动态规划法解决01背包

算法设计与分析--01背包问题

问题描述：

给定N中物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值位Vi ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i 装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1) V(i,0)=V(0,j)=0

(2) V(i,j)=V(i-1,j) j

V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } j>wi

式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；

第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有以下两种情况：

(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi;

(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

1 #include

3 int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值

4 int max(int a,int b)

5 {

6 if(a>=b)

7 return a;

8 else return b;

9 }

10

11 int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)

12 {

13 int i,j;

//式子（1）

14 for(i=0;i<=n;i++)

15 V[i][0]=0;

16 for(j=0;j<=C;j++)

17 V[0][j]=0;

//式子（2）

18 for(i=0;i<=n-1;i++)

19 for(j=0;j<=C;j++)

20 if(j

21 V[i][j]=V[i-1][j];

22 else

23 V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);

24 j=C;

25 for(i=n-1;i>=0;i--)

26 {

27 if(V[i][j]>V[i-1][j])

28 {

29 x[i]=1;

30 j=j-w[i];

31 }

32 else

33 x[i]=0;

34 }

35 printf("选中的物品是:\n");

36 for(i=0;i

37 printf("%d ",x[i]);

38 printf("\n");

39 return V[n-1][C];

40

41 }

42

43 void main()

44 {

45 int s;//获得的最大价值

46 int w[15];//物品的重量

47 int v[15];//物品的价值

48 int x[15];//物品的选取状态

49 int n,i;

50 int C;//背包最大容量

51 n=5;

52 printf("请输入背包的最大容量:\n");

53 scanf("%d",&C);

54

55 printf("输入物品数:\n");

56 scanf("%d",&n);

57 printf("请分别输入物品的重量:\n");

58 for(i=0;i

59 scanf("%d",&w[i]);

60

61 printf("请分别输入物品的价值:\n");

62 for(i=0;i

63 scanf("%d",&v[i]);

64

65 s=KnapSack(n,w,v,x,C);

66

67 printf("最大物品价值为:\n");

68 printf("%d\n",s);

69

70

71 }