《反证法》PPT课件(陕西省县级优课)
合集下载
《反证法》课件
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条
直线平行,那么这两条直线也互相平行.
l
(3)不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
这种证明方法叫做反证法.
反证法的一般步骤:
假设
假设命题结 论反面成立
假设命题结 论不成立
推理得出 的结论
与已知条 件矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
所证命题 成立
(1)课本第87页作业题 (2)见作业本.
A 2 l1
B1
l2
证明:作直线l，分别与直线l1 ，l2 ， C 3
l3
l3交于于点A，B，C。
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等）
∴∠2 =∠3（等式性质）
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
已知:如图,直线l与l1,l2,l3 都相交,且 l1∥l2,l2∥l3,
假设“李子甜” 树在道边则李子少
与已知条件“树在道边而多子”产生矛 盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的, 即所求证的命题正确.
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
《反证法》 完整版PPT课件
王戎推理方法是: 假设“李子甜”
树在道边则李子少 与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾
假设 “李子甜”不成立 所以“树在道边而多子，此必为苦李” 是正确的
在证明一个命题时，有时
先假设原命题不成立，
然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最 后推出与已知条件矛盾，或者与学过定义、公 理、定理等矛盾，
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
反证法的一般步骤:
假设命题结论 不成立。
假设
（即命题结论反面成立） 所证命 题成立
推理得出 的结论
与已知条件 矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
从而得出假设是错误的，原结论是正确的。
这种证明方法叫做反证法。
证明：一个三角形中最多有一个直角。
A
C
B
反证法的步骤
第一步：假设命题的结论不成立。
第二步：从这个假设和其他已知条件出发，经过推理 论证，得出与学过的概念、基本事实。已证明的定理、 性质或题设条件相矛盾的结果。
第三步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从 而说明命题的结论是正确的。
反证法
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁 时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满 了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在 原地不动。有人问王戎为什么？
王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李。”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。
王戎是怎样知道李子是苦的吗？他运用 了怎样的推理方法？
例： 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角。 已知：四边形ABCD（图4-36)。 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
图4-36 证明：假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角，即 ∠A<90 °，∠B＜90 °，∠ C<90 °，∠ D<90 ° ， 于是∠ A＋ ∠ B+ ∠ C＋ ∠ D<360 °。 这与“四边形的内角和为360 °”矛盾，所以四边形ABCD中至 少有一个角是钝角或直角。
《反证法》ppt课件
2.2直接证明与间接证明
2.2.2
间接证明
一、复习
1、直接证明的两种基本证法：综合法和分析法 2、这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 — —已知条件⇒ ⇒ ⇒ 结论 由因导果 分析法 — —结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
二.练习
1.已知a,b,c是不全相等的正数，且0 < x < 1. 求证： a+b b+c c+a log x + log x + log x 2 2 2 < log x a + log x b + log xc
2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C， 在b上任取两点B,D， 试证：AB和CD也是异面直线.
否定结论q
逻辑矛盾
为
假
为
真
注3.反证法的证明过程可以概括为： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即三个步骤：反设—归谬—存真 注4.用反证法证明的步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立 （反设） （2）从反设和已知条件出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾结果（归谬） （3）由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立 （存真）
例2.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上 的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
解题反思：
证明该问题的关键 是哪一步？ 本题中得到的逻辑 矛盾归属哪一类？
例3：求证：正弦函数没有比2π 小的正周期.
解题反思：
证明该问题的关键是哪一步？ 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
A
C a
2.2.2
间接证明
一、复习
1、直接证明的两种基本证法：综合法和分析法 2、这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 — —已知条件⇒ ⇒ ⇒ 结论 由因导果 分析法 — —结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
二.练习
1.已知a,b,c是不全相等的正数，且0 < x < 1. 求证： a+b b+c c+a log x + log x + log x 2 2 2 < log x a + log x b + log xc
2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C， 在b上任取两点B,D， 试证：AB和CD也是异面直线.
否定结论q
逻辑矛盾
为
假
为
真
注3.反证法的证明过程可以概括为： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即三个步骤：反设—归谬—存真 注4.用反证法证明的步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立 （反设） （2）从反设和已知条件出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾结果（归谬） （3）由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立 （存真）
例2.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上 的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
解题反思：
证明该问题的关键 是哪一步？ 本题中得到的逻辑 矛盾归属哪一类？
例3：求证：正弦函数没有比2π 小的正周期.
