动态规划法解决01背包

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动态规划与回溯法解决0-1背包问题

0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。

原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。

但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。

判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。

动态规划之01背包问题(最易理解的讲解)

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第i件物品应该放入背包中吗？题目描述：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最首先要明确这张表是从右到左,至底向上生成的。

为了叙述方便，用e10单元格表示e行10列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为10的背包，那么这个背包的最大价值是6，因为e物品的重量是4，背包装的了，把e装进去后价值为6。

然后是e9单元格表示背包承重9，只有物品e, e装进去后，背包价值为6，接着是e8, e7单元格，一直到e3单元格表示背包承重3，但物品e承重4，装不了，所以e3=0,对于d10单元格，表示只有物品e，d时,承重为10的背包,所能装入的最大价值，是10，因为物品e,d这个背包都能装进去。

对于承重为9的背包，d9=10,是怎么得出的呢？根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是e9的值6，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；在这里，f[i-1,j]表示我有一个承重为9的背包，当只有物品e可选时，这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为4的背包（等于当前背包承重减去物品d的重量），当只有物品e可选时，这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi]就是指单元格e4值为6，Pi指的是d物品的价值，即4由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 6 + 4 = 10 大于f[i-1,j] = 6，所以物品d应该放入承重为9的背包，所以d9=10.。

动态规划——01背包问题

动态规划——01背包问题⼀、最基础的动态规划之⼀01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。

01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。

我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。

只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。

运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。

由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。

这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。

有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。

显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。

可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。

可知dp[0][j]值⼀定为零。

那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。

显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。

当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。

①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。

拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。

动态规划——背包问题python实现（01背包、完全背包、多重背包）

动态规划——背包问题python实现（01背包、完全背包、多重背包）参考：⽬录描述：有N件物品和⼀个容量为V的背包。

第i件物品的体积是vi，价值是wi。

求解将哪些物品装⼊背包，可使这些物品的总体积不超过背包流量，且总价值最⼤。

⼆维动态规划f[i][j] 表⽰只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值最⼤是多少。

result = max(f[n][0~V]) f[i][j]:不选第i个物品：f[i][j] = f[i-1][j];选第i个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v[i]] + w[i]（v[i]是第i个物品的体积）两者之间取最⼤。

初始化：f[0][0] = 0 （啥都不选的情况，不管容量是多少，都是0？）代码如下：n, v = map(int, input().split())goods = []for i in range(n):goods.append([int(i) for i in input().split()])# 初始化，先全部赋值为0，这样⾄少体积为0或者不选任何物品的时候是满⾜要求dp = [[0 for i in range(v+1)] for j in range(n+1)]for i in range(1, n+1):for j in range(1,v+1):dp[i][j] = dp[i-1][j] # 第i个物品不选if j>=goods[i-1][0]:# 判断背包容量是不是⼤于第i件物品的体积# 在选和不选的情况中选出最⼤值dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-goods[i-1][0]]+goods[i-1][1])print(dp[-1][-1])⼀维动态优化从上⾯⼆维的情况来看，f[i] 只与f[i-1]相关，因此只⽤使⽤⼀个⼀维数组[0~v]来存储前⼀个状态。

那么如何来实现呢？第⼀个问题：状态转移假设dp数组存储了上⼀个状态，那么应该有：dp[i] = max(dp[i] , dp[i-v[i]]+w[i])max函数⾥⾯的dp[i]代表的是上⼀个状态的值。

