10_随机信号的相关函数估计与功率谱密度函数估计

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• §10.5 功率谱估计的现代方法
• §10.6 信号的倒谱分析
• §10.7 谱估计方法在信号分析中的应用
2020/10/18
大连理工大学
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§10.1 引言
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• 相关函数的概念
– 相关函数是两个确定性信号或随机信号之间相似性 的一种度量。
– 互相关函数:两个信号是两个不同的信号; – 自相关函数:两个信号是同一个信号;
• (3)常用随机信号的自相关函数(续1)

AR(p)信号:
x(n)
p
ak
x(n
k
)
w(n)
k 1
– AR(p)信号的自相关函数
p
Rxx (m) ak Rxx (m k) k 1
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• (3)常用随机信号的自相关函数(续2)
– MA(q)信号:
q
x(n) bk w(n k) k 0
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• 几种典型的自相关函数
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• (3)常用随机信号的自相关函数
– 白噪声的自相关函数
RWN xx
(m)
N0 2
(m)
– 限带白噪声的自相关函数
RBLWN xx
(m)
WN0 2
sinWm Wm
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–无偏估计:
E[ˆ] 或 E[ˆ] E[ ]
–渐进无偏估计:
lim
N
b(ˆ)
lim
N
E[ˆ]
0

lim
N
b(ˆ)
lim
N
E[ˆ]
E[
ห้องสมุดไป่ตู้
]
0
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• 估计的方差
– 估计的方差(variance)用来度量估计值 ˆ 与其数 学期望 E[ˆ] 之间的分散程度。即:
Var[ˆ] 2ˆ E[(ˆ E[ˆ])2]
– 估计的方差越小,表示参数的估计值越集中在其真 值或均值附近,即估计的分散性越小。
• 估计的均方误差
– 只有采用估计的均方误差,才能较全面地反映估计 的质量。估计的均方误差是估计偏差的平方与估计
方差之和。
E[( E[ˆ])2 ] b2 (ˆ) 2ˆ
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10.2.1 相关函数
• (1)相关函数的定义
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• 对于各态历经信号
Rxx
(m)
lim
N
1 2N 1
N nN
x(n) x* (n
m)
Rxy
(m)
lim
N
1N 2N 1nN
x(n)
y* (n
m)
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• 相关函数的主要性质
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• 功率谱密度函数的概念
– 功率谱密度(power spectral density,PSD)函数 是相关函数的傅里叶变换,是具有有限平均功率信 号的频谱分量在单位带宽上的功率表示,是随机信 号特性在频域的表示。
– 自功率谱密度(auto-PSD)函数:自相关函数的傅 里叶变换;
2 x
1 N
N
[xi E(x)]2
i 1
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• 从带噪声的观测数据中估计信号参数的流程图:
ˆ
判据
x s( ) n 估计算法 ˆ
代价最小
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10.1.2 参数估计的评价准则
• (1)估计的无偏性
–估计的偏差(deviation),又称为估计的偏,是 指估计值 ˆ 与其真值 或均值 E[ˆ]之差,可以用 来衡量估计结果的精度。
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10.2.2 功率谱密度函数
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• 估计的有效性
– 如果要比较同一参数的两个无偏估计的优劣,在样 本容量相同的情况下,需要看哪一个无偏估计的方 差更小。若满足
Var[ˆ1] Var[ˆ2 ]
则称 ˆ1 为参数 的有效估计,或称估计 ˆ1 比估计 ˆ2
更有效。
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– 互功率谱密度(cross-PSD)函数:互相关函数的 傅立叶变换。
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• 本章介绍内容:
– 简要介绍相关函数和功率谱密度函数基本概念; – 系统介绍相关函数与功率谱密度函数的估计方法; – 以周期图为核心的功率谱经典估计方法及其改进方
法;
– 以参数模型法为主的现代谱估计方法,包括AR、 MA和ARMA参数模型法,最大熵谱估计方法,最 小方差谱估计方法,皮萨伦科谱分解方法和基于自 相关阵特征分解的方法等,并给出了多种谱估计方 法的比较。
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• 估计的一致性
– 如果当样本容量 N 时,参数估计值无限接近其 真值,即偏差和方差均趋于0,则该估计是一致估 计。即满足
lim E[(ˆ )2 ] 0
N
条件的估计为一致估计。
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§10.2 相关函数与功率谱 密度函数
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– 介绍倒谱分析及其应用,介绍谱估计的应用。
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10.1.1 信号参数估计问题的基本任务
• 信号参数估计:
–是根据从总体中抽取的样本来估计总体分布中包含 的未知参数的方法。
–任务是利用有限数据从带噪信号中估计出信号的某 个或某些参数。
mˆ x
1 N
N i 1
xi
ˆ
大连理工大学硕士研究生校管课程 信号处理与数据分析
第10章
随机信号的相关函数估计与功 率谱密度函数估计
电子信息与电气工程学部
邱天爽
2015年11月
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内容概要
• §10.1 引言
• §10.2 相关函数与功率谱密度函数
• §10.3 自相关序列的估计
• §10.4 功率谱估计的经典方法
– MA(q)信号的自相关函数
qm
Rxx (m) 2 bkbkm , 0 m q k 1
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q
fm (a,b) bk w(n k)x(n m), m 1, 2, , p k 0
• (3)常用随机信号的自相关函数(续3)
– ARMA(p,q)信号:
q
p
x(n) bk w(n k) ak x(n k)
k 0
k 1
– MA(q)信号的自相关函数
p
Rxx (m) ak Rxx (m k) fm (a,b), m 1, 2, , p k 1 q
– 式中:fm (a,b) bk w(n k)x(n m), m 1, 2, , p 是模型参 k 0 数矢量的非线性函数。
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