矩阵特征值计算.ppt
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计算方法
第八章 矩阵特征值计算
—— 幂法与反幂法
1
本章内容
特征值基本性质 幂法与反幂法 正交变换与矩阵分解 QR 方法
2
本讲内容
特征值基本性质 幂法 幂法的加速 反幂法
3
特征值性质
特征值与特征向量
A x = x ( C, x 0 )
性质 (1) Ax x ( A I )x ( )x (2) Ax x Ak x k x (3) B P 1AP, Ax x By y, y P 1x (4) 若 A 对称，则存在正交矩阵 Q，使得 QT AQ diag(1, 2, , n )
当 r 接近于 1 时，乘幂法收敛会很慢！
幂法的加速：原点平移法
带位移的幂法
令 B = A – pI，则 B 的特征值为：i - p
选择适当的 p 满足： (1) | 1 p || j p | ( j = 2, ... , n )
(2) max j p 2 2 jn 1 p 1
6
幂法
幂法（乘幂法，幂迭代）
计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量
假设：(1) |1| > |2| … |n| 0
(2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn
计算过程： (1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
5
Rayleigh 商
定理：设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为 1 2 n
则对任意非零向量 x，有
n
( Ax, x) (x, x)
1
且
1
max x0
( Ax, x) (x, x)
,
n
min x0
( Ax, x) (x, x)
R( x) ( Ax, x) 称为矩阵 A 关于 x 的 Rayleigh 商。 (x, x)
4
圆盘定理
设 A=(aij)Rnn ，记
Di C
n
| aii |
aij
j1, ji
i=1, 2, ... , n
Gerschgorin 圆盘
定理：(Gerschgorin 圆盘定理) 设 是 A 的特征值，则
n
Di
i 1
若有 m 的圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这 m 个圆盘内恰好包含 m 个特征值。
假设：(1) |1| |2| … |n-1| > |n| > 0
(2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn
A-1 的特征值为：
1
1
1
2
1 1
n1 n
对应的特征向量仍然为 x1, x2, ..., xn
反幂法：对矩阵 A-1 使用幂法
vk Avk1
7
幂法的收敛性
收敛性分析 设 v0 1x1 2 x2 n xn (1 0) v1 Av0 11x1 22 x2 nn xn
vk
Avk1
11k x1
k
22
x2
k
nn
xn
1k
1 x1
k
vk
1
12
改进的幂法
改进的幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0
(2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
uk
vk , vk
vk1 Auk
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足
1 2 3 n
17
反幂法
反幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0
(2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
2
2 1
k
x2
n
n 1
k
xn
1k1 x1
2 1
越小，收敛越快
8
幂法的收敛性
当 k 充分大时，有
vk 1k1 x1 vk1 1k11 x1
vk1 1vk
又 vk1 Avk
vk1 j vk j
用幂法计算矩阵 B 的主特征值：1 - p
保持主特征值 加快收敛速度
15
举例
例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向
量，取 p=0.75
ex82.m
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25
0.5 0.25 2.0
16
反幂法
反幂法
计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量
uk
vk Akv0
vk vk 1
Akv0
Auk
Ak 1v0 Akv0
k1 1
1 x1
n
i
i2
i 1
k 1
xi
1k
1 x1
n
i
i2
i 1
k
xi
lim
1 ( j =1, 2, ... , n )
Leabharlann Baidu
Avk 1vk
vk 为 1 的近似特征向量
9
幂法的收敛性
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足
1 2 3 n
则由幂法生成的向量满足
lim
k
vk
1k
1x1,
lim (vk1 ) j k (vk ) j
1
注：幂法的收敛速度取决于 2 的大小 1
10
幂法
幂法中存在的问题
vk 1k1 x1
, | 1 | 1 0, | 1 | 1
改进方法：规范化
vk1 Avk
uk
vk , vk
vk1 Auk
lim
k
uk
x1 x1
11
幂法
1 的计算
则由改进的幂法生成的向量满足
lim
k
uk
x1 , x1
lim
k
vk
1
13
举例
例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25
0.5 0.25 2.0
ex81.m
14
幂法的加速
幂法的收敛速度取决于 r 2 的大小 1
第八章 矩阵特征值计算
—— 幂法与反幂法
1
本章内容
特征值基本性质 幂法与反幂法 正交变换与矩阵分解 QR 方法
