古典概率模型和几何概率模型共34页
古典概率和几何概型
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§1.3 古典概率和几何概型
1.3.1 古典概型
1.3.2 几何概型
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
第 2页
1.3.1 古典概型
1. 古典概型 若试验E具有以下两个特征： (1) 所有可能的试验结果(基本事件)为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性相同， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。 ２. 古典概型中事件概率的计算公式 设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
10 1 P ( A) 40 4
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
例2 在110这10个自然数中任取一数，求： （1）取到的数能被2或3整除的概率，
第 5页
（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，
（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 解: 设 A =“取到的数能被2整除”; B =“取到的数能被3整除” 1 3 1 P ( A) P(B) P ( AB ) 2 10 10 故 (1) P ( A
(2) P( A B) 1 P( A B)
7 B) P( A) P( B) P ( AB) 10
3 10
2 (3) P ( A B) P ( A) P ( AB) 5
第一章 §1.3 古典概型和几何概型
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例3 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间的任意 一间去住（n≤N），求下列事件的概率． （1）指定的n个房间各住1人； （2）恰好有n个房间，其中各住1人 解 因为每一个人有N个房间可供选择，所以n个人住在N个房 间的方式共有Nn种，它们是等可能的． （1）指定的n个房间各住1人，其可能总数为n的全排列n!，于 是，所求概率为 P n! 1 Nn n （2）n个房间可以在N个房间中任意选取，其选法总数有 C N 种， 对每一选定的n个房间，按（1）的讨论可知又有n!种分配方式， n 所以恰有n个房间其中各住1人的住法数为 C N n!， 故所求概率 n CN n! 为 P2 Nn 这个例子常称为“分房问题”．
1.3古典概型与几何概型
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 N 种, n
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
D N D 种, k n k D N D N . 于是所求的概率为 p k n k n
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
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2005
. (1) 设事件 A1 为“恰有一 练习1 将一枚硬币抛掷三次 次出现正面” , 求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 “至少有一 次出现正面” , 求 P ( A2 ).
解 (1) 设 H 为出现正面, T 为出现反面.
则 S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
S {HH, HT, TT}
他计算得
P( A) 1 3
3
这不是 等可能概型！
2005
河南理工大学精品课程 概率论与数理统计
袋中有 a 只白球， b只红球. 从袋中任取 n 只球， 求取到 k ( min(n, a) ) 只白球的概率. 从 a b 只球中任取 n 只，样本点总数为
nk k C C 取到 k 只白球的有利场合数为 a b
概率非常小的事件，称为小概率事件
小概率事件在大量重复试验中几乎是必然 发生的.
下面的例题是利用统计推断原理对某种假设作
出判断（接受或拒绝），这在数理统计的假设检验 中是非常有用的。
例：某接待站在某一周内接待了12次来访者,已知
所有这些来访都是在星期二与星期四进行的,问能否由此 推断该接待站的接待时间是有规定的? 〖解〗若接待时间没有规定,且来 抽象:模型化 人=“球”
概率的两种模型(高三数学精品课件)
19世纪法国著名数学家拉普拉斯说：“对于生活中的大 部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几 乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分 我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推 法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上。 因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……”
5
题型一 古典概型问题
设计游戏1：
一个不透明的箱子中有6个除了颜色不同无其他区别的小球， 其中4个蓝球，2位红球。
试设计一时训练 1：
9.在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于 1 的概率为（ ） 2
A、 1 B、 1 C、 3 D、 7
题型三 古典概型与几何概型的综合问题
已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R. (1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数 中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任 取的一个数，求已知方程有实数根的概率.
第 36 练 概率的两类模型
火眼真睛（区分古典概型和几何概型）
1、古典概型（classical probability model)
一次试验中可能出现的每一 个基本结果称为基本事件
(elementary event).
（1）所有基本事件只有有限个； （2）每个基本事件的发生都是等可能的。
满足上面两个条件的随机实验的概率模 型称为古典概型
2、古典概型的概率计算公式
P( A) m n
其中n是试验中所有基本事件的个数，m是事件A 包含的基本事件的个数（m n).
利用几何概型求概率:
1.几何概型适用条件： (1)基本事件有无限多个（无限性）； (2)事件都是等可能发生的（等可能性）. 2.适用情况：
1-第二节古典概率与几何概率
N C C C 30!/ 10! 10! 10!
10 30 10 20 10 10
9 9 P(A) 3! C 27 C18 C99 /N 50/ 203
1 7 10 10 P(B) C 3 C 27 C 20 C10 /N
3 C / C
7 27
10 30
a( a b 1 )! a P ( Ak ) ( a b )! ab
解法2 1.把a只黑球和b只白球都看着没有区别.