动态规划法求01背包问题

动态规划法求01背包问题思路状态表⽰:f[i][j]表⽰前i个物品在容量为j的背包下的最⼤价值v[i]表⽰第i个物品的价值,w[i]表⽰第i个物品的重量状态转换:对于第i个物品如果当前背包不可以装下这个物品,那么当前的f[i][j] = f[i - 1][j],也就是上⼀个状态的最⼤价值如果当前背包可以装下这个物品,那么当前的f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]和f[i - 1][j]取较⼤的那⼀个,第⼀个是考虑把第i个物品装⼊背包,那么背包物品的价值就是前i-1个物品装⼊容量为j-w[i]再加上第i个物品v[i]的价值,第⼆个是不把当前物品装⼊背包的价值,两个取⼤的那⼀个作为最优解代码详解：1. 0/1背包问题#include<iostream>using namespace std;const int N = 1e3 + 10;int f[N], w[N], v[N];int main(){int n, c;cin >> n >> c;for(int i = 1; i <= n; i ++ )cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++)for(int j = c; j >= 0 && j >= v[i]; j --)f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);cout << f[c] << endl;return 0;}}完全背包问题（每个物品可以使⽤⽆数次f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i])完全背包问题本来应该是在背包问题上再加⼀个循环的，但是可以推导出下⾯这个样⼦f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i])为什么呢，只是把0/1背包问题的f[i - 1][j - v[i] + w[i])的i-1换成了i就可以了？从头来说：完全背包问题，对于第i个物品，假设剩下的背包容量还可以装n个这个物品，那么⼀共就有n+1中决策⽅案，还有⼀种⽅案就是⼀个都不选那么对于第i个物品:它的最⼤价值就是f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]), f[i - 1][j - 2 * v[i]] + 2 * w[i]....)⼀直到n为⽌（①式）令 j = j - v[i] 那么f[i][j - v[i]] = max(f[i - 1][j - v[i]], f[i - 1][j - 2 * v[i]] + w[i].....)（②式）然后发现⼆式中的右边⽐较像⼀式中的第⼆项到最后⼀项，就是每⼀项都少了⼀个w[i]把⼆式带⼊⼀式，那么⼀式就是 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]), 就是下⾯这个状态⽅程啦 ;#include<iostream>using namespace std;const int N = 1e3 + 10;int f[N][N], w[N], v[N];int main(){int n, c;cin >> n >> c;for(int i = 1; i <= n; i ++)cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ ){for(int j = 1; j <= c; j ++ ){f[i][j] = f[i - 1][j];if(j >= v[i])f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);}}cout << f[n][c] << endl;return 0;}完全背包优化：#include<iostream>using namespace std;const int N = 1e3 + 10;int f[N], w[N], v[N];int main(){int n, c;cin >> n >> c;for(int i = 1; i <= n; i ++)cin >> v[i] >> w[i]; for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = v[i]; j <= c; j ++ )//从前往后更新 f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);cout << f[c] << endl;return 0;}。

[汇总]蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题

[汇总]蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题一、实验内容:分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。

C注:0/1背包问题:给定种物品和一个容量为的背包，物品的重量ni是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背wvii 包中的物品的总价值最大。

其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。

二、所用算法的基本思想及复杂度分析:1.蛮力法求解0/1背包问题:1)基本思想:对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。

在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。

2)代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100 //最多可能物体数 struct goods //物品结构体{int sign; //物品序号int w; //物品重量int p; //物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w); }int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++) X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1; //装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0; //不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]) { Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n); //输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C); //输入背包容量for (int i=0;i<n;i++) //输入物品i的重量w及其价值v {printf("物品%d的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("] 装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3)复杂度分析:n蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为:。

利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划

利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划背包问题是一个经典的动态规划模型,很多关于算法的教材都把它作为一道例题,该问题既简单又容易理解,而且在某种程度上还能够揭示动态规划的本质。

将具有不同重量和价值的物体装入一个有固定载重量的背包,以获取最大价值,这类问题被称为背包问题。

背包问题可以扩展出很多种问题,而01背包问题是最常见、最有代表性的背包问题。

一、问题描述给定一个载重量为M的背包及n个物体,物体i的重量为wi、价值为pi,1≤i≤n,要求把这些物体装入背包,使背包内的物体价值总量最大。

此处我们讨论的物体是不可分割的,通常称这种物体不可分割的背包问题为01背包问题。

二、基本思路01背包问题的特点是:每种物体只有一件,可以选择放或者不放。

假设:xi表示物体i被装入背包的情况,xi=0,1。

当xi=0时,表示物体没有被装入背包;当xi=1时,表示物体被装入背包。

根据问题的要求,有如下的约束方程(1)和目标函数(2):三、利用动态规划法求解01背包问题(一)动态规划算法的基本思想动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

