 、以上三种
6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取
E
F
G
H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点P 不在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上
C 、点P 必在平面ABC 内
D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，
a ∥
b ，则a ∥M ；③若a ⊥
c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有
B 1
C 1
A 1D 1
B
A
C
D A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
9、如图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中有下列几个结论 ①BM 其中真命题的个数是
11、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,
则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是
A 、23
B 、76
C 、4
5
D 、56
12、直线m,n 分别在两个互相垂直的平面α，β内，且α∩β= a ,m 和n 与 a 不垂直也不平行，那么m 和n 的位置关系是（）
A ．可能垂直，但不一定平行，
B ，可能平行，但一定不垂直
C ，可能垂直，可能平行，
D ，一定不垂直，也一定不平行。
二、填空题（每小题5分，共20分）
13已知各个顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
14、正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为 15、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .
16、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件
_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)
第Ⅱ卷
11、 12、 13、 14、 三、解答题(共74分,要求写出主要的证明、解答过程)
17、证明：如果共点的三条直线两两垂直，那么他们中每两条直线确定的平面也两两垂直。
(12分)
18、空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：（1）BD ABC ∆90ACB ∠=SA ⊥ABC AD SC ⊥AD ⊥SBC 求证：平面ABC ⊥平面BSC (本题14分)
S
D
C
B
A。