简单旋转体_课件

全等的 由 正棱锥 截得的棱台 等腰梯形
1.圆柱、圆锥、圆台、球的简单性质，如下表所示
圆柱
圆锥
圆台 球
两底面是平
两底面是平行且
底面
圆
行且半径不 无
半径相等的圆
相等的圆
母线
平行且相等
延长线交于
相交于顶点
无
一点
圆柱
圆锥
圆台
球
与两底面
与两底面
平行于底面
与底面半径
半径相等
半径不相 无
的截面
不相等的圆
的圆
4．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不
是
()
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
解析：因为正六边形的中心到各顶点的距离等于边长，
所以若底面边长与侧棱长相等时，六棱锥就成了平面
图形.
答案：D
5．给出下列几个结论：
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
②多面体至少有四个面；
[一点通] 组合体的构成，基本上有三类：(1)多面体 与多面体的组合体；(2)多面体与旋转体的组合体；(3)旋 转体与旋转体的组合体．
6．说出下列组合体是由哪些简单几何体组成的．
解：图①是由一个四棱柱和一个四棱台组合而 成．图②是由一个圆锥和一个圆柱组合而成．图③ 是由一个圆柱和两个圆台组合而成．
[答案] B
[一点通] 对旋转体定义的理解要准确，判断时要 抓住旋转体的结构特征，认真分析，对比判别．
1．有下列命题，其中正确的是
()
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点
的连线是圆柱的母线 ②圆锥顶点与底面圆周上任意
一点的连线是圆锥的母线 ③在圆台上、下底面圆周
上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 ④圆柱
边旋转，无论转到什么位
台
置都叫作侧面的母线
在形形色色的物体中，它们不仅有旋转体，还 有不同于旋转体的物体，观察下面的几何体，回答 下列问题．
问题1：图中的几何体有什么共同特征？ 提示：它们都是由平面图形围成，其中每一个面 都是平面多边形． 问题2：图片中(1)、(2)、(3)所表示的几何体有什 么共同特征． 提示：都是有两个互相平行平面，其余各面均为 平行四边形． 问题3：图片中(4)、(5)、(6)所表示的几何体有什 么共同特征？ 提示：其中一个面是多边形，其余各面都是有公 共顶点的三角形．
7．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？ 画
出平面图形和旋转轴．
解：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图 形．旋转前的平面图形如下：
1．棱柱、棱锥、棱台的共性 棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可 以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面 体．多面体还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体.
(2)相关概念：
3．棱柱、棱台
名称
棱 锥
正 棱 锥
图形
结构特征
侧面的形状
有一个面是 多边形，其余
各面是 有一个公共顶点
三角形
的三角形
底面是 正多边形 ，且 各侧面 全等 的棱锥
全等的 等腰三角形
名称 棱台 正棱台
图形
结构特征
侧面的形状
用一个平行于 棱锥底面
的平面去截棱锥，底面
梯形
与截面之间的几何体
[一点通] 对于棱柱，不要只认为底面就是上、下 位置，如本题，底面可放在前后位置．只有理解并掌握 好各种简单多面体的概念，以及相应的结构特征，才不 至于被表面假象所迷惑，从而对问题作出正确的判断．
3．下列几何体中棱柱的个数为
()
A．5
B．4
C．3
D．2
解析：①③是棱柱，②④⑤⑥不是棱柱．
答案：D
问题2：在上面图形中，(2)、(5)、(7)、(9)具有什么特征？ 提示：它们都是由多个平面多边形围成的几何体，与其 他的几何体有着本质的区别．
1．旋转体：一条平面曲线 绕着它所在的平面内的 一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面； 封闭的 旋 转面围成的几何体叫作旋转体．
2．几种简单旋转体
名称
定义
圆锥、线为旋转轴，其余各
圆台 边旋转而形成的曲面
所围成的几何体分别
叫作圆柱、圆锥、圆
台
图形表示
相关概念
高：在旋转轴 上这条边的
长度
底面：垂直于 旋转轴 的边
旋转而成的 圆面
侧面：不垂直于旋转轴 的
边旋转而成的曲面
母线：不垂直于旋转轴的边
旋转，无论转到什么位置都
叫作侧面的母线
名称
定义
图形表示
相关概念
1．多面体：把若干个平面多边形 围成的几何体叫作 多面体，其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．
2．棱柱 (1)定义：两个面 互相平行，其余各面都是 四边形 ， 并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行 ，这些面围 成的几何体叫棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的 底面 ， 其余各面叫作棱柱的的 侧面 ．
等的圆
过轴的截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面
2．棱柱的性质有 (1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形． (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形， 如图①所示．
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如 图②所示．
3．棱锥的性质有 (1)侧棱有公共点即棱锥的顶点，侧面都是三角形． (2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.