在这类问题中,可能会有许多可行解。

每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。

动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。

若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算很多次。

如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。

我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。

不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中,这就是动态规划法的基本思路。

具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。

(二)算法设计假定背包的载重量范围为0～m。

01背包问题(动态规划法)

0/1背包问题1. 问题描述给定一个载重量为m，n个物品，其重量为w i，价值为v i，1<=i<=n，要求:把物品装入背包，并使包内物品价值最大2. 问题分析在0/1背包问题中，物体或者被装入背包，或者不被装入背包，只有两种选择。

循环变量i，j意义：前i个物品能够装入载重量为j的背包中(n+1)*(m+1)数组value意义：value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值若w[i]>j，第i个物品不装入背包否则，若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j]，则记录当前最大价值（替换为第i个物品装入背包后的价值）计算最大价值的动态规划算法如下：//计算for(i=1;i<row;i++){for(j=1;j<col;j++){//w[i]>j,第i个物品不装入背包value[i][j]=value[i-1][j];//w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];if(w[i]<=j && temp>value[i][j])value[i][j]=temp;}}即该段程序完成以下n个阶段：1：只装入1个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值2：装入2个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值。

n：以此类推，装入n个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值3. 问题求解确定装入背包的具体物品，从value[n][m]向前逆推：若value[n][m]>value[n-1][m]，则第n个物品被装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m-w[n]的背包中否则，第n个物品没有装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m的背包中以此类推，直到确定第一个物品是否被装入背包为止。

蛮力法、动态规划法求解01背包问题

v[i][j]=values[i]+v[i-1][j-weigths[i]];
else
v[i][j]=v[i-1][j];
}
else v[i][j]=v[i-1][j];
}
return v[n][m];
}
int main()
{
int m,n;int i,j;
cout<<"请输入背包的承重量:"<<endl;
2)复杂度分析:2n
2、动态规划法
1)基本思想:Dynamic programming is a technique for solving problems with overlapping subproblems.The function:
V(i,0)=V(0,j)=0;(1)
V(i-1,j)j<w
if (cur_weight <= capacity && cur_value > max_value) {
max_value = cur_value;
}
return;
}
c[d] = 0;
MFKnapsack(capacity, values, weights, c,
d + 1, max_value);
cout << MFKnapsack(capacity, values, weights, n) << endl;
return 0;
}
(2)Dynamic Programming
#include<iostream.h>
#include<string.h>
int v[10][100];//对应每种情况的最大价值

0-1背包问题的动态规划法与回溯法

0-1背包问题的动态规划法与回溯法⼀、动态规划状态转移⽅程：1从前往后：2if(j>=w[i])3 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);4else5 m[i][j]=m[i-1][j];67从后往前：8if(j>=w[i])9 m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);10else11 m[i][j]=m[i+1][j];算法：1从前往后：2for(int i=1;i<=n;i++)3for(int j=1;j<=c;j++)4 {5if(j>=w[i])6 {7 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);8 }9else//这⾥没有考虑j<0的情况，因为算法中j取不到10 {11 m[i][j]=m[i-1][j];12 }13 }1415从后往前：16for(int i=n;i>=1;i--)17for(int j=1;j<=c;j++)18 {19if(j>=w[i])20 {21 m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);22 }23else24 {25 m[i][j]=m[i+1][j];26 }27 }例⼦：例：0-1背包问题。

在使⽤动态规划算法求解0-1背包问题时，使⽤⼆维数组m[i][j]存储背包剩余容量为j，可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。

绘制重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}，背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。

