中学自主招生考试数学试卷(含答案)
数学初三自主招生试卷答案
一、选择题1. 下列选项中，不是实数的是（）A. -3B. √4C. 2πD. -π/2答案：D解析：实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无理数不能表示成分数。
A、B、C选项均为实数，而D选项为无理数。
2. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = x^2B. y = √xC. y = 1/xD. y = log2x答案：A解析：函数的定义域是指函数自变量x可以取的值的集合。
A选项中，x可以取任意实数；B选项中，x必须大于等于0；C选项中，x不能为0；D选项中，x必须大于0。
因此，只有A选项的定义域为全体实数。
3. 下列等式中，正确的是（）A. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a+b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a-b)^2 = a^2 + 2ab - b^2答案：B解析：利用平方公式，可得(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2。
因此，B选项正确。
4. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > 4 且 x > 2B. 2x > 4 或 x > 2C. 2x < 4 且 x < 2D. 2x < 4 或 x < 2答案：D解析：根据不等式的性质，A、B选项表示x大于2，C选项表示x小于2，而D选项表示x小于2。
因此，D选项正确。
二、填空题5. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。
答案：1解析：将x=-1代入函数f(x)，得f(-1) = 2(-1) + 3 = 1。
6. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。
答案：29解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
代入已知条件，得第10项的值为29。
7. 已知圆的半径为5，求圆的面积。
2023年温州中学自主招生数学试题含答案
2023年温州中学自主招生数学试题2０23．4一试一、选择题:本大题共8题，每题4分,共３2分．在每题给出旳旳四个选项中,只有一项是符合题目规定旳．1.已知b a >，则下列结论对旳旳是 ( ) Ａ． 22b a > B. 33a b > C.b a 11< D. 1>ba２.用黑白两种颜色旳正六边形地面砖拼成若干个图案,规律如下图所示,则第２010个图案中，白色地面砖旳块数是A ．80４２ﻩB ．803８ﻩﻩC ．4０24 ﻩﻩＤ．6033３.有关x 旳整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中,若a b +是偶数,c 是奇数,则（ )Ａ.方程没有整数根 B ．方程有两个相等旳整数根 C ．方程有两个不相等旳整数根 D ．不能鉴定方程整数根旳状况 4．如图所示,一种33⨯旳方格中，每一行，每一列,及每一对角线上旳三个数之和都相等,则x 旳值是( )Ａ.6 B.7 Ｃ.8 D.95.若10010321⨯+⨯+=a a a x ，10010654⨯+⨯+=a a a y 且736=+y x ,其中正整数7９ x6i a 满足71≤≤i a ,)6,5,4,3,2,1(=i ,则在坐标平面上),(y x 表达不一样旳点旳个数为（ )ﻩﻩＡ.60ﻩ B.９0ﻩ Ｃ．11０ﻩ Ｄ.1206．气象台预报：“本市明天降水概率是８０%”,但据经验,气象台预报旳精确率仅为８0%，则在此经验下，本市明天降水旳概率为( )A.８4％ Ｂ.８0% C.６8% D.６4％ 7.设nnM 1723⨯+=，其中n 为正整数，则下列结论对旳旳是（ ) A ．有且仅有一种n ,使得M 为完全平方数 Ｂ.存在多于一种旳有限个n ,使得M 为完全平方数 C.存在无数个n ,使得M 为完全平方数 D.不存在n ，使得M 为完全平方数８.已知点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上移动，4AB =，则认为AB 直径旳圆．周．所扫过旳区域面积为( ） Ａ.π4 Ｂ． π8 C. 42+π D ． 46+π 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分. 9．若有关x 旳方程51122m x x ++=--无解,则______m =10.在Ｒt △ABC 中，C 为直角顶点，过点C 作ＡB 旳垂线，垂足为Ｄ,若A Ｃ、B Ｃ为方程0262=+-x x 旳两根，则AD ·BD 旳值等于１1．我们规定[]x 表达不超过x 旳最大整数，如:[ 2.1]3-=-，[3]3-=-，[2.2]2=。
2023年广东省深圳中学自主招生数学试卷+答案解析
一、填空题：本题共15小题，共702023-2024学年广东省深圳中学自主招生数学试卷分。
1.计算：______.2.计算：______.3.已知，且，设，其中m 和n 是两个互质的正整数，则______.4.已知实数x ，y 满足，则______.5.如图，已知中，，D 是AB 的中点，，则______.6.若反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和，则______.7.定义新运算：，例如：已知实数x 满足，则x 的最大值是______.8.如图，已知直线RS ，ST ，TR 都与相切，且，，，，的直径为，其中a 和b 都是有理数，则______.9.在平面直角坐标系中，由抛物线与x 轴所围出的区域内有______个整点横纵坐标都是整数的点边界上的点不计10.满足的全部实数x 的乘积等于______.11.如图所示为地板所铺瓷砖的一小部分.所有的瓷砖都是正方形，最小的正方形瓷砖是，次小的则是若以线段XY 为边长作正方形，则该正方形的面积为______12.已知三个非零实数x、y、z满足，则的值等于______.13.如图，在矩形ABCD中，，，若在AC，AB上各取一点M，N使的值最小，则这个最小值等于______.14.若正整数a、b、m满足且，则m的所有值之和等于______.15.一个的矩形ABCD，点P、Q、R、S分别为在AB、BC、CD、DA边上的点，如图所示.已知AP、PB、BQ、QC、CR、RD、DS、SA的长度都是正整数单位长，且PQRS为矩形，则矩形PQRS的面积的最大值是______.答案和解析1.【答案】308【解析】解：原式故答案为：分子、分母同时乘上和，再计算即可求解．本题考查了分母有理化，灵活运用二次根式的性质、掌握分母有理化的方法是解答本题的关键．2.【答案】972【解析】解：原式故答案为：根据特殊角的三角函数值、积的乘方法则计算即可．本题考查了实数的运算和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是关键．3.【答案】196【解析】解：解方程组，得，则，和n是两个互质的正整数，，，，故答案为：解方程组用含z的代数式表示出x、y，代入计算求出，根据质数的概念分别求出m、n，计算即可．本题考查的是质数和合数的概念、三元一次方程组的解法，正确由z表示出x、y是解题的关键．4.【答案】【解析】解：设，，原方程组可化为，由①可得：③，把③代入②可得：，解得：，把代入③得：，，，，，经检验，都是原方程的解．故答案为：根据换元法求出与的值，然后求出x和y的值，最后代入代数式求值．本题主要考查了分式方程的知识、换元法的知识、代数式求值的知识、二元一次方程的知识，难度不大，认真计算即可．5.【答案】40【解析】解：过B点作交AC的延长线于点E，，，，，为等腰直角三角形，AC：：DB，，，为AB的中点，，在中，，，，解得，故答案为：过B点作交AC的延长线于点E，可证明为等腰直角三角形，，再利用勾股定理可得，结合平行线分线段成比例定理可得，根据勾股定理可求解，进而可求解本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识的综合运用，利用更改的求解是解题的关键．6.【答案】625【解析】解：将点和分别代入，得：，再将点和分别代入，得：，，，，故答案为：首先将点A，B代入反比例函数的解析式得，再将点A，b代入一次函数的解析式得，，据此可得，然后再将代入求值的代数式即可得出代数式的值．此题主要考查了的反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是理解函数图象上的点都满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．7.【答案】4【解析】解：，，，，，，的最大值是故答案为：由新定义列出算式解方程即可．本题考查了解一元二次方程，新定义，解题的关键是由新定义列出算式．8.【答案】330【解析】解：如图，设直线RS，ST，TR都与相切于点A、点B、点C，则，，在中，，，，，连接OA、OB，则，，，，四边形OASB是正方形，，设，则，，，即，，，直径为，的直径为，即，，，故答案为：根据切线的性质，切线长定理以及正方形的性质进行计算即可．本题考查切线的性质，正方形的性质，掌握切线长定理以及正方形的性质是正确解答的前提9.【答案】14【解析】解：抛物线，令，即，解得从图中可以看出，抛物线与x轴所围出的区域内的整点有，，，，，，，，，，，，，故答案为：根据抛物线求出与x轴的交点，再利用图象找到整点即可．本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．10.【答案】594【解析】解：当时，原式化简为：，，算式不成立；当时，原式化简为：，，；当时，原式化简为：，，；当时，原式化简为：，，；当时，原式化简为：，，算式不成立，故答案为：分情况计利用方程解出x的值，再将x的值相乘即可．本题考查了方程的解答，绝对值的性质的应用是解题关键．11.【答案】400【解析】解：如图：图中的四边形均为正方形，且最小正方形的边长为1cm，次小正方形的边长为3cm，，则，，，，，，，在中，，，由勾股定理得：，以线段XY为边长作正方形，则该正方形的面积为故答案为：依题意得，则，，进而得，，，由此得，，然后在中由勾股定理得，据此可得出答案．此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解答此题的关键是准确识图，根据正方形的性质求出相关线段的长．12.【答案】600【解析】解：，，，，，，，故答案为：先化简得到，代入得到结论即可．本题考查了分式的化简求值，实数的运算，正确地求得是解题的关键．13.【答案】16【解析】解：如图，作点B关于直线AC的对称点，交AC与E，连接，过作于G，交AC于F，由对称性可知，，，的最小值为的长；在中，，，由勾股定理，得，点B与点关于AC对称，，，，，，，又，∽，，，的最小值是故答案为：作点B关于直线AC的对称点，交AC与E，连接，过作于G于点F，再由对称性可知，因此求出的长即可．本题考查轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，面积法，根据题意作出辅助线是解题的关键．14.【答案】27【解析】解：①，②，①②，得，因式分解，得，，b均为正整数，且或，，或，，，或，或，或，的所有值之和等于第11页，共11页故答案为：根据已知条件①，②得到，因式分解得到，由于a ，b 均为正整数，于是得到或，求得，或，根据求得或，即可求得m 的所有值之和等于本题考查了因式分解的应用，正确的理解题意得到是解题的关键．15.【答案】150【解析】解：根据题意：设，，，，由∽，则，，又因为a ，b 是正整数，故，24，33，40，45，48，49，得，15，则或9，即有，，，，，，150，150，102，即：故答案为：如图，根据矩形的性质，可知∽，得到a ，b 的关系式，再由题意a ，b 是正整数，得到的的整数解，从而求出矩形PQRS 的面积，取最大值．本题主要考查了矩形的基本性质，相似三角形的判定和性质，求二元方程组的整数解及三角形的面积等知识的运用，是一个综合性较强的题目，在图形中找出相似三角形是解题的关键．。
2024年省示范高中自主招生素质检测数学试题及参考答案
