一元二次方程根与系数的关系-高一数学导学案

高一年级

第三讲 一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．

一、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程2

0 (0)ax bx c

a ++=≠，用配方法将其变形为： (1) 当2

40b ac ->

时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．

由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把2

4b ac -叫做一

元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=- 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

(1) 22310x x -+= (2) 24912y y += (3) 2

5(3)60x x +-=

【例2】已知关于x 的一元二次方程2

320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：

(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．

【例3】已知实数x 、y 满足22

210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．

二、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：

x x ==

所以：1222b b b x x a a a

-+--+=+=-，

12244ac c x x a a

⋅==== 定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．

【例4】若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

【例5】已知关于x 的方程221(1)104

x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．

【例6】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．

(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2

x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．

(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．