（从前往后）例题代码 :1 #include<iostream>2 #include<cmath>3 #include<cstring>4#define N 205using namespace std;6int main()7 {8int w[N]={0,4,6,2,2,5,1},v[N]={0,8,10,6,3,7,2};9int m[N][N];10 memset(m,0,sizeof(m));11int n=6,c=12; //n,c均要⼩于N12for(int i=1;i<=n;i++)13for(int j=1;j<=c;j++)14 {15if(j>=w[i])16 {17 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);18 }19else20 {21 m[i][j]=m[i-1][j];22 }23 }24 cout<<m[n][c]<<endl; //从前往后2526/*27 for(int i=n;i>=1;i--)28 for(int j=1;j<=c;j++)29 {30 if(j>=w[i])31 {32 m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);33 }34 else35 {36 m[i][j]=m[i+1][j];37 }38 }39 cout<<m[1][c]<<endl;//从后往前40*/41return0;42 }⼆、回溯法1进⼊左⼦树条件：cw+w[i]<=c //cw为当前重量2进⼊右⼦树条件（减枝函数）：cp+r>bestp //cp为当前价值，bestp为当前最优价值，r为当前剩余物品价值总和。

动态规划背包问题

P01: 01背包问题题目有N件物品和一个容量为V的背包。

第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。

求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。

所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。

如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。

那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。

动态规划求解01背包问题

动态规划求解01背包问题问题给定n种物品和⼀个背包，物品(1<=i<=n)重量是w I ，其价值v i,背包容量为C,对每种物品只有两种选择：装⼊背包和不装⼊背包，即物品是不可能部分装⼊，部分不装⼊。

如何选择装⼊背包的物品，使其价值最⼤？想法该问题是最优化问题，求解此问题⼀般采⽤动态规划（dynamic plan），很容易证明该问题满⾜最优性原理。

动态规划的求解过程分三部分：⼀：划分⼦问题：将原问题划分为若⼲个⼦问题，每个⼦问题对应⼀个决策阶段，并且⼦问题之间具有重叠关系⼆：确定动态规划函数：根据⼦问题之间的重叠关系找到⼦问题满⾜递推关系式（即动态规划函数），这是动态规划的关键三：填写表格：设计表格，以⾃底向上的⽅式计算各个⼦问题的解并填表，实现动态规划过程。

思路：如何定义⼦问题？0/1背包可以看做是决策⼀个序列（x1,x2,x3,…,xn）,对任何⼀个变量xi的决策时xi=1还是xi=0. 设V(n,C)是将n个物品装⼊容量为C的背包时背包所获得的的最⼤价值，显然初始⼦问题是将前i个物品装如容量为0的背包中和把0个物品装⼊容量为j的背包中，这些情况背包价值为0即V(i,0)=V(0,j)=0 0<=i<=n, 0<=j<=C接下来考虑原问题的⼀部分，设V(I,j)表⽰将前i个物品装⼊容量为j的背包获得的最⼤价值，在决策xi时，已经确定了(x1,x2,…,xi-1)，则问题处于下列两种情况之⼀：1. 背包容量不⾜以装⼊物品i，则装⼊前i-1个物品的最⼤价值和装⼊前i个物品最⼤价值相同，即xi=0，背包价值没有增加2. 背包容量⾜以装⼊物品i，如果把物品i装⼊背包，则背包物品价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi；如果第i个物品没有装⼊背包，则背包价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j的背包中所取得的价值，显然，取⼆者最⼤价值作为把物品i装⼊容量为j的背包中的最优解，得到如下递推公式为了确定装⼊背包中的具体物品，从V(n,C)的值向前推，如果V（n，C）>V(n-1,C),则表明第n个物品被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C的背包中，依次类推，直到确认第⼀个物品是否被装⼊背包中代码C++实现1. // dp_01Knapsack.cpp : 定义控制台应⽤程序的⼊⼝点。