2
本讲内容
特征值基本性质 幂法 幂法的加速 反幂法
3
特征值性质
特征值与特征向量
A x = x ( C, x 0 )
性质 (1) Ax x ( A I )x ( )x (2) Ax x Ak x k x (3) B P 1AP, Ax x By y, y P 1x (4) 若 A 对称，则存在正交矩阵 Q，使得 QT AQ diag(1, 2, , n )
当 r 接近于 1 时，乘幂法收敛会很慢！
幂法的加速：原点平移法
带位移的幂法
令 B = A – pI，则 B 的特征值为：i - p
选择适当的 p 满足： (1) | 1 p || j p | ( j = 2, ... , n )
(2) max j p 2 2 jn 1 p 1
6
幂法
幂法（乘幂法，幂迭代）
计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量
假设：(1) |1| > |2| … |n| 0
(2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn
计算过程： (1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
5
Rayleigh 商
定理：设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特征值为 1 2 n
则对任意非零向量 x，有
n
( Ax, x) (x, x)
1
且
1
max x0
( Ax, x) (x, x)
,
n
min x0
( Ax, x) (x, x)
R( x) ( Ax, x) 称为矩阵 A 关于 x 的 Rayleigh 商。 (x, x)
4
圆盘定理
设 A=(aij)Rnn ，记
Di C
n
| aii |
aij
j1, ji
i=1, 2, ... , n
Gerschgorin 圆盘
定理：(Gerschgorin 圆盘定理) 设 是 A 的特征值，则
n
Di
i 1
若有 m 的圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这 m 个圆盘内恰好包含 m 个特征值。
假设：(1) |1| |2| … |n-1| > |n| > 0
(2) 对应的 n 个线性无关特征向量为：x1, x2, ..., xn
A-1 的特征值为：
1
1
1
2
1 1
n1 n
对应的特征向量仍然为 x1, x2, ..., xn
反幂法：对矩阵 A-1 使用幂法
vk Avk1
7
幂法的收敛性
收敛性分析 设 v0 1x1 2 x2 n xn (1 0) v1 Av0 11x1 22 x2 nn xn
vk
Avk1
11k x1
k
22
x2
k
nn
xn
1k
1 x1
k
vk
1
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改进的幂法
改进的幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0
(2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
uk
vk , vk
vk1 Auk
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足
1 2 3 n
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反幂法
反幂法
(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) 0
(2) 对 k = 1, 2, ... ，直到收敛，计算
2
2 1
k
x2
n
n 1
k
xn
1k1 x1
2 1
越小，收敛越快
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幂法的收敛性
当 k 充分大时，有
vk 1k1 x1 vk1 1k11 x1
vk1 1vk
又 vk1 Avk
vk1 j vk j
用幂法计算矩阵 B 的主特征值：1 - p
保持主特征值 加快收敛速度
15
举例
例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向
量，取 p=0.75
ex82.m
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25
0.5 0.25 2.0
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反幂法
反幂法
计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量
uk
vk Akv0
vk vk 1
Akv0
Auk
Ak 1v0 Akv0
k1 1
1 x1
n
i
i2
i 1
k 1
xi
1k
1 x1
n
i
i2
i 1
k
xi
lim
1 ( j =1, 2, ... , n )
Leabharlann Baidu
Avk 1vk
vk 为 1 的近似特征向量
9
幂法的收敛性
定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满足
1 2 3 n
则由幂法生成的向量满足
lim
k
vk
1k
1x1,
lim (vk1 ) j k (vk ) j
1
注：幂法的收敛速度取决于 2 的大小 1
10
幂法
幂法中存在的问题
vk 1k1 x1
, | 1 | 1 0, | 1 | 1
改进方法：规范化
vk1 Avk
uk
vk , vk
vk1 Auk
lim
k
uk
x1 x1
11
幂法
1 的计算
则由改进的幂法生成的向量满足
lim
k
uk
x1 , x1
lim
k
vk
1
13
举例
例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量
1.0 1.0 0.5 A 1.0 1.0 0.25
0.5 0.25 2.0
ex81.m
14
幂法的加速
幂法的收敛速度取决于 r 2 的大小 1