2. 把a+b只球摸出来依次排在一直线的a+b个位置 上.若把a只黑球的位置固定下来,则其它位置必然 a C 为白球,则黑球在a+b个位置中的放法共有 a b , 3.有利于A的场合是在第k个位置上固定一个黑球, 其余a - 1个黑球被放到其余a+b-1个位置上,共有 a 1 Ca 种放法. 因此 b 1
k n k CM CN M P ， n CN
0 k minn , M n M
超几何分布
例11 30名毕业生中有3名运动员，将他们平均分配 到甲、乙、丙三个城市去工作，求： （1）每市都有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个市里的概率。 解 设A={每市有一名运动员}; B={3名运动员集中在一个市里}
P (e1 ) P (e 2 ) P (e n ) nP (e1 )
P ( e1 ) P ( e 2 ) P ( e n ) 1 / n
因此, 若事件A e i1 , e i2 , , e ik 包含了k个基本事件, 则 事件A发生的概率 P ( A) k / n
使 A 发生的基本事件是第一次抽到合格品 , 且第二次也抽到合格品, 共有mA=8×8=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100 同理B包含的基本事件数mB=2×2=4.所以 P(B)= mB /n=4/100 由于C=A+B,且AB=,所以
概率论-古典概率模型
所以
P(e ) 1 ,i 1,2,,n
i
n
若事件 A 包含 k 个基本事件 ,即
A ei1 ei2 eik
则有
P(A) P ei1 P ei2 P eik
k n
A包含的基本事件数 S中的基本事件总数
例1 将一枚硬币抛掷三次.
i 设事件 A1 为 "恰有一次出现正面 " ,求 PA1 . ii 设事件 A2 为 "至少有一次出现正面 " ,求 PA2 .
因为抽取时这些球是完
10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10
全平等的，我们没有理由认
为10个球中的某一个会比另
一个更容易取得 . 也就是说，
10个球中的任一个被取出的
机会是相等的，均为1/10.
85 1946 7 2 3 10
二、古典概型中事件概率的计算
记 A={摸到2号球}
2
P(A)=?
P(A)=1/10
2
1 7
98345106
定义 1 若随机试验满足下述两个条件 (1) 它的样本空间只有有限多个样本点
(2) 每个样本点出现的可能性相同 称这种试验为等可能随机试验或古典概型.
记 B={摸到红球} , P(B)=6/10
静态
这里实际上是从“比例” 转化为“概率” 动态
当我们要求“摸到红球”的概 率时，只要找出它在静态时相应的 比例.
Ca1 Ca1b
a
a b
（2）作不放回抽样
k个人各人取一只球，每种取法是一个基本事件.
由乘法原理知，k个人各人取一只球有
(a
b)(a
b
1)
(a
b
k
1)
01.2古典概率几何概率统计概率
54
P( A)
C52 C82
2! 87
5 14
2!
令C=“取到两个白球”，由于有
B A C， AC
故 P(B) P(A C) P(A) P(C)
5 C32 14 C82
53 14 28
13 28
例3某校一年级新生共1000人,设每人的 生日是一年中的任何一天的可能性相同, 问至少有一人的生日是元旦这一天的概 率是多少？(一年以365天计).
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
C: 0.0268 G: 0.0187 K: 0.0060 O: 0.0776 S: 0.0634 W: 0.0214
D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
定义 (统计概率 )
若随着试验次数的增大，事件A
发生的频率在某个常数p 附近摆动， 并且逐渐稳定于p,则称该常数为事
件A的概率 。
在实际应用中，采取用频率来近似代替概率， P(A) fn (A).
f (S) 1 n
非负性 规范性
事件 A, B互斥，则
fn ( A B) fn ( A) fn (B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202
1.3古典概型与几何概型
所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放
概率论与数理统计-第1章-第2讲-古典概率与几何概率
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
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概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
古典概型与几何概型
2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此 得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.
中任取两个元素a,b,且a·b≠0,则方程
双曲线的概率为
.
������2 ������2
+
������������22=1表示焦点在x轴上的
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5 知识方法 易错易混
(2)(2015江西南昌一模)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D
4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中a没有放入A中的概
率是
.
关闭
将四封不同的信随机放入 4 个不同的信封中,每个信封至少有一封
信的放法有A44=24 种,其中信 a 放入 A 中的结果有A33=6 种,故“信 a
;a⊥b的
概率为
.
关闭
由题意,得(x,y)所有的基本事件共有C31 ·C31=9 个.
设“a∥b”为事件 A,则 xy=-3.事件 A 包含的基本事件有(-1,3),故 a∥b
的概率为 P(A)=1;
9
设“a⊥b”为事件 B,则 y=3x.事件 B 包含的基本事件有(1,3),(3,9),故 a
⊥1 b
.
关闭
设圆的半径为 R,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角
边长为√2R,则所求事件的概率为
1
P=������������阴 圆
课件3概率论1.4
定义： 设随机试验E的样本空间为 定义： 设随机试验 的样本空间为 = {ω1 , ω2 ,L , ωn } n为有限正整数，且每个基本事件 ωi 发生的可能性 为有限正整数， 为有限正整数 相等（ ），若 下 相等（即 P{ω1} = P{ω2} =L= P{ωn} =1/ n, ），若E下 的事件A是由 个不同的基本事件组成，即 的事件 是由m个不同的基本事件组成， 是由 个不同的基本事件组成
2n n! P= (2n)!