学校姓名考场座位号2024年自主招生素质检测数学试题注意事项:1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟㊂2.全卷包括 试题卷 (4页)和 答题卡 (2页)两部分㊂3.答题一律要求用0.5m m 黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷,作图题使用2B 铅笔作答,考试不使用计算器㊂4.考试结束后,请将 试题卷 和 答题卡 一并交回㊂一㊁选择题:共10小题,每小题5分,共50分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂1.由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,现拿走一个小立方体,得到几何体的主视图与左视图均没有变化,则拿走的小立方体是A .①B .②C .③D .④2.黄山景色绝美,景观奇特. 五一 假期,黄山风景区进山游客近13万人,黄山景区门票旺季190元/人,以此计算, 五一 假期黄山景区进山门票总收入用科学计数法表示为A .0.247ˑ107B .2.47ˑ107C .2.47ˑ108D .247ˑ1053.下列因式分解正确的是A .2x 2+y 2+4x y =(2x +y )2B .x 3-2x y +x y 2=x (x -y )2C .x 2-(3y -1)2=(x -1+3y )(x +1-3y )D .a x 2-a y 2+1=a (x +y )(x -y )+14.已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线y =a x 2-3x +3上两点,当a -x 1-x 2=2时,y 1=y 2,则该抛物线与坐标轴的交点个数为A .3个或0个B .3个或1个C .2个或0个D .2个5.若关于x 的不等式组x +2a <03x +a <15的解集中的任意x 的值,都能使不等式x -4<0成立,则实数a 的取值范围为A .a <-3B .a <-2C .a ȡ-2D .a ȡ36.如图,已知әA B C 中,A D 为øB A C 的平分线,A B =8,B C =6,A C =10,则D C 的值为A .10B .2C .5D .17.如图,B (-2,0),C (4,0),且B E 所在的直线与A C 垂直,øA C B -øB A O =45ʎ,连接O D ,若射线O D 上有一点M ,横坐标为6,则әB O M 的面积为A .3B .6C .23D .728.定义:用M a ,b ,c 表示这三个数的中位数,用M i n {a ,b ,c }表示这三个数的最小数.例如:M {-1,12,0}=0,M i n {-1,12,0}=-1.如果M {4,x 2,2x -1}=M i n {4,x 2,2x -1},则x 的值为A .2或-2B .1或12C .2或12D .1或529.如图,әA B C 中,A B =B C ,øB =120ʎ,E 为平面内一点,若A E =3,C E =2,则B E 的值可能为A .2.5B .3C .0.3D .0.510.如图,直线A B :y =13x +b 与反比例函数y =kx相交于点A (3,5),与y 轴交于点B ,将射线A B 绕点A 逆时针旋转45ʎ,交反比例函数图象于点C ,则点A ㊁B ㊁C 构成的三角形面积为A .12B .1110C .232D .554二㊁填空题:共4小题,每小题5分,共20分㊂11.某市为改善市容,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均绿地面积的增长率为.12.若x 9+x 8+ +x 2+x +1=0,则x 的值为.13.定义:对于函数y =l g x (x >0),y 随x 的增大而增大,且l g 10=1,l g xy=l g x -l g y ,l g x y =l g x +l g y .若1a +5b =5,则l g a +l g b 的最大值为.14.已知二次函数y =2x 2+b x +c 图象的对称轴为直线x =34,且过点(3,10),若其与直线y =3交于A ㊁B 两点,与直线y =x +5交于P ㊁Q 两点,则P Q 2A B值为.三㊁解答题:共5题,共80分㊂解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤㊂15.(12分)(1)若13a +25b =1,23a +35b =3,求a 2-b 2+8b -172025;(2)先化简再求值:m +2m -m -1m -2ːm -4m 2-4m +4,其中m =2s i n 30ʎ㊃t a n 45ʎ-32t a n 30ʎ.16.(12分)请按以下要求完成尺规作图.(1)如图1,菱形A B C D 中,点P 在对角线B D 上,请作出一对以B D 所在直线为对称轴的全等三角形,使交B A 于点M ,交B C 于点N ,әP B M ɸәP B N .你有几种解法?请在下图中完成;(保留必要作图痕迹,不写作法)(2)如图2,点P 是菱形A B C D 内部一点,请作出一条过点P 的直线,交射线B A ㊁射线B C 于点M ㊁N ,且B M =B N ,聪明的你肯定有多种不同作法?请在下图中完成两种作法,并选择其中一种证明:B M =B N .(保留必要作图痕迹,不写作法)17.(15分)如图,直角三角形A B C中,以直角边A B为直径作圆交A C于点D,过点D作D MʅA B于点M,E为D M的中点,连接A E并延长交B C于点F,B F=E F.(1)求证:C F=B F;(2)求t a nøD E F;(3)若D F=2,求圆的面积.18.(19分)已知四边形A B C D,A B=4,点P在射线B C上运动,连接A P.(1)若四边形A B C D为正方形,点M在A P上,且øA D M=øA P D.请判断A M㊁A P㊁A C之间数量关系,并说明理由;(2)若四边形A B C D为菱形呢?øB=60ʎ,其他条件与(1)同,则(1)中的结论还成立吗?并说明理由;(3)若四边形A B C D为正方形,将线段A P绕点P顺时针旋转90ʎ于P Q,此时D Q的最小值为多少?A Q+D Q的最小值呢?并说明理由.19.(22分)已知抛物线y=a x2+b x+c的顶点坐标为A(1,4),与x轴交点分别为点B㊁C(点B在点C 左侧),与y轴交点为D,一次函数y=k x+4(k>0)与x轴所形成的夹角的正切值为4,方程k x+4=a x2+b x+c有两个相等的实数根.(1)求该抛物线的解析式;(2)点M是该抛物线上一动点,则在抛物线对称轴上是否存在点N,使得以A㊁B㊁M㊁N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的点N坐标及该平行四边形的面积;若不存在,请说明理由;(3)若将该抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位得到抛物线y',点D关于x轴的对称点为D',若过点D'的直线与y'交于P㊁Q两点(点P在点Q左侧),点Q关于y轴的对称点为Q',若әP Q O与әP Q Q'面积相等,求直线P Q的解析式.2024年自主招生素质检测数学参考答案选择题:共10小题,每小题5分,满分50分㊂题号12345678910答案CBCBCABDAD填空题:共4小题,每小题5分,满分20分㊂11.20% 12.-1 13.1 14.2654.ʌ解析ɔ x 1+x 2=a -2,抛物线的对称轴x =--32a,ʑ32a =a -22⇒a 2-2a -3=0⇒(a +1)(a -3)=0⇒a 1=-1,a 2=3,ʑ①当a 1=-1时,y =-x 2-3x +3,Δ=9+12>0,与坐标轴的交点个数为3个;②当a 2=3时,y =3x 2-3x +3,Δ=9-4ˑ3ˑ3<0,与坐标轴的交点个数为1个.5.ʌ解析ɔ x <-2a ,x <15-a 3,①-2a >15-a 3,解得a <-3,ʑx <15-a 3,ȵx <4,ʑ15-a 3ɤ4,解得a ȡ3(舍去);②-2a ɤ15-a 3,解得a ȡ-3,ʑx <-2a ,ȵx <4,ʑ-2a ɤ4,解得a ȡ-2.6.ʌ解析ɔ 由角平分线定理S әA B D S әA C D =A B ㊃h A C ㊃h =45=B D D C ,ʑ45=6-D C D C ,解得D C =103.7.ʌ解析ɔ øB E O =øB A E +øA B E ,øA C B =øB A O +45ʎ,R t әB O E ʐR t әB D C ,ʑøB E O =øA C B ,ʑøA B D =45ʎ,则әA B D 为等腰直角三角形,A D =B D ,ʑR t әA E D ɸR t әB C D ,ʑA E =B C ,S әA E D =S әB C D ,ʑh 1=h 2,ʑ点D 在øA O C 的角平分线上,M (6,6),S әB O M =2ˑ62=6.8.ʌ解析ɔ 由图像知x 2=2x -1,解得x =1;或2x -1=4,解得x =52.9.ʌ解析ɔ 设B E =x ,将әA B E 绕B 点顺时针旋转120ʎ到әC B E ',C E '=A E =3,øE B E '=120ʎ,B E =B E '=x ,易得E E '=3x ,在әC E E '中,C E '-C E <E E '<C E '+C E ,即3-2<3x <2+3,解得33<x <533.10.ʌ解析ɔ 由题知,直线y =13x +b 与反比例函数y =k x相交于点A(3,5),则13ˑ3+b =5,解得b =4,k =15,法一:直线A C 与y 轴交于点M ,从M 点作直线A B 的垂线,垂足为N ,A M =(m -5)2+32,MN =(4-m )s i n θ=(4-m )310,A M =2MN ,ʑ(m -5)2+9=95(m -4)2⇒5(m -5)2+45=9(m -4)2,2m 2-11m -13=0⇒(2m -13)(m +1)=0,ʑm =132(舍)或m =-1,直线A C 的方程为y =2x -1.2x -1=15x ⇒2x 2-x -15=0⇒(2x +5)(x -3)=0,解得x 1=-52,x 2=3,ʑ点C (-52,-6),S әA B C =5ˑ(3+52)2=554.法二:易知l A B :y =13x +4,设l A C :y =k 2x +b ,由倒角公式得t a n 45ʎ=k 2-k 11+k 1k 2=k 2-131+13k 2=1,k 2-13=13k 2+1,两边平方得k 2=2或k 2=-12(舍),又l A C 过点A ,ʑl A C :y =2x -1(与y 轴交点为M ),与y =15x 联立得x C =-52,ʑS әA B C =12BM |x A -x C |=554.12.ʌ答案ɔ -1ʌ解析ɔ 若x =0,等式不成立,则x ʂ0,等式两边同乘x ,ʑx 10+x 9+x 8+ +x 2+x =0⇒x 10-1=0⇒x 10=1,解得x =ʃ1.当x =1时,等式不成立;当x =-1时,等式成立.13.ʌ解析ɔ l g a +l g b =l ga b ,即求a b 的最大值,12a +54b ȡ212a ㊃54b =258a b ,258a b ɤ5⇒a b ɤ10.14.ʌ解析ɔ 由题知,-b 4=34,解得b =-3,抛物线过点(3,10),代入数据解得c =1,抛物线y =2x 2-3x +1,当y =3时,2x 2-3x +1=3,解得x 1=-12,x 2=2,A B =52,当y =x +5时,2x 2-3x +1=x +5⇒x 2-2x -2=0⇒x 3+x 4=2,x 3x 4=-2,(x 3-x 4)2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4=12,P Q =(1+k 2)(x 3-x 4)2=26,P Q 2A B =265.15.(12分)ʌ解析ɔ (1)13a +25b =1, ①23a +35b =3, ②①+②得a +b =4,(2分) a 2-b 2+8b -17=(a +b )(a -b )+8b -17=4a -4b +8b -17=4a +4b -17=-1,(4分)a 2-b 2+8b -17 2025=-1.(6分)(2)原式=m +2m -m -1m -2㊃(m -2)2m -4=m 2-4-(m 2-m )m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -4m (m -2)㊃(m -2)2m -4=m -2m,(8分)m =2ˑ12-32ˑ33=12,(10分) ʑ原式=12-212=-3.(12分) 16.(12分)ʌ解析ɔ (1)提示:作P M ㊁P N 分别垂直于A B ㊁A C ,如图1;(2分)过P 点作MN 垂直于B D ,如图2;(4分)P 作E F ʊB C A B 于点E C D 于点F E M =E P M P 交B C 于点N作法二:先作B M '=B N ',交A B 于点M ',交B C 于点N ',连接M 'N ',将直线M 'N '平移过点P ,交A B 于点M ,交B C 于点N ,即MN 为所求直线,如图4;(8分)选择作法一证明:ȵE M =E P ,ʑøE M P =øE P M ,ȵE F ʊB C ,ʑøE P M =øB NM ,ʑøE M P =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)选择作法二证明:ȵB M '=B N ',ʑøB M 'N '=øB N 'M ',M 'N 'ʊMN ,ʑøB MN =øB M 'N ',øB NM =øB N 'M ',ʑøB MN =øB NM ,ʑB M =B N .(12分)(作法不限,合理即可)17.