随机信号的功率谱密度
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第四章 随机信号的功率谱密度
• 对随机过程的频域分析只能研究其功率 谱密度,并在此意义下讨论其频率结构、带 宽以及与系统的相互作用等问题。
4.1 功率谱密度
若一个确定信号 s(t), t ，满足狄氏条件，且 绝对可积，即满足：
s(t) dt
则s(t)的傅立叶变换存在，为：
S () s(t)e jt dt
对于零均值随机过程X(t)，其相应的二阶、三阶、
四阶累量分别定义为：
Cum2,X ( ) E[ X (t) X (t )] Cum3,X (1, 2 ) E[ X (t) X (t 1) X (t 2 )] Cum4,X (1, 2 , 3 ) E[ X (t) X (t 1) X (t 2 ) X (t 3 )] Cum2,X (1)Cum2,X ( 2 3 ) Cum2,X ( 2 )Cum2,X ( 3 1) Cum2,X ( 3 )Cum2,X (1 2 )
• 性质一：非负性,GX()0; • 性质二： GX()是实函数； • 性质三： GX()是偶函数； • 性质四： GX () 2GX () • 性质五：有理谱密度是实际应用中最常见的一类
功率谱密度；
4.4 互谱密度及其性质
两个随机过程之和构成新的随机过程，即： Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数：
N0 2
( )
白噪声的相关系数N ( )为:
N
( )
CN CN
( )
(0)
RN ( )
RN (0)
RN RN
() ()
RN RN
( )
(0)
N
(
)
1, 0,
0 0
二、热噪声
• 热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动（ 布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
• 其功率谱密度为：
GNU
(
1 2T
T T
fT
(t, )[ 1 2
FT
(, )e jt d]dt
lim
T
1 2T
T T
FT
(, )
1
2
[ fT
(t, )e
jt dt]d
1
lim T 2T
T
| FT (, ) |2
T
1
2
d
1
2
1
lim
T 2T
FT (, ) 2 d
W是样 本函数 的平均
功率
所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数:
otherwise
RN
(
)
W
s in
cos0
4.6 功率谱估值的经典法
谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个
实现： , x2 , x1, x0 , x1, x2 , , xN1,
中的有限长序列段 xn (0 n N 1) ，或者说N个数， 如何由它尽可能准确地得到X(t)或Xj的功率谱密度 GX() 。
GX () RX (k)e jkTs
k
对有限个数据，谱估值为：
N
Gˆ X () Rˆ X (k)e jkTs
k N
二、经典谱估值的改进
1、平均法： 2、平滑法：
将全部数据用来计算出一个周期图，然后在频域 将其平滑，即：
G
(i
)
1 2L 1
iL
Gˆ N
jiL
(
j
)
三、谱估值的一些实际问题
)dt
GX () RX ( )e j d
设X(t)为平稳过程,则时间平均自相关函数等于集 合平均自相关函数,即:
GX () RX ( )e j d
GX () RX ( )e j d
RX
( )
1
2
GX
()e j d
上式称为维纳—辛钦定理。
说明：
• 1、以上讨论的功率谱密度都属于连续情况，即相 应的随机过程不能含有直流成分或周期成分。
FT (, ) 2
功率谱密度Gf()是从频率角度描述f(t)统计规律 的最主要的数字特征。 Gf()仅表示了f(t)的平均功 率按频率分布的情况，没有包含过程f(t)的任何相位 信息。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
XT (, )
xT
(t,
)e
jt
dt
XT (, ) 2 XT (, )XT (, )
f
)
E[NU2 ( 2f
f
)]
2kTR
三、噪声系数和温度
噪声系数（指数）定义为系统输入端信噪比与输 出端信噪比之比。即：
F (Si / Ni ) (So / No )
四、白序列（RND伪随机序列）
设随机序列Zn的自相关函数满足：
RZ
(k
)
2 Z
0,
,
k 0 k 0
或
RZ (k) Z2 (k)
• 2、功率谱密度指单位带宽上的平均功率； • 3、任何直流分量和周期分量在频域上都表现为频
率轴上某点的零带宽内的有限功率，都会在频域 的相应位置上产生离散频谱；而在零带宽上的有 限功率等效于无限的功率谱密度。
• 4、借助函数，维纳—辛钦定理可推广至含 有直流或周期性成分的平稳过程中。
4.3 功率谱密度的性质
对于白序列其功率谱：
GZ
(
)
2 Z
,
五、限带白噪声
若噪声在一个有限频带上有非零的常数功率谱，
而在频带之外为零，则被称做限带白噪声。
GN
()
W
,
0,
otherwise
自相关函数：
RN
(
)
W
s in
GN() /
RN()
W
-
0
-2/ -/ 0 / 2/
图 低通限带白噪声
GN
()
W
,
0,
0 | | 0
2、每段数据的长度L 应满足频率分辨力的要求。
3、数据总长度 数据总长度N=分段数K*每段点数L；
4、数据预处理
4.7 复随机过程的功率谱密度
若过程Z(t)是平稳的，则复过程Z(t)的功率谱密度：
GZ () RZ ( )e j d
由傅立叶反变换可得：
RZ
( )
1
2
GZ
()e j d
• 若复过程Zi(t)和Zk(t)联合平稳，则复过程Zi(t)和 Zk(t)的互谱密度为：
)
f 0
(t
)
t T/2 t T/2
fT(t)的傅立叶变换存在：
T /2
FT () fT (t)e jt dt fT (t)e jt dt
T / 2
fT (t) FT ()e jt d
将上式代入信号平均功率表达式中得:
W
lim 1 T 2T
T T
fT (t, ) 2 dt
lim T
S()与s(t)满足Parseval定理：
s2 (t)dt
1
S () 2 d
2
• 一个随机过程的样本函数，尽管它的总能
量是无限的，但其平均功率却是有限值，
即：
W
1 lim
T 2T
T
x(t) 2 dt
T
f (t)
…
…
O
t
f T(t)
－
T 2
O
T 2
t
图：f(t)及其截断函数
fT
(t
4.10 谱相关的基本理论简介
谱估值的主要目的：揭示其周期性。
一、两种经典谱估值的方法
1、周期图法
本质是从各态历经过程功率谱定义式得到的估计
量，对于有限N，有：
Gˆ X ()
1 N
X N () 2
式中，XN()是 xN (0 n N 1) 的N点DFT。
2、Blackman-Tukey(BT法)
由维纳—辛钦定理的离散形式：
和y(t,)分别为X(t)和Y(t)的某一个样本函数，相应
的截短函数分别为xT(t,)和yT(t,)，傅立叶变换分
别为：XT (, )、YT (, ) ，则互功率谱：
GXY
(
)
lim
T
E[
X
T
(, )YT
2T
(,
)]
GYX
()
lim
T
E[YT
(, )
2T
X
T
(,
)]
二、互谱密度的性质
性质一：GXY
1、数据采样率：
随机信号采样定理：设平稳随机信号X(t)的功率
谱的最高频率为fc，则取采样间隔：
ts
1 2 fc
c
或
fs 2 fc
采样值为Xn，则有采样展开式：
Xˆ
(t)
n
Xn
sin c (t nts c (t nts )
)
且 Xˆ (t)在均方意义下逼近于X(t)，即：
E[ Xˆ (t) X (t) 2 ] 0
由
Gf
()
lim
T
1 2T
E[
FT
(, )
2]
得:
GX
()
lim
T
E[ 1 2T
T
xT
T
T
(t1, )e jt1 dt1 xT
T
(t2 , )e
jt2 dt2 ]
lim
T
1 2T
T T
T
E[ XT
T
(t1) X T
(t2 )]e
j(t2 t1)dt1dt2
RXT (t1,t2 ) E[ XT (t1) XT (t2 )] T (t1,t2 ) T
GXY () GYX () 2mX mY ()
性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积， 则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数 RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。
三、相干函数
XY ()
GXY ()
1
[GX ()GY ()] 2
4.5 白噪声与白序列
一 白噪声的定义及特性：
对于零均值实随机变量X1，X2，X3，X4，其相应 的二阶、三阶、四阶累量分别定义为：
Cum( X1, X 2 ) E[ X1X 2 ] Cum( X1, X 2 , X 3 ) E[ X1X 2 X 3 ]
Cum( X1, X 2 , X 3, X 4 ) E[ X1X 2 X 3 X 4 ] E[ X1X 2 ]E[ X 3 X 4 ] E[ X1X 3 ]E[ X 2 X 4 ] E[ X1X 4 ]E[ X 2 X 3 ]
RZ (t,t ) E{[ X (t) Y (t)][ X (t ) Y (t )]} RX (t,t ) RY (t,t ) RXY (t,t ) RYX (t,t )
若两个随机过程X(t)、Y(t)单独平稳且联合平稳， 则：
RZ ( ) RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( )
一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非 零常数，即：
GN () N0 2 ,
的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。
式中，N0是正实常数。
GN(), FN()
RN()
N0
N0/2
N0/2
0
(a) 功率谱密度
0
(b) 自相关函数
白噪声的自相关函数：
RN ( )
1
2
N0 2
e j d
GX
()
lim
T
1 2T
T T
T
R(t1,t2 )e j(t2 t1)dt1dt2
T
t
t1,
t2
t1
lim
T
1 2T
T t T
RX
T t T
(t , t
)dte j d
lim
T
1 2T
T
RX
T
(t , t
)dt e
j d
RX
( )
lim
T
1 2T
T
RX
T
(t , t
T
1 2T
FT (, ) 2
对所有的（实验结果）取统计平均得：
Gf
()
E[G
f
(,
)]
E[ lim T
1 2T
FT (, ) 2 ]
lim
T
1 2T
E[
FT
(, )
2]
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T
E[
Tபைடு நூலகம்
f
(t, )
2 ]dt
lim
1
T
E[ f (t) 2 ]dt
T 2T T
1
2
lim
1、当在整个频率范围内对它进行积分以后，得到 信号的总功率；
2、描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况；
1 lim T 2T
FT
(,
)
2
正具有了上述特性。它代表了随
机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗
1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱
密度函数。记为Gf(,)。
Gf
(,
)
lim
GZiZk () RZiZk ( )e j d
RZ i Z k
( )
1
2
GZiZk
()e j d
4.8 功率谱密度的计算举例
• 教材P102—P106：
•
例4.8—例4.10
4.9 随机过程的高阶统计量简介
• 二阶统计量丢失了随机信号重要的相位信息， 而高阶统计量则保持了相位信息，高阶统计量在 所谓盲信号处理（盲系统辩识、盲信道均衡信号 分离等）有重要的应用，高阶统计量还有一些特 性使得近年来人们对它开展了广泛的研究。
()
GYX
()
G
* YX
()
性质二： Re[GXY ()]和 Re[GYX ()]是的偶函数； Im[GYX ()] 和Im[GXY ()] 是的奇函数；
性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有：
GXY () 0
性质四：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分 别有均值mX和mY，则：
T
1 2T
E[
XT
(, )
2 ]d
1
2
Gf
()d
W
E[W ]
E[
f
2 (t)] lim T
1 2T
T
E[
T
f
(t) 2 ]dt
1
2
lim
T
1 2T
E[
XT
(, )
2 ]d
或
W
E[ f
2 (t)]
Rf
(0)
1
2
Gf
()d
若f(t)为各态历经过程,则有:
Gf
()
lim
T
1 2T
Z(t)的谱密度GZ():
GZ () GZ () GY () RXY ( )e j d RYX ( )e j d
其中：
GXY () RXY ( )e j d
GYX () RYX ( )e j d
称为互功率谱密度。
一、互谱密度：
设两个联合平稳的随机过程X(t)和Y(t)，若x(t,)
• 对随机过程的频域分析只能研究其功率 谱密度,并在此意义下讨论其频率结构、带 宽以及与系统的相互作用等问题。
4.1 功率谱密度
若一个确定信号 s(t), t ，满足狄氏条件，且 绝对可积，即满足：
s(t) dt
则s(t)的傅立叶变换存在，为：
S () s(t)e jt dt
对于零均值随机过程X(t)，其相应的二阶、三阶、
四阶累量分别定义为：
Cum2,X ( ) E[ X (t) X (t )] Cum3,X (1, 2 ) E[ X (t) X (t 1) X (t 2 )] Cum4,X (1, 2 , 3 ) E[ X (t) X (t 1) X (t 2 ) X (t 3 )] Cum2,X (1)Cum2,X ( 2 3 ) Cum2,X ( 2 )Cum2,X ( 3 1) Cum2,X ( 3 )Cum2,X (1 2 )
• 性质一：非负性,GX()0; • 性质二： GX()是实函数； • 性质三： GX()是偶函数； • 性质四： GX () 2GX () • 性质五：有理谱密度是实际应用中最常见的一类
功率谱密度；
4.4 互谱密度及其性质
两个随机过程之和构成新的随机过程，即： Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数：
N0 2
( )
白噪声的相关系数N ( )为:
N
( )
CN CN
( )
(0)
RN ( )
RN (0)
RN RN
() ()
RN RN
( )
(0)
N
(
)
1, 0,
0 0
二、热噪声
• 热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动（ 布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
• 其功率谱密度为：
GNU
(
1 2T
T T
fT
(t, )[ 1 2
FT
(, )e jt d]dt
lim
T
1 2T
T T
FT
(, )
1
2
[ fT
(t, )e
jt dt]d
1
lim T 2T
T
| FT (, ) |2
T
1
2
d
1
2
1
lim
T 2T
FT (, ) 2 d
W是样 本函数 的平均
功率
所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数:
otherwise
RN
(
)
W
s in
cos0
4.6 功率谱估值的经典法
谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个
实现： , x2 , x1, x0 , x1, x2 , , xN1,
中的有限长序列段 xn (0 n N 1) ，或者说N个数， 如何由它尽可能准确地得到X(t)或Xj的功率谱密度 GX() 。
GX () RX (k)e jkTs
k
对有限个数据，谱估值为：
N
Gˆ X () Rˆ X (k)e jkTs
k N
二、经典谱估值的改进
1、平均法： 2、平滑法：
将全部数据用来计算出一个周期图，然后在频域 将其平滑，即：
G
(i
)
1 2L 1
iL
Gˆ N
jiL
(
j
)
三、谱估值的一些实际问题
)dt
GX () RX ( )e j d
设X(t)为平稳过程,则时间平均自相关函数等于集 合平均自相关函数,即:
GX () RX ( )e j d
GX () RX ( )e j d
RX
( )
1
2
GX
()e j d
上式称为维纳—辛钦定理。
说明：
• 1、以上讨论的功率谱密度都属于连续情况，即相 应的随机过程不能含有直流成分或周期成分。
FT (, ) 2
功率谱密度Gf()是从频率角度描述f(t)统计规律 的最主要的数字特征。 Gf()仅表示了f(t)的平均功 率按频率分布的情况，没有包含过程f(t)的任何相位 信息。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
XT (, )
xT
(t,
)e
jt
dt
XT (, ) 2 XT (, )XT (, )
f
)
E[NU2 ( 2f
f
)]
2kTR
三、噪声系数和温度
噪声系数（指数）定义为系统输入端信噪比与输 出端信噪比之比。即：
F (Si / Ni ) (So / No )
四、白序列（RND伪随机序列）
设随机序列Zn的自相关函数满足：
RZ
(k
)
2 Z
0,
,
k 0 k 0
或
RZ (k) Z2 (k)
• 2、功率谱密度指单位带宽上的平均功率； • 3、任何直流分量和周期分量在频域上都表现为频
率轴上某点的零带宽内的有限功率，都会在频域 的相应位置上产生离散频谱；而在零带宽上的有 限功率等效于无限的功率谱密度。
• 4、借助函数，维纳—辛钦定理可推广至含 有直流或周期性成分的平稳过程中。
4.3 功率谱密度的性质
对于白序列其功率谱：
GZ
(
)
2 Z
,
五、限带白噪声
若噪声在一个有限频带上有非零的常数功率谱，
而在频带之外为零，则被称做限带白噪声。
GN
()
W
,
0,
otherwise
自相关函数：
RN
(
)
W
s in
GN() /
RN()
W
-
0
-2/ -/ 0 / 2/
图 低通限带白噪声
GN
()
W
,
0,
0 | | 0
2、每段数据的长度L 应满足频率分辨力的要求。
3、数据总长度 数据总长度N=分段数K*每段点数L；
4、数据预处理
4.7 复随机过程的功率谱密度
若过程Z(t)是平稳的，则复过程Z(t)的功率谱密度：
GZ () RZ ( )e j d
由傅立叶反变换可得：
RZ
( )
1
2
GZ
()e j d
• 若复过程Zi(t)和Zk(t)联合平稳，则复过程Zi(t)和 Zk(t)的互谱密度为：
)
f 0
(t
)
t T/2 t T/2
fT(t)的傅立叶变换存在：
T /2
FT () fT (t)e jt dt fT (t)e jt dt
T / 2
fT (t) FT ()e jt d
将上式代入信号平均功率表达式中得:
W
lim 1 T 2T
T T
fT (t, ) 2 dt
lim T
S()与s(t)满足Parseval定理：
s2 (t)dt
1
S () 2 d
2
• 一个随机过程的样本函数，尽管它的总能
量是无限的，但其平均功率却是有限值，
即：
W
1 lim
T 2T
T
x(t) 2 dt
T
f (t)
…
…
O
t
f T(t)
－
T 2
O
T 2
t
图：f(t)及其截断函数
fT
(t
4.10 谱相关的基本理论简介
谱估值的主要目的：揭示其周期性。
一、两种经典谱估值的方法
1、周期图法
本质是从各态历经过程功率谱定义式得到的估计
量，对于有限N，有：
Gˆ X ()
1 N
X N () 2
式中，XN()是 xN (0 n N 1) 的N点DFT。
2、Blackman-Tukey(BT法)
由维纳—辛钦定理的离散形式：
和y(t,)分别为X(t)和Y(t)的某一个样本函数，相应
的截短函数分别为xT(t,)和yT(t,)，傅立叶变换分
别为：XT (, )、YT (, ) ，则互功率谱：
GXY
(
)
lim
T
E[
X
T
(, )YT
2T
(,
)]
GYX
()
lim
T
E[YT
(, )
2T
X
T
(,
)]
二、互谱密度的性质
性质一：GXY
1、数据采样率：
随机信号采样定理：设平稳随机信号X(t)的功率
谱的最高频率为fc，则取采样间隔：
ts
1 2 fc
c
或
fs 2 fc
采样值为Xn，则有采样展开式：
Xˆ
(t)
n
Xn
sin c (t nts c (t nts )
)
且 Xˆ (t)在均方意义下逼近于X(t)，即：
E[ Xˆ (t) X (t) 2 ] 0
由
Gf
()
lim
T
1 2T
E[
FT
(, )
2]
得:
GX
()
lim
T
E[ 1 2T
T
xT
T
T
(t1, )e jt1 dt1 xT
T
(t2 , )e
jt2 dt2 ]
lim
T
1 2T
T T
T
E[ XT
T
(t1) X T
(t2 )]e
j(t2 t1)dt1dt2
RXT (t1,t2 ) E[ XT (t1) XT (t2 )] T (t1,t2 ) T
GXY () GYX () 2mX mY ()
性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积， 则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数 RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。
三、相干函数
XY ()
GXY ()
1
[GX ()GY ()] 2
4.5 白噪声与白序列
一 白噪声的定义及特性：
对于零均值实随机变量X1，X2，X3，X4，其相应 的二阶、三阶、四阶累量分别定义为：
Cum( X1, X 2 ) E[ X1X 2 ] Cum( X1, X 2 , X 3 ) E[ X1X 2 X 3 ]
