随机信号功率谱分析
数字随机信号功率谱密度分析-基带1
数字随机信号功率谱密度分析-基带1数字随机信号功率谱密度分析-基带1数字随机信号功率谱密度（PSD ）分析－基带1、形如∑a n g (t -nT 0)的基带数字信号的PSD设有随机数字信号x (t )=∑a g (t -nT )= ∑a n δ(t -nT 0)⎪*g (t )⎪n =-∞⎪其中g(t)为基带成型脉冲，其持续时间为t ∈(0,T0) 。
a n 为取值离散的平稳随机随机序列，可以为复值。
(1-1)式可以表示一般的基带随机过程。
至于（窄带）带通过程，则可用等效基带法表示为：s (t )=Re x (t )e j ωc t之后使用窄带随机过程理论来分析。
容易知道，(1-1)式所表示的随机过程是以T 0为周期的周期平稳随机过程。
要求其功率谱密度，一种方法是先求得其周期的自相关函数，然后在一个码元周期内求其平均自相关函数，再对后者求傅里叶变换。
我们这里不使用这种方法，而是直接由功率谱密度的定义来求。
下面使用定义来分析(1-1)式表示的随机信号的功率谱密度。
理论上，随机过程都是功率信号，故其功率谱密度的一般定义为：E ⎪X T (f )⎪⎪ P x (f )=lim ⎪其中X T (f)是对过程截断之后取其傅里叶变换。
E[·]表示取集平均。
按照傅里叶变换的定义：X T (f )=⎪x T (t )e -j 2πft dtx T (t)是对应的截断时间信号。
取T ＝(2N+1)T0，则(1-3)式变为P x (f )=limE ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪ ⎪⎪N →+∞2N +1T ⎪⎪0因为(1-3)表示的极限存在，所以T 无论怎么趋向+∞，得到的极限都应该相等。
这里取特殊的按照T 0的倍数增长的方式, 即x T (t)的时间跨度限制为[-NT0,(N+1)T0]，当N →∞时，x T (t)就是x (t)。
于是(1-5)式可以进一步写成P x (f )=limE ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪⎪⎪N →+∞2N +1T ⎪⎪0N →+∞2N +1T ⎪0x T (t 1)e -j 2πft 1dt 1x T (t 2)e -j 2πft 2dt 2⎪2⎪⎪E X (2N +1) T 0(f )⎪=E ⎪x T (t )= ∑a n δ(t -nT 0)⎪*g (t )⎪n =-N ⎪x T (t 1)e-j 2πft 1x T (t 2)e -j 2πft 2dt 2⎪∑a g (tT 0+nT 0nT 0T 0-nT 0)ej 2πft 1∑a g (t-mT 0)e -j 2πft 2dt 2]g (t 2-mT 0)e -j 2πft 2dt 2]=E [∑a *n =-N Ng (t 1-nT 0)e j 2πft 1dt 1j 2πf (t 1+nT 0)T 0+mT 0=E [∑a n ⎪g (t 1)ea m ⎪g (t 2)e -j 2πf (t 2+mT 0) dt 2]把求和跟积分分离开，得E ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪⎪N N T 0T 0⎪-j 2π(m -n ) fT 0⎪-j 2πf (t 2-t 1) *⎪=E a a e g t g t e dt 1dt 2 (1-8) ()()∑∑n m 12⎪⎪⎪0⎪0⎪⎪⎪m =-N n =-N ⎪在上式后项的积分中令变量替换t 2=t1+τ，得⎪⎪g (t )g (t )e-j 2πf (t 2-t 1)dt 1dt 2=⎪g (t 1)g (t 1+τ)dt 1e -j 2πf τd τR g (τ)e -j 2πf τd τ=ψg (f )正是g(t)的自相关函数的傅里叶变换。
随机信号的功率谱
功率谱分析在信号处 理中的应用
功率谱分析在信号处理领域具有 广泛的应用，如语音信号分析、 雷达信号处理、通信信号处理等 。通过功率谱分析，可以提取信 号的特征信息，实现信号检测、 识别和分类等任务。
未来发展趋势预测
• 高分辨率功率谱估计：随着信号处理技术的发展，对功率谱估计的分辨率要求 越来越高。未来将继续研究高分辨率的功率谱估计方法，以提高信号处理的精 度和性能。
杂波背景下目标检测
在雷达和声呐应用中，接 收到的信号往往包含杂波 ，即非目标反射的信号。 杂波可能来自地面、海面 、大气等环境因素。
功率谱分析可用于区分目 标回波和杂波。目标和杂 波在功率谱上通常具有不 同的特征，如频率范围、 幅度和形状等。