用动态规划法求解01背包问题

用动态规划法求解0/1背包问题实验目的：1、掌握动态规划算法求解问题的一般特征和步骤。

2、使用动态规划法编程，求解0/1背包问题。

实验要求：1、掌握动态规划算法求解问题的一般特征和步骤。

2、使用动态规划法编程，求解0/1背包问题。

实验内容：1、问题描述：给定n种物品和一个背包，物品I的重量是Wi，其价值为Vi，问如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？2、算法描述。

3、程序实现给出实例测试结果。

程序清单：#include<iostream>#include<iomanip>using namespace std;int c[50][50];int w[10],v[10];int x[10];int n;void KNAPSACK_DP(int n,int W){for(int k=0;k<=W;k++)c[0][k]=0;for(int i=1;i<=n;i++){c[i][0]=0;for(int k=1;k<=W;k++){if(w[i]<=k){if(v[i]+c[i-1][k-w[i]]>c[i-1][k])c[i][k]=v[i]+c[i-1][k-w[i]];elsec[i][k]=c[i-1][k];}elsec[i][k]=c[i-1][k];}}}void OUTPUT_SACK(int c[50][50],int k) {for(int i=n;i>=2;i--){if(c[i][k]==c[i-1][k])x[i]=0;else{x[i]=1;k=k-w[i];}}x[1]=(c[1][k]?1:0);for(int i=1;i<=n;i++)cout<<setw(4)<<x[i];}void main(){int m;cout<<"输入物品个数:";cin>>n;cout<<"依次输入物品的重量:"<<endl; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];cout<<"依次输入物品的价值:"<<endl; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i];cout<<"输入背包最大容量:";cin>>m;for(int i=1;i<=m;i++)cout<<setw(4)<<i;cout<<endl;KNAPSACK_DP(n,m);cout<<"构造最优解过程如下:"<<endl; for(int j=1;j<=5;j++){for(int k=1;k<=m;k++)cout<<setw(4)<<c[j][k];cout<<endl;}cout<<"最优解为:"<<endl;OUTPUT_SACK(c,m);}运行结果：输入物品个数:5依次输入物品的重量:3 4 7 8 9依次输入物品的价值:4 5 10 11 13输入背包最大容量:171 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 构造最优解过程如下:0 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 40 0 4 5 5 5 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 90 0 4 5 5 5 10 10 10 14 15 15 15 19 19 19 19 0 0 4 5 5 5 10 11 11 14 15 16 16 19 21 21 21 0 0 4 5 5 5 10 11 13 14 15 17 18 19 21 23 24 最优解为:0 0 0 1 1实验体会：通过该实验，使用动态规划法编程，求解0/1背包问题，掌握动态规划算法求解问题的一般特征和步骤。

动态规划算法0-1背包问题课件PPT

回溯法
要点一
总结词
通过递归和剪枝来减少搜索空间，但仍然时间复杂度高。
要点二
详细描述
回溯法是一种基于递归的搜索算法，通过深度优先搜索来找出所有可能的解。在0-1背包问题中，回溯法会尝试将物品放入背包中，并递归地考虑下一个物品。如果当前物品无法放入背包或放入背包的总价值不增加，则剪枝该分支。回溯法能够避免搜索一些无效的组合，但仍然需要遍历所有可能的组合，时间复杂度较高。
缺点
需要存储所有子问题的解，因此空间复杂度较高。对于状态转移方程的确定和状态空间的填充需要仔细考虑，否则可能导致错误的结果。
04
0-1背包问题的动态规划解法
状态定义
状态定义
dp[i][ j]表示在前i个物品中选，总重量不超过j的情况下，能够获得的最大价值。
状态转移方程
dp[i][ j] = max(dp[i-1][ j], dp[i1][ j-w[i]] + v[i])，其中w[i]和v[i] 分别表示第i个物品的重量和价值。
02
计算时间复杂度：时间复杂度是指求解问题所需的时间与问题规模之间的关系。对于0-1背包问题，时间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被遍历，因此时间复杂度为O(2^n)，其中n是物品的数量。
03
空间复杂度：空间复杂度是指求解问题所需的空间与问题规模之间的关系。在0-1 背包问题中，空间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被存储，因此空间复杂度也为O(2^n)，其中n是物品的数量。
06
0-1背包问题的扩展和实际应用
多多个物品和多个背包，每个物品有各自的重量和价值，每个背包有各自的容量，目标是选择物品，使得在不超过背包容量限制的情况下，所选物品的总价值最大。

01背包问题的python代码

以下是一个使用动态规划解决0-1背包问题的Python代码示例：
```python
def knapsack(weights, values, capacity):
n = len(weights)
dp = [[0 for _ in range(capacity+1)] for _ in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, capacity+1):
if weights[i-1] > j:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1])
return dp[n][capacity]
```
这个函数接受三个参数：一个包含物品重量的列表`weights`，一个包含物品价值的列表`values`，以及一个背包容量`capacity`。

它返回最大价值。

在这个函数中，我们使用一个二维数组`dp` 来保存状态。

其中，`dp[i][j]` 表示在前`i` 个物品中，背包容量为`j` 时的最大价值。

我们通过比较当前物品的重量和剩余容量来判断是否将当前物品放入背包中。

如果当前物品的重量超过了剩余容量，那么我们只能
选择不放入背包。

否则，我们可以选择将当前物品放入背包中，此时背包容量会减少，我们需要在前`i-1` 个物品中找到一个最优解，然后将当前物品的价值加到最优解上。

最后，我们返回`dp[n][capacity]`，表示在前`n` 个物品中，背包容量为`capacity` 时的最大价值。

动态规划之01背包问题

动态规划之01背包问题01背包问题问题描述：给定 n 件物品，物品的重量为 w[i]，物品的价值为 c[i]。

现挑选物品放⼊背包中，假定背包能承受的最⼤重量为 V，问应该如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中物品的总价值最⼤？针对这个问题，本⼈理解了多次，也了看各种题解，尝试各种办法总还觉得抽象；或者说，看了多次以后，只是把题解的状态转移⽅程记住了⽽已，并没有真正的“掌握”其背后的逻辑。

直到我看了，在此感谢作者并记录于此。

01背包问题之另⼀种风格的描述：假设你是⼀个⼩偷，背着⼀个可装下4磅东西的背包，你可以偷窃的物品如下：为了让偷窃的商品价值最⾼，你该选择哪些商品？暴⼒解法最简单的算法是：尝试各种可能的商品组合，并找出价值最⾼的组合。

这样显然是可⾏的，但是速度⾮常慢。

在只有3件商品的情况下，你需要计算8个不同的集合；当有4件商品的时候，你需要计算16个不同的集合。

每增加⼀件商品，需要计算的集合数都将翻倍！对于每⼀件商品，都有选或不选两种可能，即这种算法的运⾏时间是O(2ⁿ)。

动态规划解决这样问题的答案就是使⽤动态规划！下⾯来看看动态规划的⼯作原理。

动态规划先解决⼦问题，再逐步解决⼤问题。

对于背包问题，你先解决⼩背包（⼦背包）问题，再逐步解决原来的问题。

⽐较有趣的⼀句话是：每个动态规划都从⼀个⽹格开始。

（所以学会⽹格的推导⾄关重要，⽽有些题解之所以写的不好，就是因为没有给出⽹格的推导过程，或者说，没有说清楚为什么要”这样“设计⽹格。

本⽂恰是解决了我这⽅⾯长久以来的困惑！）背包问题的⽹格如下：⽹格的各⾏表⽰商品，各列代表不同容量（1~4磅）的背包。

所有这些列你都需要，因为它们将帮助你计算⼦背包的价值。

⽹格最初是空的。

你将填充其中的每个单元格，⽹格填满后，就找到了问题的答案！1. 吉他⾏后⾯会列出计算这个⽹格中单元格值得公式，但现在我们先来⼀步⼀步做。

⾸先来看第⼀⾏。

这是吉他⾏，意味着你将尝试将吉他装⼊背包。

Python基于动态规划算法解决01背包问题实例

Python基于动态规划算法解决01背包问题实例本⽂实例讲述了Python基于动态规划算法解决01背包问题。

分享给⼤家供⼤家参考，具体如下：在01背包问题中，在选择是否要把⼀个物品加到背包中，必须把该物品加进去的⼦问题的解与不取该物品的⼦问题的解进⾏⽐较，这种⽅式形成的问题导致了许多重叠⼦问题，使⽤动态规划来解决。

