中学自主招生考试数学试卷(含答案)

2015年温州中学自主招生素质测试数学试题

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．关于反比例函数4

y x

=

的图象，下列说法正确的是（ ▲ ） A ．必经过点（1，1） B ．两个分支分布在第二、四象限

C ．两个分支关于x 轴成轴对称

D ．两个分支关于原点成中心对称

2． 已知2

1

x y =⎧⎨

=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为（ ▲ ）

A ．1-

B ．1

C ．2

D ．3

3． 已知平面上的n 个点，任三个点都能构成直角三角形，则n 的

最大值为（ ▲ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

4．如图1，AC 、BC 为半径为1的⊙O 的弦，D 为BC 上动点，

M 、N 分别为AD 、BD 的中点，则ACB ∠sin 的值可表示为

（ ▲ ）

A ．DN

B ．DM

C ．MN

D ．CD

5．已知甲盒中有若干个白球，乙盒中有若干个白球和黑球，白球和

黑球的数量均多于3个．从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中．放入i 个球后，从甲盒中取1个球是白球的概率记为()1,2i p i =，则（ ▲ ） A ．12p p >，B ．12p p =， C ．12p p <， D ．以上均有可能

6．已知5个实数12345,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ≤≤≤≤≤，且对任意的正整数

(),15i j i j ≤≤≤，均存在k ()1,2,3,4,5k =，使得k a =j i a a -．

① 10a =； ② 524a a =；③422

3a a a =；④ 当15i j ≤≤≤时，i j a a +的可能值共有9个．

则上述论断正确的有（ ▲ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

7．二元方程2

2

3

3

y x y x =+的正整数解的组数为（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．如图2，点F E D ,,分别是ABC ∆三边上点，且满足

4CD DB =，4AE EC =，4BF FA =，AD 、BE 、CF

两两分别交于1A 、1B 、1C ，若ABC ∆的面积为1，则

111C B A ∆的面积为（ ▲ ）

图1

B

图2

A ．

17 B ．316 C ．7

3 D ．16

31 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．请将答案填在答题卷的相应位置． 9

．设2015-a

，2015+的小数部分为b ，则()()12a b -+的值 为 ▲ ．

10．若实数b a ,满足12

2

=+b a ，则},max{b a b a ++的最大值为 ▲ ．（其中},max{b a 表示b a ,中的较大者）

11．6名儿童分坐两排，每排3人要求面对面而坐，但其中两个儿童不可相邻 ，也不可面对面，有 ▲ 种排法．

12．如图3，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为棱11C D 的中点，点P 为平面

11A BCD 上的动点，则1MP B P +的最小值为 ▲ ．

13．若正实数c b a ,,满足

c b a c b a ++=

++2015111，则abc

a c c

b b a )

)()((+++的值为 ▲ ． 14．如图4是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确

的算式，那么所得的乘积是 ▲ ．

15． 对于任意的102x ≤≤，有1ax b +≤，则对于任意的1

02

x ≤≤，bx a +的最大值 为 ▲ ．

×

2

2

图4

图3

1A

2015年温州中学自主招生素质测试数学试题

答题卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分．

9．；10．；11．；

12．；13．；14．；

15．；

三、解答题：（本大题共5小题，16题8分，17、18、19、20题各15分，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．在函数y=x的取值范围．

17． 如图5，,,,M A B C 为抛物线2

y ax =上不同的四点，()2,1M -，线段MC MB MA ,,与

y 轴的交点分别为,,E F G ，且1EF FG ==，

（1）若F 的坐标为()0,t ，求点B 的坐标（用t 表示）； （2）若AMB ∆的面积是BMC ∆面积的2

1

，求直线MB 的解析式．.

图5

18．如图6，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于点M ，点D 、E 分别为ABC ∆的内切圆在边AB 、AC 上的切点，点1I 、2I 分别为ABM ∆与ACM ∆的内心．

求证：2

212221I I EI DI =+．

19．试求出所有的正整数k ，使得对一切奇数10n >，数165n n

+均可被k 整除．

图6