一袋中装有N-1只黑球及 只白球 每次从袋中 只黑球及1只白球 例1.4.7 一袋中装有 只黑球及 只白球,每次从袋中 随机地摸出一球,并换入一只黑球 这样继续下去 随机地摸出一球 并换入一只黑球.这样继续下去 问第 并换入一只黑球 这样继续下去,问第 k次摸到黑球的概率是多少 次摸到黑球的概率是多少? 次摸到黑球的概率是多少 表示“ 次摸到黑球” A 解 A表示“第k次摸到黑球”，则 表示 次摸到黑球 到 表示“ 表示“第k次摸 次摸
n! C m! m n! C m! Cn+1 P( A) = = m (n + m)! Cn+m
m n+ n+1 m n+1
若这n+m个孩子不是排成一直线 而是排在一个圆圈 个孩子不是排成一直线,而是排在一个圆圈 若这 个孩子不是排成一直线 则事件A有概率是多少 上,则事件 有概率是多少 则事件 有概率是多少?
P( A)
(N 1) P( A) = k N
k 1
白球” 等价于“ . 次均摸到黑球,第 次摸到白球” 白球”，先求 “前k-1次均摸到黑球 第k次摸到白球” A 等价于 次均摸到黑球 次摸到白球
1 1 = 1 N
k 1
1 N
概率论中几种概率模型方法总结
概率论中几种概率模型方法总结绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。
1 古典概型古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。
古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。
即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。
若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n中的样本点数中的样本点数。
在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。
在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。
关于古典概型的数学模型如下:1.1 袋中取球问题1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。
概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。
事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。
分析:随机地从袋中取出k 个球有km+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这一事件包含了l k-l n mC C 种结果,因此所求概率为lk - ln m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。
用它可以解决一些类似的问题。
1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。
第05讲古典概型与几何概型
【知识概述】1古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 2•如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每1个基本事件的概率都是1n如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率P(A) =m.nA 包含的基本事件的个数3.古典概型的概率公式P (A)= 基本事件的总数4.几何概型模型为几何概率模型，简称为几何概型亠构成事件A 的区域长度 面积或体积5.几何概型中，事件A 的概率公式 卩(刘=试验的全部结果所构成的区域长度6.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.7.几何概型的试验中，事件A 的概率P(A)只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关.关键是求得事件所占区域和整个区域Q 的几何度量，然后代入公式即可求解.的元素个数，事件 A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率面积或体积8.求试验中几何概型的概率,9.从集合的角度去看待概率,在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合Im 故P(A)= 10斤=card I n【学前诊断】［难度］易1 1 1L 一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为2 33 4在区间［—1,2］上随机取一个数 X ,则x € ［0, 1］的概率为如图所示，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为 2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是2 cm【经典例题】1. 1盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品.(1) 从中取出1只，然后放回，再取 1只，求连续2次取出的都是正品的概率; (2) 从中一次任取出 2只，求2只都是正品的概率.2.现有8名世博会志愿者，其中志愿者 A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语,C 1、C 2通晓韩语•从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1名，组成一个小组.(1) 求A 1被选中的概率；(2) 求B 1和C 1不全被选中的概率.3•抛掷两枚骰子，求下列事件的概率:(1) 点数之和是4的倍数； (2) 点数之和大于 5小于10.例4•有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大?例5•某公共汽车站每隔 10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客 候车时间不超过6分钟的概率.1. 1 2011 20122. ［难度］中3. ［难度］中2. 用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来,然后再求出事件A 中的基本事件，利3. 4. 用公式P(A)= m 求出事件A 的概率.这是一个形象、直观的好方法, 某一顺序做到不重复、不遗漏.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1) 无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2) 等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 几何概型的试验中，事件A 的概率P(A)只与子区域 A 的几何度量成正比，而与 A 的位置和形状无关.但列举时必须按照(长度、面积或体积)例7 .甲、乙两人约定在 6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟, 过时即可离去.求两人能会面的概率.例&一只小蜜蜂在一个棱长为 30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于 10,则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于 10,则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率 是 .【本课总结】一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型. 正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键.1. 例6.5.古典概型与几何概型的异同点：几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的， 一个是无限的，基本事件可以抽象为点. 对于 几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关.【活学活用】1.［难度］中一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“ Dream 的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成Dream ”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为丄Z A. 12 B. 12C.122.［难度］中某人随机地在如右图所示正三角形及其外接圆区域内部投针边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为 ______________3. ［难度］中为积极配合大型活动志愿者招募工作，某校拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队 队员的机会是相同的.(1) 求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率； (2) 求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率.“One”’ “World,” “0ne”’“ One World One( ) 5 D.5(不包括三角形边界及圆的。