n=5是物品的数量，c=10是书包能承受的重量，w=[2,2,6,5,4]是每个物品的重量，v=[6,3,5,4,6]是每个物品的价值，先把递归的定义写出来：然后⾃底向上实现，代码如下：def bag(n,c,w,v):res=[[-1 for j in range(c+1)] for i in range(n+1)]for j in range(c+1):res[0][j]=0for i in range(1,n+1):for j in range(1,c+1):res[i][j]=res[i-1][j]if j>=w[i-1] and res[i][j]<res[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]:res[i][j]=res[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]return resdef show(n,c,w,res):print('最⼤价值为:',res[n][c])x=[False for i in range(n)]j=cfor i in range(1,n+1):if res[i][j]>res[i-1][j]:x[i-1]=Truej-=w[i-1]print('选择的物品为:')for i in range(n):if x[i]:print('第',i,'个,',end='')print('')if __name__=='__main__':n=5c=10w=[2,2,6,5,4]v=[6,3,5,4,6]res=bag(n,c,w,v)show(n,c,w,res)输出结果如下：更多关于Python相关内容感兴趣的读者可查看本站专题：《》、《》、《》、《》、《》及《》希望本⽂所述对⼤家Python程序设计有所帮助。

如何使用动态规划算法解决背包问题

如何使用动态规划算法解决背包问题背包问题是一类经典的组合优化问题，也是计算机科学中重要的算法优化问题。

在实际生活中，背包问题常常出现，例如超市购物时的选择，航空货物装载等场景，如何高效地解决背包问题一直以来都是计算机学术界与产业界努力的方向。

动态规划算法是其中一种经典解法，本文将讨论如何使用动态规划算法解决背包问题。

一、背包问题的定义背包问题指在限定总量和负荷的前提下，如何选择物品能使价值最大化的问题。

其定义如下：有N个物品和一个容量为V的背包。

第i个物品的重量为Wi，价值为Ci。

求装入背包中的物品的最大价值。

背包不可分割，且每个物品只有一件。

可以选择不装某些物品，且每种物品只能选择一次。

要求选出的物品总重量不超过背包容量。

目标是使选出的物品的总价值最大。

二、动态规划算法及其基本思路动态规划算法能够有效地解决许多背包问题。

动态规划是求解多阶段决策过程最优化的一种利器，基本思路可以概括为：从小问题出发，逐步解决大问题。

即从问题的子问题逐步求解出整个问题的优化解。

具体地，使用动态规划算法解决背包问题的基本步骤如下：（1）把背包问题分解为若干子问题；（2）设计一个状态表示方法，定义子问题的状态；（3）设计状态转移方程，从小问题逐步解决大问题；（4）边界条件的处理。

这里以01背包问题为例来说明。

三、01背包问题的状态表示与状态转移方程01背包问题是指每种物品数量只有一个，要么选要么不选，不能部分选取。

其状态定义为dp[i][j]表示前i个物品，体积不超过j的情况下所能获得的最大价值。

状态转移方程为：- 当j<wi时：dp[i][j]=dp[i-1][j]- 当j>=wi时：dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+ci)其中，第一行表示物品数为0时，无论容量为多少，价值为0；第一列表示容量为0时，无论物品数为多少，价值为0。

第一种状态转移方程表示当前背包容量无法装下第i个物品，直接继承前i-1个物品的最优解；第二种状态转移方程表示当前背包容量可以装下第i个物品，此时需要判断选择第i个物品是否能够为获得的最大价值带来贡献。