ʌ解析ɔ (1)ȵD M ʊB C ,ʑәA D E ʐәA C F ,әA E M ʐәA F B ,ʑA E A F =D E C F ,A E A F =E M B F,(2分) ȵD E =E M ,ʑC F =B F ;(4分)(2)取A B 的中点O ,即为圆心,连接O F ,设圆O 的半径为r ,延长A B 交D F 延长线于G ,由(1)知,F 为R t әB C D 中斜边B C 的中点,ʑD F =B F =E F ,ʑøF D E =øD E F =øA E M ,ȵøG +øG D M =øE A M +øA E M =90ʎ,则øG =øE A M ,ʑA F =F G ,在әA F G 中,F B ʅA G ,则A B =B G =2r ,A O =r ,O G =3r ,(6分)ȵO F ʊA C ,ʑO G A O =F G D F=3,即F G =3D F ,(8分) ȵD F =B F ,ʑF G =3B F ,ʑc o s øB F G =B F F G =13,ʑt a n øD E F =t a n øE D F =t a n øB F G =B G B F=22;(10分)(3)ȵD F =B F ,ʑB F =2,由(2)知,t a n øB F G =B G B F=22,ʑB G =42,(12分)ȵB G =2r ,ʑr =22.(13分)S 圆O =πr 2=8π.(15分)18.ʌ解析ɔ (1)A C 2=2A M ㊃A P .(2分)理由如下:如图1,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D ,ʑA D 2=A M ㊃A P ,在正方形A B C D 中,A D =22A C,ʑ(22A C )2=A M ㊃A P ,ʑA C 2=2A M ㊃A P .(6分)(2)(1)中的结论不成立.(7分) 理由如下:如图2,ȵøA D M =øA P D ,øD A M =øP A D ,ʑәA D M ʐәA P D ,ʑA D A P =A M A D,ʑA D 2=A M ㊃A P ,ȵ在菱形A B C D 中,øB =60ʎ,则B C =A B =A C =A D ,ʑA C 2=A M ㊃A P .(11分)(3)如图3,过点Q 分别作Q E ʅB C 的延长线于点E ,Q F ʅC D 于点F ,ʑQ F =C E ,设B P =m ,A P =Q P ʑR t әA B P ɸR t әP E Q ,则B P =Q E =m ,A B =P E =4,ȵC E +P C =B P +P C =4,ʑC E =B P =m ,在R t әD F Q 中,Q F =C E =m ,D F =C D -C F =4-m ,(15分) D Q 2=D F 2+Q F 2=(4-m )2+m 2=2m 2-8m +16=2(m -2)2+8,当m =2时,D Q 取得最小值,D Q m i n =22,(17分) 分析易知Q 在C D '上运动,作D 关于C D '的对称点C ',连接Q C ',则(A Q +D Q )m i n =(A Q +Q C ')m i n =A C '=42+82=45.(19分) 19.ʌ解析ɔ (1)由题可知k =4,ʑy =4x +4(2分) 2的顶点坐标为A y =a x -12即4x +4=a (x -1)2+4⇒a x 2-(2a +4)x +a =0有两个相等的实数根,ʑΔ=(2a +4)2-4a 2=0,解得a =-1,ʑ抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3;(5分)(2)设M 点坐标为(m ,-m 2+2m +3),N 点坐标为(1,n ),A (1,4),令-x 2+2x +3=0,解得x 1=-1,x 2=3,所以B (-1,0),C (3,0),(7分)若A B 为对角线,1-12=m +12,解得m =-1(舍去);若A M 为对角线,m +12=1-12,解得m =-1(舍去);若A N 为对角线,1+12=m -12,解得m =3;(9分) 4+n 2=0-m 2+2m +32,解得n =-4,此时M (3,0),N (1,-4),(10分)S ▱A B M N =4ˑ82=16;(12分) (3)由题可知,抛物线y '=-x 2,点D (0,3)关于x 轴的对称点D '(0,-3),直线P Q 过点D ',设直线P Q 的解析式为y P Q =k x -3,若k >0,如图1,S әP Q O =S әP Q Q ',则Q 'O ʊP Q ,则әQ 'H O ɸәQ H D ',所以O H =12O D '=32,H (0,-32),所以Q (62,-32),Q '(-62,-32),直线P Q 的解析式为y P Q =62x -3;(16分)若k <0,如图2,过点Q '作直线l ʊP Q ,取l 与y 轴交点M ,作O L ʅP Q 于点L ,MH ʅP Q 于点H ,所以O L ʊHM ,S әP Q O =S әP Q O ',所以O L =HM ,所以四边形O L MH 为平行四边形,则对角线互相平分,所以M (0,-6),同理,әD 'K Q ɸәM K Q ',所以D 'K =K M =12D 'M =32,所以K (0,-92),(20分) 因为点Q 的纵坐标为-92,所以Q (322,-92),直线P Q 的解析式为y P Q =-22x -3.(21分)综上,直线P Q 的解析式为y P Q =6x -3或y P Q =-2x -3.分)。
初中自主招生试卷数学答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，不是有理数的是（）A. -3/5B. √4C. 0.618D. √(-1)答案：D解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数和有限小数。
√(-1)是虚数，不属于有理数。
2. 若a=2，b=-3，则a+b的值为（）A. 5B. -1C. -5D. 0答案：C解析：a+b=2+(-3)=-1，所以选C。
3. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）A. y=2x^2-3x+1B. y=3x+4C. y=√xD. y=x^3-2x+1答案：B解析：一次函数的形式为y=kx+b，其中k和b是常数。
只有选项B符合一次函数的定义。
4. 已知三角形ABC的三个内角分别为∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：C解析：三角形内角和为180°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。
5. 下列方程中，x=3是它的解的是（）A. 2x+1=7B. x^2-5x+6=0C. 3x-2=7D. x^2+2x+1=0答案：A解析：将x=3代入选项A，左边=23+1=7，右边=7，左边等于右边，所以x=3是方程2x+1=7的解。
二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知a+b=5，a-b=3，则a=（），b=（）答案：a=4，b=1解析：将两个方程相加得2a=8，解得a=4；将两个方程相减得2b=2，解得b=1。
7. 已知x^2-4x+4=0，则x的值为（）答案：x=2解析：这是一个完全平方公式，可以分解为(x-2)^2=0，解得x=2。
8. 已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，则AC的长度为（）答案：AC=8解析：根据勾股定理，AC^2=AB^2-BC^2，代入AB=10，BC=6，得AC^2=100-36=64，所以AC=8。
省级重点高中自主招生数学真题8套(含答案)
省重点高中自主招生数学真题8套（含答案）第1套一、选择题（每小题5分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分。
）1、已知实数a 、b 、c 满足0254=-+-+++a b c b a ，那么bc ab +的值为（ ） A 、0B 、16C 、－16D 、－32 2、设βα、是方程02322=--x x 的两个实数根，则βααβ+的值是（ ）A 、－1B 、1C 、32-D 、32 3、a 、b 、c 均不为0，若0<=-=-=-abc cxz b z y a y x ，则),(bc ab p 不可能在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4、在ABC ∆中，C B ∠=∠2，下列结论成立的是（ ） A 、AB AC 2= B 、AB AC 2< C 、AB AC 2> D 、AC 与AB 2大小关系不确定5、已知关于x 的不等式7<a x 的解也是不等式12572->-aa x 的解，则a 的取值范围 是（ ）A 、910-≥aB 、910->a C 、0910<≤-a D 、0910<<-a 6、如图，□ DEFG 内接于ABC ∆，已知ADE ∆、EFC ∆、DBG ∆的面积为1、3、1，那么□ DEFG 的面积为（ ） A 、32B 、2C 、3D 、4 第6题图二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知质数x 、y 、z 满足5719=-yz x ，则z y x ++= 。
2、已知点A （1，3），B （4，－1），在x 轴上找一点P ，使得AP －BP 最大，那么P 点的坐标是 。
3、已知AB 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线交直线AB 于点D ，则当△ACD 为等腰三解形时，∠ACD 的度数为 。
2024年海南省文昌中学自主招生数学试题(含答案)
2024年初中学业水平自主招生测试数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2.本场考试为考试时间为90分钟，请分配好时间。
3.本卷共14小题，满分120分。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔(Florence Nightingale 1820-1910)设计的，图中每个扇形圆心角都相等，半径长短表示数量大小.某机构统计了近些年中国知识付费用户数量(单位：亿人次)，并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是 A. 2015年至2022年, 知识付费用户数量逐年增加B. 2016年至 2022年, 知识付费用户数量的年增加量逐年递增C. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍D. 2017年至2018年, 知识付费用户数量增加量为近些年来最多2.若将函数y= cos x- 3sin x 的图象向左平移m (m>0)个单位长度后所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值为A. π3B. π6C.2π3D.5π63.我国古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上 B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧.若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角分别为(60°和20°,且BC=100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）(cos10°≈0.985)A. 49.25mB. 52.76mC. 56.74mD. 50.76m4.已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，例如，|(-3.5]=-4,[2,1]=2.，则以下选项错误的是（ ）A.[2x]=2[x] B.[x]<x<x+1C.[x]+[x+12]=[2x]D.x 2+14>[x]5.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（ ）(参考数据：lg 2≈0.3, lg 3≈0.48)A.第5代种子 B.第6代种子C.第7代种子D.第8代种子6．若实数m ，，满足，以下选项中正确的是（ ）0n >21m n +=A ．mn 的最大值为14B．的最小值为C．的最小值为D ．最小值为7．若实数满足，则下列选项错误的是（ ）A ．且B ．的最小值为9C ．的最小值为D ．8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”．若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷+答案
2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷1．202420252024202363030301030×+=−×____________．2x +=的正数解为____________．3．等腰ABC △的底边AC 长为30，腰上的高为24，则ABC △的腰长为____________．4．已知实数m ，n 满足2202410m m ++=，224200n n ++=且1mn ≠，则601n mn=+____________． 5．若x 为全体实数，则函数223y x x =−+与2243y x x =−+的交点有____________个． 6．若0abc ≠，1a b c b c c a a b++=+++，则222a b c b c c a a b ++=+++____________． 7．K 为ABC △内一点，过点K 作三边的垂线KM ，KN ，KP ，若3AM =，5BM =，4BN =，2CN =，4CP =，则2AP =____________．8．记a ，b ，c 的最小值为{}min ,,a b c ，若{}()min 41,2,24fx x x x =++−+的最大值为M ，则6M =____________．9．已知正方形OBAC ，以OB 为半径作圆，过A 的直线交O 于M ，Q ，交BC 与P ，R 为PQ 中点，若18AP =，7PR =，则BC =____________．10．若a ，b ，c ，d ，e 为两两不同的整数，则22222()()()()()a b b c c d d e e f −+−+−+−+−的最小值为____________．11．PA ，PB 分别为1O 和2O 的切线，连接AB 交1O 于C 交2O 于D ，且AC BD =，已知1O 和2O 的半径分别为20和24，则2180PA PB = ____________．12．已知a ，b ，c 正整数，且只要1111a b c ++<，则111m a b c ++≤，设m 的最小值为r s （r s 为最简分数），则r s +=____________． 13．对于任意实数x ，y ，定义运算符号*，且*x y 有唯一解，满足()()()***a b c a c b c +=+，0*()(0*)(0*)a b a b +=+，则20*24=____________． 14．已知正整数A ，B ，C 且A C >，满足222879897ABC BCA CAB ++=，则ABC =____________．15．等腰三角形边长均为整数，其的面积在数值上是周长的12倍，则所有可能的等腰三角形的腰长之和为____________．2024深圳中学自招答案一、填空题．1．【解析】原式20242025220242023630306303018090054301030301020×+×++===−×−．2．x +=，x =， ∴218232x x x =−， ∵0x >，∴223218x −=，解得：5x =，∴该方程的正数解为5x =．3．【解析】①若ABC △为锐角三角形，如图所示：设ABC △的腰长为x ，在ACD △中，18AD =，在BCD △中，222(18)24x x −+=，解得：25x =，∴ABC △的腰长为25；②若ABC △为钝角三角形，如图所示：在BCD △中，222(18)24x x −+=，解得：25x =（舍）， 综上所述：ABC △的腰长为25．4．【解析】由224200n n ++=得21120()2410n n+⋅+=，∵1m n ≠，∴m ，1n可以视为方程2202410x x ++=的两个实数根， ∴165m n +=−，∴60605011n mn m n ==++． 5．【解析】问题等价于方程2223243x x x x −+=−+的解的个数问题； ∴2240x x x +−=， 当0x ≥时，220x x −=，∴0x =或2x =；当0x <时，260x x −=，∴0x =或6x =（舍）； 综上所述：函数223y x x =−+与2243y x x =−+的交点有2个． 6．【解析】222()()a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b++++=+++++++++++， ∴222a b c a b c a b c b c a c a b++=++++++++， ∴2220a b c b c a c a b++=+++． 7．【解析】22222222()()KA KB KM AM KM BM AM BM −=−+=−， 同理可得：2222KB KC BN CN −=−，2222KC KA CP AP −=−，三式相加得：222222AM BN CP BM CN AP ++=++，∴222222.34452AP ++=++，解得212AP =．8．【解析】由题意作出以下图形：考虑24y x =−+与2y x =+的交点即可；联立242y x y x =−+ =+ ，解得2383x y = = ，∴83M =，∴616M =． 9．【解析】连接OP ，设AM x =，ACOC a ==， ∴18PM x =−，32QM x =−，由正方形的对称性：18OP AP ==，由圆幂定理：2AC AM AQ =⋅，22PM PQ OC OP ⋅=−，∴232a x =，2214(18)18x a −=−，∴214(18)3218x x −=−，解得：28823x =，∴BC ==．10．【解析】记1a b x −=，2b c x −=，3c d x −=，4d e x −=，5e a x −=，则1x 、2x 、3x 、4x 、5x 均为整数且不等于0，同时满足123450x x x x x ++++=，∴1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中存在偶数个奇数，若存在2个1，2个1−，1个2，则对于1x 、2x 、3x 、4x 、5x 构成的数环而言必有一个1与1−相邻，这是不符合要求的，否则存在两数相等；所以至少存在两个数的绝对值为1，3个数的绝对值为2，∴222221234514x x x x x ++++≥，对于(,,,,)(1,3,5,4,2)a b c d e =而言可以取到14，故其最小值为14．11．【解析】过1O 、2O 、P 分别作AB 的垂线，垂足依次为E 、F 、G ， ∴1190PAG O AE AO E ∠=°−∠=∠，2290PBG O BF BO F ∠=°−∠=∠，1122AE AG BD BF ===， ∴1APG O AE △∽△，2BPG O BF △∽△，∴1PA AO PG AE =，2PB BO PG BF =， ∴1122205246AO PA AO AE BO PB AO BF====，∴225180()180()1256PA PB =×=．12．【解析】不妨设a b c ≤≤，则2a ≥，当3a ≥时，1111111133412a b c ++≤++=； 当2a =时，11111112a b c b c ++=++<，∴1112b c +<，∴3b ≥， 当4b ≥时，1111111924520a b c ++≤++=， 当3b =时，1111114123742a b c ++≤++=， 即当(,,)(2,3,7)a b c =时，4142m =，83r s +=． 13．【解析】由(*)(*)(*)a b c a c b c +=+得*(*)(*)a b a c b c c =+−， ∴*(*)(*)*b a b c a c c a b =+−=，取0c =，则*(*0)(*0)(0*)(0*)0*()a b a b a b a b =+=+=+，对于0*()(0*)(0*)a b a b +=+，取0a b ==，得0*00=， 同时0*0(0*)(0*)0c c c =+−=，∴0*2c c =， ∴20*240*(2024)0*4422=+==．14．【解析】首先22228798971000ABC BCA CAB ++=<，∴A 、B 、C 均为一位数，且不为0，即从1到9，其次考虑末尾特点，222A B C ++的末尾为7，而完全平方数的末尾为014569，不考虑0，剩下14569，想要使得末尾为7，可以有1157++=或44917++=或56617++=或99927++=，由于A B C >>，故99927++=舍去（末尾为9的只有3、7两个），若满足1157++=，则对应的数为9、5、1，显然222951519195879897++>，舍去； 若满足56617++=，则对应的数为6、5、4，显然222654546465942057879897++=>，舍去； 若满足44917++=，则对应的数为8、3、2或8、7、2，计算222832328283879897++=符合题意；计算222872728287879897++>，舍去； 综上所述：832ABC =．15．【解析】设该等腰ABC △的腰为a ，底为b ．由题意：112(2)2b a b ×+，∴48(2)b a b +，∴b 2322304(2)ab b a b −=+， ∴33223042304246082(48)(48)b b b b a b b b ++=−+−，∴3230446082(48)(48)(48)(48)b b b a b b b b b +==++−+−， 记4608(48)(48)b k b b =+−，k 为正整数，∴222248480kb b k −×−=，∴2∆==×为完全平方数，m =（m 为正整数），∴22248m k −=，即2()()48m k m k +−=， 由于2824823=×，有(81)(21)27++=个因子，应该存在(271)2114−÷+=组，考虑到()m k +与()m k −应该同奇偶，故存在14311−=组，列举如下： ∴(,)(1152,2)m k m k +−=或(576,4)或(384,6)或(288,8)或(192,12)或(144,16)或(128,18)或(96,24)或(72,32)或(64,36)或(48,48)，∴(,)(577,575)m k =或)290,286(或)195,189(或)148,140(或(102,90)或(80,64)或(73,55)或(60,36)或(52,20)或(50,14)或(48,0)， 根据求根公式，224824848(48)2m m b k k ×+×+=， 代入检验可得：当(,)(102,90)m k =或(80,64)或(60,36)或(52,20)或(50,14)， 依次解得：80b =或96或144或240或336， ∵2a b k =+，∴2b k a +=，解得85a =或80或90或130或175， 综上所述：所有可能的等腰三角形的腰长之和为858090130175560++++=．。
安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷(含解析)
芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________依次类推,A.4 B.3C.2D.12．若正实数a ,b ,c 满足不等式组则a ,b ,c 的大小关系为( )A. B.C.D.3．若实数a ,b 满足等式( )4．在中,,,,连,则长的最大值是( )A.8B.9C.10D.115．已知三个实数,,它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7,则这样的三元数组共有_______组( )A.3B.4C.5D.66．如图,在中,,的中点,以为底边在其右侧作等要,使,连( )64,537,6112,4c a b c a b c a b c a b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩b ac <<b c a <<c b a <<c a b<<222a a -=-b =Rt ABC △90ABC ∠=︒2AB =BC =30ADB =︒CD CD 1x 2x 3x ()123,,x x x Rt ABC △90BAC ∠=︒sin B =AD ADE △ADE B ∠=∠=7．四边形中,,是其两对角线,是等边三角形,,,,则( )A. B. C. D.二、填空题8．已知19个连续整数的和为380,则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__________.9．已知__________.10．在实数范围内因式分解：__________.11．在平面直角坐标系中,点,,连,,若线段,分别交曲线于点D ,E （异于点B ）,若,则k 的值为__________.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上,使它们两两相外切,若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于__________.13．在菱形中,,点E ,F 分别在边,上,将沿着对折,使点A 恰好落在对角线上的点G ,若,,则的面积等于__________.14．对于任意不为0的实数a ,b ,c 定义一种新运算“#”：①;②,则关于x 的方程的根为__________.三、解答题15．回答下列问题（1）解方程：;（2）求所有的实数a ,使得关于x 的方程的两根均为整数.16．如图,点E 是正方形的边上一动点（异于C ,D ）,连,以为对角线作正方形,与交于点H ,连.ABCD AC BD ABC △6AD =10BD =8CD =ADC ∠=30︒45︒60︒75︒x =)()()()211232x x x x ++++=222234a b c ab bc ca -+-++=xOy ()4,0A (4,B OB AB OB AB (0,0)k y k x x=>>DE OB ⊥ABCD 60A ∠=︒AD AB AEF △EF BD 4DG =6BG =AEF △#1a a =()()###a b c a b c =()2#24x x =+()2224341615x x x x x =+-++-()221430x a x a --+-=ABCD CD BE BE BGEF EF BD AF（1）求证：A ,F ,C 三点共线;（2）若17．在平面直角坐标系中,抛物线经过点和,且在x 轴上截得的线段长为（1）求抛物线的解析式;（2）已知点A 在抛物线上,且在其对称轴右侧,点B 在抛物线的对称轴上,若是以为斜边的等腰直角三角形,求点A 的坐标;（3）将抛物线向左平行移动3个单位得到抛物线,直线与交于E ,F 两点,直线与交于G ,H 两点,若M ,N 分别为线段和线段的中点,连,求证：直线过定点.18．如图,等边内有一动点D ,是等边三角形（点B ,E 在直线两侧）,直线与直线交于点F .（1）判断的大小是否为定值？若是定值,求出其大小;若不是定值,请说明理由.（2）若,,求线段长的最小值.:1:CE DE =xOy 21:(0)C y ax bx c a =++>()0,3-()4,11-1C 1C 1C OAB △OB 1C 2C ()0y kx k =≠2C 2y x k=-2C EF GH MN MN ABC △CDE △AC BD AE AFC ∠5AB =3CD =AF参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。
2025年重点高中自主招生考试数学模拟试卷试题(含答案)
2025重点高中自主招生数学针对性模拟试卷（本试卷满分150分，时间2小时）一、选择题（每小题6分，共60分）1.若“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P ，则（）A.P=0B.0<P<1C.P=1P>12.下列命题中，真命题的个数是（）①一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形②对角线互相垂直且相等的四边形是菱形③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.方程()1112=--x x 的根共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.设{}d c b a ,,,max 表示d c b a ,,,中最大的数，则⎭⎫⎩⎨⎧-210,2,260tan 2,45cos 2max 0π=（）A.045cos 2 B.260tan 20- C.2π D.2105.若关于x 的方程012)14(2=-+++m x m x 的两根分别为1x 、2x ，且321=+x x ，则m =（）A.-1或21 B.-1或1C.21-或21 D.21-或16.如图，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 延长线上，BF=5CF,且四边形CDEF 是平行四边形，△BDE 与△ADE 的面积之和为7，则△ABC 面积为（）A.28 B.29 C.30 D.327.用数字0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位数共有（）A.64个 B.72个 C.96个 D.不同于以上答案8.已知y x ,是整数，则满足方程03432=---y x xy 的数对),(y x 共有（）A.4对B.6对C.8对D.12对9.如图，在△ABC 中，AC=BC=4，D 是BC 的中点，过A,C,D 三点的圆O 与AB 边相切于点A,则圆O 的半径为（）A.2B.5C.214D.714410.若关于x 的方程x k x =-23有三个不同解321,,x x x ，设,321x x x m ++=则m 的取值范围为（）A.2<m B.23->m C.20<<m D.223<<-m 二、填空题（每小题6分共36分）11.已知△ABC 中，BC=1，AC=2，AB=3,则△ABC 的内切圆半径为.12.若y x 、满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2454545yx xy y x xy ，则=+y x .13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22--=x x y 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 左边），点E 在对称轴MN 上，点F 在以点C（-1,-4）为圆心，21为半径的圆上，则AE+EF 的最小值为.14.已知直线)0(1>+=k kx y 与双曲线xy 2=交于A、B 两点，设A、B 两点的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，则=-+-)1()1(1221y x y x .15.若21≤---a x x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是.16.已知互不相等的正整数20321,,,,a a a a 满足202420321=+++a a a a ，设d 是20321,,,,a a a a 的最大公约数，则d 的最大值为.三、解答题（共54分）17.(12分）已知实数215-=a .（1）求a a +2的值；（2）求3223111aa a a a a +++++的值.18.(12分）已知一次函数)0(1)2(<+-=k x k y 的图象与y x 、轴分别交于点A、B.（1）若2-=k ，试在第一象限内直接写出点),(y x M 的坐标，使得A、B、M 三点构成一个等腰直角三角形；（2）设O 为坐标原点，求△OAB 的面积的最小值.19.(14分）如图，已知0120=∠AOB ,PT 切圆O 于T,A、B、P 三点共线，∠APT 的平分线依次交AT、BT 于C、D，连接BC、AD.(1)求证：△CDT 为等边三角形；(2)若AC=8，BD=2，求PC 的长.20.(16分）已知函数a x a x y -+-+=3)4(2.(1)若此函数的图象与x 轴交于点)0,()0,(21x B x A 、，且2021≤<≤x x ，求a 的取值范围；(2)若20≤≤x ，求y 的最大值；(3)记a x a x x f -+-+=3)4()(2，若对于任意的40<<a ，都能找到200≤≤x ，使t x f ≥)(0，求t 的取值范围参考答案：一、选择题：1-5CBBDC6-10ACBDD 二、填空题：11、2321-+12、913、2914、-415、31≤≤-a 16、817.（1）∵215-=a ，512=+∴a ，5)12(2=+∴a .4442=+∴a a ，12=+∴a a .(3)a a -=12，12)1()1(23-=--=-=-=∴a a a a a a a a .∴原式==++++-3321112aa a a a 122222112333-+=+=++a a a a a a a .当215-=a 时，原式=353)25(2152521511522152+=++-=-+-=--+-⨯.18.(1)当2-=k 时，52+-=x y ，满足题意的M 点有3个，分别为415,415(),215,5(),25,215(321M M M .(2)易求得)21,0(),0,12(k B kA --.k kk k OB OA S OAB 2212)2112(2121--=--=⋅=∴∆，0<k ，021>-∴k ，02>-k .有均值不等式得4)2(2122=-⋅-+≥∆k kS OAB ，当且仅当k k 221-=-，即21-=k 时，等号成立.∴△ABC 的面积的最小值为4.19.(1)证明：0120=∠AOB ，06021=∠=∠∴AOB ATB .∵PT 切⊙O 于T，∴∠BTP=∠TAP.∵PC 平分∠APT，∴∠APC=∠CPT.∵∠TCD=∠TAP+∠APC，∠CDT=∠BTP+∠CPT.∴∠TCD=∠CDT=00060260180=-.∴△CDT 为等边三角形.(3)解：设CT=DT=x ，∵∠TCD=∠CDT=∠BDP，∠BPD=∠CPT，∴△PCT∽△PDB.∴BDCTPD PC =①,∵∠DTP=∠PAC，∠APC=DPT,∴△ACP∽△TDP.∴PD PC TD AC =，∴TD AC BD CT =.∴xx 82=.∴4=x （负值舍去）.∴CD=DT=CT=4.由①得244=-PC PC ,解得PC=8.20.解：（1）∵0)2()3(4)4(22>-=---=∆a a a ，2≠∴a .①当a x x -==3,121时，则231≤-<a ，∴21<≤a ；②当1,321=-=x a x 时，则130<-≤a .32≤<∴a .综上所述，a 的取值范围为31≤≤a 且2≠a .(2)对称轴为直线24a x -=.分三种情况讨论：①当024<-a，即4>a 时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.②当2240≤-≤a，即40≤≤a 时，此时y 最大值在0=x 或2=x 处取得.（ⅰ）当242024a a --≥--时，则20≤≤a .此时，当0=x 时，a y -=3为最大值；（ⅱ）当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，当2=x 时，1-=a y 为最大值.③当224>-a，即0<a 时，当0=x 时，a y -=3为最大值.综上所述，当2<a 时，y 的最大值为a -3；当2>a 时，y 的最大值为1-a .(3)对称轴为直线24a x -=.∵40<<a ,∴2240<-<a.∴函数a x a x x f -+-+=3)4()(21在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-24,0a 上是减函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,24a 上是增函数.∴对任意的)4,0(∈a ，存在]2,0[0∈x 使得t x f ≥|)(|0可化为对任意的)4,0(∈a ，t f ≥|)0(|或t f ≥|)2(|或t af ≥-)24(有一个成立即可.即t a f f f ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧-max 24(||,)2(||,)0(|即可.①当242024a a --≥--时，则20≤≤a ，|)2(||)0(|f f ≥.∴a a a a f f t -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤3|2)2(||,3||24(||,)0(|max2max ，∴1)3(min =-≤a t .②当242024aa --<--时，则42≤<a ，此时，|)0(||)2(|f f >.1|4)2(||,1||24(),2(|max2-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤∴a a a a f f t .∴1)1(min =-≤a t .综上所述，t 的取值范围为1≤t .。
高中阶段自主招生考试数学试卷及参考答案
第2题乐清中学自主招生考试数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。
2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。
试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。
做在试题卷上无效。
3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。
4．答题过程不准使用计算器。
祝你成功! 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是，则A S S S 123<<B S S S 213<<C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是 A π－1 B π－2 C D4．由得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠ 为直角的点P 的个数是S S S 123、、121-π221-π第3题A 0B 1C 2D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2, 且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． 二次函数y ＝a x 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示， 那么化简的结果是______▲________.8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂 直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1， 则S正方形ABCD =▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案： （1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张11.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程： 已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．第10题第11题第7题第8题第12题读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答：▲．(2)作DE∥AB的目的是：▲．(3) 判断四边形ABED为平行四边形的依据是：▲．(4)判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是▲．(5)若题设中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？答▲．乐清中学自主招生考试数学标准答案题号 1 2 3 4 5 6答案 A D A C C A二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8．256 9．576或10．（1）13 （2）3n+1 （3）15250 11. a b ab12．(1)没有错误(2)为了证明AD∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义(5)不一定，因为当AD＝BC时，四边形ABCD是矩形三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。
2023年广东省深圳中学自主招生数学试卷与答案
2023年广东省深圳中学自主招生数学试卷1．（4分）＝．2．（4分）f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）2+（x﹣3）2+…+（x﹣21）2的最小值为．3．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝30°，BE＝AC，求AB+DE＝480时，DE的长度为．4．（4分）已知x，y为正整数，x＝7，求x+y＝．5．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点且DE⊥AC，求+100＝．6．（4分）如图，在半径为10的圆中，距圆心O点为20的A点做割线，交圆于BC两点，O点到BC距离为6，设AB为x，则（x+8）2＝．7．（4分）已知xy+x+y＝44，x2y+xy2＝484，则x2+y2＝．8．（4分）如图，两个同心圆，已知AB＝2，BC＝10，AX＝3，求XY＝．9．（4分）如图，由三个半圆和一个整圆构成，已知大半圆半径60，小半圆半径为30，则圆O的直径．10．（4分）若抛物线y＝x2+（2a+1）x+2a+的图象与x轴仅一个交点，则a4﹣a3﹣a+100的值为．11．（6分）若方程|x﹣10|+|x﹣40|﹣|x﹣20|＝a恰有三个解，则所有符合条件的a之和为．12．（6分）对于任意一个非负整数N，都定义有N*且＝N*+1，若0*＝0，100*＝20000，记P＝200*，则＝．13．（6分）已知正数a，b，c满足，若，则S＝．14．（6分）如图，已知正五边形ABCDE中，点P为线段AC上一点，且满足，直线BP交AE于点Q，设＝t，则60t2+7＝．15．（6分）若三角形的三边长均为正整数，且其面积与其周长的数值相等，则满足条件的三角形面积之和为．2023年广东省深圳中学自主招生数学试卷答案1．（4分）＝25．【分析】利用平方差公式把原式变形为，即可求解．【解答】解：＝＝＝＝＝25；故答案为：25．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算法则，理解相关知识是解答关键．2．（4分）f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）2+（x﹣3）2+…+（x﹣21）2的最小值为770．【分析】由f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）2+（x﹣3）2+⋯+（x﹣21）2＝21（x﹣11）2+770，然后根据二次函数的性质，求最值即可．【解答】解：f（x）＝（x﹣1）2+（x﹣2）2+（x﹣3）2+⋯+（x﹣21）2＝（x2﹣2⋅x+1）+（x2﹣2⋅2x+22）+⋯+（x2﹣2⋅21x+212）＝21x2﹣2（1+2+⋯+21）x+（12+22+⋯+212）＝＝21x2﹣462x+3311＝21（x﹣11）2+770，∵21＞0，∴当x＝11时，有最小值f（11）＝770，故答案为：770．【点评】本题考查了完全平方公式，二次函数的最值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．3．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝30°，BE＝AC，求AB+DE＝480时，DE的长度为120．．【分析】根据30°角正切值可求得，结合AB+DE＝480，即可列方程，求解即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝30°，，在Rt△BDE中，，即，∴，在Rt△ABC中，，即，故AB+DE＝3DE+DE＝4DE＝480，∴DE＝120．故答案为：120．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．4．（4分）已知x，y为正整数，x＝7，求x+y＝8．【分析】将等式进行因式分解，得到，求得xy＝7，即可求解．【解答】解：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴xy＝7，又x，y为正整数，则（x，y）＝（1，7）或（7，1），从而x+y＝8，故答案为：8．【点评】本题考查代数值求值、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．5．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点且DE⊥AC，求+100＝102．【分析】根据矩形性质得到，结合相似三角形的判定与性质求解即可得到答案【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝∠DAE＝90°，∵E为AB中点，∴，∵DE⊥AC，∴∠AFE＝∠DFA＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∠DAF＝∠CAD，∴△AEF∽△DAE，△ADF∽△ACD，∴，，∴AE2＝EF•ED，AD2＝AF•AC，∴，又AB2＝4AE2，BC2＝AD2，∴，∴；故答案为：102．【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的性质及射影定理，解题的关键是熟练掌握射影定理．6．（4分）如图，在半径为10的圆中，距圆心O点为20的A点做割线，交圆于BC两点，O点到BC距离为6，设AB为x，则（x+8）2＝364．【分析】连接OA，OC，过点O作OD⊥BC于D，依题意得：OA＝20，OC＝10，OD＝6，先由勾股定理求出CD＝8，则BD＝CD＝8，再由勾股定理得AD2＝OA2﹣OD2＝364，然后根据AB为x，BD＝8得x+8＝AB+BD＝AD，据此可得出答案．【解答】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥BC于D，如图所示：依题意得：OA＝20，OC＝10，OD＝6，在Rt△OCD中，OC＝10，OD＝6，由勾股定理得：CD＝8，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝8，在Rt△AOD中，OA＝20，OD＝6，由勾股定理得：AD2＝OA2﹣OD2＝364，∵AB为x，BD＝8，∴x+8＝AB+BD＝AD，∴（x+8）2＝364．故答案为：364．【点评】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，理解垂径定理，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．7．（4分）已知xy+x+y＝44，x2y+xy2＝484，则x2+y2＝440．【分析】设m＝xy，n＝x+y，然后解，即可得xy＝22，x+y＝22，再代入x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，即可作答．【解答】解：设m＝xy，n＝x+y，因为xy+x+y＝44，x2y+xy2＝484，所以，解得，即xy＝22，x+y＝22，把xy＝22，x+y＝22代入x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，得x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝484﹣44＝440．故答案为：440．【点评】本题考查了代数式求值，换元法解二元二次方程组，解一元二次方程及完全平方公式的运用，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．8．（4分）如图，两个同心圆，已知AB＝2，BC＝10，AX＝3，求XY＝5．【分析】连接BX，CY，根据圆内接四边形的性质得∠ABX＝∠AYC，由此可得△ABX和△AYC相似，进而得AB：AY＝AX：AC，然后根据AB＝2，BC＝10，AX＝3，得AC＝12，AY＝3+XY，由此得2：（3+XY）＝3：12，据此求出XY即可．【解答】解：连接BX，CY，如图所示：∵四边形BCYX内接于小圆，∴∠ABX＝∠AYC，又∠A＝∠A，∴△ABX∽△AYC，∴AB：AY＝AX：AC，∵AB＝2，BC＝10，AX＝3，∴AC＝AB+BC＝12，AY＝AX+XY＝3+XY，∴2：（3+XY）＝3：12，∴XY＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．9．（4分）如图，由三个半圆和一个整圆构成，已知大半圆半径60，小半圆半径为30，则圆O的直径40．【分析】设圆O的半径为r，由题意可知，OP⊥PQ，OP＝60﹣r，OQ＝30+r，利用勾股定理得到关于r的方程，解方程即可求得圆O的半径，进一步求得圆O的直径．【解答】解：如图，设圆O的半径为r，则OP＝60﹣r，OQ＝30+r，由题意可知，OP⊥PQ，则OP2+PQ2＝OQ2，∴（60﹣r）2+302＝（30+r）2，解得r＝20，∴圆O的直径为40．故答案为：40．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键．10．（4分）若抛物线y＝x2+（2a+1）x+2a+的图象与x轴仅一个交点，则a4﹣a3﹣a+100的值为101．【分析】由抛物线的图象与x轴仅一个交点，可得，则，解得：a2﹣a＝1，然后根据a4﹣a3﹣a+100＝a2（a2﹣a）﹣a+100＝a2﹣a+100，计算求解即可．【解答】解：∵抛物线的图象与x轴仅一个交点，∴，∴，解得：a2﹣a＝1，∴a4﹣a3﹣a+100＝a2（a2﹣a）﹣a+100＝a2﹣a+100＝1+100＝101，故答案为：101．【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，一元二次方程根的判别式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．11．（6分）若方程|x﹣10|+|x﹣40|﹣|x﹣20|＝a恰有三个解，则所有符合条件的a之和为50．【分析】令f（x）＝|x﹣10|﹣|x﹣40|+|x﹣20|，分段求出f（x）的解析式，进而画出f（x）的大致图象，方程|x﹣10|+|x﹣40|﹣|x﹣20|＝a恰有3个解，即可转化为y＝f（x）与y＝a 图象有3个交点．【解答】解：令f（x）＝|x﹣10|﹣|x﹣40|+|x﹣20|①当x≥40时，f（x）＝x﹣10+x﹣40﹣x+20＝x﹣30；②当20≤x＜40时，f（x）＝x﹣10﹣x+40﹣x+20＝﹣x+50；③当10≤x＜20时，f（x）＝x﹣10﹣x+40+x﹣20＝x+10；④当x＜10时，f（x）＝﹣x+10﹣x+40+x﹣20＝﹣x+30．综上由此可画出f（x）的图象如图所示，而a＝f（x）有3个解，∴y＝a与f（x）有三个交点，由图象可知a＝30或a＝20，∴a的值的和为50．【点评】此题考查了函数与方程的关系，解题的关键是通过数形结合，正确理解函数的图象与方程．12．（6分）对于任意一个非负整数N，都定义有N*且＝N*+1，若0*＝0，100*＝20000，记P＝200*，则＝600．【分析】依据题意，分别计算出N＝1，2，3的结果，得出N*＝N•1*+N（N﹣1），再根据100*＝20000得出1*＝101，从而求出P，进而得解．【解答】解：∵＝N*+1，∴（N+1）*+（N﹣1）*＝2N*+2．当N＝1时，2*+0*＝2•1*+2，即2*＝2•1*+2＝2•1*+1×2；当N＝2时，3*+1*＝2•2*+2＝2（2•1*+2）+2．∴3*＝2（2•1*+2）+2﹣1*＝3•1*+6＝3•1*+2×3；当N＝3时，4*+2*＝2•3*+2＝2（3•1*+6）+2．∴4*＝2（3•1*+6）+2﹣2*＝2（3•1*+6）+2﹣2*＝2（3•1*+6）+2﹣（2•1*+2）＝4•1*+3×4．……由此，可猜想N*＝N•1*+N（N﹣1）．∵100*＝20000，∴20000＝100•1*+100×99．∴1*＝101．∴P＝200*＝200•1*+199×200＝200×101+199×200＝60000．∴＝＝600．故答案为：600．【点评】本题主要考查了代数式的求值，解题时要熟练掌握并理解是关键．13．（6分）已知正数a，b，c满足，若，则S＝160．【分析】已知三个数的乘积，探索这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求得，，，，即可求解．【解答】解：令，，，则，∴（a﹣b）＝x（a+b），b﹣c＝x（b+c），c﹣a＝x（c+a），∴a﹣ax＝bx+b，b﹣bx＝cx+c，c﹣cx＝ax+a，∴a（1﹣x）＝b（1+x），b（1﹣x）＝c（1+x），c（1﹣x）＝a（1+x），∴，，，∴，∴（1+x）（1+y）（1+z）＝（1﹣x）（1﹣y）（1﹣z）整理，得x+y+z＝﹣xyz，∴，由可知，，∴，∴，从而，∴，同理，可得，，∴．故答案为：160．【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则求得x+y+z＝﹣xyz是解题的关键．14．（6分）如图，已知正五边形ABCDE中，点P为线段AC上一点，且满足，直线BP交AE于点Q，设＝t，则60t2+7＝67．【分析】作BF∥AE交AC于点F，证明△BFC∽△ABC，△AQP∽△BFP根据线段关系直接求解即可得到答案．【解答】解：如图，作BF∥AE交AC于点F，∵ABCDE为正五边形，∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∠BFA＝∠FAQ＝72°，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∵BF∥AE，∴∠CBF＝36°，BF＝CF，设AB＝AF＝1，BF＝CF＝x，∵∠BCF＝∠ACB，∠CBF＝∠CAB，∴△BFC∽△ABC，∴∴BF⋅AC＝AB⋅BC，∴x⋅（x+1）＝1，解得：或（舍去），∴，∴，又，∴，∴，∴，∵BF∥AE，∴△AQP∽△BFP，∴，∴，∴，∴，∴60t2+7＝60×1+7＝67．故答案为：67．【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，解题的关键是作出辅助线结合正五边形的性质找到相似三角形的条件．15．（6分）若三角形的三边长均为正整数，且其面积与其周长的数值相等，则满足条件的三角形面积之和为192．【分析】设三角形的三边长分别为a，b，c，面积为S，半周长为，由海伦公式．周长与面积相等的三角形应当满足，即4p2＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）．设a≤b≤c，，可得4＜（p﹣b）（p﹣c）≤12，即可求解．【解答】解：设三角形的三边长分别为a，b，c，面积为S，半周长为，由海伦公式．再由，可得：周长与面积相等的三角形应当满足，即4p2＝p（p﹣a）（p ﹣b）（p﹣c）．（1）∵，∴，同理，，∴（p﹣a）+（p﹣b）+（p﹣c）＝p，∴4[（p﹣a）+（p﹣b）+（p﹣c）]＝（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），即（2），设a≤b≤c，则有，∴，即（p﹣b）（p﹣c）≤12．又由（2）式有，即（p﹣b）（p﹣c）＞4．因此，4＜（p﹣b）（p﹣c）≤12．（3）由（3）式可知，p﹣c和p﹣b的乘积只能取5至12中的整数，若（p﹣c）（p﹣b）＝5，则（p﹣c，p﹣b）＝（1，5），代入（2）式可得，解得p﹣a＝24．故p＝（p﹣a）+（p﹣b）+（p﹣c）＝24+5+1＝30，30﹣a＝24，30﹣b＝5，30﹣c＝1，30﹣b＝5，30﹣c＝1，∴a＝6，b＝25，c＝29．类似地，若（p﹣c）（p﹣b）＝6，7，8，9，10，11，12时，可得（p﹣c，p﹣b，p﹣a）＝（1，6，14）＝（2，3，10）＝（1，8，9）＝（2，4，6）由此得到5个满足周长和面积值相等的整数边三角形为（a，b，c）＝（6，25，29），（7，15，20），（5，12，13），（9，10，17），（6，8，10）．其面积和为：60+42+30+36+24＝192．【点评】本题考查海伦公式，熟练运用海伦公式确定4＜（p﹣b）（p﹣c）≤12是解题的关键．。
安徽省宣城中学2023-2024学年新高一自主招生考试数学试题(原卷版)
数学试题本卷共分两大部分共计4页温馨提示：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.试卷包括试题和答题卷两部分.请务必在答题卷上答题，在试题卷上答题无效.3.考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回.第Ⅰ部分客观题（共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）1.已知实数a ，b ，则下列选项中正确的是（）A.若a b >，则22a b >B.若a b >，则22a b >C.若a b >，则22a b > D.若a b >，则11a b<2.若0x >，0y >，且32x y -=，则xy的值为（）A.1B.49C.94D.1或493.数20232023的个位数字为（）A.1B.3C.7D.94.平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，30B ∠=︒，2AB =，则BC 的取值范围为（）A.1BC <<B.4343BC << C.4BC << D.433BC <<5.关于x 、y 的二元二次方程2231xy x y +-=正整数解的组数为（）A .3组B.4组C.5组D.6组6.从0、1、2、3、4、5、6这七个数字中，取三个不同的数组成一个十位数字大于个位数和百位数的三位数，这样的三位数的个数为（）A.40B.48C.55D.707.已知实数a 、b 满足2310a a +-=，2310b b --=，且1ab ≠.则1a a b b++=（）A. B.C.4D.4-8.在凸四边形ABCD 中，22BC AB ==，60ABC ADC ∠=∠=︒，则BD 的最大值为（）A.1+B.C.1D.3第Ⅱ部分主观题（共110分）二、填空题（共10小题，每小题5分，共计50分）9.若关于x 的不等式组131223112x x x m ⎧->⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩有且仅有四个正整数解，则实数m 的取值范围为________.10.计算：()1cos 45sin 60π-︒+︒--=________.11.在实数范围内分解因式：2(1)(2)120x x x -+-=________.12.已知函数1k y x=-和2y x k =+，其中1k 、2k 均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为________.13.已知9290129(21)x a a x a x a x -=++++ ，则2468a a a a +++=________.14.已知22344420x y xy x ++-+=，则4(1)y x +=________.15.已知关于x 的方程|31|10x ax a +-+-=有两个不等实根，则实数a 的取值范围为________.16.如图，边长为3的正方形，,E F 分别是,BC CD 上两点，且AE BF =，连接,AE BF 交于点M ，若图中阴影部分面积是正方形面积的23，则ABM 的周长为________.17.如图，边长为6的正方形ABCD 中，E 在边AD 上，且3AD AE =，M 为CD 的中点，P 在线段BM 上，则EP 的最小值为________.18.如图，ABC 中，3BC =，4AC =，5AB =，,,D E P 分别为AB 边上三点，Q 在边AC 上，且DPC △和EQC 均为等边三角形.则APQ △边PQ 上的高为________.三、解答题（共5小题，每小题12分，共计60分.解答时请写出必要的步骤或文字说明）19.已知二次函数21y x ax =++（a 为常数）.（1）当3a =，0y =时，求32443x x x +++的值；（2）当12x -≤≤时，二次函数21y x ax =++的最小值为4-，求a 的值.20.在平面直角坐标系中，直线:l y tx m =+交曲线(0)ky x x=>于A 、B 两点，交x 轴于点C ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，且2DC OD =，连接BD.（1）若A 点的坐标为()1,2，求线段AB 的长；（2）若13t =-，且ABD 的面积为3，求k 的值.21.解下列关于x 、y 、z 的方程组：22233392999x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩.22.如图，圆内接四边形ABCD 中，G 为对角线AC 、BD 的交点，过点D 作//DE AB 交AC 于E ，且EG GA =，F 在线段GD 上，且AEB DEF ∠=∠，连接CF .（1）求证：DEF CAD ∽△△；（2）求证：ACB DCF ∠=∠.23.在平面直角坐标系中，直线l 与抛物线2:(0)y ax bx c a Γ=++≠交于()1,2A --、()5,4B 两点，点()3,2C -在抛物线上，P 是x 轴上一动点.（1）求直线l 和抛物线Γ的解析式；（2）如图1，D 为抛物线Γ上位于直线l 下方一动点，过D 作DE 垂直于x 轴交直线l 于E ，当线段DE 长度最大时，求PD PC -的最大值；（3）如图2，G 为抛物线Γ的顶点，y 轴上是否存在点M ，使得45CMG ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.。
自主招生数学初三试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…D. -3答案：D解析：有理数包括整数和分数，其中整数包括正整数、0和负整数。
选项D中的-3是一个负整数，因此属于有理数。
2. 若a+b=0，则a、b互为（）A. 相等B. 相邻C. 倒数D. 偶数答案：C解析：若a+b=0，则a=-b，即a和b互为相反数，它们的乘积为-1，因此互为倒数。
3. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=x^2B. y=2xC. y=1/xD. y=3x+2答案：C解析：反比例函数的一般形式为y=k/x（k≠0），其中k是常数。
选项C中的函数y=1/x符合反比例函数的定义。
4. 若m^2+n^2=5，且m+n=2，则m-n的值为（）A. 1B. 2C. √3D. -√3答案：C解析：由m+n=2，可得m=2-n，代入m^2+n^2=5中，得(2-n)^2+n^2=5，化简得2n^2-4n+4=5，即2n^2-4n-1=0。
解这个一元二次方程，得n=1或n=-1/2。
当n=1时，m=1；当n=-1/2时，m=5/2。
因此，m-n的值为√3。
5. 下列各式中，正确的是（）A. a^2+b^2=abB. (a+b)^2=a^2+b^2C. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2D. (a-b)^2=a^2-b^2答案：C解析：根据完全平方公式，(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，因此选项C是正确的。
二、填空题（每题5分，共25分）6. 若a+b=3，且a-b=1，则ab的值为______。
答案：4解析：由a+b=3和a-b=1，可得a=2，b=1。
因此，ab=2×1=4。
7. 若x^2-4x+3=0，则x的值为______。
答案：1或3解析：这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或者求根公式求解。
因式分解得(x-1)(x-3)=0，所以x=1或x=3。
2024初升高自主招生数学试卷(一)及参考答案