Cum( X1, X 2 , X 3, X 4 ) E[ X1X 2 X 3 X 4 ] E[ X1X 2 ]E[ X 3 X 4 ] E[ X1X 3 ]E[ X 2 X 4 ] E[ X1X 4 ]E[ X 2 X 3 ]
RZ (t,t ) E{[ X (t) Y (t)][ X (t ) Y (t )]} RX (t,t ) RY (t,t ) RXY (t,t ) RYX (t,t )
若两个随机过程X(t)、Y(t)单独平稳且联合平稳， 则：
RZ ( ) RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( )
一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非 零常数，即：
GN () N0 2 ,
的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。
式中，N0是正实常数。
GN(), FN()
RN()
N0
N0/2
N0/2
0
(a) 功率谱密度
0
(b) 自相关函数
白噪声的自相关函数：
RN ( )
1
2
N0 2
e j d
GX
()
lim
T
1 2T
T T
T
R(t1,t2 )e j(t2 t1)dt1dt2
T
t
t1,
t2
t1
lim
T
1 2T
T t T
RX
T t T
(t , t
)dte j d
lim
T
1 2T
T
RX
T
(t , t
)dt e
j d
RX
( )
lim
T
1 2T
T
RX
T
(t , t
T
1 2T
FT (, ) 2
对所有的（实验结果）取统计平均得：
Gf
()
E[G
f
(,
)]
E[ lim T
1 2T
FT (, ) 2 ]
lim
T
1 2T
E[
FT
(, )
2]
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T
E[
Tபைடு நூலகம்
f
(t, )
2 ]dt
lim
1
T
E[ f (t) 2 ]dt
T 2T T
1
2
lim
1、当在整个频率范围内对它进行积分以后，得到 信号的总功率；
2、描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况；
1 lim T 2T
FT
(,
)
2
正具有了上述特性。它代表了随
机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗
1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱
密度函数。记为Gf(,)。
Gf
(,
)
lim
GZiZk () RZiZk ( )e j d
RZ i Z k
( )
1
2
GZiZk
()e j d
4.8 功率谱密度的计算举例
• 教材P102—P106：
•
例4.8—例4.10
4.9 随机过程的高阶统计量简介
• 二阶统计量丢失了随机信号重要的相位信息， 而高阶统计量则保持了相位信息，高阶统计量在 所谓盲信号处理（盲系统辩识、盲信道均衡信号 分离等）有重要的应用，高阶统计量还有一些特 性使得近年来人们对它开展了广泛的研究。
()
GYX
()
G
* YX
()
性质二： Re[GXY ()]和 Re[GYX ()]是的偶函数； Im[GYX ()] 和Im[GXY ()] 是的奇函数；
性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有：
GXY () 0
性质四：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分 别有均值mX和mY，则：
T
1 2T
E[
XT
(, )
2 ]d
1
2
Gf
()d
W
E[W ]
E[
f
2 (t)] lim T
1 2T
T
E[
T
f
(t) 2 ]dt
1
2
lim
T
1 2T
E[
XT
(, )
2 ]d
或
W
E[ f
2 (t)]
Rf
(0)
1
2
Gf
()d
若f(t)为各态历经过程,则有:
Gf
()
lim
T
1 2T
Z(t)的谱密度GZ():
GZ () GZ () GY () RXY ( )e j d RYX ( )e j d
其中：
GXY () RXY ( )e j d
GYX () RYX ( )e j d
称为互功率谱密度。
一、互谱密度：
设两个联合平稳的随机过程X(t)和Y(t)，若x(t,)