通过设定合适的阈值和滤 波器，可以在杂波背景下 准确地检测出目标。
定义
随机信号是一种无法用确 定函数描述，但具有一定 统计规律性的信号。
统计规律性
随机信号在大量重复观测 下呈现出一定的统计规律 ，如均值、方差等。
连续性
随机信号通常是时间连续 的，可以用连续时间函数 表示。
随机信号分类
根据信号性质分类
01
非平稳随机信号：统计特性随时间变化的 随机信号。
03
02
平稳随机信号：统计特性不随时间变化的随 机信号。
ARMA模型法
将随机信号建模为自回归滑动平均模型（ARMA），通过求解模型参数得到功率谱估计。 该方法适用于短数据和复杂信号，但模型定阶和参数估计较困难。
不同方法比较与选择
性能比较
现代谱估计方法通常具有更高的分辨率和更低的方差，性能优于经典谱估计方法。其中，MEM和MVM在分辨率 和方差性能方面表现较好，而ARMA模型法在处理短数据和复杂信号时具有优势。
随机信号分析__2.3功率谱密度
证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
mX mY
e j d
2mX mY () （1 2()）
性质6： A RXY (t,t ) S XY ()
T
x(t) y(t)dt]
T
1T
lim[ T 2T
T RXY (t, t)dt]
1
lim
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]
d
2 T
2T
定义互功率谱密度为：
S XY
()
lim
T
1 2T
E[ X
* X
(T ,) XY
(T ,)]
则
QXY
1
2
S XY ()d
同理，有：
SYX
()
lim
随机信号分析
2.3 功率谱密度
本节课的整体设计与构思
信号的时域与频域分析：
确定信号 x(t) ： 傅立叶变换
信
x(t) X ()
号 随机信号 X (t)：维纳—辛钦定理
RX ( ) SX ()
2.3.1 随机过程的功率谱密度
问题的引入： 1.对于随机信号，是否可以应用频域分
析方法？
2.傅立叶变换能否用于研究随机信号？
三、互谱密度的性质
＝
性质1：SXY ( ) SYX ( ) SY*X ( )
证明：
SXY ( )
RXY
(
随机信号的功率谱分析 (DEMO)
信号的功率谱分析1、功率谱密度函数的定义对于随机信号)(t x ，由于其任一样本函数都是时间的无限的函数，一般不能满足傅里叶变换的存在条件（即积分⎰∞∞-dt t x )(必须收敛）。
如果将样本函数取在一个有限区间]2,2[T T -内，如图所示，令在该区间以外的0)(=t x ，则积分⎰∞∞-dt t x )(收敛，满足傅里叶变换条件，变换后用功率谱密度函数表示。
2、功率谱密度函数（又称功率谱）的物理意义是在频域中对信号能量或功率分布情况的描述。
功率谱表示振动能量在频率域的分解，其应用十分广泛。
功率谱的横坐标是频率，纵坐标是实部、虚部的模的平方。
功率谱密度函数作为随机信号在频域内描述的函数。
对于随机信号而言，它不存在频谱函数，只存在功率谱密度函数（功率大小在频谱中反映为频谱的面积）。
时域中的相关分析为在噪声背景下提取有用信息提供了途径。
功率谱分析则从频域提供相关技术所能提供的信息，它是研究平稳随机过程的重要方法。
3．功率谱密度函数的应用(1)结构各阶固有频率的测定 工程结构特别是大型结构(如高层楼房、桥梁、高塔和重要机械设备等)要防止共振引起的破坏，需要测定其固有频率。
如果对结构加以激励(或以大地的脉动信号作为激励信号)，即可测定结构的响应(振动信号)，再对响应信号作自功率谱分析，便可由谱图中谱峰确定结构的各阶固有频率。
(2)利用功率谱的数学特点求取信号传递系统的频率响应函数。
(3)作为工业设备工作状况的分析和故障诊断的依据 根据功率谱图的变化，可以判断机器设备的运转是否正常。
同时．还可根据机器设备正常工作和不正常工作时，振动加速度信号的功率谱的差别，查找不正常工作时，功率谱图中额外谱峰产生的原因以及排除故障的方法。
自功率谱密度函数定义及其物理意义假如)(t x 是零均值的随机过程，即0=x μ（如果原随机过程是非零均值的，可以进行适当处理使其均值为零）又假设)(t x 中没有周期分量，那么当∞→τ，0)(→τx R 。
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
第4章 随机信号的功率谱密度
确知信号的能量谱密度与功率谱密度 非周期信号的能量为： ∵ 非周期信号的能量为：