—1—2024初升高自主招生数学模拟试卷（一）1.方程43||||x x x x -=实数根的个数为（）A .1B .2C .3D .42.如图，△ABC 中，点D 在BC 边上，已知AB =AD =2，AC =4，且BD ：DC =2：3，则△ABC 是（）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形3.已知G 是面积为24的△ABC 的重心，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，则△DEG 的面积为（）A .1B .2C .3D .44.如图，在Rt △ABC 中，AB =35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC ，则△ABC 的周长为（）A .35B .40C .81D .845.已知2()6f x x ax a =+-，()y f x =的图象与x 轴有两个不同的交点(x 1，0)，(x 2，0)，且1212383(1)()1)(16)(16)a a x x a x a x -=-++----，则a 的值是（）A .1B .2C .0或12D .126.如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =a ，CD =b .若∠ADC =∠BFE ，且四边形ABFE 的面积与四边形CDEF 的面积相等，则EF 的长等于（）A .2a b+B .abC .2ab a b +D .222a b +—2—7.在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 平分∠ACB 交AB 于点E .若BE +CD =BC ，则∠A 的度数为（）A .30°B .45°C .60°D .90°8.设23a =，26b =，212c =.现给出实数a 、b 、c 三者之间所满足的四个关系式：①2a c b +=；②23a b c +=-；③23b c a +=+；④21b ac -=.其中，正确关系式的个数是（）A .1B .2C .3D .49.已知m 、n 是有理数，方程20x mx n ++=2，则m +n =.10.正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE =3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE +PC 的值最小，则PB =.11.已知x y ≠，22()()3x y z y z x +=+=.则2()z x y xyz +-=.12.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD =∠BCD =60°，∠CBD =55°，∠ADB =50°.则∠AOB 的度数为.13.两个质数p 、q 满足235517p q +=，则p q +=.14.如图，四边形ABCD 是矩形，且AB =2BC ，M 、N 分别为边BC 、CD 的中点，AM 与BN 交于点E .若阴影部分的面积为a ，那么矩形ABCD 的面积为.第12题图第14题图15.设k 为常数，关于x 的方程2223923222k k x x k x x k --+=---有四个不同的实数根，求k 的取值范围.—3—16.已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，并且满足1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，求x 的值.17.已知抛物线2y x =与动直线(21)y t x c =--有公共点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且2221223x x t t +=+-.(1)求t 的取值范围；(2)求c 的最小值，并求出c 取最小值时t 的取值.—4—18.如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，点E 在半径OA 上，点F 在半径OB 延长线上，且OE=BF ，直线CE 、CF 与⊙O 分别交于点G 、H ，直线AG 、AH 分别与直线CD 交于点N 、M .求证：1DM DN MC NC-=.参考答案。
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2015年温州中学自主招生素质测试数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．关于反比例函数4y x=的图象，下列说法正确的是（ ▲ ） A ．必经过点（1，1） B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．两个分支关于原点成中心对称2． 已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为（ ▲ ）A ．1-B ．1C ．2D ．33． 已知平面上的n 个点，任三个点都能构成直角三角形，则n 的最大值为（ ▲ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．如图1，AC 、BC 为半径为1的⊙O 的弦，D 为BC 上动点，M 、N 分别为AD 、BD 的中点，则ACB ∠sin 的值可表示为（ ▲ ）A ．DNB ．DMC ．MND ．CD5．已知甲盒中有若干个白球，乙盒中有若干个白球和黑球，白球和黑球的数量均多于3个．从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中．放入i 个球后，从甲盒中取1个球是白球的概率记为()1,2i p i =，则（ ▲ ） A ．12p p >，B ．12p p =， C ．12p p <， D ．以上均有可能6．已知5个实数12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤≤≤≤≤，且对任意的正整数(),15i j i j ≤≤≤，均存在k ()1,2,3,4,5k =，使得k a =j i a a -．① 10a =； ② 524a a =；③4223a a a =；④ 当15i j ≤≤≤时，i j a a +的可能值共有9个．则上述论断正确的有（ ▲ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．二元方程2233y x y x =+的正整数解的组数为（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．如图2，点F E D ,,分别是ABC ∆三边上点，且满足4CD DB =，4AE EC =，4BF FA =，AD 、BE 、CF两两分别交于1A 、1B 、1C ，若ABC ∆的面积为1，则111C B A ∆的面积为（ ▲ ）图1B图2A ．17 B ．316 C ．73 D ．1631 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．请将答案填在答题卷的相应位置． 9．设2015-a，2015+的小数部分为b ，则()()12a b -+的值 为 ▲ ．10．若实数b a ,满足122=+b a ，则},max{b a b a ++的最大值为 ▲ ．（其中},max{b a 表示b a ,中的较大者）11．6名儿童分坐两排，每排3人要求面对面而坐，但其中两个儿童不可相邻 ，也不可面对面，有 ▲ 种排法．12．如图3，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为棱11C D 的中点，点P 为平面11A BCD 上的动点，则1MP B P +的最小值为 ▲ ．13．若正实数c b a ,,满足c b a c b a ++=++2015111，则abca c cb b a ))()((+++的值为 ▲ ． 14．如图4是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式，那么所得的乘积是 ▲ ．15． 对于任意的102x ≤≤，有1ax b +≤，则对于任意的102x ≤≤，bx a +的最大值 为 ▲ ．×22图4图31A2015年温州中学自主招生素质测试数学试题答题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．在函数y=x的取值范围．17． 如图5，,,,M A B C 为抛物线2y ax =上不同的四点，()2,1M -，线段MC MB MA ,,与y 轴的交点分别为,,E F G ，且1EF FG ==，（1）若F 的坐标为()0,t ，求点B 的坐标（用t 表示）； （2）若AMB ∆的面积是BMC ∆面积的21，求直线MB 的解析式．.图518．如图6，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于点M ，点D 、E 分别为ABC ∆的内切圆在边AB 、AC 上的切点，点1I 、2I 分别为ABM ∆与ACM ∆的内心．求证：2212221I I EI DI =+．19．试求出所有的正整数k ，使得对一切奇数10n >，数165n n+均可被k 整除．图620．如图7，在ABC ∆中，AD 为边BC 上的高，AB DE ⊥于点E ，AC DF ⊥于点F ，EF 与AD 交于G 点，BEG ∆与CFG ∆的外心分别为1O 和2O ，求证：BC O O //21．O 2O 1DBC图7温州中学2014年自主招生综合素质测试笔试数学试题答题卷二、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DABCACAC二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．9． 2- ； 10． 5 ； 11． 384 ；12．32； 13． 2014 ； 14． 30096 ；15． 4三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．在函数246y x x =--中，求自变量x 的取值范围解：[][]2,06,8-U17． 如图，,,,M A B C 为抛物线2y ax =上不同的四点，()2,1M -，线段MC MB MA ,,与y轴的交点分别为,,E F G ，且1EF FG ==，（1）若F 的坐标为()0,t ，求点B 的坐标（用t 表示）； （2）若AMB ∆的面积是BMC ∆面积的21，求直线MB 的解析式.解：（1）∵()0,F t ，∴可设直线MB 的解析式为y kx t =+， 由点()2,1M -在抛物线2y ax =上得14a =，∴214y x = 由点()2,1M -在直线MB 上得12k t =-+ 将y kx t =+代入214y x =整理得：2440x kx t --=∴4M B x x t ⋅=-即24B x t -⋅=-，∴2B x t =，从而得2B y t =故所求点B 的坐标为()22,t t（2）（解法一）∵()0,F t ，∴()0,1E t -， ()0,1G t + 由（1）同理可得点()22(1),(1)A t t --，()22(1),(1)C t t ++2AMB S t t ∆=+，232CMB S t t ∆=++∵AMB ∆的面积是BMC ∆面积的21， ∴22322()t t t t ++=+，解得2t =或1t =-（舍去）∴12k = ∴所求直线MB 的解析式为122y x =+， （解法二）过点A 作y 轴的平行线分别交,MB MC 于,L H ， 由EF FG =得HL AL =，∴AMB HMB S S ∆∆=， 又∵2CMB AMB S S ∆∆=∴HBC HMB S S ∆∆= ∴点H 为MC 的中点，22A H M C x x x x ==+ 即4(1)22(1)t t -=-++解得2t =从而12k = ∴所求直线MB 的解析式为122y x =+ 18．如图，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于点M ，点D 、E 分别为ABC ∆的内切圆在边AB 、AC 上的切点，点1I 、2I 分别为与ABM ∆与ACM ∆的内心．求证：2212221I I EI DI =+．EDI 2I 1BCA解：设ABC ∆的内切圆在边BC 上的切点为F ，21,I I 在边BC 上的射影分别为Q P ,． 连接P I 1，Q I 2，M I 1，M I 2，F I 1，F I 2． 由内心性质知AC BA BC BP BF PF -+=-=2所以QF PM =易知M I M I 21⊥，从而I 1∆所以QI FQQ I PM MQ P I PF P I 2211===从而易得F I F I 21⊥，又D I F I 11=所以2221221EI DI I I +=．19．试求出所有的正整数k ，使得对一切奇数10n >，数165n n+均可被k 整除 解：()()()11111116516516165521161655n n n n n n n n ------+=+-⋅++=⋅-⋅++L L 故有21165n n +，故1,3,7,21k =均满足条件；下证，对于其他的正整数k 均不满足条件。
若1,3,7,21k ≠，但是有165n n k +， 则1111165k +，1313165k +，故有()()21111131316165165k +-+，即112315k ⨯。
显然，k 不能整除5，故只有231k 。
2311173=⨯⨯ 考虑11k =，()165250mod11nnn+≡⨯≡。
故只有1,3,7,21k =。
20．如图，在ABC ∆中，AD 为边BC 上的高，AB DE ⊥于点E ，AC DF ⊥于点F ，EF 与AD 交于G 点，BEG ∆与CFG ∆的外心分别为1O 和2O ，求证：BC O O //21．证明：延长AD 交ABC ∆的外接圆于H ，连接CH BH , 易知 F D E A ,,,四点共圆所以 AHB ACD ADF AEF ∠=∠=∠=∠故 B H G E ,,,四点共圆 同理，C H G F ,,,四点共圆 所以 GH 为圆21,O O 的公共弦 故GH O O ⊥21 又BC GH ⊥ 所以BC O O //21.。