分别以矩形的 一边、
高：在 旋转轴 上这条边
直角三角形的一条直 角边、直角梯形垂直 圆柱、于底边的腰所在的直 圆锥、线为旋转轴，其余各
的长度
底面：垂直于旋转轴的 边旋转而成的 圆面 侧面：不垂直于旋转轴
圆台 边旋转而形成的曲面
的边旋转而成的曲面
所围成的几何体分别
母线：不垂直于旋转轴的
叫作圆柱、圆锥、圆
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．0
B．1
C．2
D．3
[思路点拨] 解答时可根据旋转体的概念和性质， 具体分析.
[精解详析] ①应以直角三角形的一条直角边所在 直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边 所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图1，故①错；② 以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可 得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋 转轴旋转得到的几何体如图2，故②错；③用平行于圆锥 底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用 不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错；④正确．
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，错误的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①显然是正确的；对于②，显然一个图形要成为空 间几何体，则它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成 一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成 四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面 必是三角形，故②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的 直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一 个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线 均相交于同一点，故③是正确的． 答案：A
[例3] 观察图中的组合体，分析它们是由哪些简单几 何体组成的，并说出主要结构特征．(面数，顶点数，棱数)
[思路点拨] 认真分析所给几何体的结构，结合组 合体的特征和构成形式说明组合体的构成．
[精解详析] 图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底 面上向内挖去一个三棱柱形成的组合体，它有9个面， 14个顶点，21条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征. 图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合 的四棱锥组合而成的组合体，它有9个面，9个顶点， 16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征． 图(3)是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底重合的 三棱台组成的组合体，它有9个顶点，8个面，15条棱， 具有三棱柱和三棱台的结构特征．
(3)过不相邻的两侧棱的截面是三角形，如图②所示．
4．棱台的性质有 (1)侧棱延长后交于一点，侧面是梯形． (2)两底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.
(3)过不相邻的两侧棱的截面是梯形，如图②所示．
5．柱、锥、台间的关系可用下面图示表示
[例1] 下列叙述正确的个数是
()
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其
中正确的序号是
.
解析：球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的， 因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线 段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截 它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到 一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体， 所以④错误． 答案：①
以半圆的直径 所在的直
线为旋转轴，将半圆旋
球 转所形成的曲面 叫作 球面，球面 所围成的几
何体叫作球体，简称球
图形表示
相关概念
球心：半圆的 圆心
球的半径：连接球心 和球面上任意一点的
线段球的直径：连
接球面上两点并且过
球心的线段
名称
定义
分别以矩形的一边 、
直角三角形的一条直
角边、直角梯形垂直
圆柱、于底边的腰所在的直
2．圆柱、圆锥、圆台、球的共性 圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是 由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直 线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．
3．组合体的构成 (1)组合体包括简单几何体的拼接和截去(或挖除)两种 类型
的任意两条母线所在的直线都是互相平行的
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
解析：圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的连线， 不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的边”．故① ③错误，②④正确． 答案：D
2．有下列说法：
①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转
一周形成的旋转体；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
立
简
体
单Baidu Nhomakorabea
几
几
何
何
初
体
步
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二 考点三
在我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不 同的几何结构特征．观察下面的图片，回答下列问题．
问题1：从“形”的角度入手，观察它们的表面，可以怎 样分类？为什么这样分类？
提示：(1)、(3)、(4)、(6)、(8)、(10)、(11)、(12)属于一 类，它们可以看成是由某平面图形绕某条直线旋转而成， 它们的表面中有一“面”为曲面．
[例2] 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱 柱？为什么？ (2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分 形成的几何体还是棱柱吗？如果是，判断是几棱柱并找出 棱柱的底面；如果不是，请说明理由．
(3)几何体A1EFD1－ABCD是棱台吗？
[思路点拨] 利用棱柱的定义进行判断． [精解详析] (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体 相对的两个面作底面它们互相平行且都是四边形，其余各面 都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行． (2)截面BCFE右上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中 △BEB1和△CFC1是底面． 截面BCFE左下方部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四边形 ABEA1和DCFD1是底面． (3)因为AA1，DD1不相交，所以AA1，DD1，BE，CF延长 后不交于一点，因此不是棱台．