解题反思：
证明该问题的关键是哪一步？ 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
A
C a
人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)品质课件PPT
小故事:
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴 们外出游玩,看到路边的 李树上结满了果子.小伙 伴们纷纷去摘取果子,只 有王戎站在原地不动.王 戎回答说:“树在道边而多 子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一 下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?请 说明你的理由。
假如李子不是苦的，也就是说李子是甜的， 那么按照惯例长在大路边的李子应该经常会被 过路人吃掉，那么，树上的李子还会有这么多 吗？
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴 们外出游玩,看到路边的 李树上结满了果子.小伙 伴们纷纷去摘取果子,只 有王戎站在原地不动.王 戎回答说:“树在道边而多 子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一 下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?请 说明你的理由。
假如李子不是苦的，也就是说李子是甜的， 那么按照惯例长在大路边的李子应该经常会被 过路人吃掉，那么，树上的李子还会有这么多 吗？
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
反证法(证明) ppt课件
若存在，求出其值，若不存在，请说明理由。
练习
求证：在任何三个整数中，必有这样的 两个数，他们的和是2的倍数
如果把9个苹果放在4个盒子里那么至少 有1个盒子中放了3个或者3个0 对于直线l : y kx 1 ，是否存在这样的
实数 k ，使得l 与双曲线 C : 3x2 y2 1
的交点A，B关于直线 y ax（a 是常数）对称？
例3 抛物线上任取四点4所组成的不可能是平行四边形。
练习
有一个4×4的方格表.先从中涂黑3个方格，然后再 将那些至少与两个已涂黑的方格相邻的方格也涂黑. 求证：无论最初涂黑哪3个方格，都不可能按这样的 规则涂黑所有的方格.
存在无限性命题与反证法
问题涉及存在多个符合某条件时，也使用反证法
反证法
反证法定义 方法的步骤 反证法的分类
反证法
反证法：通过证明命题的否定命题不真 实，从而肯定原命题成立的论证方式
包括归谬法和穷举法
反证法证题步骤
1、假设原命题不成立 2、从否定结论出发，逐层推理，得出与
公理、订立或者题设条件自相矛盾的结 论 3、根据排中律，肯定原命题成立
存在至多或者至少型命题
例8
若x, y, z 为实数，令 a x2 2y ，
2
b y2 2z , c z2 2x
3
6
求证：a,b, c 至少有一个不大于0。
例题
例8 把43人分成7各小组，总有一个小组 至少有7人
例9 把11个参加活动的名额分配给6个班， 每班至少分配1人，求证：不管怎么分， 至少有3个班的名额相等
否定性命题与反证法
否定型命题：结论中含有“不可 能……”“不是……”“不存在……”“不等于……” 等词句。这类命题通常用反证法证明。
练习
求证：在任何三个整数中，必有这样的 两个数，他们的和是2的倍数
如果把9个苹果放在4个盒子里那么至少 有1个盒子中放了3个或者3个0 对于直线l : y kx 1 ，是否存在这样的
实数 k ，使得l 与双曲线 C : 3x2 y2 1
的交点A，B关于直线 y ax（a 是常数）对称？
例3 抛物线上任取四点4所组成的不可能是平行四边形。
练习
有一个4×4的方格表.先从中涂黑3个方格，然后再 将那些至少与两个已涂黑的方格相邻的方格也涂黑. 求证：无论最初涂黑哪3个方格，都不可能按这样的 规则涂黑所有的方格.
存在无限性命题与反证法
问题涉及存在多个符合某条件时，也使用反证法
反证法
反证法定义 方法的步骤 反证法的分类
反证法
反证法：通过证明命题的否定命题不真 实，从而肯定原命题成立的论证方式
包括归谬法和穷举法
反证法证题步骤
1、假设原命题不成立 2、从否定结论出发，逐层推理，得出与
公理、订立或者题设条件自相矛盾的结 论 3、根据排中律，肯定原命题成立
存在至多或者至少型命题
例8
若x, y, z 为实数，令 a x2 2y ，
2
b y2 2z , c z2 2x
3
6
求证：a,b, c 至少有一个不大于0。
例题
例8 把43人分成7各小组，总有一个小组 至少有7人
例9 把11个参加活动的名额分配给6个班， 每班至少分配1人，求证：不管怎么分， 至少有3个班的名额相等
否定性命题与反证法
否定型命题：结论中含有“不可 能……”“不是……”“不存在……”“不等于……” 等词句。这类命题通常用反证法证明。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即点P为 与 的交点，而
，这与Biblioteka 们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已
知直线垂直”相矛盾。所以，
过同一直线上的三点不能作圆。
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的, 即所求证的命题正确.