1 W = lim ∫ x ( t )dt = T → ∞ −T 2π
T 2 T
∫
∞
−∞
| X T ( ω ) | dω = ∫ | X T ( f ) | df
−∞
2
∞
2
其中, 为一付氏变换对; 其中 xT ( t ) ⇔ XT ( ω ) 为一付氏变换对
为功率型平稳随机信号。 设 X( t )为功率型平稳随机信号。 由于随机信号的每一样本函数（ 或实现） 由于随机信号的每一样本函数 （ 或实现 ） 都是一个确 因此， 定的时间函数 x(t , ξ i ) ，因此，对于每个样本函数都可以求 得对应的功率谱密度函数， 得对应的功率谱密度函数，即 | xT (t , ξi ) |2 | XT (ω , ξi ) |2 GX (ω , ξ i ) = lim = lim ， T →∞ T →∞ 2T 2T
称为白噪声过程 简称白噪声 白噪声过程， 白噪声。 的平稳过程 N( t )，称为白噪声过程，简称白噪声。 W 其中， 为正实常数，单位： 其中， N 0 为正实常数，单位： Hz
白噪声的功率谱函数和自相关函数为： 白噪声的功率谱函数和自相关函数为：
N0 G N ( ω ) = 2 , ω ∈ ( −∞ ,+∞ ) N0 R N (τ ) = δ (τ ) 2
1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T
+∞
∫
T −t
−T − t
[∫
T −T
T
−T
R X ( t , t + τ )dt ] e − jωτ d τ
1 = ∫ [ lim − ∞ T → ∞ 2T
随机信号号的分析—功率谱密度（可编辑）
随机信号号的分析?功率谱密度2.3 平稳随机过程2.3.4 平稳随机过程的功率谱密度功率谱密度的定义令: 是实平稳随机过程,为其实现,因为功率信号,所以也为功率信号,因为任意的确定功率信号,它的功率谱密度可表示成,2.3-1式中,是的截短函数之频谱函数。
图2-3-1 功率信号及其截短函数而对于功率型的平稳随机过程而言,它的每一实现也将是功率信号,而每一实现的功率谱也可以由式2-3-1表示。
但是,随机过程中的每一实现是不能预知的,因此,某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。
过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均。
设的功率谱密度为,的某一实现之截短函数为,且,其中:,于是有则称为的功率谱密度。
功率密度谱和互谱密度前面给出的一些数字特征如均值,方差和相关函数等,描述的是连续随机信号在时间域上的特征,那么,随机信号在频域的数字特征是什么?如何计算的?它与时域特征有什么关系?1、功率密度谱设Xt为平稳的连续随机信号,它的任一个样本函数xt是一个功率信号,其平均功率可以定义为: (9.2.20)? 依据帕斯瓦尔定理,设表示的傅立叶变换,则上式可表示为9.2.21? 式中称为样本功率密度或样本功率谱。
由于随机信号的每一个样本实现是不能预知的,所以必须用所有样本功率密度的统计平均值来描述平稳的连续随机信号Xt的频域特征,即随机信号在频域的数字特征可定义如下。
定义10? 平稳的连续随机信号Xt的功率密度谱定义为样本功率密度的统计平均,即(9.2.22)维纳?欣钦(Wiener-Khinchine)定理若Xt为平稳随机信号,当自相关函数为绝对可积时,自相关函数和功率谱密度为一傅里叶变换对,即( )。
(9.2.23)9.2.242、互谱密度同理,在频域描述两个随机信号Xt和 Yt相互关联程度的数字特征,可以定义为互谱功率密度简称互谱密度。
而且,互相关函数与互谱密度是一傅里叶变换对( ),其中(9.2.25) 9.2.262FSK信号的功率谱密度的特点2FSK信号的功率谱密度也由连续谱和离散谱组成。
随机信号分析3.4功率谱密度
Rt , t dt
T T
P A[ R(t , t )]
1 A lim T 2T
记算术平均算子
dt
T T
2.定义与性质
{ X (t ), t T } 的自相关函数 Rx 定义3.7 平稳信号 的傅立叶变换
S x Rx e j d
R( ) S ( )
证明见书本P77
E
1 2 x (t )dt 2
X ( j ) d
2
②对于功率型信号，定义功率谱密度为
1 2 S ( ) lim X T ( j ) T 2T
3.维纳-辛钦定理的证明
E
1 x (t )dt 2
2
X ( j ) d
2
1 2 S ( ) lim X T ( j ) T 2T
S XY ( ) RXY ( )e
j
d
SYX ( ) RYX ( )e j d
它们简称为互功率谱。 互功率谱常常是复数，它反映了两个信号的关联性沿 的密度状况。 S XY ( ) 很大，两信号的相应频率分量关联度很高。 S XY () 0 ，表明它们响应频率分量是正交的。
式中，X T ( j) 是 xT (t ) 的傅立叶变换，而 xT (t ) 称为 截断信号，它是从 x(t ) 上截取的 T ,T 段， 它在 T ,T 区间以外为零，如图
3.维纳-辛钦定理的证明
3.维纳-辛钦定理的证明
对于随机信号X (t ) ，记其样本函数为 X (t , ) ， 则样本功率为
R( ) S ( )
(实验六 随机信号功率谱分析)
实验报告实验课程：数字信号处理实验开课时间：2020—2021 学年秋季学期实验名称：随机信号功率谱分析实验时间： 2020年9月30日星期三学院：物理与电子信息学院年级：大三班级：182 学号：1843202000234 姓名：武建璋一、实验预习实验目的要求深刻理解随机信号的特性，掌握随机信号功率谱估计的基本原理，灵活运用各种随机信号功率谱估计的基本方法。
实验仪器用具装有Matlab的计算机一台实验原理功率谱估计是随机信号处理中的一个重要的研究和应用领域.功率谱估计基本上可以非参数估计的经典方法和参数估计的近代方法.典型功率谱估计是基于FFT 算法的非参数估计,对足够长的记录数据效果较好。
在工程实际中，经典功率谱估计法获得广泛应用的是修正期图发。
该方法采取数据加窗处理再求平均的办法。
通过求各段功率谱平均，最后得到功率谱计P（m），即：式中：为窗口函数ω[k]的方差。
K表示有重叠的分数段。
由于采用分段加窗求功率谱平均，有效地减少了方差和偏差，提高了估计质量，使修正周期图法在经典法中得到普遍应用。
但在估计过程存在两个与实际不符的假设，即（1）利用有限的N个观察数据进行自相关估计，隐含着在已知N个数据之外的全部数据均为零的假设。
（2）假定数据是由N个观察数据以N为周期的周期性延拓。
同时在计算过程中采用加窗处理，使得估计的方差和功率泄露较大，频率分辨率较低，不适用于短系列的谱分析和对微弱信号的检测。
近代谱估计是建立在随机信号参数模型的基础上，通过信号参数模型或预测误差滤波器（一步预测器）参数的估计，实现功率谱估计。
由于既不需要加窗，又不需要对相关函数的估计进行如经典法那样的假设，从而减少公里泄露，提高了频谱分辨率。
常用的参数模型有自回归（AR）模型、滑动平均（MA）模型、自回归滑动平均（ARMA）模型。
其中AR模型是基本模型，求解AR模型的参数主要有L—D算法和Burg算法。
1.某随机信号由两余弦信号与噪声构成x(t)=cos(20*pi*t)+cos(40*pi*t)+s(t)式中：s(t)是均值为0、方差为1的高斯白噪声。
随机信号的功率谱密度
三、相干函数
白噪声的定义及特性：
一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非零常数，即： 的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。 式中，N0是正实常数。
4.5 白噪声与白序列
白噪声的自相关函数：
白噪声的相关系数 为:
热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动（布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
性质一：
性质二： 和 是的偶函数； 和 是的奇函数；
性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有：
二、互谱密度的性质
性质四：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX和mY，则：
性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积，则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。
02
S()与s(t)满足Parseval定理：
03
4.1 功率谱密度
一个随机过程的样本函数，尽管它的总能量是无限的，但其平均功率却是有限值，即：
图：f(t)及其截断函数
fT(t)的傅立叶变换存在：
W是样本函数的平均功率
将上式代入信号平均功率表达式中得:
所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数: 当在整个频率范围内对它进行积分以后，得到信号的总功率； 描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况； 正具有了上述特性。它代表了随机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱密度函数。记为Gf(,)。
若复过程Zi(t)和Zk(t)联合平稳，则复过程Zi(t)和Zk(t)的互谱密度为：
4.8 功率谱密度的计算举例
教材P102—P106： 例4.8—例4.10
数字信号处理 随机信号的功率谱密度
Sxy()
lim
T
1 2T
E
Fx (,T )Fy (,T )
互谱密度只是一种数学上的处理，不像功率谱密度有明确的
物理含义它主要是从频域来描述两个平稳过程的相关性，与
互相关函数
构成傅立叶变换对，即：
Rxy ( )
Sxy
Rxye
j
d
Rxy (
)
实际上是不可能得到这种理想得白噪声的。 作为相关函数和功率谱有关特性的应用，这里介绍利用相关 函数的特性从背景噪声中提取周期信号的例子。
由前述可知，一个周期信号，其相关函数也是周期 的。如果噪声信号为白噪声，则其自相关函数是非周期的， 白噪声的相关函数为：Rum k ( ) 即 0时，其相关函 数为零。 如果信号是由周期信号和白噪声n(t)所构成，即：x(t) r(t) n(t) 且r(t)与n(t)相互统计独立，则：
Sx () S0
(9 91)
求其自相关函数。
解：用（9－89）式得：
Rx (
)
1
2
S
x
(
)e
j
d
S0 e j d
2
S0 ( )
Rx (0) E x2
可见白噪声在 0时，其自相关函数为无穷大；而在 0 时R，x ( ) 0 ，即表明x(t)在 t1 t2时x(t1)与x(t2)是不相关得。
Rn ( )
0
2
e 0
对 Rn ( ) 作傅氏变换，得噪声的功率谱为：
Sn
(
)
1
1
2 02
随机信号处理与功率谱分析
随机信号处理与功率谱分析随机信号处理是一门研究随机信号的产生、传输和处理的学科。
随机信号是指在时间上或空间上的某一特定区域内，其幅度和相位是随机变化的信号。
在现实生活中，我们经常遇到各种各样的随机信号，比如噪声、气象数据、金融市场的波动等等。
如何对这些随机信号进行分析和处理，就成为了随机信号处理的核心问题。
功率谱分析是随机信号处理的一个重要方法。
它通过将随机信号从时域转换到频域，来研究信号在不同频率上的能量分布情况。
功率谱分析可以帮助我们了解信号的频率特性，从而对信号进行更精确的分析和处理。
在进行功率谱分析之前，我们首先需要对信号进行采样。
采样是指将连续时间的信号转换为离散时间的信号。
通过采样，我们可以获得一系列离散时间点上的信号值，从而进行后续的分析。
采样定理告诉我们，为了保证采样信号的完整性，采样频率必须大于信号中最高频率的两倍。
否则，就会出现混叠现象，导致信号失真。
采样完成后，我们可以将信号转换到频域进行功率谱分析。
频域是指信号在不同频率上的能量分布情况。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域。
傅里叶变换是一种将信号分解成不同频率分量的数学工具。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱图，从而了解信号在不同频率上的能量分布情况。
功率谱是指信号在不同频率上的功率分布情况。
功率谱分析可以帮助我们了解信号的频率特性，从而对信号进行更精确的分析和处理。
在功率谱图中，横轴表示频率，纵轴表示功率。
通过观察功率谱图，我们可以得知信号的主要频率成分以及它们的功率大小。
这对于信号的特征提取和噪声去除等应用非常有帮助。
在实际应用中，功率谱分析被广泛应用于各个领域。
比如在通信领域，功率谱分析可以帮助我们了解信道的频率响应，从而优化通信系统的性能。
在音频处理中，功率谱分析可以帮助我们了解音频信号的频率分布情况，从而实现音频的均衡和滤波。
在金融领域，功率谱分析可以帮助我们了解股票价格的波动情况，从而进行风险评估和投资决策。
(完整word版)功率谱分析
三、功率谱分析字体[大] [中] [小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。
随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。
因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。
前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。
1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。
巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT直接求出。
由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。
自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。
两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。
为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。
平稳随机信号的功率谱-频域特征
平稳随机信号的谱分析
本章要解决的问题
❖随机信号是否也可以应用频域分析方法?
❖傅里叶变换能否应用于随机信号？
❖相关函数与功率谱的关系
❖功率谱的应用
❖采样定理
❖白噪声的定义
2021/1/17
2
2.1 随机信号的谱分析
一、预备知识
1. 付氏变换
设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
2
X
X
(
)e
jt
d
称X X ()为 x(t)的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅
谱 2021/1/17
4
相
常见的傅立叶变换
t 1 1 2
cos0t 0 0 sin0t j 0 0
et , t 0 1
j e t 2
2 2
e 2 j0t 2021/1/17
2021/1/17
20
例2：平稳随机信号的自相关函数 RX ( ) Ae
为 0
，A>0，
，求过程的功率
谱密度。
解：应将积分按＋ 和－ 分成两部分进行
SX ()
0 Ae e j d
Ae e j d
0
Ae( j) 0 A e ( j)
j
( j)
0
A
1
j
1
j
，其Ω中
是概率密度f 为
的随机变量，a和φ为实
常数，求X(t)的功率谱密度。
RX ( ) E X *tX t
a2E e j
a2
f
e j d
RX
(
)
1
2
SX
e j d
S 2021/1/17 X
功率谱分析
三、功率谱分析字体[大][中][小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。
随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。
因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。
前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。
1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。
巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT 直接求出。
由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。
自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。
两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。
为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。
随机信号分析__2.3功率谱密度
2 T
2T
定义互功率谱密度为：
S XY
()
lim
T
1 2T
E[ X
* X
(T ,) XY
(T ,)]
则
QXY
1
2
S XY ()d
同理，有：
SYX
()
lim
T
1 2T
E[
* Y
(T
,
)
X
X
(T , )]
PYX
1
2
SYX ()d
且
PXY PYX
二、互谱密度和互相关函数的关系 自相关函数 F 功率谱密度 互相关函数 F 互谱密度
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
mX mY
e j d
2mX mY () （1 2()）
性质6： A RXY (t,t ) S XY ()
A RYX (t,t ) SYX () 例：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，
傅立叶变换
X () x(t)e jtdt
x(t) 1 X ()e jtd
2
回顾：傅立叶变换
信号能谱密度 X () 2 存在的条件是它具 有有限的能量。
即：
x(t) 2 dt
信号的平均功率：
P lim 1 T x(t) 2 dt T 2T T
1.随机过程样本的功率谱密度
其互相关函数 RXY ( ) 为:
RXY
(
)
9e 3 0
0 0
求互谱密度SXY ()，SYX () 。
谢谢观看！ 2020
RXY
第五章功率谱估计1-2节
经FFT变换,得:
ˆ ˆ ˆ Pxx (k ) FFT xx (m) xx (m)e
m0 L -1 -j 2 km L
k 0,1, 2, L -1
29/113
三、相关图法功率谱估计质量
用x(n)的N 个有限值得到 ˆ 自相关函数的估计 ( m)，
13/113
（a）间接法（BT法）
BT法又称为相关图法 对信号序列估计求其自相关函数值 对自相关函数的估计进行加权 对加权的自相关函数做傅里叶变换 获得功率谱估计。
直到1965年快速傅里叶变换算法（FFT） 问世以前，是最流行的谱估计方法。
14/113
（b）直接法（又称周期图 （periodogram)法）
对观测到的数据样本直接进行傅里叶变换 取模的平方，再除以N 得到功率谱估计。 不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算， 在FFT出现以后，周期图法才得到了广泛的应 用。
15/113
（2）现代谱估计
其基本思想是根据已有的观测数据，建 立信号所服从的模型，从而在观测不到 的区间上，信号的取值服从模型的分布 情况，不再认为是零。 主要讨论参数模型（AR、MA、ARMA） 法。
N
2 xx (l ) xx (l m)xx (l - m) (N - m - l )
N - m -1 2 l -( N - m -1) N - m -1 2 l -( N - m -1)
N - m
N
所以在实际中必须兼顾分辨率与方差的要求来适当选择信号仍然是均值为方差为的白噪声观察数据长度为了利用平均周期法估计其功率谱将它分成段分别按照平均周期图法估计其功率谱得到功率谱曲线如图从图中可以看出随着分段数的增加功率谱估计值在附近的幅度愈来愈小显示出分段平均对周期图方差减少有明显效果
随机信号的功率谱密度
1 RX (τ ) = 2π
∫
∞
−∞
S X (ω )e jωτ d ω
功率谱密度性质
1.非负 非负 2.实函数 实函数 3.实随机过程， 3.实随机过程，偶函数 实随机过程 4.可积 可积
S X (ω ) ≥ 0
S X (ω )＝S X (－ω )
∫
∞
−∞
S X (ω )dω < ∞
互谱密度性质
0 < P平均 < ∞
功率谱
S X (ω ) = lim
1 2 E[ X T (ω ) ] T →∞ 2T
功率谱函数的关系、 与自相关函数的关系、推导
互谱密度
定义
S XY ω）＝ lim （ 1 * E X X (T , ω ) X Y (T , ω ) T →∞ 2T
性质
与互相关函数的关系
功率谱估值
周期图法
又
N 1 lim 平稳随机序列与自相关函数关系为 S（ω）= N →∞ E{ ∑N X (n)e− jwn } X 2 N + 1 n =− 2
S（ω）= ∑ R X (n)e − jwn X
n =− N
N
当 X (n) 为各态历经序列时，可去掉上式 为各态历经序列时， 中的统计均值的计算 1 2 ˆ S X (ω ) = X N (ω ) N
1.对称性 对称性
* * S XY (ω ) = SYX ( −ω ) = SYX (ω ) = S XY (−ω )
2.奇偶性 Re[ S XY (ω )] = Re[ SYX (−ω )] = Re[ SYX (ω )] = Re[ S XY (−ω )] 奇偶性 Im[ S XY (ω )] = Im[ SYX (−ω )] = − Im[ SYX (ω )] = − Im[ S XY (−ω )] 3.正交，互谱密度为零 正交， 正交 4.不相关，且 mX , mY ≠ 0 则有 S XY (ω ) = SYX (ω ) = 2π mX mY δ (ω ) 不相关， 不相关 5. S XY (ω ) ≤ S X (ω ) SY (ω )
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3．实验设备及材料
装有Matlab的计算机一台
4．实验方法步骤及注意事项
利用Matlab中的函数分析并绘出常用基本信号的波形。
本科学生实验报告
学号姓名
学院物理与电子信息专业、班级
实验课程名称
教师及职称
开课学期2014至2015学年下学期
填报时间2015年4月25日
云南师范大学教务处编印
一、实验设计方案
实验序号
六
实验名称
随机信号功率谱分析实验
实验时间
201实验目的
1、了解随机过程功率谱密度的意义并掌握如何利用MATLAB产生功率谱函数。
2、实验现象
（1）产生一组服从N(2,5)的正态白噪声序列，画出其自相关函数和功率谱密度；
（2）估计随机过程X(t)=cos(600πt)+cos(800πt)+N(t)的自相关函数和功率谱，其中N(t)服从N(0,1)的高斯分布；
在（0,2）上均匀分布的随机变量，估计该随机信号的自相关函数和功率谱密度；
2．实验总结
由于采用分段加窗求功率谱平均，有效减少了方差和偏差，但在估计过程存在两个与实际不符的假设，即
（1）利用有限的N个观察数据进行自相关估计，隐含着在已知N个数据之外的全部数据均为零的假设。
（2）假定数据时有N个观察数据以N为周期的周期性延迟。同时在计算过程中采用加窗处理，使得估计的方差和功率泄露较大，不适用于段序列的谱分析和对微信号的检测。
title('N(2,5)分布白噪声序列功率谱密度');
%2、随机过程X(t)=cos(600pit)+cos(800pit)+N(t) figure;
a=500;b=2*a; t=[0:1/b:1-1/b]; N=randn(1,b);
X=cos(600*pi*t)+cos(800*pi*t)+N; subplot(3,1,1) plot(X);
periodogram(X,[],512,a); axis([100 200 -inf inf]);
title('随机过程X(t)功率谱密度');
%3、随机相位信号cosXtAtfigure;
A=2;w=1000*pi; a=1000;b=a;
t=[0:1/b:1-1/b]; p=2*pi*rand(1,b);
2、掌握功率谱密度估计在随机信号处理中的作用。
2．实验原理、实验流程或装置示意图
功率谱估计是随机信号处理中的一个重要的研究和应用领域。
在工程实际中，经典功率谱估计法获得广泛应用的是修正周期图法。该方法采取数据分段加窗处理再求平均的方法。通过求各段功率谱平均，最后得到功率谱估计p(m),即
式中
为窗函数的方差，K表示有重叠的部分。
教师评语及评分：
签名：年月日
subplot 311 plot(x,'y');
title('N(2,5)分布白噪声序列');
subplot 312R_x=xcorr(x,'unbiased'); plot(R_x,'m');
gridtitle('N(2,5)分布白噪声序列自相关函数');
subplot 313periodogram(x,[],512,a);
注意事项：
（1）在使用MATLAB时应注意中英输入法的切换，在中文输入法输入程序时得到的程序是错误的；
（2）MATLAB中两个信号相乘表示为x.*u,中间有个‘.’，同样两个信号相除也是如此；
（3）使用MATLAB编写程序时，应新建一个m文件，而不是直接在Comandante窗口下编写程序；
在使用ＭＡＴＬＡＢ编程时，应该养成良好的编写习惯。
title('X(t)=cos(600*pi*t)+cos(800*pi*t)+N(t)') subplot(3,1,2)
R_X=xcorr(X,'unbiased'); plot(R_X,'m');
title('随机过程X(t)自相关函数R_Xt');
ylabel('R_Xt')；xlabel('时间间隔t') subplot(3,1,3)
5．实验数据处理方法
比较法画图法
6．参考文献
陈后金，等.《数字信号处理》.2版【M】.北京：高等教育出版社，2010
张德丰，等.《MATLAB数值计算与方法》.北京：机械工业出版社，2010
二．实验报告
1．实验内容
%1、N(2,5)的正态白噪声序列figure;
a=300;b=2*a;
x=normrnd(2,sqrt(5),1,b);
X=A*cos(w*t+p); X1=A*cos(w*t+p); subplot 211
R=xcorr(X,'unbiased'); plot(R,'m');
gridtitle('随机相位信号X(t)的自相关函数');
subplot 212periodogram(X,[],b*2,a);
title('随机相位信号X(t)的功率谱密度');