平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你首先会选择哪一种证明方法?
(2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等）
∴∠2 =∠3（等式性质）
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
已知:如图, 直线l1∥l2，直线L与 L1， L2相交 求证:∠1=∠2
l
1
L1
2
l2
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
假设“李子甜” 树在道边则李子少
与已知条件“树在道边而多子”产生矛 盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
过同一直线上的三点不能作圆
• 已知：点A、 B、 C三点在直线 上
• 求证：过A、 B、 C三点不能作圆
• 证明：假设过A、 B、 C三点可以作一个圆。
• 设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线 上，又在线段BC的垂直平分线 上，
1
求证：a∥b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
c a b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立 ∴a∥b
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝__角___. 当∠B是__直__角_时，则_∠__B_+_∠__C_=__1_8_0_° 这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾；
这与＿＿三＿角＿形＿的＿内＿角＿和＿等＿于＿１＿８＿０＿°＿＿＿矛盾
所以假设命题＿＿不＿成＿立＿＿， 所以，所求证的结论成立．
反证法的一般步骤:
假设命题结论反面成立
假
设
假设命题结论不成立
所证命 题成立
推理得出 的结论
与已知条件 矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线
这种证明方法叫做反证法.
反证法的一般步骤:
假设命题结论反面成立
假
设
假设命题结论不成立
所证命 题成立
推理得出 的结论
与已知条件 矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条
直线平
行,那么这两条直线也互相平行.
l
不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
A 2 l1
B1
l2
证明:作直线l，分别与直线l1 ，l2 ， C 3
l3
l3交于于点A，B，C。
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的, 即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
试试看!
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角 大于或等于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
Ａ
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度
证明：
Ｂ
假设所求证的结论不成立，即
∠Ａ＿＿＜６０°， ∠Ｂ＿＿＜６０°，∠Ｃ＿＿＜６０°
Ｃ
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
反证法
有人问王戎为什么，
从前有个聪明的孩
子叫王戎。他7岁时,与 小伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满了 果子.小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王戎站 在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?
他运用了怎样的推理方法?
王戎推理方法是:
，这与Biblioteka 们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已
知直线垂直”相矛盾。所以，
过同一直线上的三点不能作圆。
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的, 即所求证的命题正确.
平行,那么这两条直线也互相平行.
(1)你首先会选择哪一种证明方法?
(2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等）
∴∠2 =∠3（等式性质）
∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
已知:如图, 直线l1∥l2，直线L与 L1， L2相交 求证:∠1=∠2
l
1
L1
2
l2
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
假设“李子甜” 树在道边则李子少
与已知条件“树在道边而多子”产生矛 盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
过同一直线上的三点不能作圆
• 已知：点A、 B、 C三点在直线 上
• 求证：过A、 B、 C三点不能作圆
• 证明：假设过A、 B、 C三点可以作一个圆。
• 设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线 上，又在线段BC的垂直平分线 上，
1
求证：a∥b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
c a b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立 ∴a∥b
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝__角___. 当∠B是__直__角_时，则_∠__B_+_∠__C_=__1_8_0_° 这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾；
这与＿＿三＿角＿形＿的＿内＿角＿和＿等＿于＿１＿８＿０＿°＿＿＿矛盾
所以假设命题＿＿不＿成＿立＿＿， 所以，所求证的结论成立．
反证法的一般步骤:
假设命题结论反面成立
假
设
假设命题结论不成立
所证命 题成立
推理得出 的结论
与已知条件 矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线
这种证明方法叫做反证法.
反证法的一般步骤:
假设命题结论反面成立
假
设
假设命题结论不成立
所证命 题成立
推理得出 的结论
与已知条件 矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条
直线平
行,那么这两条直线也互相平行.
l
不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
A 2 l1
B1
l2
证明:作直线l，分别与直线l1 ，l2 ， C 3
l3
l3交于于点A，B，C。
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的, 即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
试试看!
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角 大于或等于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
Ａ
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度
证明：
Ｂ
假设所求证的结论不成立，即
∠Ａ＿＿＜６０°， ∠Ｂ＿＿＜６０°，∠Ｃ＿＿＜６０°
Ｃ
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
反证法
有人问王戎为什么，
从前有个聪明的孩
子叫王戎。他7岁时,与 小伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满了 果子.小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王戎站 在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?
他运用了怎样的推理方法?
王戎推理方法是: